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高一数学等比数列的前n项和检测考试题

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等比数列的前n项和习题(含答案)

等比数列的前n项和习题(含答案)

[A 基础达标]1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…的前n 项和为( )A ．1＋a （1－a n －1）1－11aB ．1－a n 1－aC.a n ＋1－1a －1 D ．以上皆错 解析：选D.当a ＝1时，S n ＝n ，故选D.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：选C.设{a n }的公比为q ，因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，所以q ＝2，又a 1＝1，所以S 4＝1－241－2＝15，故选C. 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 解析：选A.因为S 3＋3S 2＝0，所以a 1（1－q 3）1－q ＋3a 1（1－q 2）1－q＝0， 即(1－q )(q 2＋4q ＋4)＝0.解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.18B ．－18 C.578 D ．558 解析：选A.法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝（S 6－S 3）2S 3＝18.故选A.法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8× ⎝⎛⎭⎫－182＝18.故选A.5．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30解析：选C.因为S 30≠3S 10，所以q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q ＝10，a 1（1－q 30）1－q ＝130，所以q 20＋q 10－12＝0.所以q 10＝3，所以S 20＝a 1（1－q 20）1－q＝S 10(1＋q 10) ＝10×(1＋3)＝40.6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．解析：因为在等比数列{a n }中，前3项之和等于21，所以a 1（1－43）1－4＝21，所以a 1＝1. 所以a n ＝4n －1. 答案：4n －1 7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1.所以S n ＝a 1＋a 2＋...＋a n ＝2＋22＋ (2)－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 答案：2n ＋1－n －2 8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3＝－2.又a 1＋a 2＋a 3＝a 11－q(1－q 3)＝1， 所以a 11－q ＝13，所以S 15＝a 11－q (1－q 15)＝a 11－q[1－(q 3)5]＝13×[1－(－2)5]＝11. 答案：119．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n ·2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．10．数列{a n }是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，a 2，a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6，所以(1＋d )2＝1×(1＋5d )，所以d 2＝3d ，因为d ≠0，所以d ＝3，所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2a 1＝4， 故b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k 1－4＝4k －13. 令4k －13＝85，即4k ＝256， 解得k ＝4.故正整数k 的值为4.[B 能力提升]11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2，又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12. 12．已知等比数列{a n }的前10项中，所有奇数项之和S 奇为8514，所有偶数项之和S 偶为17012，则S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S 偶S 奇＝q ＝2，S 奇＝a 1[1－（q 2）5]1－q 2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2. 所以S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝a 1q 2·1－q 121－q 3＝585. 答案：58513．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以c (c >0)为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2＋a 4＋…＋a 2n .解：由条件知S 1＝a 1＝1.(1)①当c ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2⇒a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，0，n ≥2.②当c ≠1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，（c －1）c n －2，n ≥2. (2)①当c ＝1时，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝0；②当c ≠1时，数列是以a 2为首项，c 2为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝（c －1）（1－c 2n ）1－c 2＝c 2n －11＋c. 14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6； 因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7.(2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n ，因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×（34）8－68＝824764>80， A 9＝780－210×（34）9－69＝767996<80， 所以须在第9年初对M 更新．。

等比数列的前n项和练习含答案

等比数列的前n项和练习含答案

课 时 作 业 1 1 等 比 数 列 的 前 n 项 和课堂训练10项和为 ( )B ．2－29C ．2－210答案】2．已知数列 {a n }的前 n 项和 S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前 n项和为 ( )（2n ＋1－1）（22n －1）答案】 C解析】 由 S n ＝2n －1 知{a n }是首项 a 1＝1，公比 q ＝2 的等比 数列．所以奇数项构成的数列是首项为 1，公比为 4 的等比数列． 所以此数列奇数项的前 n 项和为 31(22n －1)．3．等比数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＝－ 512，S n ＝－ 341，则时间：45 分钟 满分： 100分1．在等比数列 { a n }( n ∈ N ＋)中，若 a 1＝1， a 4＝ 18，则该数列的前 A ． 2－28D ．2－211解析】 由 a 4＝ a 1q 3＝ q 3＝ 1＝ 2，所以110 21 0＝ 1＝ 2－291－ 1－（2n ＋1－2）（22n －2）公比qn＝【答案】－ 2 10 a1－a n q 1＋512q【解析】由S n＝得＝－341?q＝－2，1－q 1－q再由a n＝a1·q n－1?n＝10.4．已知｛ a n｝是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9 成等比数列．(1)求数列｛a n｝的通项；(2)求数列｛2 a n｝的前n项和S n.【解析】本题考查等差与等比数列的基本性质，第一问只需设出公差d，从而得到关于 d 的方程式求解，第二问直接利用等比数列前n 项和公式即可求得．1＋2d 解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得11＋8d＝，解得d＝1，d＝0(舍去)，故｛ a n｝的通项a n＝1＋(n－1)×1 1＋2d＝n.(2)由(1)知2a n＝2n，由等比数列前n 项和公式得n S n＝2＋22＋23＋⋯＋2n＝＝2n2 1－2＋1－2.1－2课后作业一、选择题(每小题 5 分，共40分)1．已知等比数列的公比为2，且前 5 项和为1，那么前10 项和2．设 f(n)＝2＋24＋27＋210＋⋯＋23n ＋1(n ∈N ＋)，则 f(n)等于( ) (8n － 1) (8n ＋1－1)(8n ＋3－ 1)(8n ＋4－1)答案】 B解析】 依题意， f(n)是首项为 2，公比为 8 的等比数列的前 n ＋1 项和，根据等比数列的求和公式可得．3．已知等比数列的前 n 项和 S n ＝4n ＋a ，则 a 的值等于 ( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1【答案】 B【解析】 ∵S n ＝4n ＋ a ，∴a n ＝S n －S n －1(n ≥2)＝4n ＋a －(4n －1＋a)等于 ( )A ．31 C ．35【答案】 B B ．33 D ．37解析】S5＝a 1 1－q 5 ＝a 1 1－25 ＝1 1－ q 1－2a 11. 31.a 1∴S 10＝ 1－q 101－q1 31 1－210 1－2＝33，故选 B.＝3C ．S n ＝4－3a n【答案】 D D ．S n ＝3－2a n＝3·4n －1(n ≥2)．当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝4＋a ， 又∵{ a n }为等比数列，∴3×41－1＝4＋a ，解得 a ＝－1.4．设 S n 为等比数列 {a n }的前 n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S S 5＝( ) A ．11 C ．－ 8【答案】 DB ．5 D ．－11解析】 设数列的公比为 q ，则 8a 1q ＋a 1q 4＝0，解得 q ＝－2， a 1 1－q 5S 5＝ 1－qS2 a 1 1－q 21－q52＝－ 11，故选D. 1－q 21－q25．(2013 ·新课标Ⅰ文 )设首项为 1，公比为 3的等比数列 {a n }的前n 项和为 S n ，则 ( )A ． S n ＝ 2a n －1B ．S n ＝3a n －2 解析】 由题意得，an＝2 2 21－n1－n－12 n－11－3 1－ 3 3(3)n－1，S n＝21－3＝3－ 2a n ，选 D.6．在等比数列 {a n } 中， a 9＋a 10＝a(a ≠0)，a 19＋ a 20＝b ，则 a 99＋ a 100 等于 ( )B ．(b a )9 D ．(b a )10【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知a 9＋a 10，a 19＋ a 20， ⋯，a 99＋a 100 成等比数列．且首项为 a(a ≠0)，公比为 a b .a7．某商品零售价 2008年比 2006年上涨 25%，欲控制 2009年比 2006年上涨 10%，则 2009年应比 2008年降价( )A ．15%B ．12%C ． 10%D ．5%【答案】 B【解析】 设 2006年售价为 a 元．则 2008年售价为 a(1＋25%)元， 2009 年售价为 a(1＋10%)元．则 2009 年应比 2008 年降价：a 1＋25% －a 1＋ 10%a 1＋ 25%∴a 99＋a 100＝a(ba )10－1b 9＝a 8.∴应降低12%，选 B.8．等比数列 {a n }共有 2n ＋1 项，奇数项之积为 100，偶数项之积 为 120，则 a n ＋1＝ ( )C ． 20D ．110【答案】 B【解析】 设公比为 q ，由题知： S 奇＝a 1·a 3·⋯·a 2n ＋1＝100，S 偶 ＝ a 2·a 4·⋯·a 2n ＝ 120，二、填空题 (每小题 10分，共 20 分)9．设等比数列 { a n }的公比 q ＝1 2 32，前 n 项和为 S n ，则a S4＝_________________________________________________________【答案】 15解析】 因为数列 { a n }是公比为 q 的等比数列，且 S 4＝a 1＋a 2a 4 a 4 a 4S 4 1 1 1＋a 3＋a 4＝q 34＋q 24＋q 4＋a 4，所以a44＝q 3＋q 2＋q ＋1＝15.110．在等比数列 { a n }中， a 1＝14，在前 2n 项中，奇数项的和为，偶数项的和为时， n 的值为 ____ ．【答案】 5S 奇 a 3·a 5·a 7·⋯ ·a 2n ＋ 1 S 偶 a 2·a 4·a 6·⋯·a 2n5＝n∴a 1q56， 5即 a n ＋1＝ 6，故选 B.解析】 S 偶由 q ＝S 奇，得 q ＝2.当 q ≠1 时，由通项公式及前 n 项和公式得规律方法】 解决此类问题，要抓住两个方面，一是注意对公 比 q 的取值进行分类讨论； 二是要准确利用相关公式把已知条件转化 为关于 a 1 与 q 的方程或方程组求解．12．(2013 ·湖南文，19)设 S n 为数列{a n }的前 n 项和，已知 a 1≠0,2a n －a 1＝ S 1·S n ，n ∈N ＋.(1)求 a 1，a 2，并求数列 {a n } 的通项公式； (2)求数列{ na n }的前 n 项和．1n1－4n 4 1－ 4341又 S ＝ ＝ ，∴n ＝ 5.＝4，三、解答题 (每小题 20 分，共 40 分．解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤 )3911．在等比数列 { a n }中，已知 a 3＝2，S 3＝2，求 a 1与分析】 先检验 q ＝1 是否满足；然后列出关于 a 1，q 的方程 组进行求解．解析】 ∵a 3＝32，S 3＝92，当 q ＝1 时，a 1＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝3×32 9 9∴适合题意；＝2，a 1q 2＝32， a 1 1－q 3 91－q＝2，a 1＝6，1 q ＝－2.综上知 a 1＝32，q ＝1或 a 1＝6，q ＝－ 2.【分析】(1)用赋值法求出a1、a2，再用a n＝S n－S n－1(n≥2)，求出a n；(2)用错位相减法可求出{ na n}的前n 项和．【解析】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a12，因为a1≠ 0，所以a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2 时，由2a n－1＝S n,2a n－1－1＝S n－1 两式相减得2a n－2a n －1＝a n，即a n＝2a n－1，于是数列{ a n}是首项为1，公比为 2 的等比数列，因此，a n＝2n－1.所以数列{a n} 的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知，na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n 项和为B n，于是B n＝1＋2×2＋3×22＋⋯＋n×2n－1，① 2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋⋯＋n×2n.②①－②得－B n＝1＋2＋22＋⋯＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而B n＝1＋(n－1) 2·n.【规律方法】本题主要考查了由递推公式求通项式，由a n＝S n －S n－1(n≥2)，求通项及错位相减法．在运用a n＝S n－S n－1(n≥2)时，一定别忘记“ n≥2”这一条件．在用错位相减法时别忘记把S n 的系数化为 1.。

