山东省高考数学仿真模拟试题及答案
2024年高考数学仿真模拟(一)含解析(题型同九省联考,共 19 个题)
2024年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（ ） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（ ）（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（ ）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ， 又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析 对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =， 若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。
山东省高考数学仿真模拟试题及答案
20正视图侧视图808080山东省高考数学仿真模拟试题及答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设全集I 是实数集R ，{|ln(2)}M x y x ==-与3{|0}1x N x x -=≤-差不多上I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ） （A ）{2}x x < （B ）{21}x x -≤< （C ）{12}x x <≤（D ）{22}x x -≤≤2.i 是虚数单位，已知(2)5i z i -=，则z =（ ）（A ） i 21+ （B ）i 21-- （C ）i 21- （D ）i 21+- 3．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ( ) A ．4B ．41C ．－4D ．－145.某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）( ) A. 240000cm B. 240800cmC. 21600(2217)cm +D. 241600cm6．已知10<<<<a y x ，y x m a a log log +=，则有( )A 0<mB 10<<mC 21<<mD 2>m7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y 等于（ ）A ．7B ．15C ．31D ．638．已知7722107)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，那么=+++++765432a a a a a a ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．129．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)4sin(2)(π+=x x fD ．)4321sin(4)(π+=x x f10．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为 （ ）A ．5B ．10C ．20D ．1511．若实数x ，y 满足不等式11,02240+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-≥x y y x y x y ω则的取值范畴是（ ）A ．]31,1[-B ．]31,21[-C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 12．设函数()f x 的定义域为R ，且(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(4)1f <-，3(2011)3a f a +=-，则a 的取值范畴是（ ） A. (－∞, 3) B. (0, 3)C. (3, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请直截了当在答题卡上相应位置填写答案. 13．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是________。
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．34．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 5．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π 9．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22312．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省新高考统一考试数学真题模拟卷word版(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x A B =+===⋂=，则A.(){}11， B.(){}24-，C.()(){}1124-，，， D. ∅2.已知()1,1ia bi ab R i -+∈+是的共轭复数，则a b += A. 1-B. 12-C. 12D.13.设向量()()()1,1,1,3,2,1a b c ==-=，且()a b c λ-⊥，则λ= A.3B.2C. 2-D. 3-4. 101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是 A. 210-B. 120-C.120D.2105.已知三棱锥S ABC -中，,4,213,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是 A.4B.6C. 43D. 636.已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是 A.3B.4C. 32D. 427.设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为 A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8.若21a b c ac b >>><且，则 A. log log log a b c b c a >> B. log log log c b a b c a >> C. log log log b a c c b a >>D. log log log b c a a b c >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考数学模拟仿真卷(山东卷)第3卷
2020届新高考数学模拟仿真卷(山东卷)第3卷1、已知集合{|23}A x x =-≤≤,2{|30}B x x x =-≤,则A B ⋃=( ) A.[2,3]-B.[2,0]-C.[0,3]D.[3,3]-2、已知z 为复数,若(1i)i z ⋅+=(i 是虚数单位),则||z =( ) A.1C.123、在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为( ) A.154B.154-C.38D.38-4、已知平面α⊥平面,l βαβ⋂=,,a b αβ⊂⊂,则“a l ⊥”是“a b ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A.12 B.35C.710D.456、直线20x y ++=分别与x 轴, y 轴交于,A B 两点,点p 在圆22(2)2x y -+=上.则ABP △面积的取值范围是( )A. []2,6B. []4,8C.D. ⎡⎣7、若函数()()()[)11,,212,2,2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x x f x =⋅-的零点个数为( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22143y x +=上的一个动点，点()()1,1,0,1A B -，则PA PB +的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59、已知(1,2),(3,4)a b ==r r ，若a kb +r r与-a kb r r 互相垂直，则实数k=（ ）A. 5B. 5-C. 5-D.510、下图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第三季度内，洗衣机销量约占20％，电视机销量约占50％，电冰箱销量约占30％).根据该图，以下结论中不一定正确的是( )A.电视机销量最大的是第四季度B.电冰箱销量最小的是第四季度C.电视机的全年销量最大D.洗衣机的全年销量最小11、已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是公差不为0的等差数列,且2288,a b a b ==,则( )A.55a b =B.55a b <C.44a b <D.66a b =12、对于函数sin π,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x ∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列结论正确的是( )A.任取12,[2,)x x ∈+∞,都有12|()()|1f x f x -≤B.函数()y f x =在[4,5]上单调递增C.函数()ln(1)y f x x =--有3个零点D.若关于x 的方程()(0)f x m m =<恰有3个不同的实根123,,x x x ,则123132x x x ++=13、已知πtan(+)=34θ，则2sin22cos θθ-的值为__________.14、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是___________.15、如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则四棱锥111A BB D D -的体积为__________.16、在ABC △中,已知π,4,63ABC AB BC ∠===,过点B 作BD AC ⊥于点D,则BD =______,sin ABD ∠=_______.17、已知函数()2cos (3cos )1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（2）讨论()f x 在区间π[0,]2上的单调性．18、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T ．19、某村为了发展家庭经济,引进了一黄桃品种,这个品种有两种培育方法,其中一种是压枝培育,另一种是嫁接培育.为了解两种培育的情况,从中随机抽取500棵树,统计其挂果数量,统计结果如下表.根据统计,可知挂果数量落在[]85,105内的频率为0.66.(1)求,a b的值.(2)若认为挂果数量大于90个的树是良种,小于90个的树是次种,根据统计得出22⨯列联表,请将其补充完整.(3)由列联表说明有多大把握认为挂果数量与培育方法有关.参考公式:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据:20、如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为43的菱形,60BCD ∠=︒,AC 与BD 交于点O ,平面FBC ⊥平面ABCD ,23//,,EF AB FB FC EF ==.(1)求证:OE ⊥平面ABCD ;(2)若FBC △为等边三角形,点Q 为AE 的中点,求二面角Q BC A --的余弦值.21、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,点(,25)M a 在抛物线C 上 (1)若6MF =,求抛物线的标准方程(2)若直线x y t +=与抛物线C 交于,A B 两点,点N 的坐标为(1,0),且满足NA NB ⊥,原点O 到直线AB 2求p 的取值范围.22、已知函数()1ln (R)f x ax x a =--∈. (1)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值,且对任意的(0,)x ∀∈+∞,()2f x bx ≥-恒成立,求实数b 的最大值.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知,2{|30}{|03}B x x x x x =-≤=≤≤,又{|23}A x x =-≤≤,∴{|23}[2,3]A B x x ⋃=-≤≤=-.故选A.2答案及解析： 答案：D解析：由已知得i i(1i)1i 1i (1i)(1i)22z -===+++-,所以||z ==3答案及解析： 答案：D解析：由二项式定理可得6⎫-⎝的通项为616rr t T C -+⎛= ⎝⎝⎭()636122rrr r C x --⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1,2,3,...,6r =，令32r -=，则1r =，所以2x 的系数为()6111613228C -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D.4答案及解析： 答案：A解析：因为平面α⊥平面,,,l a b βαβαβ⋂=⊂⊂,所以当a l ⊥时,由面面垂直的性质定理,可得a b ⊥;反之,当a b ⊥时,a 与l 不一定是垂直的,所以“a l ⊥”是“a b ⊥”的充分不必要条件.故选A.5答案及解析： 答案：C解析：从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =(种)，故所求概率为3711010-=.6答案及解析： 答案：A解析：因为直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于,A B 两点 (2,0),(0,2)A B ∴---,则22AB =因为点P 在圆22(2)2x y -+=上 所以圆心为(2,0),则圆心到直线距离1202222d ++=故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为[2,32] 则2212[2,6]2ABP S AB d d ==∈△ 故答案选A.7答案及解析： 答案：C解析:先作出()f x 的图象，再分析零点个数.显然0x =不是()F x 的零点，所以()F x 的零点就是()1f x x=的根，即只需考虑()f x 与()1g x x =有几个交点，由于()()55f g >，()()77f g <，易知有6个交点，选C.8答案及解析： 答案：D解析：椭圆方程为22143y x +=，∴焦点坐标为()0,1B -和()'0,1B ， 连接'PB ，'AB ，根据椭圆的定义，得'24PB PB a +==，可得4'PB PB =-，因此()()4'4'PA PB PA PB PA PB +=+-=+-. ∵''PA PB AB -≤，∴4'415PA PB AB +≤+=+= 当且仅当点P 在'AB 延长线上时，等号成立. 综上所述，可得PA PB +的最大值为59答案及解析： 答案：BD解析：由已知()(1)234a b ==,,,，若a kb +与a kb -互相垂直，则()()0a kb a kb +⋅-=，即2220a k b -=，即25250k -=，即215k =，所以5k =.10答案及解析： 答案：ABD解析：对于A ，对比四个季度中，第四季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大.同理,易知B 不一定正确在四个季度中，电视机在每个季度的销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C 正确.对于D ，洗衣机在第四季度所占百分比不是最小的，故D 不一定正确.11答案及解析： 答案：BC解析：设{}n a 的公比为(0)q q >,{}n b 的公差为(0)d d ≠,111n nn a a a q q q-==⋅,11(1)n b b n d b d nd =+-=-+,将其分别理解成关于n 类 (指数函数指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数( 一次函数的图象为直线),则俩函数图象在2,8n n ==处相交,故n n a b <(37)n ≤≤,从而445566,,a b a b a b <<<12答案及解析：答案：ACD解析：sinπ,[0,2] ()1(2),(2,)2x xf xf x x∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象如图所示,当[2,)x∈+∞时,()f x的最大值为12,最小值为12-,∴任取12,[2,)x x∈+∞,都有12|()()|1f x f x-≤恒成立,故A正确;函数()y f x=在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同,则函数()y f x=在[4,5]上不单调,故B错误;作出ln(1)y x=-的图象,结合图象,易知ln(1)y x=-的图象与()f x的图象有3个交点,∴函数()ln(1)y f x x=--有3个零点,故C正确;若关于x的方程()(0)f x m m=<恰有3个不同的实根123,,x x x,不妨设123x x x<<,则123x x+=,372x=,∴123132x x x++=,故D正确.故选ACD.13答案及解析：答案：45-解析：先由条件求得1tan2θ=,再根据同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式可得2222tan2sin22cos1tan1tanθθθθθ-=-++,运算求得结果.14答案及解析：答案：2y x=解析：由已知得222431b-=，解得2b=2b=-0b>，所以2b=因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为2y x=±.15答案及解析： 答案：13解析：如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11AC ⊥平面11BDD B ， 则1A O 是四棱锥的高，且221111121122AO AC ==+= 111212BDD B S BD DD =⨯四边形结合四棱锥体积公式可得其体积为：11212333V Sh ===.16答案及解析： 答案：62177解析：因为π,4,63ABC AB BC ∠===,所以由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠,即211636246282AC =+-⨯⨯⨯=,所以27AC =,又111sin 222ABC S AC BD AB BD AB BC ABC =⋅=⋅=⋅⋅∠△,所以346621227BD ⨯=,故2227AD AB BD =-,所以7sin AD ABD AB ∠==17答案及解析：答案：（1）由题意，函数2()2cos (3cos )123cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-π32cos22sin(2+)6x x x =+=，所以函数()f x 的最小正周期2π2π=π2T w ==， 令()0f x =，即π2sin(2)06x +=，即π2π,6x k k Z +=∈，解得ππ,122k x k Z =-+∈所以函数()f x 的对称中心为ππ(,0),122k k Z -+∈. （2）由（1）可知()π2sin(2)6f x x =+，令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤+≤+∈，解得ππππ,36k x k k Z -+≤≤+∈， 令ππ3π2π22π,262k x k k Z +≤+≤+∈，解得π2πππ,63k x k k Z +≤≤+∈， 又因为[0,]2x π∈，当0k =时，函数()f x 的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为ππ,62⎛⎤⎥⎝⎦.18答案及解析：答案：（1）∵22n n S a =-，当1n =时1122S a =- ∴12a = 当2n ≥时 22n n S a =-，1122n n S a --=-两式相减得 122n n n a a a -=-(2)n ≥，∴122n n a a n -=≥， ∵120a =≠∴12nn a a -=，2n ≥ ∴{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列 2n n a = （2）由（1）知(21)2n n b n =-231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L 23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅L两式相减得23122222(21)2n n n T n --=+⨯+++--⋅L （） 3112112(12)2(21)226(21)2(23)2612n n n n n n T n n n -++++⋅--=+--⋅=---⋅=----1(23)26n n T n +=-+19答案及解析：答案：(1)因为挂果数量落在[]85,105内的频率为0.66， 所以其颗数为5000.66330⨯=.