八年级数学上册 第15章 轴对称图形和等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线习题课件 (新版)沪科版
初中数学沪科版八年级上册《15.2线段的垂直平分线》教案
沪科版数学八年级上册15.2线段的垂直平分线教学设计1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.学生作图.师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?学生交流讨论.师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?学生交流讨论,教师参与.师:这个命题的条件是什么?生:一个点是线段垂直平分线上的点.师:结论呢?生:这个点与线段两端距离相等.师:请同学们写出已知、求证,并证明.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MN ⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明:∵MN⊥AB.(已知)∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义)在△AOP与△BOP中,∵∴△AOP≌△BOP.(SAS)∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)三、合作交流,深化理解师:你能写出上面定理的逆命题吗?生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.师:它是真命题吗?学生思考.生:是.师:你能证明这个定理吗?学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得出MA=MB。
书写格式如下：数学表达：还可以说：∵ P是线段AB的垂直平分线上的点∴PA=PB依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等四、乘胜追击,学以致用教师出示课本第123页例题.【例】已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.证明:连接PA、PB、PC.∵点P在AB、AC的垂直平分线上.∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.师:由此你能得出什么结论?生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.学生熟记.小结：线段垂直平分线的性质与判定定理的区别二者是互逆定理线段垂直平分线的性质定理的已知条件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条线段两短点的距离相等。
沪科版数学八年级上册第15章整合提升试题及答案
沪科版数学八年级上册第15章专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.(第1题)作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．(第2题)截长补短法3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.(第3题)加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第4题)5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD ＝2CE.(第5题)专训二：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()(第10题)A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训三：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线段的倍分关系、和差关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.(第1题)题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系题型1证明平行关系3．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：AE∥BC.(第3题)题型2证明垂直关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.(第4题)证明线段的倍分关系5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.求证：AH＝2BD.(第5题)证明线段的和差关系6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第6题)证明线段的不等关系7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC.求证：AB－AC＞PB－PC.(第7题)专训四：四种常见热门考点名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等．轴对称图形与轴对称1．(2015·重庆)下列图形是轴对称图形的是()(第2题)2．(2015·乌鲁木齐)如图，△ABC的面积等于6，边AC＝3，现将△ABC 沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是()A．3 B．4 C．5 D．63．(2015·绥化)点A(－3，2)关于x轴的对称点A′的坐标为________．4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.(第4题)线段垂直平分线与角平分线(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC 于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BC(第6题)C．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°7．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝错误!(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？(第7题)等腰三角形的判定与性质(第8题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)等边三角形的性质与判定10．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上一点(不是中点)，且AD＝BE＝CF，AE与CD，BF分别交于点G，H，BF与CD交于点N，则△GHN是(第10题)()A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形(第11题)11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．答案专训一(第1题)1．证明：如图，连接AD.∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.∵EF ∥BC ，∴AD ⊥EF.∵AE ＝AF ，∴AD 垂直平分EF.∴DE ＝DF.2．(1)证明：如图①，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F.∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ.∵PF ∥AQ ，∴∠PFB ＝∠ACB ，∠DPF ＝∠DQC.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝FP ，∴FP ＝CQ.在△PFD 和△QCD 中，∠DPF ＝∠DQC ，∠PDF ＝∠QDC ，FP ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD(AAS)，∴PD ＝QD.(第2题)(2)解：线段ED 的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F.由(1)知PB ＝PF.∵PE ⊥BF ，∴BE ＝EF.由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴FD ＝CD ，∴ED ＝EF ＋FD ＝BE ＋CD ＝12BC ，∴线段ED 的长度保持不变．3．证明：如图，延长BD 至E ，使BE ＝AB ，连接CE ，AE.(第3题)∵∠ABE ＝60°，BE ＝AB ，∴△ABE 为等边三角形．∴∠AEB ＝60°，AB ＝AE.又∵∠ACD ＝60°，∴∠ACD ＝∠AEB.∵AB ＝AC ，AB ＝AE ，∴AC ＝AE.∴∠ACE ＝∠AEC.∴∠DCE ＝∠DEC.∴DC ＝DE.∴AB ＝BE ＝BD ＋DE ＝BD ＋DC ，即BD ＋DC ＝AB.4．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AD 是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB.∵AB ＋BD ＝DC ，DE ＝BD ，∴AB ＋DE ＝CD.而CD ＝DE ＋EC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC.∴∠EAC ＝∠C ，可设∠EAC ＝∠C ＝x ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∴∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.(第5题)5．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE.∵CE是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎨⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS)．∴∠EBF ＝∠A ，BF ＝AC.又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 与△CBD 中，⎩⎨⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD ＝2CE.专训二1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.207．解：设AB ＝AC ，BD ⊥AC ；(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∠A ＝180°－2×65°＝50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC 的内部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝65°，∴∠C ＝∠ABC ＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC 的外部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°，∴∠BAC ＝180°－65°＝115°， ∴∠ABC ＝∠C ＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB 边的垂直平分线与AC 边交于点D ，∠ADE ＝40°，则∠A ＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(第8题)(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.10．