高中数学-直线方程的概念与直线的斜率课后训练
人教B版高中数学必修二2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率一、选择题1．有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有的直线都有斜率．其中错误的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④[答案] D[解析] 当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错．2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°[答案] A[解析] 由斜率公式得直线l 的斜率k ＝0－(－1)0－(－1)＝1，故倾斜角为45°. 3．直线y ＝kx ＋b ，当k >0，b <0时，此直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．以上都不是[答案] B[解析] 由k >0知，直线的倾斜角为锐角，由b <0知，直线过y 轴负半轴上点(0，b )，∴直线不经过第二象限．4．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 值为( ) A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] D[解析] 解法一：k AB ＝－2－33－(－2)＝－1， k AC ＝m －312－(－2)＝k AB ＝－1， 解得m ＝12， 解法二：可用两点间距离求解|AC |＋|CB |＝|AB |.(注意三点横坐标从左至右依次为A 、C 、B )5．点(1,3)、(5,7)和(10,12)的位置关系是( )A ．在同一条直线上B ．三点间的距离两两相等C ．三点连线组成一个直角三角形D ．三点连线组成一个等边三角形[答案] A[解析] 由任意两点连线斜率相等可得．6．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于( )A ．4B ．－7C ．1D ．－1 [答案] C[解析] 由题意，得2＝7－5a －3＝b －5－1－3， ∴a ＝4，b ＝－3，∴a ＋b ＝1.7．过M (－2，m )，N (m,4)的直线的倾斜角为90°，则m 的值为( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 [答案] A8．若直线l 经过二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0°，90°)B ．[90°，180°)C ．(90°，180°)D ．[0°，180°)[答案] C[解析] 由直线过二、四象限，则直线斜率为负，因此倾斜角的范围是(90°，180°)．二、填空题9．若过点P (1,1)、Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是____________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，12 [解析] 由k ＝2a －13－1＝2a －12<0，得a <12. 10．如图所示，直线l 1、l 2、l 3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是____________．[答案] k 1<k 3<k 4<k 2[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k 1<k 3<k 4<k 2.11．已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．[答案] (1,0)或(0，－2)[解析] 设B (x,0)或(0，y )，k AB ＝43－x 或4－y 3， ∴43－x＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1，y ＝－2. 12．已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________[答案] k ≥34或k ≤－4 [解析] 如图所示，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34， 因为过点P 且与x 轴垂直的直线P A 与线段MN 相交，但此时直线l 的斜率不存在，当直线PN 绕点P 逆时针旋转到P A 处的过程中，l 的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l的斜率的范围是k ≥34，当直线l 由P A (不包括P A )逆时针绕P 点旋转到PM 处的过程中，斜率为负且逐渐增大，此时l 的斜率范围是k ≤－4.三、解答题13．经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求其斜率．(1)A (－3，2)、B (2，－3)；(2)P (m ，b －2)、Q (m ，c －6)．[解析] (1)存在 k AB ＝2－(－3)－3－2＝－1. (2)∵P 、Q 两点横坐标相等，∴斜率不存在．14．(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45°？ [解析] (1)由题意，得3m －61－(－m )＝12， 解得m ＝－2.(2)由题意，得(2m －1)－2－m －m＝1， 解得m ＝34. 15．已知A (1,1)、B (3,5)、C (a,7)、D (－1，b )四点共线，求直线方程y ＝ax ＋b .[解析] ∵A 、B 、C 、D 四点共线，∴直线AB 、AC 、AD 的斜率相等，即k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1，k AD ＝b －1－1－1， ∴2＝6a －1＝b －1－2.解得a ＝4，b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝4x －3.16．已知方程2x ＋3y ＋6＝0. (1)把这个方程改写成一次函数形式；(2)画出这个方程所对应的直线l ；(3)点⎝⎛⎭⎫32，1是否在直线l 上？(4)方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z )是不是直线l 的方程？[解析] (1)由2x ＋3y ＋6＝0，得3y ＝－2x －6，即y ＝－23x －2. (2)当x ＝0时，y ＝－2，y ＝0时，x ＝－3，∴在坐标平面内作出两点，即A (0，－2)、B (－3,0)．作出直线AB 即为方程2x ＋3y ＋6＝0的直线l .(3)将⎝⎛⎭⎫32，1的坐标代入2x ＋3y ＋6＝0不满足，∴点⎝⎛⎭⎫32，1不在直线l 上．(4)虽然以方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z )的解为坐标的点都在直线l 上，但直线l 上的点的坐标不都是该方程的解，如点C ⎝⎛⎭⎫－32，－1∈l ，但⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32y ＝－1，却不是该方程的解． ∴方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z )不是直线l 的方程，直线l 也不是方程2x ＋3y ＋6＝0的直线．。
直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时
直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。
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______年______月______日
____________________部门
2.2.2 直线方程的几种形式
自主广场
我夯基 我达标
思路分析：直线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两坐标轴截距存在且不为0,于是想到用截距式求解.
解：由题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为6-a.
于是我们可列出此直线的截距式方程为=1,代入点M的坐标(2，1),得到关于a的一元二次方程,解得a=3或a=4,从而得到直线的方程为或,化为一般式方程即为x+y-3=0或x+2y-4=0.
图2-2-(1,2)-4
思路解析：直线l1的斜率为a，在y轴上的截距是-b；直线l2的斜率为b，在y轴上的截距是a.对于A图，由直线l1知斜率a＜0，在y轴上的截距-b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＞0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾.对于B图,由直线l1知斜率a＞0，在y轴上的截距-b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件相容.对于C图,由直线l1知斜率a＜0，在y轴上的截距-b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾.对于D图,由直线l1知斜率a＞0，在y轴上的截距-b＜0，即b＞0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾.
