第15讲 图的定义与存储结构
图论(C++版)
基本思想：对图的每个顶点建立一个单链表，存储该顶点所有邻接顶点及其相关 信息。 每一个单链表设一个表头结点。 第i个单链表表示依附于顶点Vi的边(对有向图是以顶点Vi为头或尾的弧)。 图的邻接表存储法，又叫链式存储法。本来是要用链表实现的，但大多数情况下 只要用数组模拟即可。
• 邻接表（有向图） • 邻接表的处理方法是这样： • 图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表 来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。 • 图中每个顶点Vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点 的个数不确定，所以我们选择用单链表来存储。
• 1.二维数组邻接矩阵存储
• • •
基本思想：对于有n个顶点的图，用一维数组vexs[n]存储顶点信息，用二维数组
A[n][n]存储顶点之间关系的信息。该二维数组称为邻接矩阵。在邻接矩阵中，以顶点 在vexs数组中的下标代表顶点，邻接矩阵中的元素A[i][j]存放的是顶点i到顶点j之间关 系的信息。
• 建立邻接矩阵时，有两个小技巧:
• 初始化数组大可不必使用两重for循环。 • 1) 如果是int数组，采用memset(g, 0x7f, sizeof(g))可 全部初始化为一个很大的数(略小于0x7fffffff)， • 使用memset(g, 0, sizeof(g))，全部清为0， • 使用memset(g, 0xaf, sizeof(g))，全部初始化为一个很 小的数。 • 2)如果是double数组，采用memset(g,127,sizeof(g));可 全部初始化为一个很大的数1.38*10306， • 使用memset(g, 0, sizeof(g))全部清为0.
简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复 出现，则称这样的图为简单图。以下两个则不属于简单图：
逻辑结构知识点总结图
逻辑结构知识点总结图一、逻辑结构的基本概念1. 逻辑结构的定义逻辑结构是指数据元素之间的相互关系，它独立于数据的存储结构。
逻辑结构反映了数据元素之间的逻辑关系，包括集合结构、线性结构、树形结构和图形结构四种基本类型。
2. 逻辑结构的分类（1）集合结构：集合结构中的数据元素之间没有明显的层次关系，元素之间的关系是相互独立的。
（2）线性结构：线性结构中的数据元素之间存在一对一的关系，即每个元素都只有一个直接前驱和一个直接后继。
（3）树形结构：树形结构中的数据元素之间存在一对多的关系，即每个元素可以有多个直接后继，但只能有一个直接前驱。
（4）图形结构：图形结构中的数据元素之间不存在明显的层次关系，元素之间的关系是任意的。
二、线性结构1. 线性表的定义线性表是n个数据元素的有限序列，每个元素最多只有一个直接前驱和一个直接后继。
2. 线性表的顺序存储结构线性表的顺序存储结构是把线性表的元素按其逻辑顺序依次存放在一块连续的存储空间中。
3. 线性表的链式存储结构线性表的链式存储结构是通过一组以地址存放的数据元素来表示线性关系。
4. 线性表的应用线性表常被用于实现各种常见的数据结构，如栈、队列和串等。
三、树形结构1. 树的定义树是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合满足以下条件：（1）有且仅有一个特定的结点称为根结点；（2）其余的结点可以分为m(m≥0)个互不相交的、且每个集合本身又是一棵树的子集合。
2. 二叉树的定义二叉树是每个结点最多只有两个子结点的树。
3. 树的存储结构树的存储结构可以使用顺序存储结构或链式存储结构。
4. 树的遍历树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
5. 树的应用树结构常被用于实现各种数据结构，如二叉搜索树、平衡二叉树和哈夫曼树等。
四、图形结构1. 图的定义图是一个包含顶点集合V和边集合E的数据结构，其中每条边都连接一对顶点。
2. 图的存储结构图的存储结构可以使用邻接矩阵或邻接表两种方式。
《图的定义和术语》课件
连通图(connected graph)
连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
强连通图(strongly connected graph)
强连通图是指有向图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
