2018数学湘教版必修1课件：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.3.1-2.3.2 精品
幂函数指数函数对数函数比较大小 ppt课件
（1）定义域：R （2）值域：（0， +）
（3）单调性：当01时，指数函数在定义域上是减函数 当1时，指数函数在定义域上是增函数
（4）奇偶性：非奇非偶
幂函数指数函数对数函数比较大小
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• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
湘教版高中数学必修一对数函数相关课件
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.
而已知条件中并未指出底数a与1哪个大, 因此需要对底数a进行讨论:
图像都经过 (1,0) 点
1 的对数是 0
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像㈡的纵则正坐好标相都反小于0; 自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
当当当底底a＞数数1a0时＞＜,1a时＜1时00＜＜xx＞＞xx＜＜11 ,,11则则,,则 则lloolgglooaaggxxaa＞＜xx＞＜0000 y当＝0l＜ogaa＜x在1时(0,,+∞)是增函数
当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1＜log a5.9
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,
其中x是自变量.函数的定义域是 R.
a>1
0<a<1
y y=ax
y=ax
y
图
(a>1)
(0<a<1)
y=1
y=1
(0,1)
(0,1)
最新-高中数学 18《函数的概念和性质》课件 湘教版必修1 精品
s in x
x
,
x0 .
1 , x 0
2)
f
(
x)
s
in x
x
,
x0 .
1 , x 0
3)
f
(
x)
s
in
1 x
,
x0 .
a , x 0
解：1)
4)
f
(x)
x
s
in
1 x
,
x0 .
a , x 0
（a为任意实数）
lim f ( x) lim sin x 1
x0
x0 x
lim f ( x) f (0), x 0是连续点.
定理 2(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0), 那末至少有一点 (a b) ，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
线弧与 x轴至少有一个交点.
y f (x) 1 2 3 b x
【数学】１．２《函数的 概念和性质》精品课件 （湘教版必修1）
函数的概念与性质
1、函数的连续性 2、函数的间断点 3、 闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.概念 设函数 f ( x)在U ( x0 ,)内有定义.
y
曲线不断
0
y f (x)
y
y
y f (x)
y
曲线断开
x
x
x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
2018版高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.3.1幂函数的概念2.3.2幂函数的图象和性质课件湘教版必修1
已知幂函数 f(x) ＝ xα 的图象经过点 (9,3) ，则
f(100)＝________. 10 解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，
1 1 ∴α＝ ，∴f(x)＝ x ，∴f(100)＝100 2 ＝10. 2
1 2
要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数
y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2， 1 ± 四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( 2 1 1 1 1 A.－2，－ ， ，2 B.2， ，－ ，－2 2 2 2 2 )
1 4
1 4
解 0.25
1 1 ＝ 4 4
＝2 ，6.25 ＝2.5 .
1 2
1 4
1 2
∵y＝x ∴2
1 2
1 2
是[0，＋∞)上的增函数，且 2＜2.5，
1 2
1 4
＜2.5 ，即 0.25
＜6.25 .
1 4
(4)0.20.6与0.30.4.
解 由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6， 又y＝0.3x是减函数，
1 1 C.－ ，－2,2， 2 2
1 1 D.2， ，－2，－ 2 2
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.
注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时
看|n|的大小.
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，
n越大，y＝xn递增速度越快， 1 故 c1 的 n＝2，c2 的 n＝ ，当 n＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭， 2 1 所以曲线 c3 的 n＝－ ，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B. 2 答案 B
规律方法
1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不
高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.1 指数概念的推广课件 湘教版必修1
4.式子n a叫作 根式 (n∈N，n≥2)，n 叫作 根指数， a 叫作 被开方数 .一般地，有(n a)n＝ a .当 n 为奇数时，n an＝a； 当 n 为 偶数 时，n an＝|a|.
5.当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定
m
n am＝ a n
，1＝
m
an
.
n am
6.规定0的正分数指数幂为0,0没有 负分数 指数幂，在a＞0时， 对于任意有理数m，n仍有公式
3 (2)
ab2
ab3(a，b＞0)；
3
33
3 57
解 原式＝ ab2·a 2 b 2 ＝ a 2 b 2
5 71
57
＝(a 2 ·b 2 ) 3 ＝a 6 b 6 (a，b＞0)；
4 22 (3)( b 3 ) 3 (b＜0)；
212
1
解 原式＝b 3 × 4 × 3 ＝(－b) 9 (b＜0)；
跟踪演练1 化简下列各式. 5
(1) －25； 5
解 －25＝－2.
