小学奥数数论讲义 10-因数与倍数之综合应用强化篇【精品】
小学奥数因数与倍数
小学奥数因数与倍数(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
因数和倍数知识整理课件
目录
• 因数和倍数的定义 • 因数的分类和性质 • 倍数的分类和性质 • 因数和倍数的应用 • 因数和倍数的练习题及解析
01 因数和倍数的定义
因数的定义
总结词
因数是能够整除给定数的数。
详细描述
因数是指能够整除给定数的数。在整数除法中，如果整数a能被整数b整除，那 么b就是a的一个因数。例如，12可以被2和3整除，因此2和3是12的因数。
数据压缩
在数据压缩中，因数和倍数的概念可 以帮助我们理解和实现数据压缩算法 。
加密算法
计算机图形学
在计算机图形学中，因数和倍数的概 念可以帮助我们理解和实现图形变换 、缩放等操作。
在加密算法中，因数和倍数的概念可 以帮助我们理解和实现加密算法。
05 因数和倍数的练习题及解 析
基础练习题
题目1
找出12的所有因数
04 因数和倍数的应用
在数学中的应用
01
02
03
整除和除法
因数和倍数是整除和除法 的基础，它们在解决数学 问题时起到关键作用。
代数方程
在解代数方程时，因数和 倍数的概念可以帮助我们 理解和简化方程。
几何图形
在几何图形中，因数和倍 数的概念可以帮助我们理 解图形的边长、面积和体 积等属性。
在日常生活中的应用
感谢您的观看
详细描述
单位因数是能够将一个数约简到最简 形式的因数。例如，在数字12中，单 位因数是2和3，因为它们能够将12约 简为6和4。
奇数因数和偶数因数
总结词
奇数因数是能够被奇数整除的因数，偶数因数是能够被偶数 整除的因数。
详细描述
奇数因数是能够被奇数整除的因数，例如在数字15中，奇数 因数是3和5，因为它们能够被15整除。偶数因数是能够被偶 数整除的因数，例如在数字20中，偶数因数是2、4、8和10 ，因为它们能够被20整除。
10《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲·小升初必备》-第10讲数论综合(一)
第10讲数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=23×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．所以，至少要分成3组．8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A 出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【分析与解】由于3128÷142=114，3128÷324=92．所以狐狸跳4个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个3128米的距离时，将掉进陷阱．又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×142=40.5(米)．11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．所以，除数4为17．13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．评注：设奇数为2n+1，则它的平方为24n+4n+1，显然除以4余1．14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．。
小学奥数因数与倍数复习课程
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
因数和倍数ppt
02
因数的分类
按照整除性质分类
真因数
小于等于被除数的因数，如[1, 2, 3, 4, 6]
负因数
大于被除数的因数，如[-2, -3, -4, -6]
按照大小关系分类
固因数
小于等于被除数的因数，如[1, 3, 5, 7]
负因数
大于被除数的因数，如[-2, -3, -4, -5]
特殊因数
单位因数
被除数
03
倍数的分类
按照整除性质分类
完全倍数
如果一个数同时是另一个数的倍数，则称该数为完全倍数
非完全倍数
如果一个数不是另一个数的倍数，则称该数为非完全倍数
按照大小关系分类
真倍数
如果一个数是另一个数的正整数倍，则称该数为真倍数
假倍数
如果一个数是另一个数的负整数倍或小数倍，则称该数为假倍数
因数和倍数的数学故事
小故事
通过一些有趣的小故事来引入因数和倍数的概念，例如“一个小猴子摘桃子”的 故事等，帮助学生们更好地理解因数和倍数的意义和应用。
大数学家的故事
介绍一些数学家研究因数和倍数的故事，例如欧几里得、费马等大数学家的相关 研究和发现，激发学生们对数学的兴趣和热情。
06
因数和倍数的练习题
常见特性
因数可以是非零整数，包括正数和负数。最小的正因数是1， 最小的负因数是-1。
倍数的定义
数学定义
如果一个整数可以整除另一个整数，则称该整数为另一个整数的倍数。例如 ，12是3的倍数，因为3可以整除12。
常见特性
倍数只能是正整数，包括正无穷大。任何非零数的最小正倍数是1。
因数和倍数的关系
互为相反数
因数和倍数的应用题通常是将这些概念应用于实际问题中，如计算矩形面积、计 算数量倍增等。这类题目需要理解题意并运用因数和倍数的概念来解决问题。
因数和倍数的基本概念与应用
因数和倍数的基本概念与应用一、因数和倍数的定义1.因数：如果一个整数a能被另一个整数b整除（b ≠ 0），那么b就是a的因数。
2.倍数：如果一个整数a能被另一个整数b整除（b ≠ 0），那么a就是b的倍数。
二、因数和倍数的关系1.一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。
2.一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3.两个数的最大公因数和最小公倍数之间存在以下关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。