无向图(undirected graph)
无向图是指边没有方向的图，任意两个顶点之间都存在边连接。
邻接矩阵是一种表示图的方式，使用二维数组来记录顶点之间的连接关系。
邻接表(adjacency list)
邻接表是一种表示图的方式，使用链表或数组来记录每个顶点的相邻顶点。
图的遍历(traversing the graph)
图的遍历是指按照某种规则遍历图中的所有顶点和边，例如深度优先搜索和广度优先搜索。
图的着色是指给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同。
欧拉图(Eulerian graph)
欧拉图是指可以沿着每条边只经过一次的闭合路径遍历图中所有边的图。
哈密顿图(Hamiltonian graph)
哈密顿图是指可以沿着一条路径遍历图中所有顶点一次且只一次的图。
邻接矩阵(adjacency matrix)
《图的定义和术语》PPT 课件
本课件将介绍图的定义和一些重要术语，包括顶点、边、路径、圈、简单图、 完全图等，以及图的遍历和邻接矩阵等。
简介
什么是图
图是由一些点和这些点之间连接关系组成的 数据结构，常用于解决各种实际问题。
图的用途
图可以用于模拟网络、路径规划、社交网络 分析等领域，具有广泛的应用价值。
图的定义
图由顶点集合和边集合组成，一般用V表示顶点集合，用E表示边集合。
顶点(vertex)
顶点是图的基本元素，通常用不同的符号或编号表示。在图中表示为圆点。
图的知识点总结归纳
图的知识点总结归纳图是离散数学中的一个重要概念，它可以用于描述各种实际问题，并在计算机科学、网络理论、算法设计等领域具有广泛的应用。
本文将对图的基本概念、表示方法、图的遍历算法和最短路径算法等进行总结归纳，并讨论其应用。
一、图的基本概念图由节点（顶点）和连接节点的边组成。
顶点之间的连接关系可以是有向的，也可以是无向的。
图的基本概念如下：1. 无向图：无向图中的边没有方向，节点之间的连接是双向的。
例如，社交网络中的朋友关系可以用无向图表示。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示节点之间的单向连接关系。
例如，网页之间的超链接可以用有向图表示。
3. 加权图：加权图中的每条边都有一个权重值，表示边上的距离或者耗费。
例如，地图中的道路可以用加权图表示。
二、图的表示方法图有多种表示方法，常用的有邻接矩阵和邻接表。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列表示图的顶点，矩阵中的元素表示顶点之间的连接关系。
对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，邻接矩阵不一定对称。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的集合，其中每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
三、图的遍历算法图的遍历算法用于访问图中的所有节点，常用的算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索（DFS）：从一个顶点开始，沿着一条路径一直遍历到最后一个顶点，然后回溯到前一个顶点，再遍历其他路径。
DFS可以使用递归或者栈来实现。
2. 广度优先搜索（BFS）：从一个顶点开始，先访问它的所有邻居顶点，然后再依次访问它们的邻居顶点，直到遍历完所有节点。
BFS可以使用队列来实现。
四、最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个节点之间的最短路径。
常用的算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
1. 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法用于计算从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
算法使用一个距离数组来存储从起点到每个顶点的当前最短距离，并使用一个优先队列来选择下一个访问的顶点。
数据结构-图及其存储结构
for (j=0;j<G.vexnum;+ +j ) adj Info G.arcs[i][j]={∞,NULL}; //Arccell的形式为: for (k=0;k<G.arcnum;+ +i ) { //二维数组存放各边上的信息 scanf(v1,v2,w); i=locatevex(G,v1); j=locatevex(G,v2); //求顶点v1,v2在图中的位置 G.arcs[i][j].adj=w; G.arcs[j][i].adj=w; //无向网的邻接矩阵是对称的 if (IncInfo) Input (*G.arcs[i][j].info); //将弧上的信息存储在指针info
