人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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数学
18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
2024年人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解第十四章 整式的乘法与因式分解
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“整式的乘法与因式分解”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段“数与代数”领域是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.数与代数领域的学习,有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发展运算能力,是感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.“数与式”主题是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性,培养学生抽象能力.本单元的课标要求是会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质,能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算;理解整式的概念,能进行整式的乘法运算(多项式的乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);知道平方差公式、完全平方公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理;能用提公因式法、公式法(对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)进行因式分解(指数为正整数).整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后进一步学习分式、根式运算和函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要的意义.同时,这些知识也是学习物理、化学等学科的基础.在数与式的教学中要把握数与式的整体性,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象;通过代数式与代数运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义;通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”,本章包括三个小节:14.1整式的乘法;14.2乘法公式;14.3因式分解.首先强调重要数学思想方法的渗透,由于整式中的字母表示数,因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍然成立,强调了“类比”的思想方法的渗透;由数的运算引出式的运算规律,体现了数学知识之间具体与抽象的内在联系和内在统一性.对于整式乘法法则的教学,要渗透“转化”的思想方法.例如,多项式乘多项式的法则,第一步是转化为多项式与单项式相乘,第二步则是转化为单项式与单项式相乘,而单项式与单项式相乘则转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法.在整式除法的教学中,也要渗透“转化”的思想方法,多项式与单项式相除的第一步是转化为单项式与单项式相除,第二步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法.由上可知,整式的乘、除法教学要循序渐进,打好各项知识的基础,并运用好“转化”的思想方法,这样才能够很好地完成后面的教学内容,取得较好的教学效果.此外,本章教材中强调了代数与几何之间的联系,整式乘法和乘法公式部分体现了数形结合的重要数学思想和方法,借助几何图形对运算法则及公式做了直观解释,体现了代数和几何之间的内在联系和统一,能让学生更好地理解有关知识,培养学生几何直观和抽象能力的数学核心素养.充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程,从具体的实际问题出发,归纳出相关的数学概念,或抽象出隐含在具体问题中的数学思想,这是本章的一个突出特点.培养学生用数学眼光观察世界.以第14.1节为例,无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方,都是从具体的问题出发,然后归纳出运算性质,最后再用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题.整式的乘法也是从具体的问题出发,归纳出运算法则,再进一步用于解决实际问题.这种从具体到抽象,再由抽象到具体的编排方式,可以循序渐进地向学生呈现教学内容,有助于学生的理解和掌握,符合现阶段学生的认知水平.根据数学知识的逻辑关系循序渐进地安排教学内容,本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系,且具有很强的逻辑关系.在整式的乘法中,多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法,而单项式的乘法要利用交换律和结合律转化为幂的运算.整式的除法与乘法互为逆运算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题,因式分解是与整式乘法方向相反的恒等变形,在这些内容中,幂的运算是基础,单项式的乘法是关键,学好一般整式乘法的运算是进一步学习本章其他知识的前提.教学中要注重培养学生的逻辑思维、知识体系的形成和思想方法的渗透.对选学内容的学习进行分层教学,提升学生的理解能力,教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外,还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力,以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶.本章安排了两个“阅读与思考”的选学栏目,这些选学内容是本章有关内容的拓展与延伸.不失时机地安排学生阅读这些材料,可以开阔他们的视野,拓展他们的知识面.“阅读与思考”中的“杨辉三角”,不但可以使学生了解一些二项展开式中各项系数的知识,增强他们的数学修养,还可以潜移默化地培养他们的爱国情怀.“阅读与思考”中的“x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解”,可以让学生初步感受分解因式的另一种方法:十字相乘法,这也有利于学生理解必修内容.三、单元学情分析本单元是人教版数学教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”,学生在学习了有理数、代数式、整式的概念的基础上研究了有理数的加减乘除乘方混合运算和整式的加减运算,学生掌握了研究问题的方法,类比数的研究知道要学习整式的乘除运算.根据乘方意义和运算来研究幂的运算,学生有了一定基础学起来便顺理成章.但是和整式加减法相比,整式乘除法无论是次数和项数都在增加,容易出现错误,这是在教学中要重点关注的地方,对学生的运算能力、理解能力、交流归纳能力及对数学方法的掌握能力要求较高.尤其平方差公式和完全平方公式的变形和灵活应用更是难点,因式分解和乘法公式的关系以及正确因式分解也是重点和易错点,对学生来说仍会有困难.四、单元学习目标1.掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,培养学生语言表达能力和抽象概括能力,并能灵活运用这些性质进行运算;掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的运算法则,并运用它们进行运算,培养学生的运算能力和应用意识.2.经历猜测、推理、验证,会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,培养学生几何直观,能利用公式进行乘法运算,体会公式的简洁性,培养学生的思维能力和运算能力.3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算,体会数学运算的简便性,培养学生的模型观念.4.理解因式分解的意义,并感受因式分解与整式乘法是相反方向的运算,培养学生类比的思想;掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤,培养数据观念和模型观念;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解4 第2课时 多项式与多项式相乘
例4 已知等式 (x + a)(x + b) = x2 + mx + 28，其中 a、b、
m 均为正整数，你认为 m 可取哪些值？它与 a、b 的取
值有关吗？请写出所有满足题意的 m 的值. 解：由题意可得 a + b = m，ab = 28.
