北大数学分析实数理论参考资料

实数理论§1.1 从自然数到有理数实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11−A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表．在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为：Z =~},:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′−∈n n n :),({ =−=−=22110，这就是作为整数的0. 用表示k ∈+k n n )k n ,:,({N }，即 =−+=−+=2)2(1)1(k k k ，用1−表示∈+n n n :)1,({N }，即=−=−211 =−32．在集合{Z ，}中，考虑一个关系∈q p q p ,:),(0≠q ~：),(q p ~),(q p ′′当且仅当，它也是一个等价关系，有理数Q 现在定义为：q p q p ′=′Q =~}0,:),{(,≠∈q q p q p Z ．在Q 中我们可以定义加法，减法，乘法，除法，还可证明加减法互为逆运算，乘除法互为逆运算等性质，在Q 中我们用q p ，且1),(=q p , 表示其中一个有理数，比如用21表示．)2,(n n 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q 的定义．在2500年前，毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成，而原子有一个固定长度，比如假定单位线段由个原子组成，被测量的线段由个原子组成，则线段之长为：q p q p ，即有理数可以度量一切长度．但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时，对角线长不能由有理数表示，希伯斯因此受到迫害．但后来发现有很多长度不能用有理数表示，比如简单地取正方形边长为1，由勾股定理，它的对角线长度的平方应为2，我们记之为2，如果它是有理数，就应该有：nm =2， 1),(=n m ， 0≠n ． 两边平方，得，因为，都是整数，表明中含2因子，即m 中含2因子，设，则，同样推理表明中也含因子，与222m n =m n 2m p m 2=222p n =n 21),(=n m 矛盾，所以2不是有理数．这表明只有有理数是不够的，必须引入新的数，即无理数，它们合在一起称为实数．§1.2 实数的定义（戴德金分割）定义实数有不同的方法，戴德金分割是一个比较标准的方法．直观地看，有理数Q 在实轴上没有填满，还有很多“孔隙”，戴德金分割就是在数轴上割一刀，把现有的有理数Q 分成两部分，如果这一刀恰好砍在某个有理数上，这一分割对应的就是这个有理数，如果没碰到任何有理数，这个分割就定义出一个无理数．定义1 将有理数全体组成的集合分成A ，B 两类，使满足以下性质：1） A 与B 都至少包含一个有理数（不空）；2） 任一有理数，或属于A ，或属于B （不漏）；3） A 中任一数均小于a B 中任一数b ，即A a ∈，b a B b <⇒∈（不乱）； 4） A 中没有最大的数，即A a ∈，A a ∈′∃，使a a ′<．则称A ，B 为有理数的一个分划，A 称为分划的下类，B 称为分划的上类，记作．)|(B A 定义中4）不同于1）—3），它是非实质性的，只是为了推理的方便．定义中4）用到有理数的稠密性（即两个有理数之间必有一有理数），如A 有最大数，将此数放入B ，则它是B 的最小数，这时A 就无最大数；若A 还有最大数，根据有理数的稠密性，A 的最大数与B 的最小数之间必有一有理数，这个有理数被漏掉了，这与分划的定义矛盾．注意定义没有用到有理数的极限，只用到有理数性质和集合概念．由分划的定义知，若为下类的任一数，则小于a 的任何有理数也属于下类；b 为上类中的任一数，则大于b 的任何有理数也属于上类．a 下面用Q 记有理数的集合．例1 ；},1|{Q ∈<=x x x A ．},1|{Q ∈≥=x x x B 容易看出A 、B 构成有理数的一个分划，这时上类B 有最小数1．例2 ； },200|{2Q ∈<>≤=x x x x x A 且或 ． },20|{2Q ∈>>=x x x x B 且显然A 、B 不空、不乱，因为没有有理数平方等于2，所以不漏，下面证A 无最大数．设，，要证存在有理数，使0≥a 22<a 0>r 2)(2<+r a ．即要证 ，或 ．2222<++r ar a 2222a r ar −<+当1≤r 时，只要，也就只要222a r ar −<+1222+−<a a r ．