B11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC －∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC ，∴∠BE′C ＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C ＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC ，∴∠AD′C ＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE ＝BC ，∴∠BEC ＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE ＝180°－(∠D′EC ＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC ＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC ＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE 的度数为20°或110°或70°.专训三1．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(SAS)．∴DE ＝DF.2．证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，∴∠BAF ＝∠G .又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，∴∠BAF ＋∠ABD ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°.∴∠ABD ＝∠CAG .在△ABD 和△CAG 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAG ，AB ＝CA ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，∴△ABD ≌△CAG(ASA)．∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G .又∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∴CD ＝CG .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠DCE.又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE.∴∠DCE ＝∠GCE.又∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CGE(SAS)．∴∠CDE ＝∠G .∴∠ADB ＝∠CDE.3．证明：∵△ABC ，△PCE 均为等边三角形，∴BC ＝AC ，PC ＝EC ，∠ACB ＝∠B ＝∠PCE ＝60°.∴∠ACB －∠ACP ＝∠PCE －∠ACP ，即∠BCP ＝∠ACE.在△CBP 和△CAE 中，⎩⎨⎧BC ＝AC ，∠BCP ＝∠ACE ，PC ＝EC ，∴△CBP ≌△CAE(SAS)．∴∠CAE ＝∠B ＝60°.∴∠CAE ＝∠ACB.∴AE ∥BC.(第4题)4．证明：如图，连接ED ，FD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CF ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD(SAS)．∴DE ＝DF.又∵G 是EF 的中点，∴DG ⊥EF.5．证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，又∵∠BHD ＝∠AHE ，∴∠EBC ＝∠EAH.在△BCE 和△AHE 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠EAH ，BE ＝AE ，∠BEC ＝∠AEH ＝90°，∴△BCE ≌△AHE(ASA)．∴AH ＝BC.又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD.∴AH ＝2BD.6．证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E ，∴∠ABC ＝2∠E.又∵∠ABC ＝2∠C ，∴∠E ＝∠C ，∴AE ＝AC.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，∴∠EAD ＝∠EDA.∴AE ＝DE.∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.(第6题)(第7题)7．证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAP ＝∠CAP.在△AEP 和△ACP 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠EAP ＝∠CAP ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP(SAS)，∴PE ＝PC.在△PBE 中，BE ＞PB －PE ，即AB －AC ＞PB －PC.专训四1．A 2.A 3.(－3，－2)4．解：如图所示．(第4题)5．D 6.D(第7题)7．解：作CF ⊥AN 于F(如图)，∵∠3＝∠4，CE ⊥AM ，∴CF ＝CE ，又∵AC ＝AC ，∴Rt △ACF ≌Rt △ACE(HL)，∴AF ＝AE.∵AE ＝12(AD ＋AB)＝12(AF －DF ＋AE ＋BE)＝AE ＋12 (BE －DF)，∴BE －DF ＝0，∴DF ＝BE ，又∵CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°，∴△DFC ≌△BEC(SAS)．∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，即∠1与∠2互补．8．D9．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC.∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AB ＝AD.10．A 11.3专训一：轴对称与轴对称图形的关系名师点金：轴对称图形是指一个图形．．．．．在．．．．的位置关系．．．．．，成轴对称是指两个图形某种情况下，二者可以相互转换．利用轴对称的性质可以求平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标，还可以利用轴对称的性质解决几何图形中的最短路径等问题．轴对称的作图1．下列图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是()2．如图，已知△ABC和直线MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．(不要求写作法，只保留作图痕迹)(第2题)轴对称图形的再认识3．(2015·河北)一张四边形纸片按图①，图②依次对折后，再按图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()(第3题)(第4题)4．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有________个．轴对称及轴对称图形的性质的应用类型1利用轴对称及轴对称图形的性质求面积(转化思想)(第5题)5．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F 是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为12 cm2，则图中阴影部分的面积是________cm2.类型2利用轴对称求与坐标有关的问题6．已知点M(2a－b，5＋a)，N(2b－1，－a＋b)．(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b＋2a)2 016的值．类型3利用轴对称解决四边形中的折叠问题7．把一张长方形纸片ABCD按图中的方式折叠，使点A与点E重合，点C 与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.求证：△BHE≌△DGF.(第7题)类型4利用轴对称的性质解决几何中的最值问题8．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求△PMN的周长的最小值．(第8题)专训二：轴对称图形性质的应用名师点金：本章中除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用线段的垂直平分线和角的平分线的性质可以求线段的长度，求角的度数，证明数量关系等．应用于求线段的长1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝________.(第1题)2．如图，在△ABC中，AB>BC，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若△ABC的周长为41 cm，一边长为15 cm，求△BCE的周长．(第2题)应用于求角的度数3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．(第3题)应用于证线段相等(作垂线段法)4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.(提示：四边形的内角和等于360°)(第4题)应用于证不等关系(截取法)5．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线．求证：BE＋CF>EF.(第5题)专训三：活用“三线合一”巧解题名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．利用“三线合一”求角的度数1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段的长2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，DE⊥AB于点E，若CD ＝6，且△BDC的周长为26，求AE的长．(第2题)利用“三线合一”证线段、角相等3．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：DE＝DF.(第3题)利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.(第4题)利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.(第5题)利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.