FreeKaoYan_2007年北京大学数学分析考研试题及解答
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
北京大学2007年高等代数考研真题
北京大学2007年高等代数与解析几何试题1、回答下列问题：（1）问是否存在n 阶方阵A ,B ，满足AB −BA =E （单位矩阵）？又是否存在n 维线性空间上的线性变换A ，B ，满足AB −BA =E (恒等变换)？若是，举出例子；若否，给出证明.（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数c ，则3A 的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由.（3）设m ×n 矩阵A 的秩为r ，任取A 的r 个线性无关的行向量，再取A 的r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例.（4）设A ,B 都是m ×n 矩阵，线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，r q p b 23=，这里的∈r q p ,,Q 是互不相同的素数.判断向量组n n n n b b b 12,...,,,1−是否线性相关？说明理由.2、设n 阶矩阵A ,B 可交换，证明:rank (A +B )≤rank (A )+rank (B )−rank (AB ).3、设f 为双线性函数，且对任意的γβα,,都有),(),(),(),(γααβαγβαf f f f =求证：f 为对称的或反对称的.4、设V 是欧几里德空间，U 是V 的子空间，U ∈β.求证：β是V ∈α在U 上的正交投影的充分必要条件为：U ∈∀γ，都有||||γαβα−≤−.5、设n 阶复矩阵A 满足：对于任意正整数k，都有0)(=k A tr .求A 的特征值.6、设n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同.求证：V ∈∃α，使得αααα12,...,,,−n A A A 为V 的一个基.7、设P 是球内一定点，A ,B ,C 是球面上三动点.∠APB =∠BPC =∠CPA =2/π.以PA,PB,PC 为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.8、设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 问系数满足什么条件时，直线L（1）过原点；（2）平行于x 轴，但不与x 轴重合；（3）与y 轴相交；（4）与z 轴重合.9、证明双曲抛物面z by a x 22222=−的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.10、求椭球面191625222=++z y x 被点（2,1，-1）平分的弦.。
2007年考研数学一真题及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]
![北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/447c948ecc22bcd126ff0c92.png)
例如，设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间，定义 Af (x) = f ′(x) ， Bf (x) = xf (x) ， ∀f (x) ∈V ，
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ，B ，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
容易验证： AB − BA = E . （2）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ，则 A3 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量，则由 A 的各行元素之和为常数 c ，知 Aη = cη ，从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .
北京大学2007年数学分析试题及解答
注 此处的证明手法与我写的北京大学 2016 年数学分析第一题相同. 其中找到的那个数叫做 Lebesgue 数, 与 之相关的定理在谢惠民等人的《数学分析习题课讲义》上册 82 页例题 3.5.3 (加强形式的覆盖定理), 书上 那个证明借助了几何直观, 但是我更喜欢上面这种证明方式.
2. 设有界区间为 I. 若 I 不是闭区间, 由于 f (x) 在 I 上一致连续, 利用 Cauchy 收敛原理可知 f (x) 在 I 的 两个端点处的单侧极限均存在, 从而我们可以把 f (x) 连续延拓到 I 的闭包 I 上, 对 g(x) 也是一样的, 这时 f (x)g(x) 在有界闭集 I 上连续, 从而 f (x)g(x) 在有界闭集 I 上一致连续, 故 f (x)g(x) 在 I 上一致连续. 若 I 是闭区间, 则不延拓, 然后用前面一样的方法就能证明原命题.
注 其实只是对一道经典的题目进行了一下包装, 相关的题目见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第 44 页例 11, 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 151 页例 2.2.6, 谢惠民等人的《数学 分析习题课讲义》上册第 140 页例题 5.4.5. 另外一种做法是先证明 f (x) 和 g(x) 有界, 然后用不等式 |f (x)g(x) − f (y)g(y)| ⩽ |f (x)g(x) − f (x)g(y)| + |f (x)g(y) − f (y)g(y)|.
当0<p⩽
1 2
时, g(x),
h(x) 在 [1, +∞) 上的广义积分收敛, i(x) 在
[1, +∞) 上的广义积分发散,
从而 f (x)
在 [1, +∞) 上的广义积分发散.
