黑龙江省哈尔滨市九年级(上)期中数学试卷
黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学期中考试试卷
黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)(2017·徐州模拟) 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A . 等腰直角三角形B . 正三角形C . 平行四边形D . 矩形2. (2分) (2019九上·东源期中) 下列方程是一元二次方程的是()A . ax2+bx+c=0B .C . 2x2-x+2=0D . 4x-1=03. (2分)抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到()A . 向上平移5个单位B . 向下平移5个单位C . 向左平移5个单位D . 向右平移5个单位4. (2分)思考下列命题:(1)等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半,则顶角为75度;(2)两圆圆心距小于两圆半径之和,则两圆相交;(3)在反比例函数y= 2 x 中,如果函数值y<1时,那么自变量x>2;(4)圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点一定是圆心;(5)三角形的重心是三条中线的交点,而且一定在这个三角形的内部;其中正确命题的有几个()A . 1B . 2C . 3D . 45. (2分)(2018·济宁模拟) 有下列命题:①若x2=x,则x=1;②若a2=b2 ,则a=b;③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;④相等的弧所对的圆周角相等;其中原命题与逆命题都是真命题的个数是()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. (2分)如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上, AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④CF=CG,其中正确结论的个数()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. (2分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是()A . 12B . 10C . 13D . 12或138. (2分)已知,点(m,-1)与点(-2,n+1)是关于原点对称,则()A . m=-2,n=1B . m=2,n=0C . m=-2,n=0D . m=2,n=19. (2分) (2017九上·建湖期末) 抛物线y=2(x﹣3)2﹣1的顶点坐标是()A . (3,1)B . (3,﹣1)C . (﹣3,1)D . (﹣3,﹣1)10. (2分) (2016九下·临泽开学考) 如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为()A . 5米B . 8米C . 7米D . 5 米11. (2分)(2016·石峰模拟) 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1 ,则下列结论:①b>0;②a﹣b+c<0;③阴影部分的面积为4;④若c=﹣1,则b2=4a.正确的是()A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④12. (2分)(2018·广州模拟) 如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()A . 28°B . 52°C . 62°D . 72°二、填空题 (共10题;共24分)13. (1分) (2015九上·龙岗期末) 方程4x(2x+1)=3(2x+1)的解为________.14. (1分) (2018九上·和平期末) 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2,0) 、 (x1,0),且 1<x1<2,与 y 轴的正半轴的交点在 (0,2) 的下方.下列结论:① 4a-2b+c=0;② a<b<0;③ 2a+c>0;④ 2a-b+1>0.其中正确结论的个数是________(填序号).15. (1分) (2016九上·北京期中) 阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图,过圆外一点作圆的切线.已知:⊙O和点P求过点P的⊙O的切线小涵的主要作法如下:如图,(1)连结OP,作线段OP的中点A;(2)以A为圆心,OA长为半径作圆,交⊙O于点B,C;(3)作直线PB和PC.所以PB和PC就是所求的切线.老师说:“小涵的做法是正确的.”请回答:小涵的作图依据是________ .16. (1分)(2019·高港模拟) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=25°,DE是边AC的垂直平分线,连结AE,则∠BAE等于________.17. (2分)(2017·瑞安模拟) 如图,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′,且AB∥B′C′,分别延长AB、CA′相交于点D,若∠A=70°,∠D=30°,则∠BCD的度数为________.18. (1分)一个一元二次方程,两根分别为2和﹣3,这个方程可以是________.19. (1分) (2019九上·凤山期中) 抛物线的顶点坐标是________.20. (1分) (2017八下·闵行期末) 某件商品连续两次降价后,零售价为原来的64%,那么此商品平均每次降价的百分率为________.21. (5分)解方程(1) 2x2+1=3x(配方法)(2) 3x2+5(2x+1)=0(公式法)(3)用适当的方法解方程:x2﹣2x﹣3=0.22. (10分) (2018九上·兴义期末) 如图,在平面直角坐标系中,已知AABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,3),B(-3,1),C(-1,3).①将 ABC向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到△A1B1C1 ,画出△A1B1C1;②△A2B2C2与AABC关于原点O成中心对称,画出△A2B2C2;三、解答题 (共4题;共45分)23. (5分) (2016九上·东莞期中) 白溪镇2013年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2015年达到82.8公顷.求该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率.24. (15分)已知抛物线y1=x2+2x﹣3的顶点为A,与x轴交于点B、C(B在C的左边),直线y2=kx+b过A、B两点.(1)求直线AB的解析式;(2)当y1<y2时,根据图象直接写出自变量x的取值范围.25. (10分) (2016八下·嘉祥期中) 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2、,;(3)如图3,点A、B、C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.26. (15分)(2017·盘锦模拟) 如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;(2)求证:∠ABC=90°;(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共10题;共24分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、三、解答题 (共4题;共45分) 23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、26-4、。
黑龙江省哈尔滨市九年级上学期期中数学试卷
黑龙江省哈尔滨市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、精心选一选。
(共10题;共20分)1. (2分)(2016·南通) 下列几何图形:其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有()A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个2. (2分) (2020八下·射阳期中) 定义新运算,,若a、b是方程()的两根,则的值为()A . 0B . 1C . 2D . 与m有关3. (2分)将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位,向下平移2个单位得到()A . y=(x﹣1)2+1B . y=(x+1)2+1C . y=(x﹣1)2﹣3D . y=(x+1)2+34. (2分)用配方法解一元二次方程时,此方程可变形为()A .B .C .D .5. (2分) (2019九上·合肥月考) 共享单车为市民出行带来了方便,某单车公式第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是()A . y=a(1+x)2B . y=a(1﹣x)2C . y=(1﹣x)2+aD . y=x2+a6. (2分) (2015九上·新泰竞赛) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点A出发,沿AB 方向以每秒cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动,将△PQC沿QC翻折,点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t秒,若四边形QPCP′为菱形,则t的值为()A .B . 2C .D . 37. (2分) (2018九上·卢龙期中) (-1,y1),(2,y2)与(3,y3)为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点,则y1 , y2 , y3的大小关系是()A .B .C .D .8. (2分) (2017七下·港南期末) 如图所示的直角三角形ABC向右翻滚,下列说法:(1)①到②是旋转;(2)①到③是平移;(3)①到④是平移;(4)②到③是旋转,其中正确的有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. (2分) (2018九上·绍兴月考) 下列图形中阴影部分的面积相等的有()A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④10. (2分)(2020·滨湖模拟) 二次函数的图象如图所示,对称轴是直线 .下列结论:① ;② ;③ ;④ ( 为实数).其中结论正确的个数为()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、细心填一填。
哈尔滨九年级(上)期中数学试卷
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D.
������������ ������������
������������ = ������������
22. 如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形������������������(
顶点是网格线的交点). (1)先将 △ ������������������竖直向上平移 6 个单位,再水平向右平移 3 个单位得到 △ ������1������1������1, 请画出 △ ������1������1������1; (2)将 △ ������1������1������1绕������1点顺时针旋转90°,得 △ ������2������2������2,请画出 △ ������2������2������2; (3)连接������������2,直接写出������������2的长______.
������������ = ������������
B.
������������ ������������
������������ = ������������
C.
������������ ������������
������������ = ������������
10. 二次函数������ = ������������2 +������������ + ������(������ ≠ 0)的图象如图所示,下
黑龙江省哈尔滨市九年级上期中考试数学试卷含答案
哈尔滨市九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题(每小题3分,共计30分)1.-6的绝对值是( )A .6B 61 C .-6 D .- 61 2.下列商标中是中心对称图形的是()3.二次函数y=(x -l)2+2的顶点坐标为( )A .(1,2)B .(0,1)C .(0,2)D .(0,3)4.0.36用科学记数法可表示为( ).A .3.6×10-2B 0.36×10-2C . 3.6×10-1D .36×10-45.如图所示的立体图形是由8个棱长为1的小立方体组成的,其俯视图是()6.如图,Rt △ACB 中,∠C =90°,AB =5,BC=4,则cos ∠A= ( ) 45 A. 54 B. 53 C. 34 D. 43 7.如图,△ABC 中,∠ABC=30°,∠ACB=50°,折叠△ACB 使点C与AB 边上的点D 重合,折痕为AE ,连DE ,则∠AED 为( )DA .70°B .75°C .80°D .85°8.如图,△ABC 内接于半径为2的⊙O 中,若∠BAC=60°,则BC 的长度为( ) B COA .2B .23C .3D .229. 六张纸牌上分别写着A 、a 、B 、b 、C 、c ,闭眼摸出两张,正好是同一个字母的大写与小写形式的的概率是( )A. 31B. 61C. 91D. 51 10.已知A 、B 两地相距4km ,上午8∶00时,亮亮从A 地步行到B 地,8∶20时芳芳从B 地出发骑自行车到A 地,亮亮和芳芳两人离A 地的距离S(km)与亮亮所用时间t(min)之间的函数关系如图所示,芳芳到达A 地时间为( ) s/km4O 2A .8∶30B .8∶35C .8∶40D .8∶45二、填空题(每小题3分,共计30分)11. (a -2) 3=12.函数2xx 2-的自变量x 的取值范围是 13.分解因式:-5a 4b+5b=14.分式方程11x 21x 2x 2=-+++的解为 15.二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴交点中有一个是(2,0)点,则4m 2+4mn+n 2的值为16.如图,⊙O 的内接正六边形ABCDEF 周长为6,则这个正六边形的面积为H C AB F D O E17.二次函数y=x 2-2x -3与x 轴交点交于A 、B 两点,交 y 轴于点C ,则△OAC 的面积为18.如图,⊙O 中,BC 为直径,AB 切⊙O 于B 点,连AC 交⊙O 于D ,若CD =2,AB=3,则BC=DB A19.如图,⊙O 中,弦AB=3,半径BO=3,C 是AB 上一点且AC=1,点P 是⊙O 上一动点,连PC ,则PC 长的最小值是CAO P20.如图,AC 与AB 切⊙O 于C 、B 两点,过BC 弧上一点D 作⊙O 切线交AC 于E ,交AB 于F ,若EF ⊥AB ,AE=5,EF=4,则AO =DFECB O三、解答题(共计60分)21. (本题6分)先化简,再求值22b ab 2a b b a 1b a 1++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--,其中a=1+2cos45°;b=1-2sin45°22.(本题6分)如图,将边长为2cm的正方形首先剪成两个全等的矩形.再将其中的一个矩形剪成两个全等的直角三角形,请用这三个图形按下列要求拼成一个符合相应条件的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并把你的拼法按实际大小画在下面方格纸内(6cm×4cm).23.(本题8分)有3个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,放在一个口袋中,随机地摸出一个小球不放回,再随机地摸出一个小球.(1)采用树形图法(或列表法)列出两次摸球出现的所有可能结果;(2)求摸出的两个球号码之和等于5的概率.24.(本题8分)已知,如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,,点D从A出发沿AC向C点以每秒2个单位速度运动,到C点停止,E点从C点出发沿CB以每秒1个单位的速度运动,到B点停止,两点同时出发,设运动时间为t(秒),△CDE 面积为y ,(1) 求出y 与t 的函数关系式并写出自变量t 的取值范围;(2) 求当t 为何值时,y 最大,并求出最大值;DA E(3) M 是AB 中点,当DE ⊥MC 时,求△DEM 的面积。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级第一学期期中考试数学试卷及参考答案
