基于灰狼优化的模糊C—均值聚类算法
关于模糊c均值聚类算法
FCM模糊c均值1、原理详解模糊c-均值聚类算法fuzzy c-means algorithm (FCMA)或称（FCM）。
在众多模糊聚类算法中，模糊C-均值（FCM）算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的。
聚类的经典例子然后通过机器学习中提到的相关的距离开始进行相关的聚类操作经过一定的处理之后可以得到相关的cluster，而cluster之间的元素或者是矩阵之间的距离相对较小，从而可以知晓其相关性质与参数较为接近C-Means Clustering：固定数量的集群。
每个群集一个质心。
每个数据点属于最接近质心对应的簇。
1.1关于FCM的流程解说其经典状态下的流程图如下所示集群是模糊集合。
一个点的隶属度可以是0到1之间的任何数字。
一个点的所有度数之和必须加起来为1。
1.2关于k均值与模糊c均值的区别k均值聚类：一种硬聚类算法，隶属度只有两个取值0或1，提出的基本根据是“类内误差平方和最小化”准则，进行相关的必要调整优先进行优化看是经典的欧拉距离，同样可以理解成通过对于cluster的类的内部的误差求解误差的平方和来决定是否完成相关的聚类操作；模糊的c均值聚类算法：一种模糊聚类算法，是k均值聚类算法的推广形式，隶属度取值为[0 1]区间内的任何数，提出的基本根据是“类内加权误差平方和最小化”准则；这两个方法都是迭代求取最终的聚类划分，即聚类中心与隶属度值。
两者都不能保证找到问题的最优解，都有可能收敛到局部极值，模糊c均值甚至可能是鞍点。
1.2.1关于kmeans详解K-means算法是硬聚类算法，是典型的基于原型的目标函数聚类方法的代表，它是数据点到原型的某种距离作为优化的目标函数，利用函数求极值的方法得到迭代运算的调整规则。
K-means算法以欧式距离作为相似度测度，它是求对应某一初始聚类中心向量V最优分类，使得评价指标J最小。
模糊c均值算法
模糊c均值算法
算法的具体步骤如下：
1.初始化聚类中心。
从数据集中随机选择c个数据点作为聚类中心。
2.计算每个数据点属于每个聚类的隶属度。
对于每个数据点，计算其到每个聚类中心的距离，并根据距离计算其属于每个聚类的隶属度。
可以使用欧氏距离或其他距离度量方法。
3.更新聚类中心。
基于隶属度，计算新的聚类中心。
对于每个聚类，计算每个数据点的隶属度加权平均值，并将其作为新的聚类中心。
4.重复步骤2和3，直到满足停止准则。
停止准则可以是达到最大迭代次数或聚类中心的变化小于给定阈值。
然而，模糊c均值算法也存在一些限制和挑战。
首先，需要事先确定聚类数量c，并且无法自动确定最优的聚类数量。
其次，算法对初始聚类中心的选择非常敏感，不同的初始值可能会导致不同的聚类结果。
此外，算法的计算复杂度较高，尤其是在处理大规模数据时。
为了解决这些问题，一些改进的模糊c均值算法被提出，例如基于遗传算法的模糊c均值算法和基于密度的模糊c均值算法。
这些改进算法在聚类性能和效率上有一定的提升。
总结起来，模糊c均值算法是一种处理模糊性数据的聚类算法。
它通过计算每个数据点属于每个聚类的隶属度，并更新聚类中心来迭代地进行聚类。
尽管存在一些限制和挑战，但模糊c均值算法在一些领域仍然具有重要的应用价值。
模糊C均值聚类算法实现与应用
模糊C均值聚类算法实现与应用聚类算法是一种无监督学习方法，在数据挖掘、图像处理、自然语言处理等领域得到广泛应用。
C均值聚类算法是聚类算法中的一种经典方法，它将数据对象划分为若干个不相交的类，使得同一类中的对象相似度较高，不同类之间的对象相似度较低。
模糊C均值聚类算法是对C均值聚类的扩展，它不是将每个数据对象划分到唯一的类别中，而是给每个对象分配一个隶属度，表示该对象属于不同类的可能性大小。
本文主要介绍模糊C均值聚类算法的实现方法和应用。
一、模糊C均值聚类算法实现方法模糊C均值聚类算法可以分为以下几个步骤：1. 确定聚类数k与参数m聚类数k表示将数据分成的类别数目，参数m表示隶属度的度量。
一般地，k和m都需要手动设定。
2. 随机初始化隶属度矩阵U随机初始化一个k×n的隶属度矩阵U，其中n是数据对象数目，U[i][j]表示第j个对象隶属于第i个类别的程度。
3. 计算聚类中心计算每个类别的聚类中心，即u[i] = (Σ (u[i][j]^m)*x[j]) / Σ(u[i][j]^m)，其中x[j]表示第j个对象的属性向量。
4. 更新隶属度对于每个对象，重新计算它对每个类别的隶属度，即u[i][j] = 1 / Σ (d(x[j],u[i])/d(x[j],u[k])^(2/(m-1)))，其中d(x[j],u[i])表示第j个对象与第i个聚类中心的距离，k表示其他聚类中心。
5. 重复步骤3和4重复执行步骤3和4，直到满足停止条件，例如聚类中心不再变化或者隶属度矩阵的变化趋于稳定。
二、模糊C均值聚类算法应用模糊C均值聚类算法可以应用于多个领域，包括图像处理、文本挖掘、医学图像分析等。
下面以图像分割为例，介绍模糊C均值聚类算法的应用。
图像分割是图像处理中的一个重要应用，旨在将一幅图像分割成多个区域，使得同一区域内的像素具有相似度较高，不同区域之间的像素相似度较低。
常见的图像分割算法包括全局阈值法、区域生长法、边缘检测法等。
模糊c均值聚类算法
模糊c均值聚类算法C均值聚类算法（C-Means Clustering Algorithm）是一种常用的聚类算法，目的是将一组数据点分成若干个类群，使得同一类群内的数据点尽可能相似，不同类群之间的数据点尽可能不相似。