2007数学考研真题(一)
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x→+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+， 1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年北京大学数学分析考研真题及详解【圣才出品】
2、设 f (x), g(x) 在有限区间 (a,b) 内一致连续，证明： f (x)g(x) 也在 (a,b) 内一致连
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续。
证明 ：首先证明 f (x), g(x) 都在 (a,b) 上有界，因为 f (x) 在有限区间 (a,b) 内一致连
那么由 f (x), g(x) 得一致连续性得到，
对于任意 0 ，存在 0 ，使得当 x, y I ， x y 时，有
f (x) f (y) ， g(x) g( y)
从而
f (x)g(x) f (y)g(y)
f (x)g(x) f (x)g(y) f (x)g(y) f (y)g(y)
满足 f ( ) 0 。
采用反正法，若对于任意点 x (a,b) ，有 f (x) 0 ，那么显然对于任意 x [a,b] ，仍
然有 f (x) 0 。
由于 f 的连续性，对于任意一点 x [a,b] ，可以找到一个邻域 Ox (x) ，使得 f (x) 在 Ox (x) [a,b] 中保号，那么[a,b] 区间被以上形式的 Ox (x) ， x 此 x1, x2 (a,b) ， x1 x2 1 时，有 f (x1) f (x2 ) 1
现取正整数
m
，满足
ba m
1
，令
zi
a
(b
a)i m
，i
1, 2,..., m 1；
对任意 x (a,b) ，存在 z j ，使得
x zj
ba m
1
f (x) f (x) f (z j ) f (z j )
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2007年考研数学一真题及问题详解
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】当时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。
【解析】由于∞，则是曲线的垂直渐近线；又∞∞∞∞∞所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在∞一侧。
∞∞∞∞∞∞∞∞∞则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则′存在(D) 若存在，则′存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则′则′存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是′不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在∞内具有二阶导数，且′′,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【答案】D。
北大数学分析考研题库
北大数学分析考研题库抽象代数部分：1. 设$G$是一个有限群，证明任何两个元素的乘积仍然属于$G$。
2. 给定一个循环群$G=\langle a\rangle$，证明对于任意的正整数$n$，$a^n$也是群$G$的生成元。
3. 设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。
证明$|H|$能整除$|G|$。
4. 设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群，$N$是$G$的一个正规子群。
证明$N\cap(HN)=HN$。
5. 给定一个同态$f:G\rightarrow H$，证明其核$\ker(f)=\{g\in G|f(g)=e_H\}$是$G$的一个正规子群。
6. 设$G$是一个群，$H,N$是$G$的两个正规子群，且$H\cap N=\{e\}$。
证明对于任意的$g\in G$，有$ghg^{-1}\in N$对任何的$h\in H$成立。
7. 设$G$是一个群，$g\in G$是一个元素，证明集合$C_G(g)=\{x\in G|xg=gx\}$构成$G$的一个子群。
8. 设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。
证明存在一个$H$的左陪集与一个$H$的右陪集代数相等。
9. 证明对于任意的邻域$V$，都存在一个开集$U$，使得$e\in U$且$U\subseteq V$。
10. 设$(X,d)$是一个度量空间，记$S(X)$为$X$上所有有界数列的集合。
定义$d_S:S(X)\times S(X)\rightarrow\mathbb{R}$为$d_S(x,y)=\sup_{n\in\mathbb{N}}d(x_n,y_n)$。
证明$d_S$是一个度量。
北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答
5. 设 n 阶复矩阵 A 满足: 对任意 k ∈ N+, 都有 Tr(Ak) = 0. 求 A 的特征值.
6. 设 n 维线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式与特征多项式相同. 求证: 存在 α ∈ V, 使得 α, A α, · · · , A n−1α 为 V 的一组基.
7. P 是球内一定点, A, B, C 是球面上三动点, ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = π/2. 以 P A, P B, P C 为棱作平
(3) 按题中方法选出的 r 阶子式一定不为 0. 可以参考丘维声的《高等代数》创新教材第 162 页例 6.
(4) 列向量组不一定等价, 例如考虑
[]
[]
10
00
A=
, B=
.