case UDN: return CreateUDN(G);
default : return ERROR; }//CreateGraph
二、存储结构
2.数组表示法前提下图的输入
*以无向网为例,即当用户输入图的类型标志为UDN时,有：
Status CreateUDN(MGraph &G){ scanf(G.vexnum,G.arcnum,IncInfo); //IncInfo 为0时表示各弧
v2 6 5
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 v4
一个连通无向图的生成树是该图的一个连通分量，它 包含有该图的所有n个顶点以及连接这n个顶点的（n-1） 条边。 边或弧上带权值的图称为带权图或网（分为无向网和 有向网）。 一个无向图的所有生成树中，边上的权值之和最小的 生成树称为该图的最小生成树或最小代价生成树。
数据结构图的存储结构及基本操作
数据结构图的存储结构及基本操作数据结构图的存储结构及基本操作1·引言数据结构图是一种用来描述数据元素之间关系的图形结构，它可以表示实体之间的联系和依赖关系。
本文将介绍数据结构图的存储结构及基本操作。
2·存储结构2·1 邻接矩阵邻接矩阵是使用二维数组来表示数据结构图中各个节点之间的关系。
矩阵的行和列代表节点，如果两个节点之间存在边，则矩阵相应位置的值为1，否则为0。
2·2 邻接表邻接表是使用链表来表示数据结构图中各个节点之间的关系。
每个节点都有一个链表，链表中的每个元素表示与该节点相邻的节点。
2·3 十字链表十字链表是使用链表来表示数据结构图中各个节点之间的关系。
每个节点都有两个链表，一个表示该节点指向的节点，另一个表示指向该节点的节点。
2·4 邻接多重表邻接多重表是使用链表来表示数据结构图中各个节点之间的关系。
每个节点都有一个链表，链表中的每个元素表示与该节点相邻的边。
3·基本操作3·1 创建图创建一个空的数据结构图，根据需要选择适当的存储结构。
3·2 插入节点在数据结构图中插入一个节点，并建立与其他节点的关系。
3·3 删除节点从数据结构图中删除一个节点，并删除与其他节点的关系。
3·4 插入边在数据结构图中插入一条边，连接两个节点。
3·5 删除边从数据结构图中删除一条边，断开两个节点的连接。
3·6 遍历图按照某种规则遍历整个数据结构图，访问每个节点。
本文档涉及附件：无本文所涉及的法律名词及注释：1·邻接矩阵：用于表示图的存储结构，矩阵的行和列代表图的节点，矩阵的值表示节点之间的连接关系。
2·邻接表：用于表示图的存储结构，每个节点都有一个链表，链表中的每个元素表示与该节点相邻的节点。
3·十字链表：用于表示图的存储结构，每个节点都有两个链表，一个表示该节点指向的节点，另一个表示指向该节点的节点。
图的定义和基本术语图的存储结构图的遍历生成树最短路径
DeleteVex(&G, v) //删除顶点 初始条件: 图G存在， v和G中顶点有相同特性 。 操作结果:删除G中顶点v及其相关的弧。
InsertArc(&G, v, w) //插入弧 初始条件:图G存在，v 和w是G中两个顶点。 操作结果:在G中增添弧<v,w>，若G是无向的， 则还增添对称弧<w,v>。
DestroyGraph (&G ) // 销毁 初始条件:图G存在。 操作结果:销毁图G 。
LocateVex(G, u) // 定位 初始条件:图G存在，u 和G中顶点有相同特性 。 操作结果: 若G中存在顶点u ，则返回该顶点在 图中位置 ；否则返回其它信息。
GetVex(G, v)// 求值 初始条件:图G存在，v 是G中某个顶点。 操作结果:返回v的值。
//{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell {// 弧的定义 VRType adj;//VRType是顶点关系类型。对无权图，
//用1或0表示相邻否；对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell ,
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM];
V2
V3
0110 0000 0001 10 0 0
//－ －图的数组(邻接矩阵)存储表示－－
#define INFINITY INT_MAX //最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,UDG, UDN }graphkind；
