(完整版)因数与倍数奥数题

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小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数和-4星题(含解析)

数论-因数和倍数-因数和-4星题课程目标知识提要因数和•概念因数和：即一个整数的所有因数的和。

因数和公式：a3×b2×c的因数的和为〔1+ a + a2 + a3〕×〔1+ b + b2〕×〔1+ c〕精选例题因数和1. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．【答案】16；4896【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．2. 36的所有约数的和多少？90的所有约数的和是多少？【答案】91；234【分析】简答：提示，牢记求约数和的公式，并能准确分解质因数．3. 10000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012×100【分析】10000=24×54，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53+54)=24211因数积为(1002)n×100，其中n=[(4+1)×(4+1)−1]÷2=12所以因数的积为1000012×1004. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．【答案】124或186【分析】10=9+1=2×5，表达式为a9或者ab4，29>100，2×34>100，只可能是24×3=48或24×5=80．48的因数之和：(20+21+22+23+24)×(30+31)=124，80的因数之和：(20+21+22+ 23+24)×(50+51)=186．5. 360的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】1170、36012【分析】360=23×32×5，因数和：(20+21+22+23)×(30+31+32)×(50+51)=1170因数积：360n，n=(3+1)×(2+1)×(1+1)÷2=12所以因数的积为36012．6. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+ 31+32)×(50+51)=78．7. 2000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】4836、200010【分析】2000=24×53，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53)=4836；因数积为2000n，其中n=(4+1)×(3+1)÷2=10，所以因数的积为200010．。

倍数与因数奥数测试题

一、教学方针：（1）认识自然数、整数、倍数、因数；(2)认识奇数和双数，掌握2，3，5的倍数的特征。

(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。

二、根蒂根基知识讲解：●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

要是a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

●能被2，3，5整除的数的特征：2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8的数5的倍数特征：个位是0，5的数3或9的倍数特征：各个数位上的数码之和能被3或9整除。

4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。

8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征：奇数位的数码之和与双数位上的数码之和的差是11的倍数。

●奇数与双数：能被2整除的数叫双数，不能被2整除的数叫奇数。

质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。

一个数除了1和它本身外，另有另外因数，这个数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。

特殊情况：倍数瓜葛：（m，n）=m [m，n]=n （n是m的倍数）互质瓜葛：（m，n）=1 [m，n]=mn3、经典例题：例1：下列哪些式子是整除式？（1）8.8÷1.1=8 （2）130÷10=13（3）29÷7=4……1 （4）14÷5=2.4分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必需是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。

例2：写出24的因数和倍数。

分析与解：因为1×24=24 2×12=24 3×8=24 4×6=24所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24因为24×1=24，24×2=48，24×3=72，24×4=96……所以24的倍数有24，48，72，96……例3：一个数万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，个位上是最小的质数，百分位上的数既不是质数也不是合数，其余数位的数码是零，这个数是多少？分析与解：最小的合数是4，最大的一位数是9，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1。