所以取有理数r 满足}122,1min{02+−<<a a r 时，即有，故2)(2<+r a A 中存在有理数a r a >+． 当时，属于0<a A 的有理数即大于，这就证明了0a A 无最大数．因此是有理数的一个分划． B A |这个分划中，上类B 无最小数．事实上，设B b ∈，即且，要证存在有理0>b 22>b数，使，且，即0>r 0>−r b 2)(2>−r b ， 或 ． 2222>+−r br b 2222−<−b r br 要使上式成立，只要， 222−<b br b b r 222−<．由于0222>−b b ，根据有理数的稠密性，知存在有理数r 使得b b r 2202−<<，又由b bb <−222，推知b r <，对这样的r ，满足，，这就证明了，在0>−r b 2)(2>−r b B 中找到了比b 更小的有理数，所以r b −B 无最小数．可见，有理数的分划可以分为两类，第一类型是上类B 有最小数，我们称这类分划为有理分划；第二类型是上类B 无最小数，我们称这类分划为无理分划．显然，任一有理分划与其上类的最小有理数对应，反之任一有理数b ，总可确定一有理分划：},|{Q ∈<=x b x x A ；},|{Q ∈≥=x b x x B ．这样，有理数可以与有理分划建立一一对应，我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”．于是有如下定义．定义2 有理数的任一无理分划称为无理数．为了一致起见，称有理数的任一有理分划为有理数．有理数和无理数统称为实数．§1.3 实数的性质为了研究实数的性质，我们回顾有理数的一些熟知性质，如有理数是全序域，所谓全序域，简单地说就是可以比较大小，而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算．有理数集是稠密的，即对任意有理数、b a )(b a <，总存在有理数c ，使得．由稠密性虽得不出有理数连续地分布在数轴上，但却是密密麻麻地分布在数轴上．另外，有理数满足阿基米德原理，即对任意有理数b ，必存在自然数，使得．b c a <<0>>a n b na >1 实数的运算我们用 ,,,z y x 表示实数，即表示有理数的分划，用表示有理数．用记号R 表示实数的集合，记号Q 表示有理数的集合．为了书写方便，用表示实数 ,,,c b a x A x 的下类，表示实数x B x 的上类，表示去掉最小数的集合．0x B x B 定义1 设有实数x 、，y（1）若集合，则称y x A A =y x =；（2）若集合，，则称y x A A ≠y x A A ⊂x 小于y ，或y 大于x ，记作y x <或x y >． 当x 、为有理分划时，这定义与把y x 、看成有理数的相等和大小关系是一致的．y 与有理数0对应的有理分划仍记为，若，称00>x x 为正实数；若，称0<x x 为负实数．设实数y x <，由定义存在有理数，使1q y A q ∈1，x A q ∉1．再由无最大数，所以存在有理数，，使y A 2q 3q 321q q q <<， y i A q ∈， x i A q ∉ )3,2(=i ．有理数产生的有理分划记作，容易看出2q z y z x <<，即实数集是稠密的．为了定义加法，我们需要下面引理．引理1 设x 、y 为实数，令},|{2121y x A a A a a a A ∈∈+=，A B −=Q ．则是有理数的分划．)|(B A 证明：A 、B 满足分划不漏的条件是显然的，集合A 无最大元素也是明显的．只要证满足分划的不空和不乱条件即可．先证A 、B 不空． A 不空是显然的，证B 不空． 因集合，不空，，，只要证．x B y B x B b ∈∃1y B b ∈2B b b ∈+21假设不然，即，由A b b ∈+21A 的定义，x A a ∈∃1，y A a ∈2，使，而由分划2121a a b b +=+x 、不乱条件得，y 11b a <22b a <，即得2121b b a a +<+．故矛盾，所以．B b b ∈+21再证不乱．设，，要证A a ∈B b ∈b a <．假设不然，，由b a ≥A 的定义，x A a ∈∃1，y A a ∈2，使得b a a a ≥+=21，因此，由分划12a b a −≥y 的不乱，得y A a b ∈−1，于是A a b a b ∈−+=)(11，故矛盾．所以．b a <因此是有理数的分划．)|(B A 定义2 在引理1条件下，称实数为实数)|(B A x 与y 的和，记作y x +．当x 、为有理分划时，和也为有理分划，且和的定义与把y x 、看成有理数时和的定义是一致的．y 由上看出，这种证明没有什么困难，所以，下面我们只叙述定义，而略去证明．要定义减法只要定义负数即成．