2023~2024学年度九年级(上学期)期中测试试卷第Ⅰ卷 选择题(共30分)(涂卡)一、选择题(每小题3分,共计30分)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.方程23x x =的解是( )A.3x =B.10x =,23x =C.10x =,23x =−D.11x =,23x = 3.已知函数()273m y m x −=−是二次函数,则m 的值为( )A.3−B.3±C.3D. 4.O 的半径为5,同一平面内有一点P ,且7OP =,则点P 与O 的位置关系是( )A.点P 在圆内B.点P 在圆上C.点P 在圆外D.无法确定5.已知22y x =的图象是抛物线,若抛物线不动,把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )A.()2222y x =−+B.()2222y x =++C.()2222y x =−−D.()2222y x =+− 6.如图,点A ,B ,C 在O 上,22.5OAB ∠=︒,则ACB ∠的度数是( )A.11.5°B.112.5°C.122.5°D.135° 7.设()12,A y −、()21,B y 、()32,C y 是抛物线()212y x =−++上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系为( )A.123y y y >>B.132y y y >>C.321y y y >>D.312y y y >>8.如图,以O 为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 是小圆的切线,点P 为切点.若大圆半径为2,小圆半径为1,则AB 的长为( )A.2B. D.2 9.O 的半径为5cm ,弦AB ∥弦CD ,且8cm AB =,6cm CD =,则AB 与CD 之间的距离为( )A.1cmB.7cmC.3cm 或4cmD.1cm 或7cm 10.如图,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点C ,对称轴为直线1x =−,点B 的坐标为()1,0,则下列结论:①4AB =;②240b ac −>;③0ab <;④2a ab ac −+其中正确的结论有( )个.A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(每小题3分,共24分)11.已知关于x 的方程2230x x k ++=的一个根是1−,则k =______.12.在直角坐标系中,点()1,2A −关于原点对称的点的坐标是______.13.如图,P 是O 的直径BA 延长线上一点,点D 在O ,PD 交O 于点C ,且PC OD =,如果24P ∠=︒,则DOB ∠=______.14.如果二次函数281y x x m =−+−的顶点在x 轴上,那么m =______.15.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm ,则这块扇形铁皮的半径是______.16.一种药品原价每盒25元,两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x ,可列方程为______.17.如图,已知P 的半径为2,圆心P 在抛物线2112y x =−上运动,当P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为______.18.如图,已知直线334y x =−与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点P 是以()0,1C 为圆心,1为半径的圆上一动点,连接P A ,PB .则PAB △面积的最大值与最小值的差为______.三、解答题(19~24题每题6分,25~27题每题10分,共66分)19.解方程(1)2890x x −−= (2)210x x −−= 20.如图,ABC △三个顶点的坐标分别为()2,4A ,()1,1B ,()4,3C .(1)请画出ABC △关于原点对称的111A B C ;(2)请画出ABC △绕点B 逆时针旋转90°后的22A BC △,并写2A 的坐标.21.如图,已知二次函数223y x x =−−的图象与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C .(1)将223y x x =−−化成()2y a x h h =−+的形式; (2)求点A 、B 、C 的坐标;(3)观察图象直接写出不等式2230x x −−>的解集.22.如图,某渔船向正东方向以12海里时的速度航行,在A 处测得岛C 在北偏东60°方向,1小时后渔船航行到B 处,测得岛C 在北偏东30°方向,已知该岛C 上有一部信号发射塔,方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号.(1)求B 处离岛C 的距离;(2)求该渔船在整个航行过程中收到岛C 发射信号的时间.23.先阅读材料,再解答问题:小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图1,点A ,B ,C ,D 均为O 上的点,则有C D ∠=∠.小明还发现,若点E 在O 外,且与点D 在直线AB 同侧,则有D E ∠>∠.请你参考小明得出的结论,解答下列问题:图1 图2问题:如图2,在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为()0,10,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()2,0.(1)在图2中作出ABC △的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法),并求出此圆与x 轴的另一个交点的坐标;(2)点P 为x 轴正半轴上的一个动点,连接AP 、BP ,当APB ∠达到最大时,直接写出此时点P 的坐标.24.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图1所示位置放置,现将Rt AEF △绕A 点按逆时针方向旋转,旋转角为()090αα︒<<︒,得到图2,AE 与BC 交于点M ,AC 与EF 交于点N ,BC 与EF 交于点P .(1)求证:AM AN =;(2)当旋转角30α=︒时,四边形ABPF 是怎样的特殊四边形?请说明理由.图1 图225.如图,在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN ,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ,其中AD MN ≤,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栅栏.(1)若围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD 的长;(2)求矩形菜园ABCD 面积的最大值.26.如图,在ABC △中,点O 是AC 的中点,以O 为圆心,OA 为半径作O ,交BC 于点D ,交AB 于点E ,弧ED 与弧DC 相等,点F 在线段BE 上,2BAC BDF ∠=∠.(1)求证:AB AC =;(2)判断DF 与O 的位置关系,并加以证明;(3)若O 的半径为5,EB DF AO +=,求BD 的长.27.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线AB 的解析式为34y x m =−+,与x 轴、y 轴分别交于点B 、点A ,抛物线21y ax bx =++经过点A ,与直线AB 交于点C ,点C 的横坐标为4,抛物线的对称轴为54x =. (1)求抛物线的解析式;(2)动点P 在直线AC 上方的抛物线上,点P 的横坐标为t ,过点P 作x 轴的平行线交AC 于点M ,过点P 作y 轴的平行线交AC 于点N ,当AM BN =时,求t 值;(3)点Q 是坐标平面内一点,将AOB △绕点Q 沿逆时针方向旋转90°后,得到111AO B △,点A 、O 、B 的对应点分别是点1A 、1O 、1B .若111AO B △的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出此时点1A 的横坐标.备图初三数学参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1.B2.B3.A4.C5.A6.B7.A8.B9.D 10.C二、填空题(每小题3分,共24分)11.12.()1,2− 13.72︒ 14.1715.40cm 16.()225116x −= 17.)或()2 18.5三、解答题(19~24题每题6分,25~27题每题10分,共66分)19.解(1)19x = 21x =−(2)112x x == 212x −= 20.(1)如图 (2)如图2A 的坐标()1,2−21.解:(1)()22223213114y x x x x x =−−=−+−−=−−,即()214y x =−−; (2)令0x =,则3y =−,即该抛物线与y 轴的交点C 坐标是()0,3−,令0y =,则2230x x −−=,()()310x x −+=,11x =−,23x = 所以该抛物线与x 轴的交点坐标是()3,0B 、()1,0A −.(3)不等式2230x x −−>,即0y >,由图可知1x <−或3x >.22.解:(1)过C 作CO AB ⊥于O ,则CO 为渔船向东航行到C 道最短距离,∵在A 处测得岛C 在北偏东的60︒,∴30CAB ∠=︒,又∵B 处测得岛C 在北偏东30︒,∴60CBO ∠=︒,120ABC ∠︒=∴30ACB CAB ∠∠==︒,∴12112AB BC ==⨯=(海里)(等边对等角);(2)以点C 为圆心,20为半径作圆,与直线AB 交点E 、F ,连接OE ,2EF EO =,在BCO △中,60CBO ∠=︒,90COB ∠=︒,12BC =,6BO =,CO =Rt ECO △中,20CE =勾股定理求EO =2EF EO == 12÷=23.(1)如图,过圆心G 作GH OC ⊥垂足为H ,连接GB 、GC ,可证四边形GHON 为矩形,OH GN =,3BN AN ==,7GH ON ==,222GB BN GN =+,222GC CH GH =+GB GC =,2222BN GN CH GH +=+设CH 长为x ,()2222327x x ++=+ 9x =9CH = 18CK = 20OK OC CK =+=()20,0K(2)()P (D 经过AB 两点,与x 轴相切于的Q ,由阅读材料可的APB AQB ∠≤∠,点P 在切点时取等号.)24.(1)证明:∵用两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 与AFE ,∴ABC AFE ≌△△,∴AB AF = B F ∠=∠,∵Rt AEF △绕A 点按逆时针方向旋转,旋转角为α,∴BAM FAN α∠=∠=∴ABM AFN ≌△△,∴AM AN =(1)四边形ABPF 是菱形,理由如下:∵用两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 与AFE , ∴30E C ∠=∠=︒,∵30BAM FAN α∠=∠==︒,∴E BAM ∠=∠,C FAN ∠=∠∴AF BP ∥,AB FP ∥∴四边形ABPF 是平行四边形∵AB AF =,∴四边形ABPF 是菱形25.解:(1)设AD 长x 米,则BC 长为()11002x −米, 根据题意得()11004502x x −=,解得110x =,290x =不合题意舍去; 答:AD 的长为10米. (2)设AD 长x 米,∴()()21110050125022S x x x =−=−−+, 则50x =时,S 的最大值为1250;S 的最大值为1250.(1)证明:连接AD ,∵弧ED 与弧DC 相等∴CAD BAD ∠=∠,∵AC 是O 的直径∴90ADC ∠=︒,∴90ADB ∠=︒,∴90CAD ACD ∠+∠=︒,90BAD ABD ∠+∠=︒,∴ACD ABD ∠=∠,∴AB AC =(2)DF 与0相切,证明:连接OD ,∵90ADC ∠=︒∴AD BC ⊥∵AB AC =∴CD BD =∵点O 是AC 的中点∴OD AB ∥∵CAD BAD ∠=∠∴2BAC BAD ∠=∠∵2BAC BDF ∠=∠∴BAD BDF ∠=∠∵90ADB ∠=︒∴90ADF BDF ∠+∠=︒∴90ADF BAD ∠+∠=︒∴90AFD ∠=︒∴180ODF AFD ∠+∠=︒∴90ODF ∠=︒∴OD DF ⊥∴DF 与O 相切(3)解:连接DE ,CE ,∵弧ED 与弧DC 相等∴DE DC =∵CD BD =∴DE BD =∵90AFD ∠=︒∴DF BE ⊥∴EF FB =∴2EC DF =设EF 长为x ,则2BE x =,∵EB DF AO +=∴52DF x =−∴104EC x =−∵AB AC =∴10AB =∴102AE AB EB x =−=−∵AC 是O 的直径∴90AEC ∠=︒在Rt AEC △中,222AE EC AC += ()()22210210410x x −+−= 解得1x = 5x =(舍)1BF = 3DF =在Rt DFB △中,222BF DF BD +=BD =26.解:(1)抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A 令0x =,1y =,∴()0,1A ∵直线34ABy x m =−+经过点()0,1A ,∴1m =,∴直线AB 的解析式为314y x =−+直线AB 交于点C ,点C 的横坐标为4,令4x =,2y =−,∴()4,2C −∵抛物线21y ax bx =++经过点()4,2C −,对称轴为54x = ∴16412524a b b a ++=−⎧⎪⎨−=⎪⎩解得1254a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为215124y x x =−++;(2)∵AM AN =∴AM BM AN BM −=−∴AB MN = ∵PM x ∥轴PN y ∥轴∴PMN PBN ABO ∠=∠=∠ OAB PNM ∠=∠∴ABO NMP ≌△△∴1PN AO ==215,124P t t t ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭,3,14N t t ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭2153111244t t t ⎛⎫⎛⎫−++−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得2t =±(3)点1A 的横坐标34或712−.。