4 (2) －104；
4 解 －104＝|－10|＝10.
4 (3) a－b4. 解 4 a－b4＝|a－b|＝a－b，a≥b，
b－a，a＜b.
要点二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
3 (1)
4 a·
[知识链接]
1.4的平方根为 ±2 ,8的立方根为 2 .
2.23·22＝ 32
，(22)2＝ 16
，(2·3)2＝36
，
25 23
＝
4
.
[预习导引]
1.把n(正整数)个实数a的连乘记作 an ，当a≠0时有a0＝ 1 ，
高中数学2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件新人教A必修1
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
则实数m的值是____．
2．3 幂 函 数 2．3.1 幂函数的图象、性质与应用
栏 目 链 接
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质．
2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂 函数的图象和性质．
3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并 能进行简单的应用．
栏 目 链 接
题型1 幂函数概念的理解应用
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5，∴
31.4<51.5.
题型3 求幂函数的解析式
例3 幂函数f(x)的图象过点(3，4 27)，求f(x)的表达式．
解析：设f(x)＝y＝xα(α∈R)，则4 27 ＝3α，
栏 目 链
即334＝3α，∴α＝43，故f(x)＝x43.
即－17023>－ 22－23>1.1－43.
高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.2 第1课时 指数函数的图象和性质课件 湘教版必修1
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共
点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜
1 2
.
答案 (0，12)
要点三 指数型函数的定义域、值域
例3 求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝2 x4 ； 解 由x－4≠0，得x≠4，
1
故 y＝2 x4 的定义域为{x|x∈R，且 x≠4}. 1
规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象 可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点 (0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.
跟踪演练2 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( )
[知识链接] 1.ar·as＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ ar·br . 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2 个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得 到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为 y＝2x ， x∈{0,1,2，…}.
又 1 ≠0，即 2 x4 ≠ห้องสมุดไป่ตู้， x－4 1
故 y＝2 x4 的值域为{y|y＞0，且 y≠1}.
(2)y＝ 1－2x； 解 由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0， ∴y＝ 1－2x的定义域为(－∞，0]. 由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y＝ 1－2x的值域为[0,1).
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底 数 a 为 大 于 0 且 不 等 于 1 的 常 数 ； (2) 指 数 位 置 是 自 变 量 x ； (3)ax的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
湘教版高中数学必修一课件2-2-3对数函数的图象和性质必修1
∴0<4x－3≤1.解得34<x≤1.∴定义域是x34<x≤1
2x＋3>0， (3)要使函数有意义，必须x3－x－1>1>0，0，
3x－1≠1
同时成立，
x>－32， x>1， 解得x>13， ∴x>1.∴定义域为(1，＋∞)． x≠23.
点评 (1)求与对数函数有关的定义域问题，首先要考 虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有 x，还要考虑不能使分母为零． (2)函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都 不能丢掉，然后求解．对于像f(x2－2)的复合函数，必须 先求得函数f(x)，这时才能求f(x)的定义域．以上所谈的两 点，都是易犯错误的地方，解题时请予以特别注意．
D.23，1
解析 由已知 log1(3x－2)≥0，得 0<3x－2≤1 2
∴23<x≤1. 答案 D
( )．
3． 已知函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的值域为R，则x的取 值范围是________________． 解析 由已知得x＋1>0，∴x>－1. 答案 (－1，＋∞)
当a>1时，递增； 0<a<1时，递减
对数函数y＝logax _(0_，__＋__∞__)_
2018版数学课堂讲义湘教版必修一课件：专题2 指数函数
对应的对数函数的底数越大.
跟踪演练2 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( D ) A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
解析 令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1， 故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1).
解析
2x＋1＞0， 由题意有 2x＋1≠1，
3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0， (1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与___________________
且a≠1) 互为反函数. _________
(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成
x＝f(y)，再把y解出来，表示成 y＝g(x) 的形式，如果这种
4 3 1 所以 c1、c2、c3、c4 对应的 a 值分别为 3、 、 、 ，故选 A. 3 5 10 答案 A
规律方法 函数y＝logax(a＞0且a≠1)的 底数变化对图象位置的影响. 观察图象，注意变化规律： (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a图象向右越靠近x轴.
函数值的 当x＞0时， y＞1 ； 当x＞0时， 0＜y＜1；
[预习导引] 1.对数函数的概念 y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1) 叫作 ( 以 a 为底的 ) 把函数 ___________________________ (0，＋∞) 对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_________.
