第一章-1.4.1集合运算1
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
第一章 集合的概念及运算(集合论讲义)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
4
|
A1
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
=
125
，|
A2
|=
⎢ 250 ⎢⎣ 3
⎥ ⎥⎦
=
83
，|
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
=
50
，|
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 7 ⎥⎦
=
35
，
|
A1
∩
A2
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 2× 3⎥⎦
=
41
，|
A1
∩
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣2× 5⎥⎦
=
(6) 吸收律 A ∪ ( A ∩ B) = A ， A ∩ ( A ∪ B) = A (7) 零律 A ∪ E = E ， A ∩ ∅ = ∅ (8) 同一律 A ∪ ∅ = A ， A ∩ E = A (9) 排中律 A ∪ A = E
5
(10) 矛盾律 A ∩ A = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A − B = A ∩ B
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为
中职教育-数学(基础模块)上册课件：第一章.ppt
2．真子集 如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属 于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作B A（或 A B ）， 读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）． 易知，空集是任何非空集合的真子集．
当集合B是集合A的真 子集时，可用图1-1直观地 表示．两条封闭曲线的内 部分别表示集合A、B．
自然数集
正整数集 常
用 数
整数集
集
有理数集
实数集
所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 N ； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记 作a A ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A ．
一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素．我 们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程x2 9 0 的解 集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，N， Z，Q，R等．
特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 ．例如， 方程 x2 1 0 在实数范围内的解集就是空集．
例1 下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3）方程x2－9=0的所有解； （4）不等式x－7＞0的所有解．
所以这个集合可以表示为
x | x 3，且x 2k 1，k Z ．
（2）解不等式3x 1 0 得 x 1 ，所以该不等式的解
3
集为
x | x
．1
3
（3）平面直角坐标系中的点可表示为(x ，y) ，因此直线 y 2x 1上的点组成的集合为
(x ，y) | y 2x 1．
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
成人高考数学—集合
1.5 充分条件与必要条件
我们在开课时讲的例子也可以这样写： p：两个三角形相似,q：它们的对应角相等, 我们知道p是q的充分条件,但是由于对应角 相等的三角形也相似,所以我们说q也是p的 充分条件,即,p是q的充分条件,也是p的必要 条件,
例2：1.4.2源自并集已知N= 自然数 ,Z= 整数 ,求N∪Z,
解：N∪Z= 自然数 ∪ 整数 = 整数
1.4.3 补集
观察下列各组中的三个集合,它们之间有什 么关系 1 S= -2,-1,1,2 ,A= -1,1 ,
B= -2,2 ； 2 S=R,A= x|x≤0,x∈R ,
B= x|x>0,x∈R ,
1.4.2 并集
观察下列集合A,B,C有怎样的关系 A= 2,4,6 ,B= 4,8,12 , C= 2,4,6,8,12
容易看出来,集合C中的元素是由集合A和 集合B中的元素合并在一起构成的
1.4.2 并集
定义： 一般的,对于两个给定集合A,B,把它们所有 的元素合并在一起构成的集合,叫做A与B的 并集,记作A∪B,读作A并B,
例1：说出下面两个集合的关系 1 A= 1,3,5,7 ,B= 3,7 ； 2 C= x|x2=1 ,D= -1,1 ； 3 E= 偶数 ,F= 整数 ,
解： 1 B A
2C = D
3 E F
1.4 集合的运算
1.4.1 交集 1.4.2 并集 1.4.3 补集
1.4.1 交集
1、 观察下列两组集合并用图示法表示出来 1 A= x|x为会打篮球的同学 ,B= x|x为会打排
护理高职数学(第一册)第一章集合知识梳理
高职护理1708数学（第一册）概念知识梳理（1）第1章集合§1.1集合与元素1.一般的，有某些确定的对象所组成的整体叫做集合.集合通常用大写英文字母A 、B 、C ，…表示.2.集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素.集合的元素通常用小写英文字母a 、b 、c ，…表示.3.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉ A.4.一般的，含有有限个元素的集合，叫做有限集；含有无限个元素的集合，叫做无限集。
5.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø.如方程032=+χ的实数解组成的集合就是空集.6.如果集合中的元素是数，那么这样的集合叫做数集.常用数集及其符号如下表.数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N +Z Q R7.(补充)素（质）数、合数概念：“1”既不是素数也不是合数.8.奇（单）数、偶（双）数：偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数.§1.2集合的表示方法1.一般的，把集合中的元素一一例举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，用列举法表示集合，元素之间要用逗号隔开.2.元素的特性：①确定性；②无序性；③互异性.3.一般的，用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式为：｛x |x 具有的共同特征｝.4.不等式的解组成的集合称为不等式的解集。
§1.3集合之间的关系1.我们常用封闭曲线的内部表示集合，这种表示集合的图形叫做维恩（Venn ）图.2.没有公共元素有部分公共元素集合A 都是集合B 的元素3.一般的，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若x ∈A ，则x ∈B ），那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.4.根据子集定义，我们可以得出：A ⊆A ，即任何一个集合是它自身的子集.5.对于空集，我们规定：Ø⊆A ，即空集是任何集合的子集.6.N 、Z 、Q 、R 关系维恩图.(R Q Z N ⊆⊆⊆)7.一般的，对于两个集合A 与B ，如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⫋B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.8.空集是任何非空集合的真子集.9.一般的，如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等.集合A 与集合B 相等记作A=B.10.子集个数计算公式：子集个数=2n （n 是子集的个数）.§1.4集合的运算1.一般的，给定两个集合A 、B ，由既属于集合A 又属于B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”，（如下图）即A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B}.2.对于任意集合A,B,C,有（1）交换律A ∩B=B ∩A ；（2）结合律（A ∩B ）∩C=A ∩（B ∩C ）.3.一般的，给定两个集合A ，B ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”.由并集的定义可知，A ∪B 中的元素属于A 或属于B ，即：A ∪B={x |x ∈A 或x ∈B}.4.对于任意集合A,B,C,有（1）交换律A ∪B=B ∪A ；（2）结合律（A ∪B ）∪C=A ∪（B ∪C ）.5.一般的，如果我们所研究的集合涉及的全部元素都属于集合U ，那么这个集合U 我们叫做全集.如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作C U A ，读作“A 在U 中的补集”，即C U A={x |x ∈U 且x ∉A}.A A AB B BAB6.对于全集U 和他的一个子集A ，有（1）A ∩（C U A ）=U（2）A ∪（C U A ）=Ø（3）C U （C U A ）=A.§1.5充要条件1.一般地，若命题“如果p ，那么q ”是正确的，即p ⇒q ，那么我们就说p 是q 的充分条件，或q 是p 的必要条件.2.一般地，若p 是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，也称p 与q 是等价的，或称p 等价于q ，记作p ⇔q.3.归纳逻辑思维关系.件，既不充分也不必要条④充要条件③必要而不充分条件②充分而不必要条件①q p q p q p q p ⇔⇔⇐⇒,,,第一章集合（补充知识）1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