黑龙江省哈尔滨九年级上期中数学试卷含答案解析
2022-2023黑龙江省哈尔滨九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每题3分,共30分)1.如图,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看,最接近标准的是()A.B.C.D.2.如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.4个B.3个C.2个D.1个3.下列运算正确的是()A.2x2•x3=2x5B.(x﹣2)2=x2﹣4 C.x2+x3=x5D.(x3)4=x74.由中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4300000000人,这个数用科学记数法表示为()A.43×108B.4.3×109C.4.3×108D.4.3×10105.下列命题中,真命题是()A.圆周角等于圆心角的一半B.等弧所对的圆周角相等C.平分弦的直径垂直于弦D.过弦的中点的直线必经过圆心6.如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位,再向左平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是()A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+1 C.y=x2+1 D.y=(x+1)2﹣17.如图,滑雪场有一坡角为20°的滑雪道,滑雪道的长AC为100米,则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为()A.B.C.1OOcos20°D.100sin20°8.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为()A.B.C.D.9.如图,圆O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB一定是()A.正方形B.长方形C.菱形 D.梯形10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;②4a+2b+c<0;③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1;④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每题3分,共30分)11.计算:﹣=.12.函数y=的自变量x的取值范围是.13.分解因式:3a2﹣6ab+3b2=.14.将二次函数y=x2+6x+3化成顶点式y=a(x﹣h)2+k的形式.15.双曲线,当x>0时,y随x的增大而减小,则m=.16.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,6)和点O(0,0),B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC=.17.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF 的面积之比为.18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,AB′与BC相交于点D,当B′C′∥AB时,CD=.19.菱形ABCD中∠A=60°,点E在直线BD上,直线AE交直线CD于F,CD=3DE,AF=6,则AE=.20.如图,正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上,顶点B在GC的延长线上,连接EG、BE,∠EGC的平分线GH过点D交BE于H,连接HF交EG于M,则的值为.三、解答题(21、22每题7分,23、24每题8分,25、26、27每题10分)21.先化简,再求代数式﹣2的值,其中x=3sin45°+2cos60°.22.图1,图2均为正方形网络,每个小正方形的面积均为1.在这个正方形网格中,各个小正方形的顶点叫做格点.请在下面的网格中按要求画图,使得每个图形的顶点均在格点上.(1)在图1中,画一个边长为整数的矩形,面积等于24,周长等于22.(2)在图2中,画一个有一个角是钝角的等腰三角形,且面积等于10.23.为推动阳光体育运动的广泛开展,引导学生走向操场,走进大自然,走到阳光下,积极参加体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用,现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制了如图两个统计图,请根据相关信息,解答下列问题:(1)求本次抽样调查的学生的人数;(2)通过计算补全条形统计图;(3)若学校计划购买200双运动鞋,建议购买35号运动鞋约多少双?24.如图,△ABC内接于⊙O,且BC是⊙O的直径,AD⊥BC于D,F是弧BC中点,且AF交BC于E,连接OA,(1)求证:AE平分∠DAO;(2)若AB=6,AC=8,求OE的长.25.冬季将至,服装城需1100件羽绒服解决商场货源短缺问题,现由甲、乙两个加工厂生产.已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍,且加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天.(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件羽绒服?(2)若甲工厂每天的加工生产成本为3万元,乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元,要使这批羽绒服的加工生产总成本不高于60万元,至少应安排甲工厂加工生产多少天?26.已知,如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,M为AB上的一点,MN⊥AC于N,△AMN 绕点A旋转得到△APQ,延长BC至点D,使CD=BC,延长PQ至点E,使QE=PQ,连接ED.BP.(1)求证:DE=BP;(2)如图2,连接PD,取PD中点F,连接CQ,FQ,若tan∠ABC=,则QC=QF.(3)如图3,在(2)的条件下,若AB=AM,AQ∥ED,CQ=12,求PD的长.27.已知:y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点,对称轴交x轴于点E,顶点为点D,若△AOD 的面积为4.点P是x轴上方抛物线上一动点,作PH⊥x轴,垂足为H,连接PA,作直线HQ⊥PA交y轴于点Q,(1)求a的值.(2)在点P运动过程中,连接QD,若∠PAO=∠QDE,求HE的长度.(3)点Q关于AP的对称点为点K,若2HA=QH,求点P的坐标及KE的长.2022-2023黑龙江省哈尔滨九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分,共30分)1.如图,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看,最接近标准的是()A.B.C.D.【考点】正数和负数;绝对值.【分析】求出每个数的绝对值,根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可.【解答】解:∵|﹣0.6|<|+0.7|<|+2.5|<|﹣3.5|,∴﹣0.6最接近标准,故选:C.2.如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:第一个、第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形.故选C.3.下列运算正确的是()A.2x2•x3=2x5B.(x﹣2)2=x2﹣4 C.x2+x3=x5D.(x3)4=x7【考点】单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.【分析】根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法,利用排除法求解.【解答】解:A、2x2•x3=2x5,故本选项正确;B、应为(x﹣2)2=x2﹣4x+4,故本选项错误;C、x2与x3不是同类项,不能合并,故本选项错误;D、应为(x3)4=x12,故本选项错误.故选:A.4.由中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4300000000人,这个数用科学记数法表示为()A.43×108B.4.3×109C.4.3×108D.4.3×1010【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:4300 000 000=4.3×109,故选:B.5.下列命题中,真命题是()A.圆周角等于圆心角的一半B.等弧所对的圆周角相等C.平分弦的直径垂直于弦D.过弦的中点的直线必经过圆心【考点】命题与定理.【分析】利用圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解:A、同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半,故错误,为假命题;B、等弧所对的圆周角相等,正确,为真命题;C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误,为假命题;D、过先的中点且垂直于弦的直线必经过圆心,故错误,为假命题,故选B.6.如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位,再向左平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是()A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+1 C.y=x2+1 D.y=(x+1)2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】先确定抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2),根据点平移的规律得到点(0,2)平移后得到对应点的坐标为(﹣1,1),然后根据顶点式写出新抛物线的解析式.【解答】解:抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2),把点(0,2)先向下平移1个单位,再向左平移1个单位得到对应点的坐标为(﹣1,1),所以所得新抛物线的解析式为y=(x+1)2+1.故选B.7.如图,滑雪场有一坡角为20°的滑雪道,滑雪道的长AC为100米,则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为()A.B.C.1OOcos20°D.100sin20°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】根据正弦的定义进行解答即可.【解答】解:∵sin∠C=,∴AB=AC•sin∠C=100sin20°,故选:D.8.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为()A.B.C.D.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】证明BE:EC=1:3,进而证明BE:BC=1:4;证明△DOE∽△AOC,得到=,借助相似三角形的性质即可解决问题.【解答】解:∵S△BDE:S△CDE=1:3,∴BE:EC=1:3;∴BE:BC=1:4;∵DE∥AC,∴△DOE∽△AOC,∴=,∴S△DOE:S△AOC==,故选D.9.如图,圆O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB一定是()A.正方形B.长方形C.菱形 D.梯形【考点】垂径定理;菱形的判定.【分析】先根据垂径定理得出AD=BD,AC=BC,再根据全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BCD,故可得出OA=BC,即OA=OB=BC=AC,由此即可得出结论.【解答】解:∵弦AB垂直平分半径OC,∴AD=BD,AC=BC,OD=CD,∵在△AOD与△BCD中,,∴△AOD≌△BCD,∴OA=BC,∴OA=OB=BC=AC,∴四边形OACB是菱形.故选C.10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;②4a+2b+c<0;③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1;④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数的图象;二次函数图象与系数的关系;二次函数的最值;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组).【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值;②根据x=2时,y<0确定4a+2b+c的符号;③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和;④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围.【解答】解:∵抛物线的顶点坐标为(﹣1,4),∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4,①正确;∵x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,②正确;根据抛物线的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2,③错误;使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2,④错误,故选:B.二、填空题(每题3分,共30分)11.计算:﹣=﹣3.【考点】二次根式的加减法.【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案.【解答】解:﹣=3﹣3×2=﹣3.