答案：B
5.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线x-y+1=0的斜率相同，则m等于( )
A.2或3 B.2 C.3 D.-3
思路解析：由条件可知=1，所以m2-5m+6=0，解得m=3或m=2.又因为方程Ax+By+C=0成为直线方程的条件是A、B不同时为0,所以舍去m=2.
高中数学第二章直线和圆的方程 倾斜角与斜率课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第二章 2.1 2.1.1A 级——基础过关练1．(2021年合肥月考)若直线l 经过原点和点A (－2,－2),则它的斜率为( ) A ．－1 B ．1 C ．1或－1 D ．0【答案】B【解析】根据两点表示的斜率公式得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－2－0－2－0＝1． 2．若直线过点(1,2),(2,2＋3),则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】利用斜率公式k ＝2＋3－22－1＝3＝tan α,可得倾斜角为60°．3．(2021年中山月考)若A (－2,3),B (3,－2),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线,则m 的值为( ) A ．12 B ．－12C ．－2D ．2【答案】A【解析】因为A (－2,3),B (3,－2),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线,所以k AB ＝k BC ,所以－2－33－－2＝m ＋212－3,解得m ＝12．4．若三点A (－1,－2),B (4,8),C (5,x )在同一条直线上,则实数x 的值为( ) A ．10 B ．－10 C ．5 D ．－5【答案】A【解析】由三点在同一直线上,则可得k AB ＝k BC ,由斜率计算公式可知8－－24－－1＝x －85－4,解得x ＝10．5．设P 为x 轴上的一点,A (－3,8),B (2,14),若PA 的斜率是PB 的斜率的两倍,则点P 的坐标为( )A ．(－5,0)B ．(5,0)C ．(－4,0)D ．(4,0)【答案】A【解析】设P (x,0)为满足题意的点,则k PA ＝8－3－x ,k PB ＝142－x ,于是8－3－x ＝2×142－x,解得x ＝－5．6．(2021年清远模拟)已知A (3,5),B (5,7),直线l 的斜率是直线AB 斜率的3倍,则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】设直线l 的斜率为k ,则k ＝3k AB ＝3×7－55－3＝3．所以直线l 的倾斜角为60°．7．(多选)在下列四个命题中,错误的有( ) A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线的倾斜角的取值范围是[0,π)C ．若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α 【答案】ACD【解析】对于A,当直线与x 轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,故A 错误；对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),故B 正确；对于C,一条直线的斜率为tan α,此直线的倾斜角不一定为α,如y ＝x 的斜率为tan 5π4,它的倾斜角为π4,故C 错误；对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,故D 错误．故选ACD ．8．以下叙述中：①任何一条直线都有倾斜角,也有斜率；②平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°；③直线的斜率范围是(－∞,＋∞)；④过原点的直线,斜率越大越靠近x 轴；⑤两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等；⑥两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等．其中正确的序号是________．【答案】③⑤【解析】①倾斜角为90°的直线没有斜率；②直线的倾斜角取值范围是0°≤α＜180°；④过原点的直线斜率的绝对值越大,其对应的直线越靠近y 轴；⑥倾斜角为90°的直线没有斜率．9．已知三点A (1－a ,－5),B (a,2a ),C (0,－a )共线,则a ＝________． 【答案】2【解析】①当过A ,B ,C 三点的直线斜率不存在时,即1－a ＝a ＝0,无解．②当过A ,B ,C 三点的直线斜率存在时,即k AB ＝2a －－5a －1－a ＝k BC ＝－a －2a 0－a ,即2a ＋52a －1＝3,解得a ＝2．综上可知,当A ,B ,C 三点共线时,a 的值为2．10．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1,l 2,l 3,l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,又知l 2过点N (5,3),求这四条直线的倾斜角．解：因为k 2＝k MN ＝6－38－5＝1,所以l 2的倾斜角为45°．又因为l 1,l 2,l 3,l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,故这四条直线的倾斜角分别为22．5°,45°,67．5°,90°．B 级——能力提升练11．(多选)直线l 过点M (－1,2),且与以P (－2,－3),Q (4,0)为端点的线段PQ 相交,则l 的斜率的取值可能是( )A ．－35B ．0C ．32D ．6【答案】AD【解析】当l 的斜率为正时,因为其倾斜角均大于或等于直线MP 的倾斜角,故其斜率不小于k MP ＝5；当l 的斜率为负时,因为其倾斜角均小于或等于直线MQ 的倾斜角,故其斜率不大于k MQ ＝－25．故选AD ．12．已知直线l 的倾斜角为α,斜率为k ,若k ∈[－3,1],则α的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4【答案】A【解析】因为k ＝tan α∈[]－3，1,且α∈[0,π),所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π．故选A ．13．直线l 的一个方向向量d ＝(3,3),则直线l 的倾斜角是________,直线l 斜率是________．【答案】π6 33【解析】由d＝(3,3)是直线l的一个方向向量,则直线l的斜率为33,所以倾斜角为π6．14．在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为________．【答案】0【解析】由于正三角形的内角都为60°,且边BC所在直线的斜率是0,不妨设边AB所在直线的倾斜角为60°,则斜率为tan60°＝3,则边AC所在直线的倾斜角为120°,斜率为tan120°＝－3,所以AC,AB所在直线的斜率之和为3＋(－3)＝0．15．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角,求实数t的取值范围．解：因为直线的倾斜角α不是锐角,所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时,1＋t＝2t,得t＝1；当α＝90°时,1－t＝3,得t＝－2；当α是钝角时,直线的斜率小于0,即2t－1＋t3－1－t＜0,得t－1t＋2＜0,解得－2＜t＜1．综上所述,实数t的取值范围为[－2,1]．。
高中数学 直线的倾斜角与斜率(常见例题 考题 练习)附答案
直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。
3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。
5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。
查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式例题与探究新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A、B、C三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵ｋAB==2，k AC==2,∴ｋAB=k AC.∴A、B、C三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b，则∴∴直线AB的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×４-3=5，故点C(4，5)在AB上.∴A、B、C三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a的值等于_______________.思路解析:因为k AB=，k BC=，又因为三点A、B、C共线，所以k AB=k BC，即=，解得a=4.答案:4例2 设过定点A的直线l1的倾斜角为α.现将直线l1绕点A按逆时针方向旋转45°得到直线l2,设直线l2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°．黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练 2 如图2-2-(1,2)-2，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥ｌ2，求l1、l2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°＝，∵ｌ2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴ｌ2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°＝.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得由①式，得m≠３且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=.因为m≠3，所以m=.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠０的解是m≠３且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为与，∴＞0，＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y轴上的截距.