山东科技大学高代考研试题

一、求下列极限（每题5分，共15分）
1、n n n n n +++∞→ 21lim ；
2、1
1)12ln(lim 0-++→x x x ； 3、⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→n m x x n x m 11lim 1，其中n m ,为正整数。

二、计算导数与微分（每题5分，共15分）
1、试求由参数方程⎩
⎨⎧==t y t x sin 3cos 2所确定的函数的dx dy 和22dx y d ； 2、设x e x x f 3)(=，求)()10(x f
； 3、设3)(x
e x u =，x x v 2cos )(=，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛v u d uv d 22),(。

三、证明题（第一题7分，第二题8分，共15分）
1、证明：对任意),(,+∞-∞∈y x ，有)()()(y f x f y x f +=+，且)(x f 在0点连续，则)(x f 在),(+∞-∞上连续且ax x f =)(，其中)1(f a =为常数。

2、设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，1)('0,0)0(≤<=x f f 。

证明： ⎰⎰≥⎪⎭⎫ ⎝⎛103210)()(dx x f dx x f 。

四、计算不定积分与定积分（每题5分，共15分）
1、计算dx xe x x x ⎰++)
2(1； 2、计算⎰-dx x x 22sin 2cos ； 3、计算
dx x ⎰+π20sin 1。

五、定积分应用（第一题7分，第二题8分，共15分）
1、求由参数方程3222,2t t y t t x -=-=所表示的曲线围成的封闭图形的面积。

2、求双纽线θ2cos 22
=r 绕极轴旋转所得旋转曲面的面积。

六、证明下列各题（每小题8分，共24分）
1、设ϕ、ψ具有连续的二阶导数，且11[()()]()22y ax y ax z y ax y ax t dt a
ϕϕψ+-=++-+⎰ 。

试证：222220z z a x y
∂∂-=∂∂。

2、若正项级数∑∞=1n n a
收敛,且数列}{n a 单调，则 数列}{n na 的极限为0。

3、设)(x f 二阶连续可微于0=x 的某邻域内,且0)(lim 0=→x
x f x 。

证明:级数∑∞=1)1(n n
f 绝对收敛。

七、求解下列各题（每小题10分，共20分）
1、设(,)(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在点(0,0)的某邻域内连续， 证明：(0,0)0ϕ=是函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的充分必要条件，
并求出函数(,)f x y 在点(0,0)处的全微分。

2、求曲线22222294173(1)4
x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-+=⎪⎩上对应于1x =的点处的切线方程和法平面方程。

八、求解下列各题（每小题8分，共16分）
1、计算⎰---L dy y a dx y a )()2(,其中L 为摆线
)sin (t t a x -=,)cos 1(t a y -=从点)0,0(O 到点)0,2(a B π。

2、计算0,:,
2222≥=++∑++=⎰⎰∑z a z y x zdxdy ydzdx xdydz I 的上侧。

九、计算积分（10分）
dx x x I ⎰++=1
021)1ln( 。

十、（5分） 设⎰⎰⎰≤++++=
2222)()(222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中)(u f 为连续可导函数且
0)0(=f ，求40)(lim
t t F t +→。