位似与相似
《位似》相似(第1课时位似图形的概念及画法)
未来学习和探索的建议
深入学习位似图形的相关 性质和理论，加强对位似 图形的理解和掌握。
通过练习和实践，提高绘 制位似图形的技能和能力 ，熟练掌握各种绘制方法 和技巧。
积极寻找和解决实际问题 ，尝试将位似图形的理论 和方法应用到实际问题中 ，提升实践能力和综合素 质。
谢谢您的聆听
THANKS
4. 连接对应点
将新位置上绘制的对应点用直线连接起来，形成位似图形 。
不同类型的位似图形的画法示例
1. 位似三角形
在绘制位似三角形时，可 以通过确定三个顶点的对 应点来绘制位似三角形。 注意保持三角形的形状和
大小比例。
2. 位似矩形
对于位似矩形，需要确定 矩形对角线上的两个端点 的对应点，然后连接对应
应用优势
位似图形在建筑设计、绘图和工程领域等方面有很大的应用优势。通过位似变换，可以方便地将一个图形按照一 定比例进行放大或缩小，从而适应不同的需求和场景。同时，位似图形的性质也使得在计算距离、角度等几何要 素时更加简便和高效。
04
练习题与实例分析
针对位似图形画法的练习题
01
02
03
练习1
已知一个三角形，利用位 似图形的概念，画出与其 相似且位似中心在指定点 的三角形。
《位似》相似(第1课时位似图 形的概念及画法)
汇报人：文小库
2023-11-17
CONTENTS
• 位似图形概念引入 • 位似图形的画法 • 位似图形的性质与特点 • 练习题与实例分析 • 总结与延伸思考
01
位似图形概念引入
定义和基本概念
定义
位似图形是指两个图形对应点连线交于一 点，且对应线段长度的比相同的图形。
点即可绘制位似矩形。
人教版九年级下册数学《位似》相似PPT教学课件
这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比.
2. 位似图形的性质：
✓ 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 ✓ 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位 似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky） 或（―kx，―ky）。
小练习
使新图形与原图形对应线段的比是 在原图2上∶取几1.个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点
作射线A 在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使
E′
D′
A ●
BG CF
DE
F′
C′
G′
B′
A′
顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的 箭头)就是符合要求的图形。
位似图形的性质
✓ 对应点与位似中心共线。 ✓ 不经过位似中心的对应边平行。 ✓ 位似图形上任意一对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。
位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。
小练习
请以坐标原点O为位似中心，作□ ABCD
的位似图形，并把它的边长放大3倍。
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O
作法一
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得
OA OB OC OD 1 ； OA OB OC OD 2
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形
A′B′C′D′，如图2．
A
图形的相似图形的位似ppt
。
工程制图
02
在工程制图中，可以利用位似图形来表示物体的形状和大小，
提高制图精度和效率。
艺术创作
03
艺术家可以利用位似图形创造出具有特殊效果的绘画作品，增
强艺术表现力。
03
图形的相似与图形的位似之间的关系
两者之间的联系
图形相似和图形位似都是图形变换的形式，它们都涉及到图 形形状和大小的变化。
图形的相似和位似都涉及到图形的形状和大小，它们都是图 形变换的基本概念。
性质
位似图形的对应线段、对应点所连线段平行（或在同一
图形的位似的判定方法
定义法
根据位似图形的定义进行判定 。
特征法
利用位似图形的性质进行判定 。
合同法
通过合同变换将两个图形转化 为位似图形。
图形的位似的应用
摄影
01
利用位似原理进行摄影，可以得到具有相同形状和大小的图片
在几何证明中的应用
证明定理
在几何证明中，图形的相似可以帮助证明几何定理。例如，通过使用相似图 形的性质，可以证明勾股定理或毕达哥拉斯定理。
推导公式
在几何中，图形的相似可以帮助推导重要的公式。例如，通过使用相似图形 的性质，可以推导出圆的面积公式或球的体积公式。
05
图形的相似与图形的位似在生活中的应 用
图形的相似的应用
艺术领域
在艺术领域中，人们经常利用相似图形的性质进行创作和设计，如相似三角 形在绘画中的应用。
