传染病的数学模型
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。
传染病问题数学公式
传染病问题数学公式
传染病问题通常涉及到传染率、接触率、疾病治愈率、死亡率等参数。
在数学上，这些参数可以通过一系列模型和公式来描述和计算。
以下是一些常见的传染病问题的数学公式：
1. 基本复制数（Basic Reproduction Number, R0）：
R0 = β× D
其中，β表示传染率，D表示传染时间。
基本复制数表示一个感染者在人群中能够传染的人数。
当R0大于1时，疾病将继续传播；当R0小于1时，疾病将逐渐消失。
2. SEIR模型
SEIR模型用于描述一次传染病流行的过程。
该模型包括四类人群：易感人群（Susceptible）、潜伏期人群（Exposed）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
该模型的微分方程如下：
dS/dt = -βSI
dE/dt = βSI - αE
dI/dt = αE - γI
dR/dt = γI
其中，S、E、I、R分别表示四类人群的人数，β表示接触率，α表示潜伏期转化为感染期的概率，γ表示感染者恢复的概率。
3. SEIRD模型
SEIRD模型加入了死亡人群（Dead），用于描述一次传染病流行中的死亡情况。
该模型的微分方程如下：
dS/dt = -βSI
dE/dt = βSI - αE
dI/dt = αE - (γ+μ)I
dR/dt = γI
dD/dt = μI
其中，S、E、I、R、D分别表示五类人群的人数，β、α、γ、μ的含义与SEIR模型中相同，μ表示感染者死亡的概率。
基本数学模型-传染病模型
• 现有数据显示，天花的 值较小，麻疹等传染
病的 值较大，目前全世界已消灭天花疾病
17
模型验证
•
孟买某岛（1905.12.17-1906.7.21）
（
Kermack,McKendrick,1926）
• 该岛上80%－90%的感染者死亡，
dS dt dI dt
SI SI
I
视为移出者
• 在疾病传播期内所考察地区总人数 N 保持不变
• t 时刻易感者和感染者人数所占比例分别为 S(t)
和 I (t) ，S(t) I (t) 1 • 每个感染者单位时间内可使数量为 N 的人受到
感染，其中易感者数量为 NS ， 称为有效接触率
3
SI模型
N dI NSI dI I (1 I ) 1 dI dt
Jules Henri
Aleksandr
Poincaré
Mikhailovich
（1854－1912） 法国数学家、
Lyapunov （1857－1918）
物理学家
苏联数学家、 物理学家
11
自治系统
• 记 x (x1, x2 )T，F(t, x) ( f1(t, x), f2 (t, x))T，一阶常 微分方程组 dx F(t, x)称为自治（autonomous）
• III. Further Studies of the Problem of
电磁场理论，DNA双
Endemicity, 141, 94-122, 1933
螺旋结构等重要论文
均发表在该刊上
2
基本假设
• 人群分类
• 易感者（Susceptible）：易受疾病感染但尚未发病 • 感染者（Infective）：已感染且具传染性
传染病数学建模
传染病数学建模
传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。
通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。
在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。
这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。
然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。
在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。
在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。
而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。
除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。
这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。
总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮
助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。
通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。