2.对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域 性 质 过点 变化
(0，＋∞) R
过点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，________ y＞0 y＜0 当x＞1时，_______
2018数学湘教版必修1课件：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 第2课时 精品
解 ∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
1＋x＜1－x，
∴1＋x＞0，
解之得－1＜x＜0.
1－x＞0，
∴使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}.
1.函数y＝ln x的单调递增区间是( B )
2
同理当 x∈[0,1)时，y＝ log 1 (1－x2)是增函数.
2
故函数 y＝ log 1 (1－x2)的单调增区间为[0,1)，
2
且函数的最小值 ymin＝ log 1 (1－02)＝0.
2
规律方法 1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树 立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域. 2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证； (2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的 单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性.
课堂小结 1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是 对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一 般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解. 2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的 原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题 中的应用.
(3)log30.2，log40.2； 解 方法一 因为0＞log0.23＞log0.24， 所以log10.23＜log10.24，即 log30.2＜log40.2. 方法二 如图所示
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)log3π，logπ3. 解 因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3， 所以log3π＞log33＝1. 同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
2018数学湘教版必修1课件：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 章末复习提升 精品
3.函数与方程 (1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0 时有两个相等实根；当Δ＜0时无实数根. (2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐 标，也叫作函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数 y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标. (3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.
g(2)、g(3)、g(4)的符号.设g(x)＝x3－22－x，
则 g(0)＝－4，g(1)＝－1，g(2)＝7，g(3)＝2612，g(4)＝6334， 显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)的零点， 即 y＝x3 与 y＝12x－2 的图象的交点在(1,2)上. 答案 B
题型五 分类讨论思想 本章常见分类讨论思想的应用如下表：
例4
已知 a 是函数 f(x)＝ 2x
-
log 1
2
x
的零点，若
0＜x0＜a，
则 f(x0)的值满足( )
A.f(x0)＝0
B.f(x0)＞0
C.f(x0)＜0
D.f(x0)的符号不确定
解析 如右图所示，是 y＝2x 与 y＝ log1 x 的图象， 2
显然两个图象的交点的横坐标为a，
于是在(0，a)区间上，y＝2x的图象在
题型一 有关指数、对数的运算问题 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是 本章考查的重要题型，也是高考的必考内容. 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数， 根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式 分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围 的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质， 并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对 数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.
湘教版高中数学必修一课件2.3《幂函数》
值域 奇偶性
单调性
R ［0,+∞）
奇
增
偶
在[0，+∞)上增 在(-∞，0]上减
奇 增
(1,1) (0,0)
非奇
非偶
奇
在（0，+∞）上减 在（-∞，0）上减
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
增
(1,1) (0,0)
(1,1) 公共点 (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
结合以上特征得幂函数的性质如下:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
t
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示, 则它们的函数关系式将是:
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。
y x2
4 3
y x3
yx
2
yx
(1,1)
1 2
(-1,1)
1
yx
4
1
6
-4
-2
2
(-1,-1)
-1
-2
从图象能得出它 们的性质吗?
-3
观察幂函数图象，填表
y=x 形状 定义域 R R R ［0,+∞） R ［0,+∞） {x|x≠0} {y|y≠0} y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
C4
-1，1/2，2，3
y
C3
C2
1
C1 1 x
o
探究2
高中数学 2.3《幂函数的性质》课件 湘教版必修1
二、幂函数性质的探究：
对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， 1，–1 时的 2
情形。
1
即：y x, y x2 , y x 3 , y x 2 , y x 1
探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何 研究幂函数呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质
幂函数
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为
1
那么y=__x__2__.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
R
R
[0，+∞）
R
1
y x2
[0，+∞）
[0，+∞）
y x1
{x| x ≠ 0}
{y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数
R上是 单调性 增函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函 奇函数 数
在（－∞,0]上 是减函数， 在[0, +∞）上 是增函数
在（ －∞,0）和
R上是增 在[0，+∞）上 (0, +∞）上是减
速度为y公里/秒，那么y=__x__1__
以上问题中的函数具有什么共同特征？
y = x y = x2 y = x3
1
y x2
y x1
共同特征：函数解析式是幂的形式，且 指数是常数，底数是自变量。
新课 一、幂函数的概念
一般地，函数 y x叫做幂函数，
2018数学湘教版必修1课件：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.1 精品
2.对数的运算法则
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN . (2)logaMn＝ nlogaM (n∈R). (3)logaMN＝ logaM－logaN .