(完整word版)五年级奥数题：因数与倍数.doc

因数与倍数相关习题（ 1）一、填空题1 ．28 的所有因数之和是 _____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形, 有 _____种不同的拼法 .3. 一个两位数 , 十位数字减个位数字的差是 28 的因数 , 十位数字与个位数字的积是 24. 这个两位数是 _____.4. 李老师带领一班学生去种树 , 学生恰好被平均分成四个小组 , 总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多 , 那么这个班共有学生 _____人 .5. 两个自然数的和是 50, 它们的最大公因数是 5, 则这两个数的差是 _____.6. 现有梨 36 个, 桔 108 个 , 分给若干个小朋友 , 要求每人所得的梨数 , 桔数相等 , 最多可分给 _____个小朋友 , 每个小朋友得梨 _____个 , 桔 _____个.7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片 _____块 .8. 长 180 厘米 , 宽 45 厘米 , 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块 ( 不余料 )_____ 块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个 , 又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出 , 如果他要赚得 10 元钱利润 , 那么他必须卖出苹果 _____个 .10. 含有 6 个因数的两位数有 _____个 .11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 1 米，黄鼠狼每次跳 2 3米， 2 4它们每秒钟都只跳一次 . 比赛途中 , 从起点开始每隔 12 3米设有一个陷井 , 当它们8之中有一个掉进陷井时 , 另一个跳了多少米 ?14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最小公倍数也是 300, 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组 ?( 例如 : a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数组 )———————————————答案——————————————————————答案:1． 5628 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因 105 的因数有105 和 1,35 和 3,21 与1,3,5,7,15,21,35,1055,15 与 7. 所以能拼成能拼成的方形的与分是4 种不同的方形 .3. 64因 28=2 2 7, 所以 28 的因数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字中，只有 6 与 4 之，或者 8 与 3 之是 24，又 6-4=2，8-3=5.故符合目要求的两位数有64.0,1,2, ⋯，94. 28因667=23 29, 所以班生每人种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 然 , 每人种 667 棵是不可能的 .当每人种 29 棵 , 全班人数是 23-1=22, 但 22 不能被 4 整除 , 不可能 .当每人种 23 棵 , 全班人数是29-1=28, 且 28 恰好是 4 的倍数 , 符合目要求 .当每人种 1 棵 , 全班人数是 667-1=666, 但 666 不能被 4 整除 , 不可能 .所以 , 一班共有 28 名学生 .5. 40或20两个自然数的和是50, 最大公因数是35, 它的差分 (45-5=)40,(35-15=)20, 5, 两个自然数可能是所以填 40 或 20.5 和45,15 和[ 注 ] 这里的关键是依最大公因数是 5 的条件, 将50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36 的因数，又要是 108 的因数，即一定是 36 和 108的公因数 . 因要求最多可分多少个小朋友, 可知小朋友的人数是36 和 108 的最大公因数 .36 和 108 的最大公因数是36, 也就是可分 36 个小朋友 .每个小朋友可分得梨 : 3636=1( 只)每个小朋友可分得桔子 : 10836=3( 只)所以 , 最多可分得 36 个小朋友 , 每个小朋友可分得梨 1 只, 桔子 3 只.7. 56剪出的正方形布片的能分整除方形的48 厘米及 42 厘米 , 所以它是 48 与 42 的公因数 , 目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的是48 与42 的最大公因数 .因 48=2 2 2 2 3,42=2 3 7, 所以 48 与 42 的最大公因数是 6., 最大正方形的是 6 厘米 . 由此可按如下方法来剪 : 每排剪 8 , 可剪 7, 共可剪 (48 6) (42 6)=8 7=56( ) 正方形布片 .8. 200根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除, 即正方体的棱是180,45 和 18 的公因数 . 了使正方体木尽可能大 , 正方体的棱是180、45 和 18 的最大公因数 .180,45 和 18 的最大公因数是 9, 所以正方体的棱是 9 厘米 . , 180 厘米可公成 20 段, 45 厘米可分成 5 段, 高 18 厘米可分成 2 段. 根木料共分割成 (180 9)(45 9) (18 9)=200 棱是 9 厘米的正方体 .9. 150根据 3 与 5 的最小公倍数是 15, 老傅以 5 元 15 个苹果 , 又以 6 元出 15 个苹果 , , 他 15 个苹果与出利 1 元. 所以他利 10 元必出 150 个苹果 .10. 16含有 6 个因数的数 , 它的质因数有以下两种情况 : 一是有 5 个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么Ma 5 或 Ma 2b因为 M 是两位数，所以 M= a 5 只有一种可能 M=25 ，而 M= a 2 b 就有以下 15 种情况：M 22 3, M 22 5, M 227 ，M22 11, M 22 13, M 2 2 17 ， M 22 19, M 22 23, M 32 2 ，M 32 5, M32 7, M32 11 ，M52 2, M52 3, M 7 22 .