2017年北大数学分析考研试题
北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题
北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题1. 数列{}n a 满足112,32(21)1n n n a a a n a +==++，则数列{}n a 的钱2017项的和2017S 等于（ ） A. 20162017 B. 20172018 C. 40344035 D. 40334034【解答】C 根据题意，有11142n n n a a +-=+，于是21122n n a =-，进而221111141222n a n n n ⎛⎫ ⎪==- ⎪- ⎪-+⎝⎭，于是1121n S n =-+，进而201740344035S =2. 若1x 是方程2x xe =e 的解，2x 是方程2ln x x =e 的解，则1x 2x 等于（ ） A. 1 B. e C. 2 e D. 4e【解答】C考虑到1x 2x 分别是函数xy e =、函数ln y x =与函数2e y x=的图像的公共点A,B 的横坐标，且A,B 两点关于直线y x =对称，点（1x ，2x ）在反比例函数2e y x=的图像上，因此1x 2x =2e3. 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°等于（ ）A. 0B.C. 1D. 【解答】A 由于12tan tan tan 2θθθ-=-于是tan10°- tan80°= -2cot20°，2(tan20°- cot20°)= - 4cot40°，4(tan40°- cot40°)= - 8cot80° 三式相加即得9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0.4. 若对任意使得关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠有实数解的a ，b ，c 均有()()()2222a -b +b -c +c -a rc ≥，则实数r 的最大值是（ ）A. 1B. 98C. 916D. 2 【解答】B设关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠的实数解为m ，n ，则,b cm n mn a a+=-=， 于是()()()()()()2222222222222222222221111[(1)1](1)2(1)(1)11311322424222b bc c a -b +b -c +c -a a a a a r c c a m n mn m n mn m n n n m m m nm m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭++++++-=+++++=++++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等号右边代数式的最小值为98，因此所求实数r 的最大值为98。
2017年考研数学二试题及详解
【答案】
【解析】
（13）已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 .若点 的横坐标对时间的变化率为常数 ，则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是________________.
【答案】
【解析】
（14）设矩阵 与 等价，则 ________________.
令F(x)=f1(x)-f2(x),则F(x0)=0，F’(x0)=0,F”(x0)<0.
由极值的第二充分条件得x=x0为极大值点。
则F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x),
综上所述，应选A.
（6）已知函数 ，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
选D.
（7）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）.
A. 与 相似
B. பைடு நூலகம் 相似
C. 与 相似
D. 与 相似
【答案】C
【解析】
因为 与 相似，因此存在可逆矩阵 ，使得 ，于是有：
，即 ，
，因此 ，
，因此 ，
而C选项中， 不一定等于 ，故C不正确，选择C.
（8）设二次型 的正、负惯性指数分别为1,2，则（ ）.
A.
B.
C.
D. 或
【答案】C
【解析】
所以，-2<a<1,所以，选C.
∴x=-1,y=-1为极大值点，极大值为z=1.
（18）（本题满分10分）
设 是由直线 围成的有界区域，计算二重积分 .
【答案】
【解析】
（19）（本题满分10分）
已知函数 是二阶微分方程 的两个解，若 ，求 并写出微分方程的通解.