由表可知挂果数量落在[)75,85内的颗数有0.0061050030⨯⨯=. 挂果数量落在[)85,95内的颗数有0.024********⨯⨯= 挂果数量落在[)115,125内的颗数有0.0081050040⨯⨯= 所以3301205003303040100.042,100.02500500a b ----=÷==÷= . (2)补充完整的列联表如下：(3) ()225001001806016010.393260240160340K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为10.3937.879>所以有99.5%的把握认为挂果数量与培育方法有关.20答案及解析：答案：(1)取BC 的中点H ,连接,OH FH , 因为FB FC =,所以FH BC ⊥.因为平面FBC ⊥平面ABCD ,平面FBC ⋂平面ABCD BC =,FH ⊂平面FBC , 所以FH ⊥平面ABCD .因为,H O 分别为,BC AC 的中点,所以//OH AB 且12OH AB =.又//EF AB ,12EF AB =,所以//EF OH =,所以四边形OEFH 为平行四边形,所以//OE FH , 所以OE ⊥平面ABCD .(2)因为菱形ABCD 中,60,BCD AB ∠=︒=所以2OA OC ==,在等边三角形FBC 中,43BC =,所以2FH =, 所以2OE FH ==.易知,,OA OB OE 两两垂直,以O 为坐标原点,,,OA OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图所示,则23(2,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C E Q -, 所以23(2,BC =-u u u r ,(3,0,1)CQ =u u u r .设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =u r,则00BC m CQ m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r 得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩, 取1x =,可得(1,3,3)m =--u r.易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r,则313cos ,||||1139m n m n m n ⋅===⨯++u r ru r r u r r ,易知二面角Q BC A --为锐二面角, 所以二面角Q BC A --313.21答案及解析：答案：(1)由题意及抛物线的定义得62pa +=,又点(,25)M a 在抛物线C 上,所以202pa = 由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩ 所以抛物线的标准方程为24y x =或220y x =(2)联立方程得22x y ty px+=⎧⎨=⎩,消去y,整理得22(22)0x t p x t -++=设1122(,),(,)A x y B x y由根与系数的关系可得2121222,x x t p x x t +=+= 因为NA NB ⊥,所以1212(1)(1)0x x y y --+=又1122,y t x y t x =-=-,所以212122(1)()10x x t x x t -++++=,得22121t t p t -+=+由原点O 到直线AB≥即2t ≤-(舍去)或2t ≥因为221421411t t p t t t -+==++-++,函数2211t t y t -+=+在[2,)t ∈+∞上单调递增 所以16p ≥,即p 的取值范围为1[,)6+∞22答案及解析：答案：(1)()f x 的定义域为()11(0,),ax f x a x x-'+∞=-=, 当0a ≤时, ()0f x '<在(0,)+∞上恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减,所以()f x 在(0,)+∞上没极值点. 当0a >时,由'()0f x >得1x a >,由'()0f x <得10x a<<, 所以()f x 在1(0,)a 上单调递减,在1(,)a +∞上单调递增,即()f x 在1x a =处有极小值.综上,当0a ≤时, ()f x 在(0,)+∞上没有极值点;当0a >时, ()f x 在(0,)+∞上有一个极值点.(2)因为函数()f x 在1x =处取得极值,所以'(1)10f a =-=,则1a =,从而()1ln f x x x =--, 由()2f x bx ≥-，得1ln 1xb x x+-≥. 令1ln ()1,(0,)x g x x x x =+-∈+∞,则2ln 2'()x g x x -= 由'()0g x >得2e x >,由'()0g x <得20e x <<, 则()g x 在2(0,e )上单调递减,在2(e ,)+∞上单调递增,所以2min 21()(e )1e g x g ==-,故实数b 的最大值时211e -.。
2024-2025学年山东省高考数学适应性训练仿真模拟卷
2024-2025学年山东省高考数学适应性训练仿真模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 4. 若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（ ）A. 95B. 96C. 97D. 985. 为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（ ）A. 60种B. 120种C. 125种D. 243种6. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）{}24A x x =≤<{}2320B x x x =-+<A B ⋃=∅{}12x x <<{}24x x ≤<{}14x x <<37i 52i z +=+3z z -=24i +24i-42i +42i -()()2,3,,1a b m =-= |2||2|a b a b +=- m =3232-2323-ABCD O AC =2ADC BAD ∠=∠AB CD BC AD ⋅+⋅=OA. 4B. 2C.D. 7. 已知函数.设，则（ ）A. B. C. D. 8. 记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济宁市(新版)2024高考数学人教版模拟(备考卷)完整试卷
山东省济宁市（新版）2024高考数学人教版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．170B．190C．180D．189第(2)题已知数列，，，…，是首项为1，公差为2得等差数列，则等于（）A．9B．5C．4D．2第(3)题在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（）A．B．C．D．第(5)题设复数，则的的虚部是（）A．B．C．D．第(6)题连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：，）（）A．0.2B．0.18C．0.16D．0.14第(7)题从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．140种B．120种C．35种D．34种第(8)题已知全集，集合，，则（）A．或B．或C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在斜三棱柱中，是线段的中点，则下列说法正确的有（）A．存在直线平面，使得B．存在直线平面，使得C．存在直线平面，使得D．存在直线平面，使得第(2)题若正数，满足，则（）A．B．C．D．第(3)题已知，（参考数据），则下列说法正确的是（）A．是周期为的周期函数B．在上单调递增C．在内共有4个极值点D ．设，则在上共有5个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线的上顶点、下焦点分别为M，F，以M为圆心，b为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若，AB的中点为Q（Q在第一象限），点P在双曲线的下支上，则当取得最小值时，直线PQ的斜率为__________．第(2)题已知集合，则___________．第(3)题已知向量．若，则______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱台中，底面为平行四边形，，侧棱底面为棱上的点..(1)求证：；(2)若为的中点，为棱上的点，且，求平面与平面所成角的余弦值.第(2)题如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积第(3)题设函数，为自然对数的底数，.(1)若，求证：函数有唯一的零点；(2)若函数有唯一的零点，求的取值范围.第(4)题某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.第(5)题已知函数（1）解不等式；（2）若对于，，有，，求证：.。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
2023-2024学年山东省邹城市第一中学高考考前提分数学仿真卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]2．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B C ．D ．3．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥4．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]5．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④7．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.1479．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-10．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 11．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2-12．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．1310二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省高三高考数学押题模拟试题(二模)含解析
2023-2024学年山东省高三高考数学押题模拟试题（二模）一、单选题1．“0a =且1b =”是“复数()i ,R z a b a b =+∈是纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可.【详解】若0a =且1b =，则复数i i z a b =+=是纯虚数，故充分性成立；若复数()i ,R z a b a b =+∈是纯虚数，则0a =且0b ≠，故必要性不成立，故“0a =且1b =”是“复数()i ,R z a b a b =+∈是纯虚数”的充分不必要条件.故选：A 2．已知集合(){}2,A x y y x ==，集合(){},1B x y y x ==-，则集合A B ⋂的真子集个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】解方程组21y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得集合A B ⋂，进而可求得集合A B ⋂的真子集个数.【详解】联立21y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得210x x +-=，因为0x ≥，解得x =所以，方程组21y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩的解为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，1313,,,2222A B ⎧⎫⎛⎛---⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，所以，集合A B ⋂的真子集个数为2213-=.故选：C.3．某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A ．男性比女性更关注地铁建设B ．关注地铁建设的女性多数是35岁以上C ．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D ．35岁以上的人对地铁建设关注度更高【正确答案】C【分析】由等高条形图一一分析即可.【详解】由等高条形图可得：对于A ：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，从而男性比女性更关注地铁建设，故A 正确；对于B ：由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B 正确；对于C ：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C 不一定正确；对于D ：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D 正确．故选：C ．4．将函数()3sin f x x x =+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数ϕ的最小值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【正确答案】A【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用三角函数图象变换求出平移后所得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出ϕ的表达式，即可求得ϕ的最小值.【详解】因为()π3sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度可得到函数π6y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由题意可知，函数π6y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以，()ππ6k k ϕ-=∈Z ，所以，()ππ6k k ϕ=-∈Z ，因为0ϕ>，故当0k =时，ϕ取最小值π6.故选：A.5．已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()12P P a ξξ≤=≥+，则()110113x ax x->++的最大值为（）A．3+B．3-C．2D．2【正确答案】D【分析】根据正态分布的性质求出a 的值，则1111113113ax x x x-=-++++，令()11113f x x x =-++，()0,x ∈+∞，则()2134f x x x=++，利用基本不等式求出134x x++的最小值，即可得解.【详解】因为随机变量()2~2,N ξσ，且()()12P P a ξξ≤=≥+，所以()()13P P ξξ≤=≥，即23a +=，所以1a =，所以1111113113ax x x x-=-++++令()11113f x x x=-++，()0,x ∈+∞，所以()()()21113122111311314334x x x f x x x x x x x x x+--=-===++++++++，又13444x x ++≥=，当且仅当13x x =，即x =所以()22134f x x x=≤-++，即()110113x ax x->++的最大值为2故选：D.6．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 为底面1111D C B A 的中心，M 是棱AB 的中点，正四棱柱的高h ∈，点M 到平面PCD 的距离的最大值为（）A．3B ．83C．3D ．329【正确答案】C【分析】设底面四边形ABCD 的中心为O ，连接PO ，则PO h =，设点M 到平面PCD 的距离为d ，利用等体积法求解即可.【详解】设底面四边形ABCD 的中心为O ，连接PO ，则PO h =，设点M 到平面PCD 的距离为d，OC OD ==PC PD ==则PCD 中，CD=则11222222PCDMCDSS =⨯==⨯⨯=，由M PCD P MCD V V --=，得1133PCDMCDS d Sh ⨯⨯=⨯⨯，所以d =由h ∈，得[]22,8h ∈，则21931,82h ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则218,19123h⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，所以d ∈⎣⎦，即点M 到平面PCD的距离的取值范围是⎣⎦，所以点M 到平面PCD的距离的最大值为3.故选：C.7．已知双曲线:E ()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，Q 是双曲线E 右支上一点，且24OF OQOQ⋅<≤ ，则双曲线的离心率为（）A ．2B 5C ．3D ．23【正确答案】A【分析】首先表示出焦点坐标与渐近线方程，依题意可得OF 在OQ方向的投影的取值范围为(]2,4，当Q 在右顶点投影取最大值，即可求出c ，在取临界位置得到OF 在渐近线by xa=±方向上的投影为2，即可求出b ，从而求出a ，即可得解.【详解】双曲线:E ()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，渐近线为b y x a =±，因为Q 是双曲线E 右支上一点，且24OF OQ OQ⋅<≤ ，所以OF 在OQ方向的投影的取值范围为(]2,4，当Q 在右顶点时OF 在OQ方向的投影最大，最大值为OF c = ，即4c =，当Q 在无限远处，此时OF 在OQ 方向的投影近似OF 在渐近线by x a=±方向上的投影，但是不能取等号，所以OF 在渐近线b y x a =±方向上的投影为2，则()4,0F 到渐近线by x a =±的距离22423d =-即224423b b d c a b ===+3b =，则222a c b =-=，所以离心率2c e a==.故选：A8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且满足()()24f x g x --=，()()46g x f x +-=，()()310g x g x -++=，则()301n f n ==∑（）A ．456-B ．345-C ．345D ．456【正确答案】B【分析】根据递推关系可得()()8f x f x -+=且()(2)2f x f x =++，进而有()(2)2f x x f x x +=+++，构造()()h x f x x =+易知()h x 是周期为2，分别求得(0)4f =、(1)3f =，再求(0)h 、()h 1，根据周期性求()f n ，最后求和.