10
10
行向量组一定等价. 由题意可得
[]
A
AX = 0,
X =0
B
是同解的, 从而 B 的行向量组一定可以由 A 的行向量组线性表示, 否则将导致 []
7.
(法一) 设球的中心为 O, 半径为 r,
−−→ OP
=
d,
则由
−→ OA
=
−−→ OP
+
−→ PA
得
r2 = d2 + 2−O−→P · −P→A +
−→ 2 PA .
同理由
−−→ −−→ −−→ OB = OP + P B,
−−→ −−→ −−→ OC = OP + P C
可得
r2
=
d2
+
−−→ 2OP
(2) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为常数 c, 问 A3 的各行元素之和是否均为常数?
北大汇丰07真题
北京大学2007年硕士研究生入学考试试题考试科目：经济学（宏观和微观） 微观部分：a. 如果某消费者的偏好不连续，是否可能存在连续的需求函数？为什么？（10分）b. 企业规模报酬不变（CRS ）可以与竞争性市场均衡并存吗？为什么？（10分）c.请证明，在二维或然财富空间}0,0|),{(≥≥g b g b w w w w 里，一个风险中立者的无差异曲线是直线。
（13分）d. 某垄断企业的产品销售价格为其边际成本的3倍，请问在该价格下，该产品的市场需求弹性为多少？（10分）e. 在一个不具有外部性的寡头市场上，政府对企业进行从量征税或补贴是否可能增加社会福利？请说明理由。
（10分）f. 如果二手车的市场价格取决于这个市场上所有二手车的平均品质，请解释为什么这个二手市场可能消失。
（10分）g. 某消费者的偏好是理性的且满足局部不饱和性质。
当市场价格为0)p ,,(n 1>= p p 时，该消费者选择了消费组合0),,(1>=n x x x 。
现假设消费者的收入不变，而市场价格变成0),,(''1'>=n p p p ，并满足0)('<⋅-x p p 请分析该消费者的效用水平会有何变化。
（12分）宏观部分： （a ）本题25分1、（5分）一个国家生产牛奶和黄油，在2002年和2003年的产量和价格分别为商品 年 2002 2003 产量 价格 产量 价格 牛奶 500 2 900 3 黄油2000130002计算GDP deflator 在2002年和2003年之间上升了多少？2、（5分）比较GNP 、GDP 和NDP 的不同，并从恒等式中导出储蓄-投资平衡。
3、（5分）从1999年到2000年，一个国家的产出从4000上升到4500，他的资本存量从10000上升到12000，劳动力从2000下降到1750，假设资本的回报占产出的份额为0.3，劳动的回报占产出的份额为0.7，回答下面的问题：a. 资本对产出的贡献率为多少？b. 劳动对产出的贡献率是多少？c. 技术进步对产出的贡献是多少？4.（5分）假设劳动的边际生产率为N MPN5.0200-=，其中N 是总的就业人数，劳动的总的供给函数为w 3300-，其中w 是实际工资，求出均衡的就业人口。
07考研数一真题及答案
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】 先作变量代换，再分部积分。
【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。
2007考研数学一真题解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1−(B)ln1(D)1−【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小 【求解过程】：◼ 方法一：利用等价无穷小0x +→时，()11~−=−−()12111~=+−2111~22x −=，(ln 1~=+◼ 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解 验证极限,,lim x A B C D +→是否等于1，其中(),,A B C D 表示A ，B ，C ，D 四个选项中的式子。
故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。
来说明两个无穷小之间的比较。
应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0α≠，lim βα也是在这个变化过程中的极限。
定义：如果lim0βα=就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小。
如果lim 0c βα=≠，就说β与α是同阶无穷小；如果lim 0,0k c k βα=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小。
如果lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作αβ。
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c =的情形。
常用等价无穷小，当0x →时，1~ln(1)~sin ~tan ~xe x x x x −+()11~x x αα+−， 211cos ~2x x −(2)曲线()1ln 1x y e x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数 【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0x x =处的极限，若为∞则存在垂直渐近线0x x =函数只有间断点0x =，()001lim lim ln 1x x x y e x →→=++=∞⎪⎝⎭，故存在垂直渐近线0x =计算水平渐近线：求函数在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，则有水平渐近线y a =()1lim lim ln 10x x x y e x →−∞→−∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故存在水平渐近线0y = 计算斜渐近线：求yx在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，且0a ≠，求出y ax −在相应处的极限b ，则有斜渐近线y ax b =+()2ln 11lim lim 0lim 11x xx x x x e y e x x x e→+∞→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪=+=+= ⎪+⎝⎭()()111lim lim ln 1lim ln 0x xx x x x e y x e x x x e →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+⎛⎫−=++−=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故存在斜渐近线y x = 选D 。
北大计算机考研 高等数学真题解答.