实际生活
在日常生活中，我们也经常遇到相似图形的应用，如相似图形在广告、宣传 海报等方面的应用。
02
图形的位似
定义与性质
定义
如果两个图形形状相同，大小成比例，那么这两个图形称为位似图形。
相似三角形的位似定理与位似点
相似三角形的位似定理与位似点相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但可能不同的大小。
在研究相似三角形时，我们需要掌握位似定理和位似点的概念，这些概念有助于我们在解题时进行推理和判断。
一、位似定理位似定理是研究相似三角形时最主要的定理之一，它表明相似三角形的对应角度相等。
具体而言，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
我们可以将位似定理表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
通过位似定理，我们可以利用已知信息来推导未知信息。
例如，如果我们知道两个三角形的某些角度相等，我们可以得出它们是相似的结论。
这种关系对于解决实际问题具有很大的帮助。
二、位似点位似点是指在两个相似三角形中，对应边上的点成比例。
也就是说，如果两个三角形的对应边上的点成比例，则它们是相似的。
我们可以将位似点表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有（AB/DE）=（AC/DF）=（BC/EF）。
位似点的概念能够帮助我们求解相似三角形中未知长度的边。
通过观察对应边上的点的比例关系，我们可以利用已知长度来推导出未知长度。
三、应用示例下面，我们通过一个具体的问题来应用位似定理和位似点的概念。
问题：在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 70°。
如果BC边的长度为8 cm，求出AB和AC边的长度。
解答：根据已知条件，我们知道∠B = 50°，∠C = 70°。
现在我们可以利用位似定理来判断三角形△ABC与另一个三角形是否相似。
假设△ABC与△DEF相似，根据位似定理，我们得出∠B = ∠E = 50°，∠C = ∠F = 70°。
根据题目要求，我们已知BC边的长度为8 cm。
现在我们可以利用位似点的概念来求解AB和AC边的长度。
根据位似点，我们可以得到（BC/EF）=（AB/DE）=（AC/DF）。
沪科版-数学-九年级上册-位似图形和相似图形有什么关系
初中-数学-打印版
位似图形和相似图形有什么关系？
位似图形和相似图形有什么关系？
难易度：★★★★
关键词：画相似图形
答案：
关于位似图形和相似图形：①位似图形一定是相似图形；②两个相似形，当对应点的连线交于同一点时，这两个图形又叫做位似图形；③位似比即相似形的相似比；④位似图形具有相似形的性质.
【举一反三】
典例：如图所示：（1）写出小“鱼”与大“鱼”位置关系；（2）已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），写出大“鱼”上对应“顶点”的坐标；（3）画出将小“鱼”和大“鱼”同时向上平移
2个单位的图象，不写作法．
思路引导：（1）根据图形的对应点的连线交与一点可知，该图形属于位似变换；（2）小“鱼”与大“鱼”的坐标关系是：大鱼是小鱼的坐标的-2倍；（3）分别把图象直接上移2个单位长度即可．
标准答案：（1）小“鱼”与大“鱼”位置关系属于位似变换；（2）大“鱼”上对应“顶点”的坐标
为（-2a，-2b）；（3）画图如右图．
初中-数学-打印版。
《图形的相似与位似》课件
相似三角形的判定
1
AAA判定法
了解使用三个角度来判定相似三角形。
2
AA判定法
学习使用两个角度和一个对应边的判定法。
3
SAS判定法
探索使用两个边和一个夹角的判定法。
相似图形的应用
测量高塔、树木等高度
了解如何使用相似图形来测量 高耸物体的高度。
测量山峰高度距离
学习如何使用相似图形来测量 遥远山峰的高度和距离。
确定电线杆的高度
探索使用相似图形来确定电线 杆及其他物体的高度。
位似图形
Hale Waihona Puke 1 什么是位似图形？2 位似变换的性质
了解位似图形的定义和特点。
探索位似变换中保持形状和角度不变的性质。
位似变换的分类
平移
学习平移变换在位似图形中 的应用。
旋转
了解旋转变换如何影响位似 图形。
翻转
探索翻转变换对位似图形的 作用。
位似变换的应用
1
计算机图形学中的应用
2
学习位似变换在计算机图形学中的广
泛应用。
3
地图和航空摄影中的应用
了解位似变换在地图和航空摄影中的 重要性。
工程模型中的应用
探索位似变换在工程模型设计中的实 际应用。
总结
相似图形与位似图形的异同
总结相似图形和位似图形之间的相似之处和 差异。
相似图形和位似图形在现实生活中 的应用
《图形的相似与位似》 PPT课件
探索图形的相似与位似，理解它们的性质和应用。学习如何判定相似三角形 和位似图形变换的分类，以及它们在现实生活中的重要性。
相似图形与比例
相似图形是什么？
了解相似图形的定义和特点。
相似图形之间的比例关系
第28课 图形的相似与位似