故答案为:﹣3.12.函数y=的自变量x的取值范围是x≥3.【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.【解答】解:由题意得,x﹣3≥0且x﹣2≠0,解得x≥3且x≠2,所以,x≥3.故答案为:x≥3.13.分解因式:3a2﹣6ab+3b2=3(a﹣b)2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解:3a2﹣6ab+3b2=3(a2﹣2ab+b2)=3(a﹣b)2.故答案为:3(a﹣b)2.14.将二次函数y=x2+6x+3化成顶点式y=a(x﹣h)2+k的形式y=(x+3)2﹣6.【考点】二次函数的三种形式.【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可.【解答】解:y=x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=(x+3)2﹣6.故答案为:y=(x+3)2﹣6.15.双曲线,当x>0时,y随x的增大而减小,则m=﹣2.【考点】反比例函数的定义.【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解,再根据它的性质决定解的取舍.【解答】解:根据题意得:,解得:m=﹣2.故答案为﹣2.16.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,6)和点O(0,0),B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC=.【考点】圆周角定理;坐标与图形性质;解直角三角形.【分析】首先根据圆周角定理,判断出∠OBC=∠ODC;然后根据CD是⊙A的直径,判断出∠COD=90°,在Rt△COD中,用OD的长度除以CD的长度,求出∠ODC的余弦值为多少,进而判断出∠OBC的余弦值为多少即可.【解答】解:如图,延长CA交⊙A与点D,连接OD,∵同弧所对的圆周角相等,∴∠OBC=∠ODC,∵CD是⊙A的直径,∴∠COD=90°,∴cos∠ODC===,∴cos∠OBC=,故答案为:.17.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF 的面积之比为1:4.【考点】位似变换.【分析】由AD=OA,易得△ABC与△DEF的位似比等于1:2,继而求得△ABC与△DEF 的面积之比.【解答】解:∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴AB:DE=OA:OD=1:2,∴△ABC与△DEF的面积之比为:1:4.故答案为:1:4.18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,AB′与BC相交于点D,当B′C′∥AB时,CD=.【考点】旋转的性质.【分析】设CD=x,由B′C′∥AB,可推得∠BAD=∠B′,由旋转的性质得:∠B=∠B′,于是得到∠BAD=∠B,AC=AC′=3,AD=BD=4﹣x,在直角△ADC中,由勾股定理可求得结论.【解答】解:设CD=x,∵B′C′∥AB,∴∠BAD=∠B′,由旋转的性质得:∠B=∠B′,AC=AC′=3,∴∠BAD=∠B,∴AD=BD=4﹣x,∴(4﹣x)2=x2+32,解得:x=.故答案为:.19.菱形ABCD中∠A=60°,点E在直线BD上,直线AE交直线CD于F,CD=3DE,AF=6,则AE=4或8.【考点】菱形的性质.【分析】有两种情形,画出图形,先证明△ABD、△BDC都是等边三角形,再根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.【解答】解:①如图1中,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,DC∥AB,∵∠DAB=60°,∴∠DCB=∠DAB=60°,∴△ABD,△BDC都是等边三角形,∴DC=DB,∵CD=3DE,∴DB=3ED,∵DF∥AB,∴==,∵AF=6,∴AE=4.②如图2中,由①可知BD=3DE,∵DF∥AB,∴==,∵AF=6,∴AE=8.故答案为4或820.如图,正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上,顶点B在GC的延长线上,连接EG、BE,∠EGC的平分线GH过点D交BE于H,连接HF交EG于M,则的值为+1.【考点】正方形的性质.【分析】取EG中点O,连接OH,先证明△BCE≌△DCG推出HG⊥BE,再证明△BGH≌△EGH,推出OH是三角形中位线,设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,利用△DHN∽△DGC,得=,求出a、b之间的关系,最后由△EFM∽△OMH,得==,推出==即可解决问题.【解答】解:取EG中点O,连接OH∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°,同理可得CE=CG,∠DCG=90°,在△BCE和△DCG中,,∴△BCE≌△DCG,∴∠BEC=∠DGC,∵∠EDH=∠CDG,∠DGC+∠CDG=90°,∴∠EDH+∠BEC=90°,∴∠EHD=90°,∴HG⊥BE,在△BGH和△EGH中,,∴△BGH≌△EGH,∴BH=EH,∵EH=HB,EO=OG,∴HO∥BG,HO=BG=EF,设EC和OH相交于点N.设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,∵OH∥BC,∴△DHN∽△DGC,∴=,即=,即a2+2ab﹣b2=0,解得:a=(﹣1+)b,或a=(﹣1﹣)b(舍去),则=﹣1,∵EF∥OH,∴△EFM∽△OMH,∴==,∴=,=,∴====,∴=+1.故答案为.三、解答题(21、22每题7分,23、24每题8分,25、26、27每题10分)21.先化简,再求代数式﹣2的值,其中x=3sin45°+2cos60°.【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值.【分析】先对括号内的式子进行通分相减,把除法转化为乘法,然后计算乘法即可化简,然后化简x的值,代入计算即可.【解答】解:原式=÷﹣2=•﹣2=x+1﹣2=x﹣1.当x=3sin45°+2cos60°=时,原式=.22.图1,图2均为正方形网络,每个小正方形的面积均为1.在这个正方形网格中,各个小正方形的顶点叫做格点.请在下面的网格中按要求画图,使得每个图形的顶点均在格点上.(1)在图1中,画一个边长为整数的矩形,面积等于24,周长等于22.(2)在图2中,画一个有一个角是钝角的等腰三角形,且面积等于10.【考点】勾股定理.【分析】(1)根据长方形的面积、周长公式,画一个长和宽为8和3的长方形即可;(2)根据勾股定理确定出三角形的腰长,再由钝角三角形的性质画出图形即可.【解答】解:(1)设该长方形的长为a,宽为b,则a+b=11,ab=24,显然a、b是关于x的一元二次方程x2﹣11x+28=0的两根,解方程x2﹣11x+28=0得到x1=8,x2=3,即a=8,b=3,所以该矩形的长为8,宽为3,如图1所示的矩形ABCD.(2)如图2所示,AC==5,BC=5,S△ABC=×4×5=10.23.为推动阳光体育运动的广泛开展,引导学生走向操场,走进大自然,走到阳光下,积极参加体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用,现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制了如图两个统计图,请根据相关信息,解答下列问题:(1)求本次抽样调查的学生的人数;(2)通过计算补全条形统计图;(3)若学校计划购买200双运动鞋,建议购买35号运动鞋约多少双?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】(1)根据条形统计图求出总人数即可;由扇形统计图以及单位1,求出m的值即可;(2)找出出现次数最多的即为众数,将数据按照从小到大顺序排列,求出中位数即可;(3)根据题意列出算式,计算即可得到结果.【解答】解:(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40;(2)40﹣12﹣10﹣8﹣4=6(人)补全条形统计图如下:(3)∵在40名学生中,鞋号为35的学生人数比例为30%,∴由样本数据,估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%,则计划购买200双运动鞋,有200×30%=60双为35号.24.如图,△ABC内接于⊙O,且BC是⊙O的直径,AD⊥BC于D,F是弧BC中点,且AF交BC于E,连接OA,(1)求证:AE平分∠DAO;(2)若AB=6,AC=8,求OE的长.【考点】圆周角定理;勾股定理;等腰直角三角形.【分析】(1)连接OA,由BC是⊙O的直径,AD⊥BC,易得∠C=∠OAE=∠B,又由F是弧BC中点,可得∠BAF=∠CAF,继而证得AE平分∠DAO;(2)首先连接OF,易得OF∥AD,即可得DE:OE=AD:OF,然后由勾股定理求得AD,BD的长,继而求得答案.【解答】(1)证明:连接OA,∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠C+∠B=90°,∵AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,∴∠BAD=∠C,∵OA=OC,∴∠OAC=∠C,∴∠BAD=∠OAC,∵F是弧BC中点,∴∠BAF=∠CAF,∴∠DAE=∠OAE,即AE平分∠DAO;(2)解:连接OF,∵∠BOF=2∠BAF=∠BAC=90°,∴OF⊥BC,∵AD⊥BC,∴OF∥AD,∴DE:OE=AD:OF,∵AB=6,AC=8,∴BC==10,∴AD==,∴BD==,∴OD=OB﹣BD=5﹣=,∴DE:OE=:5=24:25,∴OE=×=.25.冬季将至,服装城需1100件羽绒服解决商场货源短缺问题,现由甲、乙两个加工厂生产.已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍,且加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天.(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件羽绒服?(2)若甲工厂每天的加工生产成本为3万元,乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元,要使这批羽绒服的加工生产总成本不高于60万元,至少应安排甲工厂加工生产多少天?【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.【分析】(1)先设乙工厂每天可加工生产x件,则甲工厂每天可加工生产1.5件,根据加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天,列出方程,求出x的值,再进行检验即可求出答案;(2)设甲工厂加工生产y天,根据加工生产总成本不高于60万元,列出不等式,求出不等式的解集即可.【解答】解:(1)设乙工厂每天可加工生产x件,则甲工厂每天可加工生产1.5x件,根据题意可得:=+4,解得:x=40,经检验,x=40是原方程的根,也符合题意,则1.5x=60,答:甲工厂每天可加工生产60件,乙工厂每天可加工生产40件;(2)设甲工厂加工生产y天,根据题意得:3y+2.4×≤60,解得:y≥10.答:至少应安排甲工厂加工生产10天.26.已知,如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,M为AB上的一点,MN⊥AC于N,△AMN 绕点A旋转得到△APQ,延长BC至点D,使CD=BC,延长PQ至点E,使QE=PQ,连接ED.BP.(1)求证:DE=BP;(2)如图2,连接PD,取PD中点F,连接CQ,FQ,若tan∠ABC=,则QC=QF.(3)如图3,在(2)的条件下,若AB=AM,AQ∥ED,CQ=12,求PD的长.【考点】几何变换综合题.【分析】(1)作辅助线,构建两个全等三角形:△ADE和△ABP,根据垂直平分线性质定理得出:AB=AD,AP=AE和夹角相等,两三角形全等,则DE=BP;(2)证明△ACQ∽△ABP得,再利用已知的tan∠ABC=得出AC与AB的比,利用中位线QF与DE的关系得出最后结论;(3)作辅助线,构建直角三角形,设△AMN的两直角边分别为3a和4a,表示出AB、AD、DG、AQ的长,利用已知的CQ=12和(2)中的结论QC=QF,求出QF的长,在直角△AGD和直角△PDE运用勾股定理列等式求出PD的长.【解答】解:(1)如图1,连接AE、AD,∵AC⊥BD,AQ⊥PE,BC=BD,PQ=QE,∴AB=AD,AP=AE,∴∠BAC=∠PAQ,∠BAC=∠CAD,∠PAQ=∠EAQ,∴∠BAD=∠PAE,∴∠MAP=∠EAD,∴△ABP≌△ADE,∴BP=ED;(2)如图2,∵∠BAC=∠PAQ,∴∠BAC﹣∠PAN=∠PAQ﹣∠PAN,∴∠BAP=∠CAQ,∵△PAQ≌△MAN,∴,∵MN∥BC,∴,∴,∴△ACQ∽△ABP,∴,∵tan∠ABC=,∴设AC=3k,BC=4k,则AB=5k,∴,∵ED=PB=2QF,∴,∴QC=;故答案为:.(3)如图3,过D作QF的垂线,交QF的延长线于G,则∠QGD=90°,∵PQ=QE,PF=FD,∴FQ∥DE,ED=2FQ,∵AQ∥DE,∴A、Q、F在同一条直线上,且∠EQG=∠E=90°,∴四边形QGDE是矩形,由MN∥BC得∠AMN=∠ABC,∴tan∠AMN=tan∠ABC=,设AN=3a,MN=4a,则AM=5a,AD=AB=4a,∵CQ=12,∴QF=12×=10,ED=20,∵△PQF≌△DGF,∴FG=FQ=10,DG=PQ=NM=4a,∵AQ=AN=3a,在Rt△AGD中,AD2=AG2+DG2,(4a)2=(4a)2+(20+3a)2,11a2﹣24a﹣80=0(a﹣4)(11a+20)=0a1=4,a2=﹣(舍去)在Rt△PED中,PD====4.27.已知:y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点,对称轴交x轴于点E,顶点为点D,若△AOD 的面积为4.点P是x轴上方抛物线上一动点,作PH⊥x轴,垂足为H,连接PA,作直线HQ⊥PA交y轴于点Q,(1)求a的值.(2)在点P运动过程中,连接QD,若∠PAO=∠QDE,求HE的长度.(3)点Q关于AP的对称点为点K,若2HA=QH,求点P的坐标及KE的长.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据三角形面积公式求出点D坐标,然后代入抛物线解析式即可求出a.(2)如图1中,设点P(m,﹣m2+2m),求出直线PA,HQ的解析式,得到点Q坐标(0,﹣2),根据tan∠QDE=tan∠PAO=,列出方程即可解决问题.(3)设QH交PA于点F,作FN⊥AO于N,由△OQH∽△FAH,以及在RT△OQH中利用勾股定理,想办法求出点F、点K坐标即可解决问题.【解答】解:(1)令y=0,则ax2﹣4ax=0,x=0或4.∴•OA•DE=4,∴DE=2,∴点D坐标(2,2)代入y=ax2﹣4ax,2=4a﹣8a,∴a=﹣.(2)如图1中,由(1)可知抛物线y=﹣x2+2x,设点P(m,﹣m2+2m),设直线PA为y=kx+b,把P(m,﹣m2+2m),A(4,0)代入得,解得,∴直线PA为y=﹣mx+2m,∵直线QH⊥PA,设直线HQ为y=x+b′,把H(m,0)代入得,b′=﹣2,∴OQ=2,∴tan∠QDE=tan∠PAO=,∴4﹣m=2(﹣m2+2m)m1=1,m2=4(舍)∴HE=1.(3)设QH交PA于点F,作FN⊥AO于N.∵∠HFA=∠HOQ,∠OHQ=∠FHA,∴△OQH∽△FAH,∴AF:OQ=AH:QH=:2,∴AF=,设HQ=x,则AH=x,在RT△OHQ中,22+(4﹣x)2=x,解得x=(或2舍弃不合题意),∴AH=,OH=,FH=,∵•FH•FA=•AH•FN,∴××=××FN,∴FN=1,HN==,∵点F坐标(1,1),点Q(0,﹣2)又∵K、Q关于点F对称,∴点K坐标(2,4),∵点E坐标(2,0)∴KE=4.7月23日。
