高考数学 双曲线
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解61 双曲线
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. 5．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k ＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1<k <5 B ．k >5 C ．k <－1 D ．k ≠－1或5 答案 C解析 若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线， 则⎩⎨⎧k ＋1<0，5－k >0，解得k <－1. 2．双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x 答案 C解析 依题意知，双曲线y 212－x 2＝1的焦点在y 轴上，实半轴长a ＝22，虚半轴长b ＝1，所以双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±22x .3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(x>2)B.x29－y25＝1(x>3)C.x29＋y25＝1(0<x<2)D.x29＋y24＝1(0<x<3)答案 A解析如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5， 所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案 C解析 设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案 4解析如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝12|QF1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．x2－3y23＝1 D.3x23－y2＝1答案 A解析由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1 D．x2－y23＝1答案 D解析由方程x2a2－y2b2＝1，得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 不妨设A 在直线y ＝ba x 上，由△OAF 是边长为2的等边三角形， 可得c ＝2，直线y ＝ba x 的倾斜角为60°， 即ba ＝3，联立⎩⎨⎧ b ＝3a ，a 2＋b 2＝c 2＝4，可得⎩⎨⎧b ＝3，a ＝1， 故双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 A解析 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为ay ＝±bx ，由C 的左焦点(－c ,0)到其渐近线的距离是23，可得bc a 2＋b2＝b ＝23，则b 2＝12， 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，得e ＝ca ＝2，又c 2＝a 2＋b 2， 解得a ＝2，c ＝4，则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )A.x 216－y 29＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上． 设该双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，42a 2－32b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故该双曲线的标准方程是x24－y23＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________.答案－3解析方法一依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－x2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m＝－3.方法二依题意得m<0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx，则±1－m＝±33，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则1a2－3b2＝1且ba＝2，联立解得a＝12，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则3a2－1b2＝1，且ab＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132 C.7 D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________． 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点， 则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5， 又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C ：x 29－k ＋y 2k －1＝1(0<k <1)，则下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的焦点在x 轴上B ．双曲线C 的焦距等于4 2C ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于1－kD ．双曲线C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，103 答案 ACD解析 对于A ，因为0<k <1，所以9－k >0，k －1<0，所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对于B ，由A 知a 2＝9－k ，b 2＝1－k ，所以c 2＝a 2＋b 2＝10－2k ，所以c ＝10－2k ， 所以双曲线C 的焦距等于2c ＝210－2k (0<k <1)，故选项B 错误；对于C ，设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点坐标为(±c ,0)，则渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ， 所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)的焦点到其渐近线的距离等于1－k ，故选项C正确；对于D ，双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋1－k 9－k ＝2－89－k， 因为0<k <1，所以1<2－89－k <109，所以e ＝2－89－k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，103，故选项D 正确． (2)(2022·怀化模拟)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3|F A |＝|AB |，则双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±43x解析 设C 的左焦点为F 1，连接F 1B ，过F 1作F 1D ⊥FB 于点D ，如图所示，易知F 1D ∥OA ，在双曲线C 中，易知|F A |＝b ， 又3|F A |＝|AB |， 则|DB |＝2b ，则D 为线段FB 的中点， 所以△F 1BF 为等腰三角形，又|FB |＝4b ，|F 1B |＝4b －2a ＝|F 1F |＝2c ， 即c ＋a ＝2b ，又b 2＝c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )，将b ＝c ＋a 2代入得(c ＋a )24＝(c ＋a )(c －a )， 得c ＋a ＝4(c －a )， 则c ＝53a ， 又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝43a ，则渐近线方程为y ＝±43x .课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线x 22－y 24＝λ(λ>0)的离心率为( ) A.62 B. 3 C.3或62 D. 2 答案 B解析 因为λ>0，所以x 22λ－y 24λ＝1，所以双曲线焦点在x 轴上，所以a 2＝2λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝6λ，所以离心率为ca ＝c 2a 2＝6λ2λ＝ 3.2. “mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1答案 D解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为() A．两条直线B．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示双曲线； 当cos θ＝0时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示两条直线x ＝±1； 当cos θ∈(0,1)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1可化为x 2＋y 21cos θ＝1，因为1cos θ>1，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆．5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：y 23－x 2＝1的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝2 3B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x C ．双曲线C 的离心率为233 D ．|PF 1—→＋PF 2—→|≥2 3 答案 CD解析 双曲线C ：y 23－x 2＝1焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2. 对于A 选项，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误； 对于B 选项，焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误； 对于C 选项，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D 选项，设P (x ，y )(x ∈R )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当且仅当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1—→＋PF 2—→|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 右支上的一点，PF 1与C 的左支交于点Q .已知PQ →＝2QF 1—→，且|PQ |＝|PF 2|，则( )A ．△PQF 2为直角三角形B ．△PQF 2为等边三角形C ．C 的渐近线方程为y ＝±6xD ．C 的渐近线方程为y ＝±7x 答案 BC解析 因为|PQ |＝|PF 2|，所以由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|QF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ， 所以|QF 2|＝4a ， 又PQ →＝2QF 1—→， 所以|PQ |＝|PF 2|＝4a ，故△PQF 2是等边三角形．在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36a 2＋16a 2－4c 248a 2＝12，则c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝7，即ba ＝6，故C 的渐近线方程为y ＝±6x .7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .8．(2022·晋中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53解析 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎨⎧|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∵|PF 2|≥c －a ， ∴23a ≥c －a ， 即53a ≥c ， 即c a ≤53，∴双曲线离心率的取值范围是1<e ≤53. 9．已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)．(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝2x ，求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，若PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解 (1)因为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，而它的一条渐近线方程为y ＝2x ， 所以b ＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2， 所以12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|， 因为△PF 1F 2的面积为9， 所以|PF 1|·|PF 2|＝18， 又因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 所以c 2＝10，由a 2＋b 2＝c 2，得1＋b 2＝10， 所以b ＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN 的面积．