13集合的基本运算(含2课时)-高一数学教材教学课件(人教A版2019)
新知2.交集 P12
【例4】设平面内直线l1上的点的集合为L1,直线l2上的点的集合为L2, 试用集合的运算表示l1,l2的位置关系。
L1∩L2={点P}
L1∩L2=Ø
l1(l2)
L1∩L2=L1=L2 L1∪L2=L1=L2
第一章 《集合与常用逻辑用语》
1.3 集合的基本运算(2)
问题引入
请分别求出方程(x－1)(x+2)(x2－5)=0的自然数解、有 理数解、实数解构成的解集。
一般地，对于任意两个集合A、B,有： card(A∪B)=card(A)+ card(B)－card(A∩B).
①②③ ①② ②③
②
AB A∩B
①② ③
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(B)－card(A∩B)－card(A∩C) －card(B∩C)+card(A∩B∩C)
第一章 《集合与常用逻辑用语》
1.3 集合的基本运算(1)
类比
实数间的大小关系
集合间的包含关系
类比
实数间的基本运算
集合间的基本运算
加法运算
“相加”
课前思考
类比实数的加法运算，你能否尝试定义集合间 “相加”运算？
观察下列各个集合，你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗？
(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}；
2a a 3 a 3 ②若A ,则2a 2 ,解得a 1.1 a 2.
a 3 5
a 2
综上所述,a的取值范围是a 3或 1 a 2.
新知2.交集
【例3】揭阳一中举行运动会，设
A={x|x是揭阳一中高一级参加篮球比赛的同学}，
数学人教版高中一年级必修1 高中数学公式定理定律概念大全
第一章 集合与简易逻辑１ 集合的概念与运算 1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法； （4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作φ； （5）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ； （6）常用数集：自然数集：N ；正整数集：*N 或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。
*N N Z Q R ⊂⊂⊂⊂1.2 子集（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ，注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 1.3 真子集（1）定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集 （1）交集：{|,且}AB x x A x B =∈∈性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}AB x x A x B =∈∈性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论 （1）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（2）U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=（3）含n 个元素的集合的所有子集有n2个2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。
2019版人教版数学目录
人教A版数学教材目录（2019版）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件1.4.2 充要条件1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第三章函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念3.1.2 函数的表示法3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值3.2.2 奇偶性3.3 幂函数3.4 函数的应用（一）第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂4.1.2 无理数指数幂及其运算性质4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念4.2.2 指数函数的图像和性质4.3 对数4.3.1 对数的概念4.3.2 对数的运算4.4 对数函数4.4.1 对数函数的概念4.4.2 对数函数的图像和性质4.4.3 不同函数增长的差异4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解4.5.2 用二分法求方程的近似解4.5.3 函数模型的应用数学建模建立函数模型解决实际问题第五章三角函数5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角5.1.2 弧度制5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念5.2.2 同角三角函数的基本关系5.3 诱导公式5.4 三角函数的图像与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质5.4.3 正切函数的性质与图像5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式5.5.2 简单的三角恒等变换5.6 函数y=Asin(ωx+φ)5.6.1 匀速圆周运动的数学模型5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图像5.7 三角函数的应用必修第二册第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念6.1.1 向量的实际背景与概念6.1.2 向量的几何表示6.1.3 相等向量与共线向量6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算6.2.2 向量的减法运算6.2.3 向量的数乘运算6.2.4 向量的数量积6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示6.3.5 平面向量数量积的坐标表示6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例6.4.3 余弦定理、正弦定理1.余弦定理2.正弦定理3.余弦定理、正弦定理应用举例第七章复数7.1 复数的概念7.1.1 数系的扩充和复数的概念7.1.2 复数的几何意义7.2 复数的四则运算7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义7.2.2 复数的乘、除运算7.3 *复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义第八章立体几何初步8.1 基本立体图形1.棱柱2.棱锥3.棱台4.圆柱5.圆锥6.圆台7.球8.简单组合体8.2 立体图形的直观图8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积2.棱柱、棱锥、棱台的体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积2.球的表面积和体积8.4 空间点、直线、平面的位置关系8.4.1 平面8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系2.空间中直线与平面的位置关系3.