《数值分析》课件10_YQJ_Ch4非线性方程求根Q

4.1.5 牛顿法
对于方程 f(x)，为了使用迭代法，应先改写 ，为了使用迭代法， 的形式， 成 x=g(x) 的形式，这个迭代函数 g(x) 可以有各 种不同的形式，譬如， 种不同的形式，譬如，显然可令 g(x)=x+f(x)，这 ， 时，相应的迭代公式就是 xk+1=xk+f(xk) 但这种格式不一定收敛，或者收敛速度很慢。 但这种格式不一定收敛，或者收敛速度很慢。 加速公式： 加速公式：
f ( m ) (ξ1 ) f ( x) = ( x − s)m m!
( x − s ) f ( m ) (ξ1 ) g ( s ) = lim x − = s. (m) x→s m f (ξ 2 ) f ( x) f ′′( x) g ′( s ) = lim g ′( x) = lim x→s x→s [ f ′( x)]2 (m − 1) f ( m ) (ξ1 ) f ( m ) (ξ3 ) = lim x→s m [ f ( m ) (ξ 2 )]2
f ( xk ) f ′′(ξ k ) ⇒ s = xk − − ( s − xk ) 2 f ′( xk ) 2! f ′( xk )
x k +1
f ′′(ξ k ) ( s − xk ) 2 2!
s − xk +1 f ′′(ξ k ) ⇒ =− . 2 ( s − xk ) 2 f ′( xk )
y
x k +1
f ( xk ) = xk − f ′( x k )
(4.7)
牛顿法又 叫切线法 s
x2 x1 x0
牛顿法迭 代公式
x
只要 f ∈C1，每一步迭代都有 f '( xk ) ≠ 0， 而 lim 且 k → ∞ x k = s ，则 s 就是 f 的根。
例 用牛顿法求方程 x3 -x -1= 0在x0=1.5附近内的根 s. 在 附近内的根
解:
Newton迭代法 : f ( xk ) xk +1 = xk − f ′( xk )
3 x k − xk − 1 = xk − 2 3 xk − 1
用Newton下 Newton下 山法改进 改进。 山法改进。
k 0 1 2 3
方法1 方法 1.5 1.34783 1.32520 1.32472
看成高阶小量，则有： 将 (s − x0)2 看成高阶小量，则有：
0 = f ( s ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( s − x0 )
线性
0 = f ( s) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( s − x0 )
f ( x0 ) ⇒ s ≈ x0 − , f ′( x0 )
f (x)的图像 的图像
在[2,4]上,
f ( x) = x − 2 − ln x
(1) f ''(x) 不变号, (2) f '(x) ≠0 , (3) f (4)f''(4)>0.
f (x)的图像 的图像
4.1.6 求方程 m 重根的牛顿法
重根, 设 s 是 f (x) 的 m 重根 f (x)∈C m[s-δ, s +δ]， 则 ， f(s) = f ' (s) = ... = f (m-1)(s) = 0， f (m)(s) ≠ 0 ， 由 Taylor 公式
在[2,4]内取初值 x0=4, 易知 f (x) 在[2,4]内满足定 内取初值 内满足定 的条件.下面的牛顿迭代序列收敛于 理4.7的条件 下面的牛顿迭代序列收敛于 的条件 下面的牛顿迭代序列收敛于s.
xk − ln xk − 2 xk (1 + ln xk ) xk +1 = xk − = , 1 xk − 1 1− xk
M=L-1
此式称为简化 简化的 公式。 此式称为简化的Newton公式。 g(x)=x+f (x)，L=g' (x)=1+f' (x) 所以
f ( xk ) x k +1 = x k − f ′( x k ) 此即著名 牛顿公式。 著名的 此即著名的牛顿公式。 (4.7)
牛顿公式的另一种形式： 牛顿公式的另一种形式：线性化 的另一种形式 原理： 原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开
xk +1 = x k + f ( xk ) L xk +1 = xk +1 + 1 − L ( xk +1 − xk )
xk +1 = x k + f ( xk ) L xk +1 = xk +1 + 1 − L ( xk +1 − xk ) L ( x k + f ( xk ) − xk ) 代入： xk +1 = x k + f ( xk ) + 1− L f ( xk ) f ( xk ) =xk + =xk − 1− 1− L M
( Taylor’s expansion )
处做一阶Taylor展开 展开: 取 x0 ≈ s，将 f (x) 在 x0 处做一阶 ， 展开
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′(ξ ) ( x − x0 )2,ξ 在 x0 , x 之间 之间. 2!