所以 , 含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个)11. 三个数都不是质数 , 至少是两个质数的乘积 , 两两之间的最大公因数只能分别是 2,3 和 5, 这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组 .12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和 , 也就是说它们的最大公因数应该是 1111 的因数 . 将 1111 作质因数分解 , 得1111=11 101最大公因数不可能是 1111, 其次最大可能数是 101. 若为 101, 则将这四个数分别除以 101, 所得商的和应为 11. 现有1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数101,1012,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111, 它们的最大公因数为 101. 所以 101 为所求 .13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 3 与 12 3 的“最小公倍数”99，4 84即跳了99 11=9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 1 和 12 3的442 8 “最小公倍数”99 ，即跳了999=11 次掉进陷井 .2 2 2经过比较可知 , 黄鼠狼先掉进陷井 , 这时狐狸已跳的行程是419=40.5( 米). 214.先将 12、 300 分别进行质因数分解：12=2 2 32 2300=2 3 5(1)确定 a 的值 . 依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60) 或 12 25(=300).(2)确定 b 的值 .当 a=12 时, b 可取 12, 或 12 5, 或 12 25；当a=60,300 时， b 都只能取 12.所以 , 满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3) 确定 a, b, c 的组数 .对于上面 a、b 的每种取值，依题意， c 均有 6 个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 23，即 25，50，100，75，150，300.5 ，5 2，5 2 ，5 3，5 2 3，5 2所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 5 6=30（组）因数与倍数相关习题（ 2）一、填空题1 ．把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2 个，而苹果还缺 2 个，一共有 _____个小朋友 .2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个 . 这个大班的小朋友最多有 _____ 人 .3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板 _____块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块 _____块.5. 一个公共汽车站 , 发出五路车 , 这五路车分别为每隔 3、5、9、15、 10 分钟发一次，第一次同时发车以后， _____分钟又同时发第二次车 .6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生 , 如只分给第一群 , 则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒. 那么平均给三群猴子 , 每只可得 _____粒.7. 这样的自然数是有的 : 它加 1 是 2 的倍数 , 加 2 是 3 的倍数 , 加 3 是 4 的倍数 , 加 4 是 5 的倍数 , 加 5 是 6 的倍数 , 加 6 是 7 的倍数 , 在这种自然数中除了 1 以外最小的是 _____.8．能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是 _____. 9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组 , 要求每一组中任意两个数的最大公因数是 1, 那么至少要分成 _____组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的 _____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆车 . 该总站发出最后一辆车是 20:00, 求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻 . 12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数 , 商是 12. 如果甲乙两数的差是 18, 则甲数是多少 ?乙数是多少 ?13. 用 5 、 15 、 1 1分别去除某一个分数，所得的商都是整数 . 这个分数28 56 20最小是几 ?14. 有 15 位同学 , 每位同学都有编号 , 他们是 1 号到 15 号 ,1 号同学写了一个自然数 ,2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被他的编号数整除 .1 号作了检验 : 只有编号连续的二位同学说得不对 , 其余同学都对 , 问 :(1) 说的不对的两位同学 , 他们的编号是哪两个连续自然数 ?(2) 如果告诉你 ,1 号写的数是五位数 , 请找出这个数 .———————————————答案——————————————————————答案:1. 9若梨减少 2 个, 则有 20-2=18( 个); 若将苹果增加 2 个 , 则有 25+2=27(个), 这样都被小朋友刚巧分完 . 由此可知小朋友人数是 18 与 27 的最大公因数 . 所以最多有 9 个小朋友 .2. 36根据题意不难看出 , 这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以 , 这个大班的小朋友最多有36 人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数 , 也就是长方形木板的长和宽的公倍数 , 又要求最少需要多少块 , 所以正方形木板的边长应是 14 与16 的最小公倍数 .