6. 计算求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)，其中 x = 1，y =－2. 解：原式 =16x2 12xy 12xy 9 y2 6x2 10xy 3xy 5y2
22x2 7xy 14 y2. 当 x = 1，y = －2 时， 原式 = 22×12－7×1×(－2)－14×(－2)2
多项式乘 多项式
运算 法则
注意
多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 实质上是先转化为单项式×多项式, 进而转化为单项式×单项式的运算
不要漏乘；正确确定各项符号；结 果要最简
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－ 12
多项式乘多项式
互动探究
问题1 某地区在退耕 b 还林期间，有一块原长
m 米，宽为 a 米的长方 形林区增长了 n 米，加 a
宽了 b 米，请你表示这
块林区现在的面积.
m
n
你能用不同的形式表示所求的面积吗？
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.3.1 提公因式法教学课件
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
导入新知
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将
几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，
能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式
呢？若能，这种变形叫做什么呢？
素养目标
3. 会利用因式分解进行简便计算.
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
探究新知
解：(1) 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
如果提出公因式
4ab，另一个因式
是否还有公因式？
=4ab2(2a2+3bc)；
另一个因式将是2a2b+3b2c， 它还有公因式是b.
(2) 2a(b+c)–3(b+c)
pa+pb+pc
相同因式p
x2＋x
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项
式的公因式.
探究新知
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以
把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与
另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法
叫做提公因式法.
探究新知
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式
③ x2–1=(x+1)(x–1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
)
x
人教版八年级上册数学第14章 整式的乘法与因式分解 单项式与多项式相乘
答案显示
1．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的__每_一__项_____，
再把所得的积___相_加_______；其实质是将单项式与多项式相乘
单项式
单项式
转化为_________与_________相乘．
2．(2019·青岛)计算(－2m)2·(－m·m2＋3m3)的结果是( A ) A．8m5 B．－8m5 C．8m6 D．－4m4＋12m5
16．(1)先化简，再求值：3(2x＋1)＋2(3－x)，其中 x＝－1.
解：原式＝6x＋3＋6－2x＝4x＋9. 当 x＝－1 时，原式＝4x＋9＝4×(－1)＋9＝－4＋9＝5.
(2)已知实数 a，b，c 满足|a－b－3|＋(b＋1)2＋|c－1|＝0，求 (－3ab)·(a2c－6b2c)的值． 解：由题意得 a－b－3＝0，b＋1＝0，c－1＝0， 解得 a＝2，b＝－1，c＝1. 故(－3ab)·(a2c－6b2c)＝－3a3bc＋18ab3c＝－3×23×(－1)×1＋ 18×2×(－1)3×1＝24－36＝－12.
解法三(分割求和法)：连接 BG，则 S 阴影部分＝S△BDG＋S△BGF＋S△DGF ＝12a(a－b)＋12b2＋12b(a－b)＝12a2－12ab＋12b2＋12ab－12b2＝12a2.