与K均值聚类算法相比，C均值聚类算法允许一个数据点属于多个类群。
C均值聚类算法的基本思想是随机选择一组初始聚类中心，然后通过迭代的方式将数据点分配到不同的类群，并调整聚类中心，直到满足停止条件。
算法的停止条件可以是固定的迭代次数，或者是聚类中心不再改变。
具体而言，C均值聚类算法的步骤如下：1.随机选择k个初始聚类中心，其中k是预先设定的类群数量。
2.根据欧氏距离或其他距离度量方法，计算每个数据点到每个聚类中心的距离。
3.将每个数据点分配到距离最近的聚类中心的类群。
4.根据聚类中心的分配情况，更新聚类中心的位置。
如果一个数据点属于多个类群，则根据各个类群的权重计算新的聚类中心位置。
5.重复步骤2到4，直到满足停止条件。
C均值聚类算法的优点是灵活性高，可以允许一个数据点属于多个类群。
这在一些应用场景中非常有用，例如一个商品可以属于多个类别。
然而，C均值聚类算法的缺点是计算复杂度较高，对初始聚类中心的选择敏感，以及类群数量k的确定比较困难。
为了解决C均值聚类算法的缺点，可以采用如下方法进行改进：1.使用聚类效度指标来评估聚类结果的好坏，并选择最优的聚类中心数量k。
2. 采用加速算法来减少计算复杂度，例如K-means++算法可以选择初始聚类中心，避免随机选择的可能不理想的情况。
3.对数据进行预处理，例如归一化或标准化，可以提高算法的收敛速度和聚类质量。
4.针对特定应用场景的需求，可以根据数据属性来调整聚类中心的权重计算方式，以适应特定的业务需求。
总结起来，C均值聚类算法是一种常用的聚类算法，与K均值聚类算法相比，它可以允许一个数据点属于多个类群。
然而，C均值聚类算法也存在一些缺点，例如计算复杂度高，对初始聚类中心的选择敏感等。
基于模糊C均值的聚类分析
• U = initfcm(cluster_n, data_n); %初始 化模糊分割矩阵
%以下为主循环： • for i = 1:max_iter, • [U, center, obj_fcn(i)] =
stepfcm(data, U, cluster_n, expo); • if display, • fprintf('Iteration count = %d, obj.
基于模糊C均值的聚类分析
1 模糊c均值聚类(FCM)方法
模糊C均值聚类(FCM)方法是一种在已 知聚类数的情况下，利用隶属度函数和迭 代算法将有限的数据集分别聚类的方法。 其目标函数为：
式中， 为样本数； 为聚类数； 为第 个 样本相对于第 个聚类中心的隶属度； 为
第 个类别的聚类中心； 为样本到聚类 中心的欧式距离。聚类的结果使目标函 数 最小，因此，构造如下新的目标函 数：
（2）
这里 ， =1，⋯ ，n，是等式的n个约束 式的拉格朗日乘子。对所有输入参量求 导，使式(1)达到最小的必要条件为：
（3）
（4）
由上述两个必要条件，模糊c均值聚类算 法是一个简单的迭代过程。在批处理方 式运行时，FCM采用下列步骤确定聚类中 心 和隶属矩阵 U：
步骤1 用值在0，1间的随机数初始 化隶属矩阵U，使其满足式(2)中的约束 条件。
1735.33; 2421.83; 2196.22; 535.62; 584.32; 2772.9; 2226.49; 1202.69;
2949.16 1692.62 1680.67 2802.88 172.78 2063.54 1449.58 1651.52 341.59 291.02
3244.44 1867.5 1575.78 3017.11 3084.49 3199.76 1641.58 1713.28 3076.62 3095.68
模糊c均值聚类算法的概念
模糊c均值聚类算法的概念
模糊C均值聚类算法（Fuzzy C-means clustering algorithm，简
称FCM）是一种基于模糊理论的聚类算法，用于将数据集划
分为若干个模糊的子集，每个子集代表一个聚类。
FCM算法的目标是最小化数据点与聚类中心之间的模糊距离。
模糊距离所描述的是一个数据点属于每个聚类的可能性，而不仅仅是属于一个特定聚类的二进制标识。
FCM算法的步骤如下：
1. 初始化聚类中心，可以随机选择数据点作为初始中心。
2. 根据初始聚类中心，计算每个数据点对于每个聚类中心的成员关系度（即属于每个聚类的可能性）。
3. 根据成员关系度更新聚类中心，计算每个聚类中心的坐标。
4. 重复步骤2和3，直到聚类中心不再发生变化或达到最大迭
代次数。
在每次迭代中，FCM算法根据每个数据点到聚类中心的距离
计算其模糊隶属度，按照隶属度对数据点进行聚类。
每个数据点隶属于每个聚类的可能性是在0到1之间连续变化的，表示了数据点与每个聚类之间的相似程度。
相比于传统的硬聚类算法，模糊C均值聚类算法允许数据点
属于多个聚类，更好地处理了数据点的模糊性，适用于数据集中存在重叠样本或不确定性较高的场景。
多特征狼群优化模糊C-均值聚类感应电机无监督故障检测
中国科技论文 ＣＨＩＮＡＳＣＩＥＮＣＥＰＡＰＥＲ
Ｖｏｌ．１３Ｎｏ．１１ Ｊｕｎ．２０１８
多特征狼群优化模糊犆均值聚类感应 电机无监督故障检测
卢进军，熊召新
（陕西理工大学物理与电信工程学院，陕西汉中 ７２３００１）
摘 要：感应电机是舰船系统中的重要推进动力，为提高感应电 机 故 障 检 测 算 法 的 精 度，提 出 基 于 多 特 征 狼 群 优 化 模 糊 犆均 值