3.常用对数与自然对数 (1)以 10 为底的对数叫作常用对数，log10N记作lg N . (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数叫作 自然 对数. logeN通常记为ln N.
4.对于同底的对数的化简常用方法是： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差). 5.对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题. 6.对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值.
解 原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
＝－1.
(3)log2 478＋log212－21log242；
解
原式＝log2
7×12
48×
＝log22 42
1 2
＝－12.
(4)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3. 解 原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5 ＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2 ＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
因此 a＝b，而 log23 3＞log22＝1，log32＜log33＝1， 所以a＝b＞c，故选B. 答案 B
12 345
4.若ln(lg x)＝0，则x＝___1_0____. 解析 由已知得lg x＝1，所以x＝10.
高中数学第2章指数函数、对数函数和幂函数2.1指数函数命题与探究素材湘教版必修1
2.1指数函数问题探究问题1指数函数的走势是由什么来决定的？探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结. 应该明确是底数来决定指数函数的走势:(1)当a>1时,函数图象在第一象限的值随a 值的增大而增大,图象越靠近y 轴.如图2-1-1所示.(2)当0<a<1时,函数图象在第二象限的值随a 值的增大而减小,图象越靠近y 轴.如图2-1-2所示.图2-1-1 图2-1-2问题2对于指数函数y=a x(a>0且a ≠1),有人总结出其底数a 越接近1,其图象就越接近直线y=1,你认为该结论成立吗？探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x 、y=3x 和y=5x的图象,根据图象能看出该结论是正确的. 典题精讲例1:计算下列各式: (1)432981⨯;(2)(253)0+2-2·(24121)--(0.01)0.5.思路分析:第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数. (1)解法一:432981⨯=421322)9(9⨯=.39)9(996712741374374312====⨯解法二: 432981⨯=.3333818181818166724284646743===⨯==⨯(2)解:(253)0+2-2·(24121)--(0.01)0.5=1+41×(9421)-(100121)=1+41×32-1516101 .例2:指数函数①f(x)=m x;②g(x)=n x满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( )图2-1-3思路解析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解法一:由0<m<n<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是C 或D,进而再判断①②与n 和m 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,①②对应的函数值分别为m 和n,由m<n 可知应选C.图2-1-4解法二:只要按照题目条件的要求来取m 和n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是正确的选项. 取m=21,n=31的草图(如图2-1-4所示),则见m 在左上方,n 对应的图象在右下方,对应的选项是C.答案:C例3:比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2. 思路分析:此题考查指数函数的单调性.对y=a x,当0<a<1时,函数为减函数;当a>1时,函数为增函数.结合相应图象可顺利解题.解:(1)1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,图象如图2-1-6,当x=2.5和3时的函数值.因为1.7>1,所以函数y=1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73.图2-1-6 图2-1-7(2)0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,图象如图2-1-7,当x=-0.1和-0.2时的函数值.因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.例4:富兰克林(Benjamin Franklin,1706～1790)是美国著名的科学家、社会活动家,他的业绩遍及十九个科技领域.“你热爱生命吗？那么别浪费时间,因为时间是组成生命的材料.”就是这位科学家留下的名言.这位科学家死后只留下了一千英磅的遗产,然而他却留下了几十万英磅的遗嘱,这份有趣的遗嘱内容是这样的:“……一千英磅赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些钱过了100年增加到131 000英磅.我希望那时候用100 000英磅来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英磅拿去继续生息100年……”请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗？思路分析:要想判断富兰克林的遗嘱能否实现,需计算100年后他留下的1 000英磅的本息和.这是一个指数函数问题.解:设经过x年后这1 000英磅的本息和为y,则有y=1 000(1+5%)x,当x=100时,计算得y=131 501.26.因此,富兰克林的遗嘱能实现.例5:某债务市场发行三种债务券,P种面值为100元,一年到期本息和为103元;Q种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;R种面值为97元,一年到期本息和为100元,作为购买者,分析三种债券的收益,从小到大的排列为( )A.Q,P,RB.P,R,QC.P,Q,RD.R,P,Q思路解析:设这三种面值的半年利率分别为x、y、z,则按前面说的模型可知100(1+x)2=103,50(1+y)=51.4,97(1+z)2=100.经计算比较可知y>z>x.答案:B。
高中数学 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.3幂函