明拿出课堂笔记复习，发现一道题：－3xy(4y－2x－1)＝
－12xy2＋6x2y＋■，■的地方被墨水弄污了．你认为■处应为
(A )
A．3xy
B．(－3xy)
C．(－1)
D．1
8．要使 x(x＋a)＋3x－2b＝x2＋5x＋4 成立，则 a，b 的值分别为
(C )
A．－2，－2 B．2，2
C．2，－2
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第14章 整式的乘法与因式分解公式法(第2课时)教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式:a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()（出示课件15）A.11B.9C.–11D.–9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a–4b+5=0，求2a 2+4b–3的值.（出示课件23）师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=01020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩∴2a 2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a 2＋1B．a 2–6a＋9C．x 2＋5yD．x 2–5y 2.把多项式4x 2y–4xy 2–x 3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x 3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y 2–x 2)D．–x(–4xy＋4y 2＋x 2)3.若m＝2n＋1，则m 2–4mn＋4n 2的值是________．4.若关于x 的多项式x 2–8x＋m 2是完全平方式，则m 的值为_________．5.把下列多项式因式分解.(1)x 2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y 2+2y+1–x 2;6.计算：(1)38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327.分解因式:(1)4x 2＋4x＋1；(2)13x 2–2x＋3.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b 2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．小聪:小明:参考答案：1.B2.B3.14.±45.解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17.解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 (2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28.解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点(含答案解析)
一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2B ．3C ．4D ．6 2．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ） A ．10± B ．20± C ．10D ．20 3．从边长为 2a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形纸片()1a >，则剩余部分的面积是（ ）A ．41a +B ．43a +C ．63a +D ．2+1a4．当代数式2()2020x y ++的值取到最小．．时，代数式222||2||x y x y -+-=……（ ） A ．0 B ．2- C ．0或2- D ．以上答案都不对 5．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）A ．1B ．2C ．5D ．7 6．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）A ．最大值23B ．最小值23C ．最大值23-D ．最小值23- 7．设, a b 是实数，定义一种新运算：()2*a b a b =-．下面有四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③()()**a b a b -=-；④()**a b c a b a c +=+*．其中所有正确推断的序号是（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③ 8．下列各式计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()22439a a -=D ．22(1)1a a +=+ 9．记A n ＝（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣21n），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ）A ．A 5＜A 6B ．A 52＞A 4A 6C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜10082015 10．下列计算正确的是（ ）A ．（a 2）3=a 5B ．（2a 2）2=2a 4C ．a 3•a 4=a 7D ．a 4÷a =a 4 11．下列各式中，正确的是（ ） A ．2222x y yx x y -+= B ．22445a a a +=C ．()2424m m --=-+D ．33a b ab +=12．下列计算正确的是（ ） A ．224x x x += B ．222()x y x y -=-C ．26()x y x y =3D ．235x x x 13．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美丽B ．美丽昭通C ．我爱昭通D ．昭通美丽 14．下列各式计算正确的是（ ）A ．5210a a a =B ．()428=a aC ．()236a b a b =D ．358a a a += 15．下列运算正确的是（ ）A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9二、填空题16．如果23a b -的值为1-，则645b a -+的值为_____．17．若2330x x --=，则()()()123x x x x ---的值为______．18．若23x =，25y =，则22x y +=____________．19．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．20．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知}a =}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则a+b =_____．21．已知x-3y=-1，那么代数式3-2x+6y 的值是________22．关于x 的一次二项式mx ＋n 的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据x 0 1 1.5 2 mx ＋n －3 －1 01 若mx ＋n ＝17，线段AB 的长为x ，点C 在直线AB 上，且BC ＝12AB ，则直线AB 上所有线段的和是_____________．23．因式分解：316m m -=________．24．若a - b = 1， ab = 2 ，则a + b =______． 25．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．26．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．三、解答题27．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．28．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______；（2）运用（1）中的结论，完成下列各题：①已知：3a b -=，2224a b -=，求+a b 的值；②计算：22222111111111123420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 29．分解因式：（1）222ax axy ay ++；（2）4161y -30．观察下列关于自然数的等式：（1）217295⨯+⨯= ①（2）2282106⨯+⨯= ②（3）2392117⨯+⨯= ③……根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式__________．（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．。
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解 小结与复习
四、乘法公式 1. 平方差公式
两数___和___与这两数__差____的积，等于这两数的
_平__方__差___. (a + b)(a - b) = _a_2_-__b__2 .
2. 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的_平__方__和__，
加上(或减去)它们的__积____的 2 倍.