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的 相似比 ．
5．相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交， 所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等； (3)两边对应成比例且夹角相等； (4)三边对应成比例； (5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角 形相似． 6．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应 中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方．
2．运用相似三角形的判定解决其他问题
相似三角形的判定方法可用来判定两个三角形相似，也可以 间接地说明角相等或线段成比例，还可为计算线段及角的大小
创造条件，在解决问题时，应从问题结论所需条件入手，灵活
转化．有时需把解题中涉及的线段转化到适当的三角形中去考 虑，有时要找“中间比”来替换，使问题得以间接解决．
7．直角三角形相似的判定及成比例的线段：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形 成比例，那么这两个直角三角形相似．
射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上
的高，则有下列结论． (1)AC2＝AD·AB；
(2)BC2＝BD·AB；
(3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD；
b 5 ab 2.（2012 四川凉山）已知 ，则 的值是【 D ab a 13 3 4 2 9 A． 3 B． 2 C． 4 D． 9
】
3． （2012 潍坊）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E， 沿 AE 将Δ ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=( B )． A．
三角形相似与位似
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得等.EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
图形变换相似与位似变换
C
P
典型例题分析：
2.如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰 直角三角形，∠BAC=∠G=900，BC分别 与AD、AE相交于点D、E. A 请问图中有哪几对相似 三角形？请把它们表示 出来，并说明理由. E D B C G F
变式一： 如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰 直角三角形，∠BAC=∠G=900，BC分别与 AD、AE相交于点D、E. 设BD=m，CE=n，DE=p， 试证明：m2+n2=p2 A
A D B
E A
A D B C
D C B
E C
A O
C
A C O B B D
A B D
C
D
考点3图形的位似
例在4×4方格中四边形ABCD和四边形HEFG 是不是位似图形？如果认为不是，请说明理由； 如果认为是，请在图上标出位似中心， 并说出位似比
G
F
H
A
D
C
B
E
典型例题分析：
1.如图，已知边长为2的正方形ABCD中, E为CD的中点，P为BC边上一点， 问题：请添加一个条件使 A △ABP与以E、C、P为顶 点的三角形相似.
9. 如 图 ， 在 正 方 形 网 格 上 有 6 个 三 角 形 ① △ABC，② △BCD，③ △BDE，④ △BFG， ⑤ △FGH，⑥ △EFK，（格点边长为1）其 中②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）
A、②③④ B、③④⑤ C、④⑤⑥ A D、②③⑥
C
2
D
3
E
6 5
1
F
4
H
K G
B
如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4， PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在 BC上. （1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时， 求CP的长. （2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时， 求CP的长. （3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等 腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在， C 请求出PQ的长.
