陕西省西安一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)

陕西省西安一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2+3﹣4＜0}，则A∩B等于( ) A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞）；由B中的不等式变形得：（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，即B=（﹣4，1），则A∩B=（0，1）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是( ) A．B．﹣C．D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部即可得出．解答：解：复数z满足z====，则z的共轭复数为，其虚部为．故选：D点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部等基础知识，属于基础题．3．若向量，满足||=1，||=，且⊥，则与的夹角为( ) A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=0，即1+1××cos＜＞=0，由此求得cos＜＞的值即可求得＜＞的值．解答：解：由题意可得=0，即=0，∴1+1××cos＜＞=0．解得cos＜＞=﹣．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，故选C．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．4．二项式展开式中的常数项是( )A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：求出展开式的通项公式，利用展开式的通项公式进行求常数项．解答：解：展开式的通项公式为，由5﹣5r=0，解得r=1即展开式中的常数项为．故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，要求熟练掌握二项式定理的通项公式．5．下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．分析：A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．解答：A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．6．点（a，b）在直线x+2y=3上移动，则2a+4b的最小值是( )A．8 B．6 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意可得，a+2b=3，然后由基本不等式可求2a+4b，即可求解解答：解：由题意可得，a+2b=3∵2a+4b=2=4（当且仅当a=2b即a=时取等号）故2a+4b的最小值4故选C点评：本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题7．执行如图的程序框图，如果输入p=5，则输出的S=( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：综合题；图表型；转化思想；综合法．分析：观察框图，属于循环结构中的直到型，S的初值为0，第一次执行循环体后加进去2﹣1，第二次执行循环体后加入2﹣2，．．第n次执行循环体后加入2﹣n，由此明确其运算过程，解答：解：由图可以看出，循环体被执行五次，第n次执行，对S作的运算就是加进去2﹣n故S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣5==故选C点评：本题考查程序框图循环结构，求解本题的关键是从图中解决两个问题一个是循环的次数，一个是做了什么运算，明白这两点，即可根据运算规则算了所求的数据，此类型的题是近几年2015届高考中比较热的一种题型，以框图给出题面，用数列或是函数等别的知识进行计算，对此类型题要多加注意．8．如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=a（a∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：由题意可得，是与面积有关的几何概率，分别求出构成试验的全部区域是矩形OACB 的面积，构成事件A的区域即为阴影部分面积为∫0a sinxdx=﹣cosx|0a=1﹣cosa，代入几何概率的计算公式可求解答：解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为：a×记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积为∫0a sinxdx=﹣cosx|0a=1﹣cosa由几何概率的计算公式可得P（A）=a=故选B点评：本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积．9．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A．36个B．24个C．18个D．6个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；分类讨论．分析：各位数字之和为奇数的有两类：一是两个偶数一个奇数：有C31A33种结果，所取得三个都是奇数：有A33种结果，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33=18个；②三个都是奇数：有A33=6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．故选B．点评：本题考查分类计数问题，是一个数字之和是奇数还是偶数的问题，数字问题是排列组合与计数原理的主角，经常出现，并且常出常新．10．已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴e=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是52．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图，可以得到树苗的高度的数据，按照从小到大排列，根据中位数的定义，即可得到甲和乙的中位数，从而得到答案．解答：解：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19，20，21，23，24，31，32，33，37，观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10，10，14，24，26，30，44，46，46，47，∴甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为=28，∴甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和为24+28=52．故答案为：52．点评：本题考查了统计中的茎叶图，众数、中位数、平均数等基本概念．众数是指在这组数据中出现次数最多的一个数，中位数是指将数据从小到大排列，处于中间位置的数，如果中间位置有两个数，则取这两个数的平均值，属于基础题．12．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=123．考点：类比推理；等差数列的通项公式．专题：规律型．分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．解答：解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故答案为：123．点评：本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．13．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．14．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．解答：解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．三、（极坐标系与参数方程）选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）15．（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ=4sinθ表示圆，则点到圆心的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标，再把点A的坐标化为直角坐标，利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：由曲线ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（0，2）．