先求 14 与 16 的最小公倍数 .2 161487故14 与 16 的最小公倍数是 2 8 7=112.因为正方形的边长最小为112 厘米 , 所以最少需要用这样的木板112112=7 8=56(块 )16 144． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9， 6， 7 的最小公倍数， 9，6，7 的最小公倍数是126. 所以 , 至少需要这种长方体木块126 126 126=14 21 18=5292(块 )9 6 7[ 注 ] 上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广. 将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一. 希望引起小朋友们注意.5. 90依意知 , 从第一次同到第二次同的是 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数 .因 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数是 90, 所以从第一次同后90 分又同第二次 .6. 5依意得花生粒数 =12 第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数由此可知 , 花生粒数是 12,15,20 的公倍数 , 其最小公倍数是 60. 花生粒数是60,120,180, ⋯⋯，那么第一群猴子只数是5， 10，15，⋯⋯第二群猴子只数是4， 8， 12，⋯⋯第三群猴子只数是3， 6， 9，⋯⋯所以，三群猴子的只数是 12，24，36，⋯⋯ . 因此 , 平均分三群猴子 , 每只猴子所得花生粒数是 5 粒.7. 421依意知 , 个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大 1,2 、3、4、5、6、 7 的最小公倍数是 420，所以个数是 421.8. 999768由意知 , 最大的六位数是 3,7,8,11 的公倍数 , 而 3,7,8,11 的最小公倍数是1848.因 999999 1848=541⋯⋯ 231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848 的 541 倍，或者是 999999 与 231 的差 . 所以 , 符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据目要求 , 有相同因数的数不能分在一,26=2 13,91=7 13,143=11 13, 所以 , 所分数不会小于 3. 下面出一种分方案 :(1)26 ， 33，35； (2)34 ，91；(3)63 ， 85，143.因此 , 至少要分成 3.[ 注 ] 所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5， 21=3 7，35=5 7， 3， 5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外 , 有多种分法 , 下面再出三种 :(1)26,35 ； 33，85， 91；34，63， 143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数 =甲数乙数”，将 210 330 分解因数，再行合有210 330=2 3 5 7 2 3 511=223252711=（ 2 3 5）（2 3 5 7 11）因此，它的最小公倍数是最大公因数的 7 11=77（倍） .11.根据意 , 先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80, 即从第一次三同出后 , 每隔 80 分又同 .从早上 6:00 至 20:00 共 14 小 , 求出其中包含多少个80 分 .6014 80=10⋯40 分由此可知 ,20:00 前 40 分 , 即 19:20 最后一次三同的刻.12.甲乙两数分除以它的最大公因数 , 所得的两个商是互数 . 而两个互数的乘 , 恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它的最大公因数所得的商—— 12. 一的根据是 :( 我以“ ”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数乙数 =倍甲数乙数倍约=，所以：约约约约甲数乙数倍甲数乙数约约=约，约 =12约将 12 成互的两个数的乘：①12=4 3，② 12=1 12先看① , 明甲乙两数：一个是它最大公因数的 4 倍，一个是它最大公因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互的两数 ( 即 4 和 3) 之差 , 所得的商 , 即甲乙两数的最大公因数 .18(4-3)=18甲乙两数 , 一个是 :18 3=54，另一个是： 18 4=72.7再看② ,18 (12-1)= 1 , 不符合意 , 舍去 .13.依意 , 所求最小分数M,NM 5=a M 15 =b M 11=cN 28 N 56 N 20即M28 =a M 56 =b M 20 =c N 5 N 15 N 21其中 a, b, c 整数 .因M是最小 , 且 a, b, c 是整数 , 所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数 , N 是N28,56,20 的最大公因数 , 因此 , 符合条件的最小分数 :M =105= 261N4 414.(1) 根据 2 号~15 号同学所述 ,将合数 4,6,⋯，15 分解因数后，由 1 号同学果，行分析推理得出的 .4=22,6=2 3,8=2 3,9=3 2,10=2 5,12=2 2 3,14=2 7,15=3 5由此不断定得不的两个同学的号是8 与 9 两个自然数 ( 可逐次排除 , 只有 8 与 9 足要求 ).(2)1 号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,1512 个数整除 , 也就是它的公倍数 . 它的最小公倍数是2 25 7 11 13=60060 3因为 60060 是一位五位数 , 而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数, 所以 1 号同学写的五位数是60060.。