《图形的位似》与图形的相似
如果两个图形中对应顶点连线所 在的直线交于一点，则这两个图 形位似。
依据边判定位似
总结词
通过比较两个图形对应边的长度和夹 角的大小来判断是否位似。
详细描述
如果两个图形中对应边长相等，且对 应边之间的夹角相等，则这两个图形 位似。
依据角度判定位似
总结词
通过比较两个图形中对应角的大小来判断是否位似。
确定相似关系
在几何作图中，位似关系可以帮助确 定两个图形是否相似，从而判断它们 的形状和大小是否符合要求。
放大或缩小图形
利用位似关系，可以将一个图形按照 一定比例放大或缩小，这在建筑设计 、机械制造等领域非常有用。
在解决实际问题中的应用
测量和计算
在土地测量、建筑规划等领域， 位似图形可用于计算实际物体的 尺寸和比例，为工程设计和施工
当一个位似图形进行反射时，即关于一条直线进行对称， 其形状和大小保持不变。反射后，对称轴一侧的图形会出 现在对称轴另一侧的位置上，这种反射性质也是位似图形 的一个重要特性。
位似图形的平移性质
位似图形在平移时，其形状和大小保持不变，只是位置发生了平移。
当一个位似图形在平面上进行平移时，其形状和大小不会发生变化，只是整体位 置沿着某一方向发生了平移。这种平移性质也是位似图形的一个重要特性，使得 位似图形在几何学中具有广泛的应用。
理论作用
位似和相似的概念是几何学理论体系的重要组成部分，它们有助于理解 图形的性质和关系，以及解决几何问题。
03
实际应用
在实际生活中，位似和相似的概念也有广泛的应用。例如，在建筑设计
、机械制造、测量等领域中，经常需要利用位似和相似的概念来处理和
分析图形数据。
05
位似图形的特殊性质
第18章 图形的相似与位似
第十八章 图形的相似与位似15．（2012北京，15，5）已知023a b =≠，求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值． 【解析】【答案】设a =2k ,b =3k ，原式=525210641(2)(2)(2)22682a b a b k k k a b a b a b a b k k k ----====+-++【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。
28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△AB E 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A ．215- B ．215+ C ． 3 D ．2 考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF 为正方形。
因为四边形EFDC 与矩形ABCD 相似 所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：012=--AD AD ,解得251±=AD 由于AD 为正，得到AD=215+，本题正确答案是B. 点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。
28.3 相似三角形的判定（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC.ACABAE AD =D. ADE ABC S S ∆∆=3 解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE ；因DE//BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ：AB=AE ：AC ，即AD ：AE=AB ：AC ，ADE ABC S S ∆∆=4.所以选项D 错误. 答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC＝MABN 的面积是A．B ．．D ．【解析】由MC ＝6，NC ＝∠C ＝90°得S △CMN=CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN ∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。
图形的相似图形的位似
2023-11-08contents •图形相似的基本概念•图形相似的判定方法•图形位似的基本概念•图形位似的应用•图形相似与图形位似的异同点•典型例题解析目录01图形相似的基本概念相似图形的定义如果两个图形形状相同，大小不同，且它们对应线段的长度成比例，则称这两个图形相似。
相似图形的判定方法根据相似图形的定义，可以通过比较两个图形对应线段的比例来判断它们是否相似。
相似图形的定义相似图形的性质相似图形具有相同的周长、面积和对应角的大小。
相似图形的对应线段相似图形的对应线段成比例，对应角的大小相等。
相似图形的性质根据相似图形的定义，可以将相似图形分为位似图形和非位似图形。
相似图形的分类位似图形的定义位似图形的性质如果两个图形不仅相似，而且对应线段所在的直线交于一点，则称这两个图形位似。
位似图形具有相同的周长、面积和对应角的大小，且对应线段所在的直线交于一点。
03相似图形的分类020102图形相似的判定方法通过定义直接判定定义如果两个图形的形状相同，大小可以不同，则这两个图形是相似图形。
判定方法直接观察两个图形的形状是否相同。
如果两个三角形对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形是相似三角形。
定义测量两个三角形对应角的大小和对应边的长度，判断它们是否满足对应角相等和对应边成比例的条件。