哈尔滨市九年级上期中数学试卷含答案解析(五四学制)
2022-2023黑龙江省哈尔滨九年级(上)期中数学试卷(五四学制)一.选择题1.﹣的相反数是()A.B.﹣C.﹣2 D.22.下列计算正确的是()A.a2•a3=a5B.a+a=a2C.(a2)3=a5D.a2(a+1)=a3+13.在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.B.C.D.4.反比例函数y=的图象经过点(﹣2,5),则k的值为()A.10 B.﹣10 C.4 D.﹣45.某药品原价每盒25元,两次降价后,每盒降为16元,则平均每次降价的百分率是()A.10% B.20% C.25% D.40%6.已知抛物线的解析式为为y=(x﹣2)2+1,则当x≥2时,y随x增大的变化规律是()A.增大B.减小C.先增大再减小D.先减小再增大7.如图,为了测量河两岸A、B两点的距离,在与AB垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB=α,那么AB等于()A.a•sinαB.a•tanαC.a•cosαD.8.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于()A.B.C. D.9.如图所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A.B.C.D.10.如图,在四边形ABCD中,动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止.在这个过程中,△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是()A. B.C.D.二.填空题11.将38000用科学记数法表示为.12.函数y=中自变量x的取值范围是.13.计算:﹣= .14.把多项式xy2﹣4x分解因式的结果为.15.不等式组的整数解是.16.方程=的解为.17.如图,在▱ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则= .18.如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为4,则弦AB的长为.19.在△ABC中,AC=6,点D为直线AB上一点,且AB=3BD,直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为,并且CD⊥AC,则BC的长为.20.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,点G是线段DE上一点,且∠EGF=45°,若AB=10,则DG= .三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共60分)21.先化简,再求代数式÷的值,其中m=tan60°﹣2sin30°.22.图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长为1,点A、B、D在小正方形的顶点上.(1)在图a中画出△ABC(点C在小正方形顶点上),使△ABC是等腰三角形,且∠ABC=45°;(2)在图b中画出△DEF(E、F在小正方形顶点上),使△DEF∽ABC且相似比为1:.23.南岗区某中学的王老师统计了本校九年一班学生参加体育达标测试的报名情况,并把统计的数据绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中提供的数据回答下列问题:(1)该学校九年一班参加体育达标测试的学生有多少人?(2)补全条形统计图的空缺部分;(3)若该年级有1200名学生,估计该年级参加仰卧起坐达标测试的有多少人?24.在△ABC中,点D在AB边上,AD=CD,DE⊥AC于点E,CF∥AB,交DE的延长线于点F.(1)如图1,求证:四边形ADCF是菱形;(2)如图2,当∠ACB=90°,∠B=30°时,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中与线段AC 相等的线段(线段AC除外).25.荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半.(1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元?(2)经商谈,商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元,那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯?26.已知,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,动点M、N分别在线段OC、CD上,AM的延长线与射线ON相交于点E,与弦CD相交于点F.(1)如图1,若DN=OM,求证:AM=ON;(2)如图2,点P是弦CD上一点,若AP=OP,∠APO=90°,求∠COP的度数;(3)在(1)的条件下,若AB=20,cos∠AOC=,当点E在ON的延长线上,且NE=NF时,求线段EF的长.27.如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, =.(1)求m的值;(2)如图2,连接BC,点P为点B右侧的抛物线上一点,连接PA并延长交y轴于点D,过点P作PF⊥x轴于F,交线段CB的延长线于点E,连接DE,求证:DE∥AB;(3)在(2)的条件下,点G在线段PE上,连接DG,若EG=2PG,∠DPE=2∠GDE时,求点P的坐标.2022-2023黑龙江省哈尔滨九年级(上)期中数学试卷(五四学制)参考答案与试题解析一.选择题1.﹣的相反数是()A.B.﹣C.﹣2 D.2【考点】相反数.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.【解答】解:﹣的相反数是,故选:A.【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.2.下列计算正确的是()A.a2•a3=a5B.a+a=a2C.(a2)3=a5D.a2(a+1)=a3+1【考点】单项式乘多项式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.【分析】根据同底数幂的乘法法则:底数不变,指数相加,以及合并同类项:只把系数相加,字母及其指数完全不变,幂的乘方法则:底数不变,指数相乘,单项式与多项式相乘的运算法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加分别求出即可.【解答】解:A.a2•a3=a5,故此选项正确;B.a+a=2a,故此选项错误;C.(a2)3=a6,故此选项错误;D.a2(a+1)=a3+a2,故此选项错误;故选:A.【点评】此题主要考查了整式的混合运算,根据题意正确的掌握运算法则是解决问题的关键.3.在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析求解.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误.故选:C.【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.4.反比例函数y=的图象经过点(﹣2,5),则k的值为()A.10 B.﹣10 C.4 D.﹣4【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】将点(﹣2,5)代入解析式可求出k的值.【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(﹣2,5),∴2﹣3k=﹣2×5=﹣10,∴﹣3k=﹣12,∴k=4,故选C.【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.5.某药品原价每盒25元,两次降价后,每盒降为16元,则平均每次降价的百分率是()A.10% B.20% C.25% D.40%【考点】一元二次方程的应用.【专题】增长率问题.【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百分率),则第一次降价后的价格是25(1﹣x),第二次后的价格是25(1﹣x)2,据此即可列方程求解.【解答】解:设该药品平均每次降价的百分率为x,由题意可知经过连续两次降价,现在售价每盒16元,故25(1﹣x)2=16,解得x=0.2或1.8(不合题意,舍去),故该药品平均每次降价的百分率为20%.故选:B.【点评】本题考查数量平均变化率问题.原来的数量(价格)为a,平均每次增长或降低的百分率为x的话,经过第一次调整,就调整到a(1±x),再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a (1±x)2.增长用“+”,下降用“﹣”.6.已知抛物线的解析式为为y=(x﹣2)2+1,则当x≥2时,y随x增大的变化规律是()A.增大B.减小C.先增大再减小D.先减小再增大【考点】二次函数的性质.【分析】首先确定其对称轴,然后根据其开口方向和对称轴确定其增减性.【解答】解:∵抛物线y=(x﹣2)2+1的对称轴为x=2,且开口向上,∴当x≥2时,y随x增大而增大,故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,解题的关键是首先确定抛物线的对称轴,然后确定其增减性.7.如图,为了测量河两岸A、B两点的距离,在与AB垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB=α,那么AB等于()A.a•sinαB.a•tanαC.a•cosαD.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】根据题意,可得Rt△ABC,同时可知AC与∠ACB.根据三角函数的定义解答.【解答】解:根据题意,在Rt△ABC,有AC=a,∠ACB=α,且tanα=,则AB=AC×tanα=a•tanα,故选B.【点评】本题考查了解直角三角形的应用,要熟练掌握三角函数的定义.8.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于()A.B.C. D.【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.【分析】连接AM,根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC,根据勾股定理求得AM的长,再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长.【解答】解:连接AM,∵AB=AC,点M为BC中点,∴AM⊥CM(三线合一),BM=CM,∵AB=AC=5,BC=6,∴BM=CM=3,在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,∴根据勾股定理得:AM===4,又S=MN•AC=AM•MC,△AMC∴MN==.故选:C.【点评】综合运用等腰三角形的三线合一,勾股定理.特别注意结论:直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.9.如图所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A.B.C.D.【考点】平行线分线段成比例.【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.【解答】解:∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DEFB是平行四边形,∴DE=BF,BD=EF;∵DE∥BC,∴==,==,∵EF∥AB,∴=, =,∴,故选C.【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.找准对应关系,避免错选其他答案.10.如图,在四边形ABCD中,动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止.在这个过程中,△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是()A. B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【专题】压轴题;动点型.【分析】根据实际情况来判断函数图象.【解答】解:当点p由点A运动到点B时,△APD的面积是由小到大;然后点P由点B运动到点C时,△APD的面积是不变的;再由点C运动到点D时,△APD的面积又由大到小;再观察图形的BC<AB<CD,故△APD的面积是由小到大的时间应小于△APD的面积又由大到小的时间.故选B.【点评】应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量.二.填空题11.将38000用科学记数法表示为 3.8×104.【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:38000=3.8×104,故答案为:3.8×104.【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.12.函数y=中自变量x的取值范围是x≠﹣.【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可.【解答】解:由题意得,3x+1≠0,解得x≠﹣.故答案为:x≠﹣.【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.13.计算:﹣= .【考点】二次根式的加减法.【专题】计算题.【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可得出答案.【解答】解:原式=3﹣=2.故答案为:2.【点评】此题考查了二次根式的加减运算,属于基础题,解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并,难度一般.14.把多项式xy2﹣4x分解因式的结果为x(y+2)(y﹣2).【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】计算题;因式分解.【分析】原式提取x,再利用平方差公式分解即可.【解答】解:原式=x(y2﹣4)=x(y+2)(y﹣2),故答案为:x(y+2)(y﹣2)【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.15.不等式组的整数解是 2 .【考点】一元一次不等式组的整数解.【分析】解一元一次不等式组得出x的取值范围,再去其内的整数,即可得出结论.【解答】解:,解不等式①得:x>1;解不等式②得:x<3.