(1)解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝22a，即c＝2a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－10)代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2)证明由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上．(3)解由(2)知，点M坐标为(3，3)或(3，－3)，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为y－3＝－323－3(x－3)＝－(2＋3)(x－3)，即y＝(－2－3)x＋(6＋43)，代入双曲线方程整理可得(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0，∵M的纵坐标为3，∴N的纵坐标为6(6－43)×3＝13－2＝－(3＋2)，∴△F1MN的面积为S＝12|F1F2|·(3＋3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋4 3.11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x210＋y26＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－3y＝0，则C的方程为()A.x23－y2＝1或y2－x23＝1B．x2－y23＝1或y2－x23＝1C.x23－y2＝1或y23－x2＝1D．x2－y23＝1或y23－x2＝1答案 A解析在椭圆x210＋y26＝1中，c＝10－6＝2，∴焦距2c＝4.∵C 的一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴设C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 23λ－y 2λ＝1. 当λ>0时，c ＝λ＋3λ＝2，解得λ＝1，则C 的方程为x 23－y 2＝1； 当λ<0时，c ＝－λ－3λ＝2，解得λ＝－1，则C 的方程为y 2－x 23＝1.综上，C 的方程为x 23－y 2＝1或y 2－x 23＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，b >0，e >62的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之比是3∶2，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.322 C. 2 D.52 答案 C解析 过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|OB |＝|OF 2|＝c ， 由渐近线的方程y ＝b a x 可知y 2＝ba x 2， 在Rt △OBE中，x 22＋b 2a2x 22＝c 2，解得x 2＝a (舍负)，由已知得x 1∶x 2＝3∶2，即x 1＝62a ，即|AF |2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝c 2－32a 2，因为离心率e >62， 所以c 2－32a 2>0，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，c 2－32a 2，代入双曲线方程可得32a 2a 2－c 2－32a2b 2＝1，化简得2a 2＝c 2，即e ＝ 2.13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C. 2D. 3 答案 B解析 如图，设B (m ，n )，则C (－m ，－n )， 易知A (a ,0)，F (c ,0)，由M 为线段BF 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2，n 2，又M 在直线CA 上，故CA→，AM →共线， 又CA →＝(a ＋m ，n )，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ，n 2， 故(a ＋m )·n 2＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ， 整理得c ＝3a ， 故离心率e ＝ca ＝3.14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过点F 2作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则下列命题中正确的是( ) A ．若|PF 1|·|PF 2|＝2，则PF 1—→·PF 2—→＝0 B ．若a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则双曲线的离心率e ∈(1，2＋1]C ．△F 1PQ 周长的最小值为8D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为定值 答案 ACD解析 由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，a 2＋1＝c 2，则|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，所以有|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋4＝4c 2＝|F 1F 2|2，从而PF 1—→⊥PF 2—→，即PF 1—→·PF 2—→＝0，故A 正确； 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|sin ∠PF 1F 2，则sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c，解得|PF 1|＝ca |PF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a>c －a ，整理得c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得1<e <2＋1，故B 错误；当直线PQ ⊥x 轴时，|PQ |的最小值为2a ，|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋2a ＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋2|PQ |＝4a ＋4a ≥8(当且仅当a ＝1时取等号)，故C 正确；设P (x 0，y 0)，过点P 的双曲线E 的切线方程为x 0a 2x －y 0y ＝1，E 的渐近线方程为y ＝±1a x ，不妨设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与渐近线y ＝1a x 的交点为A ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a x ，x 0a 2x －y 0y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2x 0－ay 0，y ＝a x 0－ay 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0－ay 0，a x 0－ay 0，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0＋ay 0，－a x 0＋ay 0.又因为点P 在双曲线E 上，则有x 20a 2－y 20＝1，x A ＋x B ＝a 2x 0－ay 0＋a 2x 0＋ay 0＝2x 0，故点P 是AB 的中点．设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与x 轴的交点为G ，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 0，0，所以S △AOP ＝12·a 2x 0|y A －y 0|＝a 2·a x 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x 0－ay 0－y 0＝a2，所以S △AOB ＝2S △AOP ＝a ，故D 正确．。
数学高考知识点双曲线
数学高考知识点双曲线双曲线是高考数学中的重要知识点之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
本文将从双曲线的定义、图像、性质和应用几个方面进行讨论。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一类点的集合，满足到两个给定点的距离的差等于一个常数的条件。
具体来说，对于给定的两个焦点F1和F2，双曲线上任意一点P到F1的距离减去到F2的距离得到的差等于常数c，即PF1 - PF2 = c。
二、双曲线的图像双曲线的图像呈现出两个分离的无限曲线，它们相对于两个焦点对称。
双曲线图像的形状与离心率有关，离心率越大，曲线的形状越扁平；离心率越小，曲线的形状越尖锐。
三、双曲线的性质1. 双曲线的离心率 e = c / a，其中c为焦点之间的距离，a为焦点到对称轴的距离。
2. 双曲线有两条渐进线，渐近线是曲线与直线无限相接的情况，双曲线的渐进线与曲线的极限形态相关。
3. 双曲线有两个对称轴，与椭圆和抛物线不同的是，双曲线的对称轴与曲线相交而不是切线。
4. 双曲线有焦点和顶点，它们在平面上是两个对称的点，顶点位于曲线的中心位置。
四、双曲线的应用1. 物理学中的双曲线：双曲线在天体力学、声学和光学中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述天体的轨迹，声学中的雷达测距原理也建立在双曲线的概念上。
2. 经济学中的双曲线：双曲线可以用来分析货币的供给和需求，以及金融市场的波动和趋势。
3. 电子工程中的双曲线：双曲线在电路分析和信号处理中有一定的应用。
例如，高频电路中的天线和滤波器设计使用了双曲线的原理。
总结起来，双曲线是高考数学中的一个重要知识点，它的定义、图像、性质和应用都有着广泛的应用领域。
掌握了双曲线的相关知识，不仅有助于理解几何和代数中的概念，还能在物理学、经济学和电子工程等领域中找到更多的应用。
因此，对于准备参加高考的学生来说，理解和掌握双曲线的相关知识是十分重要的。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
高考双曲线抛物线知识点
高考双曲线抛物线知识点高考数学考试中，高中数学知识占据了很大的比重，其中双曲线和抛物线是高考必考的重要知识点。
本文将对双曲线和抛物线的相关概念、特点以及应用进行介绍，帮助考生全面理解和掌握这两个知识点。
1. 双曲线的概念和特点双曲线是由二次方程的图像所得，常见的双曲线方程有两种形式：$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 和 $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$，其中 a 和b 是正实数。
双曲线的形状特点是两支分离，且与坐标轴无交点。
双曲线的中心在坐标原点 O(0,0) 处。
在坐标平面上，双曲线的两个分支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸。
2. 双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用。
例如，光的折射是双曲线的一个重要应用。
当一束光从一个介质折射到另一个介质中时，光的传播路径将形成一个双曲线。
这个现象在眼镜、显微镜、望远镜等光学仪器中都有应用。
此外，双曲线还广泛应用于电磁场、无线通信和经济学等领域。
在电磁场中，电荷的分布和电场力线之间的关系可以由双曲线来描述。
在无线通信中，天线辐射和接收的信号模式也可以用双曲线表示。
在经济学中，供求关系也可以通过双曲线来进行分析和预测。
3. 抛物线的概念和特点抛物线是由二次方程的图像所得，常见的抛物线方程是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
抛物线的形状特点是开口方向，即上开或下开，取决于抛物线方程中 a 的正负。
抛物线的对称轴是与 y 轴平行的直线，其方程为 x = h，其中 h 是实数。
抛物线的顶点是位于对称轴上的点，其坐标为 (h, k)，其中 k 是实数。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中也有许多实际应用。
例如，抛物线的形状是喷泉水柱的弹射轨迹，喷泉中的水从喷嘴射出后形成一个抛物线形状的水柱。
这种形状使得喷泉的水能够均匀地覆盖大面积区域，增加景观效果。
此外，抛物线还广泛应用于桥梁设计、体育运动和火箭发射等领域。
2024年高考数学---双曲线及其性质
1)与双曲线 x2 - y2 =1(a>0,b>0)渐近线相同的双曲线方程可设为 x2 - y2 =λ
a2 b2
a2 b2
(λ≠0);
2)过两个已知点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn<0)或mx2-ny2=1(mn>0).
例1 (2022辽宁鞍山一中月考,13)与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,且离心率
基础篇
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
2.标准方程
焦点在x轴上: x2 - y2 =1(a>0,b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: y2 - x2 =1(a>0,b>0).
a2 b2
3.焦点三角形问题
考点三 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题,相交弦问题及其他
综合问题,常用下面的方法解题:
联立双曲线C的方程 x2 - y2 =1(a>0,b>0)与直线l的方程y=kx+m(m≠0),消去
a2 b2
y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
c2 a2
=
a2 b2 a2
=
1
b2 a2
求解.
2.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关
于e的方程(或不等式)求解.