北大计算机考研高等数学真题解答2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰e2x(tanx+1)2dx。
解：⎰e2x(tanx+1)2dx=⎰e2xsec2xdx+⎰e2x2tanxdx=⎰edtanx+e2x2xtanx-⎰edtanx=e2x2xtanx+C。
2 （12分）求连续函数f(x)，使它满足⎰f(tx)dt=f(x)+xsinx,f(0)=0。
解：令u=tx,则t=0时，u=0，t=1时，u=x，du=xdt；⎰f(tx)dt=1x⎰xf(u)du=f(x)+xsinx⇒⎰xf(u)du=xf(x)+xsinx⇒22f(x)=f(x)+xf'(x)+2xsinx+xcosx⇒f'(x)=-2sinx-xcosx⇒f(x)=cosx-xsinx+C⇒f(0)=1+C=0⇒C=-1⇒f(x)=cosx-xsinx-1。
3 （12分）设0<x1<y1,xn+1=n→∞n→∞xnyn，yn+1=xn+yn2,(n=1,2, )。
证明：limxn和limyn都存在并相等。
解：y1>x1>0⇒xn>0,yn>0，xn≠yn⇒xn+yn>2xnyn⇒yn+1>xn+1(n=0,1, )⇒yn>xn(n=1,2, )； yn>xn(n=1,2, )⇒yn+1-yn=yn>xn(n=1,2, )⇒xn+1=xn-yn2<0⇒yn+1<yn⇒{yn}单调递减；xnyn>xnxn=xn⇒{xn}单调递增；由以上两结论可知：yn>xn> >x1⇒{yn}有下界，于是limynn→∞存在；xn<yn< <y1⇒{xn}有上界，于是limxn存在。
n→∞令limxn=A,limyn=B，由xn+1=x→∞x→∞xnyn，yn+1=xn+ynx→∞有：A=AB，B=A+B2解得A=B=1，所以limxn=limyn=1。
2007年考研数学一真题及解析
2007 年考研数学一真题一、选择题 （本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当 x 0 时，与x 等价的无穷小量是()A. 1e xB. ln 1 xC.1x 1D. 1 cosx1 x(2)曲线 y=1 ln(1 e x ), 渐近线的条数为()xA.0B.1C.2D.3(3) 如图，连续函数y=f(x) 在区间 [-3 ，-2]， [2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 [-2 ，0]，x f (t )dt[0， 2]的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设F(x)=.则下列结论正确的是()A. F(3)=3F ( 2)B. F(3)=5F(2)C. F(3)=3F(2)D. F(3)=5F ( 2)4444(4) 设函数 f （ x ）在 x=0 处连续，下列命题错误的是()A. 若 limf ( x)存在，则 f （ 0） =0B. 若 limf ( x) f ( x) 存在，则 f （0） =0x 0xxxC. 若 limf ( x) 存在，则 f ' (0) =0D. 若 limf (x)f ( x) 存在，则 f ' (0) =0xxxx(5) 设函数 （f x ）在（ 0, + ）上具有二阶导数， 且 f "( x) o , 令 u n =f(n)=1,2, ..n, 则下列结论正确的是( )A. 若 u 1 u 2 ，则 { u n } 必收敛B. 若 u 1 u 2 ，则 { u n } 必发散C. 若 u 1u 2 ，则 { u n } 必收敛D. 若 u 1u 2 ，则 { u n } 必发散(6) 设曲线 L ：f(x, y) = 1 (f(x, y) 具有一阶连续偏导数） ，过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是()A.( x, y)dx B.f (x, y)dyC.f ( x, y)ds D.f 'x (x, y)dx f 'y ( x, y)dyrrrr（7）设向量组 1，2，3 线形无关，则下列向量组线形相关的是：()（A ）12 ,23 ,31（ B ）12 ,23 ,3 1（C ）1 2 ,22 ,3 21（D ） 122 ,22 ,3212332 1 1 1 00 （8）设矩阵 A= 1 21 ，B= 0 1 0 11 20 0 0，则A 于B ( )(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p 0 p 1 ，则此人第 4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为： ()（A ） 3p(1 p) 2 (B) 6p(1 p)2 (C) 3 p 2 (1p)2(D) 6 p 2 (1p) 2(10) 设随即变量（ X ，Y ）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f X ( x) ， f Y ( y) 分别表示 X ，Y 的概率密度，则在 Y ＝ y 的条件下， X 的条件概率密度 f X | Y (x | y) 为 ( )（A ） f X (x)(B) f Y ( y)(C) f X ( x) f Y ( y)(D)f X (x)f Y ( y)二． 