解:令y=0,则x=,于是直线在x轴上的截距为；令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴上的截距为；当k=时,直线在y轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为 a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P1与P2关于点M对称，则点M是P1、P2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P1与P2关于直线l对称，则直线l是线段P1P2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P1、P2的中点在直线l上，且P1P2的连线与l垂直，也就是说，P1P2的中点坐标满足直线l的方程，且P1P2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x0,y0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0);(2)点P(a,b)不在直线l：Ax+By+C=0上，P关于直线l的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M()在l上,PP′⊥l,所以由方程组可解出P′(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b中，若b为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f1(x,y)+λｆ2(x,y)=0的形式，再解方程组求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点M(x0，y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)，它表示经过定点(x0，y0)的直线系，但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数，b为参数)，它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线l：Ax+By+C=0，与l平行的直线系为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).若已知直线l：Ax+By+C=0，与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
高中数学 第03章 直线与方程 .1.1 倾斜角与斜率试题
3。
1.1 倾斜角与斜率一、直线的倾斜角 1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是:已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.2．直线倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.倾斜角与倾斜程度平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等。
因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.3．倾斜角的取值范围当直线l 与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .如下图:1l 的倾斜角为0°，2l 的倾斜角为锐角，3l 的倾斜角为直角,4l 的倾斜角为钝角。
二、直线的斜率 1．斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k 表示，即tan k α=.注：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角α=0°时，斜率k =0，直线与x 轴 ； 当0°<α〈90°时,斜率k 〉0，且k 值增大,倾斜角随着 ； 当α=90°时,斜率k （此时直线是存在的，直线与x 轴垂直); 当90°<α<180°时，斜率k 〈0，且k 值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度(1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此,我们可以用 表示直线的倾斜程度.(2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量,斜率侧重于代数角度,倾斜角侧重于几何角度. 三、过两点的直线的斜率公式 1．公式经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式为 。
2．公式的推导如图（1)，(2)，设直线12PP 的倾斜角为α(α≠90°)，当直线12PP 的方向(即从1P 指向2P 的方向）向上时,过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线，两条直线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为21(,)x y .如图（1），当α为锐角时，121212,,QPP x x y y α=∠<<。
高中数学必修二直线的方程课后训练
直线的方程1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y -1=x -1，即y=x ； 当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2． 综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=2故选C.2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【解析】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =-.故选：A.3．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】0Ax By C ++=化为A Cy x B B =--， 0AC <且0BC <，0,0,0A CAB B B>∴-<->，直线0Ax By C ++=不通过第三象限.故选:C.4．抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=【解析】由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，选：A.5．方程1y ax a=-表示的直线可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】由题意0a ≠，排除B . 当0a >时，10a >，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的负半轴上，排除A .当0a <时，10a <，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的正半轴上，排除D ，选C .6．不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过的定点的坐标为（ ） A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,0-C ．(2,3)D ．(9,4)-【解析】∵直线方程为()1(21)5m x m y m -+-=-∴直线方程可化为(21)(5)0x y m x y +-+--+=∵不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过定点∴210{50x y x y +-=--+=∴9{4x y ==-故选D7．经过点()3,0A 且直线斜率1k =的直线方程是（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．30x y ++=D ．30x y -+=【解析】由题意可得直线的点斜式方程为()013y x -=⨯-， 整理为一般式即30x y --=.故选：B.8．直线l 在平面直角坐标系中的位置如图，已知//l x 轴，则直线l 的方程不可以用下面哪种形式写出（ ）．A ．点斜式B ．斜截式C ．截距式D ．一般式【解析】//l x 轴，则l 的横截距不存在，因此不能用截距式表示直线方程．点斜式、斜截式，一般式都可以． 故选：C ．9．若直线:l y kx =-30x y +-=相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ） A ．()000,60B ．()0030,60C ．()0030,90D ．()0060,90【解析】联立方程30y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点，由交点在第一象限知：00>>⎩解得3k >，即tan ,3αα>是锐角，故3090α︒<<︒ ，选C. 10．已知点()2,0A -，()2,0B ，()1,1C ，()11D -,，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．11,32⎛⎤⎥⎝⎦C．13⎛ ⎝⎦D．12⎤⎥⎝⎦ 【解析】如图，当12k ≥时，因为三角形OGE 与三角形KHE 全等， 所以直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， 所以m 的值始终为12，排除C ；当0k =时，y m =与y 轴交于F 点， 直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，计算得，m =， 进一步，当102k <<时，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，直线与y 轴的交点必须在F 点上方，排除,A B ；所以D 一定正确. 故选D.11．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】设点A （3,1）关于直线1y x =+的对称点为11'(,)A x y ，则111111313122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=+⎪⎩ ，解得1104x y =⎧⎨=⎩ ，即'(0,4)A ，所以直线'A B 的方程为240x y -+=，联立2401x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩ ，即(3,2)C -- ,又(3,1)A ，所以边AC 所在的直线方程为210x y --=，选C.12．