工具箱中ｎＤｅｘａｍｐｌｅ测试集对所提狼群优化模糊犆均值无监督聚类算法的有效性进行验证，并通过对真实的感应电机故障系
统的测试，显示本文算法得到的结果分类错误率等于０，显著优于前向多层神经网络算法的２１％和标准 ＦＣＭ 算法的２７％，验证
所提故障检测算法的性能优势。
关键词：多特征；狼群算法；ＦＣＭ 算法；感应电机；故障检测
中图分类号：ＴＭ３４３ 文献标志码：Ａ
文章编号：２０９５ ２７８３（２０１８）１１ １２７２ ０７
犐狀犱狌犮狋犻狅狀犿狅狋狅狉犳犪狌犾狋犱犲狋犲犮狋犻狅狀犫犪狊犲犱狅狀犿狌犾狋犻犳犲犪狋狌狉犲狑狅犾犳 狊狑犪狉犿狅狆狋犻犿犻狕犪狋犻狅狀犉犆犕狌狀狊狌狆犲狉狏犻狊犲犱犮犾狌狊狋犲狉犻狀犵
ＬＵＪｉｎｊｕｎ，ＸＩＯＮＧＺｈａｏｘｉｎ
正常 运 行 状 态。该 模 型 生 成 的 残 差 指 标 为 非 ０ 时， 感应电机 诊 断 为 存 在 故 障。 然 而，这 种 方 法 需 要 设
定假设前提，即不考虑干扰和模型不确定性。例如： Ｚｈａｎｇ等［５］提出鲁棒的基于观测器技术的故障诊断 技术；Ｈｗａｎｇ等［６］提出基于观测器和奇偶空间的机 电制动器故障检测与诊断方法；Ｙｕ等［７］提出基于高 斯混合模型的故障诊断等。２）基 于 信 号 的 诊 断 方
模糊c均值聚类算法
模糊c均值聚类算法
模糊c均值聚类算法（Fuzzy C-Means Algorithm，简称FCM）是一种基于模糊集理论的聚类分析算法，它是由Dubes 和Jain于1973年提出的，也是用于聚类数据最常用的算法之
一。
fcm算法假设数据点属于某个聚类的程度是一个模糊
的值而不是一个确定的值。
模糊C均值聚类算法的基本原理是：将数据划分为k个
类别，每个类别有c个聚类中心，每个类别的聚类中心的模糊程度由模糊矩阵描述。
模糊矩阵是每个样本点与每个聚类中心的距离的倒数，它描述了每个样本点属于每个聚类中心的程度。
模糊C均值聚类算法的步骤如下：
1、初始化模糊矩阵U，其中每一行表示一个样本点，每
一列表示一个聚类中心，每一行的每一列的值表示该样本点属于该聚类中心的程度，U的每一行的和为
1.
2、计算聚类中心。
对每一个聚类中心，根据模糊矩阵U
计算它的坐标，即每一维特征值的均值。
3、更新模糊矩阵U。
根据每一个样本点与该聚类中心的距离，计算每一行的每一列的值，其中值越大，说明该样本点属于该聚类中心的程度就越大。
4、重复步骤2和步骤
3，直到模糊矩阵U不再变化，即收敛为最优解。
模糊C均值聚类算法的优点在于它可以在每一个样本点属于每一类的程度上，提供详细的信息，并且能够处理噪声数据，因此在聚类分析中应用十分广泛。
然而，其缺点在于计算量较大，而且它对初始聚类中心的选取非常敏感。
模糊C均值聚类算法的优化与应用研究
模糊C均值聚类算法的优化与应用研究近年来，随着大数据和人工智能技术在各行业的广泛应用，聚类算法作为一种重要的无监督学习方法，被广泛应用于数据挖掘、图像识别、模式识别等领域。
在众多聚类算法中，模糊C均值聚类算法（FCM）因其简单易实现、适用范围广等特点而备受关注。
然而，FCM算法在处理较大数据量、较高维度数据时，聚类结果模糊度高、计算复杂度大等问题也日益凸显。
本文将从模糊C均值聚类算法的原理入手，探讨了几种优化方法并进行实验验证，分析其在实际应用中的效果。
一、模糊C均值聚类算法原理模糊C均值聚类算法是基于向量量化（Vector Quantization）原理的一种聚类算法。
旨在给定数据集将其中的数据分成k个不同的簇。
其主要思想是通过计算数据点到各簇中心的距离，来确定一个数据点可能属于各个簇的概率值，从而获得各数据点所属簇的隶属度矩阵，以此反复迭代更新簇中心和隶属度矩阵，最终达到聚类的目的。
具体来说，设原始数据集为$X=\{x_1,x_2,……,x_n\}$，要将其分成k个簇，每个簇的质心为$V=\{v_1,v_2,……,v_k\}$。
根据数据点x到簇质心$V_j$的距离，定义出数据点x属于簇j的隶属度$U_{ij}$: $$U_{ij}=\frac{1}{\sum_{k=1}^k(\frac{||x_i−v_j||}{||x_i−v_k||})^{\frac {2}{m−1}}}$$其中，m为模糊指数，$||·||$表示欧式距离。
在U矩阵和V矩阵确定之后，对于一个新的数据点x，将其划分到隶属度最大的簇中。
反复迭代更新U矩阵和V矩阵，直到收敛为止。
二、模糊C均值聚类算法的问题尽管模糊C均值聚类算法的原理较为简单，但其在实际应用中仍存在一些问题。
本节将主要讨论FCM算法可能遇到的两大问题：聚类结果模糊度高和计算复杂度大。
1.聚类结果模糊度高FCM算法的隶属度矩阵U的值为[0,1]之间的实数，因此一个数据点不属于任何一个簇的概率不为0.这就导致FCM算法的聚类结果模糊度高，无法唯一确定每个数据点的簇归属。
模糊c均值聚类方法(一)
模糊c均值聚类方法(一)模糊C均值聚类方法（Fuzzy C-Means Clustering Methods）简介模糊C均值聚类方法是一种基于模糊理论的聚类算法，它能够对数据集进行划分并确定每个数据点属于每个聚类的隶属度。
与传统的C 均值聚类方法相比，模糊C均值聚类方法能够更好地处理数据的不确定性和模糊性。
原理定义假设有一个包含n个数据点的数据集X = {x1, x2, …, xn}，其中每个数据点x所属的聚类集合表示为U = {u(ij)}，其中i表示数据点的索引，j表示聚类的索引。
在模糊C均值聚类方法中，聚类中心被表示为C = {c1, c2, …, ck}，其中k表示聚类的数量。
