(完整版)2016年山东省高考数学试卷(理科解析)

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2016年高考理科数学山东卷及答案解析

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内,直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.设x ∈R ,则不等式|3|1x -<的解集为 .2.设32i iz +=,其中i 为虚数单位,则Imz= .3.已知平行直线1l :210x y +-=,2l :210x y ++=,则1l 与2l 的距离是 .4.某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是（米）.5.已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上,则()f x 的反函数1()f x -= .6.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成的角的大小为2arctan 3,则该正四棱柱的高等于 .7.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 .8.在2)n x的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 .9.已知ABC △的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .10.设0a >,0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 .11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ,{23}n S ∈，,则k 的最大值为 .12.在平面直角坐标系中,已知(1,0)A ,(0,1)B -,P是曲线y =上一个动点,则·BP BA 的取值范围是 .13.设,a b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+,则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为 .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 的中心,1(1,0)A .任取不同的两点i A ,j A ,点P 满足i j OP OA OA ++=0,则点P 落在第一象限的概率是 .二、选择题（本大题共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )A .65cos ρθ=+B .65sin ρθ=+C .65cos ρθ=-D .65sin ρθ=-17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=.下列条件中,使得2()n S S n N *<∈恒成立的是( )A .10a >,0.60.7q <<B .10a <,0.70.6q -<<-C .10a >,0.70.8q <<D .10a <,0.80.7q -<<-18.设)(f x ,()g x ,()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题:①若)(()x f g x +,)()(x f h x +,)()(x g h x +均是增函数,则)(f x ,()g x ,()h x 中至少有一个增函数;②若(())x f g x +,)(()f x h x +,)()(x g h x +均是以T 为周期的函数,则)(f x ,()g x ,()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本小题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3π,其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.（Ⅰ）求三棱锥111C O A B -的体积;（Ⅱ）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程;（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线交于A ,B两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π,1F AB △是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;（Ⅱ）设b =.若l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +=,求l 的斜率.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知a R ∈,函数21()log ()f x a x=+.（Ⅰ）当5a =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围;（Ⅲ）设0a >,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足:只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P . （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ,且11a =,22a =,43a =,52a =,67821a a a ++=,求3a ; （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由;（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列,已知1sin ()n n n a b a n +=+∈*N .求证:“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1cos,3m n<>=，21||||||043t n n n∴+=，104∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数【考点】平面向量数量积的运算【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）22232b c a =，即为a2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程(f 3m >（Ⅱ）2a b +=22)b a =+号，231122c ab -≥G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∥且平面GQH GH ⊂面GH ∴∥平面数学试卷第13页（共18页）数学试卷第15页（共18页）（Ⅱ）AB BC =AC ⊥，又OO '⊥面为原点，OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,2CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,OO '=，设(,,n x y z FCB 的法向量，00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，取0x 则1,2,n ⎛=-- ⎝7,7||||OO n OO n OO n ''<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+1)2n ， 126[2232(1)2]n n ++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]1)2)232n n n n n n n +++++++-+=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{c 22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为2232113⎛⎫-= ⎪⎝⎭22332322101111443433144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦3232323232323232111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示：x 1)2x数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）1a =21)1x x+-++--()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭22022)(41)1)x x x ++，令11)x +21111140001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时。

2016年高考数学真题山东理科解析

c1 c2 c3 cn ，
3 [2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n1 ] ，
2Tn 3 [2 23 3 24 4 25 (n 1) 2n2 ] ，
两式作差，得
Tn 3 [2 22 23 24 2n1 (n 1) 2n 2 ]
专注数学成就梦想

普通高等学校招生全国统一考试山东卷答案
理科数学
一、选择题 1. B. 解析设 z a bi,(a, b R) ，则 2z z z z(z )a b ia 2 所以 a 1, b 2 ，即 z 1 2i .故选 B.
专注数学成就梦想