2017年考研数学一真题及答案解析
2 x + c2 sin 2 x)
ò
xdx - aydy 在区域 D = ( x, y) | x2 + y 2 < 1 内与路径无关，则 L x2 + y 2 - 1
{
}
a = __________
【答案】 a = 1 【解析】
¶P -2 xy ¶Q 2axy ¶P ¶Q = 2 , = 2 , 由积分与路径无关知 = Þ a = -1 2 2 2 2 ¶y ( x + y - 1) ¶x ( x + y - 1) ¶y ¶x
（5）设 a 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（
）
( A) E - aa T 不可逆 (C ) E + 2aa T 不可逆
【答案】A
( B ) E + aa T 不可逆 ( D ) E - 2aa T 不可逆
【解析】选项 A,由 ( E - aa T )a 不可逆。 选项 B,由 r (aa T )a 其它选项类似理解。
x =0
【答案】 【解析】
dy dx
= f1' (1,1),
x =0
d2y dx 2
'' = f11 (1,1), x =0
y = f (e x , cos x) Þ y (0) = f (1,1) Þ Þ dy dx
2 x =0
x =0
= ( f1'e x + f 2' ( - sin x ) )
结论：
dy dx
= f1' (1,1)
x =0 '' = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) x =0
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
北大考硏高数试题及答案
北大考硏高数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = |x|D. y = cos(x)答案：B2. 函数f(x) = x^2在区间（-1, 1）上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. -1答案：B3. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 + y^2的解？A. y = CxB. y = x^2 + CC. y = C/xD. y = C * e^x答案：B4. 定积分∫₀^π/2 sin(x)dx的值是：A. 1B. 2C. π/2D. π答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / √nB. ∑n^2C. ∑(1/n)^2D. ∑(1/n)答案：C6. 函数f(x) = ln(x)在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B7. 方程x^2 - 4x + 4 = 0的根是：A. 2, 2B. -2, 2C. -2, -2D. 1, 3答案：A8. 以下哪个选项是函数f(x) = e^x的泰勒级数展开？A. ∑x^nB. ∑(-1)^n * x^nC. ∑(1/n!) * x^nD. ∑(1/n) * x^n答案：C9. 以下哪个选项是多元函数f(x, y) = x^2 + y^2的梯度？A. (2x, 2y)B. (x, y)C. (2y, 2x)D. (y, x)答案：A10. 以下哪个选项是格林公式的数学表达式？A. ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)B. ∬D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)C. ∬D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)D. ∬D (∂Q/∂x + ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) [x - sin(x)] / (x^3) 的值是 _______。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。
考研数学真题答案2017
考研数学真题答案2017考研数学真题答案2017年的详细解析如下：开头：2017年的考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，题目难度适中，考查了考生对基础概念的理解和运用能力。
以下是对2017年考研数学真题的答案解析。
高等数学部分：1. 选择题：- 第1题考查了极限的运算，答案为A。
- 第2题考查了导数的几何意义，答案为C。
- 第3题考查了微分中值定理，答案为B。
- ...（此处省略其他题目的解析）2. 填空题：- 第1题考查了定积分的计算，答案为：\(\frac{1}{2}\)。
- 第2题考查了微分方程的解法，答案为：\(y = e^x - 1\)。
3. 解答题：- 第1题要求证明级数的收敛性，通过比较判别法可以得出结论。
- 第2题是关于多元函数极值的问题，需要利用拉格朗日乘数法求解。
线性代数部分：1. 选择题：- 第1题考查了矩阵的秩，答案为B。
- 第2题考查了特征值与特征向量，答案为D。
2. 填空题：- 第1题考查了行列式的计算，答案为3。
- 第2题考查了向量空间的基，答案为：\(\{v_1, v_2\}\)。
3. 解答题：- 第1题是关于线性方程组解的讨论，需要判断系数矩阵的秩。
- 第2题要求证明线性变换的不变子空间，需要运用线性代数的基本定理。
概率论与数理统计部分：1. 选择题：- 第1题考查了随机变量的分布，答案为A。
- 第2题考查了大数定律，答案为C。
2. 填空题：- 第1题考查了期望的计算，答案为2。
- 第2题考查了二维随机变量的联合分布，答案为：\(P(X=x,Y=y)\)。
3. 解答题：- 第1题是关于概率分布的求解，需要运用全概率公式。
- 第2题要求计算统计量的分布，需要运用中心极限定理。
结尾：2017年的考研数学真题答案解析到此结束。
希望这些解析能帮助考生更好地理解题目，提高解题技巧。
考生在复习时应注意基础知识的掌握，同时通过大量练习来提高解题速度和准确率。
北大数学分析考研题库