针对训练
7．下列计算中，正确的是 ( C )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知 (x＋m)2＝x2＋nx＋36，则 n 的值为 ( B )
A．±6 B．±12
C．±18 D．±72
9．若 a＋b＝5，ab＝3，则 2a2＋2b2＝___3_8__．
(a + b)2 = _a_2_+__2_a_b__+__b_2.
五、因式分解 1. 因式分解的定义
把一个多项式化为几个__整__式__的__积____的形式，像
这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式.
步骤：
2. 因式分解的方法
1. 提公因式；
(1) 提公因式法
2. 套用公式；
＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9. (3) 原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.
11. 用简便方法计算 (1) 2002－400×199＋1992； (2) 999×1001.
解：(1) 原式 ＝ (200－199)2 ＝ 1. (2) 原式 ＝ (1000－1)(1000＋1) ＝ 10002－1 ＝ 999999.
人教版八年级上《第14章整式的乘法与因式分解》
人教版八年级上《第14章整式的乘法与因式分解》一、整式的乘法在代数学中，我们经常会遇到整式的乘法运算。
整式是由字母和数字通过加、减、乘、幂运算连接而成的代数式。
整式的乘法运算是指两个整式相乘的操作。
整式的乘法运算遵循以下几个乘法法则：1.同底数幂相乘法则：对于同一个底数的两个幂相乘，可以将底数保持不变，指数相加。
例如，a^m * a^n =a^(m+n)。
2.非零常数乘幂法则：非零常数与任何非零幂相乘，仍然保持底数不变，指数相加。
例如，k * a^n = k * a^n。
3.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a * b = b *a。
4.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即a * (b * c)= (a * b) * c。
通过上述乘法法则，我们可以简化整式的乘法运算，使计算变得更加简单明了。
二、整式的因式分解在代数学中，整式的因式分解是将一个整式分解成一系列整数乘积的运算。
因式分解在计算中具有重要作用，它可以帮助我们简化运算、求解方程等。
整式的因式分解有以下几种常见的方法：1.公因式提取法：当一个整式可以被一个公因式整除时，我们可以将公因式提取出来，然后将整式进行因式分解。
例如，对于整式3a + 6b，我们可以将公因式3提取出来得到3(a + 2b)。
2.差平方公式：对于形如a^2 - b2的整式，可以通过差平方公式进行因式分解。
差平方公式为：a2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
3.完全平方公式：对于形如a^2 + 2ab + b2的整式，可以通过完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式为：a2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
4.求和差公式：对于形如a^3 + b3或a3 - b3的整式，可以通过求和差公式进行因式分解。
求和差公式为：a3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b2)，a3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解4 第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
pa + pb + pc
知识要点 单项式乘多项式的法则
单项式与多项式相乘，就 p p
是用单项式乘多项式的每一 项，再把所得的积相加.
a
b
注意（1）依据是乘法分配律； （2）积的项数与多项式的项数相同.
p c
典例精析 例3 计算：
(1) (－4x) ·(2x2 + 3x－1)； 解：原式＝(－4x) ·(2x2) + (－4x) ·3x + (－4x) ·(－1)
= 15x5. (3) (-x)3 ·(x2y)2；
= -8xy3. (4) (-2a)3(-3a)2.
解：原式 = (-x3) ·(x4y2) 解：原式 = -8a3·9a2
= -x7y2.
= [(-8)×9](a3·a2) = -72a5.
注意 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
练一练 下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
A＋(－3x2)＝x2－2x＋1， ∴ A＝4x2－2x＋1. ∴ A ·(－3x2) ＝ (4x2－2x＋1)(－3x2)
＝－12x4＋6x3－3x2.
整 式 的
单项式乘 单项式
单项式乘 多项式
实质上是转化为同底数幂的运算 实质上是转化为单项式×单项式 (1) 计算时，要注意符号问题，多项式
乘 法
球上需要的时间大约是 5×102 s，你知道地球与太阳
的距离约是多少吗?
地球与太阳的距离约是 (3×105)×(5×102) km.
想一想：怎样计算 (3×105)×(5×102)？计算过程中 用到了哪些运算律及运算性质？
(3×105)×(5×102) = (3×5)×(105×102) 乘法交换律、结合律
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解2 幂的乘方
例4 比较 3500，4400，5300 的大小. 解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能 直接比较大小，通过观察，发现指数都是 100 的倍 数，故可以考虑逆用幂的乘方法则. 解：3500 = (35)100 = 243100，4400 = (44)100 = 256100，
(2) a2 (－a)2 (－a2)3＋a10
= －a2 ·a2 ·a6＋a10
= －a10＋a10 = 0.