高中数学五2第2课时等比数列的前n项和检测(教师)

高中数学五2第2课时等比数列的前n项和检测(教师)

2.5等比数列的前n项和（2)一、选择题1．数列a n＝错误!，其前n项之和为错误!,则项数n为（)A．12 B．11 C．10 D．9答案：D2．已知等比数列｛a n｝的首项为1，公比为q,前n项和为S n，则数列错误!的前n项和为（）A.错误!B．S n q n－1C．S n q1－n D.错误!解析：数列错误!的首项为1，公比为错误!,它的前n项和为T n＝错误!＝错误!，又S n＝错误!,所以T n＝错误!·S n＝q1－n·S n.答案：C3．数列{a n}的通项公式a n＝错误!,则该数列的前________项之和等于9。

（）A．99 B．98 C．97 D．96解析：a n＝错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝（错误!－错误!)＋(错误!－错误!）＋…＋（错误!－错误!)＝错误!－1.令错误!－1＝9⇒n＋1＝100，所以n＝99.答案：A4．数列错误!，错误!,错误!，…，错误!，…的前n项和为（）A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：因为错误!＝错误!错误!,得前n项和S n＝错误!(错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!)＝错误!错误!＝错误!。

答案:B5．已知数列｛a n}的前n项和为S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3),则S15＋S22－S31的值是（）A．13 B．－76 C．46 D．76解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.答案：B二、填空题6．求和:1错误!＋3错误!＋5错误!＋…＋错误!＝______________．解析：S n＋1＝［1＋3＋…＋(2n＋1)］＋错误!＝n2＋2n＋2－错误!错误!.答案：n2＋2n＋2－错误!错误!7．已知数列｛a n｝的通项公式为a n＝log2(n2＋3)－2,那么log23是这个数列的第________项．解析:令a n＝log23⇒log2（n2＋3)－2＝log23⇒n2＋3＝12，所以n2＝9,n＝3。

《等比数列前n项和》同步训练题

《等比数列前n项和》同步训练题

实用文档《等比数列前n 项和》同步训练题一、选择题1、已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为 （ ） A. nn S q B. n n q S C. 11-n n q S D. 121-n n q a S2、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为 （ ）A. b a 81,8B. b a 641,64 C. b a 1281,128 D. b a 2561,2563、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ）A. 54B. 64C. 3266D. 32604、已知等比数列{}n a 中，132-⨯=n n a ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和为 （ ）A. 13-nB. ()133-nC.()1941-n D. ()1943-n5、若等比数列{}n a 的前n 项和r S n n +=2，则=r （ ）实用文档A. 2B. 1C. 0D. 1-6、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值为 （ ）A. a 41.1B. a 51.1C. ()a 11.1105-D. ()a 11.1115-7、在等比数列{}n a 中，55,551==S a ，则公比q 等于 （ ）A. 4B. 2C. 2-D. 2-或48、在等比数列中，3,6432321-=++=++a a a a a a ，则=++++76543a a a a a （ ） A.811 B. 1619 C. 89 D. 43二、填空题9、已知实数c b a ,,成等差数列，4,1,1+++c b a 成等比数列，且15=++c b a 。