填空题 ：11－16 小题，每小题 4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上2 11＝_______.（11）x 3 e xdx1（12）设 f (u, v) 为二元可微函数，zf ( x y , y x ) ，则z＝ ______.x(13) 二阶常系数非齐次线性方程y '' 4 y ' 3y2e 2x 的通解为 y ＝ ____________.(14) 设曲面： | x | | y | | z | 1 ，则ò( x | y |)ds ＝ _____________.0 1 0 0 (15) 设矩阵 A ＝0 0 1 0 ，则 A 3的秩为 ________.0 0 0 10 0 0 0（16）在区间（ 0， 1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1的概率为 ________.2三．解答题： 17~24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .(17) （本题满分 11分）求函数 f ( x, y) x 2 2y 2x 2 y 2在区域 D {( x, y) x 2y 2 4, y 0}上的最大值和最小值。
2007考研数学一试题及标准答案解析
2007年数学一一、选择题：(本题共１0小题，每小题4分,共４0分． 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(１) 当0x +→时,等价的无穷小量是(A ） 1- (B ）(C) 1． (Ｄ) 1- [ B ］ 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案．【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~;2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2） 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A ） ０. (B ） 1. (C ） 2. (D ） ３. [ D ］【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x →++=∞,所以0x =为垂直渐近线; 又 1lim[ln(1)]0xx e x →-∞++=，所以ｙ=０为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+, 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+- =lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=, 于是有斜渐近线：y = ｘ. 故应选(Ｄ）.(3） 如图，连续函数y =f （x )在区间［−３,−2],［２,3］上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0］,[０，２]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()().x F x f t dt =⎰则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =--. (Ｂ) 5(3)(2)4F F =． (C ） )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意ｆ(ｘ)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年北京师范大学数学分析高等代数试题参考解答
2
dx
a+b
∫
2 | f ′(t)|dt +
b
∫ dx
x
| f ′(t)|dt
a
x
a+b
a+b
2
2
∫ =
a+b
∫
2 | f ′(t)|dt
t
∫
dx +
b
∫ | f ′(t)|dt
b
dx
a
a
a+b 2
t
3
∫ ≤ b−a
a+b 2
| f ′(t)|dt
+
b
−
a
∫
b
∫ | f ′(t)|dt = b − a
∂2 u ∂x2
+
∂2 u ∂y2
=
0化为平面极坐标下的
方程.
解，x = r cos θ, y = r sin θ.
