初高中数学衔接知识(不等式)
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点归纳
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > 2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()ab a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()ab a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论①当0a≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a=，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
初高中数学衔接内容
初高中数学衔接内容初中数学和高中数学在知识体系、思维方式和学习方法等方面存在着一定的差异。
为了让同学们能够顺利地从初中数学过渡到高中数学，做好衔接工作至关重要。
接下来，让我们一起来探讨一下初高中数学的衔接内容。
一、知识内容的衔接1、数与式在初中，我们主要学习了有理数、无理数、整式、分式等基本的数与式的概念和运算。
而在高中，会进一步拓展到复数的概念和运算，同时对代数式的变形和化简要求更高，例如乘法公式的灵活运用、因式分解的技巧等。
2、方程与不等式初中阶段，我们学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程以及简单的不等式。
到了高中，会接触到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）、高次方程、分式方程、绝对值不等式等内容，并且需要掌握更复杂的求解方法和应用。
3、函数函数是初高中数学的重点和难点。
初中主要学习了一次函数、反比例函数和二次函数的基本性质和图像。
高中则在此基础上，引入了指数函数、对数函数、幂函数等更多类型的函数，同时对函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的图像变换以及函数的综合应用有更深入的要求。
4、几何图形初中的几何主要集中在平面几何，如三角形、四边形、圆等的性质和定理。
高中则将几何拓展到空间几何，学习空间点、线、面的位置关系，空间几何体的表面积和体积等，并且需要具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力。
5、三角函数初中阶段，我们初步了解了锐角三角函数的概念和简单应用。
高中会对三角函数进行系统的学习，包括任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式等。
二、思维方式的衔接1、从形象思维到抽象思维初中数学的内容相对较为直观和形象，例如通过图形来理解几何问题，通过实际例子来学习函数。
而高中数学则更加抽象，需要同学们具备更强的抽象思维能力，例如理解函数的概念、空间几何的位置关系等。
2、从常量思维到变量思维初中数学中，大多数问题涉及的是常量的计算和求解。
而高中数学中，变量的概念无处不在，函数就是研究变量之间关系的重要工具。
数学初高中衔接之一元二次不等式的解法
2.4 一元二次不等式衔接缘由：初中阶段学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式及绝对值不等式等知识，这些知识具有工具性属性。
由于这些内容被安排在高二，这会制约对高一对集合和函数等内容的学习，因此有必要先学习一些高中新课标中关于不等式的必备知识。
夯实基础：一元二次方程及其及解法1. 形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式。
我们把一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式统称为三个二次，它们三者既有区别，也有联系，请看下表：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数，一元二次方程求解，步骤如下：（1）将二次项系数先化为正数； （2）判断一元二次方程的根的情况；（3）画出相应的二次函数图象，结合图象找出一元二次不等式的解。
典例精讲：[]()()01)1(2 (06112)2<++->-+x a ax x x x 的不等式解关于解不等式例分析：构造函数62-+=x x y ，并画出其图象。
分类讨论：当1>a 不等式的解为11<<x a当1=a 时不等式无解 当10<<a 时不等解为a x 11<< 当0=a 时不等式解为1>x 当0<a 时不等式解为1>x 或ax 1<点对点练习：1.解下列不等式（组）（1）082-2<-x x （2）2. 已知对于任意实数x ，多项式m x mx +-22恒为正数，求实数m 的取值范围。
3. 已知关于x 的不等式03)1(22<-+-x k kx 的解为31<<-x ，求k 的值。
1911622<++x x 22-≤+-x x。
初高中数学衔接知识点专题
初高中数学衔接知识点专题数学是一门具有基础、发展性和应用性的学科，初中数学和高中数学是学生数学学习中的重要阶段。
初高中数学的衔接是学生顺利过渡到高中数学的关键时期。
为了帮助学生顺利过渡，本文将介绍初高中数学衔接的几个关键知识点。
一、代数代数是数学的基础，也是初高中数学的重要内容。
在初中数学中，学生已经学习了一元一次方程的解法以及一元一次不等式的解法。
而在高中数学中，将进一步学习二元一次方程的解法以及二元一次不等式的解法。
因此，初高中数学衔接中的一个重要知识点就是二元一次方程与二元一次不等式的解法。
二、函数与图像在初中数学中，学生已经学习了函数的概念以及函数的图像。
而在高中数学中，将进一步学习函数的性质、函数的运算以及函数的图像的性质。
因此，初高中数学衔接中的另一个重要知识点就是函数与图像的深入学习。
三、几何几何是初高中数学的重要组成部分。
在初中数学中，学生已经学习了平面几何的基本知识，如平行线与垂直线的性质、等腰三角形与等边三角形的性质等。
而在高中数学中，将进一步学习空间几何的知识，如立体几何的性质、球的性质等。
因此，初高中数学衔接中的第三个重要知识点就是初中平面几何与高中空间几何的承接。
四、概率与统计概率与统计是数学中的一大分支，在初高中数学中也占据着一定的比重。
在初中数学中，学生已经学习了基本的概率与统计的知识，如事件的概率、频数和频率等。
而在高中数学中，将进一步学习概率的分布以及统计的分布。
因此，初高中数学衔接中的最后一个重要知识点就是初中概率与统计与高中概率与统计的过渡。
综上所述，初高中数学衔接的关键知识点包括代数、函数与图像、几何以及概率与统计。
通过对这些知识点的深入学习和理解，学生能够顺利过渡到高中数学的学习中。
初高中数学衔接的重要性不容忽视，学校和老师们应该重视初高中数学的衔接，为学生的学习奠定良好的基础。
2022-2023新高一初高中衔接假期过关《 基本不等式》讲义实训题(附答案)