求c b a ,,。

实用文档10、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求公比q 。

高一数学等比数列的前n项和练习_3

高一数学等比数列的前n项和练习_3

高一数学等比数列的前n 项和练习一、选择题1.在等比数列｛a n ｝中，S 4=2,S 8=6,a 17+a 18+a 19+a 20等于( )A.32B.16C.35D.1622.已知等比数列｛a n ｝的公比q=31，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于( ) A.100 B.80 C.60 D.403.一个等比数列，它的前n 项和S n =ab n +c ，其中a 、b 、c 为常数且a ≠0，b ≠0且b ≠1，则a 、b 、c 必须满足( )A.a+b=0B.b+c=0C.a+c=0D.a+b+c=04.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 10=10，S 20=30，则S 30等于( )A.70B.90C.100D.1205.一个等比数列｛a n ｝的首项为a 1=2，公比q=3，从第m 项到第n 项(m ＜n)的和为720，则m 的值为( )A.3B.4C.5D.66.数列｛a n ｝是由实数构成的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ，则数列｛S n ｝中( )A.任一项均不为0B.必有一项不为0C.至多有有限项为0D.或无一项为0，或有无穷多项为07.计算机成本不断降低,若每隔5年计算机价格降低31,现在的价格是8100元,则15年后,价格降低为( ) A.2200元 B.900元 C.2400元 D.3600元8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1的前n 项和S n 等于( )A.2nB.2n -nC.2n+1-n-2D.n-2n9.一个等比数列｛a n ｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n+1为( ) A.56 B.65 C.20D.110 10.已知等比数列｛a n ｝中，a n =2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和为( )A.3n -1B.3(3n -1)C.419-nD. 4)19(3-n 二、填空题1.已知lgx+lgx 2+…+lgx 10=110,则lgx+(lgx)2+…+(lgx)10= .2.在等比数列｛a n ｝中，若S n =93,a n =48，公比q=2，则n= .3.S=1+a+a 2+a 3+…+a 10= .4.等比数列首项为2，公比为3，从前 项的和开始大于100.三、解答题1.已知等比数列｛a n ｝的首项a 1＞0，公比q ＞0.设数列｛b n ｝的通项b n =a n+1+a n+2(n ∈N +)，数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分别为A n 与B n ，试比较A n 与B n 的大小.2.已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ,2k a ,…, n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 的值.3.设数列｛a n ｝的前n 项和S n =2a n -4(n ∈N +)，数列｛b n ｝满足：b n+1=a n +2b n ，且b 1=2，(1)求通项a n .(2)求｛b n ｝前n 项的和T n .【素质优化训练】2.数列｛a n ｝为等比数列，项数为偶数且各项为正数.如果该数列所有项的和为偶数项的和的4倍，且a 2·a 4=9(a 3+a 4).问数列｛lga n ｝的前多少项的和最大?数列综合1、在首项为81，公差为-7的等差数列｛a n ｝中，最接近零的是笫 （ ）A 、11项B 、12项C 、13项D 、14项2、等比数列的前n 项和S n =a3n +1,则a 的值是 （ ）A 、全体实数B 、-1C 、1D 、33、lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是x ，y ，z 成等比数列的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件4、等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和S n 、T n 且S n /T n =（3n+2）/（2n+3）则a 7/b 7= （ ）A 、23/17B 、41/29C 、2/3D 、3/25、数列1，1+2，1+2+22，……，1+2+22+……+2n-1，……的前n 项和是S n = （ ）A 、2nB 、2n -n 2n+1-n D 、2n+1-n-26、设｛a n ｝的公差为-2的等差数列,如果a 1+a 4+a 7+……+a 97=50，则a 3+a 6+a 9+……+a 99= ( )A 、-82B 、82C 、-132D 、857、已知数列｛a n ｝中,a 3=12，a n+1=2a n /（a n +2），则a 8= .8、等比数列｛a n ｝中，a 3=12，a 5=48，则a 8= .9、在等差数列｛a n ｝中，S 5=10，S 10=15，则S 15= .10、下列各命题中正确的命题是 .1) 等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 是关于n 的且常数项是零的二次函数；2) 若｛a n ｝成等比数列，则a m a n =a p a q 的充要条件是m+n=p+q ；3) 等比数列｛a n ｝中，a 3=2S 2+1，a 4=2S 3+1，则公比q=3;4) 等差数列｛a n ｝中，a n=26-2n ，则S n 最大时，n=13.11、在等差数列｛a n ｝中，S 15=90，S 30=-2701)求a 1，d ；2)n 为何值时，S n =20；3)第几项为负数？4)n 为何值，S n 最大？12、等差数列｛a n ｝中，S 3+S 6=2S 9，求公比q.13、设有数列｛a n ｝，a 1=5/6，若以a 1，a 2，……，a n 为系数的二次方程：a n-1x 2-a n x+1=0（n ∈N +且n ≧2）都有根α，β，且满足3α-αβ+3β=1.1)证明：｛a n -1/2｝是等比数列； 2)求a n ； 3)求｛a n ｝的前项和S n.一、 选择题：1. 在首项为81，公差为－7的等差数列{}n a 中，最接近零的是第( )A ．11项B ．12项C ．13项D ．14项2. 等比数列的前n 项和13+⋅=n n k S ，则k 的值是( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．33. 在等比数列{}n a 中，首项01<a ，则{}n a 是递增数列的充要条件是公比q 满足( )A ．q>1B ．q<1C ．0<q<1D ．q<04. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．295. 随着科技发展计算机价格不断降低，每年计算机价格降低31，2000年价格为8100元的计算机，2004年价格可降为( )A ．1800B ．1600C ．900D ．3006. 等差数列{}n a 中，1a ＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是( ) A ．11a B ．10a C ．9a D ．8a7. 在等比数列{}n a 中，若3a ，9a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是( ) A ．3 B ．±3 C ．3± D ．以上答案都不对．8. 将正偶数按下表排成4列：第1列 第2列 第3列 第4列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24…… 28 26则2000在( )A ． 第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第4列 ．二、 填空题：9. 数列1，1，2，2，3，3，4，4，……的一个通项公式是 ．10. 已知数列{a n }的通项公式a n =9-2n ，则| a 1|+| a 2|+…+| a 20|= ．11. 制造某机器配件的一道工序是：用汽锤把厚度为a 厘米的金属工件锻造成厚度不多于原厚度的83％的工件．现知汽锤每冲击一次后，工件的厚度就比这次冲击前的厚度降低3％，则至少需冲击 次．（lg83＝1.9191，lg97＝1.9868）12. 设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且存在正整数t ，使得对所有正整数n ，有2n n a t tS +=，则S n 等于 ．三、 解答题：13. 数列{}n a 是等比数列，1a ＝8，设n n a b 2l o g =（n N +∈），如果数列{}n b 的前7项和7S 是它的前n 项和组成的数列{}n S 的最大值，且7S ≠8S ，求{}n a 的公比q 的取值范围．14. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n =5S n －3 (n ∈N)，求a 1+a 3+…+a 2 n －1的值．15. S n ，S 2n ，S 3n 表示一个等比数列的前n 项和，前2n 项，前3n 项的和．已知S n =a ，S 2n =b ，试用a ，b 表示S 3n ．16. 某地今年年初有居民住房面积为a m 2,其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？（2）依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？下列数据供学生计算时参考：。

2.4等比数列与等比数列的前n项和习题卷(含答案)

2.4等比数列与等比数列的前n项和习题卷(含答案)

2.4等比数列与等比数列的前n项和姓名______班级_______一、选择题1.已知数列{a n}是等比数列，且a1=18，a4=−1，则{a n}的公比q为()A. 2B. −12C. −2 D. 122.已知等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a5=()A. 1B. 12C. 14D. 43.等比数列{a n}中，a4=4，则a2⋅a6等于()A. 4B. 8C. 16D. 324.已知各项为正数的等比数列{a n}中，a2=1，a4a6=64，则公比q=()A. 4B. 3C. 2D. √25.已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3等于()A. 16B. 8C. −16D. −86.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3，S4=15，则S6=()A. 31B. 32C. 63D. 647.等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为()A. 81B. 120C. 168D. 1928.已知数列{a n}满足a2=2，2a n+1=a n，则数列{a n}的前6项和S6等于()A. 6316B. 6312C. 638D. 6349.在等比数列{a n}中，若a3，a7是方程x2−5x+2=0的两根，则a5的值是()A. √2B. ±√2C. −√2D. ±210.等比数列{a n}共有2n+1项，其中a1=1，偶数项和为170，奇数项和为341，则n=()A. 3B. 4C. 7D. 911.已知{a n}的前n项和S n=n2−4n+1，则|a1|+|a2|+⋯+|a10|=()A. 68B. 67C. 61D. 60二、填空题12.若1，m，4成等比数列，则m=___________．13.数列{a n}满足a n+1=3a n，且a2=6，则首项a1=______，前n项和S n=______．14.在等比数列{a n}中，已知a1=−1，公比q=2，则该数列前6项的和S6的值为______ ．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1=1，a4=8，则a3=______，S5=______．16.设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a6a3=−12，则S6S3=______．17.已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和S n，若S n=2，S3n=14，则S6n=______ ．三、解答题18.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．(1)求证：数列{a n+1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；答案和解析1.【答案】C【解析】由a4a 1=q 3=−8⇒q =−2，故选：C ．由已知的题意利用等比数列的通项公式建立关于公比的方程即可． 此题主要考查了等比数列基本的通项公式及解公比时方程的思想，属基本量的计算问题． 2.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，是基础题．利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出a 5的值． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，∴{a 1+a 1q 2=10a 1q +a 1q 3=5, 解得a 1=8，q =12， a 5=a 1q 4=8×116=12． 故选B ．3.【答案】C【解析】解：a 2⋅a 6=a 42=16 故选：C ．由a 4=4是a 2、a 6的等比中项，求得a 2⋅a 6 本题主要考查等比中项． 4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等比数列的通项公式列方程组，能求出公比． 【解答】解：∵各项为正数的等比数列{a n }中，a 2=1，a 4a 6=64， ∴{a 1q =1a 1q 3⋅a 1q 5=64，且q >0， 解得a 1=12，q =2， ∴公比q =2． 故选：C ． 5.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由题意结合等比数列的求和公式可得a 1的方程，解方程可得a 1，由通项公式可得答案． 【解答】解：由等比数列的前n 项和求和公式(公比q ≠1) 可得S 4=a 1(1−24)1−2=60，解得等比数列{a n }的首项a 1=4， 则a 3=a 1q 2=4×22=16． 故选Ａ． 6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，属于中档题．由S 2=3，S 4=15可求得q 2=4，然后根据S 2=a 1+a 2，S 6−S 4=a 5+a 6=(a 1+a 2)q 4，代入数据计算即可． 【解答】解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q由S 2=3，S 4=15可得{a 1(1−q 2)1−q=3a 1(1−q 4)1−q=15,解得q 2=4，又S 2=a 1+a 2，S 6−S 4=a 5+a 6=(a 1+a 2)q 4， 即S 6−15=3×16 解得S 6=63． 故选C ． 7.【答案】B【解析】【分析】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列前n 项和公式化简求值，是一道中档题．根据等比数列的性质可知a 5a 2等于q 3，列出方程即可求出q 的值，利用a 2q 即可求出a 1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列前n 项和公式即可求出{a n }的前4项和． 【解答】解：因为a 5a 2=2439=q 3=27，解得q =3，又a 1=a 2q=93=3，则等比数列{a n }的前4项和S 4=3(1−34)1−3=120．故选：B ． 8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．推导出数列{a n }是首项为4，公比为12的等比数列，由此能求出S 6．【解答】解：∵数列{a n }满足a 2=2，2a n+1=a n ， ∴a n+1a n=12，∴a 1=a 212=4，∴数列{a n }是首项为4，公比为12的等比数列， ∴S 6=a 1[1−(12)6]1−12=4(1−164)12=638．故选：C ． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 【解答】解：∵a 3，a 7是方程x 2−5x +2=0的两根， ∴a 3⋅a 7=2，a 3+a 7=5>0， ∴a 3>0，a 7>0． ∴a 5>0．∴a 5=√a 3a 7=√2． 故选A ． 10.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，为基础题．等比数列的奇数项、偶数项都为等比数列，利用偶数项来表示奇数项，求得q ，进而求解n ． 【解答】解：由题意可得：a 2+a 4+⋯+a 2n =170，1+a 3+a 5+⋯+a 2n+1=341，即a 3+a 5+⋯+a 2n+1=340， ∴q(a 2+a 4+⋯+a 2n )=170q =340， 解得q =2， ∴1−4n+11−4=341，解得n =4，故选B ． 11.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的求和，属于中档题．由数列的前n 项和公式，求出通项公式，判断正负，然后取绝对值求和． 【解答】解：∵{a n }的前n 项和S n =n 2−4n +1， ∴当n =1时，a 1=S 1=−2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2−4n +1) −[(n −1)2−4(n −1)+1]=2n −5， ∴当n =2时，a 2=−1，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|=|−2|+|−1|+|1|+|3|+...+|15|=2+1+(1+3+⋯+15)=3+8×(1+15)2=67．故选B ．12.【答案】±2【解析】【分析】本题主要考查等比数列的定义和性质，，根据等比数列的定义建立方程即可得到结论． 【解答】解：∵1，m ，4成等比数列， ∴1×4=m2， 解得x =±2， 故答案为±2．13.【答案】2；3n −1【解析】解：∵数列{a n }满足a n+1=3a n ，且a 2=6， ∴a n+1a n =3，∴a2a 1=6a 1=3，解得a 1=2．∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n =2(1−3n )1−3=3n −1．故答案为：2，3n −1． 由已知条件得a n+1a n=3，由此能求出a 1=2.从而昨到{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，进而能求出前n 项和S n ．本题考查数列的首项和前n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14.【答案】−63【解析】【分析】根据等比数列前n 项的和公式进行计算即可．本题主要考查等比数列的应用，求出等比数列前n 项的和公式是解决本题的关键． 【解答】解：∵{a n }是等比数列，a 1=−1，公比q =2， ∴S n =a 1(1−q n )1−q， 则S 6=−1(1−26)1−2=−63．故答案为：−63． 15.【答案】4 31【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q.∵a1=1，a4=8，∴q3=8，解得q=2．则a3=22=4，S5=1−251−2=31．故答案为：4，31．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】12【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则a6a3=q3=−12，所以，S6S3=a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=1−q61−q3=1+q3=1+(−12)=12．故答案为：12．设该等比数列的公比为q，由已知条件得出q3=−12，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案．本题考查等比数列的通项和求和公式，解决本题的关键就是利用公比来表示题中的已知量，同时考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】126【解析】【分析】设各项均为正数的等比数列{a n}的公比等于q，利用等比数列的前n项和公式化简已知的两等式，可求出q n与a11−q的值，然后再利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子，变形后将求出的q n与a11−q的值代入即可求出值．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比等于q，∵S n=2，S3n=14，∴a1(1−q n)1−q =2，a1(1−q3n)1−q=14，解得：q n=2，a11−q=−2．则S6n=a11−q(1−q6n)=−2(1−64)=126．故答案为126．18.【答案】(1)证明：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，即a n+1+1a n+1=2(常数)，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)知{a n+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2，∴a n+1=2×2n−1=2n，∴a n=2n−1．【解析】本题考查了等比数列的判断，等比数列的通项公式，裂项法求和，属于中档题．(1)递推式两边同时加1即可得出结论;(2)根据(1)的结论求出a n+1，从而得出a n;。