3.构造焦点三角形,利用定义转化为焦点三角形三边的关系,如图,e= c =
a
2c = | F1F2 |
高考数学复习-双曲线的简单几何性质一_ppt
焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
课堂练习
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3
的离心率为 。 5 3
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角 为 。 600
例题讲解
例3 :求下列双曲线的标准方程：
x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3 ) ； 9 16
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
y 2项的分母的开方 x 渐近线方程： y 2 x 项的分母的开方
双曲线在第一象限内部 分的方程为 2 2 x y （1） 双曲线 b 2 a 2 2 b 2 1(a 0, b 0) y x a ( x 0) a b 的渐近线为y x a b 它与y x的位置关系 : 2 2 a 等轴双曲线 x y m （2） A1 b 在y x的下方 (m 0)的渐近线为 a
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-b
a
o b x
-a
c （5）离心率: e a
例题讲解
例1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
2
课堂新授
类比椭圆的几何性质，应研究双曲线那些性质？
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 性质
y
(x,y)
1、范围 2 x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 2、对称性
高考数学(文科)总复习 9.4 双曲线及其性质
- a,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= b
y0= 2 y0 =
x0 2x0
y1 y2 =-
x1 x2
23,又知kAB=-1,∴-
3 2
×(-1)=- a ,∴ a =- 3 ,故选A. bb2
答案 A
方法技巧
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
考点清单
考点一 双曲线的定义及其标准方程
考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 ||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|. (2)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支. 当2a=|F1F2|时,轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线. 当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2
过两个已知点,则双曲线方程可设为 m + n =1(mn<0),也可设为Ax2+By2= 1(AB<0).
例1 设双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 27 36
交点的坐标为( 15 ,4),则此双曲线的标准方程是
.
解析 解法一:椭圆 2x72 + 3y62 =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 ay22 -
的距离d= | 4 | ≤ 2 ,即2b2+8≥16,∴b2≥4,又知双曲线离心率e= c =
高考数学双曲线知识点
高考数学双曲线知识点高考是每一个学生都要经历的一道重要关卡，而其中的数学科目又是让很多学生头疼的一门必修课。
数学考试中最常见的几何图形之一便是双曲线，它是一种非常重要的知识点，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
在本文中，我们将详细探讨高考数学中的双曲线知识点。
首先，我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是一种具有两个分离的曲线分支的平面曲线。
与椭圆和抛物线相比，它们的特点是曲线分支无限延伸，并且与对称轴有一个焦点和一个顶点。
数学上，我们通常以坐标轴和方程的形式描述和表示双曲线。
双曲线的标准方程有两种形式：水平方程与垂直方程。
水平方程的一般形式为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)为顶点坐标，a为横轴长度的一半，b为纵轴长度的一半。
垂直方程的一般形式为(y-k)^2/a^2-(x-h)^2/b^2=1，其中(h,k)为顶点坐标，a为纵轴长度的一半，b为横轴长度的一半。
我们可以通过这两种方程形式来确定双曲线的位置和形状。
另外，双曲线还有几个重要的性质和特点。
首先，双曲线的中心是指曲线对称的中心点，它位于双曲线两个分支的交点处。
其次，双曲线的对称轴是指通过中心点的一条直线，它将双曲线分为两个对称的部分。
双曲线的焦点是指双曲线上离中心最近的点，焦距是指从中心到焦点的距离。
焦点和焦距是双曲线与椭圆和抛物线的重要区别之一。
最后，双曲线还有一个重要的性质是渐近线。
渐近线是指曲线在趋于无穷远时的趋势线，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支趋于平行。
在高考数学中，我们需要掌握双曲线的图像特点、方程的转化和曲线的性质运用等方面的知识。
同时，还需要能够应用双曲线解决实际问题。
举一个简单的例子，假设有一座桥，桥下为限高，而桥上的双曲线形状的拱桥正好能容纳卡车通过。
那么，我们就可以利用双曲线的性质，通过求解方程来确定双曲线的参数，从而确定桥下的限高。
双曲线作为数学中的一种几何图形，不仅在高考中经常出现，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
高考数学一轮复习第七章第六讲双曲线课件
项目
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
(续表)
项目
范围 性 对称性 质 顶点
渐近线
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≥a或x≤－a，y∈R
对称轴：坐标轴 A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±bax
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) x∈R，y≤－a或y≥a 对称中心：原点 A1(0，－a)，A2(0，a)
(5)双曲线的离心率公式可表示为 e＝ 1＋ba22.
考点一 双曲线的定义
1. x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示的曲线方程为( )
A.x42－y52＝1(x≤－2)
B.x42－y52＝1(x≥2)
C.y42－x52＝1(y≤－2)
D.y42－x52＝1(y≥2)
解析： x2＋(y－3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0，3)的 距离， x2＋(y＋3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F2(0，－3)的距 离，则 x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示点 M(x，y)到点 F1(0， 3)的距离与到点 F2(0，－3)的距离的差为 4，且 4<|F1F2|，所以点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半 轴长 a＝2，半焦距 c＝3，所以 b2＝c2－a2＝5，则 x2＋(y－3)2－
解析：因为|PF2|为 F2(c，0)到直线 y＝bax 的距离， 则|PF2|＝ b|b2＋c| a2＝b，所以 b＝2.
联立，得y＝bax， y＝－ab(x－c)，
可得 x＝ac2，y＝acb，即 Pac2，acb.
高考数学知识点总结：双曲线知识汇总
高考数学知识点总结：双曲线知识汇总双曲线方程双曲线的第一定义:⑴①双曲线标准方程:. 一般方程:.⑵①i. 焦点在x轴上: 顶点: 焦点: ?准线方程渐近线方程:或ii. 焦点在轴上:顶点:. 焦点:. 准线方程:. 渐近线方程:或,参数方程:或 .②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则:构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:.⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?解:令双曲线的方程为:,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.简证: =.常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
高三双曲线的知识点总结
高三双曲线的知识点总结高三阶段是学生面临高考冲刺阶段的重要时期。
在数学中，双曲线是一个重要的概念，它在高等数学中具有广泛的应用。
在此，我将对高三阶段学习中的双曲线相关知识点进行总结和归纳。
一、双曲线的基本定义双曲线是指平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
一般来说，双曲线可以分为两类：横向双曲线和纵向双曲线。
- 横向双曲线的方程一般形式为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。
- 纵向双曲线的方程一般形式为：(y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。
双曲线的标准方程：双曲线的标准方程一般形式为x^2 / a^2 -y^2 / b^2 = c，其中a、b、c是常数。
二、双曲线的图像特征从双曲线的方程可以看出，双曲线的图像具有以下特点：1. 具有两个分支：双曲线有两个分离的分支，分别沿焦点的两侧延伸。
2. 双曲线的对称轴：对称轴是双曲线的一条轴线，通过双曲线的中心点，垂直于双曲线的两个分支，并且与两个分支都相交。
3. 焦点和直线的关系：焦点是双曲线的一个重要特点，它与双曲线上的点之间的距离之差等于常数。
同时，双曲线上的每个点到焦点的距离之和等于双曲线的长轴的长度。
4. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线的两个分支在无限远处趋于的直线。
横向双曲线的渐近线是y = ±(b / a) * x，纵向双曲线的渐近线是y = ±(a / b) * x。
5. 双曲线的离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，它决定了双曲线的形状。
离心率的计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。
三、双曲线的性质和应用1. 高中阶段，双曲线的主要性质是焦点、顶点、长轴、短轴之间的关系。
高考理科数学一轮复习双曲线课件
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
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目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
高考数学一轮复习双曲线的定义、方程及性质
双曲线的定义、方程及性质
CONTENTS
01
考点·分类突破
02
课时·过关检测
/目录
01
目录
双曲线的定义及应用
【例1】
2 2
（1）（2020·全国Ⅲ卷）设双曲线C： 2－ 2 ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的
8
2
B. －y2＝1
8
2
C.x2－ ＝1（x≤－1）
8
2
D.x2－ ＝1（x≥1）
8
目录
解析 （2）设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜
＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以点M的轨迹是以点
C1（－3，0）和C2（3，0）为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，
3
坐标为（±2，0），A错误；双曲线C的渐近线方程为y＝± x＝± 3x，B正
2
3
确；因为22－
3
＝1，所以点（2，3）在双曲线C上，C正确；直线mx－y－m＝0
即y＝m（x－1），恒过点（1，0），当m＝± 3时，直线与双曲线C的一条渐近
线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误.