判定方法通过测量相似三角形的角度和边长判定矩阵变换和线性变换是图形变换的两种方式，通过这些变换可以将一个图形变为另一个图形。
判定方法通过矩阵变换和线性变换将一个图形变为另一个图形，判断它们是否满足相似图形的定义。
定义通过矩阵变换和线性变换判定VS03图形位似的基本概念位似是图形相似的一种特殊形式，是指两个图形在位似变换下保持相似。
位似变换是指将一个图形沿着某个方向拉伸或压缩，而保持其形状不变的变换。
位似的分类根据变换的方向和方式，位似可以分为单向位似和双向位似。
根据图形是否在平面上，位似可以分为平面位似和空间位似。
单向位似是指沿着某个方向进行拉伸或压缩变换，而双向位似是指在两个方向上进行拉伸或压缩变换。
画相似图形、位似图形及图形与坐标知识点
画相似图形及图形与坐标
一、位似图形的定义：如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应顶点的连线相交于一点，对应边相
互平行（或在同一直线上），那么这样的两个相似图形是位似图形。
辨析：（1）位似图形与相似图形的关系：位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。
（2）两个位似图形的位似中心只有一个。
例1判断每组图形中两个图形是不是位似图形，如果是指出位似中心
二、位似图形的性质——如果两个图形位似，那么他们的相似比就是相似比。
（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似图形对应点的连线或延长线交于一点。
（3）位似图形对应线段平行（或在同一条直线上）且成比例。
（4）位似图形的对应角相等。
三、位似图形的画法
四、确定物体位置的方法
方法1：用坐标确定位置。
先选取某点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用一对有序实数来表示一个点的位置，即为某物体的位置。
方法2：用一个角度和距离确定点的位置。
先选定某个参照物和某个方向，然后用一个角度和距离来表示一个点的位置，即为某物体的位置。
这种方法在军事和地理中经常用到。
注意：用此方法确定点的位置时，角度与距离二者缺一不可。
五、图形的变换与坐标
1.在平移过程中(1)左右移,横坐标变,纵坐标不变.
(2)上下移,纵坐标变,横坐标不变.
2.关于x轴对称的图形对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的图形对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数.
3.位似中心是原点的位似变换中,坐标扩大或缩小相同的倍数.。
平面几何中的相似比定理与位似
平面几何中的相似比定理与位似在平面几何中，相似比定理与位似是两个重要的概念。
它们对于解决几何问题以及在实际生活中的应用都具有重要的意义。
本文将详细介绍相似比定理与位似的概念、性质以及应用案例。
一、相似比定理相似比定理是在几何形状相似的情况下，两个相似图形的对应边的长度之间的比值是相等的。
设有两个相似的三角形ABC和DEF，其中BC与EF对应，AC与DF对应，AB与DE对应。
那么有以下相似比定理成立：1. 侧边比定理：AB/DE=BC/EF；2. 高度比定理：h_a/h_d=BC/EF；3. 面积比定理：S_△ABC/S_△DEF=(BC/EF)^2。
相似比定理在解决几何问题时非常有用。
通过利用相似比定理，我们可以在已知图形的一部分信息的情况下，推导出其余部分的信息。
例如，如果我们知道一个三角形的底边长度和高度之间的比例，利用相似比定理可以求得其他边的长度、面积等信息。
二、位似的概念与性质位似是指在平面上，两个图形虽然形状不同，但是它们的对应边相互平行且长度之比相等。
位似的关键在于保持对应边的比例不变。
在位似的情况下，两个图形之间存在以下性质：1. 对应边平行：位似的图形中，对应边是平行的；2. 对应角相等：位似的图形中，对应角是相等的；3. 边长比相等：位似的图形中，对应边之间的长度比例是相等的。
位似在实际生活中的应用非常广泛。
例如在地图上，两个不同比例尺的地图是位似的，通过位似关系，我们可以在不同比例尺的地图上进行距离和角度的换算。
三、相似比定理与位似的应用案例相似比定理与位似在日常生活和工作中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 地理测量：地理测量中常用的仪器如测绘仪、全站仪等，其数据处理过程中用到了相似比定理。
通过测量不同位置上的三角形边长比例关系，我们可以计算出高度、距离等信息。
2. 建筑设计：在建筑设计中，相似比定理与位似常被运用于平面设计、线条设计等。
通过调整不同形状的图形的比例关系，实现建筑设计的美观与和谐。
第七讲图形的相似与位似
解：由勾股定理得， AB 2 2 2 4 2 20
AC 2 12 2 2 5, BC 2 3 2 4 2 25
AB 2 AC 2 25 BC 2
△ ABC为 直 角 三 角 形
高级挑战
2、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点 都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完 成下列各题： （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
各对应角 2．性质：(1)相似多边形的各边对应 ________成比例，________