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：1233x x x ++； 纵坐标：1233y y y ++A ．2100x y --=B ．250x y --=C ．2100x y +-=D ．250x y +-=【解析】设ABC ∆的重点为G ，外心为M ，则由重心坐标公式得74(,)33G ，并设M 的坐标为5(,)2a ，||||MA MC 222255(0)(0)(2)(4)22aa解得54a =，即55(,)24M4513475232GMk ∴欧拉方程为：417()323y x -=--，即： 250x y +-=故选：D 13．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，可得22321m m --=-+，解得47=m .（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<， 则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.14．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【解析】（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -= 15．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,.16．求适合下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =.【解析】（1）设直线l 在,x y 轴上的截距均为a ，若0a =，即l 过点(0,0)和(3,2)，l ∴的方程为23y x =，即230x y -=.若0a ≠，则设l 的方程为1x ya a +=，l 过点(3,2)，321a a∴+=，5a ∴=，l ∴的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=.（2）①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4)，此时5AB =，即1x =为所求. ②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-，解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫ ⎪++⎝⎭.22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 解得34k =-，11(1)4y x ∴+=--，即3410x y ++=.综上可知，所求直线方程为1x =或3410x y ++=. 17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【解析】（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18．求分别满足下列条件的直线l 的方程．（1）经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直； （2）与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3． 【解析】（1）将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-． 由所求直线与直线2350x y ++=垂直，则所求直线斜率为32， 所以方程为)324(1y x +=-，从而所求直线方程为32110x y --=（2）依题意设直线方程为430x y m -+=，则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=，解得m =±430x y -+=或430x y --= 19．方程y ＝k(x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 【解析】由方程y=k （x -2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在．故选C ． 20．若0k >，0b <，则直线y kx b =+不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由0k >，0b <， 则直线y kx b =+不经过第二象限，故选B. 21．经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2B ．3-C ．27-D ．27【解析】由两点式得直线方程为＝，即x ＋5y －27＝0，令y ＝0得x ＝27．故选D ．22．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【解析】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．。
高中数学(人教B版必修2)学业分层测评：第2章 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.下列说法正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】 D2.若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D.180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C.【答案】 C3.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )A.1B.5C.－1D.－5【解析】 由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.【答案】 D4.若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【解析】 直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5.直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.12D.2【解析】 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈.故直线l 的斜率k 的最大值为2.【答案】 D二、填空题6.a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )两点直线的倾斜角为________.【解析】 由题意知，b ≠a ，所以k ＝c ＋a －b ＋c a －b＝1， 故倾斜角为45°.【答案】 45°7.已知三点A (－3，－1)，B (0,2)，C (m,4)在同一直线上，则实数m 的值为________.【解析】 ∵A 、B 、C 三点在同一直线上，∴k AB ＝k BC ，∴2－－0－－＝4－2m －0， ∴m ＝2.【答案】 28.在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为________.【解析】 如图，易知k AB ＝3，k AC ＝－3，则k AB ＋k AC ＝0.【答案】 0三、解答题9.已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°.【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∵A (1,2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b ). 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3).10.已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围.【解析】 设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率.如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3， 所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是.1.斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A.4,0B.－4，－3C.4，－3D.－4,3【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.【答案】 C2.已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C. 【答案】 C3.已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________. 【解析】 设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知：180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.【答案】 －14.点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率. ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。
直线倾斜角斜率直线方程基础练习题