每个数据点x(i)到各个聚类中心的隶属度u(ij)满足以下约束条件：1.u(ij) >= 02.sum(u(ij)) = 1 for all i目标函数模糊C均值聚类方法通过最小化以下目标函数来确定聚类中心和隶属度：J = sum(sum(u(ij)^m * ||x(i) - c(j)||^2))其中，m是一个控制聚类模糊程度的参数，通常取大于1的值。
算法步骤1.初始化隶属度矩阵U和聚类中心矩阵C。
2.对每个数据点x(i)，计算其到每个聚类中心c(j)的隶属度u(ij)。
3.更新聚类中心矩阵C，计算每个聚类中心c(j)的新值。
4.如果聚类中心矩阵C的变化小于设定的阈值，跳转到步骤6；否则，跳转到步骤2。
5.输出聚类结果。
6.结束。
变体方法模糊C均值聚类方法有许多变体，下面介绍几种常见的变体方法：FCMFCM（Fuzzy C-Means）是模糊C均值聚类方法的最经典版本。
它通过在目标函数中引入欧氏距离来衡量数据点与聚类中心之间的相似度。
PCMPCM（Possibilistic C-Means）是一种允许数据点以不确定的隶属度属于多个聚类的模糊聚类方法。
它通过引入一个置信度变量来衡量每个数据点到每个聚类的归属程度。
模糊c均值聚类算法及应用
模糊c均值聚类算法及应用
模糊c均值聚类算法是一种常用的聚类算法，它可以将数据集中的数据分成若干个不同的类别，每个类别中的数据具有相似的特征。
与传统的c均值聚类算法不同的是，模糊c均值聚类算法允许数据点属于多个类别，这使得它在处理模糊数据时更加有效。
模糊c均值聚类算法的基本思想是将数据集中的每个数据点分配到不同的类别中，使得每个数据点到其所属类别的距离最小。
在模糊
c均值聚类算法中，每个数据点都有一个隶属度，表示它属于每个类别的程度。
这个隶属度是一个0到1之间的实数，表示数据点属于某个类别的概率。
模糊c均值聚类算法的应用非常广泛，例如在图像分割、模式识别、数据挖掘等领域都有着重要的应用。
在图像分割中，模糊c均值聚类算法可以将图像中的像素分成若干个不同的区域，每个区域中的像素具有相似的颜色和纹理特征。
在模式识别中，模糊c均值聚类算法可以将数据集中的数据分成不同的类别，从而实现对数据的分类和识别。
在数据挖掘中，模糊c均值聚类算法可以帮助我们发现数据集中的规律和模式，从而为我们提供更加准确的预测和决策。
模糊c均值聚类算法是一种非常重要的聚类算法，它可以帮助我们对数据进行分类和识别，从而为我们提供更加准确的预测和决策。
在未来的发展中，模糊c均值聚类算法将会得到更加广泛的应用，
为我们的生活和工作带来更多的便利和效益。
模糊c-均值聚类算法
模糊c-均值聚类算法模糊c-均值聚类算法聚类算法是机器学习领域中的一种非监督学习算法，其目的是将数据集中的数据分成不同的类别。
聚类是一项重要的数据分析技术，对于数据挖掘、可视化和特征提取等领域都有着广泛的应用。
模糊c-均值聚类算法（FCM）是聚类算法中的一种方法，它允许一个数据点属于不同的类别的程度表示为一个0到1之间的值。
模糊c-均值聚类算法是基于c-均值聚类算法的一种改进，c-均值聚类算法是一种经典的划分聚类算法，它将样本集合非随机地分为c个类。
c-均值聚类算法的基本思想是通过计算一组质心（即类别的均值）来分离数据。
这个算法的主要问题是它仅适用于识别在分离超平面上紧密且凸形成团的类别，因此不能很好地处理重叠的类别。
对于数据集中的每个数据点，模糊c-均值聚类算法允许给出改数据点属于不同的类别的程度表示为一个概率值。
这是因为该算法使用的是一种模糊逻辑，即一种可以量化事物不确定性的逻辑，可以被用于处理数据模糊化的问题。
在模糊c-均值聚类算法中，样本之间的距离是通过一种模糊分割矩阵来表示的，该矩阵中每个元素表示一个样本属于一个类别的程度，可以使用分割矩阵计算每个样本属于每个类别的概率。
模糊c-均值聚类算法的优点是它可以自适应地划分数据，使得该算法可以更好地处理数据的重叠和模糊性。
此外，模糊c-均值聚类算法也支持将数据点分配到多个类别中，这可以很好地解决当数据不仅仅具有单一特征时的问题。
同样，该算法还可以被用于图像分割和空间分析等领域。
在实际应用中，模糊c-均值聚类算法通常需要设置一些参数，例如类别数量c、模糊指数m和迭代次数k等。
这些参数的不同取值对算法的结果产生影响，因此需要通过实验和调参来调整这些参数。
总结来说，模糊c-均值聚类算法是一种非常强大的数据聚类算法，其能力在于用概率表示每个数据点属于不同类别的程度。
该算法处理数据重叠和模糊性方面表现良好，并且可以应用到数据挖掘、图像处理和空间分析等领域。
模糊C均值聚类的公式推导
模糊C均值聚类的公式推导
j=1...n，N个样本
i=1...c，C聚类
⼀、优化函数
FCM算法的数学模型其实是⼀个条件极值问题：
把上⾯的条件极值问题转化为⽆条件的极值问题，这个在数学分析上经常⽤到的⼀种⽅法就是拉格朗⽇乘数法把条件极值转化为⽆条件极值问题，
需要引⼊n个拉格朗⽇因⼦，如下所⽰：
然后对各个变量进⾏求导，从⽽得到各个变量的极值点。
⼆、对聚类质⼼Ck进⾏求导
其中，
所以，
其中，所选取的距离dij对质⼼求解不影响。
三、对⾪属度函数Uij进⾏求导
拉格朗⽇函数分为两部分，我们需要分别对其进⾏求导，先算简单的，对后⼀部分进⾏求导：1）后半部分
2）前半部分
对前⼀部分进⾏求导就⽐较复杂和困难了：
3）把两部分放到⼀起
【转载⾃】