目录
2 2
面积为4，则a＝
A.1
B.2
C.4
D.8
（
）
目录
解析 （1）法一：设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则
1
2
△ ＝ mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝ ＝ 5，所以a＝1，故选A.
高考数学复习考点知识与结论专题讲解54 双曲线的定义和性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第54讲 双曲线的定义和性质【知识通关】通关一通关一、、双曲线的标准方程当焦点在x 轴上时，22221(0,0)x y a b a b −=>>，其中222c a b =+；当焦点在y 轴上时，22221(0,0)y x a b a b −=>>，其中222c a b =+.要点诠释：1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2. 在双曲线的两种标准方程中，都有0a >，0b >和222c a b =+；3. 双曲线的焦点总在实轴上：当焦点在x 轴上时，双曲线的焦点坐标为(),0c ，(),0c −；当焦点在y轴上时，双曲线的焦点坐标为()0,c ，()0,c −；4. 在两种标准方程中，可以根据系数的正负来判定焦点在哪一个坐标轴上.通关二通关二、、双曲线的几何性质图形通关三通关三、、求双曲线的方程的两种方法1. 定义法根据双曲线定义，确定2a ，2b 的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： （1）222c a b =+；（2）双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a .注意：求轨迹方程时，满足条件：122PF PF a −=()1202a F F <<为双曲线的一支，应注意条件合理取舍.2. 待定系数法（1）一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于，，的方程或方程组； ④解：求解得到方程. （2）常见设法①与双曲线22221x y a b −=共渐近线的双曲线可设为()22220x y a b λλ−=≠；②若双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设为()22220x y a b λλ−=≠；③若双曲线过两个已知点，则可设为221(0)x y mn m n+=<； ④与双曲线22221x y a b −=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b a a b λλλ−=−<<−+； ⑤与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有共同焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b a a b λλλ+=<<−+. 结论一结论一、、双曲线定义的理解1. 设双曲线上的点M 到两焦点1F ，2F 的距离之差的绝对值为2a ，则有1202a F F <<，这一条①若122a F F =，则点M 的轨迹是分别以为端点的两条射线； ②若122a F F >，则点M 的轨迹不存在；③若20a =，则点M 的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.2.若将双曲线的定义中“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支可借助图形来确定.【例1】到两定点()13,0F −，()23,0F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（） A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案】D【解析】到两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于两个定点间距离时，双曲线退化成两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点.12126F A F A F F −==时，这三点共线，且点A 在1F ，2F 之外.也可通过求轨迹方程的办法求出，此时要注意自变量的取值范围.【变式】已知点()2,0M −，()2,0N ，动点P 满足条件PM PN −=，则动点P 的轨迹方程为____.【答案】()221022x y x −=>【解析】由4PM PN MN −=<=，结合双曲线定义可知动点P 的轨迹为以M ，N 为焦点的双曲线右支，双曲线中2a =，24c =，所以a =，2c =，所以b =，轨迹方程为()221022x y x −=>. 结论二结论二、、双曲线上点的性质若P 为双曲线22221x y a b −=上一点，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，则122PF PF a −=.【例2】若双曲线E ：221916x y −=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PFA. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a −==，即236PF −=，解得29PF =，故选B.【变式】P 是双曲线的右支上一点，M ，N 分别是圆和上的点，则的最大值为（） A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由题意得双曲线221916x y −=的焦点分别为()15,0F −，()25,0F ，且这两点刚好为两圆的圆心.由题意可得，当且仅当P 与M ，1F 三点共线，以及P 与N ，2F 三点共线时所求的值最大，此时()()1221639PM PN PF PF −=+−−=+= .故选D.结论三结论三、、焦点三角形周长拓展过双曲线22221x y a b −=上一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造三角形F AB ，则FAB 的周长等于42a AB +.【例3】如图，已知双曲线的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与左支交于A ，B 两点，若5AB =，且实轴长为8，则2ABF 的周长为____.【答案】26【解析】由双曲线的定义知，212F A F A a −=，212F B F B a −=，两式相加得22114F A F B F A F B a +−−=.又115AB F A F B ==+，28a =，故2211416521F A F B a F A F B +=++=+=，故2ABF 的周长为21526+= .【变式】设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)sin 2x y b b πθθ−=<≤>的两个焦点，过1F 的直线交双曲线的同支于A ，B 两点，如果AB m =，则2AF B 的周长的最大值是（） A. 4m − B. 4C. 4m + D. 42m +【答案】D【解析】由双曲线的定义有212sin AF AF θ−=，212sin BF BF θ−=，于是2AF B 的周长为22112sin 2sin 4sin 2AF BF m AF BF m θθθ++=+++=+，最大值当2πθ=时取得，最大值为42m +.故选D.结论四结论四、、双曲线的标准方程对于方程221x y m n+=， （1）表示双曲线的充要条件为0mn <；（2）表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件为0m >，0n <； （3）表示焦点在y 轴上的双曲线的充要条件为0m <，0n >.【例4】如果方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是（）A. ()2,+∞B. ()2,1−−C. (),1−∞−D. ()1,2【答案】B【解析】由题意知，()()210m m ++<，解得21m −<<−，故m 的取值范围是()2,1−−.故选B.【变式】若方程2221523x y m m m +=−−−表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围. 【答案】()5,+∞【解析】由双曲线的焦点在y 轴上可知，m 需满足250,230m m m −> −−>，解得5m >.故实数m 的取值范围为()5,+∞.结论五结论五、、求双曲线的渐近线求双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>或22221(0,0)y x a b a b −=>>的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令22220x y a b −=得b y x a =±，或令22220y x a b −=得ay x b =±.【例5】双曲线2214y x −=的渐近线方程为（）A. 12y x =± B. 2y x =± C. y = D. y =【答案】B【解析】令2204y x −=，得2y x =±，所以渐近线方程为2y x =±.故选B. 【变式】双曲线22149y x −=的渐近线方程是 A.32y x =± B. 23y x =± C. 94y x =± D. 49y x =±【答案】B【解析】渐近线方程为22049y x −=，即23y x =±.故选B.结论六结论六、、双曲线方程的设法1. 与双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>有相同渐近线的双曲线方程为2222(0)x y a b λλ−=≠2. 渐近线为ny x m =±的双曲线方程为2222(0)x y m nλλ−=≠3. 与双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>有共同焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ−=−<<−+ 4. 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有共同焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ+=<<−+【例6】（1）与双曲线221169x y −=有相同的渐近线，且过点()3A −的双曲线方程是____. （2）与双曲线2211620x y −=有相同焦点，且经过点()5,2−的双曲线的标准方程是____.（3）与椭圆2214936x y +=有公共焦点，且经过点()2的双曲线的标准方程是____. 【答案】（1）224194y x −=（2）2212016x y −=（3）22194x y −= 【解析】（1）与双曲线221169x y −=有相同的渐近线方程的双曲线方程为()220169x y λλ−=≠，将点()3A −代入，得：()()22311694λ−=−=−.