传染病数学模型
传染病数学模型（二）引言：在传染病研究中，数学模型是一种重要的工具，通过模拟传染病的传播过程，可以帮助研究人员更好地了解病毒传播的规律，并提供有效的预测和控制策略。
本文将介绍传染病数学模型的相关理论及其应用。
概述：传染病数学模型是基于数学方程和模拟计算的方法，用于描述传染病在人群中的传播过程。
通过构建数学方程来描述人群中的感染者、易感者和康复者之间的相互作用，可以模拟传染病的传播动态，并为疫情的预测和控制提供有价值的信息。
正文：一、传染病数学模型的类型1. 动力学模型：描述传染病在时间上的变化规律，常用的动力学模型有SIR模型、SEIR模型等。
2. 空间模型：考虑传染病在空间上的传播，可以帮助研究人员更好地理解传染病的传播路径和空间分布规律。
3. 随机模型：考虑传染病传播的随机因素，可以更真实地反映传染病的传播过程。
4. 网络模型：基于网络结构，模拟人群之间的联系和传播路径，适用于研究社交网络中的传染病传播。
二、传染病数学模型的基本假设1. 平均场假设：假设人群中的每个个体都具有相同的特性和行为，且与其他个体的接触频率相同。
2. 免疫假设：假设人群中的康复者对传染病具有免疫力，不再感染。
3. 独立性假设：假设人群中的个体之间的相互作用是相互独立的，即每个个体的感染概率与其他个体无关。
4. 恒定人口假设：假设人口总数在模拟过程中保持恒定，不存在人口的出生和死亡。
三、传染病数学模型的参数和变量1. 基本再生数（R0）：描述传染病在易感人群中的传播能力，是评估传染病传播速度的重要指标。
2. 感染率（β）：描述感染者与易感者之间的传播强度，与传染病的传播速度密切相关。
3. 接触率（c）：描述人群中个体之间的接触频率，是传染病传播过程中的重要参数。
4. 感染周期（1/α）：描述传染病的潜伏期长度，即感染者从感染到出现症状的时间。
5. 恢复率（1/γ）：描述感染者康复的速度，与传染病的严重程度相关。
四、传染病数学模型的应用1. 疫情预测：通过建立传染病数学模型，可以预测疫情的发展趋势和高发区域，为公共卫生部门提供决策依据。
传染病的数学模型有哪些(一)
传染病的数学模型有哪些（一）引言：传染病是一种对人类健康造成严重威胁的疾病，为了更好地理解和控制传染病的传播过程，研究人员利用数学模型对传染病进行建模和预测。
本文将介绍传染病的数学模型，为了更好地控制和预防传染病的传播提供参考。
正文：1. 推广SIR模型a. SIR模型是一种常见的传染病数学模型，包括易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三个状态。
b. SIR模型基于一组微分方程进行建模，描述了各个人群状态之间的转化过程。
c. SIR模型可以通过改变参数值来预测和控制传染病的传播速度和范围。
2. 扩展SEIR模型a. SEIR模型是对SIR模型的扩展，引入了潜伏者（Exposed）的概念。
b. 潜伏者是指已经感染病毒但尚未表现出症状的人群。
c. SEIR模型可以更准确地预测传染病的传播速度和范围，尤其对于具有潜伏期的传染病。
3. 基于网络的模型a. 基于网络的传染病模型将人群视为图网络中的节点，节点之间的连接表示传播途径。
b. 网络模型可以更好地考虑人群的空间结构和社交关系对传染病传播的影响。
c. 网络模型常使用随机图、小世界网络或无标度网络等来表示人群间的联系。
4. 多主体模型a. 多主体模型是一种把个体行为和人群行为结合起来的传染病模型。
b. 多主体模型通过建立个体决策规则、交流机制和协调行为，考虑个体之间的相互作用和行为变化。
c. 多主体模型可以模拟人群在传染病传播中的决策行为，为制定个性化的防控策略提供参考。
5. 结合机器学习的模型a. 机器学习模型可以通过学习数据中的模式和规律，对传染病进行预测和控制。
b. 机器学习方法可以结合传染病流行病学和社会行为数据，提高模型的预测准确性。
c. 机器学习模型可以通过监督学习、无监督学习和强化学习等方法，对传染病的传播机制和防控策略进行建模和优化。
总结：传染病的数学模型有多种类型，包括SIR模型、SEIR模型、基于网络的模型、多主体模型和结合机器学习的模型。
传染病中的数学
传染病中的数学传染病中的数学传染病是指能够在个体之间传播的疾病，如流感、麻疹等。
疫苗和药物可以预防和治疗传染病，但数学模型可以帮助我们了解疫情的传播方式，从而制定更有效的防控策略。
以下是传染病中的数学。
一、基本传染病数学模型1、SIR模型SIR模型是描述传染病传播的经典模型，其中S表示易感人群，I 表示感染人群，R表示恢复或死亡的人群。
这个模型的目的是预测不同人群中的人数，以及传染病的传播速度和终止时间。
该模型利用微分方程求解，可以用来评估疫苗接种策略和隔离政策的成效。
2、SEIR模型SEIR模型是SIR模型的扩展，多了一个暴露人群（E）。
在此模型中，被暴露的人需要一定时间才能发病，这可以更准确地描述传播过程。
该模型可以更好地预测COVID-19这种潜伏期比较长的传染病的传播。