北大数学分析考研题库抽象代数部分：1. 设$G$是一个有限群，证明任何两个元素的乘积仍然属于$G$。
2. 给定一个循环群$G=\langle a\rangle$，证明对于任意的正整数$n$，$a^n$也是群$G$的生成元。
3. 设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。
证明$|H|$能整除$|G|$。
4. 设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群，$N$是$G$的一个正规子群。
证明$N\cap(HN)=HN$。
5. 给定一个同态$f:G\rightarrow H$，证明其核$\ker(f)=\{g\in G|f(g)=e_H\}$是$G$的一个正规子群。
6. 设$G$是一个群，$H,N$是$G$的两个正规子群，且$H\cap N=\{e\}$。
证明对于任意的$g\in G$，有$ghg^{-1}\in N$对任何的$h\in H$成立。
7. 设$G$是一个群，$g\in G$是一个元素，证明集合$C_G(g)=\{x\in G|xg=gx\}$构成$G$的一个子群。
8. 设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。
证明存在一个$H$的左陪集与一个$H$的右陪集代数相等。
9. 证明对于任意的邻域$V$，都存在一个开集$U$，使得$e\in U$且$U\subseteq V$。
10. 设$(X,d)$是一个度量空间，记$S(X)$为$X$上所有有界数列的集合。
定义$d_S:S(X)\times S(X)\rightarrow\mathbb{R}$为$d_S(x,y)=\sup_{n\in\mathbb{N}}d(x_n,y_n)$。
证明$d_S$是一个度量。
2017年考研数学一真题及答案解析
12017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩ 或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。
北京大学2017级数学分析1试题
北京大学数学学院2017−2018学年第一学期数学分析期中考试请在答卷上填写院系,姓名与学号1.(共24分,每题6分).运用已知极限,极限性质,函数性质等解答下述问题,简要写出求解过程.(1)求lim x →0(1−tan 2x )1x .(2)求lim n →+∞n √(3)设x →0时,x p 为5x 2−4x 2的同阶无穷小量,求p =?(4)设f (x )∈C [0,1],求lim n →+∞1n n∑k =1(−1)k −1f (k n ).2.(共16分)(1)(6分)用ε−N 语言证明limn →+∞n √n =1.(2)(10分)证明e =lim n →+∞1+11!+12!+···+1n !3.(14分)f (x )=x 2在(0,+∞)上是否一致连续?f (x )=x 2sin 1x 2在(0,+∞)上是否一致连续?简述理由.4.(共14分)(1)(6分)设f (x )∈C (−∞,+∞),{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞x n )?给出证明或反例.(2)(8分)设f (x )∈C (−∞,+∞),且单调上升,{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞)?给出证明或反例.5.(12分)设f (x )∈C [a,b ]且f ([a,b ])⊂[a,b ],证明恒存在c ∈[a,b ]满足f (c )=c .若将条件f (x )∈C [a,b ]改为f (x )在[a,b ]上单调上升,证明结论仍成立.6.(10分)设序列{a n }n ≥1满足0≤a m +n ≤a m +a n +1m +1n ,∀m ≥1,∀n ≥1,问lim n →+∞a n n 是否恒存在?证明你的结论或给出反例.7.(10分)设函数f (x )定义于区间(a,b )且对∀x 1,x 2∈(a,b )及∀λ∈(0,1)满足f [λx 1+(1−λ)x 2]≥λf (x 1)+(1−λ)f (x 2)问f (x )是否在区间(a,b )上恒连续?证明你的结论或给出反例.考试科目:数学分析整理人:匣与桔QQ :1433918251第1页共1页。
2017年考研数学一真题及答案全
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2017年北大应统真题(回忆版)
2017年北大应统真题（回忆版）一、X服从{-1, 0, 1}上的均匀分布，Y服从U[0, 1]，X与Y相互独立，求Z = X+Y的密度函数（15分）二、(X, Y)服从区域D = { (x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < x}上的均匀分布，求X,Y的相关系数ρxy（15分）三、长为1的木棒截取一截，再将剩下的部分截为两段，求这三段木棒能构成三角形的概率（15分）四、(xi,yi)满足yi = a + bxi +εi，其中εi ~ N(0, σ²)，各εi独立同分布，其中a,b, σ²均未知，现观测到一组新数据X0，计算y0的95%的置信区间（15分）五、一维密度函数f(x)光滑，且对于任意X1<X2，均有| f(X1) – f(X2) | ≤L|X1-X2|，L为已知常数，现有来自密度函数为f(x)的简单随机样本。
X1,X2,,,XN。
定义f̂(X0)=1 Nλ∑K(X0−Xiλ)Ni=1，其中M≥K( μ )≥0，∫K(μ)dμ+∞−∞= 1，∫μK(μ)dμ+∞−∞= 0，∫μ²K(μ)dμ+∞−∞= σk2< +∞，M与σk2> 0均为已知常数。
证明：（1）|bias (f̂(X))| = |E (f̂(X)- f(X))| ≤ c1λ （5分）（2）Var (f̂(X)) ≤ C2Nλ²（5分）（3）选取合适的λ，使MSE(f̂(X)) = E ( [f̂(X)- f(X)]² ) ≤ c3N−12（5分）六、设总体X的密度P（X; θ）= 1θI[0,θ](X), (θ>0)，其中I△(X)为指示函数，I△(X)= 1当且仅当X∈△，否则I△(X)=0，X1,X2,,,Xn为简单随机样本（1）求θ的矩估计θ̂（3分）（2）求θ的极大似然估计θ̂ML（5分）（3）讨论θ̂的无偏性，相合性（6分）（4）讨论θ̂ML的无偏性，相合性（6分）七、两总体的比率假设检验。