空间中平面与平面的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行8.5.2 直线与平面平行8.5.3 平面与平面平行8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直8.6.2 直线与平面垂直8.6.3 平面与平面垂直第九章统计9.1 随机抽样9.1.1 简单随机抽样9.1.2 分层随机抽样9.1.3 获取数据的途径9.2 用样本估计总体9.2.1 总体取值规律的估计9.2.2 总体百分位数的估计9.2.3 总体集中趋势的估计9.2.4 总体离散程度的估计9.3 统计分析案例公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率10.1 随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件10.1.2 事件的关系和运算10.1.3 古典概型10.1.4 概率的基本性质10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率10.3.1 频率的稳定性10.3.2 随机模拟选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算1.1.2 空间向量的数量积运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1 空间直角坐标系1.3.2 空间向量运算的坐标表示1.4 空间向量的应用1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系1.空间中点、直线和平面的向量表示2.空间中直线、平面的平行3.空间中直线、平面的垂直1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第二章直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率2.1.1 倾斜角与斜率2.1.2两条直线平行和垂直的判定2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程2.2.2 直线的两点式方程2.2.3 直线的一般式方程2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离2.4 圆的方程2.4.1 圆的标准方程2.4.2 圆的一般方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1 直线与圆的位置关系2.5.2 圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆3.1.1 椭圆与其标准方程3.1.2 椭圆的简单几何性质3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程3.2.2 双曲线的简单几何性质3.3 抛物线3.3.1 抛物线及其标准方程3.3.2 抛物线的简单几何性质选择性必修第二册第四章数列4.1 数列的概念4.2 等差数列4.2.1 等差数列的概念4.2.2 等差数列的前n项和公式4.3 等比数列4.3.1 等比数列的概念4.3.2 等比数列的前n项和公式4.4 数学归纳法*第五章一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问题5.1.2 导数的概念及其几何意义5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数5.2.2 导数的四则运算法则5.2.3 简单复合函数的导数5.3 导数在研究函数中的应用5.3.1 函数的单调性5.3.2 函数的极值与最大（小）值选择性必修第三册第六章计数原理6.1 分类加法计算原理与分布乘法计算原理6.2 排列与组合6.2.1 排列6.2.2 排列数6.2.3 组合6.2.4 组合数6.3 二项式定理6.3.1 二项式定理6.3.2 二项式系数的性质数学探究杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率7.1.2 全概率公式7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.3.1 离散型随机变量的均值7.3.2 离散型随机变量的方差7.4 二项式分布与超几何分布7.4.1 二项分布7.4.2 超几何分布7.5 正态分布第八章成对数据的统计分析8.1 成对数据的相关关系8.1.1 变量的相关关系8.1.2 样本相关系数8.2 一元线性回归模型及其应用8.2.1 一元线性回归模型8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计8.3 分类变量与列联表8.3.1 分类变量与列联表8.3.2 独立性检验数学建模建立统计模型进行预测。
离散数学 第1章 集合的基本概念和运算
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
离散数学讲解第一章
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集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
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指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
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对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
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定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
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2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
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描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
高一数学必修1目录
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第一章初识集合
1.1 集合及其表示
1.2 集合间的关系与运算
1.3 常用集合的表示法
1.4 集合运算的基本性质
第二章数与式
2.1 实数的概念及其表示
2.2 实数间的大小比较
2.3 实数的绝对值
2.4 单项式与多项式
2.5 多项式的加减运算
2.6 多项式乘法及其应用
第三章一次函数
3.1 函数的概念与函数的表示
3.2 一次函数的概念及其图象
3.3 一次函数的性质及其应用
3.4 函数的相等与不等关系
第四章二次函数
4.1 二次函数的概念及其图象
4.2 二次函数的解析式
4.3 二次函数的性质及其应用
4.4 二次函数与一次函数的比较
第五章指数与对数
5.1 指数及其运算
5.2 指数方程与不等式
5.3 对数及其运算
5.4 对数方程与不等式
第六章三角函数初步
6.1 角的概念及其度量
6.2 同弦等角及其应用
6.3 正弦、余弦、正切及其应用
6.4 三角函数的图象和性质
第七章平面向量
7.1 向量的概念及其运算
7.2 向量的数量积
7.3 向量的应用
第八章解析几何初步
8.1 平面直角坐标系
8.2 点、直线、圆的方程
8.3 图形的对称
8.4 距离、中点的坐标公式
以上是高一数学必修1的全部目录。
通过本课程的学习，可以帮助学生对数学基础知识有一个全面的了解，并能够掌握一些基本的计算方法和应用技巧，为高中后继的深化学习打下坚实的基础。
第一章集合充要条件
交集 • 一般地，给定两个集合A,B，由既属 于A又属于B的所有共同元素组成的集 合，叫做集合A与集合B的交集，记作 A B （读作“A交B”）
由交集的定义可知，交集具有以下性质：
A B B A A A A A
A B A
A B B
并集 • 一般地，对于两个给定的集合A,B， 由集合A和集合B的所有元素组成的 集合叫作集合A与集合B的并集，记 作 A B （读作“A并B”）
由并集的定义可知，交集具有以下性质：
A B B A A A A A A
A A B B A B
思考：集合A={1,2,3}，集合B满足 A∪B={1,2,3 }的集合B的个数是多少？
练习：
1 已知A=-1,0,1,2， 3,B=1,3,5,7.求A 2 已知A = x -2<x 1 ,B = x 0<x 4.求A
CU A= x x U ,且x A
6.设全集U = x x是小于10的自然数 ,集合A= 2,5,6,7 , B= 1,3,5,7 .求： (1) CU A和CU B； (2) (CU A) (CU B)； (3) CU (A B)；
7.设全集为R,集合A= x x >2 ,B= x x -3. 求： (1)CR A和CR B； (2)CR (A B)； (3)CR (A B).
特殊情况：空集
空集：一般地称不含任何元素的集合叫空集。 记作
思考： 0 ？
集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
集合的分类：根据集合所含有元素个数 可以将其分为有限集和无限集两类.