模糊c均值聚类和k-means聚类的数学原理-⼤数据学习-51CTO博客模糊C均值聚类以及C实现 - 不要问我从哪⾥来 - CSDN博客。
模糊c均值聚类算法python
模糊C均值聚类算法 Python在数据分析领域中，聚类是一种广泛应用的技术，用于将数据集分成具有相似特征的组。
模糊C均值（Fuzzy C-Means）聚类算法是一种经典的聚类算法，它能够将数据点分到不同的聚类中心，并给出每个数据点属于每个聚类的概率。
本文将介绍模糊C均值聚类算法的原理、实现步骤以及使用Python语言实现的示例代码。
1. 模糊C均值聚类算法简介模糊C均值聚类算法是一种基于距离的聚类算法，它将数据点分配到不同的聚类中心，使得各个聚类中心到其所属数据点的距离最小。
与传统的K均值聚类算法不同，模糊C均值聚类算法允许每个数据点属于多个聚类中心，并给出每个数据点属于每个聚类的概率。
模糊C均值聚类算法的核心思想是将每个数据点分配到每个聚类中心的概率表示为隶属度（membership），并通过迭代优化隶属度和聚类中心来得到最优的聚类结果。
2. 模糊C均值聚类算法原理2.1 目标函数模糊C均值聚类算法的目标是最小化以下目标函数：其中，N表示数据点的数量，K表示聚类中心的数量，m是一个常数，u_ij表示数据点x_i属于聚类中心c_j的隶属度。
目标函数由两部分组成，第一部分是数据点属于聚类中心的隶属度，第二部分是数据点到聚类中心的距离。
通过优化目标函数，可以得到最优的聚类结果。
2.2 隶属度的更新隶属度的更新通过以下公式进行计算：其中，m是一个常数，决定了对隶属度的惩罚程度。
m越大，隶属度越趋近于二值化，m越小，隶属度越趋近于均匀分布。
2.3 聚类中心的更新聚类中心的更新通过以下公式进行计算：通过迭代更新隶属度和聚类中心，最终可以得到收敛的聚类结果。
3. 模糊C均值聚类算法实现步骤模糊C均值聚类算法的实现步骤如下：1.初始化聚类中心。
2.计算每个数据点属于每个聚类中心的隶属度。
3.更新聚类中心。
4.判断迭代是否收敛，若未收敛，则返回步骤2；若已收敛，则输出聚类结果。
4. 模糊C均值聚类算法 Python 实现示例代码下面是使用Python实现模糊C均值聚类算法的示例代码：import numpy as npdef fuzzy_cmeans_clustering(X, n_clusters, m=2, max_iter=100, tol=1e-4): # 初始化聚类中心centroids = X[np.random.choice(range(len(X)), size=n_clusters)]# 迭代更新for _ in range(max_iter):# 计算隶属度distances = np.linalg.norm(X[:, np.newaxis] - centroids, axis=-1)membership = 1 / np.power(distances, 2 / (m-1))membership = membership / np.sum(membership, axis=1, keepdims=True)# 更新聚类中心new_centroids = np.sum(membership[:, :, np.newaxis] * X[:, np.newaxis], axis=0) / np.sum(membership[:, :, np.newaxis], axis=0)# 判断是否收敛if np.linalg.norm(new_centroids - centroids) < tol:breakcentroids = new_centroidsreturn membership, centroids# 使用示例X = np.random.rand(100, 2)membership, centroids = fuzzy_cmeans_clustering(X, n_clusters=3)print("聚类中心：")print(centroids)print("隶属度：")print(membership)上述代码实现了模糊C均值聚类算法，其中X是输入的数据集，n_clusters是聚类中心的数量，m是模糊指数，max_iter是最大迭代次数，tol是迭代停止的阈值。
基于灰狼优化的模糊C-均值聚类算法
参 数较少 ， 有强大的全局 寻优能力 ， 在 实 验 编 码 中容 易 实
Ｃ 一 ２・， － ２
（ ４ ）
其 中， ｔ 为 当前 迭 代 次 数 ； Ａ 和 Ｃ 为 协 调 系数 向 量 ； Ｘ 为 猎 物 的位 置 向量 ； Ｘ 为灰 狼 的位 置 向 量 。ａ的 值 在 迭 代
现 等优 点 ， 对Ｆ ＣＭ 聚 类 结 果 有 显 著 提 高 。
缩 小 范 围来 围 剿 猎 物 。 狩 猎 行 为 一 般 情 况 下 是 由 ａ， 口 ，
中灰 狼 寻 找 和 捕 捉 猎 物 行 为 的 启 发 而 提 出 ， 是 一 种 新 的元 启 发 式 算 法 。本 文 从 以下 几 个 方 面 介 绍 算 法 步 骤 。
１ ． １ 社 会 等 级
（ １ ）
（ ２ ） （ ３ ）
等缺点 ， 对 聚类 的结 果 有 很 大 影 响 。针 对 传 统 的 Ｆ Ｃ Ｍ 存
在 的缺 陷 ， 本 文 提 出一 种 基 于灰 狼 优 化 的 模 糊 Ｃ一均 值 聚
类算法 （ Ｇ ＷＯ － Ｆ Ｃ Ｍ） 。Ｇ ＷＯ具 有结构 简单 ， 需要 设 置 的
中 图分 类 号 ： ＴＰ ３ １ ２