二、常用的疫情计算公式1、感染率感染率指的是在一定时间内，感染人群的增加数量与该时间内易感人群的数量之比。
感染率的计算公式为：感染率= 每日新增感染人数/该地区易感人口数× 100%。
2、病死率病死率指在感染人群中因该疾病死亡的人数占比。
病死率的计算公式为：病死率=死亡人数/感染人数× 100%。
三、数学在疫情控制中的应用1、传播速度的估计通过数学模型，可以预测传染病的传播速度和终止时间。
这使得政府可以及时采取针对性的措施，如对疫区的封锁管理、限制人员流动等。
2、分析疫苗接种战略通过比较不同的疫苗接种策略的成本和效益，政府可以制定合理的疫苗接种策略，最大程度地减少疫情造成的损失。
3、评估隔离政策的成效隔离政策对于传染病的传播具有重要的控制作用。
数学模型可以评估隔离政策的成效，从而提高疫情抵御和防控的能力。
总之，传染病中的数学不仅为我们提供了更好的疾病防控方法，而且为疫苗接种、隔离等控制措施提供了依据。
通过数学模型对疫情进行深入研究并制定针对性的策略，可以更好地抵御和控制疾病的传播。
数学建模——传染病模型_2022年学习资料
数学模型-模型2-di-dt-=2i1-iLogistic模型-i0=。-it=-1/2-io-tm-t= ,m,dildt最大-人n--tm~传染病高潮到来时刻-t>00→i>1?-2日接触率↓→tm↑-病人可以 愈！-0①
数学模型-模型3-传染病无免疫性一病人治愈成-为健康人，健康人可再次被感染-SIS模型-增加假设-3病人每 治愈的比例为4-4~日治愈率-建模W[it+△t-it]=Wstit△t-uWit△t-di-=2i1-i-入~日接触率-dt-i0=i。-1/μ ~感染期-6-、一个感染期内每个病人的-有效接触人数，称为接触数
数学模型-模型4-传染病有免疫性—病人治愈-SIR模型-后即移出感染系统，称移出者-假设-1总人数N不变， 人、健康人和移-出者的比例分别为it,t,rt-2病人的日接触率2，日治愈率山-接触数σ =入/4-建模-s +it+rt=1-需建立it,St,rt的两个方程-00①
数学模型-模型4-SIR模型-W[it+△t-it]=2Wstit△t-uWit△t-W[st+△t-st =-2Nstit△t-di-E见si-i-=-si-dr-人Z-i0=io,s0=So,i0=0-00①
数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人， 必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）
传染病的数学模型
传染病模型详解2.2.2 SI/SIS,SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S,易感染态/和免疫态R 。
S 态表示该个体 带有病毒或谣言的传播能力，一戸•接触到易感染个体就会以一泄概率导致对方成为传播态。
/表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个 感染周期后，该个体永远不再被感染。
S/模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周用邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为0,总人数为N.在各状态均匀混合网络中 建立传播模型如下:从而得到1-屮严_可见，起初绝大部分的个体为/态，任何一个S 态个体都会遇到/态个体并且传染给对 方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着/态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变/态，因此简单 的S/模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而岀现S/S 模型和S7R 模型。
S/R 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S, I , R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。
假设没有听到谣言/个体与s 个体接触，以概率久伙）变为s 个体，s 个体遇到s 个体 或/?个体以概率a 伙）变为如图2.9所示。
建立的平均场方程:- = ^■（1-0 dt・仇谊）=M 皿=罠0）对此方程进行求解可得: IS 2.9 SIR 模型的状态转移圏di(t) ・~;-= 一九(k)i ⑴ s(t)dt< = A(k一a伙)s(f)[s(/) + r(t)] dt= a(k)s(/)[$(f) + r(t)]dt与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。
传染公式数学
传染公式数学
传染公式是描述传染病传播动态的数学模型，通常使用微分方程
或差分方程的形式表示。