【详解】由()()24f x g x --=，则()(2)4f x g x --+=，即(2)()4g x f x +=--，由()()46g x f x +-=，则(2)(2)6g x f x ++-=，即(2)6(2)g x f x +=--，又()()46g x f x +-=，则()()136g x f x ++-=，()()24f x g x --=，则()()134f x g x ---=，又()()310g x g x -++=，所以()()()()1313g x f x f x g x ++-----⎡⎤⎣⎦()()()()13132g x f x f x g x =++---+-=，即()()312f x f x ---=，即()(2)2f x f x =++，所以(2)()2f x f x -=+，故(2)6(2)4()g x f x f x +=--=-，综上()44()f x f x --=-，则()()8f x f x -+=，故()f x 关于(0,4)对称，且有()(2)2f x x f x x +=+++，令()()h x f x x =+，则()(2)h x h x =+，即()h x 的周期为2，由()()310g x g x -++=知()g x 关于(2,0)对称且(2)0=g ，所以(0)(2)4f g -=，即(0)4f =，则(0)(0)04h f =+=，由(1)(1)8(1)(1)2f f f f -+=⎧⎨-=+⎩，可得(1)3f =，则(1)(1)14h f =+=，所以(0)(2)(2)24h h f ==+=则(2)2f =；(1)(3)(3)34h h f ==+=则(3)1f =，依次类推可得(4)0f =，(5)1f =-，……，()4f n n =-，则()3043026f =-=-，所以30130(326)()(1)(2)...(30)3452n f n f f f =⨯-=+++==-∑.故选：B关键点点睛：根据递推式得()()8f x f x -+=且()(2)2f x f x =++，构造()()h x f x x =+并确定其周期，依据周期性求()f n .二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅ B ．非零向量a 和b，满足a b < 且a 和b 同向，则a b <r r C ．非零向量a 和b满足a b a b +=- ，则a b⊥ D．已知(a =，(b = ，则a 在b的投影向量的坐标为5,22⎛ ⎝⎭【正确答案】AC【分析】根据数量积的运算律判断A 、C ，根据向量的定义判断B ，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A ：根据数量积的运算律可知()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，故A 正确；对于B ：向量不可以比较大小，故B 错误；对于C ：非零向量a 和b满足a b a b +=- ，则()()22a ba b +=- ，即222222a a a b b a b b-= ，所以0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故C 正确；对于D：因为(a =，(b =，所以125a b ⨯⋅==，2b == ，所以a 在b的投影向量为(515,2244a b b bb ⎛⨯=⨯= ⎝⋅⎭，故D 错误；故选：AC10．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ，3a ，…，n a ，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ，…，n b ，…．则（）A ．数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列B ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形的面积之和为32C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为3D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <【正确答案】ACD【分析】根据题意，{}n a ，{}n b 都是等比数列，从而可求{}n a ，{}n b 的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．【详解】对于A 选项，由题意知，2222135448n n n na a a a +⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0n a >，所以14n n a +=，又因为14a =，所以数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，故A 正确；对于B 选项，由上知，144n n a -=⨯⎝⎭，14a =，2a =352a =，所以2222221235129424a a a ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C选项，21123313354244323228n n n n nn a a a b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯⨯==⨯⨯=⨯⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，易知{}n b 是单调递减数列，且2335751281282b ⎛⎫=⨯=> ⎪⎝⎭，343537512810242b ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭，故使得不等式12n b >成立的的最大值为3，故C 正确；对于D 选项，因为351285415818nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，且*n ∈N ，所以50118n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以4n S <，故D 正确；故选：ACD ．11．如图，在矩形AEFC中，AE =4EF =，B 为EF 的中点，现分别沿AB 、BC 将ABE 、BCF △翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥-P ABC ，则（）A ．PB AC⊥B ．三棱锥-P ABC的体积为3C ．三棱锥-P ABC外接球的半径为2D ．直线PA 与BC 【正确答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项；利用锥体的体积公式可判断B 选项；求出ABC 的外接圆半径，结合PB ⊥平面PAC ，可求出三棱锥-P ABC 的外接球半径，可判断C 选项；利用空间向量法可求出直线PA 与BC 所成角的余弦值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，翻折前AE BE ⊥，CF BF ⊥，翻折后，则有PB PA ⊥，PB PC ⊥，因为PA PC P = ，PA 、PC ⊂平面PAC ，所以BP ⊥平面PAC ，故A 对；对于B 选项，在PAC △中，PA PC ==，AC=，所以1142323P ABC B PAC V V --==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C 选项，因为PA PC ==4AC =，由余弦定理，可得2221212161cos 22123PA PC AC APC PA PC +-+-∠===⋅⨯，则sin 3APC ∠=，所以PAC △的外接圆的半径2sin 3AC r APC ==∠设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，因为BP ⊥平面PAC ，所以22219111222R r PB ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，所以2R =，即三棱锥-P ABC 外接球的半径为2，故C 对；对于D 选项，在PAC △中，1cos 3APC ∠=，4BC ===，则cos ,PA PC PB PA BC PA BC PA BC⋅-⋅==13=所以直线PA与直线BC D 对.故选：ACD.12．在平面直角坐标系xOy 的第一象限内随机取一个整数点()()()*,,1,2,3,,x y x y n n =⋅⋅⋅∈N ，若用随机变量η表示从这2n 个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，(),P x b ξη==表示x ξ=，b η=同时发生的概率，则（）A ．当3n =时，()1323P ηξ===B ．当4n =时，()1816P ξη+==C ．当5n =时，η的均值为6D ．当n k =（2k ≥且*k ∈N ）时，()21,2P k k k ξη===【正确答案】ACD【分析】利用条件概率公式可判断A 选项；列举出满足8ξη+=的点的坐标，利用古典概率公式可判断B 选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C 选项；列举出满足k ξ=，2k η=的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当3n =时，整数点共9个，则()123P ξ==，由23x x y ξη==⎧⎨=+=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，即满足2ξ=，3η=的点的坐标为()2,1，所以，()()()2,311323293P P P ξηηξξ======⨯==，A 对；对于B 选项，当4n =时，整数点共16个，满足28x y ξη+=+=的整数点为()2,4，()3,2，则()218168P ξη+===，B 错；对于C 选项，当5n =时，η的可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10，此时，样本点共25个，满足2x y η=+=的点为()1,1，则()1225P η==，满足3x y η=+=的点为()1,2、()2,1，则()2325P η==，满足4x y η=+=的点为()1,3、()2,2、()3,1，则()3425P η==，满足5x y η=+=的点为()1,4、()2,3、()3,2、()4,1，则()4525P η==，满足6x y η=+=的点为()1,5、()2,4、()3,3、()4,2、()5,1，则()516255P η===，满足7x y η=+=的点为()2,5、()3,4、()4,3、()5,2，则()4725P η==，满足8x y η=+=的点为()3,5、()4,4、()5,3，则()3825P η==，满足9x y η=+=的点为()4,5、()5,4，则()2925P η==，满足10x y η=+=的点为()5,5，则()11025P η==，故当5n =时，()1234143212345678910625252525525252525E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，满足2x k x y kξη==⎧⎨=+=⎩的解为x k y k =⎧⎨=⎩，则()21,2P k k k ξη===，D 对.故选：ACD.三、填空题13．()62x y +展开式中二项式系数最大的项的系数为______．【正确答案】160【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项的系数.【详解】由二项式系数的基本性质可知()62x y +展开式中二项式系数最大的项为()3333346C 2160T x y x y =⋅⋅=.因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为160.故答案为.16014．已知直线l 过圆()2211x y -+=的圆心，且与圆相交于A ，B 两点，P 为椭圆22198x y +=上一个动点，则PA PB ⋅的最大值与最小值之和为______．【正确答案】18【分析】求出圆的圆心()11,0O ，根据题意可得11O B O A =- 、1a c PO a c -≤≤+ ，利用平面向量的线性运算可得211PA PB PO ⋅=- ，即可求解.【详解】圆()2211x y -+=，圆心()11,0O ，半径1r =，因为直线l 过圆()2211x y -+=的圆心，且与圆相交于A ，B 两点，所以11O B O A =- ，又椭圆22198x y +=，则3a =，1c =，右焦点为()1,0，所以()()1111PA PB PO O A PO O B⋅=+⋅+ ()()22211111111PO O A PO O A PO O A PO =+⋅-=-=- ，又1a c PO a c -≤≤+ ，即124PO ≤≤ ，所以213115PO ≤-≤ ，即315PA PB ≤⋅≤ ，所以PA PB ⋅的最大值为15，最小值为3.则PA PB ⋅的最大值与最小值之和为18.故1815．从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作a b c d ,,,，若a b +和+c d 的奇偶性相同，则a b c d ,,,的取法共有__________种（用数字作答）.【正确答案】912【分析】分类讨论两组数的奇偶性即可.【详解】若a b +和+c d 都是奇数，则,a b 为一奇一偶，,c d 也一奇一偶，有111144332C C 2C C 576⋅⨯⋅=种取法；若a b +和+c d 都是偶数，则有以下两种情况：①,a b 两奇（偶）数，,c d 两奇（偶）数，有242A 248⨯=种取法；②,a b 两奇（偶）数，,c d 两偶（奇）数，有22442A A 288⋅=种取法；共计576+48+288=912种取法.故91216．已知不等式1ln 0eax x a x x +-+≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值是______．【正确答案】e-【分析】将已知不等式变形为e lne ln x x a a x x ---≥-，构造函数()ln f x x x =-，利用导数分析函数()f x 的单调性，考虑a 为负数的情形，可得出e a x x -≥，分参后可得ln xa x≥-，利用导数求出()ln xg x x=-在()1,+∞上的最大值，即可得出实数a 的最小值.【详解】由1ln 0eax x a x x +-+≥可得e ln ln x a a a x x a x x x -+≥-=-，即e lne ln x x a a x x ---≥-，构造函数()ln f x x x =-，其中0x >，则()111x f x x x-'=-=.当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，因为1x >，则1x -<-，则10eex-<<，要求实数a 的最小值，考虑a<0，则01a x <<，由e lne ln x x a a x x ---≥-可得()()e x af f x -≥，因为函数()f x 在()0,1上单调递减，则e a x x -≥，不等式e a x x -≥两边取自然对数可得ln a x x ≥-，因为1x >，则ln 0x >，可得ln x a x≥-，令()ln xg x x=-，其中1x >，则()()21ln ln x g x x -'=，当1e x <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当e x >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，所以，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()e e g =-，所以，e a -≥.因此，实数a 的最小值为e -.故答案为.e-结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.四、解答题17．已知两个正项数列{}n a ，{}n b 满足()1n n n a b b -=，211n n b a n =+．(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足[]1n n n n c a a b +=++，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n c 的前n 项和n S ．【正确答案】(1)1=+n a n n，n b n =(2)()213522n S n n =++【分析】（1）依题意可得21n n a b n =+，21n n n a b b =+，即可求出n b 、n a ；（2）根据高斯函数先推出[]1n n a a ++的解析式，再运用等差数列求和公式计算可得.【详解】（1）由211n n b a n =+，得21n n a b n =+，由()1n n n a b b -=，得21n n n a b b =+，∴22n b n =，因为{}n b 是正项数列，∴n b n =，∴211n n n a n b n+==+；（2）因为[]14,1111112121,211n n n a a n n n n n n n n n +=⎧⎡⎤⎡⎤+=++++=+++=⎨⎢⎥⎢⎥+≥++⎣⎦⎣⎦⎩，所以[]15,131,2n n n n n c a a b n n +=⎧=++=⎨+≥⎩，所以当2n ≥时()571031n S n =+++++ ()()()273111535222n n n n ++-=+=++，当1n =时15S =满足()213522n S n n =++，所以()213522n S n n =++.18．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知πsin sin 03b A a B ⎛⎫-⎪+⎝⎭= ．(1)求角A ；(2)若D 为边BC 上一点（不包含端点），且满足2ADB ACB ∠=∠，求BDCD的取值范围．【正确答案】(1)π3A =(2)()0,1【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）分析可得AD CD =，2π3B C =-，π3BAD C ∠=-，求出角C 的取值范围，由正弦定理可得出1BD CD -，结合正切函数的基本性质可求得BD CD 的取值范围.【详解】（1）解：由πsin sin 03b A a B ⎛⎫-⎪+⎝⎭=结合正弦定理可得：1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则1sin sin 022B A A ⎫-=⎪⎪⎝⎭，因为A 、()0,πB ∈，则sin 0B >sin 0A A =>，可得tan A =π3A =.（2）解：由2ADB ACB ∠=∠可得CAD ADB ACB ACB ∠=∠-∠=∠，所以，AD CD =，所以，C BAC <∠，故π03C <<，在ABD △中，2π3B C =-，π3BAD C ∠=-，由正弦定理可得π2πsin sin 33BD CDC C =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，π1sin cos sin32212πsin3C C CBDCD C⎛⎫--⎪⎝⎭=-⎛⎫-⎪⎝⎭，因为π0,3C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0tan C<<，所以，()10,1BDCD=∈.所以，BDCD的取值范围是()0,1.19．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，//AB CD，AB BC⊥，2PA AB BC===，4CD=．(1)证明：AD PC⊥；(2)若M为线段PB的靠近B点的四等分点，判断直线AM与平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)相交，6PH=【分析】（1）依题意可得AC=45BAC DCA∠=∠=︒，利用余弦定理求出AD，即可得到AC AD⊥，在由线面垂直得到PA AD⊥，即可得到AD⊥平面PAC，从而得证；（2）过点P作直线//l AB，连接AM并延长交l于点H，即可证明点H为直线AM与平面PDC的交点，再利用三角形相似求出PH.【详解】（1）连接AC，因为//AB CD，AB BC⊥，2PA AB BC===，4CD=，所以ABC为等腰直角三角形，∴AC=45BAC DCA∠=∠=︒，∵在DAC△中，由余弦定理得2222cosAD AC DC AC DC ACD=+-⋅∠，即(2224242AD=+-⨯⨯，所以AD=∴222AC AD DC+=，∴AC AD⊥.又PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥.又,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴AD PC ⊥.（2）过点P 作直线//l AB ，连接AM 并延长交l 于点H ，因为//PH AB ，且//AB DC ，所以//PH CD ，所以P 、H 、C 、D 四点共面，所以点P ∈平面PDC ，所以点H 为直线AM 与平面PDC 的交点，易知AMB HMP ∽，M 为线段PB 的靠近B 点的四等分点，所以3PH PMAB MB==，所以36PH AB ==.20．《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法可以解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000000剥0000011比0000102…………例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为000111，转化为十进制数是5432100202021212127⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，“泰”卦所表示的二进制数为111000，转化为十进制数是54321012121202020256⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．(1)若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；(2)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记3分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻互不相邻，则记1分，设任取一卦后的得分为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．【正确答案】(1)315(2)分布列答案见解析，()2E X =【分析】（1）列举出所有满足条件的二进制数，结合等比数列的求和公式可求得所有这些卦表示的十进制数的和；（2）分析可知随机X 的所有可能取值有1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值.【详解】（1）解：因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，所以该卦所表示的二进制数共有16C 6=个，分别为111110、111101、111011、110111、101111、011111，这6个数中，每个位置可是5次1，1次0，所以，所有这些卦表示的十进制数的和为()()654321512522222231512⨯-⨯+++++==-.（2）解：由题意可知，随机变量X 的所有可能取值有1、2、3，则()3436C 11C 5P X ===，()2436A 1232C 205P X ====，()1436C 13C 5P X ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P153515所以，()1311212555E X =⨯+⨯+⨯=.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过点()1,0-的两条直线1l 、2l 分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当1l 的斜率为12时，AB =(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．【正确答案】(1)22y x =(2)证明见解析【分析】（1）当直线1l 的斜率为12时，写出直线1l 的方程，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线1l 的方程与抛物线E 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于p 的方程，结合0∆>可求出p 的值，即可得出抛物线E 的标准方程；（2）分析可知直线1l 、2l 都不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由韦达定理可得122y y =，同理可得出342y y =，写出直线AD 、BC 的方程，求出这两条直线的交点G 的横坐标，即可证得结论成立.【详解】（1）解：当直线1l 的斜率为12时，直线1l 的方程为()112y x =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22112y pxy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得()221410x p x +-+=，()()22414441680p p p ∆=--=->，因为0p >，可得12p >，由韦达定理可得1282x x p +=-，121=x x ，AB ==整理可得2210p p --=，解得1p =或12p =-（舍去），因此，抛物线E 的方程为22y x =.（2）证明：当直线1l 与x 轴重合时，直线1l 与抛物线E 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线1l 不与x 轴重合，同理可知直线2l 也不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =-，联立212x my y x=-⎧⎨=⎩可得2220y my -+=，则2440m ∆=->可得21m >，设点211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由韦达定理可得122y y =，设直线CD 的方程为1x ny =-，设点233,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、244,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得342y y =，直线AD 的方程为24111224122y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭，即1414142y y y x y y y y =+++，化简可得()141420x y y y y y -++=，同理可知，直线BC 的方程为()232320x y y y y y -++=，因为点()1,0-在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点G 必在垂直于x 轴的直线上，所以只需证明点G 的横坐标为定值即可，由()()141423232020x y y y y y x y y y y y ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，消去y ，因为直线AD 与BC 相交，则1423y y y y +≠+，解得()()()()()()231414231232341241342314231422y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y y y y +-++--==+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()32142314222212y y y y y y y y +--==+-+⎡⎤⎣⎦，所以，点G 的横坐标为1，因此，直线AD 与BC 的交点G 必在定直线1x =上.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知函数()()()()e 0x f x x a b a =+-≠在点()()0,0f 处的切线方程为y x =．(1)求a ，b ；(2)若函数()()()0g x f x m m =->有两个零点1x ，2x ，且12x x <，证明：21e 1x x m -<+．【正确答案】(1)1a =，1b =(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即可得到方程组，解得即可；（2）设曲线()y f x =在()1,0-处的切线方程为()y h x =，构造函数()()()F x f x h x =-，利用导数说明()()f x h x ≥恒成立，则()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为3x ，则3e 11e m x =-+-，即可得到31x x ≤，同理可求出()f x 在()0,0处切线，得出相同结论，求出2x 的范围，从而可求21x x -的范围.【详解】（1）因为()()()e x f x x a b =+-，所以()()e e x x f x b x a '=-++，依题意()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，所以()0e 011a b a b ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1a =，1b =.（2）由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，令()0f x =，有11x =-或20x =，()()e 21x f x x =+-'，()111ef -=-+'，()01f '=，设曲线()y f x =在()1,0-处的切线方程为()y h x =，则()()()()11111e h x f x x ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()()()()11e e x F x f x h x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，则()()12e ex F x x =+-'，令()()()12e e x m x F x x '==+-，则()()3e x m x x '=+，所以当3x <-时()0m x '<，当3x >-时()0m x '>，所以()F x '在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，当x →-∞时()1eF x '→-，又()10F '-=，所以当1x <-时()0F x '<，()F x 单调递减，当1x >-时()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥-=，所以()()f x h x ≥恒成立，则()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为3x ，则3e 11em x =-+-，又()h x 单调递减，且()()()311m h x f x h x ==≥，所以31x x ≤，已知曲线()y f x =在()0,0处的切线为()y t x x ==，令()()()()()1e 1x G f x t x x x =+=--，则()()2e 2x G x x '=+-，由前面说明()F x '的单调性可知，()G x '在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，当x →-∞时()2G x '→-，且()00G '=，所以()G x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00G x G ≥=，所以()f x x ≥恒成立，所以()22()f x t x ≥，设()t x m =的根为4x ，则4x m =，又函数()t x 单调递增，所以()()224()f x x t t x ≥=，所以42x x ≥，所以()21432e 1e 111e e 1m m x x x x m -⎛⎫-≤-=--+=+ --⎝⎭，要证21e 1x x m -<+，即证()12e 11e e 1m m <+-+-，即证2e 3e 10-+>，即证1e 30e+->，由于110.3e 3>>，所以1e 30e +->，证毕.关键点睛：本题关键是利用切线进行放缩，通过()3h x m =求出3x 的值，通过()()()113h x m f x h x ==≥得到1x 的范围，同理通过求出()0,0处的切线()t x ，求出4x 的值，通过()()()224t x m f x t x ==≥得到2x 的范围，从而求得21x x -的范围.。
2024届山东省枣庄市高三下学期高考数学仿真模拟联考试题(三模)含解析
2024届山东省枣庄市高三下学期高考数学仿真模拟联考试题（三模）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（ ）{}20A x x =+>∣{}220B x x x =--<∣A B = A ．B ．C ．D ．{21}xx -<<∣{22}x x -<<∣{11}x x -<<∣{12}xx -<<∣2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）22:14y x C m -=2y x =m =A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，αx ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭则（ ）πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．0B ．CD 124．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，πe ϕρα=α是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ）ϕρϕπ2ρA ．倍B ．倍C ．倍D ．倍13e 12e π2e πe 5．己知平面向量，则在上的投影向量为（ ）(1,1),(2,0)a b =-= a bA ．B ．C ．D ．(1,0)-(1,0)(6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4π6π8π10π7．已知复数，若同时满足和，则为（ ）1212,,z z z z ≠12,z z ||1z =|1||i |z z -=-12z z -A ．1B C ．2D ．8．在中，，为内一点，，，ABC 1202ACB BC AC ∠=︒=，D ABC AD CD ⊥120BDC ∠=︒则（ ）tan ACD ∠=A ．BCD 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）ˆ125 4.25yx =+．A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数，则（ ）()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+A ．的图象关于对称B ．在上单调递增()f x ()0,0()f x ⎛ ⎝C ．D ．有两个零点()f x ()f x 11．已知正方体的棱长为2，点M ，N 分别为棱的中点，点P 为四1111ABCD A B C D -1,DD DC 边形（含边界）内一动点，且，则（ ）1111D C B A 2MP =A ．平面B ．点P 1A B ∥AMNC ．存在点P ，使得平面D ．点P 到平面MP ⊥AMNAMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数图象的一条对称轴方程．()sin cos 1f x x x =+13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出3414发，到达第3阶台阶的概率为 ．14．设为平面上两点，定义、已知点P 为抛物线()()1122,,,A x y B x y 1212(,)d A B x x y y =-+-上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为2:2(0)C x py p =>(3,0),(,)Q d P Q p =的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则的最小值为．32(,)d P M 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台的底面为菱形，，点为1111ABCD A B C D -14,3,60AB DD BAD ==∠=︒E中点，BC 11,D E BC D E ⊥=(1)证明：平面；1DD ⊥ABCD (2)若，求平面与平面夹角的余弦值．112A D =11A C E ABCD 16．已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E 的离心率为，椭2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 12圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，，求直线l 2F 1//AB CF 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．p (1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到2红球的概率；(2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：p p 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．5方案二：从袋中进行有放回摸球次．5分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值p 更合理．18．已知函数，为的导数2()e x f x ax x =--()f x '()f x (1)讨论的单调性；()f x '(2)若是的极大值点，求的取值范围；0x =()f x a (3)若，证明：．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1cos 1ee ln(sin cos )1θθθθ--++<19．若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”{}n a *N n ∈212n n n a a a ++≥{}n a 数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数有三个零点，其中．231234()f x b b x b x b x =+++0(1,2,3,4)i b i >=证明：数列为“对数凹性”数列；1234,,,b b b b (3)若数列的各项均为正数，，记的前n 项和为，，对任意三个不{}n c 21c c >{}n c n S 1n nW S n =相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得．()()()r p q p q W q r W r p W t-+-+-=证明：数列为“对数凹性”数列．{}n S1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.B 【详解】由，即，解得，220x x --<()()120x x +-<12x -<<所以，{}{}21220|B x x x x x <-=-=<-<∣又，所以.{}{}202A x x x x =+>=>-∣∣{}12A B x x =-<< ∣故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得，0m >令，即的渐近线方程为，2204y x y m -=⇒=C y x =.21m =⇒=故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.sin αcos α【详解】因为，即，ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭12P ⎛ ⎝即角的终边经过点，所以，α12P ⎛⎝sin α=1cos 2α=所以.πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭故选：D 4．B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂0ϕ0ρ10π2ϕϕ=+1ρ的运算法则计算可得.【详解】设所对应的极径为，则，0ϕ0ρ0π0e ϕρα=则所对应的极径为，所以，10π2ϕϕ=+0π2π1eϕρα+=0000ππ222π1πππ1e e ee ϕϕϕϕραρα++-===故每增加个单位，则变为原来的倍.