行．故选 A.
2 2 7. B. 解析由 f ( x) 2sin x cos x 3 cos x sin x sin 2 x 3 cos 2 x

π 2sin 2x ，所以最小正周期是 π . 故选 B. 3
3a b i 3 2 i
，
（0，） ,B （ 1， 1）（ 1， +） 2. C. 解析由题意， A ，所以 A B = .故选 C.
3. D. 解析由图可知组距为 2.5 ，每周的自习时间少于 22.5 小时的频率为
(0.02 + 0.1) ×2.5 = 0.30 ，所以每周自习时间不少于 22.5 小时的人数是
由 f x

1 1 1 当 x 时， f ( x) 的周期为 1 ，所以 f (6) f (1) ． f x 知， 2 2 2
又当 1 x 1时， f ( x) f ( x) ，所以 f (1) f (1) ．于是 f (6) f (1) f (1) [(1)3 1] 2 ．故的公差为 d ，由

(精校版)2016年山东理数高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试
卷和答题卡一并交回。注意事项：
！
功 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和
（14）在[- 1,1] 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 (x - 5)2 + y2 = 9 相交”发生的概率为 .
！（15）已知函数
f
(x)
| x x2
|,
2mx
4m,
xm xm
其中
m
0
，学.科网若存在实数
b，使得关于
x
的方程
f（x）
=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。
功
（16）（本小题满分 12 分）
成
到在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan A tan B) tan A tan B. cos B cos A
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求 cosC 的最小值. 17（本小题满分 12 分）
（i）求证：点 M 在定直线上;
（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记
PFG 的面积为 S1 ，
PDM
的面积为 S2 ，求
S1 S2
的最大值及取得最大值
时点 P 的坐标.
！功成到马考高您祝
2016 年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学试题参考答案

2016年高考理科数学山东卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件,A B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z =（）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2. 设集合{}{}22,,10xA y y xB x x ==∈=-<R ，则AB =（）A. 1,1-（）B. 0,1（）C. 1,-+∞（）D. 0,+∞（）3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，20,2[ 2.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x ，y 满足+2,2-39,0,x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则22+x y 的最大值是（）A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12+33π B.12+33π C.12+36π D. 216π+6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（）A.2πB. πC. 32πD. 2π8. 已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos <m ,n >=13，若n ⊥(t m+n )，则实数t 的值为（）A. 4B. 4-C.94 D. 94-9. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()1f x x -３＝；当x -1≤≤1时，()f x -=()f x -；当12x >时，11(+)()22f x f x -＝.则(6)f = （）A. 2-B. 1-C. 0D. 210. 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）A. y=sin xB. y=ln xC. x y=eD. 3y=x232i,z z +=--------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）第II 卷（共100分）二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别为0和9，则输出的i 的值为 .12. 若251)ax x+（的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =________.13. 已知双曲线2222y 100E a b a bx =>>-：（，）.矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是_______.14. 在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_______. 15. 已知函数2|| ()24 x x m x mx m x m f x ⎧⎨-+⎩=，≤，，＞，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知2(tanA+tanB)=tanA tanB+cosB cosA. (Ⅰ)证明：2a b c +=； (Ⅱ)求cos C 的最小值.17. （本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(Ⅰ)已知G,H 分别为EC,FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ；(Ⅱ)已知1232EF =FB =AC =,AB =BC ，求二面角F -BC -A 的余弦值.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .20. （本小题满分13分)已知221()(ln ),R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立.21. （本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【考点】并集及其运算【答案】D【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1,3m n<>=，231||||||043t n n n∴+=，104t∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数t的值．【考点】平面向量数量积的运算【答案】D12x>时，1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11x-≤≤【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）22232b c a =，即为a．2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程()f x b =m ∴的取值范围是【提示】作出函数（Ⅱ）2a b +=22)b a b =+0b >，∴由余弦定理231cos 122c ab -≥sin tan cos A A A =cos cos A B +G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∴∥且∴平面GQH GH ⊂面GQH GH ∴∥平面（Ⅱ）AB BC =数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页），又OO '⊥面OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,23,0)CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,3)OO '=，设000(,,)n x y z FCB 的法向量，则00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=⎪⎩，取01x =，则1,2,n ⎛=-- ⎝7cos ,7||||OO n OO n OO n ''∴<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，二面角--F BC A 的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=1n n a a -∴-11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+（Ⅱ）1)2nn C ，126[2232(1)2]n n T n ∴=++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]2(12)6(1)212)232n n n n n n n n n ++++++++-+--+-=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项，利用错位相减法求数列【考点】数列的求和，数列递推式【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为22321143144⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎭⎝⎭，22332322101111443433144⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--+--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦323232323232323225111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示： 12346572 25144x 1)2x数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）1a =32ln x x =-()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭220220)(41)(21)x x x ++，令12x +22221(122)(1)(21)2122t t t t t t t t t -⎫++-⎪+-+-⎭===0001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时【考点】椭圆的简单性质。