五年级奥数题：因数与倍数汇编

因数与倍数相关习题（1）一、填空题1．28的所有因数之和是_____.2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10. 含有6个因数的两位数有_____个.11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14. 已知a 与b 的最大公因数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组?(例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)———————————————答案——————————————————————答案:1． 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2⨯2⨯7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23⨯29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5. 40或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36÷36=1(只)每个小朋友可分得桔子: 108÷36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.因为48=2⨯2⨯2⨯2⨯3,42=2⨯3⨯7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)⨯(42÷6)=8⨯7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)⨯(45÷9)⨯(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有6个因数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么5a M =或b a M ⨯=2因为M 是两位数，所以M = a 5只有一种可能M =25，而M = a 2⨯b 就有以下15种情况：72,52,32222⨯=⨯=⨯=M M M ，172,132,112222⨯=⨯=⨯=M M M ，23,232,192222⨯=⨯=⨯=M M M ，113,73,53222⨯=⨯=⨯=M M M ，27,35,25222⨯=⨯=⨯=M M M .所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得1111=11⨯101最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101⨯2,101⨯3,101⨯5,它们的和恰好是101⨯(1+2+3+5)=101⨯11=1111,它们的最大公因数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是432与8312的“最小公倍数”499，即跳了499411÷=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是214和8312的“最小公倍数”299，即跳了299÷29=11次掉进陷井. 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是214⨯9=40.5(米). 14. 先将12、300分别进行质因数分解：12=22⨯3300=22⨯3⨯52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12⨯5(=60)或12⨯25(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或12⨯5,或12⨯25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，52⨯2，52⨯22，52⨯3，52⨯2⨯3，52⨯22⨯3，即25，50，100，75，150，300. 所以满足条件的自然数a、b、c共有5⨯6=30（组）因数与倍数相关习题（2）一、填空题1．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.8．能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1, 那么至少要分成_____组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用285、5615、2011分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数最小是几?14. 有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答案——————————————————————答案:1. 9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数. 2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2⨯8⨯7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板1416112112⨯⨯=7⨯8=56(块) 4． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块769126126126⨯⨯⨯⨯=14⨯21⨯18=5292(块) [注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12⨯第一群猴子只数=15⨯第二群猴子只数=20⨯第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7. 421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为999999÷1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2⨯13,91=7⨯13,143=11⨯13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成3组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3⨯5，21=3⨯7，35=5⨯7，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数⨯甲乙的最大公因数=甲数⨯乙数”，将210⨯330分解质因数，再进行组合有210⨯330=2⨯3⨯5⨯7⨯2⨯3⨯5⨯11=22⨯32⨯52⨯7⨯11=（2⨯3⨯5）⨯（2⨯3⨯5⨯7⨯11）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7⨯11=77（倍）.11. 根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00至20:00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.60⨯14÷80=10…40分钟由此可知,20:00前40分钟,即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数⨯乙数=倍⨯约约约乙数甲数⨯⨯=约约约倍⨯⨯，所以：约乙数约甲数⨯=约倍，约乙数约甲数⨯=12 将12变成互质的两个数的乘积：①12=4⨯3，②12=1⨯12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的4倍，一个是它们最大公因数的3倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.18÷(4-3)=18甲乙两数,一个是:18⨯3=54，另一个是：18⨯4=72.再看②,18÷(12-1)=1171,不符合题意,舍去. 13. 依题意,设所求最小分数为N M ,则285÷N M =a 5615÷N M =b 2011÷N M =c即 528⨯N M =a 1556⨯N M =b 2120⨯N M =c 其中a ,b ,c 为整数.因为NM 是最小值,且a ,b ,c 是整数,所以M 是5,15,21的最小公倍数,N 是28,56,20的最大公因数,因此,符合条件的最小分数: N M =4105=412614. (1)根据2号~15号同学所述结论,将合数4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2⨯3,8=23,9=32,10=2⨯5,12=22⨯3,14=2⨯7,15=3⨯5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是22⨯3⨯5⨯7⨯11⨯13=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.。