∴不等式组的解为1<x<3,∴不等式组的整数解是2.故答案为:2.【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.16.方程=的解为x=5 .【考点】解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得3(x﹣1)=2(x+1),去括号得:3x﹣3=2x+2,解得:x=5,检验:当x=5时,(x+1)(x﹣1)≠0,则原方程的解为x=5.故答案为x=5.【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.17.如图,在▱ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则= .【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】由DE、EC的比例关系式,可求出EC、DC的比例关系;由于平行四边形的对边相等,即可得出EC、AB的比例关系,易证得△EFC∽△BFA,可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系.【解答】解:∵DE:EC=1:2,∴EC:DC=2:3,;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴△ABF∽△CEF,∴BF:EF=AB:EC,∵AB:EC=CD:EC=3:2,∴BF:FE=3:2,故答案为:.【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.18.如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为4,则弦AB的长为4.【考点】垂径定理;线段垂直平分线的性质;勾股定理.【分析】连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长.【解答】解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=2,∵OC⊥AB,∴D为AB的中点,则AB=2AD=2=2=4.故答案为:4.【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解本题的关键.19.在△ABC中,AC=6,点D为直线AB上一点,且AB=3BD,直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为,并且CD⊥AC,则BC的长为或15 .【考点】解直角三角形.【分析】如图1中,当点D在AB的延长线上时,作BE⊥CD垂足为E,先求出BE,EC,在RT△BCE 中利用勾股定理即可解决,如图2中,当点D在线段AB上时,作BE⊥CD于E,方法类似第一种情形.【解答】解:如图1中,当点D在AB的延长线上时,作BE⊥CD垂足为E,∵AC⊥CD,∴AC∥BE,∴==,∵AC=6,∴BE=,∵tan∠BCE=,∴EC=2BE=3,∴BC===.如图2中,当点D在线段AB上时,作BE⊥CD于E,∵AC∥BE,AC=6,∴==,∴BE=3,∵tan∠BCE=,∴EC=2BE=6,∴BC==15.故答案为:或15.【点评】本题考查解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是添加辅助线,利用平行线的性质解决问题,属于中考常考题型.20.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,点G是线段DE上一点,且∠EGF=45°,若AB=10,则DG= .【考点】正方形的性质.【分析】如图,连接EF、DF,作FM⊥DE于M.先求出△DEF的面积,再求出高FM,利用勾股定理求出EM、DM,利用等腰三角形的性质求出DG即可解决问题.【解答】解:如图,连接EF、DF,作FM⊥DE于M.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=10,∵AE=EB=BF=FC=5,∴ED==5,EF==5,∴S=100﹣×10×5﹣×10×5﹣×5×5=×DE•FM,△DEF∴FM=3,在Rt△EFM中,EM==,∴DM=DE﹣EM=4,∵∠MGF=45°,∴∠MGF=∠MFG=45°,∴MG=FM=3,∴DG=DM﹣MG=.故答案为.【点评】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用分割法求三角形面积,学会添加常用辅助线,构造直角三角形,属于中考常考题型.三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共60分)21.先化简,再求代数式÷的值,其中m=tan60°﹣2sin30°.【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值.【分析】根据特殊角的三角函数值求出m的值,再把要求的代数式进行化简,然后代值计算即可.【解答】解:∵m=tan60°﹣2sin30°=﹣2×=﹣1,∴÷=×===.【点评】此题考查了分式的化简求值,用到的知识点是特殊角的三角函数值、完全平方公式和平方差公式,关键是把要求的代数式化到最简,再代值计算.22.图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长为1,点A、B、D在小正方形的顶点上.(1)在图a中画出△ABC(点C在小正方形顶点上),使△ABC是等腰三角形,且∠ABC=45°;(2)在图b中画出△DEF(E、F在小正方形顶点上),使△DEF∽ABC且相似比为1:.【考点】作图—相似变换;等腰三角形的判定;勾股定理.【分析】(1)根据题意画出等腰三角形;(2)根据图a,按比例画出图b.【解答】(1)解:如图a(2)如图b.【点评】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、作图相似变换,要充分利用网格.23.南岗区某中学的王老师统计了本校九年一班学生参加体育达标测试的报名情况,并把统计的数据绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中提供的数据回答下列问题:(1)该学校九年一班参加体育达标测试的学生有多少人?(2)补全条形统计图的空缺部分;(3)若该年级有1200名学生,估计该年级参加仰卧起坐达标测试的有多少人?【考点】扇形统计图;条形统计图.【专题】图表型.【分析】(1)用参加坐位体前摆的人数与仰卧起坐的人数的人数除以其所占的百分比即可得到测试人数;(2)用总人数减去其他各项人数即可得到参加立定跳远的人数,补全统计图即可;(3)用总人数乘以其所占的比即可得到参加仰卧起坐的人数.【解答】解:(1)由图可知,坐位体前摆的人数与仰卧起坐的人数是25+20=45人,这些人占班级参加测试总人数的百分数为(1﹣10%)=90%,所以这个班参加测试的学生有 45÷90%=50人,答:该学校九年级一班参加体育达标测试的学生有50人.(2)立定跳远的人数为50﹣25﹣20=5人,(3)用样本估计总体,全校参加仰卧起坐达标测试的人数有1200×(20÷50)=480人,答:估计参加仰卧起坐测试的有480人.【点评】本题考查了扇形及条形统计图的知识,解题的关键是认真的读图并从中整理出进一步解题的信息.24.在△ABC中,点D在AB边上,AD=CD,DE⊥AC于点E,CF∥AB,交DE的延长线于点F.(1)如图1,求证:四边形ADCF是菱形;(2)如图2,当∠ACB=90°,∠B=30°时,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中与线段AC 相等的线段(线段AC除外).【考点】菱形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】(1)如图1,利用等腰三角形的性质得∠DCA=∠ADC,CE=AE,再利用CF∥AB得到∠ECF=∠EAD,则∠DCA=∠ECF,于是根据等腰三角形的判定方法可得CD=CF,所以四边形ADCF为平行四边形,加上DA=DC可判断四边形ADCF是菱形;(2)如图2,先证明△ADC为等边三角形得到AC=AD=CD,∠ACD=60°,再利用菱形的性质可得AC=AD=DC=CF=AF,然后证明BD=CD即可.【解答】解:(1)证明:如图1,∵AD=CD,DE⊥AC,∴∠DCA=∠ADC,CE=AE,∵CF∥AB,∴∠ECF=∠EAD,∴∠DCA=∠ECF,即CE平分∠DCF,而CE⊥DF,∴CD=CF,∴AD∥CF,∴四边形ADCF为平行四边形,而DA=DC,∴四边形ADCF是菱形;(2)如图2,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,而DA=DC,∴△ADC为等边三角形,∴AC=AD=CD,∠ACD=60°,∵四边形ADCF为菱形,∴AC=AD=DC=CF=AF,∵∠B=∠DCB=30°,∴BD=CD,∴AC=AD=DC=CF=AF=BD.【点评】本题考查了菱形的判定与性质:菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形).;菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.25.(10分)(•哈尔滨)荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半.(1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元?(2)经商谈,商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元,那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯?【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.【专题】应用题.【分析】(1)设购买该品牌一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元.则根据等量关系:购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半,列出方程;(2)设公司购买台灯的个数为a,则还需要购买手电筒的个数是(2a+8)个,则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式.【解答】解:(1)设购买该品牌一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元.根据题意得=×解得 x=5经检验,x=5是原方程的解.所以 x+20=25.答:购买一个台灯需要25元,购买一个手电筒需要5元;(2)设公司购买台灯的个数为a,则还需要购买手电筒的个数是(2a+8﹣a)由题意得 25a+5(2a+8﹣a)≤670解得 a≤21∴荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯.【点评】本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量(不等量)关系.26.已知,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,动点M、N分别在线段OC、CD上,AM的延长线与射线ON相交于点E,与弦CD相交于点F.(1)如图1,若DN=OM,求证:AM=ON;(2)如图2,点P是弦CD上一点,若AP=OP,∠APO=90°,求∠COP的度数;(3)在(1)的条件下,若AB=20,cos∠AOC=,当点E在ON的延长线上,且NE=NF时,求线段EF的长.【考点】圆的综合题.【分析】(1)先判断出∠BOD=∠NDO,进而得出∠AOC=∠CDO,即可得出△AMO≌△OND,结论得证;(2)构造出直角三角形,先判断出PH=OA,即可得出CG=OC,进而求出∠AOC=30°,最后用角的差,即可得出结论.(3)先求出CD=2CG=16,再判断出△AOE≌△COD,进而判断出四边形AODF是平行四边形,最后用线段的差即可得出结论;【解答】解:(1)如图1,连接OD,∴OA=OD,∵CD∥AB,∴∠BOD=∠NDO,,∴∠AOC=∠BCD,∴∠AOC=∠CDO,在△AMO和△OND中,,∴△AMO≌△OND,∴AM=ON,(2)如图2,过点C作CG⊥AB,PH⊥AB,∴CG=PH,∵AP=OP,∠APO=90°,∴∠AOP=45°,PH=OA,∴CG=OA=OC,∴∠AOC=30°,∴∠COP=∠AOP﹣∠AOC=15°.(3)如图3,作OG⊥CD于G,连接OD,∵AB=20,∴OC=10CG=OC•cos∠C=OC•cos∠AOC=10×=8 ∴CD=2CG=16∵NE=NF,∴∠E=∠EFN∵CD∥AB,∴∠EFN=∠A∴∠E=∠A,∴OE=OA∵CD∥AB,∴∠BOD=∠D=∠C=∠AOC∴∠AOE=∠COD∴△AOE≌△COD,∴AE=CD=16∵△AOM≌△ODN,∴∠NOD=∠A=∠E∴AE∥OD,∴四边形AODF是平行四边形∴AF=OD=10∴EF=AE﹣AF=16﹣10=6,【点评】此题是四边形综合题,主要考查了圆的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,得出△AOE≌△COD是解本题的关键.27.如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, =.(1)求m的值;(2)如图2,连接BC,点P为点B右侧的抛物线上一点,连接PA并延长交y轴于点D,过点P作PF⊥x轴于F,交线段CB的延长线于点E,连接DE,求证:DE∥AB;(3)在(2)的条件下,点G在线段PE上,连接DG,若EG=2PG,∠DPE=2∠GDE时,求点P的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)先求出A、B两点坐标,再根据条件求出点C坐标,即可解决问题.(2)如图1中,设P(t,t2﹣6t+5),想办法求出D、E两点坐标(用t表示),只要纵坐标相同即可证明.(3)如图3中,在DE上截取一点M,使得DM=MG.设P(t,t2﹣6t+5).则PE=t2﹣5t.,设DM=MG=a,在Rt△MGE中,a2=(t﹣a)2+[(t2﹣5t)]2,求出a,再根据tan∠DPE=tan∠GME,得=,列出方程即可解决问题.【解答】解:(1)对于抛物线y=mx2﹣6mx+5m,令y=0,得mx2﹣6mx+5m=0,解得x=1或5,∴A(1,0),B(5,0),∴AB=4,∵=,∴OC=5,∴5m=5,∴m=1.(2)如图2中,设P(t,t2﹣6t+5).∵OC=OB=5,∠AOB=90°,∴∠OCB=∠OBC=∠EBF=45°,∵PE⊥AB于F,∴△BEF是等腰直角三角形,∴BF=EF=t﹣5,∴点E坐标(t,5﹣t),∵A(1,0),P(t,t2﹣6t+5),设直线AP的解析式为y=kx+b,则有,解得,∴D(0,5﹣t),∴D、E两点纵坐标相同,∴DE∥AB.(3)如图3中,在DE上截取一点M,使得DM=MG.设P(t,t2﹣6t+5).则PE=t2﹣5t.∵EG=2PG,∴GE=(t2﹣5t),∵MD=MG,设DM=MG=a,∴∠MDG=∠MGD,∴∠GME=2∠MDG,∵∠DPE=2∠GDE,∴∠DPE=∠GME,∴tan∠DPE=tan∠GME,∴=,在Rt△MGE中,a2=(t﹣a)2+[(t2﹣5t)]2,∴a=t3﹣t2+t,∴EM=t﹣a=﹣t3+t2﹣t,∴=,整理得到16t2﹣160t+391=0,解得t=或(舍弃),∴点P坐标(,).【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数,构建方程解决问题,计算比较复杂,属于中考压轴题.。