2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 基本不等式知识点温习及典例1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 经典例题解析例1已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 例4已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为________．过关实训习题1．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝12.若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．323.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)4．(多选)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x≥2yB.x ＋y2≥xyC ．x 2≥y 2D ．x 2＋y 2≥2xy5．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥46．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______．8.某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．9.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝2，求1a ＋1＋4b ＋1的最小值．《基本不等式》答案及解析知识点温习及典例1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积经典例题解析例1已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选A.例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析 方法一 (换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．例4已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为________． 答案 2＋2 2解析 ∵P (a ，b )在x ＋y ＋c ＝2上， ∴a ＋b ＋c ＝2，a ＋b ＝2－c >0， 4a ＋b ＋a ＋b c ＝42－c ＋2－c c ＝42－c ＋2c－1， 设⎩⎪⎨⎪⎧2－c ＝m ，c ＝n ，则m ＋n ＝2，42－c ＋2c ＝4m ＋2n ＝m ＋n 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋2n ＝3＋2n m ＋mn≥3＋22n m ×mn＝3＋22，当且仅当m 2＝2n 2，即c ＝22－2时，等号成立， ∴42－c ＋2c－1≥3＋22－1＝2＋22， 即4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2.过关实训习题1．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1 ”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C.2.若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 B解析 实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <23，∴x ＝4y ＋6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，y >0，则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47时取等号．∴4x ＋1y的最小值为8.3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.4．(多选)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x≥2yB.x ＋y2≥xy C ．x 2≥y 2 D ．x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有2x ≥2y ，故A 正确； 当0>x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确．5．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4答案 ACD解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＋1ab≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故A 成立； ∵a ＋b ≥2ab ＞0，∴2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2aba ＋b≥2ab －ab ＝ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，∴a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立； ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立．6．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．8.某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．答案 1 568解析 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.9.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝2，求1a ＋1＋4b ＋1的最小值． 解 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1 ＝94.当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.。
2024-2025学年高一上学期初高中数学衔接知识-第六讲 不等式(组)的解法【课件】
系数化 为1
方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程
的解 x＝ba(把一元一次方程转化成“x＝m” 的形式)
►知识点四 二元一次方程(组)及解法
• 1．概念：二元一次方程是指方程中含有 ____两____个未知数，并且每个未知数的次数 是____一____次的整式方程．二元一次方程组 是由两个二元一次方程组成的方程组．
示例：x－x 1－3x＝1 x2－3(x－1)＝ x(x－1)
x2－3x＋3＝x2－x
x2－x2－3x＋x＝－3
步骤
做法
示例：x－x 1－3x＝1
合并 把方程化成ax＝b(a≠0)的 同类项 形式
－2x＝－3
方程两边都除以未知数的系
系数 化为1
数，得到方程的解x＝ba(把 一元一次方程转化成“x＝
浓度问题 浓度＝溶 溶质 液的 的质 质量 量体 体积 积×100%
比例问题 各分量之和＝总量
年龄问题 两个人的年龄差不变