下面是一个常见的传染公式，称为SIR模型：dS/dt = -β * S * I
dI/dt = β * S * I - γ * I
dR/dt = γ * I
其中，S，I和R分别代表易感人群、感染人群和康复/移除人群的数量，t代表时间。
β是感染率，γ是康复率或移除率。
该模型假设人群总数固定，不考虑人口的出生和死亡，并且假设
所有人都有相同的感染和康复速率。
模型的基本思想是，感染人群的
数量受到易感人群和感染人群之间的相互作用的影响，康复/移除人群
的数量受到感染人群的影响。
拓展：
除了SIR模型，还有其他一些常见的传染病传播模型，如SEIR模型、SI模型、SIS模型等。
这些模型会更加复杂，考虑到更多的因素，例如潜伏期、免疫力衰减等。
传染公式还可以用于预测传染病的传播趋势和控制策略。
通过调
整模型中的参数，比如感染率和康复率，可以研究不同的控制措施对
传染病传播的影响，从而辅助制定科学的防控策略。
传染公式是数学模型在传染病研究中的应用之一，它能够提供对
传染病传播的定量描述和预测，为公众健康政策制定和流行病控制提
供科学依据。
传染病动力学方程
传染病动力学方程
传染病动力学方程是用来描述传染病在人群中传播和发展的数学模型。
最常见的传染病动力学方程是基于传染病流行的SIR模型，其中S代表易感者（Susceptible）、I代表感染者（Infected）、R代表恢复者（Recovered）。
SIR模型的方程如下：
dS/dt = -βSI dI/dt = βSI - γI dR/dt = γI
其中，dS/dt表示易感者的变化率，dI/dt表示感染者的变化率，dR/dt表示恢复者的变化率。
β是传染率（每个感染者每天感染易感者的平均数），γ是康复率（每天平均恢复的感染者的比例）。
这个方程系统描述了传染病在人群中的传播过程。
首先，易感者和感染者之间的传染率通过βSI来描述。
易感者会被感染者传染，从而变成感染者。
随着时间的推移，感染者受到康复率γ的影响逐渐恢复，成为恢复者。
SIR模型可以用来研究传染病的传播速度、感染峰值以及疫苗接种和社交距离等干预措施对传播的影响。
此外，还可以在模型中引入更多的变量和参数，以更好地描述不同传染病的特性和人群行为。
除了SIR模型，还有其他许多更复杂的传染病动力学方程和模型，如SEIR模型（包括暴露者Exposed）和SI模型（不考虑康复者），用于更精确地研究传染病的传播规律和控制策略的
制定。
这些方程和模型对于公共卫生决策具有重要意义。
传染病预测模型
传染病预测模型传染病一直是全球关注的重要问题之一，疫情爆发往往给社会和经济带来巨大影响。
为了更好地应对传染病的爆发和传播，科研人员们不断研究各种预测模型，以便能够提前预警和采取有效措施。
本文将介绍一些常见的传染病预测模型及其应用。
1. SEIR模型SEIR模型是一种经典的传染病数学模型，它将人群分为易感者(S)，潜伏者(E)，感染者(I)和康复者(R)四个部分。
通过建立SEIR模型，可以更好地理解疫情传播规律，预测传染病的发展趋势。
该模型在预测新冠疫情期间得到了广泛应用，为疫情控制提供了重要参考。
2. SIR模型SIR模型是另一种常见的传染病预测模型，它只考虑了易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三类人群。
SIR模型简单直观，对于疫情爆发初期的预测效果较好。
不过，SIR模型忽略了潜伏期等因素，因此在某些情况下可能存在一定局限性。
3. 数据驱动的除了基于传统数学模型的预测方法，近年来逐渐兴起了数据驱动的传染病预测模型。
通过挖掘大规模的医疗数据和人群流动数据，结合机器学习和人工智能等技术，可以更准确地预测传染病爆发的可能性以及传播路径。
数据驱动的传染病预测模型在应对复杂多变的疫情形势中表现出色。
4. 网络传播模型随着社交网络的普及和信息传播的加速，网络传播模型也成为一种重要的传染病预测工具。
通过构建社交网络关系图，可以模拟疫情在社交网络中的传播路径，及时识别关键节点和热点区域，实现精准防控。
网络传播模型的出现大大提高了传染病预测的精度和实用性。
5. 多模型集成预测在实际应用中，往往会结合多种传染病预测模型进行集成预测，以提高预测准确度和鲁棒性。
不同模型之间相互印证，可以减少因单一模型偏差而导致的预测错误，为政府部门和决策者提供更可靠的预测结果和建议。
综上所述，传染病预测模型在疫情监测和应对中发挥着重要作用。
不断改进和完善预测模型，结合实时数据和科学方法，将有助于提前发现疫情风险，有效防范和控制传染病的扩散，维护公共健康安全。
数学传染病问题公式
数学传染病问题公式数学传染病模型是用来研究传染病演变的方法，其中包括应用数学方程式来研究传染病的流行病的传播。
在研究传染病的过程中，关键的一步就是需要弄清楚传染病模型中的关键公式。
以下是传染病模型中最重要的一些公式：1.SIRS模型公式：SIRS模型是一种流行病传播模型，它表示一个健康池中的四种状态：易感染（S）、感染（I）、康复（R）和受免疫（T）。
