面面垂直 高二数学 立体几何.
高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
证法二：∵SA=SB=SC=a,又 ∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D， ∵AB=AC=AS, ∴D为△BSC的外心. 又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
2 3
.
即CE与底面BCD所成角的正弦值为
2 3
.
【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是： 在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线， 连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出 斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大 小，同时要注意其取值范围.
在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE，
图2-4-2
返回目录
∴SA⊥BC. 又∵AD⊥BC,AD∩AS=A, ∴BC⊥平面SAD.
∵SH 平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC.
【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC2 -CD=2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
立体几何线面与面面垂直的证明
那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这 个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】 题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形， 下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
高二第4讲 空间中的垂直关系(教师版)
第4讲空间中的垂直关系（教师版）一．学习目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．二．重点难点：重点：线面与面面垂直的判定．难点：线面与面面垂直的证明，特别是通过计算证明垂直关系．三．知识梳理：1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直垂直于同一个平面的两条[探究] 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直2.平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平[探究] 2..垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．3．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．四．典例剖析：题型一线面、面面垂直判断题例1（1）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直则直线l与平面α不垂直．[思路探索] 利用线面垂直的定义并结合反例法，反证法判断．解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确．答案③④（2）(2012·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)下列错误的是( )A．如果平面α⊥平面γ，如果平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线垂直于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直β解析：D中当过交线上任意一点作交线的垂线不在平面α内时，此垂线不垂直β，故选D.（3）(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B 由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．课堂小结：(1)线面垂直的定义不易用来判定线面垂直，但能利用它判定线面不垂直．(2)要注意定义的等价性．课堂练习1：（1）下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3答：B（2）下列命题错误的是________(填序号)．①若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l与α的所有直线垂直；③过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个；④a、b为异面直线，a∥α，b∥α，若l⊥a，l⊥b，则l⊥α.解析②③④正确，①不正确．答案①（3）(2012·金丽衢十二校第二次联考)已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件时，m⊥β.(填符合条件的序号)解析：当m⊥α且α∥β时，m⊥β，即应当填②⑤.题型二线面垂直的证明——————常运用线面垂直的判定定理证例2（等腰三角形中线即高证垂直）（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA ⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明:BD ⊥面PAC ; （2）（3）（略）证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; 课堂练习2：（勾股定理证垂直）（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图 4【答案】(1)在等边三角形ABC中,AD AE=AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF-中也成立,//DE BC∴,DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,//DE∴平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF BC⊥①,12BF CF==.在三棱锥A BCF-中,2BC=,222BC BF CF CF BF∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF,结合(2)可得GE DFG⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF--⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⎝⎭题型三线线垂直的证明——————常转化为证线面垂直例3：（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C-中,CA CB=,1AB AA=, 160BAA∠= .(Ⅰ)证明:1AB AC⊥;(Ⅱ)若2AB CB==,16AC=,求三棱柱111ABC A B C-的体积.【答案】(I)取AB的中点O,连接OC O、1OA O、1A B,因为CA=CB,所以OC AB⊥,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故,AA B∆为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC⨅OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB⊥AC. (II)由题设知12ABC AA B∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B都是边长为的等边三角形，所以2211111.OC OA AC AC OA OA OC ==+⊥又，故111111111,--= 3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC的体积课堂练习3：（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD-∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.(I)证明:;PB CD⊥(II)（略）【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.由PAB∆和PAD∆都是等边三角形知PA=PB=PD, [来源:学科网]所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, OE BD⊥,从而PB OE⊥.因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD⊥.题型四面面垂直的证明——————常转化为证线面垂直例4（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中,,,分别为的中点(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:课堂练习4：（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD ，所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD[来源:学§科§网]所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.题型五线面、面面垂直探究问题例5（2012北京文）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点, 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A 1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决.第三问的创新式问法,难度比较大.解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.课堂练习5：（2012北京理）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB 上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)（略）(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.、、【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1) CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD , 又 1AC ⊂平面1A CD , ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥, ∴1AC ⊥平面BCDE (3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，,()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z = ，，,则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =- ， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =-∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直五．