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
追及问题：同地不同时出发：前者走的路程＝
追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路 行程问题
程＋两地间距离＝追者走的路程
水中航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速
• 3．一元一次方程的解法
步骤
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(若 未知数的系数含有分母，则先去分母)
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号(若 方程含有括号，则去括号)
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他
移项 项都移到方程的另一边，注意移项时一定要
改变符号
合并同类项 把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式
►知识点三 一元一次方程及解法
第4章 分式不等式-初中数学到高中数学衔接教材精品资料 Word版含解析
第4章分式不等式【知识衔接】————初中知识回顾————分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．————高中知识链接————可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法【经典题型】初中经典题型1．已知关于x的分式方程3133x ax-=-的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1 【答案】C．【分析】根据分式方程的解法即可求出a 的取值范围；点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 2．若关于x 的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m 的值是 ． 【答案】1． 【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1． 3．解不等式：．【答案】【解析】试题分析：不等式等价于，解之即可．试题解析：不等式等价于，∴，故不等式的解集是．4．不等式501xx -≥-的解是__________． 【答案】15x <≤ 【解析】试题分析：原不等式化为550,011x x x x -+-≥≤--，解得15x <≤．高中经典题型【例1】解方程21421224x x x x +-=+--．分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为：14212(2)(2)2x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以24x -：2(2)42(2)4x x x x -+-+=-即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+= 解得：1x =或2x =．检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解；把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．所以，原方程的解是1x =． 说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．【例2】解方程 2223()4011x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程21x y x =-． 解：设21x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-． (1)当4y =时，241x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=；(2)当1y =-时，2221111012x x x x x x x -±=-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，2x =，x =说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y 的值，而没有求到原方程的解，即x 的值．【例3】解方程 22228(2)3(1)1112x x x x x x+-+=-+．(1)当1y =时，22222112121x x x x x x x +=⇒+=-⇒=--； (2)当38y =时，2222223181633516303851x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒++=⇒=-=--或． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是12x =-，3x =-，15x =-． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想． 【例4】解下列不等式：(1)2301x x -<+ (2)2301x x x +≥-+ 分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：3323023031221010211x x x x x x x x x ⎧⎧-<-><>⎧⎧⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨⎨⎨+>+<⎩⎩⎪⎪>-<-⎩⎩或或 解法(二)原不等式可化为：3(23)(1)012x x x -+<⇒-<<． (2) ∵ 22131()024x x x -+=-+> 原不等式可化为：303x x +≥⇒≥- 【例5】解不等式132x ≤+ 解：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223x x x x x x x x x x ++≥⎧--+-≤⇒≤⇒≥⇒⇒<-≥-⎨+≠+++⎩或 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333x x x x x x x x x x x >-<-⎧⎧+>+<⎧⎧⎪⎪≤⇒⇒⇒≥-<-⎨⎨⎨⎨+≥+≤+≥-≤-⎩⎩⎪⎪⎩⎩或或或【实战演练】 ————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．分式方程23122xx x+=--的解为：（ ） A 、1 B 、2 C 、13D 、0【答案】A 【解析】试题分析：根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根． 答案为A2．若关于x 的分式方程222x m x x=---的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ） A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，3 【答案】C ．【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．