表示，称为无向边；
数据结构-图的定义和术语
继续进行 ·3
·4
搜索。
·5
·6
·7
·3 ·1
·2
·4 从结点 5 出发的搜索序列：
5、6、2、3、1、4、7 适用的数据结构：栈
图的遍历
2、广度（宽度）优先搜索:
• 树：
A
B
C
D
EFG H
I JK
树的按层次进行访问的次序： A、B、C、D、E、F、G、H、 I、J、K、L
适用的数据结构：队列
L A
1
·1
2
12
11
·2
·11
·12
3
6
7
10
·3 ·6 ·7
·10
4
5
8
9
·4 ·5 ·8
·9
图的广度优先的访问次序：
1、2、11、12、3、6、7、10、4、5、8、9
适用的数据结构：队列
图的连通性问题
2、有向图的强连通分量的求法：续 •强连通分量的求法：
1、对有向图 G 进行深度为主的搜索，按照退 出该结点的次序给结点进行编号。最先退 出的结点的编号为 1，其它结点的编号按 次序逐次增大 1。
点1
3 已在U中
16 21 35
0 0 0
lowcost 表示最小距离
4∞ 0
adjvex 表示相应结点(在V －U中的)
5∞
0
lowcost adjvex
U1
6
5 1
25 35 4
3
6
4
2
566 图G
数组：closedge[ 6 ]
00 15 2 20 35 0 46 2 54 2
lowcost adjvex
储存结构的概念
储存结构的概念储存结构是指数据在计算机中的存储方式和组织形式。
计算机程序中的数据需要在内存中进行存储和处理，因此储存结构的选择对程序的执行效率和数据访问效率有重要的影响。
常见的储存结构包括线性储存结构、链式储存结构和树形储存结构等，每种储存结构都有其特点和适用场景。
线性储存结构是将数据按照线性顺序存放的一种储存方式。
线性储存结构分为顺序储存结构和链式储存结构。
顺序储存结构是将数据按照顺序存放在一块连续的内存空间中，通过元素在内存中的相对位置来表示元素之间的关系。
顺序储存结构可以灵活地进行元素的插入和删除操作，但在元素的插入和删除时需要移动大量的数据，导致操作的效率较低。
链式储存结构通过指针将数据以链表的形式链接起来，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
链式储存结构适用于频繁进行插入和删除操作的场景，但由于需要额外的指针开销而占用了更多的存储空间。
树形储存结构是将数据以树的形式进行组织和存储的一种储存方式。
树形储存结构分为二叉树、多叉树和树状数组等。
二叉树是每个节点最多有两个子节点的树形储存结构，可以用于实现二叉搜索树、堆和哈夫曼树等数据结构。
多叉树是每个节点可以有多个子节点的树形储存结构，可以用于实现B树和B+树等用于数据库索引和文件系统的数据结构。
树状数组是将数组转化为二叉树形式的储存结构，可以高效地进行元素的查询和更新操作。
除了上述常见的储存结构外，还有其他特殊的储存结构，如散列表和图等。
散列表是通过哈希函数将数据映射到数组中的一种储存结构，可以实现常数时间复杂度的元素查询操作。
图是由节点和边组成的一种数据结构，可以用于表示复杂的关系和网络结构，常见的储存结构包括邻接表和邻接矩阵。
在实际的程序开发中，选择合适的储存结构是非常重要的。
不同的储存结构适用于不同的应用场景，需要根据数据的操作特点和需求进行选择。
如果需要频繁进行元素的插入和删除操作，链式储存结构通常更加适合；如果需要高效地进行元素的查询操作，可以选择使用散列表；如果需要表示复杂的关系和网络结构，可以选择使用图作为储存结构。
逻辑结构和存储结构的概念
逻辑结构和存储结构的概念一、逻辑结构从定义的角度来说，所谓逻辑结构，指的就是数据之间的逻辑关系，从逻辑关系上来描述数据。
逻辑结构又包括线性结构和非线性结构两种，线性表是一种典型的线性结构，图是一种典型的非线性结构，特别注意：逻辑结构与存储结构无关。
逻辑结构指的就是数据元素之间的关系，这种关系可以是如下的几种：（1）没有关系：一个集合，里面的元素除了同属一个集合以外，没有其他任何关系。
很明显，这是一种非线性的关系。
（2）一对一：线性结构。
线性结构中的元素都是一对一的。
你可以简单的把它理解为一个串，仅有一个开端和一个结尾结点，并且除了开端和结尾外，每个结点只能有一个前驱结点和一个后继结点。
（3）一对多：图或者树就是两种典型的一对多的非线性关系。
从图中可以看到，非线性结构的树和图中的结点除了第一个结点和最后一个结点以外，其余结点能够有一个或者多个前驱和后继。
二、存储结构存储结构，也被称作是物理结构，表述的是含有某种逻辑关系的元素在计算机中存储的方式。