所以所求双曲线的方程为2211694x y −=−，即224194y x −=. （2）设所求双曲线方程为()22120161620x y λλλ−=−<<−+.因为双曲线过点()5,2−，所以25411620λλ−=−+，解得4λ=−或29λ=−（舍去），所以所求双曲线的方程为2212016x y −=.（3）设所求双曲线方程为()22136494936x y λλλ+=<<−−.因为双曲线过点()，所以18414936λλ+=−−，解得40λ=或23λ=（舍去），所以所求双曲线的方程为22194x y −=.【变式】已知双曲线过点(，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____.【答案】2214x y −=【解析】设双曲线方程为()2204x y λλ−=≠，将点(代入得1λ=，所以双曲线方程为2214x y −=.结论七结论七、、点到线距离定值双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .【例7】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>，则b 等于（）.A.1 C.2D.【答案】B【解析】焦点(,0)c 到0bx ay −=b =，故b ，故选B.【变式】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）.【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点为(,0)F c ，渐近线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c ==，可得离心率ce a==故选C. 结论八结论八、、比值为定值双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率.【例8】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为（）.A.y =±B.y =C.y =D.y = 【答案】A【解析】如图所示，双曲线顶点为A ，焦点为F ，过,A F 作渐近线的垂线，垂足为,B C ，所以OAB OFC ∆∆与相似（O 为坐标原点）.又由题意知31CF AB =，所以3OF c OA a ==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即ba=.所以渐近线方程为：y =±，故选A.【变式】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）.A.2C. D.4【答案】B【解析】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y x =±，所以a b =，因为顶点到一条渐近线的距离为11=，所以a b ==，所以双曲线C 的方程为22122x y −=，焦点坐标为(2,0),(2,0)−，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离d ==故选B.结论九结论九、、等轴双曲线已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，当a b =时，称为等轴双曲线.（1）方程形式为22(0)x y λλ−=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直；（3）离心率e =.【例9】关于渐近线方程为0x y ±=的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到.其中所有正确结论的编号是（）.A.①②B.①③C.①②③D.②③④【答案】C【解析】①因为渐进线的斜率为11b aa b ±=±±=±或，所以①正确；②离心率e ，所以②正确；③设双曲线的方程为222x y a −=，将x c =代入双曲线方程可得2222y c a b =−=，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为22b a =，与实轴长相等，同理，当焦点在y 轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以④不正确.故选C.【变式】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，焦距为实轴长为（）.A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】因为两条渐进线互相垂直，故可得21b a−=−，又因为焦距为，故可得2c =，结合222a b c +=，解得3a =，3b =，c =，故实轴长26a =.故选B.结论十结论十、、离心率与渐近线斜率关系在双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>中，c e a ====，所以双曲线的渐近线方程by x a=±可以表示为y =.【例10】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为C 的离心率为__________.【解析】双曲线的渐近线方程为y ==，23e =，e =.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a −=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】32【解析】双曲线的渐近线方程为y ==，294e =，32e =. 结论十一结论十一、、过定点直线与双曲线相交问题1.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为bk a=±；如图（a ）所示，1l ，2l 分别与渐近线平行，显然此时与双曲线只有一个交点； 2.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足(,)b bk a a∈−；如图（b ）所示，1l ，2l 分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的左右两支都有交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可；3.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足(,)(,)b bk a a∈−∞−∪+∞.如图（c ）所示，1l ，2l 分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的单支有两个交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可.（a ）（b ）（c ）【例11】斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】)+∞【解析】直线l 与双曲线的两支分别相交，满足2b b a a −<<（其中ba±为双曲线的两条渐近线的斜率），即2b a ==>，解得e >.所以双曲线的离心率的取值范围是)+∞. 【变式】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A.(]1,2B.()1,2C.[)2,+∞D.()2,+∞【答案】C【解析】如图，1l 与2l 分别为与双曲线22221x y a b −=的渐近线平行的两条直线，直线l为过点F 且倾斜角为60°的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使tan 60b a ≥°=，所以2e =≥.故选C.结论十二、双曲线的通径过焦点做实轴的垂线与双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>垂的交点为A ，B ，则AB 即为双曲线的通径，22b AB a=.【例12】已知F 已为双曲线C ：22221x y a b −=()0,0a b >>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________. 【答案】2【解析】由题意可得3BF AF =，而2b BF a =，AFc a =−，即23b a c a=−，变形得22233c a ac a −=−，化简可得2320e e −+=，解得2e =或1e =(舍去).【变式】已知双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma=__________. 【答案】6【解析】双曲线的焦距为2c ，则2ca =，即2c a =，则b =，由题意知m ，故32b m a =，所以2226m b a a==. 结论十三结论十三、、焦点三角形的面积若点()00,P x y 在22221x y a b−=()0,0a b >>在上，设12F PF θ∠=，则12F PF ∆的面积120F PF S c y ∆=2121sin 2tan 2b PF PF θθ==i .【例13】设双曲线C ：22221x y a b −=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ,.P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若12F PF ∆的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】因为12F P F P ⊥，所以1290F PF ∠=°，1222124tan 2F PF b S b F PF ∆===∠.因为222222c a b e a a +==2215b a=+=，所以244a =，21a =，即1a =.故选A.【变式】设1F ，2F 是双曲线C ：2213y x −=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 是C 上且2OP =，则12F PF ∆的面积为（）. A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】由已知，不妨设()12,0F −，()22,0F ，则1a =，2c =.因为12122OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F PF ∆是以点P 为直角顶点的直角三角形，1222123tan 2F PF b S b F PF ∆===∠，故选B.结论十四结论十四、、焦半径最值F 为双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>的右焦点，若P 是双曲线右支上的动点，则PF c a ≥−；若P 是双曲线左支上的动点，则PF c a ≥+.