由点，可得=2，y A==2，∴A．∴|AC|==．故答案为：．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、两点间的距离公式，属于基础题．四、（几何证明选讲）（共1小题，每小题0分，满分0分）16．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接AB，根据弦切角定理及三角形相似的判定，我们易得△PBA～△ABC，再由相似三角形的性质，我们可以建立未知量与已知量之间的关系式，解方程即可求解．解答：解：依题意，我们知道△PBA～△ABC，由相似三角形的对应边成比例性质我们有，即．故答案为：．点评：在平面几何中，我们要求线段的长度，关键是寻找未知量与已知量之间的关系，寻找相似三角形和全等三角形是常用的方法，根据相似三角形的性质，很容易得到已知量与未知量之间的关系，解方程即可求解．五、（不等式选讲）选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）17．（不等式选讲选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数a的取取值范围是（﹣∞，0）∪．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，则f（x）=，如图所示．由于关于x的不等式存在实数解⇔＜f（x）max，解出即可．解答：解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，则f（x）=，如图所示．∵关于x的不等式存在实数解，∴＜f（x）max=3，解得，故a的取值范围是（﹣∞，0）∪．故答案为（﹣∞，0）∪．点评：本题考查了含绝对值的不等式的恒成立问题的等价转化、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；综合题．分析：（I）化简函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期；（II），推出，再求函数f（x）的最大值，最小值．解答：解：（I）．∴f（x）的最小正周期为π；（II）．∵，∴，∴∴．∴当时，函数f（x）的最大值为1，最小值．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，是基础题．19．已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，知2a2=a1+（a3﹣1）=a3，由此能求出数列{a n}的通项公式．．（Ⅱ）由b n=2n﹣1+a n，知（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1），由等差数列和等比数列的求和公式能求出S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，∴=2，∴=2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n=2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）=+=n2+2n﹣1．点评：本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．20．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，解λ．解答：（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．点评：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．21．某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放．（二）人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气．活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10﹣60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示．宣传效果调查表广告一广告二回答正确人数占本组人数频率回答正确人数占本组人数频率[10，20）90 0.5 45 a[20，30）225 0.75 k 0.8[30，40）b 0.9 252 0.6[40，50）160 c 120 d[50，60]10 e f g（1）分别写出n，a，b，c，d的值．（2）若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元．组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内容，求该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图和统计表求解．（2）由题意知，大人正确回答广告一内容的概率为P（A）=，孩子正确回答广告二的内容的概率为P（B）=，ξ可能取值为0，30，60，90，分别求出相应的概率，由此能求出该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．解答：解：（1）由题意知，[10，20）岁中抽查人数为90÷0.5=180人，[10，20）岁中抽查人数的频率为0.015×10=0.15，∴n=180÷0.15=1200．∴a==，b=（252÷0.6）×0.9=378．c，d==．（2）由题意知，大人正确回答广告一内容的概率为P（A）=，孩子正确回答广告二的内容的概率为P（B）=，则ξ可能取值为0，30，60，90，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=30）==，P（ξ=60）=（1﹣）=，P（ξ=90）==．∴ξ的分布列为：ξ0 30 60 90P∴Eξ==35．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P在椭圆C上，且满足△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意知：，由此能求出椭圆C方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在，使得．解答：解：（I）由题意知：，解得，∴椭圆C方程为：（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，则又==而===为定值．只需，解得：，从而=．当k不存在时，此时，当时，=故：存在，使得．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．23．已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若对于任意的a∈[，2]，不等式{a n}在n上恒成立，求S n的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可求得；（2）利用判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（3）由题意得即可得出结论．解答：解：（1）f′（x）=1﹣，由导数的几何意义得f′（2）=3，于是a=﹣8，由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9，所以函数f（x）的解析式为f（x）=x﹣+9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）f′（x）=1﹣，当a1=1时，显然f′（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（﹣∞，0），{b n}内是增函数；当a＞0时，令f′（x）=0，解得x+±；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞）﹣（﹣，0）（0，）（，+∞）f′（x） + 0 ﹣﹣0 +f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）内是增函数，在（﹣，0），（0，）内是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）由（2）知，f（x）在b1=1上的最大值为f（）与f（1）中的较大者，对于任意的R，不等式f（x），g（x）在h（x）=kx+b上恒成立，当且仅当即，对任意的x∈R成立，从而得满足条件的b的取值范围是f（x）≥h（x）≥g（x）﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，求函数最值等知识，考查学生的运算求解能力，属于难题．。