它用来指导传染病流行模拟，它有三个不等式来描述：（1） S+I+R+T=N（2）ds/dt= −βSI+γIR+Π(T)（3）di/dt= βSI−γIR−ξI2.SEIR模型公式：SEIR模型是SIRS模型的改进，它用来描述一种传染病的传染过程并包括四种状态：易感染人群（S）、暴露的人群（E）、感染的人群（I）和康复的人群（R）。
该模型包括四个不等式来描述：（1） S+E+I+R=N（2）dS/dt=-βSI+πE（3）dE/dt=βSI−αE−πE（4）di/dt=αE−γI−ξI3.SIS模型公式：SIS模型是比较简单的传染病模型，其中只包括易感染（S）和感染（I）两种状态，该模型刻画了每个人群中感染者的增长和下降过程。
共有两个不等式：（1） S+I=N（2）dS/dt=-βSI+γI4.SIRS epidemic model：SIRS流行病模型是用来描述传染病流行的最简单模型之一，其中包括四种状态：易感染（S）、感染（I）、康复（R）和受免疫（T）。
它有两个不等式：（1） dS/dt=-βSI+γRT（2）di/dt= βSI−γIR−ξI5.MM1 Queue Model：MM1排队模型是一种标准的排队模型，它可以用来表示传染病的高峰度发生的影响。
它使用Lambert W函数来表达病毒的传播速度，它有两个主要的不等式：（1）dL/dt=−αL+βam(L)（2）da/dt=αL−βam(L)M(L)表示Lambert W函数。
综上所述，上述就是传染病模型中重要的一些公式，它们可以用来模拟传染病的流行趋势，这些公式也被广泛应用于疾病管理和控制策略的研究中，为重要的疾病预防和控制工作提供有用的参考资料。
(6数学建模)传染病模型
3.传染者的恢复数正比于传染者的数量NI，比例系 数ν称为恢复率，则平均传染周期为1／ν。若考虑 死亡，则平均传染周期为1／（μ＋ν）。 σ＝λ／（μ＋ν)为一个传染者在其传染周期
内与其他成员的接触总数，称为接触数。
二、SIS模型
SIS模型是最简单的传染模型，人群只分成两类， S类和I类。人员的流动形式：S→I→S，如图
简化可得SIRS模型 S I (t ) SI S
I SI I I R I R I (t ) S I R 1 S 0 0, I 0 0, R0 0
下图显示模型的理论曲线与实际数据
（四）接触数σ的估计
已经看到，在SIS及SIR模型中，传染病是否流行与接 触数σ直接有关，因而有必要估计这个参数。 一般地，初始传染者数量很小，可近似取 I 0 ， 0 故1 R0 S 0 ，则可得
ln( S 0 S ) ( S0 S )
传 染 病 模 型
朱建青 （苏州科技学院信息与计算科学系）
传染病模型
一、记号与假设 二、SIS模型 三、不考虑出生和死亡的SIR模型 四、考虑出生和死亡的SIR模型 五、SEIR模型 六、SIRS模型
一、记号与假设
首先把人群分成以下三类。 S类：易感类（Susceptible） 指未得病，但缺乏免疫，与患病者接触后易受感染。 I类：传染类（Infective） 指已染上传染病，且可能传给S类成员。 R类：排除类（Removal） 指从I类中被隔离或具有免疫力。 S（t）、I（t)、R（t）分别表示t时刻S类、I类、 R类成员占人口总数的比例，故 S（t）＋I（t）＋R（t）＝1。
称为潜伏期，记为
把处于潜伏期内的成员的全体记为E类，用E(t)
传染病数学模型
f (x) 0 的实根 x x0 , 显然也是该方程的解， 称为
方程的平衡点（奇点）
如果存在某个邻域，使得该方程的解在邻域
t
x(t)
x0 ,
则称平衡点 x0 为
稳定点 判定 x0 是否为稳定点， 主要利用直接法
若 f '( x0 ) 0, 则 x0 为稳定点 x '(t) f '( x0 )( x x0 ) 若 f '( x0 ) 0, 则 x0 非稳定点 x(t ) ce f '( x0 )t x0
1s 1 s ln 0
s0 则 i 先单调递增
s 1
i 减小且趋向于零
ds
di
1
s
1
i ss0 i0
dr i
dt
ds si
dt
r 单调递增
i 0
s 单调递减
s0
1
i 减小且趋向于零 s 单调递减至 s
稳定性理论
设微分方程 x'(t) f (x) ，方程右边不显含自变量 t
称之为自治方程。
模型假设
人群中只分为健康人和病人两种 i s n 人群中任何两人的接触是相互独立的。每人 平均每天与 m 人接触。 当一健康人与一病人接触时，健康人被感染 的概率为
接触概率 p
感染概率
p1
接触人数服从二项分布 m (n 1) p
一健康人被一指定病人感染的概率
p1
p
m
n1
一健康人被感染的概率 p2 1 (1 p1 )i
i0
di dt
i(1 i) i
i(0) i0
i(t)
[
( 1 )e( )t ]1 , i0 (t 1 )1,
数学建模传染病模型
常直数至，从此而疾可病以解在释该医地生们s区(t发)消现s失的oe现。1 象r (t )。
k
鉴于在本模型中的r作(t)用 n，1被 i(t) s(t)
infective
医为生揭们示称产为生此上疾述病现在象该的地原区因（3.18）中