品味高考（家庭作业）：1.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）yCA ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知为异面直线,平面,平面.直线满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．,且B ．,且C ．与相交,且交线垂直于 D ．与相交,且交线平行于【答案】D3.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A4.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II) （略）【答案】（略）5.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC ，同理:FG∥平面ABC 又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC(2)∵平面⊥SAB 平面SBC ，平面SAB 平面SBC =BCAF ⊆平面SABAF⊥SB ，∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC 又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA6.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ)（略）【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.COBDEC DO BE'A 图1 图2ABCSGFE连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==，由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE .7.（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ; (Ⅱ) （略）解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为, 在正方形ABCD中，BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)8.（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，1AC D OB E'A H,连接CE 并延长交AD 于F .(1) 求证:AD CFG ⊥平面;解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====, 故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .。
怎么证明面面垂直
怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE21利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4(平行公理)。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。
2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。
3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。
必修二立体几何面面垂直(课堂PPT)
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2 判定定理： 要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
5
说一说 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检
查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。
大家能否说出这墙面 与地面垂直的依据吗？
§9.7.3 面面垂直
大家能否判断这墙面 是否和地面垂直？
1
问题引入 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检
查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知 道其中的理论根据吗？
——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。 2
两个平面垂直的定义： 相交成直二面角的两个平面, 叫做互相垂直的平面．
6
议一议
α
请判断命题的真假？
A D
B
假
β
C
7
猜一猜
α
A D
B
β
C
α
A D
B
β
C
8
面面垂直性质定理的证明： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于
它们的交线的直线垂直于另一个平面．
α
A D
BE
β
C
9
面面垂直应用： 例1.
10
面面垂直应用： 练习1.
11
面面垂直应用： 例2.
12
面面垂直应用： 练习.
13
面面垂直应用：
课堂训练
1.
B
2. D
14
面面垂直应用： 作业 1.
2.
15
忆一忆
面面垂直的性质
面面垂直的性质
面面垂直性质定理如下：
性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
其判定定理是：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。
即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。
面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
垂直的性质是如下：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直一定会出现90°。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
垂直是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。
第九章 立体几何9-5线面、面面垂直的判定及性质
∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾． ∴DE与平面ABC不垂直． 点评：①“折叠”问题一定要弄清折迭前后， 图形的哪些位置与数量关系发生了变化，哪 些没有发生变化． ②探索某种位置关系是否具备，通常是先假 定具备这种位置关系，然后结合条件进行推 理，如果产生矛盾，则不具备这种位置关系， 否则具备这种位置关系．
2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与
平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面
与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无
数条直线与已知平面平行，这无数条直线在
同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有 一个平面与已知平面平行”；“经过直线外 一点有且仅有一条直线l与已知直线平行，
4．两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面 有无数个平面与已知直线平行，这无数个平 ．． 作垂线，则垂足必落在交线上． 面的交线为l”弄混错用．
(3)解：∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F， ∴BF⊥平面CDEF， 即BF⊥平面DEF. ∴BF为四面体B—DEF的高．
又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2. 四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2. 1 1 2 ∴S△DEF＝ (1＋2)× 2－ ×2× 2＝ 2 2 2 1 2 1 ∴VB—DEF＝3× 2 × 2＝3.
(文)在空间中，用x、y、z表示不同的直线或 平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立， 则x、y、z分别表示的元素是( ) A．x、y、z都是直线 B．x、y、z 都是平面 C．x、y是平面，z是直线 D．x是直线，y、 z是平面 解析：垂直于同一条直线的两直线不一定平 行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不 一定平行，故B错；一条直线与一个平面都 和同一个平面垂直时，直线可能在平面内， 故C错．由线面垂直的性质知，D正确．
立体几何中的面面垂直
硕果累累
1、本节课的主讲内容是： 2、学生的学习状态（收获与不足） 3、针对学生的不足之处，老师的一个合理化建议是什么
(2)当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD. 证明如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O.
因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所 以 MC∥OP.MC⊄平面 PBD，OP⊂平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD.
课后练习
2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP ＝90°。
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 P-ABCD 的体积为83，求 该四棱锥的侧面积．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
[解] (1)证明：由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥ CD，BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM.
因为 M 为C︵D上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM⊂平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)找二面角的平面角的方法 ①垂面法:由二面角的平面角的定义知,只需作与棱垂直的平面,则该平面与 两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角. ②定义法:先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线,然后平移到一起, 两射线的夹角即二面角的平面角.