(完整版)2016年山东省高考数学试卷(理科解析)

2016年山东省高考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=( ）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1,b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．设集合A=｛y｜y=2x，x∈R｝，B={x｜x2﹣1＜0｝，则A∪B=（）A．（﹣1，1) B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0,+∞）解：∵A=｛y｜y=2x，x∈R｝=（0，+∞），B=｛x|x2﹣1＜0｝=（﹣1，1),∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）,制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17。

5，30］,样本数据分组为［17.5，20），［20,22.5），[22.5，25），[25,27.5），[27.5，30]．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22。

5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140解:自习时间不少于22.5小时的频率为:(0。

16+0.08+0。

04）×2。

5=0.7,故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140,故选：D4．若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2）,∴｜OA｜＞｜OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+π C．+π D．1+π解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1,高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π,故选:C6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交"时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交"时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC． D．2π解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos(x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B8．已知非零向量，满足4|｜=3|｜，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣解：∵4|｜=3｜｜,cos＜，＞=，⊥（t+），∴•(t+）=t•+2=t｜｜•||•+||2=（）|｜2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x)=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x)=﹣f（x）;当x＞时，f(x+）=f（x﹣）．则f(6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2解：∵当x＞时,f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f(x+1）=f（x）,即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f（x），∴f(1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时,f（x）=x3﹣1，∴f(﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f(﹣1）=2，∴f（6）=2．故选:D．10．若函数y=f(x）的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T 性质．下列函数中具有T性质的是( ）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则函数y=f(x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1,当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时,y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年山东高考数学理word版含答案解析祥解

绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C. 考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D考点：频率分布直方图【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3, -1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC =,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）133+π （C ）136+π （D ）16+π 【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f （x ）=x +cos x ）（x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3 【答案】A 【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

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满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A，B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60 （C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （）（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理山东卷试题及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

不按以上要求作答的答案无效。

2016年高考山东卷理数试题(解析版)

绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B 【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（）（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D. 考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”⇒“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==> ，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B. 考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （）（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】试题分析：当12x >时，11()(22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=.考点：循环结构的程序框图【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等. （12）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2 【解析】试题分析：因为5102552155()rrrrr rr T C ax C ax---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.（13）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】试题分析：假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a-，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2. 考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.（14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.三、解答题：本答题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值. 试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=,故 cos C 的最小值为12. 考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解. 试题解析：（I ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI F //E又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ，又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC .（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得B ，(C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以3,FM ==可得F故((0,BC BF =--= .设(,,)m x y z = 是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ，则有//'FM OO ,又'OO ⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC,可得3,FM ==过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ，考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.试题解析：（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n n n c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX .【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236=EX 【解析】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4, 6.由事件的独立性与互斥性，得到X 的分布列，根据期望公式求解.试题解析：(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++由事件的独立性与互斥性， ()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P P A P B P C P D C P D =++++ 323212323132=24343434343432.3⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= , 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯= , ()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= , ()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.(20) (本小题满分13分)已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证23)()(/>-x f x f ，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；3232/)1)(2(22)(x x ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，/3(1)()(a x f x x x x -=. （1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ， )(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-，由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x--+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为41,22( 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）（i ）设)02,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=.所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。

