传染病的数学模型-数学建模-论文Word版

数

学

建

模

论

文

班级：商英1002班

学号：14号

姓名：谭嘉坤

指导老师：周爱群

由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：

设S k表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，H k表示在开始观察后第k天传染病人的人数，I k表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么

S k+1=S k-0.01S k (1)

H k+1=H k-0.2H k＋0.01S k (2)

I k+1=I k+0.2H k (3)

其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H k(假设该病的患病期为5

(3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k 天后病人痊愈的人数。

将(1)，(2)和(3)式化简得

如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k，H k，I k的值。因此，我们把S k+1，H k＋1，I k+1和S k，H k，I k之间的关系式叫做递推关系式。

现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为

将上述数据(5)代入(4)式右边得

利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。

在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。

在上述模型中，易受感染者每天的发病率是1％，它只与易受感染者的人数S k有关。对于有些传染病，情形更为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数H k有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病率也就越高。这样，就必须将由(1)，(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总数为N，是一个常数。于是，

S k=N-(H k＋I k) (7)

其中I k为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数。设传染病人每天的痊愈率为α，则

I k+1=I k+αH k (8)

最后，假设每天发病人数与易受感染者的人数S k和传染病人的人数

H k均成正比，且其比例因子为β，那么

H k+1=H k+βS k H k-αH k (9)

将(7)，(8)和(9)组合起来，就得到关于S k，H k，I k的递推关系式：

如果已知N，α和β，并给定S0，H0和I0，那么利用上式就可以计算H1和I1，利用H1和I1，由(7)式，可以计算S1，然后计算H2和I2，再计算S2，……这样，(10)式就给出了关于传染病传播的第2个数学模式。

利用数学模型(4)或(10)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。

设ΔS k=S k＋1-S k表示从第k天到第k+1天易受感染者人数的变化，Δ

I k=I k+1-I k表示从第k天到第k＋1天免疫者(或感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式可以看到

ΔS k=-0.01S k≤0

ΔI k=0.2H k≥0

所以易受感染者人数只可能减少不会增加，而免疫者人数只可能增加不会减少。现问对数学模型(10)式来说，易受感染者的人数，免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？

分析：类似于数学模式(4)式的情形，分别计算ΔS k，ΔI k与Δ

H k(=H k+1-H k)，然后加以分析。

解由(10)式得：

ΔS k=N-(H k+1＋I k+1)-[N-(H k+I k)]

=(I k-I k+1)+(H k-H k+1)

=-αH k-βS k H k+αH k

=-βS k H k

所以ΔS k≤0，k=1， 2，…，即易受感染者人数只可能减少不会增加。

因为

ΔI k=I k+αH k-I k

=αH k

所以ΔI k≥0，k=1，2，…，即免疫者人数只可能增加不会减少。

现在设ΔH k=H k+1-H k表示从第k天到第k＋1天传染病人的人数的变化，则由(10)式得

H k=βS k H k-αH k

=(βS k-α)H k，

所以当(βS k-α)＞0时，传染病人的人数第k＋1天比第k天增加；当(βS k-α)＜0时，传染病人的人数相应地减少，也就是说，当易受感染者人数S k“大”时，可使(βS k-α)＞0，从而传染病人的人数增加；当易受感染者的人数S k“小”时，可使(βS k-α)＜0，从而传染病人的人数减少。解一元一次不等式

βS k-α＞0(或βSk-α＜0)

得

如，打预防针等)，那么可以降低发病率从而降低β值。如果发明了一种好的药品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病人每天的痊愈率α。

现在有这样的一个实际问题，有一个药物研究小组提出需要100万元的科研经费在一年内试制某种预防针剂，可使发病率降低从而使β值降低25％，而另一个药物研究小组提出需要100万元的科研经费在一年内试制某种药品，可使痊愈率α提高30%。如果仅有一笔100万元的科研基金可供申请，那么这笔基金应提供给哪一个小组？

对于用药物的方法，α2=(1+30%)α，β2=β，所以

由于C1＞C2，所以这笔基金应提供给试制预防针剂的小组。

注：从传染病传播的数学模型的研究过程中，可以看到建立数学模型的一般过程。