立体几何垂直的证明方法【线线垂直+线面垂直+面面垂直】【20210210】
空间点、线、面的位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .②若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.线面垂直1.如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点.求证：BG ⊥平面PAD .线线垂直1、如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：PF ⊥AD ．2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥3、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；4、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C Ð=°,平面11AA B B ^平面11BB C C 。
必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直2
1立体几何空间点、线、面的位置关系1．五种位置关系，用相应的数学符号表示（1）点与线的位置关系：点A 在直线l 上 ；点B 不在直线l 上 （2）点与面的位置关系：点A 在平面a 内 ；点B 在平面a 外 （3）直线与直线的位置关系：a 与b 平行 ；a 与b 相交于点O（4）直线与平面的位置关系：直线a 在平面a 内 ；直线a 与平面a 相交于点A ；直线a 与平面a 平行（5）平面与平面的位置关系：平面a 与平面b 平行平面a 与平面b 相交于a平 行 问 题（一）直线与直线平行1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行2.判定两条直线平行的方法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4），记为a//b,b//c Þ a//c（2）线面平行的性质定理：）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，如果一条直线和一个平面平行，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，经过这条直线的平面和这个平面相交，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线那么这条直线和交线平行。
记为：//,,//a a b a b a b a b Ì=Þ．（3）两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行 （二）直线与平面平行1.定义：直线a 与平面a 没有公共点，称直线a 平行与平面a ，记为a//a2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
定理模式：．a a a ////ab a b a ÞïþïýüÌËE BCD AP3、*找线线平行常用的方法：①中位线定理 ②平行四边形 ③比例关系 ④面面平行-线面平行① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．（1）证明：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点∴在⊿EAB 中，//GH AB 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD ，∵HG Ë平面CDE ，CD Ì平面CDE ∴GH ∥平面CDE（2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .∵6BC =, ∴6FA = 又∵2,42CD DB == ，222CD DB BC +=∴BD ⊥CD ∴ABCDS CD BD =×＝82∴F ABCD V -=13ABCDS FA ×＝18261623´´=3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ^底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
立体几何线面垂直的证明
立体几何证明【知识梳理】1.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）2.．直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（线面垂直⇒线线垂直）性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.三。
平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1.平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）知识点一 【例题精讲】1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。
（1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V.2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．4、.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；练习1、如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．2.如图14所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥平面BCG；3.如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；4、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:平面EDB⊥平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；2.求证BE 垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=．（1）求证：AC⊥MD；（2）求四棱锥M﹣ABCD的体积．作业1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；2、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；AD，E，4、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=12F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．5、如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=．（1）证明：CD⊥SD；6.如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，CB=CD ，SC ⊥BD ．（Ⅰ）求证：SB=SD ；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC ．7、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，234A E D B A A ===,现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .（1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF;AB CDEBCDEFP9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是。