负数的定义 给定实数x ，令，}|{0x B a a A ∈−==B A −Q ，则是有理数的分划，我们称为实数)|(B A )|(B A x 的负数，记作x −．由负数定义，容易证明下面性质：（1）若，则有；0<x 0>−x （2）若y x =，则y x −=−；（3）；x x =−−)(（4）)()()(y x y x −+−=+−．为了定义乘法，我们先要定义绝对值． 设0≠x ，称x 与x −中的正实数为x 的绝对值，记作，规定||x 0|0|=，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=.0,0,00,||x x x x x x 当当当；；乘法的定义 设有实数，，令0>x 0>y },0|{}00|{2121Q ∈≤∈<∈<⋅=a a a A a A a a a A y x ∪，；=B A −Q ．则是有理数的分划，我们称实数是实数)|(B A )|(B A x 与y 的积，记作y x ⋅．对于一般的情形，我们定义：⎪⎩⎪⎨⎧==⋅−⋅=⋅).00(0)(|),||(|)(|,|||y x y x y x y x y x y x 或异号同号，；、；、显然，有 ．||||||y x y x ⋅=⋅要定义除法，只要定义倒数．倒数的定义 设，令0>x },0|{}1|{0Q ∈≤∈=a a a B a a A x ∪， =B A −Q ．则是有理数的分划，我们称实数是实数的倒数，记作或)|(B A )|(B A 1−x x 1． 当时，定义，或 0<x 11||−−−=x x ||11x x −=．总之我们用有理数的加法和负数，来定义分划的加法和负数；对正实数情形，用有理数的乘法和倒数，来定义分划的乘法和倒数，对一般的实数乘法和倒数，又化到正实数情形． 2 实数集是域要证集合R 是域，即要对上面定义的加法和乘法运算，满足下列性质：（1）交换律：∈∀y x ,R ， x y y x +=+， x y y x ⋅=⋅；（2）结合律：∈∀z y x ,,R ，)()(z y x z y x ++=++，)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅；（3）R ， ， ∈∀x x x =+0x x =⋅1；（4）R ， ， ；∈∀x 0)(=−+x x )0(11≠=⋅−x x x （5）分配律： z x y x z y x ⋅+⋅=+⋅)(．其中，记号1表示由有理数1所确定的有理分划．前三条性质证明比较简单；第四条性质的证明，用到有理数的阿基米德原理；第五条性质证明较烦琐．我们不打算讨论这些性质的证明，只以第四条加法为例，给出证明的示范．证明0)(=−+x x 的困难，在于每一个负有理数，能否看成集合中的元素，与集合中的元素相加而得，或能否看成集合中的元素，减去集合中的元素而得，为此我们需要下面引理．x A x A −x A 0x B 引理2 给定实数x ，有理数∀0>ε，则x A a ∈∃，，使0xB b ∈ε=−a b ． 证明：由分划的不空性，x A a ∈∃0，x B b ∈0，根据阿基米德原理，∃自然数，使得n 00a b n −>ε，考察数：，0a ε+0a ，ε20+a ，， εn a +0)(0b >．在这有限个数中，总存在一个位于x 下类中最大的数，记作x A k a a ∈+=ε0 )(n k < ．若ε)1(0++=k a b 不是上类的最小数，、b 即为所求．若是上类的最小数，取a b ε)21(0++=k a a ， ε)23(0++=k a b 即成．证，即要证0)(=−+x x 0)(A A x x =−+．设，即，)(x x A a −+∈21a a a +=x A a ∈1，x A a −∈2．由负数定义知，x x B B a ⊂∈−02所以，得，即12a a >−021<=+a a a 0A a ∈，因此．0)(A A x x ⊂−+反之，若，有，根据引理2，存在0A a ∈0>−a x A a ∈1，，且，由负数定义，01x B b ∈a a b −=−11x A b −∈−1，再由加法定义，知)(1111)(x x A b a b a a −+∈−+=−=，因此 ．)(0x x A A −+⊂合起来得，即)(0x x A A −+=)(0x x −+=．3 实数集是全序域实数集是全序域，是指实数集R ，对前面所定义的“小于”关系，满足下面四条性质：1） ，R ，下列三式有且仅有一个成立：x ∀∈y y x =，y x <，x y <；2） 若y x <，，则z y <z x <（传递性）；3） 若y x <，R ，则∈z z y z x +<+；4） 若y x <，，则0>z z y z x ⋅<⋅．