点睛：本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根． 3．方已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ＞12-且k≠0．4．关于x 的两个方程260x x --=与213x m x =+-有一个解相同，则m= ． 【答案】﹣8．【解析】解方程260x x --=得：x=﹣2或3；把x=﹣2或3分别代入方程213x m x =+-，当x=﹣2时，得到21223m =-+--，解得m=﹣8． 故答案为：﹣8． 5．解方程：2717=---xx x ． 【答案】x=15． 【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x+1=2x ﹣14，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解． 6．若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为 ． 【答案】k ＜3且k ≠1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k 的范围即可． 【解析】去分母得：k ﹣1=2x +2，解得：x =32k -，由分式方程的解为负数，得到32k -＜0，且x +1≠0，即32k -≠﹣1，解得：k ＜3且k ≠1，故答案为：k ＜3且k ≠1． 点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．不等式302x x -<-的解是__________． 【答案】23x << 【解析】不等式302x x -<-等价于30{ 20x x ->-<或30{ 20x x -<-> 解得23x << 8．不等式的解为____________．【答案】【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可． 详解：不等式化为，解得， ∴不等式的解集为，故答案为．点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题 9．不等式的解为______．【解析】．点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1． 用换元法解方程22124312x x x x --=-时，设212x y x-=，则原方程可化为（ ） A ．130y y --= B ．430y y --= C ．130y y -+= D ．430y y-+= 【答案】B ．【分析】直接利用已知将原式用y 替换得出答案．【解析】∵设212x y x -=，∴22124312x x x x --=-，可转化为：43y y -=，即430y y--=．故选B ．点睛：此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y 与x 值间的关系是解题关键． 2．分式方程2110051025x x x -=--+的解是 ． 【答案】15x =． 【解析】试题分析：去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的解．故答案为：15x =．3．如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．9 【答案】D ．【分析】把a 看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a 的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a 的值，即可求出之积．【解析】2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩①②，由①得：x ≤2a +4，由②得：x ＜﹣2，由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，即a ≥﹣3，分式方程去分母得：a ﹣3x ﹣3=1﹣x ，把a =﹣3代入整式方程得：﹣3x ﹣6=1﹣x ，即72x =-，符合题意； 把a =﹣2代入整式方程得：﹣3x ﹣5=1﹣x ，即x =﹣3，不合题意； 把a =﹣1代入整式方程得：﹣3x ﹣4=1﹣x ，即52x =-，符合题意； 把a =0代入整式方程得：﹣3x ﹣3=1﹣x ，即x =﹣2，不合题意； 把a =1代入整式方程得：﹣3x ﹣2=1﹣x ，即32x =-，符合题意； 把a =2代入整式方程得：﹣3x ﹣1=1﹣x ，即x =1，不合题意； 把a =3代入整式方程得：﹣3x =1﹣x ，即12x =-，符合题意； 把a =4代入整式方程得：﹣3x +1=1﹣x ，即x =0，不合题意，∴符合条件的整数a 取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，故选D ．点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．不等式32x x->的解集是（ ）A ． {}|1 3 x x x -或 B ． {}|10 3 x x x -<或C ． {}|10 3 x x x <-<<或D ． {}|100 3 x x x -<<<<或 【答案】B【解析】1x =时， 22->不成立，可排除,C D ，2x =-时，122->不成立，可排除A ，故选B ． 5．不等式1x x>的解集是 A ． {x|-1＜x ＜1 } B ． {x|0＜x ＜1} C ． {x|－1＜x ＜0或x ＞1} D ． {x|0＜x ＜1或x ＜-1} 【答案】C6．不等式3112x x -≥-的解集是（ ） A ． 3{|2}4x x ≤≤ B ． 3{|2}4x x ≤< C ． {2x x 或3}4x ≤ D ． {}2x x【答案】B 【解析】31102x x --≥-， 31202x x x --+≥-， 4302x x -≥-， ()()4320{ 2x x x --≤≠ ， 324x ≤<，选B ．7．不等式11x x->的解集为_____． 【答案】(),0-∞ 【解析】由11x x ->得： 111100x x x-><< 故不等式的解集为()0-∞， 5．不等式321x x +≥-的解集是__________． 【答案】{}|15x x <≤ 【解析】原不等式化为550,011x x x x -+-≥≤--，解得15x <≤． 考点：分式不等式．8．不等式28223x x x +<++的解集是__________． 【答案】1|22x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或。
初中数学与高中数学衔接紧密知识大全(初升高数学必知)
初中数学与高中数学衔接紧密的知识大全(初升高数学必知) 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中,不管成绩如何，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程(辅导)学好的愿望。