等比数列及其前n项和 测试题 练习题

等比数列及其前n项和 测试题 练习题

等比数列及其前n 项和 测试题A 级 基础题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________．2．设数列{a 2n }前n 项和为S n ，a 1＝t ，a 2＝t 2，S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，则{a n }是________数列，通项a n ＝________.3．已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ·a q ，若a 2＝4，则a 9＝________.4．(2011·泰州模拟)数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝2，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为________．6．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为________．7．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1－1，n ∈N *，则b 2 011＝________. 8．设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数；a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，且a ≠3. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式．10．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋k n }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．B 级 综合题1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.2．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值为________．3．在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.4．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.5．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1125的最小正整数n 是________．6．已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2，2a 4＝b 3，且存在常数α，β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 时成立，则αβ＝________.7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．(1)若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数 列{b n }是否为“和等比数列”；(2)若数列{c n }是首项为c 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，试探究d 与c 1之间的关系． 参考答案 A 组1，解析 设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，前n 项和为S n ，由a 1＝1，a 5＝16，得q 4＝a 5a 1＝16，所以q ＝2，从而得S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝127.答案 1272. 解析 由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0， 得S n ＋2－S n ＋1＝t (S n ＋1－S n )， 所以a n ＋2＝ta n ＋1，所以a n ＋2a n ＋1＝t ，又a 2a 1＝t ，所以{a n }成等比数列，且a n ＝t ·t n －1＝t n .答案 等比 t n3. 解析 令p ＝n ，q ＝1，得a n ＋1＝a n ·a 1，又a n ＞0，所以{a n }是公比为a 1的等比数列，所以a n ＝a n 1.又a 2＝4，所以a n ＝2n ，a 9＝29＝512.答案 5124. 解析 由a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.又q ＞0，所以q ＝2，a 1＝1. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案 155. 解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.答案 56. 解析 由等比数列的性质，得4＝a 2·a 4＝a 23(a 3＞0)，所以a 3＝2，所以a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由⎩⎨⎧a 1q 2＝2，a 1()1＋q ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a n ＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4. 于是由a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a 3n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123(n －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －3＞19，得n －3≤1，即n ≤4. 答案 47. 解析 由题意得b 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1＋2a 1－1－1＝3，b n －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1－1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1－1＝2(b n ＋1)－1＝2b n ＋1， ∴b n ＋1＋1＝2(b n ＋1)，故b n ＋1＋1b n ＋1＝2，故数列{b n ＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴b n ＋1＝2n＋1，∴b n ＝2n ＋1－1.答案 22 012－18. 解 (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)因为a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14≠0，b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14.猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下：因为b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1＋14－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)，所以{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．9. 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ， 由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．因此{b n }以a －3为首项，2为公比的等比数列． 因此，所求通项公式为 b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2. 又a 1＝S 1＝a ，所以a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋(a －3)2n －2，n ≥2. 10. 解 (1)因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根． 又公差d ＞0， 所以a 2＜a 4.所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.(2)由1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(3)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n . 假设存在常数k ，使数列{S n ＋k n }为等差数列， 由等差数列通项公式，可设S n ＋k n ＝an ＋b ，得2n 2＋(k －1)n ＝an 2＋2abn ＋b 恒成立，可得a ＝2，b ＝0，k ＝1. 所以存在k ＝1使得{S n ＋k n }为等差数列． B 组1. 解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54， ∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12. ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 312. 解析 由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33. 答案333. 解析 因为{a n }是等比数列，所以a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100成等比数列，从而得a 99＋a 100＝b 9a 8.答案 b 9a 84. 解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴x n ＋1x n ＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100＝100. 答案 1005. 解析 由3a n ＋1＋a n ＝4得，a n ＋1－1＝－13(a n －1)(运用构造数列法)，∴{a n －1}是以a 1－1＝8为首项，以－13为公比的等比数列，所以a n －1＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，所以a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＋1. 所以S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＋n ＝8×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n1＋13＋n ＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n×6＋n ，所以|S n －n －6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ×6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n×6＜1125，即3n ＞750. 将n ＝5,6,7代入验证符合题意的最小正整数n ＝7. 答案 76. 解析 由题意，可设a n ＝2＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，于是由⎩⎨⎧a 2＝b 2，2a 4＝b 3，得⎩⎨⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2，解得⎩⎨⎧d ＝2(d ≠0)，q ＝4，所以a n ＝2n ，q ＝22n －2，代入a n ＝log αb n ＋β，得2n ＝(2n －2)log α2＋β，即2n (1－log α2)＝β－2log α2，所以⎩⎨⎧log α2＝1，β－2log α2＝0，解得⎩⎨⎧α＝2，β＝2.故αβ＝22＝4. 答案 47. (1)证明 由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5， 故b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1 ＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2， 所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14， 所以a n ＝(3n －1)·2n －2.8. 解 (1)因为数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，因此，b n ＝2n －1，设数列{b n }前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n ＝4.因此数列{b n }是“和等比数列”．(2)设数列{c n }的前n 项和为R n ，且R 2nR n＝k (k ≠0)，则由{c n }是等差数列，得R n ＝nc 1＋n (n －1)2d ，R 2n ＝2nc 1＋2n (2n －1)2d ，所以R 2nR n＝2nc 1＋2n (2n －1)2d nc 1＋n (n －1)2d＝k .对于n ∈N *都成立，化简得 (k －4)dn ＋(k －2)(2c 1－d )＝0， 则有⎩⎨⎧(k －4)d ＝0，(k －2)(2c 1－d )＝0.因为d ≠0，所以k ＝4，d ＝2c 1. 因此，d 与c 1之间的等量关系为d ＝2c 1.。