证明 1） 若下类，由定义知y x A A =y x =，其它两式不成立； 若，则或，或不是这样．若是前者，则y x A A ≠y x A A ⊂y x <，其它两式不成立；若是后者，必有，而，由此得．这时必有．因x A a ∈'y A a ∉′y B a ∈′x y A A ⊂y A a ∈∀有a a ′<，推出，所以，即x A a ∈x y A A ⊂x y <．2） 由条件得，；，y x A A ⊂y x A A ≠z y A A ⊂z y A A ≠，因此，，即z x A A ⊂z x A A ≠z x <．3） 由y x <，推出，使，而c ∃y A c ∈x A c ∉，因而x B c ∈．由无最大数，推出y A c ′∃，使．令 y A c c ∈′<0>=−′εc c ．由引理2，z a A ∃∈，z b B ∈，且c c a b −′==−ε．于是，z y A a c +∈+′z x B c a c b +∈′+=+，所以z y z x +<+．4）因，根据分划的乘法定义，知0)(>−+x y 0)]([>−+⋅x y z ，由分配律，利用0)(>−⋅+⋅x z y z 0)(=−+x x ，可得)()(x z x z ⋅−=−⋅，所以0)]([>⋅−+⋅x z y z ，即得 z y z x ⋅<⋅．4 实数集的连通性将有理数用直线上的点表示时，发现直线上还留有许许多多“孔隙”．我们用无理数来填充这些“孔隙”，现在问题是这些“孔隙”是否被填满了，如果被填满了，对实数作分划时，就不可能产生新的“数”，否则类似于有理数分划产生无理数一样，对实数分划还可得出新的“数”．事实上，戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言，给出有理数是不连通的、实数是连通的定义，经反复研究，发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言，对有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类也可以无最小数，所以按定义有理数是不连通的；而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类必有最小数，所以按定义实数是连通的．下面我们严格的说明这一点．定义3 把实数集R 分成两个子集X 、Y ，使满足：1） X 、Y 至少包含一个实数（不空）； 2） 每一实数或属于X ，或属于Y （不漏）；3） 任一属于X 的实数，小于任一属于Y 的实数（不乱）；4） X 中无最大数（用到实数稠密性）．则称X 、Y 为实数的一个分划，记作，)|(Y X X 称分划的下类，Y 称分划的上类．戴德金定理（连通性） 设为一实数分化，则Y 必有最小数．)|(Y X 证明 首先我们定义一实数．令},|{X x A a a A x ∈∈=； =B Q A −．则是一有理数的分划，为此要证它满足分划的四个条件．)|(B A ⅰ）A 的不空是显然的．证B 不空．由不空，Y Y y ∈∃，又y B b ∈∃，有理数b 一定属于B ．若不然，有，由A b ∈A 的定义，X x ∈∃，x A b ∈，由关于实数的“小于关系”的定义，知x y <，这与分划不乱矛盾，所以)|(Y X B b ∈．ⅱ） A 、B 满足不漏条件是显然的；ⅲ） 证满足不乱条件．设，A a ∈B b ∈，要证b a <．假设不然，，由a b ≤A 定义，X x ∈∃，x A a ∈，更有x A b ∈，因此，这与矛盾，所以．A b ∈B b ∈b a <ⅳ） A 无最大数也是明显的．既然是一有理数的分划，所以它为一实数，记作)|(B A )|(B A z =．其次证．假若不然，由X z ∉X 无最大数，X x ∈∃，x z <，根据小于定义，有理数，使，∃c x A c ∈B B c z =∈．由A 的定义，A c ∈，可是B c ∈，故矛盾，所以．X z ∉最后证且是Y 的最小数．因不漏，所以Y z ∈)|(Y X Y z ∈．假设不是Y 的最小数，zY y ∈∃，z y <，∃有理数，使c A A c z =∈，y B c ∈．由，A c ∈X x ∈∃，，再由x A c ∈y B c ∈及小于定义，知x y <，这与不乱矛盾，所以是Y 的最小数． 证毕．)|(Y X z 至此，我们证明了实数集是全序域，且是连通集．我们称连通的全序域为实数空间，仍用记号R 表示．这里我们用R 不能分解成两个不空、不漏、不交的开区间来定义R 的连通性，这定义只对R 适用．对一般空间，需要有开集的概念， 我们用空间不能分解成两个不空、不漏、不交的开集来定义连通性．在这个定义下，实数集R 也是连通的．5 实数的表示给定实数，若由实数我们能确定一个记号，又由记号返回去去确定实数，那么这个记号就可以作为实数的一种表示．)