∂u ∂r
=
∂u ∂x
∂x ∂r
+
∂u ∂y
∂y ∂r
=
∂u ∂x
cos θ +
∂u ∂y
sin θ
∂u ∂θ
=
∂u ∂x ∂x ∂θ
+
∂u ∂y ∂y ∂θ
=−r
∂u ∂x
sin
θ
+
∫ | f ( a + b ) ≤ | f (x)| + |
x
| f ′(x)|dx|
2
a+b
2
两边在[a,
b]上积分.∫ab
|
f
(
a+b 2
)|dx
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例5.3.39 设2()1...2!!nn x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根，求证：0m x <，且lim m m x →+∞=-∞。
证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。
（2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0xn n P x e →+∞=>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。
因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。
则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）；21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞→+∞<=-≤=，矛盾。
例、 设(1)ln(1)nn p a n -=+，讨论级数2n n a ∞=∑的收敛性。
解 显然当0p ≤时，级数2nn a∞=∑发散；由 2011ln(1)1limlim 2x x x x x x x→→--++=011lim 21x x →=+ 12=，得221ln(1)4x x x x ≤-+≤，（x 充分小）， 于是2211(1)14n n p p pa n n n-≤-≤，（n 充分大） （1） 当1p >时，221p n n∞=∑，2(1)n pn n ∞=-∑收敛， 2(1)n n p n a n ∞=--∑收敛，(1)1n n np pa a n n -≤-+， 2nn a∞=∑收敛，2nn a∞=∑绝对收敛；（2） 当112p <≤时，221p n n ∞=∑收敛，2(1)n pn n ∞=-∑收敛， 于是2(1)n n pn a n ∞=--∑收敛，从而2(1)()nn p n a n ∞=--∑收敛，2n n a ∞=∑收敛， 而21p n n ∞=∑发散，由1(1)n n n p pa a n n -≤-+，得2(1)(||)n n n p n a a n ∞=--+∑发散，所以2n n a ∞=∑发散， 故此时2nn a∞=∑条件收敛。
（3） 当102p <≤时，2(1)()n n p n a n ∞=--∑发散，而2(1)npn n∞=-∑收敛，此时2n n a ∞=∑发散。
北京大学2007年数学分析考研试题及解答1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。
命题：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，那么必然存在一点(,)a b ξ∈， 满足()0f ξ=。
采用反正法，若对于任意点(,)x a b ∈，有()0f x ≠，那么显然对于任意[,]x a b ∈，仍然有()0f x ≠。
由于f 的连续性，我们对于任意一点[,]x a b ∈，可以找到一个邻域()x O x δ，使得()f x 在()[,]x O x a b δ⋂中保号，那么[,]a b 区间被以上形式的()x O x δ，[,]x a b ∈开区间族所覆盖，由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间1212(),(),...,()x x x nn O x O x O x δδδ就能覆盖闭区间[,]a b ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在0ε>，满足当12,[,]y y a b ∈，12y y ε-<时，存在1212(),(),...,()x x x nn O x O x O x δδδ中的某个开集同时覆盖12,y y 。
那么我们就证明了当12y y ε-<时，有12(),()f y f y 同号；现取正整数m ，满足b a m ε-<，令()i b a iz a m-=+，0,1,...,i m =，那么我们有1i i z z ε+-<，()i f z 与1()i f z +同号，从而证明了0()f z 与()m f z 同号，即()f a 与()f b 同号，这与题目中的()()0f a f b <矛盾，证明完毕。
2、 设(),()f x g x 在有限区间(,)a b 内一致连续，证明：()()f x g x 也在(,)a b 内一致连续。