等比数列的前n项和典型例题含解答

等比数列的前n项和典型例题含解答

倒序相加法
总结词
将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。
详细描述
首先将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。这种方法适 用于公比q满足q≠1的情况。
错位相减法
总结词
将等比数列的一项乘以公比的负一次方 后错位相减，得到一个等差数列，再求 和。
VS
详细描述
$frac{a_5}{a_4} = frac{32}{-16} = 2$
由于相邻两项之比相等， 所以这个数列是等比数列。04CHAPTER
等比数列前n项和的实际应 用
在金融中的应用
贷款还款
等比数列前n项和公式常用于计算 贷款的分期还款额，例如房屋贷 款、汽车贷款等。
投资回报
在投资领域，等比数列前n项和公 式可用于计算复利，即投资的利 息或收益会逐年增长。
化。
元素周期表
元素周期表中的元素按照原 子序数排列，形成等差数列 ，而元素的某些性质则可能 呈现等比数列的变化趋势。
05
CHAPTER
等比数列前n项和的练习题 及答案
练习题一及答案
题目：求等比数列 1, 2, 4, 8, ... 的前n项和。
等比数列的前n项和公式为
将 $a_1 = 1$ 和 $r = 2$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
等比数列的前n项和公式为
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$
在此添加您的文本16字
将 $a_1 = frac{1}{2}$ 和 $r = frac{1}{2}$ 代入公式，得 到
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{frac{1}{2}(1 - (frac{1}{2})^n)}{1 frac{1}{2}} = 1 - (frac{1}{2})^n$

【优质文档】等比数列的前n项和精选练习题

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A ． 2n 1 2
B ． 3n
C． 2n
D． 3n 1
9．已知数列 { an} 满足 a1 1 ， an 1 |1 an | 2an 1 ，其前 n 项和为 Sn ，则下列说法正确的个数
为①数列 { an} 是等差数列；②数列 { an} 是等比数列；③ an
3n
2
；④
Sn
3n 1 3
．
2
A ．0
1
A．
2
1
B．
2
3 ， S3
9
，则公比
q
2
2
1 C． 1或
2
1 D．1或
2
5．已知数列 { an } 是各项均为正数的等比数列， a1 2 ，设其前 n 项和为 Sn ，若 a1 ， a2 4 ， a3 成
等差数列，则 S6
A ． 728
B ． 729
C． 730
D． 731
6．已知等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 a3
14．已知 { an } 为等比数列， a4 a7 2 ， a2a9 8 ，则 a1 a10 ______________．
15．已知 Sn 表示正项等比数列 { an} 的前 n 项和．若 a2 6 ，a3a5 576 ，则 S10 的值是 __________ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
{ bn} 的前 5 项和为 30 ，且 b7
2
14 ．
（ 1）求数列 { an} ， { bn} 的通项公式；
（ 2）求数列 { anbn} 的前 n 项和 Tn ．
21 ．已知等比数列
{ an} 的前 n 项和为
S6 Sn ，且 S3

等比数列前n项和基础测试题

等比数列前n项和基础测试题

等比数列前n 项和基础测试题一、单选题1．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝（ ） A ．135B ．100C ．95D ．802．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若23428a a a =，且71189a a -=，则5S =（ ）A ．33B ．93C ．-33D ．-93 3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列．若11a =，则3S =（ ）A ．15B ．7C ．8D ．16 4．等比数列{}n a 中，首项1a ＝8，公比q ＝12，那么它的前5项和5S 的值等于( ) A ．15.5 B ．20 C ．15 D ．20.75 5．已知数列{}n a 的前n 项为和n S ，且24n n S a =-，则63S S =（ ） A ．5 B ．132 C ．172D ．9 6．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1a ，3S ，4S 成等差数列，则2q q -=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．27．已知数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为（ ） A ．0 B ．n C ．1na D ．1n a 8．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则54S a =（ ） A ．2 B ．4C ．318D ．314 9．已知数列{}n a 满足2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n N ∈，且对任意*n N ∈都有12111...nt a a a +++<，则t 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（ ）里.A ．950B ．1055C ．1164D ．225753211．已知数列{}n a 满足21n n a =-，则31422111n na a a a a a +++⋅⋅⋅+=---（ ） A ．11132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．11134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11122n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11124n ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，638a a =，63S kS =，则实数k 的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．已知数列{}n a ，0n a >，它的前n 项和为n S ，且22a 是14a 与3a 的等差中项.若{}n a 为等比数列，11a =，则7S =______.14．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________.15．计算239111112392222⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯________ 16．数列{}n a 中11a =，13n n a a +=，*n N ∈.若其前k 项和为40，则k =__________.三、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且()2639S S S -=. （1）若1d =-，求{}n a 的通项公式；（2）若51a <，612a <<，求数列{}12n d -⨯的前10项和10T 的取值范围.19．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 5＝5，S 5＝15．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设a n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和.21．已知公差不为0的等差数列{a n }前9项之和945S =，且第2项，第4项，第8项成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n b = a n+112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n a S n +=++（n *∈N ）． （1）求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T （n *∈N ）．参考答案1．A【分析】由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为603=402， 所以a 7＋a 8＝3340()1352⨯=.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和基本量的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为23428a a a =，且71189a a -=， 所以232226118189a q a a q a ⎧=⎨-=⎩，解得123q a =⎧⎨=⎩， 所以()()5151313293112a q S q -⨯-===--. 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的求和公式与通项公式即可，属于基础题型.3．B【分析】通过14a ，22a ，3a 成等差数列,计算出{}n a ，再计算3S【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列即221344442a a a q q q =+⇒=+⇒=12n n a31231247S a a a =++=++=故答案选B【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差中项，前N 项和，属于常考题型.4．A【分析】由等比数列的前n 项和公式求解即可.项数较少且数据简单，也可直接求出各项再求和.【详解】方法一：()55151811215.5.1112a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===-- 方法二:51234584210.515.5.S a a a a a =++++=++++=【点睛】本题考查等比数列的前n 项和.熟记公式，准确计算是解题的关键.5．D【分析】先根据已知求出数列的通项，再求解.【详解】当1n =时，11124S a a ==-，可得14a =；当2n ≥且*n N ∈时，()()111242224n n n n n n n a S S a a a a ---=-=--=--，得12n n a a -=，故数列{}n a 为等比数列，首项为4，公比为2.所以12n n a +=⋅ 所以866533242492424S a S a --===--. 故选D【点睛】本题主要考查项和公式求数列通项，考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B【分析】根据题意，得到4331S S S a -=-，即423a a a =+，进而可求出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的公比为q ，由1a ，3S ，4S 成等差数列可得4331S S S a -=-，即423a a a =+，即210q q --=．故选：B ．【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和基本量的运算，涉及等差中项的应用，属于基础题型. 7．C【分析】根据等差数列的定义和等比数列的定义可得数列{}n a 为常数列，由此可求出答案．【详解】解：∵数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，∴()*1122,n n n a a a n n N-++=≥∈，211n n n a a a -+⋅=，且0n a ≠， ∴()2112n n n n a a a a ---⋅=，即221120n n n n a a a a ---⋅+=，∴1n n a a -=，∴这个数列为常数列，∴其前n 项和为1na ，故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，属于基础题．8．C【分析】利用等比数列的前n 项和公式以及等比数列的通项公式即可求解.【详解】()()()5155533341111231111228a q S q q a a q q q ----====--⨯ 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式以及等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 9．D【分析】由2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅，得2(1)12312n n a a a a --⋯=，两式相除可得212n n a -=，从而可得数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为12 ，公比为1 4，进而可求出12111...n a a a +++的值，可得答案【详解】∵数列{}n a 满足2123(2*)n n a a a a n N ⋯=∈，1n ∴= 时，122a n =≥； 时，2(1)12312n n a a a a --⋯= ，可得212n n a -= . 21112n n a -∴= ，数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为12 ，公比为1 4 . 1211(1)11121224(1)134314n n n a a a -∴++⋯+==-<-.∵对任意*n N ∈ 都有12111...n t a a a +++<，则t 的取值范围为2[)3+∞，． 故选：D.【点睛】此题考查等比数列的前n 项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题 10．D【分析】利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由题意，设该匹马首日路程为1a ，公比12q =，7700S =， 71112700112a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-， 解得1350128127a ⨯=， 所以21141122257513212a S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-. 故选：D【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.11．A【分析】 由数列通项公式可得21132nn n a a +=-⋅，应用等比数列前n 项和公式求和即可. 【详解】 由题意知：221112232n n nn n a a ++==--⋅，∴23142211111111111112211322233212n n n n n a a a a a a +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-.故选：A【点睛】 本题考查了由已知数列通项公式求新数列通项，应用等比数列前n 项和公式，属于简单题. 12．A【分析】由{}n a 为等比数列，可设首项和公比为1a 和q ，由638a a =可得：38q =，又由63S kS =可得：6311(1)(1)11a q a q k q q--=--，代入即可得解. 【详解】由{}n a 为等比数列，可设首项和公比为1a 和q ，由638a a =可得：38q =，又由63S kS =可得：6311(1)(1)11a q a q k q q--=--，整理化简可得： 31+q k =，即得：9k =，故选：A【点睛】本题考查了等比数列基本量的运算，考查了等比数列通项公式和求和公式，属于简单题. 13．127【分析】根据已知条件列出方程，计算即可得解.【详解】因为数列{}n a 中，22a 是14a 与3a 的等差中项.所以21344a a a =+，由0n a >，可得：244q q =+，解得2q，又11a =，所以777122112712S -==-=-.故答案为：127. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题. 14【分析】由423S S =可知公比1q ≠，所以直接利用等比数列前n 项和公式化简，即可求出q 【详解】 解：因为423S S =，所以1q ≠， 所以4121(1)13(1)1a q qa q q--=--，所以4213(1)q q -=-，化简得22q =， 因为等比数列{}n a 的各项为正数，所以0q >，所以q =【点睛】此题考查等比数列前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题 15．1013512【分析】利用乘公比错位相减法，求数列12n n ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前9项和即可. 【详解】239111112392222S =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，2341011111123922222S =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②， ①-②得：92391010111111111122991222222212S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯- 91010111110131911024222=--⨯=-=， 所以1013512S =， 故答案为：1013512. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能看出所求的式子是数列12n n ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前9项和，利用乘公比错位相减法即可求. 16．4 【分析】根据等比数列的定义可知数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 中11a =，13n n a a +=，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列； 所以()1134013k k S ⨯-==-，所以3=81k，所以4k=.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和前n 项和公式的应用，属于基础题. 17．（1）21n a n =-；（2）1(31)2n- 【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可； （2）根据等比数列求和公式直接求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ， 因为1124351,10,a b a a b a ==+==， 所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴=因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n 项和131(31)132nn n S -==-- 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18．（1）6n a n =-+；（2）()1023,2046. 【分析】（1）由()2639S S S -=，得()()224565539a a a a a ++==，可求出5a 的值，再结公差1d =-可求出1a ，进而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由51a <结合（1）中求出的5a ，可得50a =，由612a <<可求出12d <<，利用等比数列的前n 项和公式求出101023T d =，从而可求出其范围. 【详解】（1）由()2639S S S -=，得()()224565539a a a a a ++==， 则50a =或51a =.当50a =时，14a =，则5n a n =-+； 当51a =时，15a =，则6n a n =-+.（2）因为51a <，所以50a =，所以65a a d d =+=. 因为612a <<，所以12d <<.因为()910101212212T d d -=+++=⨯-()10211023d d =-=， 所以10T 的取值范围为()1023,2046. 【点睛】此题考查了等差数列的基本量计算，考查分类思想，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了计算能力，属于基础题.19．(1) n a n =；（2）+122n n T =-.【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由已知得出方程组515145545152a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解之得通项； （2）由已知根据对数运算得2nn b =，根据等比数列的定义可得数列{b n }的是首项为2,公比为2的等比数列.由等比数列的求和公式可得答案. 【详解】解:(1)设等差数列的公差为d ，则515145545152a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解之得111a d =⎧⎨=⎩， 所以数列{a n }的通项公式为11(1)n a n n =+⨯-=； （2）2log ,22n a n n n n a b n b ==∴==，由此可得111122 2.22n n n n b b b ++====，数列{b n }的是首项为2,公比为2的等比数列. 因此，可得{b n }前n 项和()+12122212n n n T -==--.【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式等知识点，属于中档题. 20．（1）12n n a ，（2）21nn S =-.【分析】（1）由2a ，31a +，4a 成等差数列可得32422a a a +=+，然后结合公比为2求出1a 即可；（2）直接根据公式求出答案即可. 【详解】（1）因为数列{}n a 是公比为2的等比数列，且2a ，31a +，4a 成等差数列 所以32422a a a +=+，所以1118228a a a +=+，解得11a = 所以12n na（2）122112nn n S -==--【点睛】本题考查的是等差中项的应用、等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于基础题.21．（1）n a n =;（2）n T 214122n n n -++=-【分析】（1）根据945S =，248,,a a a 成等比列两个方程，求出首项和公差，求得通项公式. （2）用分组求和法求和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 公差为()d d ≠0，由已知有12428989452a d a a a ⨯⎧+=⎪⎨⎪=⎩ ， 得()()()121119364537a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，得()11936450a d d a d +=⎧⎨-=⎩,又0d ≠， 解得11a d ==，故n a n =，所以数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）由（1）有11()2n n b n -=+ ，则21111(123)(1)222n n T n -=+++++++++=11()(1)21212n n n -++-214122n n n -++=-，即数列{}n b 的前n 项的和n T 214122n n n -++=-【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，等比数列的前n 项和公式，数列的分组 求和法.22．（1）21nn a =-; （2）n T 11121n +=--.【分析】（1）用代入法求出23,a a ，再根据n a 与n S 的关系，得递推关系121n n a a +=+，再求出n a ， 注意验证n =1时是否符合求出的通项公式n a . （2）用裂项相消法求和. 【详解】解：（1）由11a =，11n n a S n +=++，令1n =得2111a S =++3=， 令2n =得3221a S =++7=，即233,7a a ==. 由11n n a S n +=++………………………………………① 则当2n ≥时，111n n a S n -=+-+……………………②①-②可得11n n n a a a +-=+，得121n n a a +=+，得112(1)n n a a ++=+， 故{1}n a +(2)n ≥是首项为214a +=，公比为2的等比数列，则2142n n a -+=⋅，整理得21n n a =-(2)n ≥，当1n =时，11211a =-=，也符合公式，故21nn a =-（n *∈N ）, 即数列{}n a 的通项公式21nn a =-.(2)11n n n a a a ++12(21)(21)n n n +=--1112121n n +=---,故n T 111111(1)()()3372121n n +=-+-++---11121n +=--， 即n T 11121n +=--.【点睛】本题考查了n S 与n a 之间的关系，根据递推公式推导通项公式，裂项相消法求和.。