(第6题)专训四：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形名师点金：在解决有关三角形的问题时，遇到含有120°角的等腰三角形或含有30°角的三角形时，常常通过连线，延长或作垂线的方式，构造含30°角的直角三角形，将角的关系转化为边的关系来解决问题．直接运用含30°角的直角三角形的性质(第1题)1．(2015·青岛)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝()A. 3 B．2 C．3 D.3＋22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4 cm.求BC的长．(第2题)连线段构造含30°角的直角三角形3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC 于E，AE＝8，求CE的长．(第3题)4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E.求证：CE＝2BE.(第4题)延长两边构造含30°角的直角三角形5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC ＝120°，求CD的长．(第5题)作垂线构造含30°角的直角三角形6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB ＝30°.求证：AD＝2BC.(第6题)7．如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证：AC＝12AB.(第7题)答案专训一1．B2．解：如图．(第2题)3．C 4.45．6 点拨：∵△ABC 是轴对称图形，且直线AD 是对称轴，∴△ABD 与△ACD 关于直线AD 对称．∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC .又∵点E ，F 是AD 上的任意两点，∴△BEF 与△CEF 关于直线AD 对称．∴S △BEF ＝S △CEF .∴S 阴影＝S △ABE＋S △BEF ＋S △BDF ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6(cm 2)．6．解：(1)∵点M ，N 关于x 轴对称，∴⎩⎨⎧2a －b ＝2b －1，5＋a ＝－（－a ＋b ），解得⎩⎨⎧a ＝－8，b ＝－5. (2)∵点M ，N 关于y 轴对称，∴⎩⎨⎧2a －b ＝－（2b －1），5＋a ＝－a ＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. ∴(b ＋2a)2 016＝[3＋2×(－1)]2 016＝1.7．证明：由折叠可知∠ABH ＝∠EBH ＝12∠ABD ，∠CDG ＝∠FDG ＝12∠CDB ，∠HEB ＝∠A ＝∠GFD ＝∠C ＝90°，AB ＝BE ，CD ＝DF.∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB.∴∠EBH ＝∠FDG .∵AB ＝CD ，∴BE ＝DF.在△BHE 和△DGF 中，⎩⎨⎧∠EBH ＝∠FDG ，BE ＝DF ，∠HEB ＝∠GFD ，∴△BHE ≌△DGF(ASA)． 点拨：用轴对称性质解决折叠问题的关键是折叠前后重合的部分全等，所以对应角相等、对应线段相等．(第8题)8．解：如图，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，交OA 于M ，交OB 于N ，连接PM ，PN ，OP 1，OP 2，此时△PMN 的周长最小，△PMN 的周长＝PM ＋MN ＋PN ＝P 1M ＋MN ＋NP 2＝P 1P 2，∵∠P 1OP 2＝2∠AOP ＋2∠BOP ＝2∠AOB ＝60°，OP ＝OP 1＝OP 2，∴△OP 1P 2为等边三角形．∴P 1P 2＝OP 1＝OP 2＝OP ＝10.∴△PMN 的周长的最小值为10.专训二1．12 cm2．解：因为△ABC 的周长为41 cm ，一边长为15 cm ，AB ＞BC ，所以AB ＝15 cm ，所以BC ＝11 cm .根据线段垂直平分线的性质可得BE ＋CE ＝AE ＋CE ＝AC ，所以△BCE 的周长＝BE ＋CE ＋BC ＝26 cm .3．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x ，则∠2＝5x.∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD.∴∠B ＝∠2＝5x.∴∠ADC ＝∠2＋∠B ＝10x.在△ADC 中，2x ＋10x ＝90°，解得x ＝7.5°，∴∠ADC ＝10x ＝75°.4．证明：如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，(第4题)∴∠PEC ＝∠PFD ＝90°.又∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE ＝PF.∵∠AOB ＝90°，∠CPD ＝90°，∴∠PCE ＋∠PDO ＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO ＋∠PDF ＝180°，∴∠PCE ＝∠PDF.在△PCE 和△PDF 中，⎩⎨⎧∠PCE ＝∠PDF ，∠PEC ＝∠PFD ，PE ＝PF ，∴△PCE ≌△PDF(AAS)．∴PC ＝PD.5．证明：在DA 上截取DH ＝BD ，连接EH ，FH.∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD＝DH.∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.又∵DE＝DE，∴△BDE≌△HDE(SAS)．∴BE＝HE.同理△CDF≌△HDF(SAS)，∴CF＝HF.在△HEF中，∵HE＋HF＞EF，∴BE＋CF＞EF.专训三1．解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD ＝∠CAD＝50°.2．解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝26，CD＝6，∴BD＋BC＝20.∵AD＝BD＝BC，∴AD＝BD＝BC＝10.∴AB＝AC＝AD＋CD＝10＋6＝16.∵AD＝BD，DE⊥AB，∴AE＝EB＝12AB＝8.3．证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD.又∵BD＝CD，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝45 °，∴∠B＝∠DAC.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF.(第4题)4．证明：如图，过点E作EF⊥AC于F.∵EA＝CE，∴AF＝12AC.又∵AB＝12AC，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵EA＝EA，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.(第5题)5．解：如图，延长BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠DBC＝∠DBE，∠BDC＝∠BDE＝90°，又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠ACE.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.(第6题)6．解：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，故CD＝AB＋BD.专训四1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8 cm.∴BC＝BD＋CD＝12 cm.3．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.(第4题)4．证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延长AD，BC交于点E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等边三角形．设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.6．证明：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．证明：过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则∠DEB＝90 °.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝12AB.点拨：由结论AC＝12AB和条件∠BAD＝30°，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过点B作BE⊥AD交AD 的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键．。
15.2.2线段的垂直平分线逆定理的说课稿-沪科版八年级数学上册
15.2.2 线段的垂直平分线逆定理的说课稿-沪科版八年级数
学上册
一. 教材分析
1.1 教材基本信息
•教材名称：沪科版八年级数学上册
•单元：15.2 几何初步
•课题：15.2.2 线段的垂直平分线逆定理
•目标能力：学生通过本节课的学习，能够正确运用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分线相关的问题。
1.2 教材分析
本节课是沪科版八年级数学上册的第15章-几何初步的第2节，属于基础性的几何知识，是进一步加深学生对线段垂直平分线概念的理解和应用。
通过教授本节课的内容，可以帮助学生拓展几何应用的思维，提高解决问题的能力。
二. 教学目标
2.1 知识目标
•了解线段的垂直平分线逆定理的概念和性质；
•掌握使用垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分相关的问题。
2.2 能力目标
•能够应用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分线相关的问题；
•培养学生分析问题、解决问题的能力。
2.3 情感目标
•培养学生对几何学习的兴趣和好奇心；
•培养学生的合作意识和团队精神。
三. 教学重难点
3.1 教学重点
•掌握线段的垂直平分线逆定理的概念和性质；
•运用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分相关的问题。
3.2 教学难点
•培养学生分析问题、解决问题的能力；
•提升学生的逻辑思维能力。
四. 教学过程
4.1 导入新课
•教师通过问问题的方式导入新课。
例如：。
线段的垂直平分线
A. 6
B. 5
C. 4
C
D. 3 A
P
D
E
A
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
图①
图②
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB
于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长
是 10cm .