三、因数和倍数的应用1.求一个数的因数：列举出所有小于等于该数的正整数，判断它们是否能整除该数，如果能，则是该数的因数。
2.求一个数的倍数：用该数分别乘以1、2、3、4、5…，直到结果超过该数，列举出所有小于等于该数的倍数。
3.求两个数的最大公因数：a.列举出两个数的所有因数。
b.找出两个数共有的因数。
c.找出共有因数中最大的一个，即为两个数的最大公因数。
4.求两个数的最小公倍数：a.列举出两个数的所有倍数。
b.找出两个数共有的倍数。
c.找出共有倍数中最小的一个，即为两个数的最小公倍数。
四、因数和倍数在实际生活中的应用1.分配任务：例如，有12个苹果，需要将它们分给4个人，每人分得几个苹果？通过求12的因数，可以得到每人分得3个苹果。
2.安排时间：例如，某活动计划在3小时内完成，每小时需要完成多少任务？通过求3的倍数，可以得到每0.5小时完成一个任务。
3.购物优惠：例如，一件商品原价120元，打8折后的价格是多少？通过求120的倍数，可以得到打折后的价格是96元。
4.制作计划：例如，某项目需要在5天内完成，每天需要完成多少工作？通过求5的倍数，可以得到每天完成的工作量。
因数和倍数是数学中的基本概念，掌握它们的关系和应用方法对于中小学生的学习和生活具有重要意义。
通过学习因数和倍数，学生可以更好地理解数学运算，解决实际问题，提高逻辑思维能力。
习题及方法：1.习题：找出24的所有因数。
五年级杯赛备战讲义奥数因数与倍数
1、因数和倍数 如果自然数a 和自然数b 的乘积是c ，即a ×b=c ，那么a 和b 都是c 的因数，c 是a 和b 的倍数。
[注：在研究因数和倍数的时候，小学阶段所涉及的数指的是自然数（一般不包括0）]一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2、因数和倍数的关系二者是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。
3、求一个数的因数和倍数的方法（1）求一个数的因数的方法：找一个数的因数时，应从最小的因数找起，一直找到它本身；也可以一对一对地找，如12的因数有：1、12、2、6、3、4。
一个数的因数的个数是有限的。
（2）求一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4…所得的积就是这个数的倍数。
没有大小限制时，一个数的倍数的个数是无限的。
【例1】在下面圈内填上适当的数。
36的因数：80以内9的倍数：知识引入因数倍数 例题精讲【巩固】在下面圈内填上适当的数48的因数：100以内11的倍数：【例2】一个数既是9的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？【巩固】一个数既是7的倍数，又是140的因数，这个数可能是多少？【例3】判断题：（1）因为a×b=c，所以我们说a是c的因数，c是a的倍数。
（）（2）因为2.5×4=10，所以我们说10是2.5的倍数。
（）（3）因为2.5×4=10，所以我们说20是2.5的4倍。
（）（4）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数。
（）（5）一个数的因数总是比这个数小。
（）【巩固】判断题：（1）因为c÷a=b，所以我们说a是c的因数，c是a的倍数。
（）（2）因为3.6×5=18，所以我们说18是5的倍数,18是3.6的5倍。
（）（3）因为63÷7=9，所以63是倍数，7和9是因数。
小学奥数数论讲义 第十九讲 数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化篇
第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化【例1】
一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B 的速度为每秒1.5厘米，C的速度为每秒2.5厘米。
问3只甲虫爬出多长时间后第一次到达同一位置。
【例2】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【例3】
在下面的□中填入数字，使等式成立(注：每个□内只允许填0，1，2，…，9中的一个数字，允许重复)□□×□＋□=101，那么满足以上要求的等式可以填出______个。
【例4】各位数字均不大于5，且能被99整除的4位数，共有多少个？
1。
(完整版)因数和倍数讲义
第一讲因数和倍数【课堂讲解】【考点】一：因数和倍数【知识点】1：因数和倍数的理解（1）数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
（2）因数和倍数：定义1：被除数÷除数=商，要求被除数、除数、商都是整数，所以除数和商是被除数的因数，被除数则是除数和商的倍数。
定义2：4×5＝20,20是4和5的倍数，4和5是20的因数。
注意：在研究因数与倍数时，我们所说的数指的是非0整数。
要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
（3）因数和倍数的关系：倍数和因数是相互依存的。
【例题】1：根据算式1000÷10＝100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】2：根据算式24×15=360，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】3：判断题：因为78÷3＝26，所以说3是因数，78是倍数。
（）【知识点】2：求一个数的因数和倍数【例题】1：求下列数的因数1的因数（）17的因数（）78的因数（）91的因数（）39的因数（）44的因数（）51的因数（）87的因数（）95的因数（）【例题】2：求下列数的倍数(写出最小的5个）2的倍数（）4的倍数（）5的倍数（）10的倍数（）50的倍数（）【挑战自己】（一）填空（1）因为78÷2＝39，所以2是78的（），78是39的（）。
