约束问题的最优化方法

可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
应用优化方法减少违反约束：
min . gk x x Rn
s.t.
gu x gk x0 0
gu x 0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不 满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
§5.2 内点惩罚函数法
vu
gu
1 0
（ 当gu x 0,违 反 约 束 时 ） （ 当gu x 0,满 足 约 束 时 ）
m
③ x, rk f x rk gu xZ vu gu u 1
• 惩 罚 因 子rk 是 递 增 的 ，r k1 a r k ，a为 递 增 系 数 ，a 1
当lim rk 时 ， 得 到 最 优 解 ：x * rk 。 k
基本上可以在可行域内外，任意选择。
递增系数a 的选择：
通常选择 5 ～ 10，可根据具体题目，进行试算调整。
§5.3 外点惩罚函数法
终止准则和约束裕量：
终止准则： max gu x* rk 0 u 1,2,...,m
其 中 ：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r(0) r(1) ....r(k)
0< c <1
r(k1) c r(k)
当lim r(k) 0 则(x, r(k) ) f (x) , xk * x * k
§5.2 内点惩罚函数法
三. 步骤： 1. 选取合适的初始点 x(0) ，以及 r(0)、c、计算精度 ε1、ε2 ，令
f
(x)
m
r (k) u
u1
1 gu (x)
④ .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 [gu (x)]2
⑤ .(x, r(k) )
f
m
(x) r(k) ln[gu (x)]
u1
其 中 ：gu (x) 0,u 1,2,...m 其 中 ：gu (x) 0,u 1,2,...m 其 中 ：gu (x) 0,u 1,2,...m
Ф(x*(r (k) ),r (k) )=2x*(r (k) )-1从域 内向x*收敛
§5.2 内点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
① .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r(k) )
min f (x) s.t gu (x) 0
hv (x) 0
x X Rn
求解这类问题的方法通常称为约束优化计算方法。根 据求解方式的不同可以分为间接解法和直接解法两大类。
间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优 化问题来解的一种方法。
uI
I u gu x 0 u 1,2,...,m, I为 违 反 约 束 的 集 合 。
m
axg
u
x
,0
{g0u
x，
，
当gu x 0时 ， 当gu x 0时 ，
x, r (k) { f x rk uI maxgu x,0Z
Z一般取2。
f x
在 可行 域 外 时 在 可行 域 内 时
1
7 45
x12 x2
0
g6
x
1
1 320
x1 x2 2
0
3. 优化方法：
选用内点惩罚法，惩罚函数形式为：
x,rk
f
x
r
k
6
u1
1
gu
x
取 x0 1,30T , r0 3, c 0.7
调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问题 的极值点。
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
例：求下述约束优化问题的最优点。 min. f (x) = x x ∈ R1 s.t g (x) = 1-x ≤ 0
4
新目标函数：
x, rk
x
x rk (1 x) 2
x 1时； x 1时。
§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
① x, r(k) f x rk maxgu x,0Z
因为在约束面处f (x) 与 Φ(x)
当 Z=0 时，函数不连续；
当 0<Z<1 时，一阶、二阶导数 不连续；
当 Z=1 时，一阶导数连续，二
阶导数不连续。
0<Z<1
Z>1
§5.3 外点惩罚函数法
说明：
m
② x, rk f x rk gu xZ vu gu u 1 其 中 ：vu gu 为 单 位 阶 跃 函 数 ，
② 不要离约束边界太近。
方法： ① 人工估算，需要校核可行性；
② 计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法：
③ 搜索方法： 任意给出一个初始点；
判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值：
gk (x0) max{ gu x0 } u 1,2,..., S；
第五章 约束问题的最优化方法
§5.1 引言 §5.2 内点惩罚函数法 §5.3 外点惩罚函数法 §5.4 混合惩罚函数法 §5.5 随机方向搜索法 §5.6 复合形法 §5.7 可行方向法 §5.8 约束优化设计方法小结
§5.1 引言
在机械设计问题中，大多数的优化问题都属于有约束 的问题，其数学模型的一般形式为：
直接解法是在满足不等式约束gu(x)≤0(u＝1，2，…，m) 的可行设计区域内直接搜索问题的约束最优解x*和f(x*)。
§5.1 引言
一. 有约束问题解法分类：