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD
的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的 延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，…
到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
A
B
M PN
l
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
二 线段垂直平分线的性质
探究发现
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上
的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，
2.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ A ）
A．AB垂直平分CD；
最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT
系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2： 证明：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选一．选择题（共35小题）1．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°2．（2019秋•义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（）A．a22020B．a22019C．4040a D．4038a3．（2019秋•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2018秋•义安区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是14cm，则BC的长是（）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm5．（2018秋•宣城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．（2018秋•怀宁县期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A ．80°B ．90°C ．110°D ．120°7．（2018秋•瑶海区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．BC ＝BEB ．EC ＝BE C ．BC ＝ECD ．AE ＝EC8．（2018秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（ ）A ．6和8B ．7和7C ．6和8或7和7D ．3和119．（2018秋•宣城期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，下列结论中不正确的是（ ）A ．D 是BC 中点B ．AD 平分∠BACC ．AB ＝2BD D ．∠B ＝∠C10．（2018秋•庐江县期末）如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）A ．四处B ．三处C ．两处D ．一处11．（2019秋•宿松县校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE +OF 的值为（ ）A ．5B ．7.5C ．9D ．1012．（2019秋•宿松县校级期末）已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程a −32+a 8=1的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．7或813．（2019秋•宿松县校级期末）如图所示的平面直角坐标系中，点A 坐标为（4，2），点B 坐标为（1，﹣3），在y 轴上有一点P 使P A +PB 的值最小，则点P 坐标为（ ）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）14．（2020春•当涂县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足√a−6+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（）A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．以c为底边的等腰三角形15．（2020春•蜀山区期末）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（）A．c=√3b B．c＝2a C．b2＝3a2D．a2+b2＝c216．（2020春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°17．（2019秋•石台县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1218．（2019秋•当涂县期末）已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为8，则其它两边的长度分别是（）A．3和11 B．7和7C．6和8或7和7 D．3和11或7和719．（2019秋•宣城期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.520．（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm21．（2019秋•濉溪县期末）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．322．（2019秋•无为县期末）长方形按如图所示折叠，点D折叠到点D′的位置，已知∠D′FC＝60°，则∠EFD等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°23．（2019秋•潜山市期末）一个等腰三角形的周长为8，且三条边长均为整数，则腰长为（）A．5 B．4 C．3 D．224．（2019秋•瑶海区期末）如图，在△ABC中，点D、E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD 翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：①∠BAC＝90°，②DE＝EF，③∠B＝2∠C，④AB＝EC，正确的有（）A．①②③④B．③④C．①②④D．①②③25．（2019秋•瑶海区期末）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2019秋•瑶海区期末）如图所示的钢架中，∠A＝18°，P1A＝P1P2，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．∠P5P4B的度数是（）A．80°B．85°C．90°D．100°27．（2019秋•瑶海区期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm28．（2019秋•无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（）个．A．5 B．6 C．7 D．829．（2019秋•义安区期末）若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A．16 B．23 C．16或23 D．1330．（2019秋•芜湖期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．431．（2019秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°32．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN 的周长是7cm，则BC的长为（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm33．（2019秋•蜀山区期末）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm34．（2019秋•长丰县期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处35．（2018秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（）A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能确定2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．【解答】解：∠A ＝180°﹣130°＝50°．当AB ＝AC 时，∠B ＝∠C =12（180°﹣50°）＝65°；当BC ＝BA 时，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA ＝CB 时，∠A ＝∠B ＝50°．∠B 的度数为50°或65°或80°，故选：D ．2．【解答】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O =12α，同理∠A 3B 3O =12∠A 2B 2O =122α， ∠A 4B 4O =123α， ∴∠A n B n O =12a −1α， ∴∠A 2020B 2020O =a 22019， 故选：B ．3．【解答】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M 作MN ′⊥BC 于N ′，∵BD 平分∠ABC ，M ′E ⊥AB 于点E ，M ′N ′⊥BC 于N∴M ′N ′＝M ′E ，∴CE ＝CM ′+M ′E∴当点M 与M ′重合，点N 与N ′重合时，CM +MN 的最小值．∵三角形ABC 的面积为8，AB ＝4，∴12×4•CE ＝8，∴CE ＝4．即CM +MN 的最小值为4．故选：B ．4．【解答】解：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，∴AD ＝BD ，∵AB ＝AC ＝8cm ，△DBC 的周长是14cm ，∴BC +CD +BD ＝BC +CD +AD ＝BC +AC ＝14cm ，∴BC ＝6cm ．故选：B ．5．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝40°，∠ADC ＝90°，又∵AD ＝AE ，∴∠ADE =12（180°﹣∠CAD ）＝70°，∴∠CDE ＝90°﹣70°＝20°，故选：B ．6．【解答】解：如图，作出P 点关于OM 、ON 的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2交OM ，ON 于A 、B 两点，此时△P AB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1P A+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：A．8．【解答】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．9．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB＝2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．10．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．11．【解答】解：连接AO，如图，∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC=12AB•OE+12AC•OF＝15，∴12AB （OE +OF ）＝15，∴OE +OF ＝5．故选：A ． 12．【解答】解：a −32+a8=1，4（x ﹣3）+x ＝8，4x ﹣12+x ＝8，4x +x ＝8+12，5x ＝20，x ＝4，当等腰三角形的腰为4，底边为3时，这个三角形的周长＝4+4+3＝11，当等腰三角形的腰为3，底边为4时，这个三角形的周长＝4+3+3＝10．所以这个三角形的周长是10或11．故选：C ．13．【解答】解：如图所示：作B 点关于y 轴对称点B ′点，连接AB ′，交y 轴于点P ，则此时AP +PB ＝AP +PB ′＝AB ′的值最小，∵点B 坐标为（1，﹣3），∴B ′（﹣1，﹣3），∴B ′C ＝AC ＝5，∴∠AB ′C ＝45°，∴PD ＝B ′D ＝1，∵OD ＝|﹣3|＝3，∴OP ＝2，∴P （0，﹣2），故选：D ．14．【解答】解：由题意得，a ﹣6＝0，b ﹣8＝0，c ﹣10＝0，解得a ＝6，b ＝8，c ＝10，∵62+82＝100＝102，∴a 2+b 2＝c 2，∴∠ACB ＝90°，故选：C ．15．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∵BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， ∴a 2+b 2＝c 2，c ＝2a ，a a =tan60°=√3，a a =sin60°=√32， ∴b =√3a ，c =2√33b故B、C、D均正确，A错误．故选：A．16．【解答】解：∵△PDC为等边三角形；∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，∵AB＝BC＝CD，∴AB＝CP，∵∠BCD＝80°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，∵∠ABC＝160°，∴∠ABC+∠BCP＝180°，∴PC∥AB，∵AB＝CP，∴四边形ABCP为平行四边形，∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，∴∠PDA＝∠P AD=180°−aaaa2=20°，∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，故选：C．17．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8．故选：B．18．【解答】解：当腰为8时，另一腰也为8，则底为22﹣2×8＝6，∵6+8＝14＞8，∴三边能构成三角形．当底为8时，腰为（22﹣8）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．19．【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为12×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．20．【解答】解：∵当腰是4cm时，则另两边是4cm，6cm；当底边是4cm时，另两边长是5cm，5cm．∴该等腰三角形的腰长为4cm或5cm．故选：C．21．【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC=13×12＝4，故选：C．22．【解答】解：根据翻折不变性得∠EFD＝∠EFD′，∵∠D′FC＝60°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，∴2∠EFD＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝60°．故选：D．23．【解答】解：设腰长为x，则底边为8﹣2x．∵8﹣2x﹣x＜x＜8﹣2x+x，∴2＜x＜4，∵三边长均为整数，∴x可取的值为：3．故选：C．24．【解答】解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，∴AB＝EC，∴④正确；∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，∴∠B＝2∠C，故③正确；故选：B．25．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．26．【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠A＝18°，∴∠P3P5P4＝72°，∴∠P5P4B＝90°．故选：C．27．【解答】解：∵DE垂直平分边AC，AE＝4cm，∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC，∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC＝8cm．故选：D．28．【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：C．29．【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是3和10，∴应分为两种情况：①3为底，10为腰，则3+10+10＝23；②10为底，3腰，而3+3＜10，应舍去，∴三角形的周长是23．故选：B．30．【解答】解：过P点作PF⊥OD，∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠POE＝75°，∵DP∥OA，∴∠DPO＝∠POE＝75°，∴∠DOP＝∠DPO﹣75°，∴DP＝OD＝4，∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵PF⊥OD，∴∠PFD＝90°，∴PF=12DP＝2，∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，∴PE＝PF＝2，故选：A．31．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED=180°−aaaa2=75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故选：D．32．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故选：C．33．【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17cm；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm．故选：B．34．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．35．【解答】解：AD＝CE，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠DFE＝120°，∴∠EFC＝60°，∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，∴∠BDC＝∠AEB，∴∠ADE＝∠BEC，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE．故选：C．。
沪科版八年级上册1线段的垂直平分线课件
例 1 画出如图15.2－2 的图形的对称轴.
