专题17.1 勾股定理

合集下载

[数学]-专项17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】(举一反三)(人教版)(原版)

专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】【人教版】【题型1 勾股定理的运用】 (1)【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3 勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4 勾股定理解动点问题】 (4)【题型5 勾股定理的验证】 (5)【题型6 直角三角形的判定】 (7)【题型7 勾股数问题】 (8)【题型8 格点图中求角的度数】 (9)【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 (10)【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A ．32B ．74C ．2D ．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC 中AB ＝AC ＝10，BC ＝16，若∠BAD ＝3∠DAC ，则CD ＝．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝30，D 是AC 上一点，AD ：CD ＝25：7，且DB ＝DA ，过AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 长是．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC 边上的高为12．则△ABC 的面积为（） A ．24或84B ．84C ．48或84D ．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是（） A ．42B ．32C ．42或32D ．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（） A ．30B ．√119+17C ．√119+17或30D ．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，AB ＝5．点P 在直线AC 上，且BP ＝6，则线段AP 的长为．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A ．225B ．250C ．275D ．300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12 D ．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝40cm ，AC ＝30cm ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm /s 的速度运动．则当运动时间t ＝ s 时，△BPC 为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣B ﹣C 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）BC 的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠P AB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠P AB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD ＝10，AD＝10√2．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。

17.1.1 勾股定理人教版数学八年级下册分层作业(含答案)

人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。

(完整版)17.1勾股定理

17．1 勾股定理（1）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理． 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明． 2．难点：勾股定理的证明．3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2（补充）使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．进一步让学生确信勾股定理的正确性．四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．让学生画一个直角边为3 cm 和4 cm 的Rt △ABC ，用刻度尺量出斜边AB 的长．以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．再画一个两直角边为5和12的Rt △ABC ，用刻度尺量斜边AB 的长．你是否发现32+42和52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1 （补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ．求证：a 2＋b 2=c 2．分析：⑴让学生准备多个三角形模型，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正，则 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证．A B⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ．求证：a 2＋b 2=c 2．分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即 4×21ab ＋c 2=（a+b ）2，化简可证．六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是：． 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：； ⑷三边之间的关系：．3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°；若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是角；若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B是角．4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理．七、课后练习1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= ．（已知a 、b ，求c ） ⑵a= ．（已知b 、c ，求a ） ⑶b= ．（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来．bbbbaa AB b E B3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直．4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上．求证：⑴AD 2－AB 2=BD·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论．参考答案六、课堂练习1．略.2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=21AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2． 3．∠B ，钝角，锐角；4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =21（a+b ）2， S △BCE = S △EDA =21 ab ，S △ABE =21c 2, 21（a+b ）2=2×21 ab ＋21c 2．七、课后练习1．⑴c=22a b -；⑵a=22c b -；⑶b=22a c +2．⎩⎨⎧+==+1222b c c b a ；则b=212-a ，c=212+a ；当a=19时，b=180，c=181．3．5秒或10秒．4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E ．D CB17．1 勾股定理（2）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算．2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算．2．难点：勾股定理的灵活运用．3．难点的突破方法：⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用．⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力.⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边．例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力．四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形．学习勾股定理重在应用．五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c．⑵已知a=1,c=2, 求b．⑶已知c=17,b=8, 求a．⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a．⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c．分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ．⑴求等边△ABC 的高．⑵求S △ABC ．分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解．六、课堂练习1．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ． ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ． ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ．⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为． ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为． ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为． 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长．3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．七、课后练习1．在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= ． ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ． ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ． ⑷如果c=10，a-b=2，则b= ．⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= ． ⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长．参考答案六、课堂练习 1．17；7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3；2．8； 3．48．七、课后练习1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．332.DBA ABB17．1 勾股定理（3）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题．2．树立数形结合的思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用．2．难点：实际问题向数学问题的转化．3．难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性．三、例题的意图分析例1（教科书例1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题．例2（教科书例2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其他两边的变化．四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试．五、例习题分析例1 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角．⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法．⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣．例2 分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB．⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD．则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC．⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD．A BC六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米．2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米．2题图 3题图 4题图3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是．4．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为．2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米． 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米．4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度．（精确到1米）参考答案六、课堂练习1．2250； 2．6， 32； 3．18米； 4．11600. 七、课后练习 1．350米； 2．22； 3．20； 4．83米，48米，32米.ACB Q ABDEF17．1 勾股定理（4）一、教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题． 2．树立数形结合的思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的综合应用． 2．难点：勾股定理的综合应用． 3．难点的突破方法：⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性质等．例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．例4 让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．四、课堂引入复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用．五、例习题分析例1（补充）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长．分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．C D例2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD ，CD ，BD ，AB ，BC 及S △ABC ．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？解略．例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD 的面积．分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连接AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．解：延长AD ，BC 交于点E ． ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°． ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4.∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34．∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32． ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．例4 在数轴上画出表示13的点.分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点．六、课堂练习1．△ABC 中，AB=AC=25 cm ，高AD=20 cm ，则BC= ，S △ABC = ． 2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，BC= ，S △ABC = ． 3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ，S △ABC = ．4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC ． C ADBCC七、课后练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= ． 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a= ，b= ． 3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC ． 4．在数轴上画出表示－52,5 的点．参考答案六、课堂练习1．30cm ，300cm 2； 2．90，60，30，4，32； 3．2，3，3，1，32；4．作BD ⊥AC 于D ，设AD=x ，则CD=17-x ，252-x 2=262-（17-x ）2，x=7，BD=24， S △ABC =21AC·BD=254. 七、课后练习 1．4； 2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32； 4．略．C。