练习：（口答）下列给定集合各有那些元素？
方程 x-2=3 的解构成的集合 小于10的正奇数构成的集合
集合论
第一篇集合论第一章集合及其运算1.1 集合的概念1.2 子集、集合的相等1.3 集合的基本运算1.4 余集、De Morgan公式1.5 笛卡尔乘积1.6 有穷集合的基数第二章映射2.1 函数的一般概念——映射定义::映射(法则),映射(笛卡尔乘积),限制和扩张,部分映射,映射相等,单射,满射,双射,恒等映射2.2 抽屉原理2.3 映射的一般性质定义::象f(A),原象f-1(A)[定理2.3.1](1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D);(2)f-1(C∩D)=f-1(C)∪f-1(D);(3)f-1(CΔD)=f-1(C)Δf-1(D);(4)f-1(C C)=(f-1(C))C⊆⊇⊇[定理2.3.2]∪∪(5)f(A B)=f(A)f(B);(6)f(A∩B)f(A)∩f(B);(7) f(AΔB)f(A)Δf(B);(8) f(A\B)f(A)\f(B)2.4 映射的合成定义::映射的合成[定理2.4.1]合成符合结合律,但不符合交换律[定理2.4.2]设f:X→Y,则f∘I X=I Y∘f =f[定理2.4.3]设f:X→Y,g:Y→Z, 则(1)若f与g都是单射,则g∘f也是单射:f是单射,∀x1x2且x1≠x2 y1=f(x1),y2=f(x2)且y1≠y2有g(f(x1))≠g(f(x2))(2)若f与g都是满射,则g∘f也是满射:f满射,∀y必有x∈X使f(x)=y.∀z∈Z必有y∈Y使g(y)=z.则∀z∈Z必有x∈X使g(f(x))=z.(3)若f与g都是双射,则g∘f也是双射[定理2.4.4]设f:X→Y,g:Y→Z, 则(1)若g∘f是单射,则f是单射;∀x1,x2∈X且x1≠x2有g(f(x1)) ≠g(f(x2))(2)若g∘f是满射,则g是满射;反证:∃z∈Z使∀y∈Y,g(y)≠z则有∀x∈X有g(f(x)) ≠z推出矛盾(3)若g∘f是双射,则f是单射且g是满射[定理2.4.5]设f与g都是X到X的映射,则I m (f)⊆I m(g)的充分必要条件是存在一个映射h:X→X使得f=g∘h2.5 逆映射定义::逆映射,左逆映射,右逆映射[定理2.5.1]逆映射存在的充要条件是f是双射::⇒ Ix,Iy+定理2.4.4⇐构造g(y)=x当且仅当f(x)=y[定理2.5.2]逆映射唯一::假设不唯一,推出g=I x°g=(h°f)°g=h°(f°g)=h°I x=h[定理2.5.3] (gf)-1=f-1g-1,(f-1)-1=f:(gf)(f-1g-1)=g(ff-1) g-1= gg-1=I z, (f-1g-1) (gf)=f(gg-1)f-1= ff-1=I x[定理2.5.4](1)f是左可逆的充分必要条件是f为单射:⇒定义+定理⇐f:X→I m(f)的双射,建立g:I m(f)→X双射,在扩充到Y上,y∉I m(x)随便映射一个(2)f是右可逆的充分必要条件是f为满射:⇒定义+定理⇐构造2.6 置换定义::n次置换,k-循环置换,对换,奇置换,偶置换[定理2.6.1][定理2.6.2][定理2.6.3]置换α,β没有共同数字时可以交换[定理2.6.4]置换可进行唯一循环分解[定理2.6.5]置换分解成若干对换的乘积,分解个数的奇偶性不变[定理2.6.6]奇偶置换个数相等,都等于n!/22.7 二元和n元运算定义::有限序列,无限序列,子序列,二元运算,一元运算,n元运算,交换律,结合律,代数系的同构2.8 集合的特征函数定义::集合的特征函数第三章关系3.1 关系的概念定义::关系(映射),关系(笛卡尔乘积),定义域,值域,多部映射,关系(多部映射),多值二元关系3.2 关系的性质定义::自反,反自反,对称(R对称⟺R=R-1),反对称,传递,相容,逆3.3 关系的合成运算定义::关系的合成,[定理3.3.1]关系的合成不符合交换律,但符合结合律[定理3.3.2](1)R1°(R2∪ R3 )=(R1°R2)∪(R1°R3);(2)R1° (R2∩ R3 )⊆(R1°R2)∩(R1°R3);(3)(R2∪R3 )°R4 = (R2°R4) ∪(R3°R4);(4)(R2∩R3 ) °R4⊆(R2°R4) ∩(R3°R4) [定理3.3.3](1)(R∘S)-1 = S-1∘R-1:(2)R∘R-1 是对称的[定理3.3.4]R是传递关系⟺R°R⊆R[定理3.3.5]R0=I x;R1=R;R n+1=R n°R;R m°R n=R m+n;(R m)n=R mn[定理3.3.6]设X是一个有限集合且|X|=n,R为X上的任一二元关系,则存在非负整数s,t,使得0≤s<t≤2n^2且R s= R t[定理3.3.7]设R是X上的二元关系,若存在非负整数s,t,s<t,使得且R s= R t ,则(1)R s+k= R t+k ,k为非负整数(2)R s+kp+i= R s+i ,其中p=t-s,而k,i为非负整数(3)令S={R0,R,R2 ,…,R t-1},则对任意的非负的整数q,有R q ∈S[定理3.3.8]R对称且传递⟺R=R°R-13.4 关系的闭包定义::传递闭包(所有包含R的传递关系的交,可以类似定义自反传递闭包等),自反传递闭包,自反闭包,对称闭包[定理3.4.1]关系R的传递闭包是传递关系(如果R是传递关系,R+=R):[定理3.4.2]R+=∪R i=R∪R2∪R3∪…:: R+⊆∪R i只要证明∪R i是包含R的传递关系, ∪R⊆R+只要证明(a,b)∈R m,(b,c)∈R n.(a,c)∈R m+n,(a,c) ∈R+[定理3.4.3]R+=∪R n=R∪R2∪R3∪…R n::证明R k⊆∪R i,如果k>n,x仅有n个元素,由抽屉原理得存在b i=b j重复以上过程证明.[定理3.4.5]R*=R0∪R+3.5 关系矩阵和关系图定义:: (1)R是自反的,当且仅当B的对角线上的全部元素都为1;(2) R是反自反的当且仅当B的对角线上的全部元素都为0;(3) R是对称的当且仅当B是对称矩阵;(4) R是反对称的当且仅当b i j与b j i不同时为1,i≠j;(5) R是传递的当且仅当若b i j=1且b j k=1,则b i k=1; (6) R-1的矩阵是B T3.6 等价关系和集合划分定义::等价关系(1.自反2.对称3.