解题秘方：利用作轴对称图形中任意一组对应点所连线 段的垂直平分线作对称轴.
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方法点拨 作轴对称图形的对称轴的两种方法：
一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线 为对称轴；
二是先找到轴对称图形的一组对应点，再作连接这 组对应点的线段的垂直平分线.
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解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD 上的点A 和点D 到线段EF 的两个端点的距离 相等即可.
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教你一招 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法， 二是判定定理. 一般习惯用定义法进行判断， 而利用 判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段 的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两 个端点的距离相等.
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解 ：线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 证 明如下：如图15.2-7，连接DE，DF. ∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ EAD= ∠ FAD. 在△ AED 和△ AFD 中，
AE=AF， ∠ EAD= ∠ FAD， AD=AD， ∴△ AED ≌△ AFD.（SAS）
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
学习目标
1 本节要点
线段的垂直平分线的作法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定
2 学习流程
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 线段的垂直平分线的作法
1. 作线段的垂直平分线的常用方法 (1)折纸：在半透明纸上画一条线段AA′, 折纸, 使A 与A′重 合，得到的折痕l 是线段AA′的垂直平分线. (2)过中点画垂线：先用刻度尺量出线段的中点，再用三角 尺过中点画垂线，所得的垂线即为线段的垂直平分线. (3)尺规作图：保留作图痕迹，并指出结论.
八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案新版沪科版
第15章轴对称图形与等腰三角形【知识与技能】1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质.2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.【过程与方法】初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.【情感与态度】数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.【教学重点】重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【教学难点】难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、典例精讲1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识例1(1)下列几何图形中,①线段②角③直角三角形④半圆,其中一定是轴对称图形的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个(2)图中,轴对称图形的个数是（A）A.4个B.3个C.2个D.1个2.轴对称变换及用坐标表示轴对称［关于坐标轴对称］点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）例2已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.【解】答案如图所示.3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形例3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP,DP,则AP+DP的最小值是 8 .4.线段垂直平分线的性质例4如图,在△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数.【解】在△ABC中,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE⊥BC,而E是BC的中点,∴BE=CE,∴BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ABD=∠CBD=∠C,∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.5.等腰三角形的特征和识别例5 已知:如图,△ABC中,∠ACB为锐角且平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.【解】△EFC为等腰三角形,证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形6.等边三角形的特征和识别例6:如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形.【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∵ED⊥AB,∴∠BDE=90°,∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.同理可得:∠DFE=60°,∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形.例7:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点F.求证:CF=2BF.【解】如图,连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,∴∠B=∠FAB=30°,∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,∴CF=2AF,∴CF=2BF.【教学说明】增加例题,巩固所学知识.三、知识巩固,变式训练1.以下图形有两条对称轴的是（）A.正六边形B.长方形C.等腰三角形D.圆2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A为______.3.等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为______cm.4.如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论,互帮互学）5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为（）A.50°B.90°C.100°D.110°第5题图第6题图6.如图所示,是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置7.如图,在直线上求作一点H,使点H到点A和点B的距离相等.8.四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数.【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B6.提示:连接AB,AC,BC,再分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线,它们的交点即为自来水厂的位置.7.略.8.解:①若P点在正方形ABCD外部,如图（1）所示,∵△PAD为等边三角形,∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∴PA=BA,则△PAB为等腰三角形,∴∠PBA=∠APB.又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°,∴∠PBA=∠APB=15°,同理可得∠CPD=15°,∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD,∴∠BPC=30°.②若点P在正方形ABCD内部,如图（2）所示,∵△PAD为等边三角形∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°,∴∠BAP=30°,PA=BA,∴△ABP为等腰三角形.∴∠ABP=∠APB=75°,∴∠PBC=15°.同理可得:∠PCB=15°,∴∠BPC=150°.四、师生互动,课堂小结1.关于轴对称的点,线段,图形的性质与作法.2.角平分线的性质.3.垂直平分线的性质.4.等腰三角形的性质与应用.5.等边三角形的性质与应用.1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.2.完成练习册中相关复习课的练习.本节设计了“知识框图,整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用,初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案,数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.。
沪科版 初二八年级数学 上册第一学期 同步课堂练习题作业 第15章 轴对称图形与等腰三角形(全章 分课时)
第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.1 第1课时 轴对称图形与轴对称一、选择题（共8小题）BCDC ． 形5．观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是( )向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）第5题图 第6题图 第7题图7．如图，两个三角形关于某条直线成轴对称，其中已知某些边的长度和某些角点的是（BCD二、填空题（共9．2011年11月2日，即20111102，正好前后对称，因而被称为“完美对称日”，请你写出本世纪的一个“完美对称日”： _________ ． 10．写出一个至少具有2条对称轴的图形名称 _________ ．11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是 _________ （填出所有符合要求的小正方形的标号）12．在轴对称图形中，对应点的连线段被 _________ 垂直平分． 13．下列图形中，一定是轴对称图形的有 _________ ；（填序号） （1）线段 （2）三角形 （3）圆 （4）正方形 （5）梯形．14．如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是 _________ ． 15．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 _________ ．16．如图，国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2又与 _________ 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）第11题图 第14题图 第16题图17．如图，长方形ABCD 中，长BC=a ，宽AB=b ，（b ＜a ＜2b ），四边形ABEH 和四边形ECGF 都是正方形．