【例14】若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”的是（）.A.2211615x y += B.2212524x y += C.22115y x −= D.221x y −=【答案】D 【解析】在椭圆中，1221PF PF =>，122PF PF a +=，122PF PF =，即223aPF =，又2PF c a ≥−，故21333a a a c c e ≥−⇒≥⇒≥，又01e <<，故113e ≤<.在双曲线中，1221PF PF =>，22PF a =，2PF c a ≥−，故233a c a a c e ≥−⇒≥⇒≤，又1e >，所以13e <≤.A 选项：2211615x y +=，11,143e =∉ ，错误；B 选项：2212524x y +=，11,153e =∉，错误；C 选项：22115y x −=，(]41,3e =∉，错误；D 选项：221x y −=，(]1,3e =，正确.综上，故选D.【变式】已知双曲线C ：22221x y a b −=()0,0a b >>的左右焦点分别为()1,0F c −，()2,0F c ,若双曲线上存在一点P 使得1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】D【解析】在12PF F ∆中，由正弦定理可得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知得21a cPF PF =，即12c PF PF a =，由双曲线的定义可知122PF PF a −=，则222cPF PF a a −=，即222a PF c a =−，由双曲线的几何性质可知2PF c a >−，则22a c a c a >−−，即2220c ac a −−<，所以2210e e −−<，解得11e +<<+，又()1,e ∈+∞，故双曲线的离心率()1e ∈+.结论十五结论十五、、双曲线中的线段和差最值设双曲线方程为22221x y a b −=()0,0a b >>，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，()00,Q x y 为平面上一定点，M 为双曲线右支上任意一点.1.若定点()00,Q x y 与双曲线右焦点2F 在双曲线右支的同侧，则2MQ MF +的最小值是12QF a −，最大值不存在；2.若定点()00,Q x y 与双曲线右焦点2F 在双曲线右支的异侧，则2MQ MF +的最小值是2QF ，最大值不存在.【例15】已知F 是双曲线221412x y −=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为__________. 【答案】9【解析】设双曲线的右焦点为1F ，14PF PF =+，1min 1()5PF PF AF +==，则PF PA +的最小值为9.【变式】已知2F 是双曲线:C 221412x y −=的右顶点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆:E 22(2)1x y ++=上的一点，则2AB AF +的最小值为（）A.9B.8C.D.【答案】A【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，则21126AF AF a AF =+=+，所以216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+=+=，故选A结论十六结论十六、、黄金双曲线双曲线22221x y a b −=()0,0a b >>中，若a ，b ，c 成等比数列，即212290b ac F B A =⇔∠=°,离心率e =. 【例16】已知双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>.（1）若实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为__________. （2）若实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为__________.【答案】（1）53（2【解析】（1）由题设可知2b a c =+，且222c a b =+，故2222a c c a +−=，得4a c c a +−=，即35c a =，所以53c e a ==. （2）由题设可知2b ac =，且222c a b =+，故22c a ac −=，即220c ac a −−=，由ce a=可得210e e −−=，解得e =或e =（舍去），所以e =. 【变式】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）.【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221x y a b−=(0,0)a b >>，不妨设一个焦点为(,0)F c ，虚轴的一个端点为(0,)B b ，则FB b k c =−.又渐近线的斜率为b a ±，所以由题意得1b b c a −⋅=−（b a−不符合，舍去），则2b ac =，又双曲线中222c a b −=，故22c a ac −=，即220c ac a −−=，由ce a=可得210e e −−=，解得e =或e =（舍去），故选D. 结论十七结论十七、、双曲线焦点弦弦长已知双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>中，经过其焦点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AB的倾斜角为θ，双曲线的离心率为e ，则焦点弦长22221cos b a AB e θ=−. 【例17】过双曲线2214y x −=的右焦点为F 做A ，B 两点，则AB 为__________. 【答案】32【解析】由题知k =，所以1cos 2θ=，e =，由焦点弦长公式22221cos b a AB e θ=−得，2432AB ⋅=【变式】过双曲线22154x y −=的右焦点F 作一条斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，O 渐为坐标原点，则OAB ∆的面积为__________. 【答案】152【解析】由题意知2k =，所以cos θ=，e =，由焦点弦长公式22221cos b a AB e θ=−得AB ，O 到AB的距离d =，11522OAB S d AB ∆=××=.结论十八结论十八、、离心率的定义表示双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>中，121222F F c c e a a PF PF ===−.【例18】如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以,C F 为焦点的双曲线恰好经过,,,A B D E 四点，则该双曲线的离心率为__________.1+【解析】设正六边形边长为1，则以FC 为x 轴，中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(1,0)F −，(1,0)C ，故1c =.因为2FC =，1BC =，所以BF =，即12BF BC a −=−=，故a =.所以1ce a====.【变式】过双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左焦点(,0)(0)F c c −>，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =−，则双曲线的离心率是__________.【答案】√ଵଶ【解析】由ܱܲሬሬሬሬሬԦ=2ܱܧሬሬሬሬሬԦ−ܱܨሬሬሬሬሬԦ得 ܱܧሬሬሬሬሬԦ=ଵଶ(ܱܨሬሬሬሬሬԦ+ܱܲሬሬሬሬሬԦ),可知ܧ为ܲܨ的中点,令右焦点为ܨᇱ, 则ܱ为ܨܨᇱ的中点,ܲܨᇱ=2ܱܧ=ܽ.因为ܧ为切点,所以ܱܧ⊥ܲܨ,ܲܨᇱ⊥ܲܨ,ܲܨ−ܲܨᇱ=2ܽ,ܲܨ=3ܽ.又ܲܨଶ+ܲܨᇱଶ=ܨܨᇱଶ,则10ܽଶ=4ܿଶ,݁=√ଵଶ.结论十九结论十九、、离心率求值的正弦表示ܨଵ,ܨଶ为双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的左右焦点,ܲ是双曲线上的动点,若∠ܲܨଵܨଶ=ߙ,∠ܲܨଶܨଵ=ߚ,则双曲线的离心率为݁=ୱ୧୬(ఈାఉ)|ୱ୧୬ఈିୱ୧୬ఉ|.【例19】双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的左、右焦点分别是ܨଵ,ܨଶ,过ܨଵ作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于ܲ点,若ܲܨଶ垂直于ݔ轴,则双曲线的离心率为（） A.√6B.√3C.√2D.√ଷଷ【答案】B【解析】解法一设|ܲܨଶ|=ݐ,|ܲܨଵ|=2ݐ,则|ܨଵܨଶ|=√3ݐ,即2ܽ=ݐ,2ܿ=√3ݐ,݁=ଶଶ=√3.故选B 解法二݁=ୱ୧୬ (ଽ∘ାଷ∘)ୱ୧୬ ଽ∘ିୱ୧୬ ଷ∘=√3故选B.【变式】已知ܨଵ,ܨଶ是双曲线ܧ:௫మమ−௬మమ=1的左、右焦点,点ܯ在ܧ上, ܯܨଵ与ݔ轴垂直,sin ∠ܯܨଶܨଵ=ଵଷ,则ܧ的离心率为（） A √2B.ଷଶC √3D.2【答案】A【解析】解法一设ܯܨଵ=1,则ܯܨଶ=3,ܨଵܨଶ=2ܿ=2√2,2ܽ=ܯܨଶ−ܯܨଵ=2,݁=√2.故选A. 解法二݁=ୱ୧୬ (ଽ∘ା∠ெிమிభ)ୱ୧୬ ଽ∘ିୱ୧୬ ∠ெிమிభ=ୡ୭ୱ ∠ெிమிభଵିభయ=మ√మయమయ=√2.故选A.结论二十结论二十、、离心率的焦率的焦半半径比值表示若在双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)上存在一点ܲ,使|ܲܨଵ|=ߣ|ܲܨଶ|(ߣ>1),则1<݁⩽ఒାଵఒିଵ. 【例20】双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的两个焦点分别为ܨଵ,ܨଶ若ܲ为其上一点,且 |ܲܨଵ|=2|ܲܨଶ|,则双曲线的离心率的取值范围是（） A.(1,3)B (1,3]C (3,+∞)D.[3,+∞)【答案】B【解析】解法一由双曲线的定义知,||ܲܨଵ|−|ܲܨଶ||=2ܽ|ܲܨଵ|=2|ܲܨଶ|,即 |ܲܨଵ|=4ܽ,|ܲܨଶ|=2ܽ.又|ܲܨଵ|+|ܲܨଶ|⩾|ܨଵܨଶ|=2ܿ,故6ܽ⩾2ܿ,即݁⩽3.又݁>1,故1<݁⩽3.故选B解法二利用|ிభ||ிమ|的单调性,|ிభ||ிమ|=|ிమ|ାଶ|ிమ|=1+ଶ|ிమ|,随着∣ܲܨଶ|的增加，|ிభ||ிమ|减小,也就是说,当点ܲ右移时,|ிభ||ிమ|值减小,故要在双曲线上找到一点ܲ,使得 |ிభ||ிమ|=2,而当点ܲ在双曲线的右顶点上时,|ிభ||ிమ|⩾2,得ାି⩾2,即3ܽ⩾ܿ,则1<݁⩽3故选B解法三由题知ߣ=2,结合1<݁⩽ఒାଵఒିଵ,所以1<݁⩽3,故离心率的取值范围为(1,3]故选B. 【变式】已知双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的左、右焦点分别为ܨଵ,ܨଶ,点ܲ在双曲线的右支上,且|ܲܨଵ|=4|ܲܨଶ|,则此双曲线的离心率݁的最大值为________. 【解析】解法一由定义知|ܲܨଵ|−|ܲܨଶ|=2ܽ又已知|ܲܨଵ|=4|ܲܨଶ|,解得|ܲܨଵ|=଼ଷܽ,|ܲܨଶ|=ଶଷܽ.