立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)
点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。
例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。
（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。
高二数学面面垂直的判定和性质
α A
D
α A
β
B
C
D
β
B C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
发现 猜想 证明 证明 过程 结论 问题 发现
注
性质定理
猜想，得： 若增加条件ABCD，则命题为真，即
α 直线AB 平面 α 直线AB 平面 β 。 A 平面 α 平面 β CD D AB CD
A
D
β
E
AB BE AB CD
BE β CD β
AB β 。
B
C
BE CD B
证明过程 过程 结论 问题 发现 猜想 证明 证明
注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是： 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B
C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论
面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β ，要过平面 内一点引平面β 的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
作业
P.81：
1、习题：2、3、6；
2、课后总结。
2) 若PA=AB=a, AC
6 a，求二面角A PB C的大小。 3
2 a, PA PB a , 在Rt PAB中，AE 2 6 PA a, AC a, EE 3 15 在Rt PAC中，PC a, FF 3 AF 2 5 在Rt AEF中， sin AEF 。 AE 5
PA AC 10 AF a, PC 5
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
立体几何讲义(线面平行-垂直-面面垂直)
A B立体几何讲义 ——线面平行，垂直，面面垂直2、如图,在直三棱柱 ABC-AB i C i 中,D 为AC 的中点,求证：AB 〃平面BCQ ;3、如图，正三棱柱 ABC AEG 的底面边长是2,侧棱长是,'3, D 是AC 的中点.求证：B 1C//平面A 1BD .立体几何咼考考点： 选择题：三视图 选择填空：球类题型 大题 （1） 线面平行、面面平行 线面垂直、面面垂直 （2） 异面直线的夹角 线面角 面面角（二面角） （3）锥体体积 点面距离 【运用基本定理】【几何法、直角坐标系法】 【找到一个好算的高，运用公式】【等体积法】线面平行 1、如图所示，边长为 4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直, M 、Q 分别是PC , AD 的中点.求证：PA //面BDM P4、如图，在四棱锥 P -ABCD 中 ABCD 是平行四边形， M N 分别是AB, PC 的中点，求证： MIN/平面PADB/VNAB6、（2012）如图，直三棱柱7、【2015高考】 如图，三棱台 DEF ABC 中，AB 2DE , G , H 分别为AC , BC 的中点）求证：BD //平面FGHABC — A ' B ' C ',/ BAC = 90 ° AB 证明：MN //平面A ' ACC所在的平面，AD=PA=2 , CD=2 一 ?, E 、F 分别是 AB 、PD 的中点.求证： AF //AC = .2 AA ' = 1，点M 、N 分别为A ' B 和B ' C '的中点 5、如图，PA 垂直于矩形 ABCD 平面PCE ;1 •下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A. —个平面的一条直线平行于另一个平面；B. —个平面的两条直线平行于另一个平面C. 一个平面有无数条直线平行于另一个平面D. —个平面任何一条直线都平行于另一个平面2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面a ,则b与a的位置关系是（A.b //aB.b —aC.b与a相交D.以上都有可能3. 直线a, b,c及平面，，A.a// ,b B. a//4 .若直线m不平行于平面，A. 的所有直线与m异面C. 存在唯一的直线与m平行5.下列命题中，假命题的个数是（）C. a// c,b// cD. a// , f ，则下列结论成立的是（B. 不存在与m平行的直线D. 的直线与m都相交使a//b成立的条件是（,b//且m）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面的任何直线不相交；② 和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯----------- 个平面与A. 4B. 3C. 26、已知两个不重合的平面a，3给定以下条件：①a不共线的三点到3的距离相等；②I，m是a的两条直线，且③I，m是两条异面直线，且其中可以判定all 3的是（A .①B .②过平面外一点有且只有一条直线平行于同一条直线的两条直线和同一平平行D. 1 l // 3 m // 3l // a, l // 3, m / a, m // )C.①③3;D.③3、如图，P 为 ABC 所在平面外一点，Pl 面BAC, < ABC 90 , AE ^ PB 于E , A — PC 于 F ,求证：(1) BL 面 PAB, (2) AL 面 PBC ( 3) PL 面 AEF 。
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理是指，如果两个不共面的平面上的任意一条直线垂直于两个平面的交线，则这两个平面互相垂直。
这个定理可以帮助我们在解决立体几何问题时判断两个平面是否垂直。
要理解这个定理，首先需要明确什么是不共面的平面和交线。
不共面的平面是指两个平面不在同一个平面上，它们之间有一定的夹角。
交线是指两个平面的交集，通常是一条直线。
例如，有两个平面A和B，它们不在同一个平面上，它们的交线是直线L。
如果我们能够证明直线L垂直于平面A和平面B的交线，那么就可以得出平面A和平面B互相垂直的结论。
证明方法可以使用向量法或坐标法。
向量法是基于向量的投影和内积来判断平面的垂直关系，而坐标法则是基于平面的法向量来判断平面的垂直关系。
除了理论证明，这个定理还可以应用到实际问题中。
例如，在建筑设计中，如果需要在墙面上嵌入一个电视墙架，需要确保墙面和墙架垂直，否则会影响安装效果。
通过使用面面垂直判定定理，可以准确判断墙面和墙架之间的垂直关系，从而确保安装效果。
总之，立体几何面面垂直判定定理是一个重要的判定工具，可以帮助我们解决立体几何问题中的垂直关系。
熟练掌握这个定理，可以更快地解决立体几何问题，并在实际应用中提高工作效率。
- 1 -。