北京大学601数学基础考试1 (数学分析)考研参考书、历年真题、复试分数线
北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研参考书、历年真题、复试分数线一、课程介绍又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。
一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。
它也是大学数学专业的一门基础课程。
数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。
它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。
这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。
微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。
后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。
二、北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研复试分数线根据教育部有关制订分数线的要求，我校按照统考生、联考生等不同类型分别确定复试基本分数线。
考生能否进入复试以各院系所规定的各项单科成绩和总成绩确定的复试名单为准。
我校将按照德、智、体全面衡量，择优录取，保证质量，宁缺毋滥的精神和公开、公正、公平的原则进行复试与录取工作。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析
自己供应的文档均由自己编写如成，如对你有帮助，请下载支持！2017 年全国硕士研究生入学一致考试数学一真题及答案剖析一、选择题（ 1~8 小题，每题 4 分，共 32 分）1 cos x 0,（1）若函数 f ( x), x0处连续，则（ax 在 x）b, x 0( A) ab1( B) ab1。
22(C ) ab 0 。
( D ab 2。
【答案】 ( A)【解】f ( 00) lim1cos x1 ，f (0) f (00) b，xax 2a因为 f ( x) 在 x0处连续，所以 f (0 0)f (0) f (00)，进而 ab1，应选 (A) 。
2（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f ( x) 0 ，则（）( A) f (1)f ( 1)。
(B) f (1)f ( 1)。
(C ) | f (1) | | f ( 1) |。
(D) | f (1) | | f ( 1) |。
【答案】 (C )【解】若 f ( x) 0 ，则 f (x) 0，进而 f (1) f ( 1) 0 ；若f ( x)，则f ( x) 0，进而f (1) f ( 1) 0 ，故| f (1) | | f ( 1) |，应选(C)。
（3）函数f (x, y, z)x 2yz2在点 (1,2,0)处沿向量n{1,2,2} 的方导游数为（）( A) 12。
(B)6。
(C)4。
(D) 2。
【答案】 (D)【解】f2 xy，f x2， f2z，xyzf|(1,2 ,0) 4，f |(1,2,0) 1 ， f |(1,2 ,0)0 ，xyzcos1, cos2, cos2 ，所求的方导游数为333f|(1,2 ,0 ) 4 1 1 2 2 ，应选(D)。
n 3 3（4）甲、乙两人赛跑， 计时开始时，甲在乙前方 10）处，图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 t) （单位： m( （单位： m/ s ），虚线表示乙的速度曲线vv 2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3 ，计时开始后乙追甲的时辰为t 0 （单位： s ），则（）( A) t 0 10。
北大数学分析考研真题
北大数学分析考研真题
以下是北大数学分析考研真题中的一道题目及解析：
1. 设函数$f(x)$在$x=0$的某个邻域内有定义，并满足$f(0)=0$，$f'(x)$在$x=0$的某个邻域内存在且有界，证明：
$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=0$
解析：
根据题目条件，可得到以下信息：
1) $f(0)=0$，即函数$f(x)$在$x=0$处的函数值为零；
2) $f'(x)$在$x=0$的某个邻域内存在且有界，即$f'(x)$在
$x=0$的某个邻域内有定义且不会无穷增长。
根据导数的定义，我们有：
$f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to
0}\frac{f(h)}{h}$
由于$f'(x)$在$x=0$的某个邻域内有界，即存在一个常数
$M$使得$|f'(x)| \leq M$，那么对于任意的$h$（不等于0），
我们有：
$|f(h)| \leq M|h|$
再将这个不等式代入导数的定义中，我们有：
$|f'(0)| = |\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}| \leq M$
因此，可得到：
$\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h} = 0$
即：
$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=0$
综上所述，我们证明了题目的结论。
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= f (x2) x2
f (x1) . x1
f (1) . 1
证明:
8
2
7.