2016年高考理科数学山东卷-答案

【提示】可令，代入双曲线的方程，求得，再由题意设出，，，的坐标，由，可得，，的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线与圆相交，所以圆心到直线距离小于半径，
，，，，．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
（ⅱ）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标．
【考点】椭圆的简单性质
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为；
（B）选项中的导数是恒大于，斜率成绩不可能为；
（C）选项中的导函数恒大于，斜率成绩不可能为；
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自பைடு நூலகம்时间不少于22．5小时的频率为：，人数是人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
．
（Ⅱ），
，，且，当且仅当时取等号，
又，，，
由余弦定理，
的最小值为．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式，，带入并整理可得，这样根据两角和的正弦公式即可得到，从而根据正弦定理便可得出；

山东省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)

2016年山东省高考理科数学试题与答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足i －z z 232=+，其中i 为虚数为单位，则=z（A ）i 21+ （B ）i －21 （C ）i －21+ （D ）i －－21（2）已知集合{}{}0122<=,∈,==A －x x B R x y y x ，则=B A（A ）),(11－（B ）),(10 （C ）)+∞,(1－（D ）)+,(∞0 （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）1400.040.08 0.100.16（4）若变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+09322x y x y x ，则22y x +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 （5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π32+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62+1 （6）已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα、内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面α相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数)sin cos )(cos +sin (=)(x x －x x x f 33的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）2π3 （D ）π2（8）已知非零向量n m ,满足313>=,<cos ,=4n m n m ，若)+(⊥n tm n 则实数t 的值为（A ）4 （B ）—4（C ）49 （D ）—49（9）已知函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，1－x x f 3=)(；当11≤≤x －时，)(—=)(x f －x f ；当21>x 时，)(=)+(2121x －f x f ，则=)(6f （A ）—2 （B ）—1（C ）0 （D ）2（10）若函数)(=x f y 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称)(=x f y 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（A ）x y sin = （B ）x y ln = （C ）xe y = （D ）3x y =．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9则输出i 的值为（12）若5)+xax 1（2的展开式中5x 的系数是80－，则实数=a （13）已知双曲线)>,>(=:0012222b a by －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为（14）在],[11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆9522=+)(y x －相交”发生的概率为（15）在已知函数=)(x f ，其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根，则m 的取值范围是三、解答题：本答题共6小题，共75分．（16）（本小题满分12分）在ABC 中，角C B,A,的对边分别为a,b,c ，已知cosAtanB+cosB tanA =tanB)+2(tanA (Ⅰ)证明：c b a 2=+；（Ⅱ）求C cos 的最小值．（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知H G,分别为FB EC,的中点，求证：GH//平面ABC ；(Ⅱ)已知BC =AB ,32=AC 21=FB =EF ，求二面角A -BC -F 的余弦值．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，{}n b 是等差数列，且1++=n n n b b a ．(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令nn n n n b a c )2()1(1++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．（20）（本小题满分13分）已知.,12)ln ()(2R a xx x x a x f ∈-+-= (Ⅰ) 讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ) 当1=a 时，证明23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0>>(1=+:2222b a b y a x C 的离心率是23，抛物线y x E 2=:2的焦点F 是C 的一个顶点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点B A ,，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．参考答案：1、B2、C3、D4、C5、C6、A7、B8、B9、D 10、A 11、 3 12、2－ 13、2 14、4315、），（∞+316、(Ⅰ)由cosAtanB+cosB tanA =tanB)+2(tanA 得 cosAcosBsinBcosAcosB sinA cosAcosB sinC 2+=⨯，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos211231223123222=-=-≥-=)(c ab c ．所以C cos 的最小值为21． 17、(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,，因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ；又因为MH//BC ，⊂BC 平面ABC ，⊄MH 平面ABC ，所以MH//平面ABC ；所以平面GHM//平面ABC ，由⊂GH 平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ，BC AB = OB A ⊥∴O以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴，建立空间直角坐标系．BBC AB ,32AC 21FB EF ==== ， 3)(22=--='FO BO BF O O ，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,，可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ，又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，设二面角A -BC -F 为θ，则7771cos ===θ．二面角A -BC -F 的余弦值为77．18、(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ，于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．19、(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ； 725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ； X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．20、(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；(Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322x x x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ，于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－，所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－．即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立． 21、(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ． (Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m,P 2m （，由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为2=2m m x －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m m x －y 代入1=4+22y x ，得 0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ，又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是直线OD 的方程为x m－y 41=．联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－．所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m m x －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G(0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,，所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ．令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t －当21=1t 时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(．所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．。