传递),等价类,商集[定理3.6.3]3.7 映射按等价关系划分3.8 偏序关系和偏序集定义::偏序关系(自反,反对称,传递),偏序集,全序集,Hasse图,上下界,最大最小元素,链与反链第四章无穷集合及其基数4.1可数集定义::可数集(从自然数集N到集合A有一一映射),无限集(能与自身的真子集对等的集合),代数数,超越数[定理4.1.1]集合A为可数集⟺A的全部元素可以排成无重复项的序列[定理4.1.2]无限集中包含可数子集[定理4.1.3]两个可数集的并是可数集[定理4.1.4]有限个可数集的并是可数集[定理4.1.7]可数个可数集的并是可数集:写成无穷阶方阵,按对角线游历[定理4.1.8]有理数集Q是可数集[定理4.1.10]一列有限个集合的笛卡尔乘积为可数集4.2连续统集定义::连续统(与[0,1]实数集对等)[定理4.2.1]区间[0,1]内的全体实数构成不可数无穷集::康托对角线第二篇图论第六章图的基本概念6.1图论的产生与发展概述6.2基本定义定义::无向图,G(p,q),平凡图,零图,有向图,定向图,子图,生成子图,导出子图,图的同构,度(degv),δ(G),Δ(G),正则图(推论三次图的顶点个数为偶数)[定理6.2.1]欧拉定理:Σ(degv)=2q推论度为奇数的点的个数必为偶数6.3路、圈、连通图定义::通道,闭通道,迹,闭迹,路,圈(回路),连通图,支[定理6.3.1]uv有路⟺u≅v[定理6.3.2]degu+degv≥p–1⟹G连通::拆成两个支用结论反证,degu≤n1-1,degv≤p-n1-1推出与结论的矛盾[定理6.3.3]∀v∈V,degv为偶数⟹G中有圈::设最长路证明[定理6.3.4]∃u,v中有两条不同路⟹G有圈::6.4补图、偶图定义::补图,自补图,三角形,偶图,完全偶图(Km,n), 图上两点间的距离d(u,v)[定理6.4.1]R(3,3)≤6::抽屉原理+[定理6.4.2]偶图判断的充要条件:图上所有的圈的长度都为偶::⇒将圈上的奇偶序的点放入两个顶点划分中⇐取定一点按距离奇偶构造[定理6.4.3](Turan定理)p个顶点没有三角形的图至多有[p^2/4]::6.5欧拉图定义::欧拉闭迹,欧拉图,欧拉迹[定理6.5.1]欧拉图存在定理:G的每个顶点的度都为偶::⇒显然⇐结合定理6.3.3造N个圈Zi然后数归证明这些圈相接.推论::欧拉图的等价命题: 1)G是欧拉图2)∀v∈V,degv为偶数3)G的边能划分成若干不相交的圈.[定理6.5.2]欧拉迹存在定理:: ⇒从定理6.5.1获得⇐uv奇数度,加edge(u,v)得欧拉迹C,在C上去掉edge(u,v).6.6哈密顿图定义::哈密顿圈、哈密顿图[定理6.6.1]G是Hamilton⟹∀S∈V有ω(G-S)<|S|[定理6.6.2](Dirac定理)p个顶点的图G,δ(p)≥p/2,⟹G是一个哈密顿图.[定理6.6.3](Ore定理)p个顶点的图,∀u,v(u,v不邻接),均有degu+degv≥p⟹G是哈密顿图.[定理6.6.4]p个顶点的图,∀u,v(u,v不邻接),均有degu+degv≥p-1⟹G是哈密顿图.6.7图的邻接矩阵[定理6.7.1]图同构的邻接矩阵判定[定理6.7.2]ij顶点间长l的通道条数=A l(i,j)::数归l,[定理6.7.3]G(p,q),连通⟺(A+I)^(p-1)>0::⇒定理6.7.2⇐定理6.7.2第七章树和割集7.1树及其性质定义::树,极小连通图(推论树是极小连通图), 偏心率,树的半径,树的中心[定理7.1.1]树的六个等价命题:1)树;2)G中任两点有且只有一条路;3)G连通且p=q+1; 4)G无圈且p=q+1;5)G无圈且其中任意不相邻两点加边得唯一的圈;6)连通(p≥3且G非Kp)且其中任意不相邻两点加边得唯一的圈.推论非平凡树至少有两个度为1的顶点且非平凡树是偶图::偶图判断的构造证明法[定理7.1.2]树的中心的位置7.2生成树定义::生成树, 生成森林, 生成树的距离,生成树的基本变换[定理7.2.1]生成树存在⟺G连通::⟹显然⟸破圈法.推论G连通⟹q≥p-1[定理7.2.2](Cayley定理)Kp的生成树的个数=p(p-2)[定理7.2.3]生成树中去掉边集E1后必能找到另一不在原生成树中的边集E2使T-E1+E2为生成树[定理7.2.4]距离为k的两个生成树可以经过k次基本变换互相得到::数归,由定理7.2.3知,d(T0,T)=k去掉e1后必然有e2∉T0使(T0-e1)+e2=T1,而d(T1,T)=k-1得到归纳.7.3割点、桥和割集定义::割点,桥,割集(有极小性)[定理7.3.1]割点的等价命题:1)v是割点;2)∃u,w≠v使uw间所有路经过v;3)∃划分{U,W} UW间所有路经过v;[定理7.3.2]桥的等价命题:1)x是桥;2)x不在G的任何圈上3)∃u,v使x在连接uw所有路上;4)∃划分{U,W},使x在连接UW所有路上; [定理7.3.4]割集将图分成两个支(推论有k个支的图G去掉割集后有k+1个支)[定理7.3.5]割集必然包含生成树的某条边::反证[定理7.3.6]割集与G中的圈必有偶数条公共边::G1G2取定一点周游,e(u,v)(u∈G1,v∈G2)是圈与割集相交的边第八章连通度和匹配8.1顶点连通度和边连通度定义::κ(G), λ(G), n-连通,n-边连通[定理8.1.1]κ(G)≤λ(G)≤δ(G)[定理8.1.2]κ(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c的构造方法:构造两个Kc+1,用b条边连接这两个支[定理8.1.3]G(V,E)有p个顶点且δ(G)≥ [p/2]⟹λ(G)=δ(G)::[定理8.1.4][定理8.1.5]∀u,v∈V且u,v∈C⟺G是2-连通[定理8.1.6]8.2门格尔定理8.3匹配、霍尔定理定义::匹配,最大匹配,偶图G的完备匹配,相异代表系, 完美匹配[定理8.3.1](Hall定理)::[推论8.3.1]第九章平面图和图的着色9.1平面图及其欧拉公式定义::平面图,面,内部面,外部面[定理9.1.1]欧拉定理:平面图有p-q+f=2::通过f数归[推论9.1.1]每个面都由长为n的圈围成⟹q=n(p-2)/(n-2)::每条边都与两个面邻接⟹2q=nf拓展最大可平面图[推论9.1.2]G(p,q)的最大可平面图每个面都是三角形且q=3p-6[推论9.1.3]每个面都由长为4的圈围成⟹q=2p-4::拓展没有三角形的边极大图[推论9.1.4]G(p,q),q≤3p-6,G没有三角形q≤2p-4[推论9.1.5]K5和K3,3都是不可平面图::K5,f=7,由于每个面至少三条边, K3,3中每个圈至少为4[推论9.1.6]G可平面⟹ (G)≤5::反证+推论9.1.49.2非哈密顿平面图[定理9.2.1]Grinberg定理:G(V,E)是(p,q)平面哈密顿图,C是哈密顿圈.