哈尔滨市九年级上学期数学期中考试试卷
哈尔滨市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题;共9分)1. (1分) (2019七下·邓州期中) 不等式组的解集在数轴上表示为()A .B .C .D .2. (1分) (2017九上·汉阳期中) 用配方法解方程x2+10x+9=0,下列变形正确的是()A . (x+5)2=16B . (x+10)2=91C . (x﹣5)2=34D . (x+10)2=1093. (1分) (2017八上·西湖期中) 下面四个手机应用软件图标中是轴对称图形的是().A .B .C .D .4. (1分) (2017九上·汉阳期中) 下列方程中,没有实数根的方程式()A . x2=9B . 4x2=3(4x﹣1)C . x(x+1)=1D . 2y2+6y+7=05. (1分) (2017九上·汉阳期中) 二次函数的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是()A . 抛物线开口向下B . 抛物线经过点(2,3)C . 抛物线的对称轴是直线x=1D . 抛物线与x轴有两个交点6. (1分) (2017九上·汉阳期中) 商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()A . 289(1- )2=256B . 256(1- )2=289C . 289(1-2 )=256D . 256(1-2 )=2897. (1分) (2017九上·汉阳期中) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+5经过A(2,5),B(﹣1,2)两点,若点C在该抛物线上,则C点的坐标可能是()A . (﹣2,0)B . (0.5,6.5)C . (3,2)D . (2,2)8. (1分) (2017九上·汉阳期中) 已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,且当x=a与x=a+n时,x2+bx+c=m,则m、n的关系为(A . m= nB . m= nC . m= n2D . m= n29. (1分)(2017·江北模拟) 如图,一场篮球赛中,篮球运动员跳起投篮,已知球出手时离地面高2.2m,与篮圈中心的水平距离为8m,当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m,篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分,篮圈中心距离地面3m,运动员发现未投中,若假设出手的角度和力度都不变,要使此球恰好通过篮圈中心,运动员应该跳得()A . 比开始高0.8mB . 比开始高0.4mC . 比开始低0.8mD . 比开始低0.4m二、填空题 (共4题;共4分)10. (1分)(2018·武汉模拟) 将对边平行的纸带折叠成如图所示,已知∠1=52°,则∠α=________.11. (1分)已知点A(-4,m)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________.12. (1分) (2017九上·汉阳期中) 如图,用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15m,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围,篱笆长为24m,若围成的花圃面积为40m2时,平行于墙的BC边长为________m.13. (1分) (2017九上·汉阳期中) 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,以PB为边作等边△PBM,则线段AM的长最大值为________.三、解答题 (共8题;共16分)14. (1分) (2016七上·岑溪期末) 用适当的方法解方程组.15. (1分) (2017九上·汉阳期中) 如图,正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF.连接DE、DF.求证:DE=DF.16. (2分) (2017九上·汉阳期中) 已知y是x的函数,自变量x的取值范围x>0,下表是y与x的几组对应值:小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表格中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;(2)根据画出的函数图象,写出:①x=4对应的函数值y约为________;②该函数的一条性质:________.17. (2分) (2017九上·汉阳期中) 关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1 ,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若方程两实根x1 , x2满足|x1|+|x2|=x1·x2 ,求k的值.18. (2分) (2017九上·汉阳期中) 如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,边BC上的中线AD=6.(1)以点D为对称中心,作出△ABD的中心对称图形;(2)求点A到BC的距离.19. (3分) (2017九上·汉阳期中) 某商场销售一种产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定位3000元,该商场为了促销,规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元;(1)设一次购买这种产品x(x≥10)件,商场所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)在客户购买产品的件数尽可能少的前提下,商场所获的利润为12000元,此时该商场销售了多少件产品?(3)填空:该商场的销售人员发现,当客户一次购买产品的件数在某一个区间时,会出现随着一次购买的数量的增多,商场所获的利润反而减少这一情况,客户一次购买产品的数量x满足的条件是 ________(其它销售条件不变)20. (3分) (2017九上·汉阳期中) 已知在△ABC中,∠BAC=60°,点P为边BC的中点,分别以AB和AC 为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且∠DAB=∠EAC=α,连结PD,PE,DE.(1)如图1,若α=45°,则 =________(2)如图2,若α为任意角度,求证:∠PDE=α;(3)如图3,若α=15°,AB=8,AC=6,则△PDE的面积为________21. (2分) (2017九上·汉阳期中) 如图,将函数y=x2﹣2x(x≥0)的图象沿y轴翻折得到一个新的图象,前后两个图象其实就是函数y=x2﹣2|x|的图象.(1)观察思考函数图象与x轴有________个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有________个实数根;方程x2﹣2|x|=2有________个实数根;关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是________;(2)拓展探究①如图2,将直线y=x+1向下平移b个单位,与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点,求b的值;②如图3,将直线y=kx(k>0)绕着原点旋转,与y=x2﹣2|x|的图象交于A、B两点(A左B右),直线x=1上有一点P,在直线y=kx(k>0)旋转的过程中,是否存在某一时刻,△PAB是一个以AB为斜边的等腰直角三角形(点P、A、B按顺时针方向排列).若存在,请求出k值;若不存在,请说明理由.参考答案一、单选题 (共9题;共9分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共4题;共4分)10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共8题;共16分)14-1、15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、第11 页共11 页。
黑龙江省哈尔滨市第三十九中学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三十九中学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题A .1个B .26.若点(3,),(1,),(2,A a B b C --小关系用“<”连接的结果为(A .b a c <<B .7.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点A .1B .9.如图,在ABC 中,点②ADC ACB ∠=∠;③2AC 似的条件是()A .①、②、③B .①、③、④10.如图,小磊老师从甲地去往路维修,速度变为原来的四分之一,过了维修道路后又变为原来的速度到达乙地.设小磊老师行驶的时间为x (分钟)的函数关系,则小磊老师从甲地到达乙地所用的时间是(A .15分钟B .20分钟二、填空题11.函数14y x =+中自变量x 的取值范围是12.已知反比例函数y =k x 的图象经过点(的中线,点17.如图所示,AD是ABCAE.AC=是等腰三角形,18.如图,ABC两点,过点C作CD∥y轴交双曲线于点19.在菱形ABCD 中,5AB =,tan BPC ∠=.20.如图,在四边形ABCD 中,13AB AC ==,4BC =,ADB ∠三、计算题21.先化简,再求值:211x x ⎛÷ -⎝四、作图题22.如图,在小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB ,点A ,B 均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出一个以线段AB 为一边的平行四边形ABCD ,点C ,D 均在小正方形的顶点上,且平行四边形ABCD 的面积为10;(2)在图中画一个钝角三角形ABE ,点E 在小正方形的顶点上,且三角形ABE 面积为五、证明题23.如图,等边ABC 的边长为3,P 为BC 上一点,且1BP =,D 为AC 上一点,且60APD ∠=︒.(1)求证:ABP PCD △△∽;(2)求AD 的长.六、问答题24.2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂10m AC BC ==,两臂夹角100ACB ∠=参考数据sin500.766︒≈,cos500.643︒≈25.如图,反比例函数k y x=与一次函数在第四象限的交点为C ,直线AO (O 为坐标原点)点A 作y 轴的平行线,过点B 作x 轴的平行线,两直线相交于点(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少;(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥?27.已知,如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线点B,与y轴交于点C,点A是x轴正半轴上一点,且满足(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点,求抛物线的解析式;(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点,过点M 作MP y ∥轴,交。
黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学期中考试试卷
黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题;共20分)1. (2分) (2019九上·郑州期中) 下列各式中是一元二次方程的有()A . 3x2=1B . x2+y2=4C .D . xy=22. (2分) (2018九上·长兴月考) 抛物线y=(x-2)2的对称轴是()A . 直线x=-1B . 直线x=1C . 直线x=-2D . 直线x=23. (2分) (2020九下·滨湖月考) 若将抛物线y=x2平移,得到新抛物线,则下列平移方法中,正确的是()A . 向左平移3个单位B . 向右平移3个单位C . 向上平移3个单位D . 向下平移3个单位4. (2分) (2020九上·鹿城月考) 下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转120°后,能与原图形完全重合的是()A .B .C .D .5. (2分)在如图直角坐标系内,四边形AOBC是边长为2的菱形,E为边OB的中点,连结AE与对角线OC 交于点D,且∠BCO=∠EAO,则点D坐标为()A . (,)B . (1,)C . (,)D . (1,)6. (2分)已知⊙O的半径为3,一点到圆心的距离是5,则这点在()A . 在⊙O内B . 在⊙O上C . 在⊙O外D . 不能确定7. (2分)如图,在宽为,长为的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为,求道路的宽.如果设小路宽为,根据题意,所列方程正确的是().A .B .C .D .8. (2分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(﹣2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴()A . 只能是x=﹣1B . 可能是y轴C . 可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D . 可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧9. (2分)(2020·遵义模拟) 如图,以正方形的顶点为坐标原点,直线为轴建立直角坐标系,对角线与相交于点,为上一点,点坐标为,则点绕点顺时针旋转90°得到的对应点的坐标是()A .B .C .D .10. (2分)(2019·苏州模拟) 如图,⊙ 中,直径与弦相交于点,连接,过点的切线与的延长线交于点,若,则的度数等于()A . 30°B . 35°C . 40°D . 45°二、填空题 (共5题;共5分)11. (1分) (2020八下·柯桥期末) 将方程x(x﹣2)=x+3化成一般形式后,二次项系数为________.12. (1分) (2016九上·大石桥期中) 已知函数是关于x的二次函数,则m的值为________.13. (1分) (2019八上·深圳月考) 如图,在边长为4的正方形中,是边的中点,将沿对折至,延长交于点,连接,则的长为________.14. (1分) (2018九上·青海期中) 若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,OB=2,则点A关于原点对称的点的坐标为________.15. (1分)(2018·南充) 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,顶点P(m,n).给出下列结论:①2a+c<0;②若(﹣,y1),(﹣,y2),(,y3)在抛物线上,则y1>y2>y3;③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解,则k>c﹣n;④当n=﹣时,△ABP为等腰直角三角形.