|(B A x =由阿基米德原理，∃整数M 、N 分别属于A 、B ，A M ∈，B N ∈．由M 逐次加1，必能求得两个相邻整数，，0c 10+c A c ∈0，c B ∈+10．可以是正数、负数或零．用，，，，分，间隔为十等分，必有一个是属于下类的最大数，设0c 10⋅c 20⋅c 90⋅c 0c 10+c A c c ∈⋅10， B c c ∈+⋅10110． 其中为中某一数字．1c 9,1,,0 继续分下去，在确定了数码之后，可确定，使121n-c ,,c ,c n c A c c .c c n ∈ 210， B c c c c n n ∈+101.210 ， 其中为中某一数字i c 9,1,,0 )21(n ,,,i =，由此可得一记号n c c c c 210.，称为无限小数，它是实数的一种表示． 当k k c c c 101.10+ 是上类的最小数时，容易看出)(9k n c n >=；又中一定有无限个数字不为零，否则下类中就有最大数．n c 反之，任给一有无限个不为零的无限小数，总可找到一个实数n c n c c c c 210.x ，刚好被它所表示．为此考察有理数n n c c c c a 210.=， n n n c c c b 101.10+= ，显然 ，n n b a <），， 21(=n ． 现在定义有理数的一个分划：把一切大于的有理数归为上类n a B ，把一切余下的有理数归为下类A ，则是一个有理分划．显然)|(B A A a n ∈，∀自然数，当时，有， 当时，有m m n ≥m n n b b a ≤<m n <m m n b a a <≤．由的任意性，所以m B b n ∈），， 21(=n ．这说明A 、B 不空．满足不漏条件是显然的．再证满足不乱条件：设，A a ∈B b ∈，由A 、B 定义，n ∃，使．否则大于一切，应属于n a a ≤a n a a B ，矛盾．再由b 大于一切，即得n a b a a n <≤．由无穷多个不为零，所以n c A 无最大数．这样我们得到实数)|(B A x =．因，，所以是A a n ∈B b n ∈ n c c c c 210.x 的无穷小数表示．还可证明，当实数y x ≠时，这种表示式也不相同．假设x 、y 有相同的无限小数表示：且设 n c c c c 210.y x <，则∃有理数，使c y A c ∈，x B c ∈．由集合无最大数，，y A c ′∃y A c c ∈′<，x B c ∈′，记号，意义同上，因，由得，又因及n a n b x n A a ∈x B c ∈c a n <y n B b ∈y A c ∈′得c b n ′>，这样 n n n a b c c 1010=−<−′<． 由阿基米德原理，∃自然数，使 n 1)(>−′c c n ，更有，矛盾．这矛盾是由于假设1)(10>−′c c n x 、有相同的无限小数表示引起的，所以y y x ≠时，有不同的表示式．上面我们建立了实数与无限小数之间的一一对应关系，现在我们称无限小数为实数，这样，我们又回到了对以前实数的认识．习题1．求证：∀自然数，n )2(+n n 是无理数．2．求证：为无理数．10cos 3．设)(21+∞→→+++n a na a a n ， 求证：0lim=+∞→n a n n ．4．设（为有限或无限）．求证： a x n n =+∞→lim a a n x x x n n =++++∞→ 21lim． 5．设．求证： a a a n n n =−++∞→)(lim 1a n a n n =+∞→lim． 6．设序列且)(+∞→→n a x n ),2,1(0 =>n x n ．求证：调和平均序列)(11121+∞→→+++=n a x x x ny n n ．7．设且．求证： 0>n a a a n n =+∞→lim a a a a n n n =+∞→ 21lim ．8．设数列{}满足如下条件：{}n n y x ,（1）{严格递增；}n y （2）+∞=+∞→n n y lim ； （3）a y y x x nn n n n =−−+++∞→11lim ． 求证：a y x nn n =+∞→lim ． 9．求证1ln 1211lim =++++∞→n n n 10．求证13221lim 23=++++∞→n n n 11．设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为)(x f ],[b a M 和．求证：必存在区间)(M m m <],[βα，满足条件：（1）m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα；（2）M x f m <<)(，当),(βα∈x ．。