可以理解为数据元素在存储器上的排列方式。
（1）顺序存储：所谓顺序存储，就是把逻辑上相邻的数据元素，存储到计算机的存储器上时，在物理上也是相邻的。
最简单的实现就是数组，我们可以直接把一列元素存储在数组中。
显然，这种实现存储的方式优点是：能够实现随机存取，即通过数组的下标，我们能够很轻松的找到数据元素获取或者修改它。
（2）链式存储：链式存储，就是我们所熟知的链表。
我们无需像顺序存储那样，单独开辟一片连续的存储空间，只需要用到的时候直接分配空间，用指针来实现整个一对一逻辑结构的实现。
这样子做虽然节省了空间、动态扩容，但是问题也很明显：当你想找到编号为n的元素，只能从表头开始遍历。
（3）索引存储：这种存储方式类似于我们的书和目录的关系。
比如书中”第五章“的内容在35页，我们想要找到它，只需要浏览目录，然后通过页码找到相关的内容。
一般存储的时候都是【关键字，地址】这种形式。
数据结构图的存储结构及基本操作
数据结构图的存储结构及基本操作一、数据结构图的存储结构数据结构图是一种表示数据元素之间关系的图形结构，常用于描述实体之间的关系、网络拓扑结构等。
数据结构图的存储结构可以使用邻接矩阵、邻接表等方式进行表示。
1.邻接矩阵存储结构邻接矩阵是使用二维数组表示数据结构图的存储结构。
数组的行和列分别代表数据结构图中的顶点，矩阵中的元素表示对应顶点之间的关系。
例如，如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中(i,j)位置的元素为1；否则为0。
邻接矩阵的优点是可以快速判断两个顶点之间是否存在边，但缺点是当图中顶点较多时，矩阵中大部分元素为0，造成空间浪费。
2.邻接表存储结构邻接表是使用链表表示数据结构图的存储结构。
每个顶点对应一个链表，链表中的节点表示与该顶点直接相连的其他顶点。
顶点的链表可以使用数组或链表等数据结构来表示。
邻接表的优点是可以有效地利用存储空间，只存储存在边的关系，不存储无关边的信息。
但缺点是判断两个顶点之间是否存在边需要遍历链表，时间复杂度较高。
二、数据结构图的基本操作1.创建数据结构图创建数据结构图的操作是初始化一个空的图结构，可以选择使用邻接矩阵或邻接表存储结构。
根据实际需求，可以根据顶点和边的信息逐个添加到图结构中。
2.添加顶点添加顶点是向数据结构图中增加一个新的顶点，可以根据实际需求给顶点赋予相应的值或标识。
添加顶点的操作需要更新邻接矩阵或邻接表的相应位置。
3.添加边添加边是在两个已存在的顶点之间建立连接关系。
根据实际需求，可以指定边的权重或其他属性。
添加边的操作需要更新邻接矩阵或邻接表的相应位置。
4.删除顶点删除顶点是将一个存在的顶点从图结构中移除，同时将与该顶点相关的边也一并删除。
删除顶点的操作需要更新邻接矩阵或邻接表的相应位置。
5.删除边删除边是在两个已存在的顶点之间断开连接关系。
删除边的操作需要更新邻接矩阵或邻接表的相应位置。
6.查找顶点查找顶点是根据给定的值或标识在图结构中查找相应的顶点。
结构图的定义结构图的分类算法结构的特点
一、结构图的分类
1.结构图又分为知识结构图，组织结构图，其它结构图等。
2.程序框图就是一种特殊的结构图，结构图中的文字和符号要简练清楚，遇到具体问题要认真分析，一般先设计算法步骤，然后用适当的流程图来描述算法。
二、算法结构的特点：
算法结构中的选择结构反映了分类讨论这一数学思想方法，特别是运用计算机处理问题时，更能有效地发挥分类讨论的功效。
三、结构图的定义:
1.由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成的图示，叫做结构图。
2.连线通常按照从上到下、从左到右的方向表示要素的从属关系或逻辑的先后关系。
3.由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成的图示，叫做结构图。
4.连线通常按照从上到下、从左到右的方向表示要素的从属关系或逻辑的先后关系。
图的定义
(1)创建有向图邻接表 void Create_adj(AdjList adj, int n)
{
for (i=0;i<n;i++){ //初始化顶点数组
scanf(&adj[i].item);
adj[i].firstedge=NULL; } scanf(&i,&j); //输入弧
while (i) {
