复变函数第三章(第六讲)

∫
l1
f ( z )dz =
∫
l2
f ( z )dz。
在单连通区域D内解析 则函数f 内解析, 定理 3.2.6 设 f 在单连通区域 内解析 则函数 在 D内积分与路径无关。 内积分与路径无关。 内积分与路径无关
为起点， 证明 设 ∀z1 , z 2 ∈ D , l1 , l 2 是任意两条以 z1为起点， 内的有向曲线段， 以 z 2为终点的任意两条含于 D内的有向曲线段，
下面用例3.2.4(2)来说明定理 来说明定理3.2.8的条件稍有不 下面用例 来说明定理 的条件稍有不 满足，就可能产生错误。 满足，就可能产生错误。
1 因为1/ 在区域C 1/z在区域 内解析, 错误解法一 因为1/ 在区域C﹨{0}内解析 (lnz)′ = , 内解析 z 且C2 ⊂ C﹨{0}, 所以 i 1 1 i ∫C 2 z dz = ∫− i z dz = ln z − i = ln i − ln( − i ) = π i。 y 错误分析： 错误分析： i C﹨{0} C2
z0 z
F ( z + ∆z ) − F ( z ) =∫ =∫
z + ∆z z0 z + ∆z
f (ζ )dζ − ∫ f (ζ )dζ
z0
z
z z0
z+∆z D
z
f (ζ )dζ
由 f 在D内连续性可知 内连续性可知
∀ε > 0, ∃δ > 0,当ζ ∈ N ( z, δ )时，|f (ζ ) − f ( z)| < ε。 取 | ∆z |< δ , 则z + ∆z ∈ N ( z , δ ), 且
令 C = l1 + l 2 , (1)当 C是一条简单闭曲线时， 是一条简单闭曲线时，
z
l2 l1
2
−
因为 f 在区域 D内解析，所 内解析， 以由 Cauchy 积分定理 ,
∫
l1
C
f ( z ) dz = 0。
z
1
即 ∫ f ( z )dz =
∫
l2
f ( z )dz。
( 2 )当 C 不是简单闭曲线时， 不是简单闭曲线时，
错误一：区域C 错误一 区域C﹨{0}不是 区域 不是
1 单连通的; 单连通的 (ln z )′ = 在原 z
O -i
x
点与负实轴上不成立， 点与负实轴上不成立，即
ln z不是 在所给区域上的原函数 导致错误发生。 不是1/z在所给区域上的原函数 导致错误发生。 不是 在所给区域上的原函数,导致错误发生
原函数、不定积分、 3. 原函数、不定积分、路径无关
原函数、 原函数、不定积分 在区域D内成立 定义 3.2.2 若F’ (z) = f (z)在区域 内成立 则称 为f 在区域 内成立, 则称F为 内的一个原函数； 的全体原函数为f 在D内的一个原函数；称f 的全体原函数为 的不定 内的一个原函数 积分，记为 积分，
∫
f ( z ) dz 。
内的原函数, 定理 3.2.5 设F, G均为 f 在区域 内的原函数 则F (z) 均为 在区域D内的原函数 = G (z) + C在D内成立 其中 为任意复常数 因此 内成立, 为任意复常数, 在 内成立 其中C为任意复常数
∫
f ( z ) dz = F ( z ) + C 。
1 其中积分曲线C 例 3.2.4 计算积分 ∫C dz 其中积分曲线 k (k=1,2)是 是 k z (1) C1为右半圆周:|z|=1,Re (z) ≥ 0,起点为－i, 终点为 。 为右半圆周: 终点为i。 起点为
x2 (2) C2为左半椭圆 + y 2 = 1, 2 Re (z) = x ≤0, 起点为－i, 终点为 。 终点为i。
所以 U
x= V y = 0。
因此， 因此，在 D内 U = C 1， V = C 2 , 其中 C 1和 C 2 均为实常数， 均为实常数，即
F ( z ) − G ( z ) = C 1＋ iC 2 = C , ∀ z ∈ D 。
路径无关
定义 3.2.3 设 D是一平面区域， 是一平面区域，
ϕ (z) = F (z) + C ,
因为 F ( z 1 ) =
∫
z1
z1
f ( z ) dz = 0 , 所以 ϕ ( z 1 ) = C 。
e iz dz 其中积分曲线 是逆时针 其中积分曲线C是 例 3.2.3 计算积分 ∫C x 2 + 2 x + y 2 = 0 , y ≥ 0。 方向的上半圆周
z
z0
f (ζ )d ζ
在 D 内解析 , 且 F ′( z ) = f ( z ), ∀ z ∈ D 。
因为f 内解析， 所以f 证明 因为 在D内解析，根据定理 内解析 根据定理3.2.7, 所以 在 D内积分与路径无关 即变上限积分 F(z) = ∫ f (ζ )dζ 内积分与路径无关, 内积分与路径无关 内有定义。 在D内有定义。因为 内有定义