令fi为C的内部由i条边围成的面的个数,gi为C的外部由i条边围成的面的个数则(1)Σ(i-2)fi=p-2;(2) Σ(i-2)gi=p-2;(3) Σ(i-2)(fi-gi)=0;9.3库拉托斯基定理、对偶图定义::细分,同胚,初等收缩,对偶图[定理9.3.1](Kuratowski定理)G可平面⟺G没有同胚于K5或K3,3的子图[定理9.3.2](Wagner定理) G可平面⟺G没有收缩到K5或K3,3的子图9.4顶点的着色定义::n-可着色,色数(有极小性),χ(G)[定理9.4.2]Δ=Δ(G),G是(Δ+1)- 可着色的.[定理9.4.3-定理9.4.5]平面图可以4着色9.5边的着色定义::n-边着色,边色数(有极小性), χ’(G)第十章有向图10.1有向图的概念定义::有向图,弧,对称弧,定向图,带环图,多重有向图,有向图的反图,入度(id(v)),出度(od(v)),完全有向图,有向图的补图,有向图的同构[定理10.1.1]Σid(v)= Σod(v)=q且Σ(id(v)+od(v))=2q10.2有向路和有向圈定义::有向通道,有向闭通道,生成通道,有向迹,有向闭迹,生成(闭)轨迹,有向路,有向圈,有向回路,可达,半(弱)通道,强连通,强支,单连通,弱连通,有向图的连通[定理10.2.1]有向图D是强连通的⟺D有一条闭生成通道[定理10.2.2]uRv当且仅当uv可互达⟹R是V上的等价关系[定理10.2.3]有向图D的每个顶点都在D的一个强支中[定理10.2.4]一个没有有向圈的有向图至少有一个出度为0的顶点[定理10.2.5]有向图D没有圈⟺D中每条有向通道都是有向路[定理10.2.6]有向图D有有向圈⟺D的子图D1(V1,E1),∀v∈V1,id(v)>0,od(v)>0[定理10.2.7]连通有向图D,∀v∈V,od(v)=1,D中恰有一个有向圈10.3强连通图的应用10.4有向图的邻接矩阵定义::有向图的邻接矩阵,可达矩阵,关联矩阵10.5有向树与有序树定义::有向树,有根树,入树,父,子,祖先,真祖先,深度,高度,子树,有序树,m元有序树,正则m元有序树,正则二元树,二元树,满二元树,完全二元树(高为h的二元树,去掉深度为h一层,得到满树,而且h层从左向右排布)[定理10.5.1]有向图D是有根树⟺D没有弱圈且D中存在一个可以到达其他顶点的顶点(root)::⇒化为无向图证明没有弱圈,用除根以外的点入度为1证可达.⇐[定理10.5.3]高为h的二元树至多有2 (h+1)-1个顶点[定理10.5.4]高为h的完全二元树的顶点数满足2h≤p≤2(h+1)-110.6判定树10.7比赛图定义::比赛图[定理10.7.1]每个比赛图必有生成有向路(有哈密顿路)::。
中职数学(高教版)教案：集合的运算(全3课时)
中等专业学校2023-2024-1教案教学内容2、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．如：｛1,2,3,6｝∩｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A∩B={c,d,e}基本性质A∩B= B∩A; A∩A=A; A∩Ф=Ф; A ∩B=A⇔A⊆B注：是否给出证明应根据学生的基础而定.例题例1．设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A∩B.解：A∩B=｛x|x>-2｝∩｛x|x<3｝=｛x|-2<x<3｝．例2．设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求A∩B.解：A∩B=｛x|x是等腰三角形｝∩｛x|x是直角三角形｝=｛x|x是等腰直角三角形｝例3、已知集合M ＝｛(x ,y )|x +y =2｝,N ={(x ,y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为( )A . x =3,y =－1 B.(3，－1) C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝分析： 由已知得M ∩N ＝｛(x ,y )|x +y =2,且x －y =4｝={(3,－1)}.也可采用筛选法.首先，易知A 、B 不正确，因为它们都不是集合符号.又集合M ，N 的元素都是数组(x ,y )，所以C 也不正确.注： 求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组⎩⎨⎧=-=+42y x y x 的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.课堂练习：1、设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.2、设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.基础巩固1．若集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{1,2,4}则A ∪B ＝( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} 答案：A 2．设S ＝{x||x|<3}，T ＝{x|3x －5<1}，则S∩T ＝( ) A ．∅ B ．{x|－3<x<3}C ．{x|－3<x<2}D ．{x|2<x<3 答案：C3．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B ＝{3}, A∩∁UB ＝{9}，则A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9} 答案：D4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B为()A．{x＝1，或y＝2} B．{1,2}C．{(1,2)} D．(1,2)解析：A∩B＝x，y4x＋y＝63x＋2y＝7＝{(1,2)}．答案：C5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R且x2＋y2＝1}，B ＝{(x，y)|x，y∈R且x＋y＝1，则A∩B的元素个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：由x2＋y2＝1，x＋y＝1⇒x＝1，y＝0或x＝0，y＝1，即A∩B＝{(1,0)，(0,1)}．答案：C小结：本节课我们学习了交集的概念和基本性质再次突出交集概念中“且”的含义．课后作业：第18页练习A、B中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数字所在年级一年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§1.4集合的运算教学目标（1）理解两个集合的并集的含义，会求两个集合的并集（重点、难点）；（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