的 较第大其的么的（的中阀此所常1值疾有）数。 病 人式通。没。改常kl的有写是引波成一入及：个解到与dd释ti该疾了地k病为i(区种s什类 )有关的
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
dt
li
(2)
（3.18）
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
（3.15）
解得： 其中：
i(t)
co
n
co (n 1)ek(n1)t
1 io
coek
(n1)t
1 io
（3.17）
统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更
接近实际情况。医学上称曲线 为t ~传d此i 染值与病传曲染病的实际高峰期非常
seir模型
seir模型传染病的基本数学模型，研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，以指导对传染病的有效地预防和控制。
常见的传染病模型按照传染病类型分为SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等，按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。
一般把传染病流行范围内的人群分成如下几类：1、S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；2、E 类，暴露者(Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；3、I 类，感病者(Infectious)，指染上传染病的人，可以传播给S 类成员，将其变为E 类或I 类成员；4、R 类，康复者(Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
如免疫期有限，R 类成员可以重新变为S 类。
SIRS 模型如果所研究的传染病为非致死性的，但康复后获得的免疫不能终身保持，则康复者R 可能再次变为易感者S。
此时有总人数S(t) + I(t) + R(t) = N 为常数。
参数α决定康复者获得免疫的平均保持时间。
系统有两个不动点S = N（I = R = 0）或S =γ/ β（I / R = α/ γ）。
前者表示疾病从研究地区消除，而后者则是流行状态。
消除流行病的参数条件是γ> βN。
若做不到，则要尽量减小α而增加γ，使更多人保持对该疾病的免疫力。
根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。
传染病动力学是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性、疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型。
通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过程、揭示流行规律、预测变化趋势、分析疾病流行的原因和关键。
对于2003 年发生的SARS 疫情，国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势，研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用，为决策部门提供参考。
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传染病模型详解2.2.2SI/SIS,SIR经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S，易感染态I和免疫态R。
S态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为，总人数为N，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SIdt Nd I SIt N从而得到dii(1 i)dt对此方程进行求解可得：i(t)i0e tt ,i0（）1i0i0ei0可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S态个体都会遇到I态个体并且传染给对方，网络中的S态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I态个体的减少，网络中S态个数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿的下降，从而自动转变为永不传播的R态。
而有些节点可能会从S态转变I态，因此简单的SI模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS模型和SIR模型。