高中数学《等比数列及其前n项和》(训练)(含答案)

高中数学《等比数列及其前n项和》(训练)(含答案)

§6.3等比数列及其前n项和1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .知识拓展等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．[P51例3]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．[P54A 组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 题组三 易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．题型一 等比数列基本量的运算1．(2018·开封质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.182．(2018·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．题型二 等比数列的判定与证明典例 (2018·潍坊质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式．思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.题型三 等比数列性质的应用1．(2019·郑州三模)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．(2019·云南省十一校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( ) A ．40 B ．60 C ．32 D ．50 思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．1．(2019福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．332．(2019·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.233．(2019·张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．164．(2019·山西太原三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋15．(2019·广元模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．5B ．9C ．log 345D ．106．(2018·长春质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里7．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________. 8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.11．(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .13．(2019·新乡三模)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________. 14．(2018·徐州质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝________.15．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4＝a3，则使得T n>1的n的最小值为()A．4 B．5 C．6 D．716．(2017·武汉市武昌区调研)设S n为数列{a n}的前n项和，S n＋12n＝(－1)n a n(n∈N*)，则数列{S n}的前9项和为________．§6.3 等比数列及其前n 项和（答案）题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编2．[P51例3]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．[P54A 组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－qa 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)． 答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).题型一 等比数列基本量的运算1．(2018·开封质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.2．(2018·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________. 答案 2n －1解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．题型二 等比数列的判定与证明典例 (2018·潍坊质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.题型三 等比数列性质的应用1．(2019·郑州三模)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 D解析 ∵a 6＋a 8＝4，∴a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 8a 6＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16.故选D.2．(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( ) A ．40 B ．60 C ．32 D ．50 答案 B解析 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N *)．[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．(2019·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 2．(2019·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.3．(2019张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4＝4. 4．(2019山西太原三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋1 答案 D解析 由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3，当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1.5．(2019广元模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．5B ．9C ．log 345D ．10 答案 D解析 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9， 则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.6．(2018·长春质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，由题意得a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.7．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________. 答案 4解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝12，S 2＝a 1＋a 2＝3， ∴a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝123＝4，q ＝2或q ＝－2(舍去)，∴a 3＋a 4＝a 3(1＋q )＝3a 3＝12，a 3＝4.8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案 4解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴数列{a n }的前n 项和为1－2n 1－2＝2n－1.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， 又a 1＝12， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n . 11．(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1≠0，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .13．(2017·新乡三模)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.答案 3n －1＋12解析 ∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 14．(2018·徐州质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________.答案 43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2 解析 由题意，得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1 ＝43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2.15．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6，故选C.16．(2019·武汉市武昌区调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋12n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{S n }的前9项和为________．答案 －3411 024解析 因为S n ＋12n ＝(－1)n a n ， 所以S n －1＋12n －1＝(－1)n －1a n －1(n ≥2)． 两式相减得S n －S n －1＋12n －12n －1＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1，即a n －12n ＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1(n ≥2)， 当n 为偶数时，a n －12n ＝a n ＋a n －1， 即a n －1＝－12n ， 此时n －1为奇数，所以若n 为奇数，则a n ＝－12n ＋1； 当n 为奇数时，a n －12n ＝－a n －a n －1， 即2a n －12n ＝－a n －1， 所以a n －1＝12n －1，此时n －1为偶数， 所以若n 为偶数，则a n ＝12n . 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数，12n ，n 为偶数.所以数列{S n }的前9项和为S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 9＝9a 1＋8a 2＋7a 3＋6a 4＋…＋3a 7＋2a 8＋a 9＝(9a 1＋8a 2)＋(7a 3＋6a 4)＋…＋(3a 7＋2a 8)＋a 9＝－122－124－126－128－1210 ＝－122×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1451－14＝－3411 024.。