高一数学1-4章知识点总结
高一数学1-4章知识点总结在高一数学的学习过程中，我们学习了许多有关数学的基础知识和方法。
本文将对高一数学1-4章的知识点进行总结，帮助同学们复习和回顾学习内容。
1. 第一章：函数与方程1.1 函数的概念函数是两个集合之间的一种对应关系。
其中，自变量的集合叫做定义域，因变量的集合叫做值域。
我们通过自变量的不同值，对应得到不同的函数值。
1.2 函数的表示方式常见的函数表示方式有几何表示法、解析表示法和数据表示法。
其中，解析表示法最常用，用公式表达函数。
1.3 一次函数一次函数的表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
我们可以通过斜率和截距来确定一次函数的图像。
1.4 二次函数二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以通过抛物线的开口方向和顶点来确定二次函数的性质。
2. 第二章：平面几何初步2.1 直线与角直线是由无数个点连成的路径，没有起点和终点。
角是由两条射线共同端点组成的图形。
2.2 同位角与对应角同位角是指两条直线被一条交线所切割而形成的对应角，它们的度数相等。
对应角是指两条平行线被一条交线所切割而形成的对应角，它们的度数相等。
2.3 三角形三角形是由三条线段组成的封闭图形。
根据三角形内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2.4 相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
我们可以利用相似三角形的性质来解决一些几何问题。
3. 第三章：集合与函数3.1 集合的基本概念集合是由确定的对象组成的整体，其中的对象称为元素。
我们可以用文字描述和列举法表示一个集合。
3.2 集合的运算常见的集合运算有并集、交集和补集。
并集是指所有属于两个集合中的元素构成的新集合。
交集是指同时属于两个集合的元素构成的新集合。
补集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素构成的新集合。
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目录第一章集合和命题1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.4 命题的形式及等价关系1.5 充分条件，必要条件1.6 子集与推出关系整章综合测试第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用整章综合测试第三章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质（1）【函数的奇偶性】3.4 函数的基本性质（2）【函数的奇偶性】3.4 函数的基本性质（3）【函数的单调性】3.4 函数的基本性质（4） 【函数的单调性】 补充1 二次函数的图像和性质补充2 函数b y ax x=+(0)ab ≠的图像和性质 函数综合复习（1）函数综合复习（2）整章综合测试 第四章幂函数、指数函数和对数函数4.1 幂函数的性质与图像（1）4.1 幂函数的性质与图像（2）4.2 指数函数的性质与图像（1）4.2 指数函数的性质与图像（2）4.4 对数概念及其运算（1）4.4 对数概念及其运算（2）4.4 对数概念及其运算（3）4.5 反函数的概念4.6 对数函数的图像与性质（1）4.6 对数函数的图像与性质（2）4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程整章综合测试第七章数列与数学归纳法7.1 数列（1）7.1 数列（2）7.2 等差数列（1）7.2 等差数列（2）7.2 等差数列（3）7.2 等差数列（4）7.3 等比数列（1）7.3 等比数列（2）7.3 等比数列（3）7.3 等比数列（4）7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳—猜想—论证7.7 数列的极限（1）7.7 数列的极限（2）7.7 数列的极限（3）7.8 无穷等比数列各项的和整章综合测试第八章平行向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算（1）8.1 向量的坐标表示及其运算（2）8.2 向量的数量积（1）8.2 向量的数量积（2）8.3 平行向量的分解定理8.4 向量的应用整章综合测试第九章矩阵和行列式初步9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式整章综合测试第十章算法初步10.1 算法的概念10.2 程序框图（1）10.2 程序框图（2）整章综合测试附录 1. 向量2. 向量的加减法3. 