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法 间接解法：内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法
二. 直接解法的基本思想： 合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)
新目标函数的值为：
(x*(r(k) ),r(k) ) 1 2 r(k)
r (k)
1 0.1 0.01 0.001 … 0
X*(r (k) )
2 1.316 1.1 1.032 … 1
Ф(x*(r (k) ),r (k) ) 3 1.632 1.2 1.063 … 1
极值点随r (k)的递减将沿一直线
六. 举例：盖板问题
h
设计一个箱形截面的盖板。
ts
已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm，侧
b
板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高度为
h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
1. 设计分析：（最大剪应力、最大弯曲应力、屈曲临界稳定应 力、最大挠度、截面的惯性矩等
m
(x, r(k) ) f (x) r(k)
1
u1 gu ( x)
过大、过小均不好， 建议考虑选择： r(0) p f (x(0) )
100 m 1
g x0
u1 u
2. 降低系数 c 的选择：
c 的典型值为0.1～0.002。建议先试算。
3. 初始点 x (0) 的选择：
要求： ① 在可行域内；
无约束优化问题： min . (x, r1, r2 )
Φ函数的极小点序列 x(k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2… 其收敛必须满足：
m
lim
k
r (k 1
)
u 1
G[ gu
(x(k
)
)]
0
p
lim
k
r (k) 2
v1
H [hv
(x(k
)
)]
0
lim[(
k
x(k
k=0； 2. 构造惩罚（新目标）函数； 3. 调用无约束优化方法，求新目标函数的最优解xk* 和Φ(xk ,r(k) ) ； 4. 判断是否收敛：运用终止准则
①
x(k1) * (r(k1) ) xk * (r(k ) ) 1
②
(x(k1) * (r (k1) )) (xk * (r (k) )) (x(k1) * (r (k1) ))
u1
v1
§5.1 引言
新目标函数： 其中：
(x, r1(k) , r2(k) ) f (x)
m
p
r (k)
1
G[ gu
(
x)]
r (k) 2
H[hv (x)]
m
p u 1
r (k)
1
G[gu (x)] r2(k)
H[hv (x)]
v 1
为惩罚项
u 1
v 1
加权因子，即惩罚因子：r1(k)，r2(k)
在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件； • 内点的收敛条件为：
xk 1 xk 1
和
f xk 1 f xk f xk
2
§5.1 引言
特点：① 在可行域内进行； ② 若可行域是凸集，目标函数是定义在凸集上的凸函数，
则收敛到全局最优点；否则，结果与初始点有关。
• 若 x * rk 在 可 行 域 内 ， 则 惩 罚 项为 零 ， x*,rk f x，x* x * rk 。
• 若 x * rk 在 可 行 域 外 ， 则 继 续 迭代 ， 当rk 时 ，
gu x2
uI
1 r k
x*
r k
, rk
f x *
0
各 项 违 反 约 束 的 约 束 函数 值 衰 减 到 零x，*处 于 适 时 约 束 面 ，
五. 方法评价：
用于目标函数比较复杂，或在可行域外无定义的场合下： 由于优化过程是在可行域内逐步改进设计方案，故在解决工程 问题时，只要满足工程要求，即使未达最优解，接近的过程解也 是可行的； 初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件； 不能解决等式约束问题。
§5.2 内点惩罚函数法
tf
)
,
r (k 1
)
,
r (k 2
)
)
f
(x(k) )] 0
§5.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想：
内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构
r=1
筑在可行域 D 内，随着惩罚因子
r(k) 的不断递减，生成一系列新目
标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域内逐 步迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域内部趋向原目标函数的
约束最优点 x* 。 例：求下述约束优化问题的最优点。
min. f (x) = x x ∈ R1 s.t g (x) = 1-x ≤ 0
X* X2* X1*
新目标函数：(x, r(k) ) x r(k) 1 1 x
对新目标函数求导，并令其 为零，得极值点表达式：
x*(r(k) ) 1 r(k)
Φ( x, r1 ,r2 )，成为无约束优化问题 。通过不断调整加权因子，产生
一系列Φ函数的极小点序列 x(k)* (r1(k),r2(k)) k= 0,1,2… ，逐渐收敛
到原目标函数的约束最优解。
m
p
其中：新目标函数：
(x, r1, r2 )
f
(x) r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]