当a 、b 满足的等量关系是 _________ 时，图形是一个轴对称图形．18．请利用轴对称性，在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形：三、解答题（共5小题）19．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．20．如图，五边形ABCDE 是轴对称图形，线段AF 所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．21．如图，l 是该轴对称图形的对称轴．（1）试写出图中二组对应相等的线段： ； （2）试写出二组对应相等的角： ； （3）线段AB 、CD 都被直线l ．22．如图是由两个等边三角形（不全等）组成的图形．请你移动其中的一个三角形，使它与另一个三角形组成轴对称图形，并且所构成的图形有尽可能多的对称轴．画出你所构成的图形，它有几条对称轴？23．有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22，131，1991，123321，…，像这样的数，我们叫它“回文数”．回文数实际上是由左右排列对称的自然数构成的，有趣的是，当你遇到一个普通的数（两位以上），经过一定的计算，可以变成“回文数”，办法很简单：只要将这个数加上它的逆序数就可以了，若一次不成功，反复进行下去，一定能得到一个回文数，比如： ①132+231=363②7299+9927=17226，17226+62271=79497，成功了！ （1）你能用上述方法，将下列各数“变”成回文数吗？ ①237 ②362（2）请写出一个四位数，并用上述方法将它变成回文数．参考答案一、选择题（共8小题）1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D二．填空题（共10小题）9．20011002，20100102（答案不唯一）；10．矩形；11．2，3，4，5，7 12．对称轴；13．（1）（3）（4）；14．21678．；15．甲、由、中、田、日等．；16．1，3，7；17．；18.三．解答题（共5小题）19．解：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．20．解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC．21．（1）AC=BD，AE=BE，CF=DF，AO=BO；（2）∠BAC=∠ABD，∠ACD=∠BDC；（3）垂直平分．22．解：如图，小正三角形再大正三角形的内部，该图形有3条对称轴．23．解：（1）①237+732=969，②362+263=625，（2）1151+1511=2662；15.1 第2课时平面直角坐标系中的轴对称一．选择题（共8小题）．已知点 6有（ ）①两点关于x 轴对称 ②两点关于y 轴对称6．平面直角坐标系中的点P （2﹣m ，m ）关于x 轴的对称点在第四象限，则B C D所示，点P 与点P′是一对对应点，若点P 的坐标为（a ，b ），则点P′的坐标为（ ）A ．9．已知点P （6，3）关于原点的对称P 1点的坐标是 _________ ．10．在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴对称的点A′的坐标为（﹣2，7），则点A 的坐标为 _________ ．11．已知点P （3，﹣1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a+b ，1﹣b ），则a b 的值为 _________ ．12．在直角坐标系中，如果点A 沿x 轴翻折后能够与点B （﹣1，2）重合，那么A 、B 两点之间的距离等于 _________ ．13．若|3a ﹣2|+|b ﹣3|=0，求P （a ，b ）关于y 轴的对轴点P′的坐标为 _________ ．14．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P （0，﹣2）处开始依次关于点A （﹣1，﹣1），B （1，2），C （2，1）作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N关于点C 的对称点处，…，如此下去．则经过第2011次跳动之后，棋子落点的坐标为 _________ ．15．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC 向右平移5个单位得△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1以x 轴为对称轴作轴对称图形△A 2B 2C 2，则点C 2的坐标是 _________ ．第14题图 第15题图16．已知P 1点关于x 轴的对称点P 2（3﹣2a ，2a ﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P 1点的坐标是 _________ ． 17．在平面直角坐标系中．过一点分別作x 轴与y 轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．给出以下结论：①点M （2，4）是和谐点；②不论a 为何值时，点P （2，a ）不是和谐点；③若点P （a ，3）是和谐点，则a=6；④若点F 是和谐点，则点F 关于坐标轴的对称点也是和谐点．正确结论的序号是 _________ ． 18．（1）善于思考的小迪发现：半径为a ，圆心在原点的圆（如图1），如果固定直径AB ，把圆内的所有与y 轴平行的弦都压缩到原来的倍，就得到一种新的图形﹣椭圆（如图2）．她受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”、“化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为 _________ ；（2）小迪把图2的椭圆绕x 轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球．已知半径为a 的球的体积为πa 3，则此椭球的体积为 _________ ．三．解答题（共5小题） 19．（1）若点（5﹣a ，a ﹣3）在第一、三象限角平分线上，求a 的值； （2）已知两点A （﹣3，m ），B （n ，4），若AB∥x 轴，求m 的值，并确定n 的范围；（3）点P 到x 轴和y 轴的距离分别是3和4，求点P 的坐标；（4）已知点A （x ，4﹣y ）与点B （1﹣y ，2x ）关于y 轴对称，求y x 的值．20．已知M （2a+b ，3）和N （5，b ﹣6a ）关于y 轴对称，求3a ﹣b 的值．21．小明发现把一双筷子摆在一个盘子上，可构成多种不同的轴对称图形，请你按下列要求各添画一只筷子，完成其中三种图形．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，3），B （2，4），C （4，0），D （2，﹣3），E （0，﹣4）．写出D ，C ，B 关于y 轴对称点F ，G ，H 的坐标，并画出F ，G ，H 点．顺次而平滑地连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，A 各点．观察你画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？23．在图示的方格纸中（1）作出△ABC 关于MN 对称的图形△A 1B 1C 1；（2）说明△A 2B 2C 2是由△A 1B 1C 1经过怎样的平移得到的？参考答案一、选择题（共8小题）1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．C 二．填空题（共10小题）9.（－6，－3）10.（2,7）11. 2512. 413.3 (,3)214. （﹣2，0）15. （3，﹣3）16. （﹣1，1）17. ②③④18. （1）πab（2）43πab2三．解答题（共5小题）19.解：（1）∵点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限角平分线上，∴5﹣a=a﹣3，解得：a=4；（2）∵两点A（﹣3，m），B（n，4），AB∥x轴，∴m=4，n≠3的任意实数；（3）∵点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，∴P点可能在一、二、三、四象限，∴点P的坐标为：（4，3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3），（4，﹣3）；（4）∵点A（x，4﹣y）与点B（1﹣y，2x）关于y轴对称，∴，解得：，∴y x=2．20. 解：∵M（2a+b，3）和N（5，b﹣6a）关于y轴对称，∴2a+b=﹣5，b﹣6a=3，解得a=﹣1，b=﹣3，∴3a﹣b=3×（﹣1）﹣（﹣3）=﹣3+3=0．21. 解：如图就是所求作的图形．22.解：由题意得，F （﹣2，﹣3），G （﹣4，0），H （﹣2，4），这个图形关于y 轴对称，是我们熟知的轴对称图形． 23. 解：（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．15.2 线段的垂直平分线1. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°2.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4.如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三边中线的交点5. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．110°6. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．AB B．AC C．BC D．不能确定7.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8. 已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是．9. 如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．10.如图，△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，则。
苏教版八年级数学全册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形 轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
八年级数学目录
沪科版八年级上册数学目录第11章平面直角坐标系
11.1平面上的点坐标
11.2图形在坐标中的平移
第12章一次函数
12.1函数
12.2一次函数
12.3一次函数与二元一次方程
12.4综合与实践一次函数模型的应用
第13章三角形中的边角关系、命题与证明
13.1三角形中的边角关系
13.2命题与证明
第14章三角形的全等
14.1全等三角形
14.2三角形全等的判定
第15章轴对称图形与等腰三角形
15.1轴对称图形
15.2线段的垂直平分线
15.3等腰三角形
15.4角的平分线
八年级沪科版数学下册目录第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2 二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1多边形内角和
19.2平行四边形
19.3矩形、菱形、正方形
19.4综合与实践多边形的镶嵌
第20章数据的初步分析
20.1 数据的频数分布
20.2 数据的集中趋势与离散程度
20.3 综合与实践体重指数。
沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习与提升(习题课件)
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(1)解：∠ABE＝∠ACD. AB＝AC，
理由：在△ABE 和△ACD 中，∵∠A＝∠A， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE＝∠ACD.