（2）因为16×3=48，所以（）是（）的因数，48是16的（）。
（3）根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
（4）写出下列数的所有因数59（） 87（）23（）45（）91（） 62（）（5）24的因数有（）．说明：一个数因数的个数是（），最小的因数是（），最大的因数是（）．（6）3的倍数有（）．说明：一个数的倍数的个数是（），最小的倍数是（），（）最大的倍数．（7）一个数的最大因数是34 ，这个数是（），它的所有因数有（），这个数的最小倍数是（）。
《倍数与因数》讲义
因数在密码学中的应用
密码学中的因数应用
因数在密码学中也有着广泛的应用，例如在RSA算法中，公钥和私钥就是两个大数的因数。此外，一些分组密码 也利用了因数的性质进行加密和解密，例如AES算法。
因数分解的算法
对于大整数的因数分解，通常采用试除法、质因数分解法和辗转相除法等算法。这些算法能够有效地找到大整数 的因数，从而为密码学中的加密和解密提供支持。
CHAPTER 05
倍数与因数的练习题及解答
倍数练习题及解答
01
02
总结词：理解倍数的概 念、掌握求一个数的倍 数的方法
详细描述
03
04
05
1. 什么是倍数？一个数 A是另一个数B的几倍， 则称A是B的倍数。
2. 如何求一个数的倍数 ？例如，求6的倍数：6 的1倍是6，6的2倍是12 ，6的3倍是18，以此类 推。
3. 倍数的应用：在日常 生活中，倍数可以用来 描述增长、减少、速度 等问题。例如，一个农 场今年的收成是去年的2 倍。
因数练习题及解答
• 总结词：理解因数的概念、掌握求一个数的因数 的方法
因数练习题及解答
• 详细描述 • 什么是因数？一个数A能被另一个数B整除，则称A
是B的因数。 • 如何求一个数的因数？例如，求24的因数：
CHAPTER 04
倍数与因数的应用
倍数在密码学中的应用
密码学中的倍数应用
在密码学中，倍数被广泛应用于加密和解密算法中，例如 RSA算法和ECC算法。这些算法利用了模运算的性质，通过 使用两个大数的乘积来生成加密密钥和解密密钥，从而保证 通信的安全性。
模运算的性质
在密码学中，模运算的性质非常重要，尤其是对于大整数的 模运算。模运算的性质包括同余定理、扩展同余定理和费马 小定理等，这些定理为密码学中的倍数应用提供了理论基础 。
五年级数学提高讲义因数和倍数
第三讲 因数和倍数基础班1． 两个三位数的最大公因数是29，它们的最小公倍数是4959。
那么这两个三位数的差是多少？2． 两个自然数的和是60，它们的最小公倍数与最大公因数的和是84，则这两个数分别是多少？3． 三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么每小段最长多少厘米？一共可截成多少段？4． 1155的两位因数中最大的一个是多少？5． 如果甲乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？6． 写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。
答案1解析：199294959⨯⨯=，所以这两个三位数分别为929⨯、1929⨯，所以这两个三位数的差是290)919(29=-⨯。
2解析：设这两个自然数的最大公因数是m ，这两个自然数分别为ma 、mb （a 与b 互质，且不妨假设a ＞b ），那么这两个自然数的最小公倍数是mab ，依据题意有：⎩⎨⎧=+=+8460mab m mb ma 即⎩⎨⎧=+=+84)1(60)(ab m b a m 说明m 是60和84的公因数，可能为12、6、4、3、2、1。
当m =12时，⎩⎨⎧=+=+715ab b a ，解得⎩⎨⎧==23b a ，所以⎩⎨⎧==2436mb ma 。
当m =6时，⎩⎨⎧=+=+14110ab b a ；当m =4时，⎩⎨⎧=+=+21115ab b a ；当m =3时，⎩⎨⎧=+=+24120ab b a ；当m =2时，⎩⎨⎧=+=+42130ab b a ；当m =1时，⎩⎨⎧=+=+84160ab b a ；上述方程组都没有整数解，舍去。
所以，这两个数分别是36和24。
3解析：每小段的长度是120、180、300的因数，也是120、180和300的公因数。
120、180和300的最大公因数是60，所以每小段的长度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
小学奥数数论讲义 10-因数与倍数之综合应用强化篇
因数与倍数之综合应用【例 1】(北京市第十届“迎春杯”刊赛试题)筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个一个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有种不同的拿法。
【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【例 2】现有三个正整数，它们的和是1111，这样的三个正整数的公约数中，最大的可以是多少？【巩固】9个非零自然数的和是848，它们的最大公约数的最大值是多少？【例 3】恰有8个约数的两位数有个。
【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【例 4】一个数的平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【巩固】一个数的立方有28个约数，求这个数的约数个数可能是几？【例 5】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为。
【巩固】把1，2，3，4，5，6这六个数依不同的次序排列，可以得到720个不同的六位数，则所有这些六位数的最大公约数为。
【例 6】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，…，3599，开始时头都朝东。