第十七章勾股定理单元解读课件

学习目标
教学内容
学习目标
1．了解互逆命题、互逆定理之间的联系与区别，并能写出一个命题的逆命题． 2．掌握勾股定理的逆定理，会运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，能 17.2 勾股定理的逆定理够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系． 3．了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数． 4．经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用全等三角形证明勾股定理的逆定理的过程．
勾股定理
单元教材解读
课标解读
教学内容
课标要求
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题
学习目标
教学内容
学习目标
17.1 勾股定理
1.经历勾股定理的探索过程，了解关于勾股定理的文化历史背景. 2.会运用勾股定理在数轴上确定无理数对应的点. 3.能利用勾股定理解决一些简单问题.
教学建议
3.适当总结和定理、逆定理有关的内容本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可
以在小结时结合已学过的一些结论来加深理解.如：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”.还可以举出其他的一些例子．这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论.明确其中一些结论之间的关系.对互逆命题、互逆定理的概念，学生理解它们通常困难不大．但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试先把命题变为“如果……那么……” 的形式.当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题.
互逆定理
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.

人教版17.1勾股定理

从A地到B地哪条路近？
②
①？
Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6，
能否求出AB的长？
2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯非常善于观察和思考，经常能从平淡的生活现象中发现数学问题.
有一次他在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中隐藏着深刻的道理
观察：图中两个小正方形与大正方形的面积之间
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
勾
弦
勾股
股
考一考:
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：
A
81
A
c
b
BaC
A C D
感受数学之美
图中，所有的四
边形都是正方形，所 A
有的三角形都是直角
三角形，正方形M,N B 的面积的和是_1_0_0__.
M
N
欣赏美丽的勾股树
100
144
B
144
169
①
②
2. 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形的
周长为30 .
１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为
( C)
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
B
３
C
４
A
②
①？
Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6，
能否求出AB的长？
学以致用课本24页习题
cC Aa
b
B
C

勾股定理--与方程思想(简单应用)

17.1(9.1)勾股定理--与方程思想（简单应用）一．【知识要点】1.在直角三角形中，边长具有数量关系，可以设未知数表示边长，再利用勾股定理列方程。

二．【经典例题】1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝．2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．3.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1,2)，求点D的坐标。

2求4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10 AB的长．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．三．【题库】【A】1、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，AC=2，则斜边AB的长为（）A.332B.552C. 4D.3342．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m3.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm24.在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，10ABEFDC5.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．6.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．【B】1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？2、在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′.(1)如图(1),如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图(2),如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长。

人教版八年级数学下册第十七章第一节第1课时勾股定理

B
解：(1) 据勾股定理得
c a2 b2 52 52 50 5 2. C
A
(2) 据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ; (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 解：(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52，解得 x 5， ∴ a 5 . (2) ∵A 30°，b 15，∴c 2a . 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152，解得 x 5 3 . ∴ a 5 3 ，c 10 3 .
1 4
BC2.
勾股定理
内容注意
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，
b 为直角边，c 为斜边，则有 a2 + b2 = c2.
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
D
根据三角形面积公式，
3
∴ ∴
1 2
AC×BC
12
CD = 5 .
=
1 2
AB×CD.
C
4
B
归纳由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角
边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联
合使用．
练一练
求下列图中未知数 x、y 的值：
81 x
144
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：

勾股定理--与最短路径问题

17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。

7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（）。

《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)

= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．

17.1第1课时勾股定理及验证

图 17－1－13
第1课时勾股定理及验证
解：证明：连接 DB，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a. 1 1 ∵S 五边形 ACBED＝S 梯形 ACBE＋S△AED＝ (a＋b)b＋ ab， 2 2 1 1 2 1 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ∴ (a＋b)b＋ ab＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 2 2 ∴a2＋b2＝c2.
第1课时勾股定理及验证
C拓广探究创新练
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图 17－1－12 或图 17－1－13 摆放时，都可以用“面积法” 来证明．下面是小聪利用图 17－1－12 证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 17－1－12 所示的方式摆放，其中 ∠DAB＝90° ，求证：a ＋b ＝c .
第1课时勾股定理及验证
14．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图 17－1－11 所示，火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到四边形 AB′C′D′的位置，连接 CC′，AC′，AC，设 AB＝a， BC＝b，AC＝c，请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理： a2 ＋b ＝c .
图17－1－7
第1课时勾股定理及验证
10．[2018· 凉山州] 如图 17－1－8，数轴上点 A 对应的数为 2， AB⊥OA 于点 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 的长为( D ) A．3 B. 2 C. 3 D. 5

17.1 勾股定理 (教学课件)- 人教版八年级数学下册

爽在证明勾股定理时用到的图形，被称为赵爽弦图。 • 这节课让我们一起来认识勾股定理吧！
知识点 1、2 认识勾股定理及其简单应用定义：直角三角形两直角边的平平方方和和等于斜斜边边的平方．如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 aa22＋＋bb22＝＝cc22 ．
7．(知识点 2)(7 分)在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，若 a∶b＝3∶4，c＝25，求 a，b.
解：设 a＝3k，b＝4k.因为在△ABC 中，∠C＝90°，c＝25，所以由勾股定理，得(3k)2＋(4k)2＝252.因为 k＞0，所以 k＝5.所以 a＝3×5＝15，b＝ 4×5＝20.
B．14
C．15
D．16
2．(知识点 1)(3 分)在△ABC 中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的
是( C )
A．∠B＋∠C＝90°
B．AB2＋AC2＝BC2
C．BC2＝AC2－AB2
D．AC2＝BC2－AB2
3．(知识点 2)(3 分)如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°， AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
• 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
(总分 30 分)
1．(知识点 1)(3 分)已知直角三角边长为( C ) A．13
17.1 勾股定理第1课时勾股定理股定理
学习目标
• 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 • 些文化历史背景，体会数形结合的思想.（重点） • 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）

人教版八下数学第17章勾股定理17.1《勾股定理》教案

-勾股定理的证明方法，特别是几何法和代数法的步骤和逻辑；
-勾股定理在实际问题中的灵活运用；
-通过勾股定理的学习，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
举例解释：
-重点一：学生需要掌握勾股定理的表达式（a² + b² = c²），并能够识别直角三角形中的勾股数，理解其在三角形中的应用；
-重点二：学生应理解并能够复述勾股定理的几何法和代数法的证明过程，包括如何通过图形或代数公式推导出定理；
在总结回顾环节，我发现大部分同学能够掌握勾股定理的基本概念和应用，但仍有少数同学对某些知识点存在疑问。为了确保每位同学都能跟上教学进度，我决定在课后设置一个答疑环节，鼓励同学们提问，并及时解答他们的疑惑。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作直角三角形模型，测量边长，验证勾股定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点二：面对非标准直角三角形问题，学生可能不知道如何将问题转化为勾股定理的应用，需要教师提供多样的解题策略和技巧；
-难点三：学生可能难以将勾股定理与实际生活和其他学科知识联系起来，教师应通过跨学科案例和实际情境来加深学生的理解。

17.1勾股定理

感悟新知
6-1. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”. 平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm(如图).请问：水深多少？
知3－练
感悟新知
知3－练
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm，即CD＝(x＋10) cm. 在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2，解得x＝75. 答：水深75 cm.
会改变； 2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3. 利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面
积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
感悟新知
2. 在数轴上作出表示 n 的点
知4－讲
如图17.1-6，构造两条直角边长都是1 的直角三角
形，利用勾股定理得到斜边的长为 2 ，再用圆规截取
的方法画出 2在数轴上的对应点；
感悟新知
知4－讲
构造两直角边长分别为 2 ，1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为 3 ，再用圆规截取的方法画出
知3－讲
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5) 构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生
活中的实际问题.
感悟新知
特别提醒
知3－讲
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：

《17.1 勾股定理》课件(含习题)

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的代数式表示CD
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程模型求出x
B
DC
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二勾股定理的验证
拼一拼请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图