2016年高考山东理科数学试题及答案(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年山东，理1，5分】若复数z 满足232i zz，其中i 为虚数为单位，则z （）（A ）12i （B ）12i （C ）12i （D ）12i 【答案】B 【解析】设,,zabi a bR ，则2()i23i32i zzz zz ab aab ，所以1,2a b，故选B ．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合22,,10xAy yxR B x x ，则A BU （）（A ）1,1（B ）0,1（C ）1,（D ）0,【答案】C【解析】由题意0,A，1,1B，所以1,A BU ，故选C ．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为 2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30，所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是20010.30140人，故选D ．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x ，y 满足22390xy x y x，则22xy 的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10（D ）12【答案】C 【解析】由22xy 是点,x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点0,2,0,3,3,1，所以3,1是最优解，22xy 的最大值是10，故选C ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1233（B ）1233（C ）1236（D ）216【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236，故选C ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面和平面相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面、有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．（7）【2016年山东，理7，5分】函数()3sin cos 3cos sin f x xxx x 的最小正周期是（）（A ）2（B ）（C ）32（D ）2【答案】B 【解析】由()2sin cos 3cos22sin 23f x x xxx，所以，最小正周期是，故选B ．【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n，若ntmn 则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）4（C ）94（D ）94【答案】B 【解析】因为21cos ,4nmm n m nn ，由ntmn ，有20n tmn tmn n ，即2104t n，4t ，故选B ．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x时，3()1f x x；当11x 时，()()f x f x ；当12x时，1122f xf x，则6f （）（A ）2（B ）1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】由1122f x f x，知当12x时，f x 的周期为1，所以61f f ．又当11x 时，f xf x ，所以11f f．于是3611112f f f ，故选D ．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．（10）【2016年山东，理10，5分】若函数yf x 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y f x 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（）（A ）sin y x（B ）ln yx（C ）xye（D ）3yx【答案】A 【解析】因为函数ln yx ，xye 的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x 的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为．【答案】 3【解析】i 1时，执行循环体后1,8a b ，a b 不成立；i 2时，执行循环体后3,6a b，a b不成立；i 3时，执行循环体后6,3a b ，a b 成立；所以i 3，故填 3. 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（12）【2016年山东，理12，5分】若521ax x的展开式中5x 的系数是80，则实数a．【答案】2【解析】由23222355551C C 80axa xx x，得2a，所以应填2．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线2222:10,0xyE a ba b，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23ABBC ，则E 的离心率为．【答案】 2 【解析】由题意BC 2c ，所以2AB3BC ，于是点3,2c c 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c ab，在由222ab c 得E 的离心率为2c ea．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016年山东，理14，5分】在1,1上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx 与圆2259x y相交”发生的概率为．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线ykx 与圆22(5)9xy相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44，其长度为32，所以所求概率为33224．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数2,24,x x m f xxmxm xm，其中0m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程f xb 有三个不同的根，则m 的取值范围是．【答案】3,【解析】因为224g x x mxm 的对称轴为xm ，所以xm 时224f x x mx m 单调递增，只要b 大于224g xxmxm 的最小值24m m 时，关于x 的方程f x b 在x m 时有一根；又h xx 在x m ，0m 时，存在实数b ，使方程f x b 在xm 时有两个根，只需0b m ；故只需24m mm即可，解之，注意0m ，得3m ，故填3，．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m mm 是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，理16，12分】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知tan tan 2tan tan cos cos A B A BBA．（1）证明：2a b c ；（2）求cosC 的最小值．解：（1）由tan tan 2tan tan cos cos A BABB A得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A B A BA BA B，2sin sin sin C B C ，由正弦定理，得2ab c ．（2）由222222cos 22a bab cabcCab ab222333111122222cc aba b．