相等； 相似比 ，面积比等于___ (2)相似多边形周长的比等于________ 相似比的平方 ． _____________ 成比例 ，对应 3．如果两个边数相同的多边形对应边 ________ 相等 ，那么这两个多边形相似． 角________
连接AG、AC， ∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上， DA：AB=HA：AE=m：n， ∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG， ∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∽△CAG，
HD : GC AD : AC m : m 2 n2 ,
∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE， ∵DA：AB=HA：AE=m：n， ∴△ADH∽△ABE， ∴DH：BE=AD：AB=m：n，
平行四边形 EFGH的周长 2( EF EH ) 2 13
初级挑战
5、为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情 况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C 在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC， ∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE， DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ C ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F
相似三角形的位似定理与三角形位似点
相似三角形的位似定理与三角形位似点在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同的大小的三角形。
相似三角形之间存在着一些重要的定理和性质，其中最为重要的是位似定理和位似点。
本文将探讨相似三角形的位似定理以及位似点的性质和应用。
一、相似三角形的位似定理相似三角形的位似定理是指，如果两个三角形对应的角度相等，则这两个三角形是相似的。
更具体地说，如果两个三角形的对应角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
例1：如图1所示，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则△ABC 与△DEF是相似的。
图1：相似三角形的位似定理示意图相似三角形的位似定理的证明比较简单，只需要利用角度的性质即可。
假设△ABC与△DEF是相似的，我们需要证明∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
首先，由于△ABC与△DEF是相似的，所以根据相似三角形的定义，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
假设AB/DE = BC/EF，即AB * EF = BC * DE。
另外，假设AC/DF = BC/EF，即AC * EF = BC * DF。
两个等式联立，可以得到AB * EF = AC * EF，即AB = AC。
结合三角形的性质，可以得知∠A = ∠D。
同样的方法可以证明∠B = ∠E，∠C =∠F。
由此可见，如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
二、三角形位似点的性质和应用三角形位似点是指两个相似三角形中对应顶点的连线交于一点。
这个位似点在相似三角形中担任着重要的角色，具有一些独特的性质和应用。
位似点的性质之一是，如果两个相似三角形的对应顶点分别连接起来，那么这两条连线将会平行。
这是因为对于相似三角形△ABC和△DEF来说，点A和点D连接后得到的线段AD平行于线段BC，点B 和点E连接后得到的线段BE平行于线段AC，点C和点F连接后得到的线段CF平行于线段AB。
位似点的性质之二是，对于一个三角形位似点，它与三角形的顶点的连线的比例等于两个相似三角形的对应边的比例。
相似与位似的关系
相似与位似的关系
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊相似与位似的关系。
这可是个很有意思的话题哦！
咱先说说相似吧。
相似就好像是两个东西长得很像，但又不完全一样。
比如说，两个三角形，它们的形状差不多，对应的角相等，对应的边成比例，这就是相似啦。
你可以想象一下，有两个三角形，一个大一点，一个小一点，但它们的角度都一样，边的比例也一样，这是不是很神奇呀！相似在我们生活中可常见啦，你看那些建筑的设计图纸，上面的图形很多都是相似的呢。
那位似又是什么呢？位似呀，就像是相似的“升级版”。
它不仅要求图形相似，还要求它们有一个特定的点，叫做位似中心。
所有对应点都好像是在位似中心的控制下，有规律地排列着。
这就好比是一群士兵，他们要按照将军的指挥行动一样。
位似在很多地方也有用呢，比如地图的绘制，就是利用位似原理把实际的地方缩小画在纸上的呀。
相似和位似有什么关系呢？它们可是很亲密的“伙伴”哟！所有的位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形哦，这是不是很特别？可以说位似是相似的一种特殊情况呢。
就好像是苹果是水果的一种，但不是所有水果都是苹果呀。