实数与向量的乘积第十一章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率（1）11.2 直线的倾斜角和斜率（2）11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离整章综合测试第十二章圆锥曲线12.1 曲线与方程（1）12.1 曲线与方程（2）12.1 曲线与方程（3）12.2 圆的方程（1）12.2 圆的方程（2）12.2 圆的方程（3）12.3 椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质（1）12.4 椭圆的性质（2）12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质整章综合测试第十三章复数13.1 复数的概念13.2 复数的坐标表示13.3 复数的加法与减法13.4 复数的乘法与除法（1）13.4 复数的乘法与除法（2）13.5 复数的平方根与立方根13.6 实系数一元二次方程（1）13.6 实系数一元二次方程（2）整章综合测试第十四章空间直线与平面14.1 平面及其基本性质（1）14.1 平面及其基本性质（2）14.2 空间直线与直线的位置关系（1）14.2 空间直线与直线的位置关系（2）14.3 空间直线与平面的位置关系（1）14.3 空间直线与平面的位置关系（2）14.4 空间平面与平面的位置关系整章综合测试第十五章简单几何体15.1 多面体的概念15.2 多面体的直观图（1）15.2 多面体的直观图（2）15.3 旋转体的概念（1）15.3 旋转体的概念（2）15.4 几何体的表面积15.5 几何体的体积（1）15.5 几何体的体积（2）15.5 几何体的体积（3）15.6 球面距离整章综合测试。
《实变函数》第一章 集合
1）定义
设，是两非空集合，若存在着到的一一映射（既单又满），则称与 对等,记作. 约定.
注：（1）称与对等的集合为与A有相同的势（基数），记作. （2）势是对有限集元素个数概念的推广. 2）性质
自反性： 对称性： 传递性： 例：
证明：令，则是到的一一映射.故 注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相 同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能. 3)基数的大小比较 若 则称 若则称相当于：到有一个单射，也相当于到有一个满射. 若且则称. 注：不能用与的一个真子集对等描述. 如：
若A且,就称A是的真子集，规定空集是任何集的子集． 由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理： 定理1 对任何集合，，C，均有 （1）； （2）若，则；
（3）且．
二 集合的运算
设，是两个集合，集合与的并集或并
集合与的交集或交 特别地，若，称与不相交；反之，则称与相交．
集合减的差集或差: 当时，称差集为关于的余集记作()． 当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集的子集
，
证毕． 注：要证需要在与间找一个既单又满的映射；而要证，只需找一个
单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射. 例： 证明：由可知，
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作业：P30 9, 10
练习题 1. 上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立
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一、集合的概念及其表示
集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加 以定义，它像几
何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来 说，我们只要求掌握
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解：
x-2y＝1
x=2
A B {(2,0.5)}
y=0.5
x+2y＝3
合作探究
例3 设A={x|-1<x ≤2 }，B={x|0<x ≤3}，求A∩B,
除了用描述法表示不等 式的集，还可以用什 么方法？
数轴法
自主探究
探讨：集合D 是集合A与B 的什么运算？
A={1，2，3} B={2，3，4，5} C={2，3} D={1，2，3，4，5}
B A A B B
A
数形结合
问题4 实数之间有运算法则，集合运算中是否也有
类似的规律？（请结合Wenn图填空）
(1) A B _ = B A;
(2) A A A _;
B; (3) A B _
(4)( A B) C _ = A ( B C );
典型例题
例1 ： 设A = {3， 5}, B = {-1 ， 2,3},C {-1,2} 求A B? B C? (A B) C?
自学内容： 1.并集的定义？ （文字，符号，图示） 2.用Venn图表示A与B的并集？
3.并集运算性质？
课堂小结
名称 定 义 记号 简而 言之 图 示 交集 并集
由所有属于A且属于B 的元素所组成的集合 叫做A与B的交集
由所有属于A或属于B 的元素所组成的集合 叫做A与B的并集
(读作“A交B”）
解：A B {3,5} {1,2,3} {3}
B C C {1,2}
( A B) C A ( B C ) A C
深入学习
例2 设集合A={(x,y)|x-2y=1}， B={(x,y)|x+2y=3}，求A∩B.
分析：集合A, B分别表示方程x-2y＝1，x+2y＝3的解集，因 此集合A与B的交集就是求它们联立方程组的解集.
重庆立信职业教育中心 周枫竹
问题引入
问题1 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、 减法运算，类比实数的运算，两个集合的运算是怎样 的呢？
情景导学
问题2 你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
A={1，2，3} B={2，3，4，5} C={2，3} D={1，2，3，4，5}
1, 2，3 , A 4，5
B
C
结论：集合C是由既属于集合A且又属于集合B的所有 元素组成的．
探索新知
一般地，对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的 所有元素组成的集合叫做A与B的交集。 记作A∩B （读作“A交 B”） 说明：交集是集合A、B的公共部分,
两个集合求交集，结果还是一个集合.
动手感知
问题3 你能用阴影在图示语言（Venn图）中表示出 集合A、B的交集吗？
A B
A B (读作“A并B”）
A B x x A且x B A B x x A或x B
A
B
A
B