所以cosC 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab 的应用，不等式的性质．（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线．（1）已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；（2）已知123,2EFFBAC ABBC ，求二面角FBCA 的余弦值．解：（1）连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC 平面ABC ，MH 平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH 平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．（2）连结OB ，AB BC Q OA OB ，以为O 原点，分别以,,OA OB OO 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EFFBAC ABBC Q ，22()3OOBFBO FO ，于是有23,0,0A ，23,0,0C ，0,23,0B ，0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量0,3,3BF uu u r，23,23,0CB u u u r ，于是得平面FBC 的一个法向量为13,3,1n u u r，又平面ABC 的一个法向量为20,0,1n u u r，设二面角F BC A 为，则121217cos 77n n n n u u r u u r u u r u u r．二面角F BC A 的余弦值为77．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列n a 的前n 项和238nS nn ，n b 是等差数列，且1n n n a b b ．（1）求数列n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n nnna cb ．求数列n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列n a 的前n 项和238n S nn ，所以111a ，当2n时，221383(1)8(1)65nnna S S nn n n n，又65na n 对1n 也成立，所以65na n ．又因为n b 是等差数列，设公差为d ，则12nn nna b b b d ．当1n 时，1211b d ；当2n时，2217b d ，解得3d，所以数列n b 的通项公式为312nn a db n ．（2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n nnnn n a n c n b n ，于是23416292122(33)2n nT n L ，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n L ，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T nL 22232(12)32(33)212nn n 2221232(12)(33)232nn n nT nn ．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B,，则1122332131225()4433443312P B C C；33221()44334P C ．所以512()()()1243P A P B P C ．（2）“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ；112212111131105(1)4343434314472P X C C；1211223311132125(2)443344334433144P X C；123211121(3)434314412P XC ；12321231605(4)()43434314412P XC ；3232361(6)43431444P X ；X 的分布列为：X12346P11445722514411251214X 的数学期望15251515522301234614472144121241446EX．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．（20）【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x．（1）讨论f x 的单调性；（2）当1a时，证明3()()2f x f x 对于任意的[1,2]x成立．解：（1）求导数3122()(1)x f x a x x－－－23(1)(2x ax x－－)，当0a时，x (0,1)，()0f x ，()f x 单调递增，x ∈(1,)，()0f x ，()f x 单调递减当0a时，23322112()a x x xx axa af x xx①当02a时，21a，x (0,1)或2x a∈,，()0f x ，()f x 单调递增，2x a∈1,，()0f x ，、()f x 单调递减；②当a ２时，21a，x (0,)，()0f x ，()f x 单调递增，③当a ２时，201a，2xa 0,或x1,，()0f x ，()f x 单调递增，2xa,1，()0f x ，()f x 单调递减．（2）当1a时，221()ln x f x x x x－－，2323(1)(212()1x x f x xx xx－－)2－－，于是2232112()()ln 1)x f x f x x xx x x x －2－－－(－－23312ln 1x x x x x ，[1,2]x 令g ln xxx ，2332h()x x x x11，[1,2]x ，于是()()g(()f x f x x h x ），1g ()10x x xx1，g x 的最小值为11g ；又22344326326()xx h x xxxx，设2326xxx ，[1,2]x，因为11，210，所以必有0[1,2]x ，使得0x ，且01x x 时，0x，h x 单调递增；02x x 时，0x，h x 单调递减；又11h ，122h ，所以h x 的最小值为122h ．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h ））－．即3()()2f x f x 对于任意的[1,2]x 成立．【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:10x y C a b ab的离心率是32，抛物线2:2E xy 的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：（1）由离心率是32，有224ab ，又抛物线22xy 的焦点坐标为10,2F ，所以12b，于是1a ，所以椭圆C 的方程为2241xy ．（2）（i ）设P 点坐标为2,02mP m m，由22x y 得y x ，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22mymx，设1122,,,A x y B x y ，00,D x y ，将22mymx代入2241xy，得223214410m xm xm．于是3122414mx x m，31222214x x mx m，又2222214mm y mx m，于是直线OD 的方程为14yx m．联立方程14yx m与xm ，得M 的坐标为1,4M m ．所以点M 在定直线14y上．（ii ）在切线l 的方程为22mymx 中，令0x ，得22my，即点G 的坐标为20,2mG ，又2,2mP m ，10,2F ，所以211(1)24m mS mGF；再由32222,41241mmDmm，得22232222112122441841m m m mm S mm于是有221222241121m mS S m ．令221t m，得12221211122tt S S tt t ，当112t 时，即2t 时，12S S 取得最大值94．此时212m ，22m ，所以P 点的坐标为21,24P．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P 的坐标为21,24P．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。