相似和位似能帮我们解决好多问题呢！比如在数学里计算图形的边长、面积啥的。
在实际生活中也大有用处呀，设计师们用它们来设计各种好看的东西，工程师们用它们来建造坚固的建筑。
总之，相似和位似就像是数学世界里的两个小精灵，它们有趣又实用。
我们可不能小瞧它们哦！它们能让我们的世界变得更加丰富多彩呢！。
三角形的相似比例定理与位似定理
三角形的相似比例定理与位似定理三角形作为几何学中最基本的形状之一，其相似比例定理和位似定理是我们在研究三角形相似性质时经常遇到的重要定理。
本文将详细介绍三角形的相似比例定理和位似定理，并探讨其在几何学中的应用。
一、相似比例定理相似比例定理是指在两个相似三角形中，对应边的长度比例相等。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为常数。
根据相似比例定理，我们可以得出以下结论：1. 两个相似三角形的相应边比例相等。
例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3，则AB与DE的比例等于BC与EF的比例，也等于AC与DF的比例。
2. 两个相似三角形的周长比例等于它们任意一条边的比例。
假设两个相似三角形ABC和DEF的比例为k，则它们的周长比例为k。
3. 两个相似三角形的面积比例等于它们任意一条边长度平方的比例。
假设两个相似三角形ABC和DEF的比例为k，则它们的面积比例为k²。
相似比例定理为我们研究三角形的相似性质提供了重要的数学依据，也为解决有关三角形的几何难题提供了指导。
二、位似定理位似定理是指在两个位似三角形中，对应角度相等。
位似三角形指的是两个三角形具有相同的形状，但尺寸不同。
具体来说，当一个三角形的各边长度等比例缩放时，所得到的新三角形与原三角形是位似的。
根据位似定理，我们可以得出以下结论：1. 两个位似三角形的内角相等。
例如，若三角形ABC与三角形DEF是位似三角形，其中∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 两个位似三角形各边长度的比例相等。
假设三角形ABC与三角形DEF是位似三角形，其中AB/DE =BC/EF = AC/DF = k，其中k为常数。
位似定理为我们在解决三角形的相似性质问题时提供了一种便捷的方法，使我们可以通过观察三角形的角度关系来得出结论。
三、相似定理的应用相似比例定理和位似定理在几何学中有广泛的应用。
相似及位似
相似及位似
定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质: 位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。
位似多边形的对应边平行。
位似的作用利用:位似可以将一个图形放大或缩小。
位似中心的落点: 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
判定: 一平行于三角形的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
二如果两三角形对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
三如果两个三角形的两组对应边得比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
四如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
“相似形”和“位似形”
“相似形”和“位似形”几何学是研究几何图形性质的一门科学．初等几何所研究的几何性质，则是以图形的形状、位置和大小为对象的．在工农业生产和日常生活中，经常遇到许多形状相同而大小不等的图形．例如，同一张底片用不同尺寸洗出来的两张照片，用不同的比例尺绘制的同一地图，同一机械零件的图样等等．像这样形状相同的图形叫做相似形．相似形的形状相同，大小并不一定相等．如果两个图形不仅形状相同，而且大小又相等，这两个图形就是全等形． 所以，全等形一定是相似形，它是相似形的特例；相似形就不一定是全等形．两个边数相同的多边形，要是对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如图1，多边形ABCDE 和多边形A′B′C′D′E′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′， 且AE EA E D DE D C CD C B BC B A AB ''=''=''=''=''， 则多边形ABCDE ∽多边形A′B′C′D′E′．上面讲到了，两图形相似，只要形状相同就可以了，至于它们的大小和位置怎样，则是无关紧要的．但是，两个相似形有时具有某种特殊的位置关系．例如，电影胶片的图形与放到银幕上的形象，不仅是相似形，而且对应点的连线交于一点(光源)．其他如用放缩尺绘制图形以及用平板仪测量，也常见到类似的情况．像这样对应顶点的连线交于一点的相似形叫位似形．所以，成位似形的图形必定相似，但相似的图形则不一定位似．相似形对位似形而言，是较一般的概念；位似形对相似形而言，则是较特殊的概念．两个图形相似，不论它们的位置如何，都不失其相似性．两个图形位似，则其位置受“对应顶点的连线交于一点”条件的限制，这一点就叫做相似中心．相似中心的位置有多种情况，它可以在两图形对应顶点的连线上(图2)；也可以在对应顶点连线的延长线上(图3)；特别地，还可在某一图形的一边之上(图4)，或者有一个公共的顶点．。
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北环城路