(20 分) 设 f
是
(0;
+1)
上的凹
(或凸)
函数且
lim
x!+1
xf
0(x)
=
0
(仅在
f
可导的点考虑
极限过程).
8. (20 分) 设 2 C 3(R3), 及其各个偏导数 @i (Ái = 1; 2; 3) 在点 X0 2 R3 处取值都是 0.
北京大学 2017 年硕士研究生招生考试试题
(启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试 1 (数学分析) 考试时间: 2016 年 12 月 25 日上午
专业：数学学院各专业 (除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向 (除金融学和应用统计方向)
———————————————————————————————————————— 说明：答题一律写在答题纸上 (含填空题、选择题等客观题), 写在此试卷上无效.
5.
(20 Â
分) Ã
假设
x0
=
1;
xn
=
xn
1 + cos xn
1(n = 1; 2;
), 证明: 当 x ! 1 时, xn
= 2
o
1 nn
.
6. (20 分) 假如 f
2
C [0; 1]; lim
x!0+
f (x) x
f (0)
=
˛
<
ˇ
=
lim
x!1
f (x) x
(˛; ˇ); 9x1; x2 2 [0; 1] 使得
X0 点的 ı 邻域记为 Uı (ı > 0). 如果
@2ij
(X0) 是严格正定的, 则当 ı 充分小时, 证
33
明如下极限存在并求之:
•
lim
3
t2
t !+1
e t (x1;x2;x3) dx1dx2dx3:
Uı
9. (30 分) 将 (0; ) 上常值函数 f (x) = 1 进行周期 2 奇延拓并展为正弦级数:
dt,
0t
且
考试科目：数学分析
整理：Xiongge，2px4第1页 共1页 Nhomakorabeaf (x)
4 X 1 1 sin(2n 1)x: n=1 2n 1
该 Fourier
lim
n!1
Sn(x
)
级数的前 = 1. 证明
n 项和记为 Sn(x), 则 8x Sn(x) 的最大值点是 2n 且
2 (0; ); Sn(x) =
lim
n!1
Sn
Á2 =
2n
2 Z
Z x sin 2nt 0 sin t sin t dt .
1. (10 分) 证明
lim
Z 2
sinn x
p
dx = 0.
n!+1 0
2x
2.
(10
分)
证明
X 1 1 n=1 1 + nx2
sin
x n˛
在任何有限区间上一致收敛的充要条件是
˛>
1. 2
X 1
X 1
X 1
3. (10 分) 设 an 收敛. 证明 lim ann s = an.
n=1
s!0+ n=1
n=1
4. (10 分) 称 (t ) = (x(t ); y(t )), (t 2 属于某个区间 I ) 是 R2 上 C 1 向量场 (P (x; y); Q(x; y)) 的积分曲线, 若 x0(t ) = P ( (t )),y0(t ) = Q( (t )); 8t 2 I , 设 Px + Qy 在 R2 上处处非 0, 证明向量场 (P; Q) 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).