尤其是成绩稍差一点的童鞋，他们渴望翻过初中的这一页，想以新的姿态迎接高中，暑假期间，他们会预习新的知识，渴望不输在起跑线上，但是，初中数学是高中的一个基础，有很多知识点初高中衔接的特别紧密，因此，建议中考之后的同学们不要着急预习新课程，还是先把初中(精品课)的知识点再复习一遍比较好！1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式2 乘法公式：3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
1.初高中数学知识衔接
衔接绝对值例1 解不等式：1：|x+2|=5 2：13x ->1．（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________．（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________． 2．化简： |2x －13|<51.1.2. 乘法公式乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．例1 计算： 33(1)(1)x x +-221111()9423a b b a -=+ 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ） 练 习（1）若k mx x ++212是一个完全平方式，则k 等于（ ） （2）配方（1）22248a b a b +--+ （2）x 2－3x ＋2； （3）x 2＋4x －121.1.3．二次根式1．分母（子）有理化例1(3．例2 20042005⋅= ．1819(2(2＝_____；2 a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．例4 化简： 1)x <<例 5 （1＝__ ___；(2)11,23x y ===1.2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）x 2＋6x ＋8（5）424139x x -+； （6）x 2＋x －(a 2－a )．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）22222b c ab ac bc ++++；2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为x 1,2＝2b a-±；综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）韦达定理．如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩①②例2 解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩1．解方程组2213,5x y x y ⎧+=⎨+=⎩2.3.2 一元二次不等式解法例1 解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例2 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或，求不等式20bx ax c ++>的解．例3 解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）－x 2+x +12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．2．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．3．已知关于x 不等式2x 2＋bx －c ＞0的解为x ＜－1，或x ＞3．试解关于x 的不等式bx 2＋cx ＋4≥0．① ②。
(初高中知识点衔接)一元二次方不等式及其解法
一元二次方不等式及其解法3.一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式2200,(a 0)ax bx c ax bx c ++>++<>或其中的求解： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 ab x x 221-== 无实根 20(0)ax bx c a ++>>的x 的范围______ ______ ______ 20(0)ax bx c a ++<>的范围 _______x << ____________（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x ，其中a 是实数内的数。
例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．巩固提升1.若0<a <1,则不等式(x －a )(x －a 1)<0的解是 ( ) A.a <x <a 1 B. a 1<x <a C.x >a 1或x <a D.x <a1或x >a 2.如果方程ax 2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x 1，x 2满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0；（4）16－8x＋x2≤0（5）3x2－2x＋1＜0；（6）3x2－4＜0；（7）2x－x2≥－1；（8）4－x2≤0．(9)4+3x－2x2≥0;(10)9x2－12x>－4;4.（1）解关于x的不等式2x＋2x＋1－2a≤0（a为常数）．(2)解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．。
初高中衔接课内容(二次函数不等式方程)
初高中衔接重点专题一：二次函数的最值问题二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _____．3．求下列二次函数的最值： (1) 2245y x x =-+；(2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上． (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．练 习2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．初高中衔接重点专题二： 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a-+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：2b x a-±=(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+= (2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程20 (0)ax b x c a ++=≠的两个根为：22b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，12244ac cx x a a⋅==== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．【例5】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【例6】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【例7】若关于x 的一元二次方程240x x a -+-=的一个根大于0，另一根小于0，求实数a 的取值范围。