(1) 收敛到 s
(2)至少平方收敛 (2)至少平方收敛
由 Taylor 展开
f ′′(ξ k ) 0 = f ( s ) = f ( xk ) + f ′( xk )( s − xk ) + ( s − xk ) 2 2!
f ′( x k )( s − x k ) = − f ( x k ) −
牛顿法(4.7) 的迭代函数 g(x) 为 证 牛顿法
f ( x) f ( x) f ′′( x) g ( x) = x − , g ′( x) = ⇒ g ′( s ) = 0. 2 f ′( x) [ f ′( x)]
由条件可知, 由条件可知 g' (x) 在 s 的某邻域 Bδ (s)= (s -δ, s +δ )内连续 依定理 内连续, 依定理4.2, (4.7)产生的迭 产生的迭 代序列{ 代序列 xk } 收敛到 s.
f ( m ) (ξ k ) f ( x ) = f ( s ) + f ′( s )( x − s ) + L + ( x − s)m m!
f ( m ) (ξ1 ) 得 f ( x) = ( x − s)m , m!
s 是 f '(x) 的 m- 1 重根， f (x)∈C m[s-δ, s +δ ]，得 重根， ，
f ( m ) (ξ 2 ) f ′( x) = ( x − s) m −1 , (m − 1)!
f ( m ) (ξ3 ) f ′′( x) = ( x − s)m−2 . (m − 2)!
f ( x) f ′′( x) g ′( x) = [ f ′( x)]2
1 = 1− . m
由此知， 的根； 由此知， f (x)=0 的 m 重根 s 是 x = g(x) 的根； 又因 0 < g ' (s) < 1， 所以， 依定理 知，当 x0 ， 所以， 依定理4.3知 牛顿法产生的序列{ 收敛于 充分靠近 s 时， 牛顿法产生的序列 xk } 收敛于 s. 但仅有线性速度 但仅有线性速度. 线性速度 提速方案1: 迭代函数使用重数. 提速方案 迭代函数使用重数 将迭代函数改为
g ( x) = x − f ( x) , f ′( x )
f ′′( s ) f ( s ) ⇒ g ′( s ) = = 0 < 1. 2 f ′ (s)
• 条件(1),(2)可保证 f (x) 在[a, b]内有唯一的根 有唯一的根,再 有唯一的根
用(3)可得迭代序列{ xk } 单调收敛于 s .
f (x) 在[a, b]上的根，且 f '(s) ≠ 0，则存在 s 的 上的根， ， 上的根 邻域 Bδ (s) , 使得任取初值 x0∈Bδ (s) ，牛顿 法产生的序列{ 收敛到 ， 法产生的序列 xk } 收敛到 s，且满足
s − x k +1 f ′′( s ) lim =− . k →∞ ( s − x )2 2 f ′( s ) k
依定理4.3知, 下面变形的牛顿 变形的牛顿法产生的序列{ xk } 变形的牛顿 二阶的速度收敛 s. 收敛于 最少以二阶 二阶 收敛
只要 f ' (s) ≠ 0，则令 k
∞ 可得结论。
定理4.7 （收敛的充分条件）设 f ∈C 2[a, b]，若 收敛的充分条件） 定理 ，
(1) f (a) f (b) < 0； ； (2)在整个 b]上 f ''不变号且 f '(x) ≠ 0； 在整个[a, 上 不变号且 ； 在整个 (3)选取 x0 ∈ [a, b] 使得 f (x0) f ''(x0) > 0； 选取 ；
x0 = x1;
f (4)f ''(4)>0, 产生的序列 单调减, 单调减 至 少平方收敛. 少平方收敛
初值为3时 运行结果: 初值为 时, 运行结果 x0 = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = 3 3.147 918 433 002 16 3.146 193 440 797 91 3.146 193 220 620 59 3.146 193 220 620 58 3.146 193 220 620 58 3.146 193 220 620 58
f ( m ) (ξ3 ) f ( m ) (ξ 2 ) f ′( x) = ( x − s ) m−1 , f ′′( x) = ( x − s)m−2 . (m − 1)! (m − 2)!