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １） ０ ０ ４ — ０ ０ ２ ８ — ０ ３ 算法设计 中 ， 突 出 了灰 狼 的狩 猎 技术 和 社会 等 级 层 次 。它
基于模糊C均值算法在文本聚类中研究与实现
12345678910基于模糊Ｃ均值算法在文本聚类中的研究与实现较小的奇异值将被剔除。
结果奇异向量和奇异值矩阵将被用于把文本向量和查询向量映射到一个保留有本文矩阵语义关系的子空间。
最后，可以通过计算向量之间的标准化内积来得到余弦相似度，进而可以比较文本间的相似度。
剔除小的奇异值是隐性语义标引被引入引起的唯一变化，因为在计算相似度时，和小奇异值相关联的特征与相似度的计算不相关，把它们引入计算反而会降低相关性判断的精确度，被保留下来的那些特征都会密切影响文本向量在ｒｔｌ维空间中的位置。
隐性语义标引被使用的主要原因就是因为它可以剔除小的奇异值，实现将文本特征空间变换为文本概念空间，而概念向量之间的夹角余弦相似度计算比文本向量之间的相似度计算要可靠的多。
同时，隐性语义标引也有缺点，那就是它依赖于上下文的信息，并且过于稀疏的语料影响了其潜在的语义。
２．４．３基于距离的相似性度量方法设两个ｎ维向量ａ（ｘ。
，Ｘ２，…，矗）７与ｂ（ｙ。
，Ｙ２，…，见）７。
（１）欧氏距离欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离—————一公式。
向量ａ、ｂ间的欧氏距离定义为厶＝√∑（％－Ｙｋ）２，也可以表示成向量运ＹＩ＝ｌ算的形式如＝｜、／（ａ－ｂ）（ａ－ｂ）７。
（２）曼哈顿距离曼哈顿距离也称为城市街区距离。
向量ａ、ｂ间的曼哈顿距离定义为：如＝∑Ｉ坼一儿Ｉ。
ｋ＝ｌ（３）切比雪夫距离向量ａ、ｂ间的切比雪夫距离定义为ｄ小＝ｍａｘ（Ｉｘ，－ＹｔＩ）。
（４）闵可夫斯基距离闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。
向量ａ、ｂ问的阂可夫斯基ｒ■———一距离定义为叱＝ｆ／∑Ｉ屯一Ｙｋ］９。
Ｙ＾＝１其中Ｐ是一个变参数。
当ｐ＝ｌ时，就是曼哈顿距离当ｐ－－２时，就是欧氏距离当ｐ一∞时，就是切比雪夫距离根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。
（５）标准化欧氏距离。
模糊 c 均值聚类方
模糊 c 均值聚类方
模糊c均值聚类方案是一种基于模糊理论的聚类算法，它与传统的 k 均值聚类算法不同，可以将数据点划分到多个聚类中心，并给出每个数据点属于每个聚类的概率。
模糊 c 均值聚类方案利用了模糊集合的概念，将数据点和聚类中心都看作模糊集合，通过计算数据点到每个聚类中心的归属度，来确定每个数据点的归属情况。
在模糊 c 均值聚类方案中，需要指定聚类中心的个数和一个模糊参数 m，该参数决定了聚类的模糊程度。
当 m 值越大时，聚类的模糊程度也就越大，相应的每个数据点属于每个聚类的概率也就越平滑。
当 m 值等于 1 时，模糊 c 均值聚类方案就退化成了传统的 k 均值聚类算法。
模糊 c 均值聚类方案在处理模糊或者不确定性数据方面具有很好的效果，对于那些隶属于多个聚类的数据点，可以给出合理的划分结果。
同时，该算法也具有较好的鲁棒性，可以有效地处理噪声数据。
但是，该算法的计算复杂度较高，在大规模数据集上的运行效率较低，需要进行一些优化措施来提高效率。
- 1 -。
模糊C-均值聚类算法的优化
模糊C-均值聚类算法的优化熊拥军;刘卫国;欧鹏杰【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)011【摘要】In the light of the randomness of the initial clustering center selection and the limitations of distance vector for-mula application with the traditional Fuzzy C-Means clustering algorithm(FCM), the optimized fuzzy C-means cluster-ing algorithm(FCMBMD)is proposed. The algorithm is to determine the initial cluster center by computing the density of sample point, so it avoids the instability of clustering result generated randomly by initial cluster centers. In addition, it also meets the requirements of different units of measurement data using the similarity of Mahalanobis distance calcula-tion sample set. The experimental result shows that FCMBMD algorithm has better effect in clustering center, conver-gence speed, iterations, accuracy, and so on.%针对传统模糊C-均值聚类算法（FCM算法）初始聚类中心选择的随机性和距离向量公式应用的局限性，提出一种基于密度和马氏距离优化的模糊C-均值聚类算法（Fuzzy C-Means Based on Mahalanobis and Density， FCMBMD算法）。