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题一、选择题1．直线013=++y x 的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角3．若直线经过(0,1),4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．30o B ．45o C ．60o D ．120o 4．直线0334=-+y x 的斜率为（ ）5．在直角坐标系中，已知(1, 2)A -，(3, 0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ）. A.（2,2） B.（1,1） C.（-2，-2） D.（-1，-1） 6．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 7．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 8．一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=o，则这条直线的方程为( )A. 50x y ++=B.50x y --=C. 50x y -+=D. 50x y +-= 9．若直线l 经过原点和点A （2，2），则它的倾斜角为 A ．－45° B ．45° C ．135° D ．不存在 10．若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 33 D. 33-11．直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 灿上的截距相等，则a 的值是 A.1B .－1C .－2或－1D. －2或112．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x13A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒14．过点(3,0),(2,3)的直线的倾斜角为（ ）A 、0120B 、030C 、060D 、0150 15．若直线1=x 的倾斜角为α，则α等于 A.︒0 B. ︒45 C. ︒90 D.不存在16．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 （A ）123k k k << （B ）312k k k << （C ）132k k k << （D ）321k k k <<17． 经过两点 (4,0)(0,3)A B -、的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B. 34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=18．将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为则（ ） A. 3131+-=x yB. 131+-=x y C. 33-=x y D. 131+=x y 19．直线＝－1的倾斜角为 （ ▲ ）（A ）135︒ （B ）90︒ （C ）45︒ （D ）0︒ 20． 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的斜率为 A. -1 B. 1 C . 0 D . 221．已知直线l 经过)2,3(-A ，)3,2(-B 两点，那么直线l 的倾斜角为（ ） A.3π B.6π C.4π D.43π22．直线(2m 2－5m +2)x －(m 2－4)y +5m =0的倾斜角是4π，则m 的值为 A.2 B.3 C.－2D.－323．直线31y x =+的倾斜角是A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π24．下列四种说法中正确的是（ ）A ．一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角叫做这条直线的倾斜角B ．直线l 的倾斜角取值范围是第一象限角或第二象限角C ．已知直线l 经过),(),,(222111y x P y x P 两点，则直线l 的斜率1212x x y y k --=D ．与x 轴垂直的直线斜率为0 25．直线l 的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l 的方程是A x+y+1=0B x-y+1=0C x-y-1=0D x+y-1=0 26．直线l 过P （1，0）、Q （12,2+-），则直线l 的倾角α=A 、ο135B 、ο45C 、ο60D 、ο225 27．直线3410x y +-=的倾斜角为α，则cos α的值为( ) A ．45-B.45C.35D. 34- 28．过点P (-2,0),斜率为3的直线方程是( )A.y =3x -2B.y =3x +2C.y =3(x -2)D.y =3(x +2)29．已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A.(5，8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)30．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 31．已知直线l 的倾斜角为120o，则直线l 的斜率是（ ）． A ．3 B ．3- C ．33- D ． 3332．直线x tan7π+y =0的倾斜角是（ ） A.－7π B.7π C.7π5 D .7π633．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在34． ）A B C D 35．直线30x y -+=的倾斜角是（ ）A 、300B 、450C 、600D 、90036．已知直线l 过点()1,2P ，()5,7Q ，则直线l 的斜率为（ ）A B C D 37．直线0cos 40sin 4010x y -++=的倾斜角是（ ） A ．040 B ．050 C ．0130 D ．0140 二、填空题38．已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角 39．已知点(3,8),(2,4)A B -，若y 轴上的点P 满足PA 的斜率是PB 斜率的2倍，则P 点的坐标为_________.40．经过两点A(-3,5),B(1,1 )的直线倾斜角为________. 41的倾斜角是 ．42．给定三点A(0,1)，B(a ,0)，C(3,2)，直线l 经过B 、C 两点，且l 垂直AB ，则a 的值为________．43．直线5x-2y-10=0在y 轴上的截距为 。
高考数学一轮复习专题训练—直线的方程
直线的方程考纲要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)计算公式①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝yx .3．直线方程的五种形式截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0不存在k <02.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．2．若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________． 答案 12x －y －18＝0解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2,6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0.3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________． 答案 A ≠0且B ≠0解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 4．(2020·衡水模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.5．(2021·西安模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，且m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2B ．⎝⎛⎦⎤π2，2π3 C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤π6，2π3答案 D解析 ①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，2π3.6．(2021·合肥调研)过点(－3,4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______． 答案 4x －y ＋16＝0解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍)．故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (经典母题)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞， －3]．故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【迁移】 若将例1中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 感悟升华 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上并不是单调的． 2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在．【训练1】 过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π，故选B. 考点二 直线方程的求法【例2】 (1)已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)．求BC 边上的中线AD 所在直线的方程．(2)经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3,2)． 解 (1)由题意得线段BC 的中点D (0,2)，可得BC 边上的中线AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1.因为直线l 过点P (2,3)，所以2a ＋3a ＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k ＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v ＝(－3,2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.感悟升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．【训练2】 (1)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________________． 