ϕπ2ρ12e 故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.a b ⋅ b【详解】，(1,1),(2,0)a b =-=，,2a b ⋅=- 2b =在上的投影向量为.a b()()22,01,04a b b b b⋅-⋅==-故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，r 则，故该球的表面积为.r ==24π8πr =故选：C 7．C 【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再()i ,R z x y x y =+∈||1z =|1||i |z z -=-12,z z 计算其模即可.【详解】设，则，，()i ,R z x y x y =+∈()11iz x y -=-+()i 1iz x y -=+-由和，||1z =|1||i |z z -=-所以且，221x y +=()()222211x y y x -+=-+即且，解得或221x y +=x y =xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以、（或、），1z =2z =1z =2z =则（或），21z z ⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭21z z -=所以.122z z -==故选：C 8．B【分析】在中，设，，即可表示出，，再在中利Rt ADC ACD θ∠=AC x =CB CD BCD △，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化cos sin(60)x θθ=-︒切，即可得解.【详解】在中，设，令，Rt ADC ACD θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭AC x =()0x >则，，2CB x =cos CD x θ=在中，可得，，BCD △120BCD θ∠=︒-60CBD θ∠=-︒由正弦定理，sin sin BC CDCDB CBD =∠∠cos sin(60)x θθ=-︒所以，=可得．tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦BCD △定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：，所以y 与x 正相关，即A 正确；1.250>由表格数据及回归方程易知，即B 错误；32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=易知，所以样本数据y 的第60百分位数为，即C 错误；560%3⨯=898.52+=由回归直线方程知时对应的预测值分别为，1,2,3,4,5x = 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=对应残差分别为，显然残差之和为0，即D 正确.0.5,0.75,0,0.25,0--故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数，令，解得或，()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩10x -<<01x <<所以函数的定义域为，()()1,00,1-U 又，()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎣⎦所以为奇函数，函数图象关于对称，故A 正确；()f x ()0,0又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--，222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--当时，，即在上单调递减，故B 错误；x ⎛∈ ⎝()0f x'<()f x ⎛ ⎝当时，，即在上单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x ⎫⎪⎪⎭根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，()fx 1,⎛- ⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以C 正确；()fx又，(()ln 30f x f ==++>极小值且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，x ()f x x ()f x 所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，()f x ()0,1()f x ()1,0-故无零点，故D 错误．()f x 故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知，1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒又平面，平面，所以平面，即A 正确；1⊄A B AMN MN ⊂AMN 1A B ∥AMN 对于B ，因为点P 为四边形（含边界）内一动点，且，，1111DC B A 2MP=11MD =则P 点轨迹为以1DP==1D 部分，所以点P 的轨迹长度为，故B正确；12π4⨯=对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则，()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以，()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MPθθ=-=-=若存在点P ，使得面，则，MP ⊥AMN 100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩解之得sin θθ==即不存在点P ，使得面，故C 错误；MP ⊥AMN 对于D ，设平面的一个法向量为，则，AMN (),,n x y z =2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，即，12x y z =⇒==()1,2,2n =则点P 到平面的距离AMN，1πtan ,0,22n MP d n ϕϕ⋅⎫⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎭ 显然时取得最大值D 正确.π2θϕ+=max d =故选：ABD思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．（答案不唯一）π4x =【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知，所以，1()sin 212f x x =+()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈不妨取，则.0k =π4x =故（答案不唯一）π4x =13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 3394416⨯=只上一步且上两个台阶，则概率为，14所以到达第3阶台阶的概率为，911316416+=故答案为.131614． 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，P //PN x 根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.(,)d P M 【详解】设，则，2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，即，时取得最小值；322p⇒-=2p =p m =易知，，联立有，39:22l y x =-2:4C x y =26180x x -+=显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过作交l 于N ，过作，P //PN x M ME PN ⊥则（重合时取得等号），(,)d P M PE EM PE EN PN=+≥+=,M N 设，则，所以，2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭223,64n n N ⎛⎫+⎪⎝⎭()22133336622n PN n n =-+=-+≥故2，32思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接、，即可证明平面，从而得到，再由勾股定DE DB BC ⊥1D DE 1BC DD ⊥理逆定理得到，即可证明平面；1DD DE ⊥1DD ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接、，DE DB 因为四边形为菱形，ABCD 60BAD ∠=所以是边长为的正三角形，BDC 4因为为中点，所以，E BC DE BC ⊥DE =又因为，平面，所以平面，11,D E BC D E DE E ⊥⋂=1,D E DE ⊂1D DE BC ⊥1D DE 又平面，1DD ⊂1D DE 所以，1BC DD ⊥又，，1D E =13DD =DE =所以，所以，22211DD DE D E +=1DD DE ⊥又因为平面，,,DE BC E DE BC =⊂ ABCD 所以平面.1DD ⊥ABCD（2）因为直线两两垂直，以为原点，所在直线为轴，轴，1,,DA DE DD D 1,,DA DE DD x y 轴建立空间直角坐标系，z则，()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,,2,0,3D A E C A -所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=-设平面的一个法向量为，11A C E (),,n x y z = 则，即，11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩令，得，所以，3x=4y z ==()4n =由题意知，是平面的一个法向量，()0,0,1m =ABCD 设平面与平面的夹角为，11A C E ABCD θ则，cos m n m n θ⋅===⋅ 所以平面与平面11A C E ABCD 16．(1)22143x y +=(2)或10x y -=10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点，2c ()()000,0P x y a x ≥≥易知，则()2,0F c2PF==，00c c x a a x a a ==-=-显然时，0x a =2min PF a c=-由题意得解得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩2,1,a c b ===所以椭圆的方程为；C 22143x y +=（2）设，()()1122,,,C x y B x y 因为，所以AB //1CF 1122::2:1CF AB F F F A ==所以①122y y =-设直线的方程为，联立得，整理得，l 1x my =+221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2234690m y my ++-=由韦达定理得，()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩把①式代入上式得，得，222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩()()22222236923434m y m m==++解得，m =所以直线的方程为：或.l 10x y -=10x y -=17．(1)1p -(2)答案见解析【分析】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，根据条A =B =件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，的可能取值为，求X X 11110,,,,,15432出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，Y 则，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.()55,Y B p ~【详解】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，A =B =则，，()()21P A p =-()()31P B p =-所以；()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，X 则的可能取值为：，X 11110,,,,,15432且，，，()()501P X p ==-()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()3114P X p p⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()112P X p p⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1P X p ==所以的分布列为：X X151413121P5(1)p -4(1)p p-3(1)p p-2(1)p p-()1p p-p则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯，()4321(1)(1)(1)5432p pp p p p p p p----=++++“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为，Y ()55,Y B p ~所以的分布列为：，5Y ()555C (1),0,1,2,3,4,5k kk P Y k p p k -==-=即的分布列为：Y Y152535451P5(1)p -45(1)p p-3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以，则，()55E Y p=()E Y p=因为，，所以“方案二”估计的值更合理.()E X p>()E Y p=p 18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数()()g x f x '=0a ≤0a >的单调区间；（2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即0a ≤102a <<12a =12a >()f x 可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意sin 12eln sin sin θθθ-+<cos 12e ln cos cos θθθ-+<，有，结合（2）只需证明，构造函数，10x -<<()2e ln 1(1)x x x ++<+()ln 1(10)x x x +<-<<利用导数证明即可.【详解】（1）由题知，()e 21x f x ax =--'令，则，()()21x g x f x ax =-'=-e ()e 2x g x a'=-当时，在区间单调递增，0a ≤()()0,g x f x ''>(),-∞+∞当时，令，解得，0a >()0g x '=ln2=x a 当时，，当时，，(),ln2x a ∞∈-()0g x '<()ln2,x a ∈+∞()0g x '>所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，()f x '(),ln2a -∞()ln2,a +∞综上所述，当时，在区间上单调递增；0a ≤()f x '(),-∞+∞当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.0a >()f x '(),ln2a -∞()ln2,a +∞（2）当时，，0a ≤()00f '=由（1）知，当时，在上单调递减；(),0x ∈-∞()()0,f x f x '<(),0∞-当时，在上单调递增；()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>()0,∞+所以是函数的极小值点，不符合题意；0x =()f x当时，，且，102a <<ln20a <()00f '=由（1）知，当时，在上单调递减；()ln2,0x a ∈()()0,f x f x '<()ln2,0a 当时，在上单调递增；()0,x ∈+∞()()0,f x f x '>()0,∞+所以是函数的极小值点，不符合题意；0x =()f x 当时，，则当时，在上单调递增，12a =ln20a =(),x ∈-∞+∞()()0,f x f x '≥(),-∞+∞所以无极值点，不合题意；()f x 当时，，且；12a >ln20a >()00f '=当时，在上单调递增；(),0x ∈-∞()()0,f x f x '>(),0∞-当时，在上单调递减；()0,ln2∈x a ()()0,f x f x '<()0,ln2a 所以是函数的极大值点，符合题意；0x =()f x 综上所述，的取值范围是.a 12a >（3）要证，()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<只要证，()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+只要证，，sin 12e ln sin sin θθθ-+<cos 12e ln cos cos θθθ-+<因为，则，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈所以只要证对任意，有，01x <<12e ln x x x -+<只要证对任意，有（※），10x -<<()2e ln 1(1)x x x ++<+因为由（2）知：当时，若，则，1a =0x <()()01f x f <=所以，即①，2e 1x x x --<2e 1x x x <++令函数，则，()()ln 1(10)h x x x x =+--<<()1111x h x x x -'=-=++所以当时，所以在单调递增；10x -<<()0h x '>()h x ()1,0-则，即，()()00h x h <=()ln 1(10)x x x +<-<<由①②得，+()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+所以（※）成立，所以成立.()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合零点个数相同及“对数凹性”数列的定义()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可；（3）将互换计算可得，令，可证明是等差数列，结合等差数列得通,p q 0=t 1,2p q =={}n W 项公式可知，利用及的关系可得，并判定()11n W c n d=+-1n nW S n =,n n S c ()121n c c d n =+-为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算结合基本不等式放{}n c ()2124n n n S S S ++-缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立，2234≥⨯所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，2234()23f x b b x b x =++'所以，221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>又，所以，0(1,2,3,4)i b i >=2324243b b b b b >>显然，即不是的零点，()1000x f b =⇒=>0x =()f x 又，2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则也有三个零点，1t x =()231234f t b b t b t b t =+++即有三个零点，32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫=⎪⎝⎭则有三个零点，()321234g x b x b x b x b =+++所以有两个零点，()212332g x b x b x b =++'所以同上有，22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>故数列为“对数凹性”数列1234,,,b b b b （3）将互换得：，所以，,p q ()()()r q p t q p W p vr W r q W t=-+-+-=-0=t 令，得，1,2p q ==()()(2210r W r W r W -+-+-=所以，故数列是等差数列，()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--{}n W 记，所以，221211022S c c d W W c -=-=-=>()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以，()21n n S nW dn c d n==+-又因为，所以，11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩()121n c c d n =+-所以，所以为单调递增的等差数列，120n n c c d +-=>{}n c 所以.()11210,2,2n n n n n n n n c c c c c c c S ++++>>+==所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以，数列是“对数凹性”数列212n n n S S S ++≥{}n S 思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定，再判定2324243b b b b b >>零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定即可；第()1,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭2213133b b b b b >>三问根据条件将互换得，利用赋值法证明是等差数列，再根据及,p q 0=t {}n W 1n n W S n =的关系可得从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算,n n S c n c 结合基本不等式放缩证明其大于0即可.()2124n n n S S S ++-。