下面我们讨论一下如何实现深度优先算法。 为了便于在算法中区分顶点是否已被访问过，需 要创建一个一维数组visited[0..n-1]（n是图中顶点的数 目），用来设置访问标志，其初始值visited[i] （0≤i≤n-1）为“0”，表示邻接表中下标值为i的顶点 没有被访问过，一旦该顶点被访问，将visited[i]置成 “1”。 int visited[0..n-1]={0,0,...0}; void DFS(AdjList adj,int v) {//v是遍历起始点的在邻接表中的下标值，其下标 从0开始 visited[v]=1; visite(adj[v].item); for (w=adj[v].firstedge;w;w=w->next) if (!visited[w->adjvex]) DFS(adj,w->adjvex); }
int n;
}Graph;
6.2.2
邻接表
边结点的结构为：
adjvex
next
adjvex是该边或弧依附的顶点在数组中的下标， next是指向下一条边或弧结点的指针。
图 6-6
构成一维数组的顶点结构为：
item
针。
firstedge
item是顶点内容，firstedge是指向第一条边或弧结点的指
图的种类及储存方式
图的种类及储存⽅式⼀.图的种类（以下的分类不是并列的）1.有向图：图中边的⽅向是⼀定的，不能逆序⾛。
2.⽆向图：图中的边没有⽅向，可以逆序⾛。
没有正负⽅向3.完全图：完全图：对于顶中的每⼀个顶点，都与其他的点有边直接相连⽆向完全图：任意⼀个具有n个结点的⽆向简单图，其边数n*(n-1)/2;我们把边数恰好等于n*(n-1)/2的n个结点的称为完全图。
有向完全图：在⼀个n个结点的中，最⼤边数为n*(n-1)。
4.稀疏图和稠密图：⼀般的对于⼀个图来说，边的数⽬多的就是稠密图，边的数⽬少的就是稀疏图。
5.⼆部图与完全⼆部图（⼆部图也就是⼆分图）⼆分图的概念：简⽽⾔之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的⼦集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的⼦集，两个⼦集内的顶点不相邻。
两个⼦集：A，B；性质满⾜：A∩B=∅，A∪B=V，这就是⼆分图。
6.图的⽣成树：把图中的n个点，和图中的n-1条边挑出来，如果这n-1条边能把这n个点连起来，那这就是图的⼀个⽣成树7.有向⽹，⽆向⽹：⽹就是加权的图8.活动⽹络：AOV图：顶点是活动，有向边表⽰活动之间的前驱后继关系--拓扑排序AOE图：E，也就是⽤边表⽰活动，⽤边表⽰的⽬的是利⽤边的权值，⽐如⽤边的权值表⽰最长时间--关键路径⼆：图的存储表⽰1. 邻接矩阵也就是⽤jz[i][j]表⽰i--j的连通情况，可以表⽰权值，也可以表⽰是否连通。
2.邻接表：就是把同⼀个顶点出发的边的链接储存在同⼀个边链表中，边链表的每⼀个结点代表⼀条边，称为边结点，边结点包括的信息可以⾃⼰确定。
⼀种⽅法：g[i][j]代表从i出发的第j条边的编号，对应着edge数组中的储存着边的信息，可以直接从g[i]得到从i出发的边的数⽬。
另⼀种就是边表了。
3.边表：就不介绍了，因为⼀直以来我都是⽤“邻接矩阵”和“边表”的，⽐较熟悉。
《图的存储结构》PPT课件
（4）网的邻接矩阵
网的邻接矩阵可定义为：
wi,j 若<vi, vj>或(vi, vj) ∈VR A[i][j] =
∞ 反之
例如，下图列出了一个有向网和它的邻接矩阵。
V1
5
V2
5 7
3
84
4
V6
79
V3
8 9 5 6
1
6
V5
5
5
5
V4
3 1
(a) 网N
精选ppt (b) 邻接矩阵
7
（5）图的构造
01
∧
2 1∧
精选ppt
2 0∧∧
0 2∧∧
19
（3）C语言描述
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef struct ArcBox {
int
tailvex, headvex;
//该弧的尾和头顶点的位置
struct ArcBox * hlink, * tlink;
//分别为弧头相同和弧尾相同的弧的链域
精选ppt
14
在无向图的邻接表中， 顶点Vi的度恰为第i个
B
链表中的结点数。
A
0A 1 4
1B 0 4 5
F
2C 3 5
3D 2 5
4E 0 1
5F
1
2 3 精选ppt
C D
E
15
有向图的邻接表
A
B
E 0A
CF
1B
可见，在有向图的 2 C 邻接表中不易找到 3 D 指向该顶点的弧 4 E
精选ppt
精选ppt
9
7.2.2邻接表表示法(Adjacency List)
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0 v0 1 v1 2 v2 3 v3 ∧ 2 0 3 0∧
0 1
0 2
∧
2 3 ∧∧ 3 1∧ 3 2 ∧∧ 十字链表
第七章 图
无向图的邻接多重表表示
无向图的邻接多重表表示中，每条边只表示一次。 无向图的邻接多重表表示中，每条边只表示一次。 V0 (vi,vj)