SIR是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S，I，R态代表传播过程中的三种状态。
Zanetee，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno等人将人群分为S（传播谣言）、I（没有听到谣言），R（对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I个体与S个体接触，以概率(k)变为S个体，S个体遇到S个体或R个体以概率(k)变为R，如图 2.9所示。
建立的平均场方程：di t(k)i(t)s(t)dtds(t) (k)s(t)[s(t )r(t)]dt (k)i(t)s(t)dr(t)r(t)](k)s(t)[s(t)dt与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。
Moreno 等人将此模型推广到幂率分布的网络，考察了 R 态的稳定值和耗散时间，得出R 态稳定值与感染概率(k)有着紧密联系，而与传播源的度 k i 无关。
这与一般意义下的病毒传播的结论“传播各状态的密度与传染源节点的度紧密相连”有很大不同。
SIS 模型与SIS 模型的区别就在于节点成为传播态之后的恢复的状态不同。
在SIR 模型中，传播态节点在传播过程中会根据概率成为免疫状态，而在SIS 模型中每一个传播 节点会以恒值 成为I 态，如图2.10。
从而得到 SIS 模型的微分方程：dsi sidtdisi idt化简得到：i 0(（ )t )ei(t) i 0e ()t从而得到其稳态值为i 11。
若1，那么i(t)指数下降区域零，意味着谣言不再扩散。
在这之后，许多学者在这些经典模型的基础上提出了改进的模型。
如周苗苗等人在经SIR谣模型的基础上研究了社会网络上的谣言传播并构建了数学模型，得出了最终集合As 的期望值的相关结论。
孙庆山等人在经典SIS和SI模型的基础上，研究了社会网络的谣言传播，首次将信息的吸引力作为传播因素引入传播模型中。
Vespignani 提出了网络动力学传播模型，详尽分析了单种群中的动力学过程[31]。
这些模型有的已经摆脱了平均场方程的表达传播过程方法，采用元胞自动机以及随机过程的方法表达，但是思想仍是采用SIR 这样的传播状态和规则。
国内外关于建立网络谣言传播模型方面和网络免疫策略方面的研究已取得了一些有益进展。
ZanetteDH率先在小世界网络上建立谣言传播模型。
MorenoY等人在无标度网络上建立了谣言传播模型，通过随机分析方法以及计算机仿真得出结论。
文献利用构建改进的Potts自旋系统来量化谣言传播因素并建立起基于Potts谣言传播模型。
元胞自动机作为研究传播的方法之一也取得了较多成果。
宣慧玉和张发利用元胞自动机研究了谣言在个体之间流传的的局部交互的过程。
刘常昱等人利用元胞自动机和Agent 设计个体的局部相互作用规则来研究了基于小世界模型构建的人际关系网络中的舆论传播。
除此以外，人们发现谣言传播与网络的拓扑性质也有着密切的联系，汪小帆团队发现网络的聚类系数对传播的影响并给出了相应抑制谣言的策略。
针对各种谣言传播模型的免疫干扰研究也是相对比较成熟。
免疫策略可分为随机免疫，熟人免疫和目标免疫。
随机免疫方法就是完全随机的选取网络中的节点进行免疫。
但在无标度网络中使用随机免疫策略的话，几乎要对网络中所有的节点进行免疫才可能使谣言不得扩散出去。
相对随机免疫的缺陷，目标免疫通过去除网络中少量度大的节点的连边，切断传播的途径来降低谣言的散步范围就更有实际意义，。
虽然目标免疫的效果比较明显，但是要是想目标免疫能够发挥威力就必须知道网络的全局信息从而选择目标节点，而在庞大且复杂的社会网络中获取全局信息是难以做到的。
熟人免疫策略巧妙的回避了这一点，它从N 个节点中随机选取一部分节点，在从每个一个被选出来的节点中随机选取一个邻居节点进行免疫。
但是熟人免疫也存在着局限性，比如随机选取的节点可能会拥有部分共同好友，就会导致免疫的重复和浪费，因此，免疫策略的进一步研究离不开对网络深层次拓扑特征的探索。
近年来网络中重要节点排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagerank的重要节点算法以及K-核算法的提出为网络拓扑结构的进一步研究打下了坚实的基础。
虽然SIR传播模型在许多网络中得到了扩展和研究，也是当前研究的热点，然而却不能准确的表达当前在线社交网络的传播现实，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等，因此根据传播关键因素建立合理的传播模型是当前研究的重点。
第四章基于SIR改进的SHKR 谣言传播模型4.1问题描述与建模4.1.1问题描述在SNS中，当一个好友发布了某消息，好友往往就会以一定的概率将此消息传播出去。
若该好友对其内容不具有传播意愿则成为知道谣言但不会传播的人；若该好友对这则内容相信或感兴趣则会分享，那么此好友就成为传播者；有部分好友，一开始不相信，后来在周围好友多次的传播分享下，意愿受到强化而成为传播者也是很常见的。