等比数列单元测试题+答案

等比数列单元测试题+答案

一、等比数列选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （ ）A ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -2．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．63．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1B ．2±C ．2D ．2-4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞06．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ）A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >10．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 11．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞13．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．12214．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±15．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1016．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6417．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列18．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．619．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11620．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ）A ．3B ．505C ．1010D ．2020二、多选题21．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---22．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+24．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >25．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 26．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2827．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++28．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516S =C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+ 29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T30．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 32．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121nn nq nq nq q q ++--- D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---33．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1134．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为251235．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==， 因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D. 2．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 3．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 6．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 7．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B. 8．C【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 9．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 10．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 11．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 12．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a13．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =， 故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =， 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 14．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 15．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9.16．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 17．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24n n a =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 18．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C 19．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C二、多选题21．BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S n S n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题, 22．BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24nn a =，数列{}2na的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 23．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22pa =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确；由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确； 38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 24．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 25．BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 26．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 27．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 28．AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 29．ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 30．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 31．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 32．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）,2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q ++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅, 所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---, 故选：BD【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.33．AB【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1）＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212nn -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019；当n ＝10时，T n ＝2036＞2019．∴n 的取值可以是8，9．故选：AB【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.34．AB【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111n i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451n i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．ACD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36， ∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

等比数列前n项和高考解答题试题精选

等比数列前n项和高考解答题试题精选

等比数列前n项和高考解答题试题精选一．解答题（共30小题）1．（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．2．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．3．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．4．（2017•山东）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1=b n b n+1，求数列的前n项和T n．5．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．6．（2017•天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．7．（2017•天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．8．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．9．（2016•山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．10．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；11．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．12．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．14．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．15．（2016•北京）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（2016•天津）已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．18．（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．22．（2015•浙江）已知数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．23．（2015•山东）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．24．（2015•天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．25．（2015•福建）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．26．（2015•北京）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？27．（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．28．（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．29．（2014•新课标Ⅰ）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．30．（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{b n}满足b1=4，b4=20．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．等比数列前n项和高考解答题试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．2．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，a n=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n=（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n===﹣（2+（﹣2）n+1），=﹣（2+（﹣2）n+2），S n+2=﹣（2+（﹣2）n+3），则S n+1+S n+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣由S n+12）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2S n，即S n+S n+2=2S n，+1，S n，S n+2成等差数列．∴S n+13．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．4．（2017•山东）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1=b n b n+1，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）记正项等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以a n=2n；（2）因为{b n}为各项非零的等差数列，=（2n+1）b n+1，所以S2n+1又因为S2n=b n b n+1，+1所以b n=2n+1，=，所以T n=3•+5•+…+（2n+1）•，T n=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：T n=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．5．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．6．（2017•天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．7．（2017•天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．8．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴a n=；（Ⅱ）∵b n=[a n]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4．故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．9．（2016•山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，=b n﹣1+b n，∴a n﹣1∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．10．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．11．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1=b n．即3b n+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．12．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，两式相减得a n+1即a n=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．14．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n﹣1）a n﹣2a n+1=0，+1当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；﹣1）a n﹣2a n+1=0，（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）=0，即有a n=2a n+1或a n=﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n=2a n+1，故数列{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，则a n=1×（）n﹣1=n﹣1，故a n=n﹣1．15．（2016•北京）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．16．（2016•天津）已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴b n﹣b n=1．+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．18．（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n=3n﹣1+3，﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．19．（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．20．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． ∴a 1+a 4=9，a 1a 4=a 2a 3=8．解得a 1=1，a 4=8或a 1=8，a 4=1（舍）， 解得q=2，即数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1； （2）S n ==2n ﹣1，∴b n ===﹣，∴数列{b n }的前n 项和T n =+…+﹣=﹣=1﹣．21．（2015•新课标Ⅰ）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式： （Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．【解答】解：（I ）由a n 2+2a n =4S n +3，可知a n +12+2a n +1=4S n +1+3 两式相减得a n +12﹣a n 2+2（a n +1﹣a n ）=4a n +1， 即2（a n +1+a n ）=a n +12﹣a n 2=（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）， ∵a n ＞0，∴a n +1﹣a n =2， ∵a 12+2a 1=4a 1+3， ∴a 1=﹣1（舍）或a 1=3，则{a n }是首项为3，公差d=2的等差数列， ∴{a n }的通项公式a n =3+2（n ﹣1）=2n +1： （Ⅱ）∵a n =2n +1， ∴b n ===（﹣），∴数列{b n }的前n 项和T n =（﹣+…+﹣）=（﹣）=．22．（2015•浙江）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，b 1=1，a n +1=2a n （n ∈N *），b 1+b 2+b 3+…+b n =b n +1﹣1（n ∈N *）（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，a n+1=2a n，得．由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，b1+b2+b3+…+=b n﹣1，和原递推式作差得，，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，两式作差得：，（n∈N*）．23．（2015•山东）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，∴a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，令c n=，则c n==[﹣]，∴c1+c2+…+c n﹣1+c n=[﹣+﹣+…+﹣]=[﹣]==，又∵数列{}的前n项和为，∴，∴a1=1或﹣1（舍），d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）知b n=（a n+1）•2=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，∴T n=b1+b2+…+b n=1•41+2•42+…+n•4n，∴4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，两式相减，得﹣3T n=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣，∴T n=．24．（2015•天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，【解答】解：（1）∵a n+2∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．25．（2015•福建）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．26．（2015•北京）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等27．（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．∴．28．（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．29．（2014•新课标Ⅰ）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．30．（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{b n}满足b1=4，b4=20．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．∵等比数列{b n}满足b1=4，b4=20，∴4q3=20，解得q=，∴b n=4×（）n﹣1．（2）∵等比数列{b n}中，，∴数列{b n}的前n项和S n==．。

高中数学等比数列的前n项和检测考试题(有答案)

高中数学等比数列的前n项和检测考试题(有答案)

高中数学等比数列的前n项和检测考试题（有答案）2.3.2等比数列的前n项和第二课时优化训练1．各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记作Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于()A．150B．－200C．150或－200 D．400或－50解析：选A.根据等比数列前n项和的性质可知，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，且公比为q10，利用等比数列的性质可得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，所以S220－10S20－600＝0，解得S20＝－20或S20＝30.因为S20＝S10(1＋q10)＞0，所以S20＝30.再次利用等比数列的性质可得(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，求得S40＝150. 2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t5n－2－15，则实数t 的值为()A．4 B．5C.45D.15解析：选B.由Sn＝t255n－15得t25＝15，t＝5.3．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(nN)，则f(n)等于()A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)C.27(8n＋3－1)D.27(8n＋4－1)解析：选B.依题意，f(n)是首项为2，公比为8的前n＋1项求和，根据等比数列的求和公式可得．4．(2009年高考全国卷Ⅱ)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.解析：由题意知{an}的公比q不为1，又由S6＝4S3得a11－q61－q＝4a11－q31－q，解得q3＝3，a4＝a1q3＝13＝3.答案：35．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且1＋2d＋q4＝21，1＋4d＋q2＝13.解得d＝2，q＝2，所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.(2)anbn＝2n－12n－1.Sn＝1＋32＋522＋…＋2n－32n－2＋2n－12n－1，①2Sn＝2＋3＋52＋…＋2n－32n－3＋2n－12n－2.②②－①，得Sn＝2＋2＋22＋222＋…＋22n－2－2n－12n－1 ＝2＋2(1＋12＋122＋…＋12n－2)－2n－12n－1＝2＋21－12n－11－12－2n－12n－1＝6－2n＋32n－1. 1．(2019年永安高二检测)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于()A．50 B．70C．80 D．90解析：选B.由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)得q3＝12，a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝10，前9项之和等于40＋20＋10＝70.2．已知数列{an}为等比数列，若a8a4＝2，S4＝4，则S8等于()A．12 B．24C．16 D．32解析：选A.由题意知q4＝2，S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.3．某人为了观看2019年奥运会，从2019年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2019年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]解析：选D.2019年存入的a元到2019年所得的本息和为a(1＋p)7，2019年存入的a元到2019年所得的本息和为a(1＋p)6，依此类推，则2019年存入的a元到2019年的本息和为a(1＋p)，每年所得的本息和构成一个以a(1＋p)为首项，1＋p为公比的等比数列，则到2019年取回的总额为a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝a1＋p[1－1＋p7]1－1＋p＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．4．设数列{an}是公比为a(a1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，则点(Sn，Sn＋1)()A．在直线y＝ax－b上B．在直线y＝bx＋a上C．在直线y＝bx－a上D．在直线y＝ax＋b上解析：选D.由题意可得，Sn＝b1－an1－a，Sn＋1＝b1－an ＋11－a＝ab1－an1－a＋b＝aSn＋b，点(Sn，Sn＋1)在直线y ＝ax＋b上．5．等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于()A．2 B．4C．2 D．4解析：选C.a8a15＝a10a13＝a11a12＝2，由{an}为递减数列，舍去－2.6．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从2019年1月起，到2019年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{an}，若逐月累计的产值Sn＝a1＋a2＋…＋an满足Sn＝101an－36，则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)()A．12.66% B．12.68%C．12.69% D．12.70%答案：B7．已知等比数列前n项和为Sn，S10S5＝3132，则数列的公比为________．解析：设该数列的公比为q，显然q1.由S10S5＝3132＝a11－q101－qa11－q51－q＝1＋q5.解得q＝－12.答案：－128．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.解析：由题意S2n＝－240，S奇－S偶＝80，得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝2.答案：29．数列{an}中，an＝2n－1n为正奇数，2n－1n为正偶数.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________.解析：S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.答案：37710．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an＝5Sn－3(nN＋)，求数列{an}的通项公式．解：an＝5Sn－3，①a1＝5S1－3＝5a1－3，a1＝34.n2时，an－1＝5Sn－1－3 ②①②两式相减an－an－1＝5an，an＝－14an－1故{an}为首项为34，公比为－14的等比数列，an＝34－14n－1.11．(2009年高考浙江卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn ＝kn2＋n，nN＋，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的mN＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k 的值．解：(1)当n＝1，a1＝S1＝k＋1，n2，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋n－[k(n－1)2＋(n－1)]＝2kn－k ＋1，(*)经验证，n＝1时(*)式成立，an＝2kn－k＋1.(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，a22m＝ama4m，即(4km－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理得，mk(k－1)＝0，对任意的mN＋成立，k＝0或k＝1.12．某家用电器一件现价2019元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.008121.1)解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝1.00812－11.008－1x.又所购电器的现价及其利息之和为20191.00812，于是有1.00812－11.008－1x＝20191.00812.解得x＝161.008121.00812－1176(元)．一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高中数学等比数列的前n项和综合测试题(附答案)