mark ivex
<v0,v1>
<v0,v2>
0 v0 1 v1 2 v2 3 v3 2 0 3 0∧
0 1
0 2
∧
V2
V3
2 3 ∧∧ 3 1∧ 3 2 ∧∧
逆邻接链表
第七章 图
V0
V1
有向图的十字链表表示
V2 V3
将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的链表。 将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的链表。 在十字链表中，顶点结点存储数据元素 弧结点存储 存储数据元素， 在十字链表中，顶点结点存储数据元素，弧结点存储 弧及其上的信息。 弧及其上的信息。
图的数组表示法
V0
V1
V2
V3
第七章 图
数组表示法的特点
1）无向图的邻接矩阵是对称矩阵，有向图的邻接矩阵不一定 无向图的邻接矩阵是对称矩阵， 对称矩阵 是对称的； 是对称的； 2）顶点 的度：等于二维数组对应行（或列）中值为 的元素 的度： ）顶点v的度 等于二维数组对应行（或列）中值为1的元素 个数； 个数； 顶点v的出度 等于二维数组对应行中值为1的元素个数 的出度： 的元素个数； 顶点 的出度：等于二维数组对应行中值为 的元素个数； 顶点v的入度 等于二维数组对应列中值为1的元素个数 的入度： 的元素个数； 顶点 的入度：等于二维数组对应列中值为 的元素个数； 判断两顶点v 是否为邻接点： 3）判断两顶点v、u是否为邻接点：只需判二维数组对应分量 是否为1 是否为1 顶点不变，在图中增加、删除边： 4）顶点不变，在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分 量赋值1或清0 量赋值1或清0； 设图G 占用的存储空间为： 5）设图G的顶点数为 n , 则G占用的存储空间为：n+n2；图的 存储空间占用量只与它的顶点数有关，与边数无关，适用于 存储空间占用量只与它的顶点数有关，与边数无关， 边稠密的图。 边稠密的图。
V0
V1
<vi,vj>
弧结点 tailvex headvex hlink
<v0,v1>
tlink
info
<v0,v2>
0 v0 1 v1 2 v2 3 v3 ∧ 2 0 3 0∧
0 1
0 2
∧
V2
V3
2 3 ∧∧ 3 1∧ 3 2 ∧∧ 邻接链表
第七章 图
有向图的十字链表表示
将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的链表。 将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的链表。 在十字链表中，顶点结点存储数据元素 弧结点存储弧及其 存储数据元素， 在十字链表中，顶点结点存储数据元素，弧结点存储弧及其 上的信息。 上的信息。 V0 V1
Байду номын сангаас下标
例
数组元素结构
V0 V2 V3
V1
V4
0 v0 1 v1 2 v2 3 v3 4 v4
1 0
3 ∧ 2
4 ∧ 4 ∧
3 1 0 2 ∧ 1 2 ∧ 无向图的邻接表
第七章 图
有向图的邻接表
顶点： 顶点：顺序结构 以同一顶点为起点 起点的 用线性链表存储（出边表） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储（出边表）
第七章 图
生成树 着眼点：将图简化为树
无 向 不连通的无向图中，各连通分量的生成树的 图 生成森林 集合。
强连通有向图中，n个顶点和n-1条弧，构 成的单向连通子图(vi、vj间存在一条路径) 一个顶点入度为０，其余顶点入度为１。
生成树
连通无向图中，n个顶点和n-1条边，构成的 连通子图。（原连通图的极小连通子图）
第七章 图
有向图的十字链表表示
将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的链表。 将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的链表。 在十字链表中，顶点结点存储数据元素 弧结点存储弧及其上的信息 存储数据元素， 在十字链表中，顶点结点存储数据元素，弧结点存储弧及其上的信息 。
顶点结点
data firstin firstout
mark ivex
V1 V2
ilink jvex jlink
（v0,v3）
V3 0∧3∧ 2 3
V4
（v0,v1）
0 1 2 3 4
v0 v1 v2 v3 v4
0 2 4
1 1 1 ∧
4∧ 2 ∧
第七章 图
根据邻接表绘制逆邻接表 已知某图的出边表如下所示，请写出该图 的入边表。