2.3幂函数问题探究问题 如何理解分数指数幂nm a 的意义? 探究:分数指数幂nm a 不可理解为nm个a 相乘,它是根式的一种新的写法.规定nm a =n ma (a>0,m 、n 都是正整数,n>1), nm a-=nmnm aa11=(a>0,m 、n 都是正整数,n>1),在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视m 、n 的具体数而定. 典题精讲 例1:若(a+121)-<(3-2a 21)-,则a 的取值范围是___________.思路解析:因为函数y=21x 在[0,+∞)上单调，所以y=212-在[0,+∞)上单调减，所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+.023,01,231a a a a解得32<a<23. 答案:( 32,23)例2:已知0<a<1,试比较a a,(a a )a,)(a a a的大小.思路分析:利用幂函数和指数函数的性质求解.解:为比较a a 与(a a )a 的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=x a(0<a<1)在区间[0，+∞)上是增函数，因此只需比较底数a 与a a的大小.由于指数函数y=a z(0<a<1)是减函数,且a<1,所以a<a a从而a a<(a a )a.比较a a 与(a a )a 的大小,也可将它们看成底数相同(都是a a)的两个幂,于是可以利用指数函数y=b x (b=a a ,0<b<1)是减函数,由a<1,得到a a <(a a )a.由于a<a a,函数y=a z(0<a<1)是减函数,因此a a>(a a).综上,得)(a a a< a a <(a a )a.例3:图2-3-2中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象,已知α取±2,±21四个值,则对应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的指数α依次为( )图2-3-2A.-2,-21,21,2 B.2, 21,-21,-2 C.- 21,-2,2, 21 D.2, 21,-2,- 21思路解析:要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大,幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由低向高依次为C 1,C 2,C 3,C 4,所以α依次为2, 21,-21,-2,故选择答案B. 答案:B例4:画函数y=1+x -3的草图,并求出其单调区间.思路分析:此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图,二是利用坐标系的平移来作图.一般说来,作草图时,利用坐标平移较为方便.解:由y=1+x -3,得y-1=x -3,∴y=)3(--x +1. 此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=x 的图象,作其关于y 轴的对称图象,即y=x -的图象,将所得图象向右平移3个单位,向上平移1个单位,即为y=1+x -3的图象(如图2-3-3所示).图2-3-3例5:若幂函数f(x)=322--m m x (m ∈Z )的图象与坐标轴没有公共点,且关于y 轴对称,求f(x)的表达式. 思路分析:要求幂函数y=322--m m x(m ∈Z )的解析式,也就是求整数m,考虑到该幂函数的图象特征:1°与坐标轴无公共点,2°关于y 轴对称,可知指数m 2-2m-3≤0且m 2-2m-3为偶数(m ∈Z ),容易解得m 的值,进而得到f(x). 解:由题意知,幂函数f(x)= 322--m m x(m ∈Z )在第一象限内递减(或无增减性),且为偶函数,∴m 2-2m-3≤0,且m 2-2m-3为偶数,m ∈Z .由⎩⎨⎧∈≤--,,0322Z m m m 得m=0,1,2,-1,3. 又m 2-2m-3=0为偶数, ∴m=-1或1或3.当m=-1或3时,f(x)=x 0(x ≠0);当m=1时,f(x)=x -4(x ≠0).。
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.4.1方程的根与函数的零点课件湘教版必修1
答案 C
规律方法
1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点
存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的 判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)· f(b)＜0， 则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)· f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上 不一定没有零点.
2.函数零点的存在性定理
设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时， f(b)＜0 ，则方程f(x)＝0在(a，b) 如果f(x)连续变化而且 f(a)·
内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
要点一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)＝x2＋7x＋6； 解 解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； 解 解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数的零点是－1.
第2章——
2.4 函数与方程
2.4.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.知道函数零点的定义，会求函数的零点. 2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性 及存在区间. 3.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况. 4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现
两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点. 答案 B
1 2 3 4 5
1.函数 y＝4x－2 的零点是( D ) A.2 B.(－2,0)
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_奇___
x∈[0，＋∞)
__递__增___；
x∈(0，＋∞)_递__减_；
单调性 _递__增_ x∈(－∞，0] _递__增__ _递__增_ x∈(－∞，0)_递__减__
__递__减____
定点
__(_1_,1_)___
要点一 幂函数的概念 例1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数， 当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求. ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
D.2，12，－2，－12
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.
注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时
看|n|的大小.
