2009年高考数学模拟优秀综合试题汇编

2009年高考数学模拟优秀综合试题汇编1．（重庆市2009届高三第二次质量检测）已知{}n a 是各项都为正数的数列，n S 为其前n 项的和，且1111,()2n n na S a a ==+（1）分别求22S ，23S 的值；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）求证：12111112(1)23(1)n n S S n S S ++++<-+…2．（2008-2009学年度南昌市高三第二次模拟试卷）已知点A 的坐标为()1,0，点B 为x 轴负半轴上的动点，以线段AB 为边作菱形ABCD ，使其两对角线的交点恰好在y 轴上。

（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若点P 是（1）中轨迹C 上的动点，点(),0Q t 是定点，是否存在垂直x 轴的直线l ，使得直线l 被以线段PQ 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，用t 表示直线l 的方程；若不存在，说明理由。

3．（2008-2009学年度南昌市高三第二次模拟试卷）已知函数()11kx x f x e-+=（e 是自然对数的底），（1）若函数()f x 是()1,-+∞上的增函数，求k 的取值范围；（2）若对任意的0x >，都有()1f x x <+，求满足条件的最大整数k 的值； （3）证明：()()()()ln 112ln 123ln 1123*n n n n N +⨯++⨯++++>-∈⎡⎤⎣⎦ 。

4.（北京101中学2008—2009学年下学期临模高三数学（理科）试卷）已知函数)R x (1x 1a ax 2)x (f 22∈++-=，其中R a ∈。

（1）当1a =时，求曲线)x (f y =在点（2，f （2））处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数f （x ）的单调区间与极值。

5.（北京101中学2008—2009学年下学期临模高三数学（理科）试卷）已知n S 为数列}a {n 的前n 项和，且 ,3,2,1n ,2n 3n a 2S 2n n =--+=。

（1）求证：数列}n 2a {n -为等比数列；（2）设π⋅=n cos a b n n ，求数列}b {n 的前n 项和n P ； （3）设}c {,n a 1c n n n 数列-=的前n 项和为n T ，求证：4437T n <。

A BCLMN y z x a 1a 2b 1b 2c 1 c 26.（上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1＝2，公差为2，在等比数列｛b n ｝中，当n ≥2时，b 2＋b 3＋…＋b n =2n＋p (p 为常数).(1)求a n 和S n ； (2)求b 1，p 和b n ； (3)若T n ＝nnb S 对于一切正整数n ，均有T n ≤ C 恒成立，求C 的最小值。

7.（上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试）(1)设u 、v 为实数，证明：u 2+v 2≥ 2)(2v u +；(2)请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题。

材料:已知△LMN 内接于边长为1的正三角形ABC ，求证：△LMN 中至少有一边的长不小于21。

证明：线段AN 、AL 、BL 、BM 、CM 、 CN 的长分别设为a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2，设LN 、LM 、MN 的长为x 、y 、z ，x 2= a 12+a 22–2a 1a 2cos60o = a 12+a 22–a 1a 2 同理：y 2= b 12+b 22–b 1b 2，z 2= c 12+c 22–c 1c 2， x 2+y 2+z 2 = a 12+a 22+b 12+b 22+c 12+c 22–a 1a 2–b 1b 2–c 1c 2 ……请利用(1)的结论，把证明过程补充完整；(3) 已知n 边形A /1A /2A /3……A /n 内接于边长为1的正n 边形A 1A 2…A n ，(n ≥4)，思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答。

8.（上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，其中DA AB ⊥，//AD BC .22PA AD BC ===，AB =（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；（2） 若平面ABCD 内有一经过点C 的曲线E ，该曲线上的任一动点Q 都满足PQ 与AD所成角的大小恰等于PC 与AD 所成角. 试判断曲线E 的形状并说明理由；（3）在平面ABCD 内，设点Q 是（2）题中的曲线E 在直角梯形ABCD 内部（包括边界）的一段曲线CG 上的动点，其中G 为曲线E 和DC 的交点. 以B 为圆心，BQ 为半径的圆分别与梯形的边AB 、BC 交于M 、N 两点. 当Q 点在曲线段GC 上运动时，试提出一个研究有关四面体P BMN -的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决. 【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值， 保留3位小数】9.（辽宁省营口市2009届高三高考模拟考试） 设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对于任意的实数y x ,都有 )()()(y f x f y x f ⋅=+成立，（1）求)0(f 的值，判断并证明函数)(x f 的单调性； （2）若数列}{n a 满足)(,)2(1)(),0(11++∈--==N n a f a f f a n n ，求}{n a 的通项公式；（3）如果21)1(=f ，)(lg n n a f b =，求数列}{n b 的前n 项和n S .10.（河南省周口市2009年高三年级第一次模拟考试）已知各项都不为零的数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n n S a a +=*()n N ∈，11a =，令12(21)(21)n nn a n a a b +=--，数列{}n b 的前n 项和是n T *()n N ∈。