一笔画问题的本质：图结构中的边遍历问题。 应用领域：车间/厂房布置、行走路线的安排、交通 设计…
第七章 图
有关路径 着眼点：顶点间的联系
顶点间路径 Vi,……,Vj 顶点间连通 若从Vi到Vj有路径，称Vi到Vj是连通的 路径长度 路径上边/弧的数目。 简单路径 路径中所有顶点各不相同。 回路 路径中，起点和终点是同一顶点。 简单回路 除起点和终点外，其余顶点各不相同
数据结构
第15讲 图的定义与存储结构
主讲人：陈红丽
第七章 图
基本概念
G = (V, E) V是顶点集，E是顶点间二元 关系的集合。 与树的区别：
①树有特殊的根结点； ②树的结点和关系能分成互不相交的若干子集
第七章 图
有向图 边：二元关系是无序的。弧：二元关系是有序的。 (vi,vj)：vi,vj互为邻接点 <vi,vj>：弧头vj、弧尾vi
有 向 图
生成树
生成森林
非强连通的有向图中，各强连通分量的生成 树的集合。
第七章 图
图的抽象数据类型的定义（自学） 图的抽象数据类型的定义（自学）
V0 V1 V2 V3 V4
图的存储结构
图的存储结构至少要保存两类信息： 图的存储结构至少要保存两类信息： 至少要保存两类信息 1)顶点的数据 1)顶点的数据 2)顶点间的关系 边或弧） 顶点间的关系（ 2)顶点间的关系（边或弧） 3)权的信息（可以没有） 3)权的信息（可以没有） 权的信息
arcs[i][j]=
第七章 图
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0 Graph G1; 1 0 1 0 1 G1.arcs= 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 G1.vexnum=5； G1.arcnum=6; 0 1 1 0 0 G1.vexs={V0,V1,V2,V3,V4}; 0 1 1 0 Graph G2; G2.arcs= 0 0 0 0 0 0 0 1 G2.vexnum=4； 1 0 0 0 G2.arcnum=4; G2.vexs={V0,V1,V2,V3};
无向图
G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4} E1={(v1,v2),(v1,v3), (v1,v4),(v2,v3), (v2,v4),(v3,v4)}
G2=(V2,E2) V2={v1,v2,v3,v4} E2={<v1,v2>, <v2,v1>, <v2,v3>, <v4,v3>}
2 1 2 1 1 1
8 8 2 7 4 9
5 3 5 2 6 4
4 2 2 1 6 2
6 4 6 3 3 5
9 1 2 3 2 6
4 ∧ 4 6 ∧ 3
7 3 2 2
∧ ∧ ∧ ∧
(c) 邻接链表
第七章 图
图的邻接表表示
typedef struct ArcNode{ int adjvex; double weight; struct ArcNode *nextarc; }ArcNode; typedef struct { VertexType data; ArcNode *firstarc; }AVexNode;
第七章 图
有关连通 着眼点：将不连通图简化为连通图
连通图 无向图的 连通分量 强连通图 有向图的 强连通分量
V0 无向图中,任意二个顶点之间是连通的 无向图的极大连通子图。 有向图中,任意二个顶点之间存在来往路径。 有向图的极大强连通子图。 V1 V0 V1
V2
V3
V2
V3
非强连通图
有两个强连通分量
下标
例
V0
V1
V2
V3
有向图的逆邻接表
例
V0 V1
0 v0 1 v1 ∧ 2 v2 3 v3
下标
1 3 ∧ 0 ∧
2 ∧
以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储（入边表） 以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储（入边表） 终点的弧 0 v0 1 v1 2 v2 3 v3 3 ∧ 0 ∧ 0 ∧ 2 ∧
V2
第七章 图
常见应用 ①信息的组织：家庭照片管理…… ②运输问题：最短路径问题、最优乘车路 线问题…… ③网络规划：小区设店问题、区域连通的 规划问题…… ④进度组织：工程进度管理……
第七章 图
图的分类 存储结构的选择
2 0
2
2 4 3 0 1 0
1 0
1 5
5
4 1 0
1
1 5
4
3
6
无向完全图 有向完全图 稀疏图 稠密图 带权图
V1 V2
ilink jvex jlink
（v0,v3）
V3 0∧3∧ 2 3
V4
（v0,v1）
0 1 2 3 4
v0 v1 v2 v3 v3