传染病传播的数学模型_上课

微分方程模型

[学习目的]

1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程

的方法及微分方程的求解过程；

2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；

3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法；

4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否

有效；

5.体会微分方程建摸的艺术性。

在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科量的问题可以用微分方程来描述。正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民1972年版第295页）。要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。

§17.1、传染病传播的数学模型

[学习目标]

1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键

性步骤及思维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧；

2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播；

3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。

由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。

以下仅讨论传染病的传播问题。人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与

实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。

传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。

如果一开始就把所有的因素考虑在，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示，读者可以从中得到很好的启发。

模型一 、 考虑最简单的情形：

假设(1)，每个病人在单位时间传染的人数是常数K 0；

假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期不会死亡。记i t ()表示t 时

刻病人数，K 0表示每个病人单位时间传染的人数，i i ()00=，即最初有i 0个传染病人。则在∆t 时间增加的病人数为

i t t i t K i t t ()()()+-=∆∆0

于是得微分方程

⎪⎩⎪⎨⎧==0

0)0()()(i i t i K dt t di (1)， 其解为 i t i e k t ()=00

结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。但由方程(1)的解可以推出，当t →∞时，i t ()→∞，这显然是不符合实际情况的。问题在于两条假设均不合理。特别是假设(1)，每个病人在单位时间传染的人数是常数与实际不符。因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多；而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的。为了与实际情况吻合，我们在原有基础上修改假设建立新的模型。

模型二 、 用i t s t (),()表示t 时刻传染病人数和未被传染人数，i i ()00=。

假设(1)，每个病人单位时间传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即 K Ks t 0=()；

假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期不会死亡；

假设(3)，总人数为n ，即s t i t n ()()+=．

由以上假设得微分方程

di t dt Ks t i t s t i t n i i ()()()

()()()=+==⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪00 (2)

用分离变量法求得其解为 i t n n i e Knt ()=+-⎛⎝ ⎫⎭

⎪-110 (3) 其图形如图17.1所示．

模型二可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。

i(t)

n

i 0 图17.1 图17.2

医学上称)/(t dt di -为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图17.2所示。 由(3)式可得

di dt Kn n i e n i e Knt Knt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦

⎥--2

002111 (4) 令 d i t dt 220()= ，得极大点为 t n i Kn 101=-ln() (5) 由此可见，当传染病强度K 或总人数n 增加时，t 1都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染强度K （K 由统计数据得出），即可预报传染病高峰t 1到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。 模型二的缺点是：当t →∞时，由(3)式可知，i t n ()→，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况的。造成该问题的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。 di dt

0 1t