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除， 最后算加减
方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一 般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后 算加减，即合并同类项．
幂的乘方法则的逆用
例3 已知 10m＝3，10n＝2，求下列各式的值： (1) 103m； (2) 102n ； (3) 103m＋2n.
幂的乘方
互动探究 问题1 请分别求出下列两个正方形的面积：
10
S正＝边长×边长＝边长2
S小 ＝10×10 ＝102
103
S大 ＝103×103 ＝ (103)2
＝ ＝
103+3 ＝ 106
问题2 请根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空， 观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想.
(32)3 = _3_2_ ×_3_2_ ×_3_2_ = 3（ 2 ）+（2 ）+（2 ） = 3（ 2 ）×（ 3 ） = 3（ 6 ）.
(3) [(－a)3]5；
(2) (xm)2； (4)－(x2)m.
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.2整式的除法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（綦江·中考）2a2÷a的结果是（ ）
A．2 B．2a
C．2a3
D．2a2
【解析】选B.利用单项式除以单项式的运算法则易得 选项B正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.（无锡·中考）下列正确的是（ ）
A．（a3)2=a5 C．(a3-a)÷a=a2
B．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1
【解析】选D.利用单项式除以单项式的运算法则易得选
项D正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（4x2y3）2 ÷ (-2xy2) 【解析】原式=16x4y6÷(-2xy2)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例】计算:
（1）28x4y2÷7x3y （2）-15a5b3c÷5a4b
【解析】原式=4xy
原式=-3ab2c
（3）（2x2y）3×（-7xy2）÷14x4y3
原式=8x6y3×（-7xy2）÷14x4y3
=-56x7y5÷14x4y3
=-4x3y2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
的值. 【解析】原式
(9x2 4 y2 5x2 2xy 10xy 4 y2 ) 8x (4x2 8xy) 8x 1xy
2 Q x 2 y 2012 1 x y 1006
2 原式 1006
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.单项式相除 (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)只在被除式里的幂不变. 2.多项式除以单项式
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整式的乘法与因式分解
一、选择题
1．下列何者是22x 7﹣83x 6+21x 5的因式？（ ）
A ．2x+3
B ．x 2（11x ﹣7）
C ．x 5（11x ﹣3）
D ．x 6（2x+7）
2．把多项式x 3﹣2x 2+x 分解因式，正确的是（ ）
A ．（x ﹣1）2
B ．x （x ﹣1）2
C ．x （x 2﹣2x+1）
D ．x （x+1）2
3、计算2x 3÷x 2的结果是（ ）
A ．x
B ．2x
C ．2x 5
D ．2x 6
4、下列运算中结果正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 5、运用乘法公式计算
的结果是 A. B. C. D.
6、将下列多项式因式分解，结果中不含有因式
的是 A.
B. C. D.
7、化简（a n b m ）n ，结果正确的是………………（ ）
（A ）a 2n b mn （B ）n m n b a 2 （C ）mn n b a 2 （D ）n
m n b a 2
8、若a ≠b ，下列各式中不能成立的是………（ ）
（A ）（a ＋b ）2＝（－a －b ）2 （B ）（a ＋b ）（a －b ）＝（b ＋a ）（b －a ）
（C ）（a －b ）2n ＝（b －a ）2n （D ）（a －b ）3＝（b －a ）3 633·
x x x =422523x x x =+532)(x x =222()x y x y +=+
9、若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( )
A．2ab B．－2ab
C．4ab D．－4ab
10、7张如图1的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a，b满足( )
A．a＝5
2
b B．a＝3b
C．a＝7
2
b D．a＝4b
二、填空题
11、计算：(m＋1)2－m2＝________.
12、已知x＝y＋4，则代数式x2－2xy＋y2－25的值为________．
13、计算
2016
2015
2
1
-
2⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯=
14、若x2﹣y2=20，且x+y=﹣5，则x﹣y=
15、已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2－6a－4b＋13＝0，则c 为__ __．
16、观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；…….按此规律，第n个等式为_ __．。