(1) 求{}n a 的通项公式n a ；（2) 求证：121n n T T T n -<+++< *()n N ∈。

11.（安徽省合肥市2009年高三第二次教学质量检测）已知n S 为正项数列{}n a 的前n项和，且满足211()22n n n S a a n N *=+∈。

（1）求1234,,,a a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式；AB CD P（3）已知函数()142x f x =+，数列{}n b 的通项公式为),,3,2,1,)((*m n N m mnf b n =∈=前m 项和为m T ，若m N *∈时，不等式11++<m a m a T t T t m m 恒成立，求t 的取值范围。

12.（西安四校）已知正项数列{}n a 满足对一切*∈N n ,有233231nn S a a a =+++ ，其中n n a a a S +++= 21.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 求证: 当*N n ∈时, 3ln )11ln(<+nn a a .13.（抚顺县高中）已知椭圆C:12222=+by ax （a ＞b ＞0），点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P(2,3)在直线x=ca 2上，且|F 1F 2|=|PF 2|,直线l :y=kx+m 为动直线，且直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足OQ OB OA λ=+（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△ABO 的面积最大，并求出这个最大值．14.（东北三省三校） 数列{}n a 满足：1121,1n n n a a a a ++==+ （I ）求证：12(,2);n a n N n *<<∈≥（Ⅱ）令|n n b a = （1）求证：{}n b 是递减数列； （2）设{}n b 的前n 项和为,n S求证：n S <15.（烟台3月）设函数h （x ）=2x ，φ（x ）=2elnx 为（e 为自然对数的底数），（1）求F （x ）=h （x ）-φ（x ）的极值；（2）若存在实常数r 和b ，使得函数f （x ）和g （x ）对其定义域上的任意实数x 分别满足f （x ）≥kx+b 和g （x ）≤kx+b ，则称直线l ：y=kx+b 为f （x ）和g （x ）的“隔离直线，试问函数h （x ）和φ（x ）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由。

16.（湖北省部分重点中学）已知函数()()x f x ln e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()g x f x λ=sin x +是区间[]11-，上的减函数．（I ）求a 的值； （II ）若2()1g x t t λ≤++在[]11x ∈-，上恒成立，求t 的取值范围； （III ）讨论关于x 的方程22()lnxx ex m f x =-+的根的个数．17.（南京市江宁高级中学）已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1<x 2）是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．18.（南京市江宁高级中学）已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯= ，求数列{}n na 的前n 项和S n ．19.（湖南省2009届高三 十二校联考 第二次考试） 已知函数221()ln(1),().1f x xg x a x =+=+-（1）求()g x 在P g 处的切线方程;l（2）若()f x 的一个极值点到直线l 的距离为1，求a 的值； （3）求方程()()f x g x =的根的个数.20.（上饶市2008－2009学年度高三年级第一次模拟考试）标准椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，M (3，1)在椭圆上，且MF 1·MF 2＝0. (1) 求椭圆方程；(2) 若N 在椭圆上，O 为原点，直线l 的方向向量为ON ，若l 交椭圆于A 、B 两点，且NA 、NB 与x 轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NA 、NB )，则称N 点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点.21.（上饶市2008－2009学年度高三年级第一次模拟考试）已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a <0).(1) 若函数f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2) 若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3) 设各项为正的数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2，n ∈N *，求证：a n ≤2n －1.22.（山东省淄博市2008-2009学年度高三第一次模拟考试）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆，其离心率e =，且经过抛物线24x y =的焦点。