2023年4月山东省新高考联合模拟考试(济南二模)数学试卷及答案
山东省新高考联合模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1314．240；15．(11)，，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可；16四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）由题意及参考数据可得：3x =，521()10i i x x =−=∑1564≈， 51517081362061537ii i x y xy =−=−⨯=−∑，所以 5515370.981564ii x y x y r −−=≈≈−∑， 因为y 与x 的相关系数近似为0.98−，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由62061241.25y ==及（1）得：51522151537153.7105i i i i i x y x y b x x ==−−===−−∑∑， 1241.2153.731702.3a y bx =−=−−⨯=（）．所以 y 关于x 的回归方程为：ˆ153.71702.3yx =−+．将2023年对应的年份编号6x =代入回归方程得：ˆ153.761702.3780.1y=−⨯+=． 所以 我国2023年的新生儿数量约780.1万人．18．【解析】（1）因为 122n n S +=−，所以 122n n n n a S S n −=−=，，当1n =时，112a S ==，适合上式，所以 2n n a =．所以 22log log 2n n n b a n ===．（2）11221212()()()n n n n n T a b b b a b b b a b b b =++++++++++++ 1212()()n n a a a b b b =++++++ 因为 122n n S +=−，212122n n n b b b n ++++=+++=， 所以 212(22)()(21)()2n n n n n T n n ++=−=−+． 19．【解析】 （1）因为 三棱台ABC DEF −是正三棱台，M 为棱AB 的中点，2AB DE =．所以 DEMB 且DE MB =，所以 四边形DMBE 为平行四边形， 所以 MDBE 且MD BE =，同理 NF BE 且NF BE =； 所以 MD NF 且MD NF =，所以 四边形DMNF取AC 的中点为O ，连接AE EC OE OB ，，，， 因为 EA EC BA BC ==，， 所以 AC OB ⊥，AC OE ⊥，又OB OE O =， 所以 直线AC ⊥面BOE ，又BE ⊂面BOE ，所以 AC BE ⊥，又MN AC ，MD BE ，所以 MN MD ⊥，所以 四边形DMNF 为矩形．（2）以O 为原点，OB OC ，所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系． 设正方形DMNF 的边长为1，则121DE AB BE ===，，． 则(010)A −，，，00)B ，(010)C ，，，1(623D −，，， 则(020)AC =，，，316()623AD =，，，(310)BC =−，，， 设平面ACFD 的法向量为()x y z =，，n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得2010623y x y z =⎧++=⎩，令1z =−，得01)=−n ， 设BC 与平面ACFD 所成的角为θ，所以 |266sin 3||||49BC BC θ⋅===⨯|n n ， 所以 直线BC 与平面ACDF ． 20．【解析】 （1）延长CG 交AB 于点D ，因为 G 是ABC △的重心，则 D 为线段AB 的中点，且12DG GC =，又0AG BG ⋅=所以 GA GB ⊥，因此 12DG DA c ==，2GC DG c ==， 又因为 π6GAD ∠=，所以 AG =，在AGC △中，记CAG α∠=， 由正弦定理 sin sin AG CG ACG α=∠，即 2sin sin 6c αα=π⎛⎫− ⎪⎝⎭， 1sin cos 62ααααπ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，即 cos αα=， 所以 sin tan cos ααα==，即 tan CAG ∠=． （2）由（1）可知32CD c =，在ABC △中，222222cos 22AC AB BC b c a BAC AC AB bc +−+−∠==⋅⋅， 在ACD △中，222222229244cos 222c c b AD AC DC b c DAC c AD AC bc b +−+−−∠===⋅⋅⋅⋅， 所以 2222222b c a b c bc bc+−−=，整理得 2225a b c +=， 在ABC 中，()2222224cos 255a b a b c ACB ab ab ++−∠==， 当且仅当a b =时，等号成立；又()0πACB ∠∈，，所以 cos 1ACB ∠<， 综上 cos ACB ∠的取值范围为4[1)5，．21．【解析】（1）由题意可知242a ab =⎧⎨=⎩，解得21a b ==，；所以 椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）由（1）可知(20)(01)A B ，，，，则直线AB 的方程为220x y +−=， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为 PQ x ⊥轴，所以 11(1)2x P x −，， 因为 P 为线段QM 的中点，所以 111(2)Q x x y −−，， 又因为 A Q N ，，三点共线，所以 21121222y x y x x −−=−−，即 1212122y y x x +=−−−． 设直线:MN y kx m =+，代入2214x y +=并整理得： 222(41)8440k x kmx m +++−=， 则21212228444+14+1km m x x x x k k −−+==，； 所以 12121212121212122(2)()422222()4y y kx m kx m kx x m k x x m x x x x x x x x +++−+−+=+=−−−−−++ 2222224482(2)414+14+114482244+14+1m km k m k m k k m km k m k k −−+−−−===−−−+−+，所以 12m k =−， 所以 直线MN 的方程为：12(2)1y kx k k x =+−=−+，故直线MN 过定点(21)，． 22．【解析】（1）当0a =时，2ln ()x f x x =，[1e]x ∈，．432ln 12ln ()x x x x f x x x −−'==， 令()0f x '=，得x =(1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e]x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 因为 (1)0f =，12e f =，21(e)ef =， 所以 ()f x 的值域为1[0]2e，． （2）2431()2()ln 12ln ()()()a x a x a x x x x f x x a x a −−−−−'==−−， ()f x 的极值点等价于()f x '的变号零点．设()12ln a g x x x =−−． ①若0a ，()f x 的定义域为(0)+∞，，3()0x a −>．显然 ()g x 在(0)x ∈+∞，上单调递减； 因为 (1)10g a =−>，()12ln()0a g e a e a e a −=−−−<−， 所以 存在唯一的0(1e )x a ∈−，，使得0()0g x =，即0()0f x '=， 当0(0)x x ∈，时，()0f x '>，当0()x x ∈+∞，时，()0f x '<； 所以 ()f x 存在唯一极大值点，符合题意．②若0a >，()f x 定义域为()0()a a +∞，，当()x a ∈+∞，时，3()0x a −>．()12ln a g x x x =−−，2222()0a a x g x x x x −'=−=<， 所以 ()g x 单调递减，注意到 ()2ln g a a =−． （i ）1a >时，()0g a <，所以 ()0g x <，所以 ()0f x '<，所以 ()f x 在()x a ∈+∞，上无极值点； （ii ）1a =时，()0g a =，所以 () 0g x ，所以 () 0f x '，所以 ()f x 在()x a ∈+∞，上无极值点； （iii ）01a <<时，()0g a >，(2)0g <，所以 存在唯一的1(2)x a ∈，，1()0g x =，即1()0f x '=． 当1()x a x ∈，时，()0g x >，()0f x '>，当1()x x ∈+∞，时，()0g x <，()0f x '<； 所以 1x x =为()f x 在(,)x a ∈+∞的极大值点，此时()f x 在()x a ∈+∞，有一个极值点． 当(0)x a ∈，时，3()0x a −<.()12ln a g x x x =−−，2222()a a x g x x x x −'=−=，令()0g x '=，得2a x =． 当(0)2a x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2a x a ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减． 令()12ln 022a a g =−−=，得a =． （i ）1a >时，若(1a ∈，()02a g >，()2ln 0g a a =−<，当(0)2a x ∈，时，2216()12ln 1616a a g a =−−161430a <−+−=−<， 所以 存在22()162a a x ∈，，3()2a x a ∈，，23()()0g x g x ==． 当2(0)x x ∈，时，()0g x <，()0f x '>，当23()x x x ∈，时，()0g x >，()0f x '<，当3()x x a ∈，时，()0g x <，()0f x '>；所以2x x =为()f x 的极大值点，3x x =为()f x 的极小值点； 此时()f x 在(0)a ，上有两个极值点． 若)a ∈+∞，则 () 02a g ，() 0g x ，() 0f x '， 此时 ()f x 在(0)a ，上无极值点； 故 1a >不符合题意．（ii ）当1a =时，1()02g >，1()016g <，(1)0g =； 所以 存在唯一411()162x ∈，，使得4()0g x =， 当4(0)x x ∈，时，()0g x <，()0f x '>，当4(1)x x ∈，时，()0g x >，()0f x '<；所以 4x x =为()f x 的极大值点；此时 ()f x 在(0)a ，有一个极值点，故 1a =符合题意．（iii ）当01a <<时， 02a g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()2ln 0g a a =−>，当(0)2a x ∈，时，2()016a g <， 所以 存在唯一25()162a a x ∈，，使得5()0g x =， 当5(0)x x ∈，时，()0g x <，()0f x '>，当5()x x a ∈，时，()0g x >，()0f x '<；所以 5x x =为()f x 的极大值点；此时 ()f x 在(0)x a ∈，有一个极值点，不合题意． 综上 a 的取值范围为0a 或1a =．。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A．B．C．D．3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A．B．C．D．7.若函数为奇函数，则的解集为（）A．B．C．D．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（）A．B．C．D．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足的，有，则（）A．B．C．D．10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域为______.2.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天）繁殖个数y（千则上表中丢失的实验数据的值为______.3.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.5.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.三、解答题1.如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.2.小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.3.如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.4.已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.5.已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点.（1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.6.已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】复数，所以复数为虚数单位）的共轭复数是，其对应的点位于第一象限，故选A.【考点】1、复数的运算；2、复平面；3、共轭复数.2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合，，所以集合，集合的子集的个数为，故选C.【考点】1、集合的概念；2、子集.3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出约束条件对应的可行域如下，，其中表示可行域内的点到直线的距离，由上图可知，点到直线的距离最大，最大为，所以的最大值为故选A.【考点】线性规划．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为且，若，如果，那么,则，如果，那么，则，总之“”是“”的充分条件；反过来，若，则，这时总能推出，所以“”是“”的必要条件，综上故选C.【考点】充分条件与必要条件．5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A.【考点】平面向量．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由程序框图可知：第一次运行第二次运行第三次运行……………，第次运行输出，综上故选D.【考点】程序框图．7.若函数为奇函数，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数为上奇函数，所以，所以，由于为增函数，而为减函数，所以是减函数，又因为，由可得，从而，故选D.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【思路点晴】本题是一个关于函数的奇偶性、单调性方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】问题等价于“取出的张标签的标号的和是”，又等价于“选出两张并且和为”，而这样的选法有共种，而所有的取法有，从而所求概率是，故选A.【考点】古典概型．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足的，有，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由条件可知，再根据题意可知,由于，所以不妨设，那么，故选D.【考点】三角变换．【思路点晴】本题是一个关于三角函数的变换以及三角函数的最大值、最小值方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：首先应根据三角函数的基本变换原理，由的解析式进而得到的解析式，再根据题目条件得出关于参数的式子，并从中解得参数的值，问题得到解决.10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点是，由条件可得，从而得，进而解得离心率的取值范围是，故选B.【考点】1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于的一个不等式，再结合，即可求得双曲线的离心率的取值范围，并最终使问题得以解决.二、填空题1.函数的定义域为______.【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案填.【考点】1、函数的定义域；2、无理不等式及对数不等式.2.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天）34567繁殖个数y（千则上表中丢失的实验数据的值为______.【答案】【解析】由表中数据可得，将点代入可解得，故答案填.【考点】回归分析.3.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于不等式的解集不是空集，所以，而，所以即，故答案填.【考点】1、绝对值不等式；2、极端不等式.4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，其中是等腰三角形，并且边上的高是，所以，故答案填.【考点】1、三视图；2、棱锥的体积.【思路点晴】本题是一个关于三视图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先由三视图要正确的作出其对应的立体图形，一般的，如果一个几何体的三视图中，其正视图、左视图、俯视图都是三角形时，那么这个几何体应该是三棱锥.再结合本题三视图中的已知数据，即可求得该几何体的体积.5.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.【答案】【解析】作出函数的图象如下，设，由图可知，并且当时，，此时，当时，，此时，综上的取值范围是，故答案填.【考点】1、分段函数；2、函数图象.【方法点晴】本题是一个关于分段函数的图象方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先要根据分段函数在各部分上的解析式，正确的作出其图象，其次再根据，可作出一条水平直线，然后再根据这条水平直线的上下变化区间，即可求得的取值范围.