证明 首先证明(),()f x g x 都在(,)a b 上有界，因为()f x 在有限区间(,)a b 内一致连续，从而存在10δ>，满足当此12,(,)x x a b ∈，121x x δ-<时，有 12()()1f x f x -<， 现取正整数m ，满足1b a m δ-<，令()i b a iz a m-=+，1,2,...,1i m =-； 对任意(,)x a b ∈，存在j z ，使得 1j b ax z mδ--<<， ()()()()j j f x f x f z f z ≤-+1()j f z ≤+ 111max ()i i m f z ≤≤-≤+，即得()f x 在(,)a b 上是有界的； 同理()g x 在(,)a b 上也是有界的；下面证明，若(),()f x g x 在区间I 上有界，且都一致连续，则()()f x g x 在区间I 上一致连续。
设0M >，满足(),()f x M g x M ≤≤，x I ∈; 那么由(),()f x g x 得一致连续性得到，对于任意0ε>，存在0δ>，使得当,x y I ∈，x y δ-<时，有 ()()f x f y ε-<，()()g x g y ε-< 从而()()()()f x g x f y g y -()()()()()()()()f x g x f x g y f x g y f y g y =-+- ()()()()()()f x g x g y f x f y g y ≤-+-2M ε≤，即得()()f x g x 在I 上一致连续。
3、 已知()f x 在[,]a b 上有四阶导数，且有(4)(3)()0,()0,(,)f f a b βββ≠=∈， 证明：存在12,(,)x x a b ∈，使得1212()()()()f x f x f x x β'-=-。
证明 不妨设()()0f f ββ'==（这是因为否则可以考虑()()()()()g x f x f f x βββ'=---，而()g x 的三、四阶导数与()f x 的相同）。
从而我们要证明存在12,(,)x x a b ∈，使得12()()0f x f x -=。
下面分两种情形来证明之，（1）()0f β''≠，当()0f β''>，由带Peano 余项的Taylor 展开式，我们得到 22()()()()(())2f f x f x o x ββββ''=+-+-， 那么在β足够小的邻域内有()0f x >，取12y y β<<，满足12()0,()0f y f y ><，不妨设12()()f y f y <，由于()0f β=，那么存在22(,)x y β∈，使得21()()f x f y =，从而取1122,x y x x ==，12()()0f x f x -=； 当()0f β''<时，同理可得；（2）()0f β''=，那么有(3)()0f β=，(4)()0f β≠，可以同样Taylor 展开，(4)44()()()()(())4!f f x f x o x ββββ=+-+-， 做法与（1）相同，证毕。
4 、构造一个函数在R 上无穷次可微，且(21)(0)n f n +=，(2)(0)0n f =，0,1,2,...,n =并说明满足条件的函数有任意多个。
解 构造函数项级数()1(0)!n n n f x n ∞=∑211(21)!n n nx n ∞+==+∑， 显然此幂级数的收敛半径为+∞，从而可以定义函数： 211()(21)!n n nf x x n ∞+==+∑， 容易验证此函数满足：(21)(2)(0),(0)0n n fn f +==，0,1,2,...n =，考虑到函数21,0()0,0x e x g x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，由我们熟知的结论知，()g x 在R 上无穷次可微，且()(0)0n g =，(0,1,2,...)n = 从而()()f x cg x +也满足题目要求条件，c 为任意常数，结论得证。
5 、设[0,1][0,1]D =⨯，(,)f x y 是D 上的连续函数，证明满足(,)(,)Df x y dxdy f ξη=⎰⎰的(,)ξη点有无穷多个。
证明 设 11min{(,):(,)}(,)m f x y x y D f x y =∈=，22max{(,):(,)}(,)M f x y x y D f x y =∈= 。
那么我们有(,)Dm f x y dxdy M ≤≤⎰⎰，(,)m f x y M ≤≤，(,)x y D ∈， 下面分两种情况讨论： （1） 若(,)Dm f x y dxdy =⎰⎰或(,)D f x y dxdy M =⎰⎰有一个成立时，当(,)Dm f x y dxdy =⎰⎰，我们有((,))0Df x y m dxdy -=⎰⎰，(,)0f x y m -≥，从而有(,)0f x y m -=，(,)x y D ∈，从而(,)f x y m =为常数，此时结论显然成立； 当(,)Df x y dxdy M =⎰⎰时，我们有((,))0DM f x y dxdy -=⎰⎰，(,)0M f x y -≥，从而(,)f x y M =为常数，此时结论显然成立； （2）(,)Dm f x y dxdy M <<⎰⎰我们可以选取无穷多条连接11(,)x y 和22(,)x y 的不相交的连续曲线12(),(),x x t y y t t t t ==≤≤，((),())x t y t D ∈；显然()((),())F t f x t y t =连续，111222()(,),()(,)F t f x y F t f x y ==， 由连续函数的介值定理，存在12(,)t t τ∈，((),())(,)x y ττξη=，使得 ()(,)DF f x y dxdy τ=⎰⎰，即(,)(,)Df f x y dxdy ξη=⎰⎰，结论得证。