答案 (1)D (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 (1)设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ()α＋45°＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. (2)由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.感悟升华 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，则直线过定点(1,2)．2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．【训练3】 (1)已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： ①若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； ②若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； ③若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________．(2)(2021·武威模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1B ．4C ．2D ．8答案 (1)①(0,3) ②(－3,0) ③(3,0) (2)B解析 (1)①当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0,3)． ②直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3,0)． ③当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3,0)． (2)∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，所以a ＋b ＝ab ，1a ＋1b ＝1，因为直线在x 轴的截距为b ，在y 轴上的截距为a ，所以直线在x轴、y 轴上的截距之和为a ＋b ，a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，所以当a ＝b ＝2时取最小值，最小值为4，故选B.基础巩固一、选择题1．如图中的直线l 1， l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.2．(2021·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C.2±52D ．2＋52或0答案 A解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.3．如果A ·B >0，B ·C <0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 因为直线在x 轴、y 轴上的截距分别为C A <0，－CB >0，所以直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是第四象限．故选D.4．(2020·成都诊断)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2答案 A解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2,1)，所以所求直线方程为x ＝2.5．(2021·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合．6．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 令x ＝0，y ＝2＋a ，令y ＝0，x ＝2＋a a ，则2＋a ＝2＋a a. 即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2或a ＝1. 7．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.8．(2021·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，∴－2≤k ≤12. 二、填空题9．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________． 答案 y ＝3x解析 已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .10．(2020·沈阳模拟)过点⎝⎛⎭⎫1，14且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为x a＋ay ＝1， 因为x a＋ay ＝1过点⎝⎛⎭⎫1，14，所以1a ＋14a ＝1，解得a ＝2， 所以，所求直线方程为12x ＋2y ＝1，化为x ＋4y －2＝0. 11．(2021·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．答案 －13解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3， 从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 12．在平面直角坐标系xOy 中，经过点P (1,1)的直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .若P A→＝－2PB →，则直线l 的方程是________．答案 x ＋2y －3＝0解析 设A (a,0)，B (0，b )，由P A →＝－2PB →，可得a －1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b －1)，则a＝3，b ＝32，由截距式可得直线l 的方程为x 3＋y 32＝1，即x ＋2y －3＝0. B 级 能力提升13．(2020·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1， 故－1≤x 0≤－12. 14．已知A ，B 是x 轴上的不同两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0答案 B解析 因为点P 的横坐标为2，且点P 在直线x －y ＋1＝0上，所以点P 的纵坐标为3，所以P (2,3)．又因为|P A |＝|PB |，所以直线P A ，PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为－1，则直线PB 的方程是y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.故选B.15．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.答案 12解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小． 16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．答案 3解析 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB的方程为x3＋y4＝1.设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为x3＋y4≥2x3·y4，当且仅当x3＝y4＝12时取等号，所以xy≤3，所以xy的最大值为3.。
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 二、直线方程的形式及适用条件一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直 线 方 程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1. 则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)， 点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________． 解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：选B 由⎩⎨⎧ y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 2．(2012·吴忠调研)若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， 故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时， △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.。
高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：直线的点斜式方程(课后习题)【含答案及解析】
