上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第十讲球的体积及球面距离

沪教版数学高二下春季班第十讲

课题 球的体积及球面距离

单元

第十五章 学科

数学

年级

十一

学习 目标 1．理解球的有关概念，掌握球的性质及有关公式；

2．理解球面距离的概念，会计算常见的球面距离； 3．解决常见的与球有关的计算问题．

重点 1．球面距离的计算方法；

2．球的表面积与体积的计算问题；

3．掌握常见的球内接与外切问题的解决方法 难点 掌握常见的球内接与外切问题的解决方法

1、球的定义：

半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球O 。半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球．大家要注意球面和球是不同的两个概念．点O 到球面上任意点的距离都相等，把点O 称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半径和球的直径。球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆．

教学安排

版块

时长

1 知识梳理 30

2 例题解析 60

3 巩固训练 20

4 师生总结 10

5 课后练习

30

球的体积及球面距离

知识梳理

2、球的性质：

球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r=2

2

d R -

3、球的表面积、体积公式：表面积：24R S π=；球的体积公式：33

4

R V π=．

4、球的体积公式

高中数学教材对球的体积公式3

43

V r π=

球(r 为球的半径)作了要求，但只是简单地说“利用祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式，未作具体推导.

鉴于部分学有余力的学生想了解其推导过程，现提供几种用高中数学知识就可推导的方法.

方法一:利用祖暅原理

为方便起见，现只计算半球的体积.正如教材中所说的方法，利用祖暅原理关键是要构造一个和半球等高且横截面面积处处相等的几何体.

如图1，

在一个底面半径为r 、高为r 的圆柱中挖去一个底面半径为r 、高为r 的圆锥， 则距离下底面h 的横截面为一圆环，面积为2

2

r h ππ-.

又半球距离下底面h 的横截面为一个圆，由勾股定理，半径为2

2

r h -，面积也为(

)22

r h π-.

因此，所构造几何体的体积与半球的体积相等，为圆柱的体积减去圆锥的体积，

即2

2312

33

r r r r r πππ⋅-

⋅=， 所以球的体积为3

43

V r π=球.

方法二：把球分割成无穷多个小圆柱

高中生已经学过极限的知识，可以尝试这个方法.同样，只计算半球的体积. 如图2，

把半球的高n 等分，作n 个半球的横截面，再以这些横截面为底面，作n 个高为r

n 的圆柱.这些圆柱的底面积分别为2

r π，22r r n π⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，222r r n π⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()221,n r r n π⎡⎤-⎛⎫⎢⎥-

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

L 所以这些圆柱的体积之和是

()2222222

12n n r r r r V r r r r n n n n π⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅+-+-++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦

L

()()

222222

121r r

nr n n n

π⎡⎤=⋅-+++-⋅⎢⎥⎣⎦L

O

()()3

31111216r n n n n π⎡⎤

=⋅-⋅--⎢⎥⎣⎦

3

2211326r n n π⎛⎫=⋅+-

⎪⎝⎭

当n →∞时，圆柱体积之和就无限趋近于半球的体积，即3

2lim 3

n V r π→∞

=

n ，所以球的体积为34

3

V r π=球.

方法三、把球分割成无穷多个小圆锥

把球面近似分成n 个部分，当n →∞时，每个部分可看做一个圆.以这些圆为底面，以球心为顶点做圆锥，则所有圆锥体积的和即为球的体积.

如图3.

设每个圆的面积为

12,,,n

S S S L ，则所有圆锥体积的和为

()12121111

3333

n n S r S r S r r S S S +++=+++L L 又球的表面积为

()212lim 4n n S S S r π→∞

+++=L ，所以球的体积为

()31214

lim 33

n n r S S S r π→∞+++=L . 这种推导方法比较简单易懂，但需要用到球的表面积公式，而他无法用高中数学知识推导，顾此方法的说服力不如前两种方法. 4、经度、纬度：

经线：球面上从北极到南极的半个大圆纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0o

经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数

纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数

5、球面距离：球面上两点之间的最短距离，也是过两点的大圆的圆弧（劣弧）长度．

（1）两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 即： l R ϕ=(ϕ为球心角的弧度数)．

ϕB

A R

R O