高中数学等比数列的前n项和综合测试题(附答案)

高中数学等比数列的前n项和综合测试题（附答案）
高中数学等比数列的前n项和综合测试题（附答
案）
等比数列的前ｎ项和同步练习
例题分析：
例1．若数列的通项为，则该数列的前n项和是多少？
例2．已知等比数列的各项均为整数，它的前n项和为80，其中最大的一项为54，又前2n项和为6560，求此数列的通项公式。

练习
1．在等差数列中，已知 ,则前9项之和等于 ( )
A．56 B．64 C．72 D．80
2．在递增的等比数列中，，，则（）
A．-364 B．364 C．108 D．243
3．数列的前项和，则（）
A．1385 B．-99 C．69200 D．1399
4．已知等差数列{ }的公差＝，，则等于（）
A．120 B．145 C．150 D．170
5．等差数列中，，，则此数列前n项和的最大值是（）A．112 B．116 C．117 D．115
6．等差数列中，已知则的值等于（）
A．11 B．14 C．17 D．22
7．在等比数列中，，，则（）
（2）某人在2019年将33万元存如银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%，按复利计算，那么5年到期时这笔钱连本带息够不够买一辆B型车？。

北师大版高中数学必修五高一数学《等比数列的前n项和》练习卷.docx

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高一数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．②n n m n m S S q S +=+⋅． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．一、选择题：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a-- B ．111n a a +-- C ．211n a a +-- D ．以上均不正确 2、若数列的前n 项和为()10nn S a a =-≠，则这个数列是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列 C ．等比或等差数列 D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n S q -D ．n q S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）A ．41.1aB ．51.1aC ．()5101.11a -D ．()2111.11a - 6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ）A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．1929、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）A ．180B ．108C ．75D ．63 10、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 二、填空题：11、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________． 12、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．13、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则n S =_____________． 14、若数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．15、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________． 三、解答题16、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．17、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值．18、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．19、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式．。

等比数列的前n项和练习题

等比数列的前n项和练习题

等比数列的前n项和练习1、设Sn 是数列{an}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，设bn=Sn﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{bn }是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn =2log2bn﹣+2，求数列{cn}的前n项和Tn．2、已知数列{an }的前n项和Sn=，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =lnan，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．3、数列{an }满足a1=1，a2=r（r＞0），令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设cn =a2n﹣1+a2n．（1）求证：cn=（1+r）•q n﹣1；（2）设{cn }的前n项和为Sn，求的值；（3）设{cn }前n项积为Tn，当q=﹣时，Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，Tn取到最小值．4、已知等比数列{an }的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（n∈N*），且S2，S 4，S3成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=Sn﹣（n∈N*），求bn的最大值与最小值．5、等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）若－=3，求。

6、对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．（1）设()，若是向量组的“向量”，数的取值围；（2）若()，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知均是向量组的“向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与()关于点对称，求的最小值．7、已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列．求数列的通项公式；已知（），记，若对于恒成立，数的围．8、已知各项都为正数的等比数列的前n项和，数列的通项公式，若是与的等比中项。

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2.3.2 等比数列的前n 项和第二课时 优化训练1．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记作S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：选A.根据等比数列前n 项和的性质可知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，且公比为q 10，利用等比数列的性质可得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，所以S 220－10S 20－600＝0，解得S 20＝－20或S 20＝30.因为S 20＝S 10(1＋q 10)＞0，所以S 20＝30.再次利用等比数列的性质可得(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，求得S 40＝150.2．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )A ．4B ．5 C.45 D.15解析：选B.由S n ＝t 25·5n－15得t 25＝15，∴t ＝5. 3．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析：选B.依题意，f (n )是首项为2，公比为8的前n ＋1项求和，根据等比数列的求和公式可得．4．(2009年高考全国卷Ⅱ)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.解析：由题意知{a n }的公比q 不为1，又由S 6＝4S 3得a 11－q 61－q ＝4·a 11－q 31－q，解得q 3＝3，∴a 4＝a 1q 3＝1·3＝3. 答案：35．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a nb n}的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋32＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×(1＋12＋122＋…＋12n －2)－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.1．(2011年永安高二检测)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90解析：选B.由a 4＋a 5＋a 6＝q 3(a 1＋a 2＋a 3)得q 3＝12，∴a 7＋a 8＋a 9＝q 3(a 4＋a 5＋a 6)＝10， ∴前9项之和等于40＋20＋10＝70.2．已知数列{a n }为等比数列，若a 8a 4＝2，S 4＝4，则S 8等于( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32 解析：选A.由题意知q 4＝2， ∴S 8＝S 4＋q 4S 4＝S 4＋2S 4＝3S 4＝12.3．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.ap [(1＋p )7－(1＋p )] D.ap[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7，2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a 1＋p [1－1＋p 7]1－1＋p ＝ap[(1＋p )8－(1＋p )]．4．设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，则点(S n ，S n ＋1)( )A ．在直线y ＝ax －b 上B ．在直线y ＝bx ＋a 上C ．在直线y ＝bx －a 上D ．在直线y ＝ax ＋b 上解析：选D.由题意可得，S n ＝b 1－a n 1－a ，S n ＋1＝b 1－a n ＋11－a＝a ·b 1－a n 1－a＋b ＝aS n ＋b ，∴点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝ax ＋b 上．5．等比数列{a n }是递减数列，其前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8·a 15等于( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4解析：选C.a 8·a 15＝a 10·a 13＝a 11a 12＝±2，由{a n }为递减数列，舍去－2.6．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从2008年1月起，到2010年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{a n }，若逐月累计的产值S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 满足S n ＝101a n －36，则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)( )A ．12.66%B ．12.68%C ．12.69%D ．12.70% 答案：B7．已知等比数列前n 项和为S n ，S 10S 5＝3132，则数列的公比为________．解析：设该数列的公比为q ，显然q ≠1.由S 10S 5＝3132＝a 1·1－q 101－q a 1·1－q51－q ＝1＋q 5. 解得q ＝－12.答案：－128．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意S 2n ＝－240，S 奇－S 偶＝80，得S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝2.答案：29．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1n 为正奇数，2n －1n 为正偶数.设数列{a n }的前n项和为S n ，则S 9＝________.解析：S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝377. 答案：37710．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式．解：a n ＝5S n －3， ① a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，∴a 1＝34.n ≥2时，a n －1＝5S n －1－3 ② ①②两式相减a n －a n －1＝5a n ，∴a n ＝－14a n －1故{a n }为首项为34，公比为－14的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1.11．(2009年高考浙江卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N ＋，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N ＋，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． 解：(1)当n ＝1，a 1＝S 1＝k ＋1，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝kn 2＋n －[k (n －1)2＋(n －1)]＝2kn －k ＋1，(*)经验证，n ＝1时(*)式成立， ∴a n ＝2kn －k ＋1.(2)∵a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴a 22m ＝a m ·a 4m ，即(4km －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 整理得，mk (k －1)＝0，对任意的m ∈N ＋成立，∴k ＝0或k ＝1.12．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)解：设每期应付款x 元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x (1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x (1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x (1＋0.008)11＋x (1＋0.008)10＋…＋x ＝1.00812－11.008－1x .又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1≈176(元)．所以每期应付款176元．。

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