直线的方程直线的点斜式方程 课后篇巩固提升必备知识基础练1.直线y-4=-√3(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )A.30°,(-3,4)B.120°,(-3,4)C.150°,(3,-4)D.120°,(3,-4)k=-√3,过定点(-3,4).2.过点(0,1)且与直线y=12(x+1)垂直的直线方程是 ( )A.y=2x-1B.y=-2x-1C.y=-2x+1D.y=2x+1y=12(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C .3.直线y=ax+1a(a ≠0)的图形可能是( )y=ax+1a(a ≠0)的斜率是a ,在y 轴上的截距是1a.当a>0时,直线在y 轴上的截距1a>0,此时直线y=ax+1a 过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y 轴上的截距1a <0,此时直线y=ax+1a 过第二、三、四象限,只有选项B 符合.4.斜率为2的直线经过(3,5),(a ,7)两点,则a= .(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a ,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.5.直线l 与直线y=-x+2垂直,且它在y 轴上的截距为4,则直线l 的方程为 .l 的方程为y=x+m ,又它在y 轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l 的方程为y=x+4.46.已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的斜截式方程为 .l 的方程为y=16x+b (b ≠0).当x=0时,y=b ;当y=0时,x=-6b.由题意可得12·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l 的方程为y=16x+1或y=16x-1. y=16x+1或y=16x-17.已知△ABC 的顶点坐标分别是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.AB 的斜率k AB =-3-03-(-5)=-38,且直线AB 过点A (-5,0),∴直线AB 的点斜式方程为y=-38(x+5),同理:k BC =2+30-3=-53,k AC =2-00+5=25,∴直线BC 的点斜式方程为 y-2=-53x 或y+3=-53(x-3), 直线AC 的点斜式方程为 y-2=25x 或y=25(x+5). 8.已知直线l :y=kx+2k+1.(1)求证:对于任意的实数k ,直线l 恒过一个定点;(2)当-3<x<3时,直线l 上的点都在x 轴的上方,求实数k 的取值范围.y=kx+2k+1,得y-1=k (x+2),从而直线l 恒过定点(-2,1).f (x )=kx+2k+1,由题意可得{f (-3)≥0,f (3)≥0,即{-3k +2k +1≥0,3k +2k +1≥0,解得-15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是[-15,1].关键能力提升练9.将直线y=√3(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( ) A.y=-√3x+2√3 B.y=√3x+2√3 C.y=-√3x-2√3D.y=√3x-2√3直线y=√3(x-2)的倾斜角是60°,∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-√3,且过点(2,0). ∴其方程为y-0=-√3(x-2),即y=-√3x+2√3.10.以A (2,-5),B (4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.y=2x+9 B.y=-12x+32C.y=2x-9D.y=-12x-32A (2,-5),B (4,-1),知线段AB 中点坐标为P (3,-3),又由斜率公式可得k AB =-1-(-5)4-2=2,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为k=-1k AB =-12,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-(-3)=-12(x-3),即y=-12x-32.故选D .11.若y=a|x|与y=x+a (a>0)的图象有两个交点,则a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.⌀D.(0,1)∪(1,+∞)(a>0)表示斜率为1,在y 轴上的截距为a (a>0)的直线,y=a|x|表示关于y 轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a 的图象有两个交点,且a>0,则根据图象可知a>1.故选A .12.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax 与y=x+a 大致图象的是( )13.已知直线l 过点P (-2,0),直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l 的方程为 .l 在y 轴上的截距为b ,则由已知得12×|-2|×|b|=10,b=±10.①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k=10-00-(-2)=5. 故直线的斜截式方程为y=5x+10.②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k=-10-00-(-2)=-5. 故直线的斜截式方程为y=-5x-10.综合①②可知,直线l 的方程为y=5x+10或y=-5x-10.5x+10或y=-5x-1014.(2020广东广州二中高二上期中)已知直线l :kx-y+2+4k=0(k ∈R ). (1)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(2)若直线l 交x 轴的负半轴于点A ,交y 轴的正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.直线l 的方程可化为y=kx+2+4k ,则直线在y 轴上的截距为4k+2,要使直线l 不经过第四象限,需满足{k ≥0,4k +2≥0,解得k ≥0,故k 的取值范围是[0,+∞).(2)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-4k+2k ,在y 轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A (-4k+2k,0),B (0,4k+2),故S=12|OA|×|OB|=2(2k+1)2k =2(4k +1k +4)≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=1k ,即k=12时,等号成立.故S 的最小值为16,此时直线l 的方程为y=12x+4.学科素养创新练15.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x (单位:分钟)与水量y (单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.0<x<10时,直线段过点O (0,0)和A (10,20).所以k OA =2010=2,此时方程为y=2x.当10≤x ≤40时,直线段过点A (10,20)和B (40,30),所以k AB =30-2040-10=13.此时方程为y-20=13(x-10),即y=13x+503.当x>40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v 1,放水速度为v 2,当0≤x ≤10时,是只进水过程,所以v 1=2,当10<x ≤40时,是既进水又放水,所以此时速度为v 1+v 2=13,即2+v 2=13,所以v 2=-53.所以当x>40时,k=-53,又直线过点B (40,30).此时直线方程为y-30=-53(x-40),即y=-53x+2903.当y=0时,x=2905=58.此时,直线过点C (58,0),即第58分钟时水放完.综上所述可知,y={ 2x ,0≤x ≤10,13x +503,10<x ≤40,-53x +2903,40<x ≤58.。
高中数学直线的方程直线方程的概念与直线的斜率直线方程的几种形式知识导学案新人教B版必修
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式知识梳理1.直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角α:当直线l 与x 轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和l 重合时所转过的最小角,即为α；当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α=0，故α的取值范围是0≤α＜π. (2)斜率k:k=tanα，当α=0时，k=0；当0＜α＜2π时，k ＞0；当α=2π时，k 不存在；当α＞2π时，k ＜０.(3)两点斜率公式——直线方向坐标化:已知直线上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k=1212x x y y --(x 1≠x 2).直线方程都是关于x 、y 的一次方程，关于x 、y 的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 平行于x 轴的直线方程为y=a;平行于y 轴的直线方程为x=b(平行于y 轴的直线的斜率不存在); 过原点的直线方程为y=kx; x 轴的方程是y=0;y 轴的方程是x=0(y 轴的斜率不存在). 知识导学要学好本节内容，应突破已知直线的斜率求直线倾斜角的难点,主要在于对直线倾斜角范围的认识,特别是斜率为负值且不是特殊角的情况,要注意钝角和负角的区别.根据直线的斜率取值范围求倾斜角的取值范围也是本节的难点,特别是斜率既有负值又有正值的情况是比较容易混淆的,这类问题可以结合正切函数的图象写出结果.根据实际问题认清直线方程的五种形式各有自己的特点,解题时作出灵活选择与判断.实际上,我们用的最多的还是点斜式和斜截式的方程,在设出这些方程的时候一定要根据实际的图形来判断斜率不存在的情况,在使用截距式方程时还要讨论过原点的情况,特别是在问题中出现“在两坐标轴上的截距(或者截距的绝对值)相等”这一类的问题. 已知斜率的范围求倾斜角的范围的记忆口诀:斜率有正负,图象来定位. 疑难突破1.方程y=kx+b(k≠0)能表示所有直线吗？剖析:方程y=kx+b(k≠0)是直线方程的一种形式——斜截式，由于直线按斜率分类可以分为两类：一类是存在斜率的直线，另一类是不存在斜率的直线.故方程y=kx+b(k≠0)只能表示斜率存在的直线，而斜率不存在的直线用方程y=kx+b(k≠0)是不能表示的.所以方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线.由方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线，我们可以得出一般性的结论：平面直角坐标系中，凡是根据直线的斜率推导出来的直线方程都不能表示所有的直线.如：点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示所有直线.2.在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中有三个不同参数A 、B 、C,为什么可由两个独立条件确定一条直线？剖析:根据等式的基本性质：在等式两边同时乘以(或除以)一个非零的数(或式子)，等式仍然成立.