08概率统计及答案(B)

东 北 大 学 考 试 试 卷（B 卷） 2008 — 2009学年 第1学期
课程名称：概率论与数理统计
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 一、5小题，每小题4分，共20分；在每小题四个备选 ） 1. 设,A B 为任意两个事件，且1)|(,0)(=>B A P B P , 则必然成立的是
(A) )()(A P B A P >⋃ (B) )()(B P B A P >⋃
(C) )()(A P B A P =⋃ (D) )()(B P B A P =⋃ [ C ]
2. 已知“A 发生或B 不发生”的概率是0.6，则“A 不发生而B 发生” 的概率是 (A) 0.36； (B) 0.4； (C) 0.6； (D) 0.24。

[ B ]
3. 设随机变量X 的分布律为2.0}1{=-=X P ，7.0}0{==X P ，1.0}1{==X P 则
概率{}2
1P X =等于
(A) 0.3； (B) 0.2； (C) 0.1； (D) 0.02。

[ A ] 4. 设随机变量X 服从正态分布),(2
σμN ，则随着σ的增大，概率}3|{|σμ<-X P ,
(A) 增减不定 (B) 单调减小； (C) 单调增大； (D) 保持不变。

[ D ] 5. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为2和1，则随机变量32X Y - 的方差是 (A) 8； (B) 4； (C) 22； (D) 14。

. [ C ]
填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中 括号内。

） 1. 用事件A,B,C 表示事件“A,B,C 至少有一个发生”为( A+B+C )； 2. 一盒中有5个红球，3个白球，2个黑球，从中任取3球，则事件“三球互不 同色”的概率为( 1/4 )； 3. 设随机变量X 的分布律为3.0}1{=-=X P ，2.0}0{==X P ，4.0}1{==X P ， 1.0}2{==X P ，则=)(2
X E （ 1.1 ）。

4. 设相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,1(-N ，则概率 =≤+}0{Y X P （ 1/2 ）。

5．设随机变量X 的概率密度为10,2)(<<=x x x f ，则D(X)=( 1/18 )。

(10分）袋中有3个是黄球，2个是白球和5个红球，现依次从袋中 随机地取出二个球，取后不放回。

求二个都是红球和第二个球是红球的概率。

解 P 1=1/2X 4/9=2/9------------5分 P 2=P 1+1/2X5/9=1/2------------10分
(10分)设一批产品共10件,其中有2件次品, 从中任取3件,用 X 表示被抽3件中的次品数，求X 的分布律和分布函数。

解：分布律为：P{X=0}=7/15――――――――2分 P{X=1}=7/15――――――――4分
P{X=2}=1/15――――――――6分
分布函数为：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2,12
1,15/1410,15/70,0)(x x x x X F 。

―――――10分
2-1
10分）设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从区间[0,1]上的Y 服从参数为1的指数分布，
试求：（1）X 与Y 的联合概率密度函数；（2）
}{X Y P ≤。

解 （1）由已知有：
⎩⎨
⎧<<=其他,01
0,1)(x x f X ，⎩⎨⎧>=-其他
,00,)(y e y f y Y ―――――4分
所以，X 与Y 的联合概率密度函数为：
⎩
⎨
⎧><<=-其他,00
,10,),(y x e y x f y ―――――6分 （2）⎰⎰
≤=
≤x
y dxdy
y x f X Y P ),(}{―――――――――8分
⎰
⎰⎰
---=-=
=
1
1
1
)1(x
x
y
e
dx e
dy e
dx ―――10分
(10分) 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为：
求)12(+X E 和)(X D 。

解 因为⎰⎰=
D
dxdy
y x xf X E ),()(
⎰⎰-=10
)1(24x
dy x xy dx
5
3)1(121
3
=
-=⎰dx x x -----------2分
⎰⎰=
D
dxdy y x f x
X E ),()(2
2
⎰⎰-=1
2
)1(24x
dy x y x dx
5
2)1(121
4
=
-=⎰dx x x -----------4分
所以，5
111)(2)12(=
+=+X E X E ---------------7分
25
1
)()()(2
2
=
-=X E X E X D ------------10分
（10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，θ未知，12,,,n X X X 是来自X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量，并指出无偏性。

解 由于θμ==)(1X E , 所以，θ的矩估计量为：X A ==1ˆθ.---------4分
又由于，θ
θ
θ
θ
θ∑=
=
-
-
=∏i
i
x n
x n
i e
e
L 1
1
)(1
，所以，θ
θθ∑-
-=i
x n L ln )(ln
令
)(ln 2
=+
-
=∑θ
θ
θθ
i
x
n
L d d ，得θ的最大似然估计量为：X
X n
i ==
∑
1ˆθ.—8分
因为θ=)(X E ，所以，X 是参数θ的无偏估计。

---------------------10分
八10分）已知一批零件的长度X (单位:cm )服从正态分布(),1N μ， 从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40)(cm ，求μ的置信度为0.95 的置信区间。

（注：标准正态分布函数值.(1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=）
解 由已知有：)(40cm x =，05.0,1,16===ασn ，96.1025.02
==z z α，---4分
所以，μ的置信度为0.95的置信区间为：
)49.40,51.39()49.040()(2
=±=±
ασz n
x --------------10分
2-2
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤-=其他，00,10,)1(24),(x
y x x y y x f。