在△ܲܨଵܨଶ中,由余弦定理得ܿݏ∠ܨଵܲܨଶ=లరవమାరవమିସమଶ⋅ఴయ⋅మయ=ଵ଼−ଽ଼݁ଶ.要求݁的最大值,即求cos ∠ܨଵܲܨଶ的最小值.当ܲ为实轴的右端点时,cos ∠ܨଵܲܨଶ=−1,解得݁=ହଷ,即݁的最大值为ହଷ.解法二由定义知|ܲܨଵ|−|ܲܨଶ|=2ܽ,又已知|ܲܨଵ|=4|ܲܨଶ|,解得|ܲܨଵ|=଼ଷܽ,|ܲܨଶ|=ଶଷܽ,|ܲܨଶ|୫୧୬=ܿ−ܽ,从而只要ଶଷܽ⩾ܿ−ܽ,就能得到ܲ点存在,解得݁⩽ହଷ,等号可以取到,即݁的最大值为ହଷ解法三由题知ߣ=4,结合1<݁⩽ఒାଵఒିଵ,所以1<݁⩽ହଷ,故离心率的取值范围为ቀ1,ହଷቃ.结论二十一结论二十一、、双曲线焦半径比例模型1.已知双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0),经过其焦点ܨ的直线交双曲线于ܣ,ܤ两点,直线ܣܤ的倾斜角为ߠ,ܣܨሬሬሬሬሬԦ=ߣܨܤሬሬሬሬሬԦ,双由线的离心率݁满足:|݁cos ߠ|=ቚఒିଵఒାଵቚ或݁=√1+݇ଶቚఒିଵఒାଵቚ(其中݇=tan ߠ);2.已知双曲线௬మమ−௫మమ=1(ܽ>0,ܾ>0),经过其焦点ܨ的直线交双曲线于ܣ,ܤ两点,直线ܣܤ的倾斜角为ߠ,ܣܨሬሬሬሬሬԦ=ߣܨܤሬሬሬሬሬԦ,双曲线的离心率݁满足:|݁sin ߠ|=ቚఒିଵఒାଵቚ或 ݁=ට1+ଵమቚఒିଵఒାଵቚ(其中݇=tan ߠ)【例21】已知双曲线ܥ:௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的右焦点为ܨ,过ܨ且斜率为√3的直线交ܥ于ܣ,ܤ两点,若ܣܨሬሬሬሬሬԦ=4ܨܤሬሬሬሬሬԦ,则ܥ的离心率为（） A.ହ B.ହC.ହ଼D.ଽହ【答案】A【解析】由题知ߣ=4,带入结论݁=√1+݇ଶቚఒିଵఒାଵቚ得݁=ට1+(√3)ଶቚସିଵସାଵቚ=ହ故选A .【变式】已知双曲线ܥ:௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)的离心率为√3,过右焦点ܨ且斜率为݇(݇>0)的直线与ܥ相交于ܣ,ܤ两点.若ܣܨሬሬሬሬሬԦ=3ܨܤሬሬሬሬሬԦ,则݇=（） A.√3B √10C √11D 2√3【答案】C【解析】由题知ߣ=3,带入结论݁=√1+݇ଶቚఒିଵఒାଵቚ得√3=√(1+݇^2)|(3−1)/(3+1)|,解得݇=±√11,因为݇>0,所以݇=√11,故选C.结论结论二十二二十二二十二、、斜率乘积定值模型(一)直线݈与双由线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)相交于ܣ,ܤ两点,若ܯ(ݔ,ݕ)为ܣܤ的中点,则 ݇⋅݇ைܯ=మమ,݇=మ௫బమ௬బ.【例22】已知双曲线ܧ的中心为原点,ܨ(3,0)是ܧ的焦点,过ܨ的直线݈与ܧ相交于ܣ,ܤ两点,且ܣܤ的中点为ܰ(−12,−15),则ܧ的方程为（） A.௫మଷ−௬మ=1 B.௫మସ−௬మହ=1 C.௫మ−௬మଷ=1 D.௫మହ−௬మସ=1【答案】B【解析】解法一设双曲线方程为௫మమ−௬మమ=1,ܣ(ݔଵ,ݕଵ),ܤ(ݔଶ,ݕଶ),代人双曲线方程两式相减可得(௫భି௫మ)(௫భା௫మ)మ=(௬భି௬మ)(௬భା௬మ)మ,从而௫భା௫మమ=௬భି௬మ௫భି௫మ×௬భା௬మమ,即ଶ×௫ಿమ=݇×ଶ௬ಿమ,即ିଶସమ=ିଷమ,整理可得5ܽଶ=4ܾଶ,又ܽଶ+ܾଶ=9,两式联立可得 ܽଶ=4,ܾଶ=5.双曲线方程为௫మସ−௬మହ=1.故选B.解法二由݇⋅݇ைெ=మమ可得ିଵହିଵଶ×ି(ିଵହ)ଷି(ିଵଶ)=మమ,即5ܽଶ=4ܾଶ,ܿ=3.故选B【变式】已知直线ݔ−2ݕ+1=0与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)交于ܣ,ܤ两点,且线段ܣܤ的中点ܯ的横坐标为1,则该双曲线的离心率为（） A.√2B √ଶC.√ହଶD.√3【答案】B【解析】解法一因为直线ݔ−2ݕ+1=0与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)交于ܣ,ܤ两点,且线段ܣܤ的中点ܯ的横坐标为1,所以݇ைெ=1.设ܣ(ݔଵ,ݕଵ),ܤ(ݔଶ,ݕଶ),则有ݔଵ+ݔଶ=2,ݕଵ+ݕଶ=2,௬భି௬మ௫భି௫మ=ଵଶ,௬భା௬మ௫భା௫మ=݇ைெ=1,ቐ௫భమమ−௬భమమ=1௫మమమ−௬మమమ=1,两式相减可化为ଵమ−ଵమ.௬భି௬మ௫భି௫మ⋅௬భା௬మ௫భା௫మ=0,可得మమ=ଵଶ,所以ܽ=√2ܾ,ܿ=√3ܾ,双曲线的离心率为=√ଷ√ଶ=√ଶ.故选B. 解法二由题知ܯ(1,1),由݇⋅݇ைெ=మమ得ଵଵ⋅ଵଶ=మమ,可得మమ=ଵଶ,所以ܽ=√2ܾ,ܿ=√3ܾ,双曲线的离心率为=√ଷ√ଶ=√ଶ.故选B 结论结论二十三二十三二十三、、斜率乘积斜率乘积定定值模值模型型(二)经过原点的直线݈与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)相交于ܯ,ܰ两点,ܲ是双曲线上的动点,直线ܲܯ,ܲܰ的斜率都存在,则݇ெ⋅݇ே为定值మమ=݁ଶ−1【例23】过原点的直线与双曲线௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)交于ܯ,ܰ两点,ܲ是双曲线上异于ܯ,ܰ的一点,若直线ܯܲ与直线ܰܲ的斜率都存在且乘积为ହସ,则双曲线的离心率为________. 【答案】ଷଶ【解析】解法一由双曲线的对称性,可设ܲ(ݔ,ݕ),ܯ(ݔଵ,ݕଵ),则ܰ(−ݔଵ,−ݕଵ),由݇ெ⋅݇ே=ହସ,得௬బି௬భ௫బି௫భ⋅௬బା௬భ௫బା௫భ=ହସ,即ݕଶ−ݕଵଶ=ହସ(ݔଶ−ݔଵଶ),即ହସݔଶ−ݕଶ=ହସݔଵଶ−ݕଵଶ又 因为ܲ(ݔ,ݕ),ܯ(ݔଵ,ݕଵ)均在双曲线上,所以௫బమమ−௬బమమ=1,௫భమమ−௬భమమ=1,所以మమ=ହସ.所以 双曲线的离心率݁==ට1+మమ=ଷଶ.解法二݇ெ⋅݇ே=మమ=݁ଶ−1=ହସ,所以݁=ଷଶ【变式】ܲ(ݔ,ݕ)(ݔ≠±ܽ)是双曲线ܧ:௫మమ−௬మమ=1(ܽ>0,ܾ>0)上一点,ܯ,ܰ分别是双曲线ܧ的左、右顶点,直线ܲܯ,ܲܰ的斜率之积为ଵହ,则双曲线的离心率为________.【答案】√ଷହ【解析】解法一点ܲ(ݔ,ݕ)(ݔ≠±ܽ)在双曲线௫మమ−௬మమ=1上,有௫బమమ−௬బమమ=1.由题意又有௬బ௫బି⋅௬బ௫బା=ଵହ,可得ܽଶ=5ܾଶ,ܿଶ=ܽଶ+ܾଶ=6ܾଶ,则݁==√ଷହ解法二݇ெ⋅݇ே=మమ=݁ଶ−1=ଵହ,所以݁=√ଷହ.。
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第51讲 双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形．(2)如下图：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，即||FP 1＝||FP 2＝b2a.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线．(3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)正确．因为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即x 2a 2－y 2b 2＝0，所以当λ＞0时，x 2λm 2－y 2λn 2＝1(m ＞0，n ＞0)的渐近线方程为x 2λm 2－y 2λn 2＝0，即x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．2．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若||PQ ＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．8 2解析 由双曲线定义知，||PF 2－||PF 1＝42，||QF 2－||QF 1＝42，∴||PF 2＋||QF 2－(||PF 1＋||QF 1)＝8 2. 又||PF 1＋||QF 1＝||PQ ＝7， ∴||PF 2＋||QF 2＝7＋8 2. ∴△PF 2Q 的周长为14＋8 2.3．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4D ．4 2解析 双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，所以实轴长2a ＝4，故选C ．4．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为x a ±y3＝0.整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2，故选C ．5．(2017·北京卷)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝__2__.解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以1＋m1＝3，解得m ＝2.一 双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义和标准方程中的注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混． 【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( B )A ．x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1(2)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．42B ．83C ．24D ．48(3)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( C )A ．37＋4B ．37－4C ．37－25D ．37＋2 5解析 (1)由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3，由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)双曲线的实轴长为2，焦距为||F 1F 2＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝||PF 1－||PF 2＝43||PF 2－||PF 2＝13||PF 2，∴||PF 2＝6，||PF 1＝8，∴||PF 12＋||PF 22＝||F 1F 22，∴PF 1⊥PF 2. ∴S △PF 1F 2＝12||PF 1·||PF 2＝12×6×8＝24. (3)|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.二 双曲线的几何性质及其应用双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解． 【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A )A ．2B ．3C ．2D ．