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(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，又∵AB＝AC， ∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
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考点 4：含 30 度角的直角三角形 15．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m， 为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使 斜面与水平地面的夹角不大于 30°，则这块木板的长度至少为 ( A ) A．3 m B．2.5 m C．2.6 m D．0.75 m
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证明：连接 AP， 在△CAP 与△BAP 中，
CA＝BA，
∴AP＝AP， CP＝BP，
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP＝∠BAP， 又∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE＝PD.
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考点 3：等腰(边)三角形的性质与判定 11．(瑞安期中)在△ABC 中，若∠A＝15°，∠B＝150°，则△ABC 是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
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八年级 数学 上册 沪科版
14．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE，CD，交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.
沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.1 第1课时 轴对称图形与轴对称(共35张PPT)
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它们有什么共同的特点？
讲授新课
一 轴对称和轴对称图形
轴对称 图形
a
m
对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对 称轴.
例4 在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和
△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请
在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
E
D
C(F)
CF
D C(F)
E
CF
A (D)
BA
B(E) A
B
A(D)
B(E)
方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键
是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已
你能举出一些轴对称图形的例子吗？
全班总动员
ABCDEFGHIJKLM
N O P Q R S T U VW X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为 你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速 站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你 报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐 在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了， 及时提醒.
ABCDE FG HI J KLMN OPQRST U VWXYZ
做一做:找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个 图形的对称轴最多.
想一想：
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
下面的每对图形有什么共同特点如？图点A、A ′就是一对对称点.
八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪
《等腰三角形》一、说教材分析：1．教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。
通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系，并且对轴对称图形特征的直观反映（三线合一）,对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。
2、教学目标：(1)认知目标：要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征，使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法；(2)能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力；使学生初步学会分析几何证明题的思路，从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力；(3)情感目标：通过亲自动手，发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征，对学生进行数学美育教育。
3、教学重难点:(1)教学重点：等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。
(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。
4、教具准备:为了使学生了解这堂课，本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。
二、说教学方法：由于八年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及八年级学生刚刚学习轴对称图形，对轴对称图形的分析相对比较好，再加上八年级学生思维的感官性，所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察，采用教具直观教学法，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。
教学过程中注意师生之间的情感交流，培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。
对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征，通过让学生动手操作，让学生翻折不同的等腰三角形，如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形，以及一般三角形的模版，从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。
数学八年级上册知识点(15篇)
数学八年级上册知识点(15篇)数学八年级上册知识点1I线段的垂直平分线①定义：垂直并且平分线段的直线叫做线段的垂直平分线或中垂线②性质：a、线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上;b、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;c、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，另一条是线段所在的直线。
II角平分线的性质①角平分线上的点到角两边的距离相等②到角两边距离相等的点在角的角平分线上③角是轴对称图形，角平分线所在的直线是该角的对称轴。
数学八年级上册知识点21、刻画数据的集中趋势〔平均水平〕的量：平均数、众数、中位数2、平均数平均数：一般地，对于n个数，我们把它们的和与n之商叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。
加权平均数。
3、众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据〔或最中间两个数据的平均数〕叫做这组数据的中位数。
第七章平行线的证明1、平行线的性质一般地，如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
也可以简单的说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
2、判定平行线两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行数学八年级上册知识点3全等三角形一.知识框架二.知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：(1)“边角边〞简称“SAS〞(2)“角边角〞简称“ASA〞(3)“边边边〞简称“SSS〞(4)“角角边〞简称“AAS〞(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。
溆浦县二中八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质定理
第1课时等腰三角形的性质定理及推论一．选择题（共7小题）1．（2015•德州模拟）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或202．（2015•潍坊校级一模）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A．5B．4C．3D．5或43．（2015•徐州一模）如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．（2015•武汉模拟）如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）A．80°B．100°C．140°D．160°5．（2014春•兴业县期末）等边三角形的面积为8，它的高为（）A．2B．4C．2D．26．（2015春•定州市期中）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4B．C．2D．37．（2014•十堰模拟）如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（）A．2B．2C．+D．2+二．填空题（共7小题）8．（2015•晋江市一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，则∠B=°．9．（2015•杭州模拟）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是．10．（2015•泰州校级一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC 等于°．11．（2015•泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n= （用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n 正三角形个数 4 7 10 13 …a n12．