中考数学圆的综合(大题培优)含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x

=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x

=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN

∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

2

452

3602ππ

⨯

=．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=1

2（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

考点：旋转的性质.

2．图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．

发现：

（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；

（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．

拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．

（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；

（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在NP上．

（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．

【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【解析】

【分析】

发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性

质可得OD=A'H=1

2

A'N=

1

2

MN=2可判定A′C与半圆相切；

（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则

可知NO′=1

2

MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；

（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【详解】

发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,

∵⊙O的半径为2，AB=23，

∴OH=22

OB HB

-=22

2(3)1

-=

在△BOH中，OH=1，BO=2

∴∠ABO=30°

∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

∴∠OBA′=∠ABO=30°

∴∠ABA′=60°

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．∴OG=1

2

OB=1．∴3．