第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，…，如此进行。
那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【巩固】200名同学编为1至200号面向南站成一排。
第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；…；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名。
〖答案〗【例 1】10【巩固】16【例 2】101【巩固】53【例 3】10【巩固】16【例 4】20或14【巩固】10或6【例 5】9 【巩固】3 【例 6】头朝东【巩固】8。
小升初奥数 ：倍数与因数
倍数与约数 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。
2，掌握做题方法教学内容知识点一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若11(,),(,),a a a b b b a b =⨯=⨯则11(,)1a b =(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？题型二：约数的和例1：有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?练习：10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？例2：两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差等于多少？练习：有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?题型三：最小公倍数和最大公约数例1：甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.练习：甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？例2：已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？练习：已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。
那么A+B的最小值是多少？课堂练习（一）基础过关。
一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？（二）综合提升。
小学五年级数学因数与倍数讲义-非常经典的讲义
龙文教育学科讲义教师：学生：日期:2０13－０３-09星期:六时段:０8:00—10:0０A、２×0.25=0．5 Ｂ、2×2５=50 C、2×０=0【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数例如:36的因数有（)。
确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。
如:1×36＝36、2×1８=36、3×12=３６、4×9=36、6×6=36因此3６的所有因数为：1、２、3、4、6、９、１2、18、36重复的和相同的只算一个因数。
一个数的因数个数是有限的,最小的因数是１，最大的因数是他本身。
例如:7的倍数( )。
确定一个数的倍数,同样依据乘法口诀,如：1×7＝7、２×7＝１４、3×7＝2１、4×７=2８、5×7=35……还有很多。
因此7的倍数有：7、１4、21、28、3５、4２……一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身,没有最大的倍数。
练习:(１)２0的因数有:(2）4５的因数有:(3)24的倍数有：（4)1７的倍数有：(５）下面的数,因数个数最多的是( ）。
A、１8B、 36C、40(６）判断并改正：１4比12大，所以1４的因数比1２的因数多( )１是1，２,3,4,5…的因数( )一个数的最小因数是１,最大因数是它本身。
( )一个数的最小倍数是它本身( ）12是4的倍数,8是４的倍数，１2与８的和也是4的倍数。
（)凡是8的倍数也一定是２的倍数。
( )(7)幼儿园里有一些小朋友,王老师拿了3２颗糖平均分给他们,正好分完。
小朋友的人数可能是多少？(８）小红到超市买日记本,日记本的单价已看不清楚,他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。
你能解释这是为什么吗?【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数例如:25以内5的倍数有(5、10、15、2０、25 ）。
因数与倍数讲义
因数与倍数讲义(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除学生：科目：数学第阶段第次课教师：第二讲、因数和倍数考点一、因数和倍数一、知识要点1、如果a×b=c（a，b，c都是不为0的整数），那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
2、找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找3、表示一个数的因数的方法：（1）列举法（2）用集合圈表示4、一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
5、找一个数的倍数的方法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找6、一个数的倍数的表示方法：（1）列举法（2）用集合圈表示7、一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
8、倍数、因数的关系倍数与因数是相互依存的关系。