(精校版)2016年山东理数高考试题文档版(含答案)

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考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A，B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足2z +z = 3 - 2i, 其中i 为虚数单位，则z=（）（A）1+2i （B）1 -2i （C）-1+ 2i （D）-1-2i（2）设集合A ={y | y = 2x , x ∈R}, B ={x | x2 -1< 0},则A B =（）（A）(-1,1)（B）(0,1) （C）(-1, +∞) （D）(0, +∞)（3）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30] ，样本数据分组为[17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（）锍ï x（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140ìï x + y ? 2,ï ïí 2x - ï （4）若变量 x ，y 满足î 3y ? 9, 0,则 x 2 + y 2 的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）1 +2 1 2 1 2 2（A ） π （B ） + π （C ） + π （D ）1+ π3 3 3 3 3 6 6（6）已知直线 a ，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f（x）=（πsin x+cos x）（3πcos x –sin x）的最小正周期是（）（A）2（B）π（C）2（D）2π1（8）已知非零向量m，n 满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=3.若n⊥（t m+n），则实数t 的值为（）（A）4 （B）–4 （C）94（D ）–94（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0 时，f (x) =x3 -1 ；当-1 ≤x ≤ 1时，f (-x) =-f (x) ；当x >1 时，2f (x +1) =f (x -1)2 2.则f(6)= （）（A）−2（B）−1（C）0（D）2（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A）y=sin x（B）y=ln x（C）y=e x（D）y=x3第Ⅱ卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

2016年高考理科数学山东卷-答案

故概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，则，
，
，
，
，
，
故的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
数学期望．
【提示】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（Ⅱ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到的分布列和数学期望．
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当时，函数的图象如下：
时，，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是．
【提示】作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由得：，
两边同乘以得，，
，即 ①，根据正弦定理，，，，，带入①得，
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设，，则，，，，．
【提示】设出复数，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】，，，，．
【提示】求解指数函数的值域化简，求解一元二次不等式化简，再由并集运算得出答案．
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函ห้องสมุดไป่ตู้及其应用
10.【答案】A

山东省高考理科数学试题及答案精编版

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2016年高考理科数学试题山东卷答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学答案（1）【解析】通解设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-．故22()z z a bi a bi +=++-=3a bi +=3-2i ，所以错误!未找到引用源。

，解得错误!未找到引用源。

，所以12z i =-．故选B ．光速解法：设z a bi =+(,)a b R ∈，由复数的性质可得2z z a +=，故2()z z z z z +=++，故2z z +的虚部就是z 的虚部，实部是z 的实部的3倍．故12z i =-，选B ．（2）【解析】集合A 表示函数2x y =的值域，故(0,)A =+∞．由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-，所以(1,)A B =-+∞．故选C ．（3）【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D ．（4）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ,y )为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 重合时，2||OP 即22x y +取得最大值．由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩错误!未找到引用源。

,解得31x y =⎧⎨=-⎩，错误!未找到引用源。

故A (3，-1)．所以22x y +的最大值为32+2(1)-=10．故选C ．（5）【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R ，则22R =2R =，所以半球的体积32142326V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ．（6）【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ．（7）【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ．（8）【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以222||31|cos |||3||t |||<,>|||=-=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n n m n m n m n m m n 4343=-⨯=-．故选B ．（9）【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．（10）【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0，显然12k k ⋅=12x x e e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．（11）【解析】输入a =0,b =9，第一次循环：a =0+1=1，b =9-1=8，i =1+1=2；第二次循环：a =1+2=3，b =8-2=6，i =2+1=3；第三次循环：a =3+3=6，b =6-3=3，a >b 成立，所以输出i 的值为3．（12）【解析】(ax 2+x错误!未找到引用源。