倍数与因数奥数测试题

倍数与因数奥数测试题第一篇：倍数与因数奥数测试题一、教学方针：（1）认识自然数、整数、倍数、因数；(2)认识奇数和双数，掌握2，3，5的倍数的特征。

(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。

二、根蒂根基知识讲解：●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

要是a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。

8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征：奇数位的数码之和与双数位上的数码之和的差是11的倍数。

●奇数与双数：能被2整除的数叫双数，不能被2整除的数叫奇数。

质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。

一个数除了1和它本身外，另有另外因数，这个数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。

特殊情况：倍数瓜葛：（m，n）=m [m，n]=n（n是m的倍数）互质瓜葛：（m，n）=1 [m，n]=mn3、经典例题：例1：下列哪些式子是整除式？（1）8.8÷1.1=8（2）130÷10=13（3）29÷7=4……1（4）14÷5=2.4分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必需是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。

例2：写出24的因数和倍数。

(完整版)因数和倍数奥数题及标准答案(有难度)

因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。

评分标准规定，答对一题给 3 分，不答给1 分。

答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是 ______ 。

3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得 1 个苹果和 3 个橘子。

最后橘子分完了，苹果还剩下12个。

那么一共分给了 ______ _名小朋友。

4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题（每份训练题满分为120分）。

他第一份训练题得了90 分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得________ 分才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。

5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。

9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

答案：1、解：以一个学生得分情况为例。

如果他有m 题答对，就得3m 分，有n 题答错，则扣n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。

所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。

由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。

2、解：499。

2008÷4—3=4993、解：6。

小学五年奥数-因数和倍数

因数和倍数例 1 360的因数有多少个？360的全部因数的和是多少？【针对性训练】144有多少个因数？这些因数的和是多少？【试金石】例 2 求21672与11352的最大公因数和最小公倍数。

【针对性训练】求568与1065的最大公因数和最小公倍数。

【试金石】例 3 A、B两数都只含有质因数3和 5，它们的最大公因数是75，已知数A有12个因数，数B有10个因数，那么A、B两数的最小公倍数是多少？【针对性训练】A、B两数都只含有质因数2和 7，它们的最大公因数是14，已知数A有6个因数，数B有6个因数，那么A、B两数的最小公倍数是多少？【试金石】例 4甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【针对性训练】甲数和乙数的最大公因数是4，最小公倍数是252.如果甲数是28,那么乙数是多少？【试金石】例 5今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【针对性训练】一块长方形地长90米，宽48米，要在它的四周种树，四角都种，相邻的两棵树之间的距离相等，最少要种几棵树？相邻两棵树之间的距离是多少米？【试金石】例 6.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公因数最大能是多少?【针对性训练】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数是多少？【智能提速训练营】1.24有多少个因数，这些因数的和是多少？2. 一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积.这个数有许多因数是两位数,那么在这些两位数的因数中,最大的是多少?3.在101与300之间，只有3个因数的自然数有几个？把它们写出来。

4.330与210的最小公倍数是最大公因数的多少倍？5. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，这两个数是多少？6.把长90厘米、宽42厘米的长方形纸板剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形纸片，恰好没有剩余，则至少可以剪成多少块？7.一盒福娃玩具，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，这盒玩具最少有多少个？8.有320个苹果、240个橘子、200个梨，用这些果品最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？9.一篮鸡蛋，两个两个地数多两个，三个三个地数多两个，四个四个地数还多两个，五个五个地数仍是多两个，这篮鸡蛋至少有多少个？10.甲、乙、丙三人沿环形跑道跑步。

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