没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。
二、例题（基础）例1 24的因数有哪几个？例2 你能找出多少个3的倍数？三、例题（提高）例3 一个数是36的因数，但不是36的最大因数，还是9的倍数，但不是9的最小倍数，这个数是几呢？例4 一个数的最大因数和最小倍数都是45，这个数是几？例5 一个数只有两个因数，且这个数的2倍在25和30之间，这个数是几？例6 幼儿园阿姨买来一些糖果，平均分给5个小朋友，正好分完。
如果阿姨买的糖果总数比5多，比100少，那么阿姨可能买来多少块糖？四、巩固训练一、填空题。
1、一个数的因数的个数是（）的，其中最小的因数是（），最大的因数是（）。
2、一个数的倍数的个数是（）的，其中最小的倍数是（），（）最大的倍数。
3、一个非零自然数，既是它本身的（），又是它本身的（）。
4、（）和（）是相互依存的。
5、12的因数有（），其中最小的因数是（），最大的因数是（）。
6、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是（）。
数学讲义-因数与倍数
因数与倍数一、本章知识要点1、a×b＝c（a、b、c是不为0的整数），c是a和b的倍数，a和b是c的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
2、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.质数：有且只有两个因数，1和它本身合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、973、分解质因数：用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）4、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；5、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。
其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数；较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数它们的积就是它们的最小公倍数。
二、经典例题知识点1、公因数的实际问题例1.张师傅买回一根50dm长的铁丝和一根43dm长的铜丝，将它截成同样长的小段，结果铁丝剩余2dm，铜丝剩余3dm。
所截成的小段最长是多少分米？分别能截成多少段这样最长的小段？学生自测：1、有甲、乙、丙三种溶液，分别重416 千克、334 千克、229千克。
因数和倍数及解决实际问题课件
如果整数a能被整数b整除，那么a称为b的因数。
举例
12的因数有1、2、3、4、6和12。
特性
一个数的因数总是成对出现，如12的因数有1和12 、2和6、3和4。
倍数的性 质
定义
整数a是整数b的倍数，如果存在一个整数k，使得a=b×k。
举例
12是2的倍数，因为12=212的倍数有12、24、36、48 等。
因数和倍数及解决实际问题课 件
CONTENTS
• 因数和倍数的定义 • 因数和倍数的性质 • 解决实际问题的应用 • 因数和倍数的计算方法 • 因数和倍数的扩展知识
01
因数和倍数的定义
因数的定 义
总结词
因数是能够整除给定数的整数。
详细描述
因数是数学中一个重要的概念，它表示能够整除给定数的整数。在整数除法中， 除数和商都是被除数的因数。例如，在12÷2=6中，2和6都是12的因数。
找出关键因数
规律性寻找
对于某些具有特定规律的数列，如平 方数或立方数，寻找因数和倍数会更 加容易。
对于较大的数，找出关键因数可以更 快地找到其他因数。
05
因数和倍数的扩展知识
质因数分解
总结词
质因数分解是将一个合数分解为若干个质数的乘积。
详细描述
质因数分解是数学中的一个重要概念，它通过将一个合数表示为若干个质数的乘 积，帮助我们更好地理解和处理数字。例如，将数字28进行质因数分解，得到 28=2x2x7。
分数的约分
分数约分时，需要找到分子和分母的公因 数，将分数化简。
代数方程
在解代数方程时，因数和倍数的概念可以 帮助我们简化方程。
因数和倍数在计算机科学中的应用
01
02
小学奥数数论讲义 9-因数与倍数之最大公因数与最小公倍数强化篇
【例 1】(2005年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作。
例如：对18和42连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。
试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，直到两数相同为止，如果最后得到的相同的数是15，这两个五位数是与。
【巩固】两个三位数的最大公约数是12，那么这两个数的和最大是多少？【例 2】(第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛培训题)五年级甲班的学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占17，得80～89分的人数占12，得70～79分的人数占13，那么，得70分以下的有多少人？【巩固】一次考试，参加的学生中有17得优，14得良，13得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有人。
因数与倍数之最大公因数与最小公倍数【例 3】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【巩固】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍。
现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【例 4】大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。
