机械振动

3. 可用于计算任一位置x上谐振子的速度v，或者任一速度v所
对应的谐振子位置x 4. 求初相位0一般用旋转矢量法
例1、一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E1,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍， 重物的质量增加为原来的四倍，则它的总 能量E变为：
A) E1 4 B) E1 2 C) 2E1 D) 4E1 √
0.05cos(6.0t )
（2）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 .
2 A x ( ) 0.0707m 解 2 0
v0
因为 v0 0 ,由旋转矢量图：
0 π 4
x A cos(t 0 )
t x2 t x t
1. 拍及拍频 分振动 合振动
令 则 x
x [2 A cos t ] cos(t 0 )
T拍
cos( t+0) t
2Acos t 拍: 合振动忽强忽弱(振幅时大时小)的现象. 拍频拍:单位时间内拍出现的次数（合振幅变化的频率）.
A(t ) 2 A cos t
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合 成
四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
* 五、简谐振动的分解
频谱
任何一个复杂的周期性振动，都可看作是若干个简谐振 动的合成。 t
课堂练习： 1、一质点作简谐振动，周期为T，质点 由平衡位置向X轴正方向运动时，由平 衡位置到二分之一最大位移这段路程所 需要的时间为：
A) T 4
T 12 B) √
C) T 6
D) T 8
2、一简谐振动曲线如图所示，此振动 的周期为： A) √
12 s
B)
10 s
C)
14 s
D)
11 s
3. 已知两个简谐振动 曲线如图所示， X1的位相比X2的位相

x
A2 A1 A1
(t 2 ) (t 1 ) 2 1

A2 A1

x
A2
O
O
O
x

0< < ,
= 0, 同相
（或2整数倍）
= ，反相
（或奇数倍）
x2超前x1
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系 x, v, a
例1： 一谐振动的余弦曲线如图，则
A? X(cm)
?
0 ?
5
0 1
-10
A 10cm T 12s
7
t(s)
2 rad / s T 6 Q v0 0
1 t 0 , cos0 2
\sin0 0
0

3
四、简谐振动的旋转矢量表示法 1.简谐振动与匀速圆周运动 A在x轴上的投影 :
Ek E p 1 2 1 kA = E 4 2
机械能守恒定律的应用： 1 2 1 2 1 2 mv kx kA 2 2 2 1 2 1 1 2 2 mv m x m 2 A2 2 2 2 v 2 2 A x ( )
振幅计算公式的推广： 1. 可用于计算振幅A 2. 可用于计算未知简谐振动的角频率ω
x A cos(t 0 )
1、速度
dx v A sin(t 0 ) dt
2、加速度
dv a 2 A cos( t 0 ) dt = 2x
课堂练习： 一质点按如下规律沿X轴作简谐振动
x 0.1 cos(8t 2 3) ( SI )
求此振动的周期、振幅、初相、速度最 大值和加速度最大值。
例2、一弹簧振子作简谐振动，当位移为 振幅的一半时，其动能为总能量的 A)
12
B)
14
C) 1
2
D) 3 4 √
E)
3 2
5-4
简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐 A2

20
合振动
20
O
x2
0 10
x1
x
合振动是简谐振动,其频率仍为。
分析
若两分振动同相：
例1： 一谐振动的余弦曲线如图，则
A? X(cm)
?
0 ?
5
0 1
-10
A 10cm T 12s
7
t(s)
2 rad / s T 6
旋转矢量法求φ0?
一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s 。当 t=0 时位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求：（1）初 相，(2)在 x=－0.06m 处，且向X轴负方向运动时，物体的 速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。 解题思路： 作旋转矢量图 O
合振动的振幅取得最大，振动加强。
x
A1
x
o
o
A
A2
t
若两分振动反相:
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
合振幅最小，振动减弱。 如 A1=A2 , 则 A=0，两个等幅反相的振动合 成的结果将使质点处于静止状态。
x
x
A1
o
o
t
A 2
A
例：两个谐振动分别为 x1 5 cos(10t 3 4 ) cm， x 2 6 cos( 10t 2 ) cm ，当 2 ＝ 3 4 时，合 振幅最大；当 2 ＝ 4 时，合振幅最小，且 写出它们的合振动方程。 解题思路：
第五章 机械振动 振动：物体在一定位置（平衡位置）
附近作重复往返运动 广义的说，任何物理量的来回往复变 化，可以看作是一种广义的振动。
§5－1 简谐振动
弹簧振子:质量忽略不计的弹簧与质点构成的系统。
l0
k
x0 F 0
m
A
o
A
x
一、弹簧振子： F= - kx
F k a x m m
d 2x k x0 2 dt m
仅决定于系 统本身特性
§5－2 简谐振动运动学
一、简谐振动的特征量 （运动方程）
x A cos(t 0 )
A：振幅, 单位：m
T 2


1

: 周期, 单位：s
：角频率，单位：rad / s
0 : 初相位,
t 0
ω, T是系统固有性质
t＝0 时刻的位相（一般在-π~π之间取值）
1、合振幅最大，两分振动应同相，故 2 3 4
2、合振幅最小，两分振动应反相，故 2 4 A1 3. x 11cos(10t 3 4) cm
4.
x cos(10t- 4) cm
4 X
A2
二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍 如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和 564 Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两 种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为 558Hz=(552+564)/2,其强度以12Hz (=564 552) 的频 率变化。这种现象称为拍，12Hz 为拍频。 x1
T
m mgsin

mg
d g 0 2 dt l
2
g 2 令： l
d 2 2 0 2 dt
m cos(t 0 )
2、 复摆（物理摆）
d 2 mgh sin J J 2 dt
J为m绕O点转动的转动惯量。 当 sin 时
d 2x 则： 2 2 x 0 dt
k 令： m
2
简谐振动：
仅决定于系 统本身特性
其解为 ：
x A cos(t 0 )
二、微振动的简谐近似
1、 单摆 C
2 2
d mgl sin ml dt 2
当 很小 时 ( 5) ， sin
l
π 0.0707 cos(6.0t ) 4
o
π 4
x

A
5—3、简谐振动的能量
1 2 1 2 E k mv kA sin2 ( t 0 ) 2 2
1 2 1 2 E p kx kA cos2 ( t 0) 2 2
1 2 E E k E p kA 2 1 2 2 m A 2 *总能量正比于频率、振幅的平方,与时间无关,机械能守恒 *Ek、Ep的频率为振动固有频率的2倍。
拍 =|21| , 拍= 拍/2π = |ν2 - ν1|
1)拍频是合振幅变化的频率,不是合振动位移x变化 的频率。
2）合振动位移变化的频率为：
圆频率：
1 2
2 频率： 1 2 1 2 2 1 2
2. 拍的应用
拍的现象常被用于校正乐器。例如我 们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率： 因为音调有微小差别就会出现拍音，调 整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准 了。
OC h
O C
令： 2 mgh
J
d mgh 0 2 dt J 2 d 2 0 2 dt
2

mg
J T 2 mgh
2
简谐振动的特征：
符合以下条件中任意一条，质点即作 简谐振动： 符合
d 2x 2 x0 2 dt
符合
x A cos(t 0 )
A
A
2
x, v, a

A
a v
x t
O
O T
x A cos(t 0 )
v A sin(t 0 ) A cos(t 0 2 )
a 2 A cos(t 0 ) 2 A cos(t 0 )