由于在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中已经给出了一个已知条件“A、B 不同时为零”，所以从形式上看有三个不同参数，而实际上我们可以把它转化成只含有两个不同参数的方程，即在方程Ax+By+C=0的两边同时除以A(或B)，则原方程可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),也就是说，在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中,形式上尽管有三个不同参数A 、B 、C,但却可由其中的两个独立条件确定一条直线. 根据条件“A、B 不同时为零”进行分类讨论：(1)当A=0，B≠0时，方程Ax+By+C=0即为By+C=0，也就是y=-BC，这是一条与x 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.(2)当B=0，A≠0时，方程Ax+By+C=0即为Ax+C=0，也就是x=-AC，这是一条与y 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定. (3)当A≠0且B≠0时，方程Ax+By+C=0可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),即原方程可转化为只含有两个待定系数的方程.当然可以由两个独立条件确定.3.利用斜率相等你可以得到哪些结论？ 剖析:斜率公式的应用非常广泛，在利用斜率公式时应注意：(1)直线的倾斜角和斜率是直线本身的属性，它们重视与三角函数的渗透和对字母参数的讨论;(2)斜率与倾斜角是数与形的有机结合.不同的两条直线斜率相等时,它们的倾斜角也相等，所以这两条直线平行.在三点两两相连确定的直线中，如果经过同一点的两直线斜率相等，则这三点共线. 4.研究直线的方程的基础是什么？在学习直线的斜率公式k=1212x x y y --(x 1≠x 2)时需要注意什么？剖析:斜率公式表明直线对于x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而使用比较方便.斜率(公式)是研究直线方程的各种形式的基础，必须熟记并灵活运用.斜率公式与选取两点的顺序与位置无关.当x 1≠x 2,即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立；当x 1=x 2时，倾斜角α=2，而没有斜率，故斜率公式不成立.。
专题训练：高中数学直线方程常见重点综合题型训练
专题训练：高中数学直线方程常见重点综合题型训练专题：直线方程常见重点综合题型训练问题类型1：坡度和倾角1。
填空：(1)若直线倾斜角α满足???45?,120??，则斜率k的范围是.（2）如果直线的斜率k满足k？？？？1,3?? 3.那么倾角α的范围呢？对2．已知两点a(-4,3),b(3,2),过点p(0,-1)的直线l与线段ab始终有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围.问题类型2：垂直和平行问题1．已知a（1，1），b（2，2），c（3，-3），若直线cd⊥ab，且cb∥ad求点d坐标．2.已知点P（-1,3）和直线L:x？2岁？3.0.（1）求通过点P并平行于线L的线性方程；（2）求通过点P并垂直于直线L的直线方程；3．已知直线l1：ax?3y?1?0，l2：x?(a?2)y?a?0，问m为何值时：（1）l1?l2；（2）l1//l2.问题类型3：不动点问题1．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该定点的坐标是.2.已知直线L:（a？2）x？（a？1）y？7.A.0.验证：直线l必须通过第三象限题型四：截距问题1.求通过点P（1,2）且满足下列条件的线性方程：（1）通过点P且在两个坐标轴上具有相等的截距；（2）通过点P和两个坐标轴上的截距之和等于62．求过点p(3,2)，并且与两坐标轴相交所围成的三角形的面积为3的直线方程.二题型五：三角形中直线问题1.三角形ABC的三个顶点a（-3,0）、B（2,1）、C（-2,3）和D是BC边的中点。
求出：（1）BC边所在直线的方程；（2）中线ad位于BC边缘的直线方程；（3） BC边缘的高线AE直线方程；（4） BC侧垂直平分线DF的方程。
（5） A角平分线的线性方程题型六：对称问题1.已知直线L:2x？3岁？1.0，点a（-1，-2），求：（1）点a关于线L对称点A1的坐标；(2)直线m：3x?2y?6?0关于直线l对称的直线m1的方程；(3)直线l关于点a对称的直线l1的方程.问题类型7：交叉口问题1．填空：（1）如果线L:y=kx-1和线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的值范围为(2)若直线l：y＝l12:x2-xb?与直线3y?5?x＋0,ly2-1:3＝x0?的交点位于第一象限，2y?3?0则实数2bx的取值范围是?y?3?0.2.求出通过直线交点且与直线平行的直线方程题型八：最值问题1.已知点P（x，y）在直线3x+4y-12=0（1）上，如果x？？1,3?，求你了？2倍？1.工作范围；（2）如果O是坐标原点，求| op |的最小值；（3）找到（x？1）2？Y2的最小值2．已知点a（0，4）、b（4,2），点p为x轴上任意一点.(1)当|pa|+|pb|取最小值时，求点p坐标；(2)当|pa|-|pb|取最大值时，求点p坐标；3.通过点a（1,2）且距离原点最大的线性方程。
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高中数学-直线方程的概念与直线的斜率课后训练
1．直线l的倾斜角α的范围是( )．
A．0°＜α＜180° B．0°＜α≤180°
C．0°≤α＜180° D．0°≤α＜180°且α≠90°
2．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( )．
A．0° B．90° C．135° D．180°
3．直线l过点A(2,1)，B(3，m2)(m∈R)，则直线l的斜率的范围为( )．
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
4．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是( )．
5．油槽储油20 m3，从一管道等速流出，50分钟流完．关于油槽剩余油量Q(m3)和流出时间t(分)之间的关系用图可表示为( )．
6．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，如图所示，则k1，k2，k3的大小关系是__________(由小到大写出)．
7．直线x－y＋1＝0的倾斜角是______．
8．若经过A(－1，－1)，B(－4，y)，C(x,3)三点的直线的斜率为－2，则实数x＝__________，y＝__________.
9．求坐标轴的两条角平分线所在直线的斜率．
10．(1)已知直线l经过原点，且与以A(1,1)，B(3，－1)为端点的线段相交，试通过作图探索出直线l的斜率范围．
(2)已知直线l经过原点，且与以A(1,1)，B(－3，－1)为端点的线段相交，试通过作图探索出直线l的斜率范围．
试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同，你能从中总结出什么规律来吗？
参考答案
1. 答案：C 正确理解倾斜角的取值范围，对于0°与180°，取0°而不取180°；另外倾斜角应包含90°.
2. 答案：B 因为l 1的斜率为0，其倾斜角为0°，所以l 2的倾斜角为90°，可作图后利用“数形结合”的思想解决．
3. 答案：A 由斜率公式求出斜率k ＝m 2－1，故k ≥－1.
4. 答案：B 直线l 1的斜率为a ，在y 轴上的截距是－b ；直线l 2的斜率为b ，在y 轴上的截距是a .对于A 项中的图，由直线l 1知斜率a ＜0，在y 轴上的截距－b ＞0，即b ＜0；由直线l 2知斜率b ＞0，在y 轴上的截距a ＞0，条件矛盾．对于B 项中的图，由直线l 1知斜率a ＞0，在y 轴上的截距－b ＞0，即b ＜0；由直线l 2知斜率b ＜0，在y 轴上的截距a ＞0，条件相容．对于C 项中的图，由直线l 1知斜率a ＜0，在y 轴上的截距－b ＞0，即b ＜0；由直线l 2知斜率b ＜0，在y 轴上的截距a ＞0，条件矛盾．对于D 项中的图，由直线l 1知斜率a ＞0，在y 轴上的截距－b ＜0，即b ＞0；由直线l 2知斜率b ＜0，在y 轴上的截距a ＞0，条件矛盾．
5. 答案：B 由题意，得Q ＝20－
2050
t,0≤t ≤50，它表示一条线段，排除A ，C 项，又因为斜率为25-，而D 项中的图所表示的线段的斜率为25，不合题意．故选B. 6. 答案：k 1＜k 3＜k 2 由图中直线倾斜角的大小可知l 1的倾斜角为钝角，所以k 1＜0；l 2，l 3的倾斜角均为锐角，且l 2的倾斜角较大，所以k 2＞k 3＞0.
所以k 1＜k 3＜k 2.
7. 答案：45°
8. 答案：－3 5 利用两点斜率公式，由3121x -(-)=--(-)
，解得x ＝－3；由1241y -(-)=---(-)
，解得y ＝5. 9. 答案：解：设直线l 1为一、三象限的角平分线，直线l 2为二、四象限的角平分线；在直线l 1上取两点O (0,0)，A (1,1)，可得l 1的斜率110110
k -==-；在直线l 2上取两点O (0,0)，B (1，－1)，可得l 2的斜率210110
k --==--.所以两条直线的斜率分别为1和－1. 10. 答案：解：(1)如图，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时，即从OB 旋转到OA 的过程中斜率由负(k OB )到正(k OA )连续增大，因为101303OB k --=
=--，10110OA k -==-，所以直线l 的斜率k 的范围是13
-≤k ≤1.
(2)如图，当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时，即从OA旋转到OB的过程中斜率从k OA开始逐渐增加到正无穷大，这时l与y轴重合，当l再旋转下去时，斜率从负无穷逐渐
增加到k OB，因为
101
303
OB
k
--
==
--
，
10
1
10
OA
k
-
==
-
，所以直线l的斜率k的范围是
1
3
k≤或
k≥1.
经比较可以发现：(1)中直线l的斜率介于k OA和k OB之间，而(2)中直线l的斜率处于k OA和k OB之外．一般地，如果直线l和线段AB相交，若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时，与线段AB不相交，则l斜率介于k OA和k OB之间；若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时，与线段AB相交，则l斜率位于k OA和k OB之外．。