由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。
求圆形花圃的周长。
【巩固】在一根60厘米的长木棍上，先每隔2厘米画一条刻度线，再每隔3厘米画一条刻度线，然后沿着每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例 5】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？【巩固】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。
如果甲数是18，那么乙数是多少？【例 6】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？〖答案〗【例 1】10005与10020 【巩固】1980【例 2】1【巩固】23【例 3】98【巩固】60或135【例 4】2160厘米【巩固】40【例 5】32【巩固】30【例 6】4和60或12和20 【巩固】147或105。
专题03因数与倍数(讲义)-2024年小升初数学复习
专题3：因数与倍数（小升初复习讲义）2024年小升初数学复习专题：第一章数的认识（高频考点梳理+重难点讲解+同步练习+答案）【知识梳理】1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。
例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。
2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。
2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。
倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。
3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
4、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个非0自然数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
5、表示一个数的因数和倍数的方法：列举法；集合表示法。
【例1】如果一个数的最大因数和它的最小倍数的积是49，那么这个数是（）。
【解题分析】因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知这个数的最大因数和最小倍数的积是49，而7×7＝49，则这个数是7。
【答案】7；【例2】把24个玻璃杯分别装在盒子里，要使每个盒子中玻璃杯的数量同样多，且刚好可以全部装完，一共有（）种不同的装法。
【解题分析】24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18，36；装法有：（1）24＝1×24，①每盒24个，装1盒，因为这个装法不能体现每个盒子装得同样多，所以不可以这样装；②每盒装1个，装24盒；（2）24＝2×12，③每盒装12个，装2盒；④每盒装2个，装12盒；（3）24＝3×8，⑤每盒装8个，装3盒；⑥每盒装3个，装8盒；（4）24＝4×6，⑦每盒装6个，装4盒；⑧每盒装4个，装6盒；所以一共有7种装法。
【答案】7；【例3】古希腊的毕达哥拉斯学派在研究自然数时发现了一些珍贵的数字。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因数与倍数之综合应用
【例1】(北京市第十届“迎春杯”刊赛试题)筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个一个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有种不同
的拿法。
【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？
【例2】现有三个正整数，它们的和是1111，这样的三个正整数的公约数中，最大的可以是多少？【巩固】9个非零自然数的和是848，它们的最大公约数的最大值是多少？
【例3】恰有8个约数的两位数有个。
【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
【例4】一个数的平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【巩固】一个数的立方有28个约数，求这个数的约数个数可能是几？
【例5】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为。
【巩固】把1，2，3，4，5，6这六个数依不同的次序排列，可以得到720个不同的六位数，则所有这些六位数的最大公约数为。
【例6】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，…，3599，开始时头都朝东。
第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，…，如此进行。
那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？
【巩固】200名同学编为1至200号面向南站成一排。
第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；…；
第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名。
〖答案〗
【例1】10
【巩固】16
【例2】101
【巩固】53 【例3】10 【巩固】16 【例4】20或14 【巩固】10或6 【例5】9
【巩固】3
【例6】头朝东【巩固】8。