三、解答题1.如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据，以及，即可求得的值；（Ⅱ）先根据正弦定理求出的长，再由三角形的面积公式即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）因为，且，所以.又因为，所以.所以.（Ⅱ）在中，由正弦定理得，所以.所以.【考点】1、三角形正弦定理；2、三角形面积.2.小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】（Ⅰ）根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率，另外也可利用独立重复试验求对应事件的概率；（Ⅱ）首先列出随机变量的所有可能的取值，再根据事件的互斥性和独立性求出取各值时的概率，最后即可求得的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）记“甲第次抢得红包”为事件，“甲第次没有抢得红包”为事件.则，.记“甲恰有次抢得红包”为事件，则，由事件的独立性和互斥性，得..（Ⅱ）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件.则，.由题意知的所有可能取值为，由事件的独立性和互斥性，得.....所以的分布列为所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望.【考点】1、事件的互斥性和独立性；2、随机变量的期望及分布列.3.如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，进而可得到线线垂直；（Ⅱ）先根据等体积法求出点到平面的距离，再结合直角三角形的边角关系即可求出直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.因为是等腰直角三角形，，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.所以四点共面.因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（Ⅱ）在平面内作，垂足为，则.因为是等边三角形，，所以.在中，.因为是等腰直角三角形，，所以.所以.由（Ⅰ）知，因为平面，平面，所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.在平面内作，垂足为，因为平面，平面，所以.因为平面，平面，，所以平面，且.在中，，在中，，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，所以的面积.设点到平面的距离为，由，得，得.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】1、线线垂直；2、线面角.4.已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由数列的前项和公式再结合对的讨论，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，先求出数列的通项公式，再利用分组求和法并结合错位相减法以及裂项相消法，即可求得数列的前项和.试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，.又也满足上式，所以.（Ⅱ）.设数列的前项和为，数列的前项和为，则，，所以，，所以.又.所以.（说明：也可写成同样给分）【考点】1、通项公式及前项和公式；2、错位相减法及裂项相消法.5.已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点.（1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）由题设得圆的圆心为，半径为，，又，所以，由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆.设此椭圆方程为，且焦距为，则即所以动点的轨迹的方程为.（Ⅱ）（1）设，则，且，所以直线，即①.直线，即.②联立①②，解得，所以点的坐标是.则所以点恒在椭圆上.（2）设直线，，则由消去，并整理得，.因为恒成立，所以.所以.令，设，因为，所以函数在上单调递增，故.所以，即当时，的面积取得最大值，且最大值为.【考点】1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.6.已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.试题解析：（Ⅰ）由题设可求得，，因为在处取得极值，所以即解得.经检验知，满足题设条件.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，所以在上恒成立，即在恒成立.设，则，.设，1）当，即时，，所以，在单调递增，所以，即当时，满足题设条件.2）当，即时，设是方程的两个实根，且，由，可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意有，即在上恒成立，所以在上为增函数，所以.所以时，也满足题设条件.综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，即在区间上恒成立.令，得.所以当时，，当时，上式显然成立.所以原不等式得证.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.。
2022-2023学年山东省临沂市高考模拟考试(一模)数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年山东省临沂市高考模拟考试（一模）数学试题1. 已知集合，，则下列集合为空集的是( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是( )A. iB.C. 1D.3. 某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是( )件数7891011人数37541A. B. 9 C. D. 104. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )A. B. C. D.5. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长如图，直角梯形ABCD，已知，，，，则其重心G到AB的距离为( )A. B. C. D. 17. 已知，，，则( )A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右两支分别交于点M，N，且，则C的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为( )A. B.C. D.10. 已知圆，点，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )A. 线段AP长的最大值为6B. 当直线AP与圆C相切时，C. 以线段AP为直径的圆不可能过原点OD. 的最大值为2011. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )A.B. 延长AO交直线于点D，则D，B，Q三点共线C.D. 若PB平分，则12. 已知正方体的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，，，的中点，则( )A. 直线，EF是异面直线B. 平面截正方体所得截面的面积为C. 三棱锥的体积为D. 三棱锥的外接球的表面积为13. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高单位：服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________若，，14. 的展开式中常数项为__________.15. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________.16. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求若，求面积的取值范围.18. 为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图.若此次活动中获奖的学生占参赛总人数，试估计获奖分数线;采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在的人数为，求的分布列和数学期望.19. 已知数列为等比数列，，是与的等差中项，为的前n项和.求的通项公式及集合A为正整数集的某一子集，对于正整数k，若存在正整数m，使得，则，否则记数列满足求的前20项和20. 如图，三棱锥，，，，平面平面ABC，点M为PC的中点.若，求直线BM与平面ABC所成角的正弦值;若，求BC的长.21. 已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点M的轨迹为曲线求C的方程;若点A，B，D，E在C上，且，AD与BE交于点P，点P在椭圆上，证明：的面积为定值.22. 已知函数，若恒成立，求实数a的最小值;证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交集、补集运算，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.解指数不等式、对数不等式得集合A，B，由交集、补集的定义逐个计算得答案.【解答】解：集合，，所以，，，，，，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的相关概念与运算，复数的几何意义，属于基础题.由复数的几何意义可知，，计算出后由虚部的概念即可得解.【解答】解：由题意，，则，所以的虚部为3.【答案】C【解析】【分析】本题考查百分位数，属于基础题.由得，第75百分位数是第15位和第16位工人生产的产品件数的平均数，由此即可求出结果.【解答】解：抽取的人数为人，，所以该组数据的产品件数的第75百分位数是第15位和第16位工人生产的产品件数的平均数，即4.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算、投影向量的求法，属于基础题.结合数量积的定义式、投影向量的求法求解.【解答】解：向量在向量上的投影向量为：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题．由，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：因为，因为，所以“”是“”的充分不必要条件.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何体的体积，属于中档题.求出直角梯形绕AB旋转一周所得几何体体积，记重心G到AB的距离为，则，即可得出答案.【解答】解：设则，直角梯形绕AB旋转一周所得旋转体的体积为，，设重心G到AB的距离为，则，得故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了判断函数零点、方程的根所在区间，利用作差法/作商法比较代数式的大小和利用对数函数的图象与性质比较大小，属于较难题.令，利用判断函数零点、方程的根所在区间得，再利用作差法比较代数式的大小得和，再利用对数函数的图象与性质比较大小得结论.【解答】解：令，则函数是增函数.因为，，所以存在唯一，使得，因此满足的因为，所以，因此因为，所以，因此，即，而函数是减函数，因此因为，所以，因此，而，所以，即，而函数是减函数，因此综上所述，8.【答案】D【解析】【分析】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，余弦定理的应用等知识，属于中档题．设，，根据双曲线的定义算出，由余弦定理，，即可得.【解答】解：如图：，设，则，，根据双曲线的定义，得，即，解得，即，，，，所以，即，解得，所以9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的判断，属于中档题.由为定义在R上的偶函数，得为奇函数，根据函数奇偶性的定义判断选项即可求解.【解答】解：由于为定义在R上的偶函数，所以，即，所以，所以是R上的奇函数.选项A：定义域为，不是R，故A错误；选项B：定义域为R，由，则是奇函数，故B正确；选项C：定义域为R，由，则不是奇函数，故C 错误；选项D：定义域为R，由，则是奇函数，故D正确.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了由标准方程确定圆心和半径，点到圆上点的最值问题，圆的切点坐标、切线长，向量的加法运算和向量的数量积的概念及其运算，属于中档题.利用圆C的标准方程确定其圆心和半径，再利用点到圆上点的最值问题对A进行判断;再利用圆的切线长对B进行判断;再利用平面几何知识对C进行判断;再利用向量的加法运算和向量的数量积对D进行判断，从而得结论.【解答】解：对于由得，因此圆C的圆心为，半径为因为，所以点A在圆C外，而，因此线段AP长的最大值为，故A正确;对于由选项A知：，因此当直线AP与圆C相切时，，故B正确;对于因为圆C与x轴交于点，，所以当P与E或F重合时，和都是以AP为斜边的直角三角形，因此以线段AP为直径的圆过原点O，故C错误;对于因为在中，，，，而，所以，因此当与同向共线时，取得最大值，最大值为，故D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及应用，属于较难题.求出，进而求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，得到即可判断求出，利用两点间距离公式求出即可判断求出直线AO的方程，得到，由光学性质可知BQ平行于x轴，可知根据B，D，Q三点都在上，即可判断B；PB平分推出，由，计算m的值，即可判断【解答】解：中，令，即，解得：，故，则直线AB必经过焦点，故直线AB的方程为，即，联立与，得：，故，故A正确;又，即，所以，所以，故B点坐标，则，故C错误；直线AO的方程为，令，则，故，又由光学性质可知BQ平行于x轴，所以Q点纵坐标等于B点坐标为，显然，，Q三点都在上，故B正确；由光学性质可知AP平行于x轴，BQ平行于x轴，则，有，PB平分，有，所以，即，得，故D错误.故选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查异面直线的概念，考查棱锥的体积、外接球的表面积，考查空间几何体的截面问题，属于难题.【解答】解：对于A，取CD中点，连接，根据正方体的结构特征，可知，又平面ABCD，平面，所以EF与相交或异面，又点，则直线EF与直线是异面直线，又，所以直线EF与直线是异面直线，故A正确；对于B，取AB中点K，连接MK、DK，根据正方体的结构特征，可知，M ，K分别是，AB的中点，所以，所以，所以，MK共面，所以平面截正方体所得截面为四边形，正方体棱长为4，所以，，，，所以中，，则，，所以中，，则，，所以，故B错误；对于C，连接，，交于点H，取BH中点N，连接MN，根据正方体的结构特征，可知点A，B，，共面，且，，又，，平面，所以平面，又M，N分别为，BH的中点，所以，所以平面，所以MN是三棱锥的高，，中，，，，所以，，故C正确；对于D，取中点，取CD中点，连接，取中点O，连接OA，OB，OM，，根据正方体的结构特征，可知平面，易知中，，又点是中点，所以点是外接圆圆心，又平面，所以上的任一点到点A，B，的距离都相等，所以，又点O是中点，所以过点O且平行于平面ABCD的平面交MB于MB的中点，所以该平面上任一点到点M和点B的距离相等，点O在该平面上，所以，所以，即点O是三棱锥的外接球的球心，易求，则，，则中有，，即三棱锥的外接球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选13.【答案】1359【解析】【分析】本题为正态分布的常规考法，计算简单，属于基础题．首先得到正态分布中，，观察即为，所以【解答】解：由知；，，株水稻，株高在的约有1359株.14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用二项展开式的通项求展开式中特定项，属于基础题.求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项．【解答】解：展开式的通项为：，令，解得，，令，解得，，展开式中常数项为：故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质的应用，属于中档题.根据三角函数图象的对称性，得到，求得，进而求得，得到，结合，即可求得的值.【解答】解：如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和EFGH的面积之和，即，因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了点到直线的距离，利用导数研究函数的最值，函数零点与方程根的关系，属于较难题，由题可得点是直线上一点，求得原点O到直线l的距离d，则，令，，利用导数求其最值即可.【解答】解：由已知可得，，不妨设直线l：则点是直线l上一点，原点O到直线l的距离为，则，设，，，可知函数在上单调递增，可得，所以的最小值为17.【答案】解：由正弦定理得：，所以，即，因为，所以，又，所以；由余弦定理得：，即，所以，即，又，【解析】本题考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，考查了运算求解能力，属于基础题．由题意，由正弦定理得：，进而求出C；由余弦定理得：，即，利用三角形面积公式，结合不等式，求出，即可得解．18.【答案】解：根据直方图可知，成绩在的频率为，大于，成绩的频率为，因此获奖的分数线应该介于之间.设分数线为，使得成绩在的概率为，即，可得，所以获奖分数线划定为应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012P数学期望【解析】本题考查频率分布直方图及利用超几何分布求分布列、均值，属于中档题.根据频率分布直方图计算即可；应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，求出相关概率即可得分布列、数学期望.19.【答案】解：设的公比为q，，是与的等差中项，，，，，由题意知，，又，，，即，故，又，【解析】本题考查等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，分组并项法求和，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题.利用等差中项，等比数列的通项公式列方程解出q，代入公式即可；根据上问得出，又，，可得，即，再根据题意求得的前20项和.20.【答案】解：取AB得中点D，连接PD，由于，因此，又平面平面ABC，又平面平面，平面PAB，平面以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，则，，当时，，，取平面ABC的一个法向量为，，设直线BM与平面ABC所成的角为，，直线BM与平面ABC所成角的正弦值为由题意知，又，，，即，，又，可得，在中，，，【解析】本题考查了利用空间向量求线面所成角，属于中档题.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；由题意知，，由可得，求出，进而求得答案.21.【答案】解：由题意知，化简整理得曲线C的轨迹方程为证明：设，，，由题意知由，可知D，E分别为AP，BP的中点，所以，，由得，，，同理，所以A，B都在直线上.由得，，又因为直线AB过坐标原点，所以又点P到直线AB的距离，所以，又，，故故的面积为定值.【解析】本题考查圆锥曲线的知识，主要考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于较难题.根据与点的距离和它到直线的距离之比是，列出等式化简即可.根据题意得出D，E坐标，将A、B、D、E的坐标带入椭圆方程，联立方程组化简得到A，B 都在直线上，再将此直线与椭圆联立方程组，得出AB距离，用点到直线距离求出高，进而化简的面积得到为定值.22.【答案】解：显然，，恒成立，即恒成立只要恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，上式显然成立，故上式恒成立，只需满足时恒成立即可，设，则上式化为而，可得在单调递减，在单调递增，因此式恒成立，只需恒成立，即对恒成立，于是恒成立，即，设，，则，可得在单调递增，在单调递减，则，于是，实数a的最小值为；证明：设直线l分别切，的图象于点，，由可得，得l的方程为，即，由可得，得l的方程为，即，比较l的方程，得，消去，得，令，则，当时，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，在上有一个零点，由，得，在上有一个零点，在上有且只有两个零点，故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.【解析】本题考查导数中的恒成立、零点问题以及利用导数研究函数的单调性，属于较难题.问题转化为时恒成立即可，设，则上式化为，利用导数求出的单调性，因此式恒成立，只需恒成立，设，，求出的最值即可；首先设直线l与函数，的切点分别为，，并分别求出切线方程，再对比系数后可得，的方程组，消元后，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数，即可证明.。