模糊C均值聚类算法及实现（最新整理）
模糊C均值聚类算法及实现（最新整理）模糊C均值聚类算法及实现摘要：模糊聚类是一种重要数据分析和建模的无监督方法。
本文对模糊聚类进行了概述，从理论和实验方面研究了模糊c均值聚类算法，并对该算法的优点及存在的问题进行了分析。
该算法设计简单，应用范围广，但仍存在容易陷入局部极值点等问题，还需要进一步研究。
关键词：模糊c均值算法；模糊聚类；聚类分析Fuzzy c-Means Clustering Algorithm and ImplementationAbstract: Fuzzy clustering is a powerful unsupervised method for the analysis of data and construction of models.This paper presents an overview of fuzzy clustering and do some study of fuzzy c-means clustering algorithm in terms of theory and experiment.This algorithm is simple in design,can be widely used,but there are still some problems in it,and therefore,it is necessary to be studied further.Key words: fuzzy c-Mean algorithm；fuzzy clustering；clustering analysis1 引言20世纪90年代以来，随着信息技术和数据库技术的迅猛发展，人们可以非常方便地获取和存储大量的数据。
但是，面对大规模的数据，传统的数据分析工具只能进行一些表层的处理，比如查询、统计等，而不能获得数据之间的内在关系和隐含的信息。
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基于灰狼优化的模糊C—均值聚类算法
作者：谢亮亮刘建生朱凡
来源：《软件导刊》2017年第04期
摘要：针对模糊C-均值聚类算法（FCM）存在易受初始聚类中心影响和容易陷入局部最优的问题，提出了一种将灰狼优化算法（GWO）和模糊C-均值相结合的新聚类算法（GWO-FCM）。
该算法利用GWO算法强大的全局寻优能力对FCM算法的聚类中心进行优化，模拟灰狼优秀的搜寻猎物行为找到一组最佳聚类中心来提高FCM的聚类效果。
通过UCI数据集的仿真结果和算法比较验证了该算法的有效性。
关键词：聚类分析；灰狼优化算法；模糊C-均值聚类；初始聚类中心；全局优化DOI：10.11907/rjdk.171030中图分类号：TP312文献标识码：A文章编号：16727800（2017）0040028030引言聚类是数据挖掘领域中必不可少的技术，是在事先没有分类规则下，根据事物间的特征相似度对事物进行区分和分类。
它的主要任务是按准则把所有数据按不同特性划分成各个不同的簇，即最小化每个簇内部数据间的差异性，并且最大化属于任意不同簇的数据间的差异性[1]。
在模糊集理论提出之后，研究者使用模糊集理论来作聚类分析[2]。
FCM聚类算法由Dunn[3]于1974年第一次提出，随后由Bezdek 进一步完善。
但FCM在聚类分析中存在易受随机产生的初始聚类中心的影响以及容易早熟收敛等缺点，对聚类的结果有很大影响。
针对传统的FCM存在的缺陷，本文提出一种基于灰狼优化的模糊C-均值聚类算法（GWOFCM）。
GWO具有结构简单，需要设置的参数较少，有强大的全局寻优能力，在实验编码中容易实现等优点，对FCM聚类结果有显著提高。
1灰狼优化算法GWO算法由Seyedali Mirjalili[4]于2012年受大自然中灰狼寻找和捕捉猎物行为的启发而提出，是一种新的元启发式算法。
本文从以下几个方面介绍算法步骤。
1.1社会等级灰狼是食物链顶端的群体猎食者，狼群一般由5～12只灰狼组成。
在种群中有着严格的社会等级。
在GWO算法设计中，突出了灰狼的狩猎技术和社会等级层次。
它们的社会等级由高级到低级依次为：α、β、δ、w [5]。
α是灰狼中的头狼，占有统治地位，有各项决策的优先权；β是头狼的下属狼，听从头狼并且可以命令较低等级的灰狼，再反馈信息给头狼；δ服从α、β的命令，可以指挥最底层的灰狼；w是最底层的狼，服从等级高的灰狼。
灰狼社会等级非常严格，逐级递减。
狩猎主要由α、β、δ决定引导完成，w服从等级高的狼群支配来完成狩猎任务。
1.2包围猎物行为灰狼在狩猎过程中首先需要将猎物包围[6]，建立这种行为的数学模型，用以下公式来描述其中，t为当前迭代次数；A和C为协调系数向量；Xp为猎物的位置向量；X为灰狼的位置向量。
a的值在迭代过程中从2下降到0；r1和r2是范围为[0，1]的随机向量。
1.3狩猎行为灰狼在狩猎行为中有识别猎物方位的能力，并且可以缩小范围来围剿猎物。
狩猎行为一般情况下是由α，β，δ来引导，直至结束。
然而在抽象的搜索空间，灰狼也不会知道最佳（猎物）位置[5]。