曙 光 路西安路南京路书店八一街400m 400m 300m （第6题）
A B C D E
第37课时 位似与相似
复习目标： （1）成比例线段的性质；相似三角形性质。
（2）位似图形的性质。
考点解读：
1、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果a b ＝c d
，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2、比例的基本性质：如果a b ＝c d
，那么 。
3、如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比(即AC AB ＝5－12
≈0.618)． 4、相似三角形中： 、 、 、 、 都等于相似比； 之比等于相似比的平方。
（第四条多边形中也成立）
5、位似图形一定是： 反之则不成立。
位似中心是 的连线。
基础过关：
1、若a －b b ＝23，则a b
＝( ) A ．13 B ．23 C ．43 D ．53
2、如图所示，小东用长为3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，
使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m 、
与旗杆相距22 m ，则旗杆的高为 ( )
A ．12 m
B ．10 m
C ．8 m
D ．7 m
3、视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，开口向上的两个“E”之间
的变换是( )
A ．平移
B ．旋转
C ．对称
D ．位似
4、西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准
备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A.600m
B.500m
C.400m
D.300m
5、若两个相似三角形的面积之比为1:4，则周长之比为（ ）
A.1:2
B.1:4
C.1:5
D.1:16
6、如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）
A.32
B.33
C.34
D.36 7、 如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ∆∽
ACB ∆ .
2题图 3题图 21E D C
B A （第7题图） 4题图
B O A
M N
8、如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与
CE 交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ．（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的
长．
中考演练： 1、（2012年娄底中考17题）在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA =1.52米，OB =4米，OM =5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM = 米. 2、（2012年湘潭中考13题）如图，在□ABCD 中，点E 在DC 上，
若EC ︰AB =2︰3，4=
EF ，则BF = . 作业：
1、同一时刻，身高1.6米的小强阳光下影长为0.8米，一棵大树影长为4.8米，则树高度为( )
A ．4.8米
B ．6.4米
C ．9.6米
D ．10米
2、下面的四组数中，成比例的是( )
A ．3,4,5,6
B ．4,8,3,5
C ．5,15,2,6
D ．8,4,1,3
3、已知a 2＝b 5＝c 7，且a ＋b ＋c ≠0，则2a ＋3b －2c a ＋b ＋c
的值为( ) A.514 B.511 C.145 D.1617 4、如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3.已知AB ＝4，则DE 的长为 .
5、如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．(1)在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O
旋转180°后得到的图案；(2)在同一方格纸中，并在y 轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O 为
位似中心放大，使它们的位似比为1∶2，画出放大后小金鱼的图案．
6、如图15,A 、B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C,连结AC 、BC ，在AC 上取点M ，使AM=3MC ，
作MN ∥AB 交BC 于N ，量得MN=38cm,则AB 的长为
7、（2009年娄底）军事夏令营中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、
目标B 在同一条直线上，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2
米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为( A ．3米 B ．0.3米 C ．0.03米 D ．0.2
米 A
D
E B
F C 1题图
2题图
5题图 4题图。