考虑到以上的传播规则，本文对传统的谣言传播模型将人群分为传播，免疫和未感染三类进行了改进。
我们把网络中的节点分为传播节点S，健康节点H，知道谣言但不传播的节点K，免疫节点R四种状态。
传播节点表示该节点接受信息并具有传播能力的节点。
健康节点表示没有接触到谣言的节点，对谣言处于未知状态。
知道信息但不传播的节点表示知道了谣言但对谣言没有传播的人。
免疫节点表示永远不会传播谣言的人。
可见，谣言在传播过程中，不仅与节点自身的状态有关，也与节点的邻居节点的状态相关。
传播的规则如下，如图 4.1所示：（1）当谣言传播节点与健康节点接触时，健康节点以概率P变为传播节点S，以概率P1 2 变为接受谣言但不传播的节点K，以概率P3成为免疫者R；（2）当谣言传播节点与知道谣言但不传播的节点接触，作传播节点则以概率P4变为传播节点。
3）传播节点不会一直传播谣言，会以速度v转化为免疫者，v就为遗忘率。
在第二章提到，SIR传播模型虽然应用的比较广研究也较多但是对于当前在线社交网络的中的传播现实却不能准确的表达，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等。
此外，谣言传播与病毒传播明显的区别就在于其多次传播对节点的影响，这点在MIT 斯隆管理学院的博士的实验结果也得到了体现。
斯隆管理学院的博士等在两个不同网络中，每个志愿者分别以邮件的方式邀请好友注册论坛，如果好友完成了注册即会以邮件的方式向他（她）的好友继续发邮件邀请他们注册论坛。
在这次实验中，网络中的一个用户往往会被其周围的好友多次邀请而强化了其注册的意愿。
可见在谣言传播过程中，本来不传播的节点受到社会强化作用变为传播者，所以本文提出了一个新的状态，即知道谣言不传播的状态且在一定的概率作用下会改变为传播节点。
那么在这样的传播机制下，每个节点都会对谣言的传播及相信与否做出自己的选择，这更贴近现实的真实情况，因为并不是每个人听到谣言都会传播。
则基于以上定义：（1）分别定义H(t)，S(t)，K(t)，R(t)为健康者，传播者，知道谣言但不传播者和免疫者的比重。
显然H(t)+S(t)+K(t)+R(t)=1。
（2）在消息传播过程中，不考虑人数的迁入迁出及出生和死亡，即总人数不随时间的改变而改变。
（3）假设总人数为N。
4.1.2数学建模（1）健康者H考察t到t t时间按内各人数的变化情况：N*[H(t t H(t)] ，而每个传播者可以让这段时间内，健康者的人数增加了N*S(t)*(P1P2P3)*H(t)* t由健康者变为其他状态的节点，则可列出满足条件的方程：N*[H(t t) H(t)] N*S(t)*(p1p2p3)*H(t)* t两边同除t，则得到微分方程：dH(t)(p1p2p3)H(t)S(t)dt（2）免疫者R这段时间内，免疫者增加的人数N*[R(t t)R(t)]，每个传播者可以让N*v*S(t)成为免疫者，则可得到微分方程：dR(t)vS(t)p4S k(t)H k(t)(H k(t))dt（3）传播者S这段时间内，传播者增加的人数为N*[S(t) S(tt)]，健康者变为传播者的人数为N*S(t)*p1*H(t)，传播者变为免疫者的人数为N*v*S(t)，知道谣言并不传播者变为传播者的人数为N*S(t）*p4*K(t) ，则可得到微分方程为：dS(t)p1S(t)H(t)p4S(t)K(t)vS(t)dt4）知道但不传播谣言者K这段时间内，增加的人数为N*[K(t t) K(t)]，而健康者变为知道但不传播者的人数为N*（St)*p2*H(t)，而知道谣言但不传播者在这段时间内变为传播者的人数是N*S(t)*p4*K(t)，则得到微分方程为：dK(t)p2S(t)H(t) P4S(t)K(t)dtdH(t)+p2p3)S(t)H(t)(p1dtdR(t）p4S(t)H(t)vS(t)dtdS(t)p4S(t)K(t)vS(t)p1S(t)H(t)dtdK(t)p4S(t)K(t)p2S(t)H(t)dt考虑到传播节点和未感染节点之间不可能始终是均匀分布。
因为考虑到网络的拓扑性质，将上述转化为如下形式，dH k(t)p2p3)S k(t)H k(t)(p1dtdR k(t)vS k(t)kp4S k(t)H k(t)dtdS k(t)p1S k(t)H k(t)p4S k(t)K(t)vS k(t)dtdK k(t)p2S k(t)H(t)p4S k(t)K k(t)dt节点之间的连接概率不可忽视，因此即引入k(t)表示t时刻非传播节点和一个度为k的传播节点为邻居的概率，上述式子可转化为：dH k(t)k(p1dp2p3)S k(t)H k(t)k(t)tdR k(t)(t)kp4S k(t)H k(t)k(t)vS kdtdS k(t)kp1S k(t)H k(t)k(t)kp4S k(t)K(t)k(t)vS k(t)dtdK k(t)kp2S k(t)H(t)k(t)kp4S k(t)K k(t)k(t)dt上式刻画了传播节点，未感染节点，知道不传播节点和免疫节点的密度随时间变化的关系。