山东省2022_2023高三数学下学期高考仿真模拟1试题pdf
数学参考答案（ 一 ）1.【答案】B【解析】由题意得A =jxlx<6f,B = jxlx >5f ，所以A n B = jxl5<x <6f ，故选B.2.【答案】A【解析】由题意得z =(3 +7i)(5 -2i)29 +29i (5 +2i ) (5 -2i ) 29 = 1 + i ,所以3z -z =3(1+i ) -(1-i) =2 +4i ，故选A .3.【答案】D4 -0 【解析】解法一：由题意得42=8p，解得p =2，所以抛物线C:y 2=4x,F(1,0)，所以l的方程为y = � (X —l )，即4 -14 y =—(x-1)，与y 2=4x联立得4x 2-17x +4 =0，解得X =4或x =—，所以环＝—，所以IAB I = I A F I + I B F I = 44 425 +—+p =—，故选D．解法二：由题意得42=8p，解得p =2，所以抛物线C:y 2=4x ，利用二级结论X A 环＝L ,可得4 4 4 25 4x B = 1，即X B =—，所以IAB I = I A F I + I B F I = 4+—+p =—，故选D.4 4 44.【答案】C【解析】设当给药时间为3n -1小时的时候，患者的血药浓度为a 几，血药浓度峰值为a ，则数列1a n }是首项为a ,公比为0.4的等比数列，所以a n =ax O . 4n -l ，令a n = 0. 01024a ，即0.4n -l =0. 45，解得n =6，所以当血药浓度为峰值的1.024％时，给药时间为3x6-1=17，故选C.5.【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则｛刓＝4妇，解得r =2,l =2/3，由题意知当球为圆锥的外接球尸＝2丘，3丘44时，休积最小，设外接球的半径为R，则（2丘－R )2+2三矿，解得R =，所以外接球的体积为—,rR 3＝—1T X 2门）3=9辛，故选D.6.【答案】B (x+ 2)sin x 【解析】幻(x )= (x + 2) s in 2x ，则当XE（子，叶时，J (x )<0，不符合图象，排除A；设(x )=，当XEIx I+ 1(0,1T)时，f(x )=�，且2<x+2<1r+2,0<sinx<l,1<x+l <1r+l ，所以0< (x + 2) s in x< 1T + 2，所以f(X) < 1T + 2 < 6，不符合图象，排除C；设f(x )=x 2+2xCOS X +2'令f(x )=0，解得X =0或－2，排除D，故选B.7.【答案】B【解析】由题意得25S 5 = 36，所以2n凡＝36+7(n-5) =7n + 1，所以S n = 7n + 1 2n ．当n =1时，a 1=S 1 =4；当n �24,n = 1,7n + 17n -6 13 -7n { 时，a n =S n -S n -1 =� � = ，所以a n = 13 -7n可知a 2= -t < a 1，当畛2时，a n +l -a n=2n -2n -l -2n ,n �2, 6 -7n 13 -7n 7n -20 2n +I ＝ 2" -2n +I 2n ，则当n =2时，a n +I < a n ，即a 2>也；当n 乏3时，a n +I> a n ，此时飞｝单调递增，即a 3< a 4<a 5 <…，所以飞｝的最小项为a 3= -1，故选B.I．数学－第1页（共7页）8.答案】A解析】由题得b 2 c 2 -a 2c 2 ; ＝ a2 ＝仁）－1= 8，设A (x ,'Y ,)'B (Xz 'Yz)'C (X 3'y3)'D (X 4'Y4)'E (X o 'y 。
2024年山东省淄博市高考数学仿真模拟试卷
2024年山东省淄博市高考数学仿真模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(★)(5分)189°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．(★)(5分)下列集合中不同于另外三个集合的是()A．{x|x3=1}B．{x|x2=1}C．{1}D．3．(★)(5分)cos(-240°)的值为()A．B．-C．D．-4．(★)(5分)在下列区间中，函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为()A．(-2， -1)B．(-1， 0)C．D．5．(★★)(5分)同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称的一个函数是()A．y=sin(+)B．y=sin(2x+)C．y=cos(2x-)D．y=sin(2x-)6．(★)(5分)若，则=()A．-B．C．D．7．(★)(5分)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)=的图象大致是() A．B．C．D．8．(★★)(5分)函数的单调递增区间为()A．(-∞， 1)B．(2， +∞)C．(-∞，)D．(， +∞)9．(★★)(5分)若关于x的方程x2-x-m=0在[-1， 1]上有解，则实数m的取值范围是() A．[-1， 1]B．C．(-∞， 1]D．10．(★★)(5分)要得到函数的图象，只需要将函数y=sinx的图象() A．向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变B．向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C．向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D．向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变11．(★★)(5分)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为≈0.618(黄金分割比)时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为()A．127.50°B．137.50°C．147.50°D．150.50°12．(★)(5分)函数在区间[0， 2π]上至少存在4个不同的零点，则正整数ω的最小值为()A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．(★)(5分)270°化为弧度数为．14．(★★)(5分)已知幂函数y=x n的图象过点(2， 8)，则n=3．15．(★★)(5分)若f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)=．16．(★★★)(5分)已知函数f(x)，对于任意实数x∈[a,b]，当a≤x0≤b时，记|f(x)-f(x0)|的最大值为D[a,b](x0)．①若f(x)=(x-1)2，则D[0， 3](2)=3；②若则D[a,a+2](-1)的取值范围是[1， 4]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(★)(10分)已知集合A={x|-3≤x＜4}， B={x|a+1＜x≤a+3}．(1)当a=2时，求A∪B；(2)若A∩B=B，求a的取值范围．18．(★)(12分)(1)．(2)已知tanα=2，求的值．19．(★★★)(12分)已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-2ax+a=0的两个根．(1)求实数a的值；(2)若θ∈(-， 0)，求sinθ-cosθ的值．20．(★)(12分)某小电子产品2018年的价格为9元/件，年销量为a件，经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为x元/件(其中6.5≤x≤8.5)，经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了件(其中常数k＞0)．已知该电子产品的成本价格为4元/件．(1)写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式：(年收益=年销售收入-成本)(2)设k=2a,当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%？21．(★★)(12分)已知的一个零点是．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)当时，求函数的最大值以及最小值．22．(★★★★)(12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设函数h(x)=f(x)+x,若h(x)＞log4(2x+t)恒成立，求实数t的取值范围．(3)设，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．。
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20正视图侧视图8080802010年高考模拟数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设全集I 是实数集R ，{|ln(2)}M x y x ==-与3{|0}1x N x x -=≤-都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ） （A ）{2}x x < （B ）{21}x x -≤< （C ）{12}x x <≤（D ）{22}x x -≤≤2.i 是虚数单位，已知(2)5i z i -=，则z =（ ）（A ） i 21+ （B ）i 21-- （C ）i 21- （D ）i 21+- 3．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ( ) A ．4B ．41C ．－4D ．－145.某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）( ) A. 240000cm B. 240800cmC. 21600(2217)cm +D. 241600cm6．已知10<<<<a y x ，y x m a a log log +=，则有( )A 0<mB 10<<mC 21<<mD 2>m7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y 等于（ ）A ．7B ．15C ．31D ．638．已知7722107)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，那么=+++++765432a a a a a a ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．129．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)4sin(2)(π+=x x fD ．)4321sin(4)(π+=x x f10．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为 （ ）A ．5B ．10C ．20D ．1511．若实数x ，y 满足不等式11,02240+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-≥x y y x y x y ω则的取值范围是（ ）A ．]31,1[-B ．]31,21[-C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 12．设函数()f x 的定义域为R ，且(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(4)1f <-，3(2011)3a f a +=-，则a 的取值范围是（ ） A. (－∞, 3) B. (0, 3)C. (3, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请直接在答题卡上相应位置填写答案. 13．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是________。
14．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上A B ，两点间的球面距离是15．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 种。
16．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记35的“分裂”中的最小数为a ，而25的“分裂”中最大的数是b ，则=+b a 。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最小正周期为π3，且当)(,],0[x f x 函数时π∈的最小值为0.（I ）求函数)(x f 的表达式；（II ）在△ABC ，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值。
18．（本小题满分12分）袋中装有大小相等的3个白球，2个红球和n 个黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为61。
（Ⅰ）袋中黑球的个数n ；（Ⅱ）ξ的概率分布列及数学期望ξE .（Ⅲ）求在取得两个球中有一个是红球的条件下，求另一个是黑球的概率.1917151343119733532375314253132312219．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD=DE=2AB ，且F 是CD 的中点。
（I ）求证：AF//平面BCE ；（II ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（III ）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小。
20．（本小题满分12分）}{na 是首项14a=的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列，（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，若n T ≤1n b λ+对一切*n N∈恒成立，求实数λ的最小值. 21．（本小题满分12分）已知定点A （－2，0），动点B 是圆64)2(:22=+-y x F （F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在过点E （0，－4）的直线l 交P 点的轨迹于点R ，T ，且满足167OR OT ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）已知0>a ，函数ax x x f +-=)2ln()(.（Ⅰ）设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ，若l 与圆1)1(22=++y x 相切，求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）求函数)(x f 在[0，1]上的最小值。
参考答案1—6 CBDADD 7—12 DDBBCC二、13．92 14．23π 15．48 16．30 三、17．解：（I ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω………2分依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π…………4分 分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ΛΛΛΛ-+==≤+≤≤+≤∈ππππππx x f m m x f x x x（II ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f分分解得中在分解得所以而12.215sin ,1sin 010.251sin ,0sin sin cos 2),cos(cos sin 2,2,8.2.2632,65632622ΛΛΛΛΘΛΛΛΛΘΛΛΛΛ-=∴<<±-==--∴-+==+∆==+<+<A A A A A A C AB B B A ABC Rt C C C πππππππ18. 解：（1）61)0(252===+n n C C p ξΘ， …………………………………………3分4)(1,0432=-==--∴n n n n 或舍去解得即袋中有4个黑球。
…………4分（2）可能的取值ξ0， 1， 2， 3， 4。
61)0(==ξp Θ，,3611)2(,31)1(29121423291314=⋅+=====C C C C P C C C P ξξ 61)3(291213=+==C C C P ξ， 361)4(2922===C C P ξ ……………………7分 的概率分布列为ξ∴ξ 01234P61 31 3611 61 361 9364633623160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………………9分（3）记摸出的两个球中有一个红球为事件A ，有一个黑球为事件B ，则A 为两个球都不是红球.所以两个球中有一个是红球的概率为27292115()1()113636C P A P A C =-=-=-=，两个球为一红一黑为事件A B I ，其概率1124292()9C C P A B C ==I ， 所以在取得的两个球中有一个红球的条件下，另一个是黑球的概率为：2()89(|)15()1536P A B P B A P A ===I .--------------------------------------------------------12分19．（I ）解：取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP=.21DE 又AB//DE ，且AB=.21DE ∴AB//FP ，且AB=FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF//BP 。
…………2分 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF//平面BCE 。
…………4分（II ）∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD 。
∵AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，∴DE ⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥AF 。
又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D ， ∴AF ⊥平面CDE 。
…………6分又BP//AF ，∴BP ⊥平面CDE 。
又∵BP ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE 。
…………8分 （III ）由（II ），以F 为坐标原点，FA ，FD ，FP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴（如图），建立空间直角坐标系F —xyz.设AC=2，则C （0，—1，0），).2,1,0(,),1,0,3(E B -………………9分).1,1,0(,1.022,03,0,0,),,(-==⎩⎨⎧=+=++-=⋅=⋅=n z z y z y x CE n CB n BCE z y x n 则令即则的法向量为平面设 ……10分 显然，)1,0,0(=m 为平面ACD 的法向量。