因为1/ 在例3.2.4(1)中取定的单连通区 1/z在例 错误解法二 因为1/ 在例 中取定的单连通区 1 D1内解析 (ln z)′ = 在D1内成立，所以 内解析, 内成立， z i 1 1 i ∫C 2 z dz = ∫− i z dz = ln z − i = ln i − ln( − i ) = π i。 错误分析： 错误分析： 错误二： 区域D 错误二 区域D1虽是单 连通的；被积函数 在 连通的；被积函数1/z在 D1上成立 但是 C2 ⊄ D1 , 成立; 故导致错误发生。 故导致错误发生。
y
e iz 在复平面内解析， 因为f 在复平面内解析， 解 因为 (z) =
且 F ′( z ) = ( − ie iz )′ = e iz 在复平面上成 终点为－ 立 , C的起点为 0, 终点为－ 2，所以
C
x
∫ e dz =
iz C
∫
2
－2
O
0
e iz dz
= − ie
iz 2 0
= − i ( e − 2 i − 1 ) = − sin 2 + i ( 1 − cos 2 )
1. Cauchy 积分公式
在单连通区域D内解析 分析 设 f (z)在单连通区域 内解析 z0 ∈ D且C ⊂ D, 在单连通区域 内解析, f (z) f (z) C包围 z 0 , 函数 dz 在 z 0 处不解析 , 积分 ∫ C z− z z − z0 0 一般不为零。 一般不为零。根据复合闭路定理 , 在D内的任一条 内的任一条 包围 z0 的同向闭曲线 1 的同向闭曲线C f (z) f (z) ∫C z − z0 dz = ∫C1 z − z0 dz 作充分小的逆时针方向的 圆周C 圆周 ε, 可以猜想当 ε → 0, C C ε ε z0 C1 D
k
原函数计算积分的公式 下面定理表明 F(z) = ∫ f (ς )dς 是f (z)的一 的一 z0 个原函数。 个原函数。
z
在单连通区域D内解析 内解析, 定理 3.2.7 设 f 在单连通区域 内解析 对于给定 以及任意z 点z0 ∈D以及任意 ∈D, 则函数 F ( z ) = 以及任意
∫
证明
内成立， 因为[ F ( z ) − G ( z )]′ = f ( z ) − f ( z ) = 0在D内成立，
设F ( z ) − G ( z ) = U ( x , y ) + iV ( x , y )，
定理， 由Cauchy − Riemann定理，
在D内( F − G )′ = U x − iU y = V y + iV x = 0，
f (z) f (z) 1 ∫C z − z0 dz = ∫Cε z − z0 dz → f (z0 )∫Cε z − z0 dz = 2πif (z0 )。
, 上述猜想是对的这就是下面的定理
在逆时针方向的闭曲线上连续, 定理 3.3.1 设 f 在逆时针方向的闭曲线上连续 的内部解析, 内部的任一点z 在C的内部解析 则对 内部的任一点 0有 的内部解析 则对C内部的任一点 1 f (z) ∫C z − z 0 dz = f ( z 0 )。 2π i 证明 因为f 在z0处连续 所以 处连续, 因为
C2
y i O -i C1
D1
x
被积函数1/z在区域 在区域C 解 被积函数 在区域C﹨{0}内 内 解析， 解析，
(1)取单连通区域 1= C ﹨ { z |I m (z)=0, Re (z) ≤ 0},则 取单连通区域D 取单连通区域 则 1 内成立， 被积函数1/z在区域 内解析, 在区域D 被积函数 在区域 1内解析 (ln z )′ = 在 D1内成立， z 且 C ⊂ D 1 ,所以 i 1 1 i ∫C 1 z dz = ∫− i z dz = ln z − i = ln i − ln( − i ) = π i。 − (2) 设 C ＝ C 1 + C 2 , 则曲线 是逆时针方向的光滑闭 则曲线C是逆时针方向的光滑闭 曲线。 曲线。
F ( z + ∆z ) − F ( z ) 即 F ′( z ) = lim = f ( z )。 ∆z → 0 ∆z
在单连通区域D内解析 内解析, 定理 3.2.8 设 f 在单连通区域 内解析
ϕ ′( z ) = f ( z ), ∀ z ∈ D ,
曲线C分别以 为起点和终点， 曲线 分别以z1 , z2 为起点和终点，且 C ⊂ D , 则 分别以
∫
− C1 +C 2
1 dz = z
∫
C
1 dz = 2 π i , z
由积分曲线可分性
∫
C2
1 dz = z