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，
n越大，y＝xn递增速度越快， 故 c1 的 n＝2，c2 的 n＝12，当 n＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭， 所以曲线 c3 的 n＝－12，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B. 答案 B
1
y＝x 2 y＝x－1
图象
__(－__∞__，__0_)__
定义域 R
R
R _[0_，__＋__∞__)_
_∪__(0_，__＋__∞__)_
值域
__{_y_|_y∈__R__，___ R _[0_，__＋__∞__)_ R _[_0_，__＋__∞__) ___且__y_≠__0_}___
奇偶性 _奇__ _偶___ __奇__ _非__奇__非__偶__
1
B.y＝x 2
5
C.y＝ x 3
2
D.y＝x 3
2
解析 y＝x 3 ＝3 x2，其定义域为 R，值域为[0，＋∞)，
故定义域与值域不同.
12 345
3.设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为
奇函数的所有 α 值为( A )
A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
跟踪演练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象， 则( ) A.－1＜n＜0＜m＜1 B.n＜－1,0＜m＜1 C.－1＜n＜0，m＞1 D.n＜－1，m＞1
解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点， 如图所示.根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
答案 B
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接]
函数 y＝x，y＝x2，y＝1x(x≠0)的图象和性质
函数
图象
定义域 值域 单调性 奇偶性
y＝x
__R__ R _递__增___ _奇___
y＝x2 y＝1
x
在_(_－__∞__，__0_)
R
_[0_，__＋__∞__)_
上递减 在_[_0_，__＋__∞__)
而c＝(－2)3＝－23＜0，∴a＞b＞c.
12 345
5.幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数， 则实数m＝___2_____. 解析 ∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数， 当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意. 综上可知m＝2.
规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不 出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻. 2.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x. 这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函 数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以 防出错.
跟踪演练1 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则 f(100)＝___1_0____. 解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，
规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同 而底数相同，则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相 同，是否可以引入中间量.
跟踪演练3 比较下列各组数的大小： (1)230.5 与350.5； 解 ∵y＝x0.5 在[0，＋∞)上是增函数且23＞35， ∴230.5＞350.5. (2)－3.143与－π3；
1
1
(3)0.25 4 与 6.25 4 ；
解
1
0.25 4
＝14
1 4
＝2
1 2
1
，6.25 4
＝2.5
1 2
.
1
∵y＝x 2 是[0，＋∞)上的增函数，且 2＜2.5，
∴2
1 2
＜2.5
1 2
，即
1
0.25 4
＜6.25
1 4
.
(4)0.20.6与0.30.4. 解 由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6， 又y＝0.3x是减函数， ∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.
规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1 的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象 限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小 变大.(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在 第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下 凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内， 曲线下凸.
∴α＝21，∴f(x)＝
x
1 2
1
，∴f(100)＝1002
＝10.
要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数
y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，
±12 四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－21，－2
C.－21，－2,2，12
_偶__
上递增
在(－∞，0)
_{_x|_x_≠__0_}_ {y|y≠0} 上__递__减__ _奇__ 在(0，＋∞)
上_递__减__
[预习导引]
1.幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作(α次
的) 幂函数 .
2.幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2
y＝x3
课堂小结 1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数 正好相反，底数是常数，指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指 数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的 指数由大变小.
3.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时， 函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减 函数.
第2章——
2.3 幂函数 2.3.1 幂函数的概念 2.3.2 幂函数的图象和性质
[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
x
1 2
的图象，掌
握它们的性质. 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
要点三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
1
1
(1)13 2 与14 2 ；
1
解 ∵y＝ x 2 是[0，＋∞)上的增函数，且31＞41，
1
1
∴13 2 ＞14 2 .
(2)－23－1 与－35－1； 解 ∵y＝x－1 是(－∞，0)上的减函数，且－23＜－35， ∴－23－1＞－35－1.
解析 可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，
又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.
12 345
3
3
4.若 a＝(12) 5 ，b＝(15) 5 ，c＝(－2)3，则 a、b、c 的大小关系
为_a_＞__b_＞__c_.
3
解析 ∵y＝x 5 在(0，＋∞)上为增函数.
3
3
∴(12) 5 ＞(15) 5 ，即 a＞b＞0.
解 ∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
3
1
(3)12 4 与34 2 .
3
1
解 ∵y＝12x 是减函数，∴12 4 ＜12 2 . Nhomakorabea1
y＝ x 2 是[0，＋∞)上的增函数，
∴34
1 2
＞12
1 2
.∴34
1 2
＞12
3 4
.
1.下列函数是幂函数的是( B )
12 345
A.y＝5x
B.y＝x5
C.y＝5x
D.y＝(x＋1)3
解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；
函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；
函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；
函数y＝x5是幂函数.
12 345
2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( D )
1
A.y＝ x 3