不等式的提前与初高中的衔接
不等式的提前与初高中的衔接新课标已经实施了十一年，高中数学与初中数学相比，在教材内容、教学要求、教学方式、思维层次以及学习方法上都发生了许多变化，尽管老师们想尽了一切办法试图淡化这种差异，但是相当部分学生感觉到高中数学并非想象中那么易学，有些甚至觉得茫然，数学成绩出现下坡趋势，开始进入数学学习的“困难期”，初高中的数学衔接已经成为学生通往高等学府的第一个“绊脚石”。
更重要的是，新课标的实施对初、高中的教材内容都作了教大的改动，我们大多数高中教师却没有深入地研究过初中教材，因而对初中教材的内容把握得并不到位，从而导致初高中知识衔接上出现了交叉盲区。
在这里我仅就初高中知识上的联系、差别及不等式一章所处的位置做一下分析和探讨。
一、初高中教学知识掌握标准有交叉盲区，部分知识高中要熟练掌握、灵活应用，初中课标要求过低首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。
其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，造成了高中数学实际难度没有降低。
因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。
即使如此，学生学得也很吃力，很多问题还没搞明白，又要上新课了。
“不仅初中知识没能掌握，高中知识的学习也因此受到影响。
”二、把握教材内容的衔接，实现初、高中平稳过渡新教材的思想是螺旋式上升，因此在高一必修模块教学中应把重点放在基础知识的讲解上，不应过于强调难题、偏题乃至高考题，必须采用“低起点、小梯度、多训练、分层次”的指导思想，帮助学生温习旧知识，恰当地进行铺垫，从复习初中内容的基础上引入新内容，以减缓坡度。
建议在初中开设校本课程，初一上前半期进行数的运算训练，加强学生的心算、口算、速算能力，在学完有理数的运算的内容后，加强学生运算技巧的训练，在讲解绝对值内容后，针对绝对值的问题初步涉及分类讨论的思想，提高数的运算能力、分析问题和解决问题的能力。
高中数学暑假初高衔接讲义15+基本不等式
练习主题 基本不等式知识点一：基本不等式如果a 、b 是正数，那么ab ≤2b a +（当且仅当a=b 时，等号成立），我们把不等式ab ≤2ba +（a 、b ≥0）称为基本不等式.证法一：对于正数a 、b 有2b a +-ab =21（a+b-ab 2） =21[（a ）2+（b ）2-2ab ]=21（a -b ）2因为（a -b ）2≥0，所以2b a +-ab ≥0，即ab ≤2ba +，当且仅当a =b ，即a=b 时，等号成立.当a 、b ∈R 时，由（a-b ）2≥0可得：a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2+2ab ≥4ab ，即2b a 22+≥ab ，（2b a +）2≥ab ，当且仅当a=b 时，等号成立.从而得到：当a 、b ∈R 时，ab ≤2b a 22+（当且仅当a=b 时，等号成立）ab ≤（2b a +）2（当且仅当a=b 时，等号成立） 这两个不等式通常可以直接使用.例1、设a 、b 为正数，证明下列不等式成立.（1）a b +b a ≥2； （2）a+b+a 1+b1≥4；对应练习：1、下列不等式中正确的是（ ）A. a+a 4≥4 B. x 2+2x 3≥32 C. ab ≥2b a + D. a 2+b 2≥4ab2、不等式a+1≥a 2（a ＞0）中等号成立的条件是（ ）A. a=0B. a=21C. a=1D. a=2 3、证明： （1）a+1-a 1≥3（a ＞1）； （2）x+x1≤-2（x ＜0）知识点二：基本不等式与最大（小）值 1、和积（最值）定理（1）已知a ＞0，b ＞0，则如果a+b=m （和为定值），那么当a=b 时，ab 有最大值：4m 2；（2）已知a ＞0，b ＞0，则如果a ·b=m （积为定值），那么当a=b 时，a+b 有最小值：m 2； 证明：因为a 、b 都是正数，所以2ba +≥ab ，当且仅当a=b 时，等号成立. （1）当a+b 为定值m 时，有ab ≤2m，所以xy ≤4m 2，当且仅当a=b 时，等号成立。
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△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
y
y=f(x)的图象 O
x1 x2
y x
1
y
x b 2a
O
x
O
x
R
f(x)＞0的解集
f(x)＜0的解集 f(x)≥0的解集 f(x)≤0的解集
x x x 或x x
2
x x x x
1
x x2
2 1
b xR x 2a
∴ 不等式的解是 2 x 4 . ∴ 不等式的解是 x 2 . ∴ 不等式的解是空集.
2013年9月13日星期五
1 2 7 (3) 不等式可化为 ( x ) 0 ． 2 4
一、一元二次不等式及其解法
【例 3】已知对于任意实数 x ， kx 2 x k 恒为正数，求实数 k 的取值范围．
2013年9月13日星期五
一、一元二次不等式及其解法
2013年9月13日星期五
一、一元二次不等式及其解法
【例 2】解下列不等式： (1) x 2 x 8 0
2
(2) x 4 x 4 0
2
(3) x x 2 0
2
解：(1) 不等式可化为 ( x 2)( x 4) 0 (2) 不等式可化为 ( x 2)2 0
2013年9月13日星期五
一、一元二次不等式及其解法
以二次函数 y x 2 x 6 为例： (1) 作出图象. (2)图象与 x 轴的交点是 (3, 0), (2, 0) ，即当 x 3或2 时，
y 0 ．就是说对应的一元二次方程 x 2 x 6 0 的两实
根是 x 3或2 ． (3) 当 x 3或x 2 时， y 0 ，对应图像位于 x 轴的上方． 就是说 x 2 x 6 0 的解是 x 3或x 2 ． 当 3 x 2 时， y 0 ，对应图像位于 x 轴的下方．就是说 x 2 x 6 0 的 解是 3 x 2 ．
2 2
k 0 2 k 1 解：由题意得： 2 k 1. k 3 k 3
说明：本例也可以根据方程有两根 1 和 3 ，用代入法得： k (1)2 (k 2 1)(1) 3 0 ，
k 32 3(k 2 1) 3 0 ，且注意 k 0 ，从而 k 1 ．
ห้องสมุดไป่ตู้
x x x 或x x
1 x x2
R
b xx 2a
R
2013年9月13日星期五
2013年9月13日星期五
二、简单分式不等式的解法 例5
分析：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将 之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除 异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转 化为整式不等式求解．
2013年9月13日星期五
一元二次不等式的解的情况
2
解：显然 k 0 不合题意，于是：
k 0 k 0 k 0 2 k 1. 2 2 (2) 4k 0 k 1 0 k 1或k 1
【例 4】已知关于 x 的不等式 kx (k 1) x 3 0 的解为 1 x 3 ，求 k 的值．