（2015•安徽模拟）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出2个）．13．（2015•湖州模拟）如图，有一个正三角形图片高为1米，A是三角形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是．14．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为．参考答案一．选择题（共7小题）1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C二．填空题（共7小题）8．40 9．20°10．25 11．3n+1 12．，（或介于和之间的任意两个实数）13．14．2第2课时等腰三角形的判定一、新课导入1.导入课题：我们知道如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边是否也相等呢？这节课我们带着这个问题研究等腰三角形的判定方法.2.学习目标：(1)会阐述、推证等腰三角形的判定定理．(2)会运用判定定理解决证明线段相等的问题.3.学习重、难点：重点：等腰三角形判定定理的灵活运用.难点：探求等腰三角形的判定定理的证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：探究等腰三角形的判定方法.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：经历“操作——猜想——归纳——结论”过程，分清等腰三角形的判定定理的题设与结论.(4)探究提纲：①按等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形.②如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么AB与AC相等吗？若相等，又该如何证明呢？a.猜想：AB=AC.b.要证明两条线段相等，按以往的经验是采用什么方法？证三角形全等.c.要采用这些方法，图中具备采用这种方法的条件吗？若不具备，应怎么办？不具备，作辅助线构造全等三角形.d.根据思路，并写出你的证明.证明：作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.e.将你上述探究的结论用文字表述出来：等角对等边.2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对自己的猜想是否正确，证明线段相等的思路是否合理，结论表述是否清晰、准确.②差异指导：引导学生回忆证明等量的常用方法是证明三角形全等，如何构造全等三角形进行点拨引导.(2)生助生：学生间相互交流帮助，寻求解决问题的思路.4.强化：(1)交流学习成果：由学生代表回答自己是如何找出解决问题的探究方法的.(2)总结：等腰三角形的判定方法：“等角对等边”.1.自学指导：(1)自学内容：教材第78页例2、例3.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：边看边思考例2中命题证明的步骤及例3中每一步作图的依据，并动手尝试.(4)自学参考提纲：①例2中的题设和结论是用文字表述的，它是一个命题，从证明的全过程来看，证明命题的步骤有a.已知；b.求证；c.证明.②填上例2证明中每步后面的理由.两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等角对等边.③阅读例3，思考作法(2)为什么要作AB的垂直平分线？它依据了线段垂直平分线的什么性质？可以在上面截取DC=h，依据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：例2、例3是等腰三角形判定的直接应用，例2的求证步骤学生难于把握，但学生对例3这种类型的题目，一般的学生不知道怎样找腰，并不能很好地写出完整的作法.②差异指导：引导学生学会命题证明题的步骤，引导学生思考例3中如何找到这个等腰三角形的腰(确定相等的两条边).(2)生助生：学生间相互交流帮助.4.强化：练习：教材第79页3、4题练习3：已知：△ABC，D为AC的中点，BD=12AC.求证：∠ABC=90°.证明：∵D为AC的中点，BD=12AC.∴AD=BD=DC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠DBC.又∵∠A+∠ABC+∠C=∠A+∠ABD+∠C+∠DBC=2(∠ABD+∠DBC)=2∠ABC=180.∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.练习4：∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥DC，∴∠C=∠A=∠D=∠B，∴OC=OD.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习中的困惑之处.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、成果和不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.一、基础巩固（每题10分，共50分）1.如图，∠A=36°，∠C=72°，∠DBC=36°，则图中等腰三角形有（A）个A.3B.2C.1D.02.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD=3，则CD等于（A）A.3cmB.4cm D.2cm3.一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3∶3∶2，则这个三角形是等腰三角形.4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O的平行线交AB于M，交AC于N.若AB=5，AC=7，BC=8，则△AMN的周长为12.第4题图第5题图5.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是BE=CD.（答案不唯一）二、综合应用（20分）6.已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACM，EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE 与AB的交点.求证：DE=DF.证明：∵CF平分∠ACM，∴∠ACF=∠MCF.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE.∵EF∥BC，∴∠F=∠MCF=∠ACF，∠FEC=∠BCE=∠ACE，∴DF=DC，DE=DC，∴DE=DF.三、拓展延伸（30分）7.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？解：(1)△ABC，△ADE，△BDF，△CEF，△BCF都是等腰三角形.(2)有△BDF和△CEF是等腰三角形.∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF.又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF，∠EFC=∠BCF=∠ACF，∴DF=DB，EF=EC.∴△BDF和△CEF是等腰三角形.第十六章二次根式达标检测试卷（满分100分，答题时间120分钟）一、单项选择题（本题8个小题，每题4分，共32分）1.（2019•山东省聊城市）下列各式不成立的是（）A．﹣＝B．＝2C．＝+＝5 D．＝﹣【答案】C．【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；＝＝2，B选项成立，不符合题意；＝＝，C选项不成立，符合题意；＝＝﹣，D选项成立，不符合题意。
沪科8年级数学上册第15章4 角的平分线
知3－练
例 3 如图15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥ OB，EC⊥OB于点C. 若EC＝ 6，则OF的长是( ) A. 6 B. 9 C. 3 D. 12
知3－练
解题秘方：作垂线，紧扣角平分线的性质和含 30°角的直角三角形的性质求解.
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
知2－练
解题秘方：根据作图可知BD＝BC，BF⊥CD，再结 合等腰三角形的性质求角度即可.
解：∵ AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－40°)＝70°. 由作图可知BD＝BC，BF⊥CD， ∴∠DBE＝∠EBC，∠BCD＝∠BDC＝70°， ∴∠DBC＝40°，∴∠DBE＝∠EBC＝2 0°. 答案：A
(1)尺规作图：作△ABC的角平分线 CD，与AB交于点D；(不要求写 作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段CD即为所求.
(2)求∠ACB和∠ADC的度数. 解：∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.
知2－讲
2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 如图15.4 - 4 . 求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类 似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交 直线l于点M，N；
知4－练
4-1. [期末·淮南] 如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角 ∠ACM的平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是 △ABC的外角∠CAN的平分线.
线段的垂直平分线的性质教学设计
C、三条高的交点
D、三边垂直平分线的交点
2、如图所示，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA+CB=8cm，那么△BCD的周长等于cm。
3、如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP=5，那么PC=。
4、如图所示，已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长。
（三）自主归纳：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
数学语言：∵
∴
（四）学以致用：
1、如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6，BD=2.4，则四边形ACBD的周长为
2、如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为。
《线段的垂直平分线的性质》教学设计
鹿泉区寺家庄镇中学段彦敏
基本信息
课题
线段垂直平分线的性质和判定
执教者
段彦敏
课时
1课时
所属教材
人教版八年级数学
教材分析
《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书八年级上册》第十三章《轴对称》第一单元第二课。在此之前，学生学习了全等三角形，并对轴对称的性质有了深刻的认识，为本节课的学习打下了基础。本节课的学习是今后证明线段相等和直线互相垂直的重要依据，因此本节课具有承上启下的作用。
教学目标
知识与能力目标
1、理解线段垂直平分线的性质和判定
2、能利用线段垂直平分线的性质和判定进行简单的推理、判断、计算。
过程与方法目标
经历线段垂直平分线性质探索和证明的过程，进一步发展学生的推理意识和逻辑思维能力，体验合作学习。