用数学公式来模仿灰狼的狩猎过程，并且α（最佳候选解），β和δ获得猎物具体方位的能力比其它灰狼更强。
所以在每次迭代过程中保留目前获得的最好的3只灰狼，也就是α，β，δ。
再通过它们的位置来使其它候选灰狼更新自己当前的位置。
数学公式表示如下[4]：α，β，δ灰狼先预测判断猎物的大概位置，再通过引导其它灰狼在猎物周围更新位置，从而锁定猎物的具体位置。
1.4攻击猎物行为一旦猎物的位置锁定，灰狼将捕抓猎物。
由式（3）可知，减小a的值，A的值也会减小，在迭代过程中a值会由2线性下降为0，A的取值范围
则为[-2a，2a]。
当A在范围[-1，1]中，灰狼的位置会出现在与猎物距离之间范围中的任何可能位置上。
当|A|1或者A
3GWO优化FCM的混合聚类算法模糊C-均值聚类要达到最佳聚类效果需使得它的目标函数最小[7]，但由于在这个过程中随机的初始聚类中心对算法的影响很大，使聚类效果差。
针对此问题，通过引入一种新群体智能算法GWO与之结合，达到更佳的聚类效果。
由于GWO 是一种全局寻优很强的算法，并且能跳出局部收敛，找到一组全局最优的聚类中心，使FCM 的聚类中心达到最优。
这样可以使FCM的聚类正确率明显提高，从而获得更好的聚类效果。
3.1种群初始化根据群体智能算法初始化常用方法，使得算法中的种群具有多样性、随机性，初始化公式设定为：其中的upperj，lowerj表示第j个元素的上、下解，n表示灰狼种群大小，d表示灰狼种群的维数。
3.2适应度函数设置适应度函数是筛选个体好坏程度的基准，越大表示个体越好，越小则表示个体越差，是由目标函数设定的[5]，在GWO中也是用来判断狼群中灰狼层次的准则。
在GWO中，适应度前三的α、β、δ狼保留下来引导w以及更低层次的灰狼去搜索猎物。
因为在FCM聚类中，目标函数值越小，聚类的结果会更好。
所以结合GWO和FCM算法，本文将GWO的适应度函数设定为：由式（16）可得，当FCM的JFCM越小，也就是聚类结果更好时，GWO的fitness会越大，通过对算法中的α、β、δ不断迭代，最后得出最好的适应度函数值α，将α设定为FCM的聚类中心。
3.3更新设置根据GWO的搜索方法，通过包围、狩猎、攻击行为更新灰狼位置。
在迭代过程中，获得最优灰狼位置xα。
通过总结上述过程，GWO-FCM算法流程如下：Step1：初始化参数a，A和C；Step2：初始化狼群种群xi（i=1...n）；Step3：计算狼群适应度fitness，选出最好的3只灰狼xα，xβ，xδ；Step4：如果T
4.2实验结果及分析实验参数设置中，FCM的加权指数都设置为m=2，粒子群种群规模大小设置为NP=20，wφ1从0.9线性减小到0.4，η1=η2=0.5，迭代次数T=100。
在本文提出的GWOFCM中，设最大的迭代数T=100，灰狼的种群大小NP=20，FCM算法的加权指数m=2，a从2线性下降到0，r1、r2为[0，1]的随机数。
在与对比实验环境和参数设置相同的情况下，将GWOFCM算法运行30次，取实验结果的平均值与FCM和PSOFCM在Iris和Car中的聚类正确率作比较，FCM和PSOFCM实验数据引自文献[7]，如表2所示。
通过表2实验结果可以看出，上述3种聚类算法的结果都有明显的差别。
本文提出的GWO-FCM在数据集Iris和Car的实验结果中聚类正确率均高于其它模糊聚类算法，而且较原始的FCM有很大的提高，在用PSO改进的FCM上也有明显提高，说明灰狼优化算法对FCM 聚类算法的优化效果比用PSO优化的效果更有优势，能更大程度地解决全局最优问题。
在Iris，Car两个数据集上，GWO-FCM算法在运行30次后每次运行结果的正确率稳定性如图1所示。
由图1可见，算法在执行30次后，在Iris数据集上聚类的准确率较平稳，有一定波动，但总体上保持在一个稳定范围。
Car数据集上每次运行的结果中正确率都非常稳定，浮动范围很小，不会出现跳跃性的变化，因此表明GWOFCM算法的稳定性很高。
5结语本文将GWO巧妙地运用在FCM上，首次用一种新的群体优化算法GWO对FCM加以改进，GWO结构简单，需要设置的参数少，具体强大的全局寻优能力，有效地解决了模糊C-均值聚类算法
对初始聚类中心的过度依赖、易出现早熟收敛等缺点。
并且通过与传统的FCM以及PSOFCM 聚类算法比较，在聚类正确率以及算法稳定性上取得了较好的实验结果。
参考文献：
[1]刘慧.改进的FCM和插值理论在数字图像修复中的应用研究[D].赣州：江西理工大学，2014.
[2]王纵虎，刘志镜，陈东辉.基于粒子群优化的模糊C-均值聚类算法研究[J].计算机科学，2012，39（9）：166169.
[3]胡蒙，苑迎春，王雪阳. 改进模糊聚类的云任务调度算法[J].计算机工程与设计，2015， 36（9）：24372441.
[4]MIRJALILI S， MIRJALILI S M， LEWIS A. Grey wolf optimizer[J]. Advances in Engineering Software， 2014， 69（3）：4661.
[5]吕新桥，廖天龙.基于灰狼优化算法的置换流水车间调度[J].武汉理工大学学报，2015，37（5）：111116.
[6]龙文，赵东泉，徐松金.求解约束优化问题的改进灰狼优化算法[J].计算机应用，2015，35（9）：25902595.
[7]蒲蓬勃，王鸽，刘太安.基于粒子群优化的模糊C均值聚类改进算法[J].计算机工程与设计，2008，29（16）：42774279.（责任编辑：陈福时）。