233(3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右顶点为A ，过其左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，且MA →·NA →>0，则该双曲线的离心率的取值范围为( B )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析 (1)∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54，∴a 2＝4b 2，b a ＝12，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±12x .(2)依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a 2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2.故选A ． (3)由题意，可得M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，A (a,0)， ∴MA →＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ，－b 2a ，NA →＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ，b 2a .∵MA →·NA →＞0，∴(a ＋c )2－b 4a 2＞0，∴a ＋c －b 2a＞0，∴2a 2＋ac －c 2＞0，即e 2－e －2＜0，又∵e ＞1，解得1＜e ＜2，故选B ．三 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系的解决方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．【例3】 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值． 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2k 1－k 2>0且－21－k 2>0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，∴x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8，设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得 (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14，故k ＝52，m ＝±14.1．已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，点P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( C )A ．233B ．2C ．2D ．263解析 F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2||x 0＝2，故选C ．2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A ，B ，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( D ) A ．52 B ．53 C ．132D ．133解析 由题意可求得||AB ＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133，即e＝133，故选D ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若||PF 1＋||PF 2＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( B )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意不妨设||PF 1－||PF 2＝2a ，∵||PF 1＋||PF 2＝6a ，∴||PF 1＝4a ，||PF 2＝2a ，∵||F 1F 2＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选B ．4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为233. 解析 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·cos30°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233.易错点 求曲线方程时，忽略定义的应用错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手．【例1】 已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程为________．解析 如图，||AD ＝||AE ＝8，||BF ＝||BE ＝2，||CD ＝||CF .所以||CA －||CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案 x 29－y 216＝1(x >3)【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A ．2B ．32C ．3D ．2解析 由MF 1⊥x 轴上，得M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a ， 由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13，化简得a ＝b ， ∴e ＝ 2.故选A ．课时达标 第51讲[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( D )A ．5x 2－45y 2＝1B ．x 25－y 24＝1C ．y 25－x 24＝1D ．5x 2－54y 2＝1解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为 F (1,0)，∴c ＝1，∴e ＝c a ＝1a ＝5，得a 2＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，则双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，故选D ．2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A ．63B ．2C ．63或2 D ．22或 3 解析 根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝63；当m ＝－3 时，e ＝2，故选C ．3．双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y ＋a )2＝1相切，则正实数a ＝( C )A ．174 B ．17 C ．52D ． 5解析 ∵双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，圆心为(0，－a )，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得|2a |5＝1，解得a ＝52.4．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( D )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5，双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选D ．5．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )A ．x 24－y 24＝1B ．x 28－y 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．x 28－y 24＝1解析 由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x ，由P (0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故选B ．6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由已知得1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得b a ＝12，故选A ． 二、填空题7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为__x 2－y 23＝1__. 解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直， ∴双曲线的渐近线的斜率为3，即b a＝ 3.① 由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |2＝1， ∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3 ，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 8．若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2≤4，所以1<e ≤2.9．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2x __. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p . 由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2·x 1＋x 2p ， 则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．解析 (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23， 0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝ (－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离bc b 2＋a 2＝3，即b ＝3， ∴双曲线方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解析 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 故双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。