其中正确结论是________(填写序号).三、解答题 (共8题;共60分)16. (10分) (2019九上·綦江月考) 解下列方程(1)(2)17. (2分)(2020·聊城) 如图,在 ABC中,AB=BC,以△ABC的边AB为直径作⊙O,交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.(1)试证明DE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为5,AC=6 ,求此时DE的长.18. (5分)用反证法证明:若二次方程8x2﹣(k﹣1)x+k﹣7=0有两个不等实数根,则两根不可能互为倒数.19. (10分)如图所示,已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A(﹣4,0),B(2,0).(1)用尺规作图作出点C,并求出点C的坐标;(2)求△ABC的面积.20. (11分) (2019九上·西城期中) 某水果批发市场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元,日销售量将减少20千克.(1)如果市场某天销售这种水果盈利了6 000元,同时顾客又得到了实惠,那么每千克这种水果涨了多少元?(2)设每千克这种水果涨价x元时(0<x≤25),市场每天销售这种水果所获利润为y元.若不考虑其他因素,单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元时,市场每天销售这种水果盈利最多?最多盈利多少元?21. (2分) (2020九上·台州月考) 如图,在平面直角坐标系中,△ 的三个顶点坐标分别为,, .( 1 )画出将△ 向左平移4个单位得到的△ ,并写出的坐标;( 2 )画出将△ 绕点逆时针旋转得到的△ ,并写出的坐标.22. (10分) (2020九上·覃塘期末) 把一副三角板按如图1所示放置,其中点在边上,,斜边 .将三角板绕点顺时针旋转,记旋转角为 .(1)在图1中,设与的交点为,则线段AF的长为________;(2)当时,三角板旋转到,的位置(如图2所示),连接,请判断四边形的形状,并证明你的结论;(3)当三角板旋转到的位置(如图3所示)时,此时点恰好在的延长线上.①求旋转角的度数;②求线段的长.23. (10分)(2014·宿迁) 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(﹣2,0),(8,0),(0,﹣4);①求此抛物线的表达式与点D的坐标;②若点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最大值;(2)如图2,若a=1,求证:无论b,c取何值,点D均为定点,求出该定点坐标.参考答案一、选择题 (共10题;共20分)答案:1-1、考点:解析:答案:2-1、考点:解析:答案:3-1、考点:解析:答案:4-1、考点:解析:答案:5-1、考点:解析:答案:6-1、考点:解析:答案:7-1、考点:解析:答案:8-1、考点:解析:答案:9-1、考点:解析:答案:10-1、考点:解析:二、填空题 (共5题;共5分)答案:11-1、考点:解析:答案:12-1、考点:解析:答案:13-1、考点:解析:答案:14-1、考点:解析:答案:15-1、考点:解析:三、解答题 (共8题;共60分)答案:16-1、答案:16-2、考点:解析:答案:17-1、答案:17-2、考点:解析:答案:18-1、考点:解析:答案:19-1、答案:19-2、考点:解析:答案:20-1、答案:20-2、考点:解析:答案:21-1、考点:解析:答案:22-1、答案:22-2、答案:22-3、考点:解析:答案:23-2、考点:解析:。
_ 黑龙江省哈尔滨市部分学校2020——2021学年九年级上学期期中数学试卷(五四学制)解析版
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市部分学校九年级(上)期中数学试卷(五四学制)一、选择题(每题3分,共计30分)1.﹣3的倒数是()A.B.﹣C.3D.﹣32.下列运算正确的是()A.6a﹣5a=1B.(a2)3=a5C.3a2+2a3=5a5D.a6•a2=a83.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.B.C.D.4.下列几何体各自的三视图中,只有两个视图相同的是()A.①③B.②③C.③④D.②④5.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A.y=(x+3)2﹣2B.y=(x﹣3)2+2C.y=(x+3)2+2D.y=(x﹣3)2﹣2 6.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α,AC=2,则树高BC为()(用含α的代数式表示)A.2sinαB.2tanαC.2cosαD.7.如图,BM为⊙O的切线,点B为切点,点A、C在⊙O上,连接AB、AC、BC,若∠MBA=130°,则∠ACB的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°8.抛物线y=x2+2x+1的对称轴是()A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线y=1D.直线y=﹣1 9.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为()A.20%B.40%C.18%D.36%10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是()A.=B.=C.=D.=二、填空题(每小题3分,共计30分)11.将20300000用科学记数法表示为.12.在函数y=中,自变量x的取值范围是.13.计算2+的结果为.14.不等式组的解集是.15.反比例函数的图象在每个象限内,y随x的增大而增大,则a的值可以是.(写出一个符合条件的实数即可)16.一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm.则扇形的弧长为cm.17.汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s=30t﹣6t2,汽车刹车后到停下来前进了米.18.如图,在平面直角坐标中,点O为坐标原点,直线y=kx﹣2k(k<0)交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,若BC平分∠ABO交OA于点C,AC=2OC,则k 的值为.19.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E、F分别是AD、BC的中点,G是对角线AC上的点,∠EGF=90°,则AG的长为.20.如图,△ABC中,CA=CB,点E在BC边上,点D在AC边上,连接AE、DE,若AB =AE,2∠AEB+∠ADE=180°,BE=8,CD=,则CE=.三、解答题(21、22题每题7分,23、24题每题8分,25、26、27题每题10分)21.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=3tan30°+2cos60°.22.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位,再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1,点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1,请画出△A1B1C1;(2)将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°,得△A2B1C2,点A1、C1对应点分别是A2、C2,请画出△A2B1C2;(3)连接CA2,直接写出CA2的长.23.某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度,随机抽取了部分居民作问卷调查:用“A”表示“相当满意”,“B”表示“满意”,“C”表示“比较满意”,“D”表示“不满意”,下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息解答以下问题:(1)本次问卷调查,共调查了多少人.(2)将图(2)中“B”部分的图形补充完整.(3)如果该社区有居民2000人,请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人?24.如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠EAD,AB=AC,AD=AE,连接CD、AE 交于点F.(1)求证:∠DCE=∠BAC;(2)当∠BAC=∠EAD=30°,AD⊥AB时(如图2),延长DC、AB交于点G,请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形.25.某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件.若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的,已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元.(1)求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元?(2)若商店一次性购买A、B纪念品共200件,要使总费用不超过3000元,最少要购买多少件B种纪念品?26.△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D.(1)如图(1),连接OB,求证:∠CAD=∠ABO;(2)如图(2),BE⊥AC于点E交AD于F,tan∠ACB=,连接OA,求的值;(3)如图(3),在(2)的条件下,延长AO交BC于H,点G在AF上,且FD=GF,GA=GD,连接OG、EH,若OG=,求EH的长.27.抛物线y=ax2﹣6ax+4(a≠0)交y轴正半轴于点C,交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,且AB=10.(1)如图(1),求抛物线的解析式;(2)如图(2),连接BC,点P为第一象限抛物线上一点,设点P横坐标为t,△PBC 的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不用写出自变量t的取值范围);(3)如图(3),在(2)的条件下,连接P A交y轴于点D,过点P作x轴的垂线,分别交x轴于点E,交BC于点F,连接DF,当∠APE+∠CFD=90°时,在抛物线上是否存在点Q,使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市部分学校九年级(上)期中数学试卷(五四学制)参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.﹣3的倒数是()A.B.﹣C.3D.﹣3【分析】根据倒数的概念:乘积是1的两数互为倒数可得答案.【解答】解:﹣3的倒数是﹣,故选:B.2.下列运算正确的是()A.6a﹣5a=1B.(a2)3=a5C.3a2+2a3=5a5D.a6•a2=a8【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可.【解答】解:A、6a﹣5a=a≠1,本选项错误;B、(a2)3=a6≠a5,本选项错误;C、3a2+2a3≠5a5,本选项错误;D、a6•a2=a8,本选项正确.故选:D.3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;故选:A.4.下列几何体各自的三视图中,只有两个视图相同的是()A.①③B.②③C.③④D.②④【分析】分别分析四个几何体的三视图,从中找出只有两个视图相同的几何体,可得出结论.【解答】解:①正方形的主、左和俯视图都是正方形;②圆锥的主、左视图是三角形,俯视图是显示圆心的圆;③球体的主、左和俯视图都是圆形;④圆柱的主、左视图是长方形,俯视图是圆;只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱体.故选:D.5.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A.y=(x+3)2﹣2B.y=(x﹣3)2+2C.y=(x+3)2+2D.y=(x﹣3)2﹣2【分析】根据二次函数变化规律:左加右减,上加下减,进而得出变化后解析式.【解答】解:∵抛物线y=x2向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,∴平移后的解析式为:y=(x﹣3)2+2.故选:B.6.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α,AC=2,则树高BC为()(用含α的代数式表示)A.2sinαB.2tanαC.2cosαD.【分析】根据题意可知BC⊥AC,在Rt△ABC中,AC=7米,∠BAC=α,利用锐角三角函数的定义即可求出BC的高度.【解答】解:∵BC⊥AC,AC=2,∠BAC=α,∴tanα=,∴BC=AC•tanα=2tanα,故选:B.7.如图,BM为⊙O的切线,点B为切点,点A、C在⊙O上,连接AB、AC、BC,若∠MBA=130°,则∠ACB的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM=90°,求出∠AOB的度数,进而利用圆周角定理可得出答案.【解答】解:如图,连接OA,OB,∵BM为⊙O的切线,∴∠OBM=90°,∵∠MBA=130°,∴∠ABO=40°,∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=40°,∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°,∴∠ACB=∠AOB=50°,故选:B.8.抛物线y=x2+2x+1的对称轴是()A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线y=1D.直线y=﹣1【分析】由对称轴公式﹣可得对称轴.【解答】解:∵对称轴x=﹣=﹣=﹣1,∴对称轴是直线x=﹣1.故选:B.9.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为()A.20%B.40%C.18%D.36%【分析】设降价的百分率为x,根据降低率的公式a(1﹣x)2=b建立方程,求解即可.【解答】解:设降价的百分率为x根据题意可列方程为25(1﹣x)2=16解方程得,(舍)∴每次降价的百分率为20%故选:A.10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是()A.=B.=C.=D.=【分析】根据相似三角形的判定和性质进行判断即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BF,BE∥DC,AD=BC,∴,,,故选:C.二.填空题11.将20300000用科学记数法表示为 2.03×107.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:数字20300000科学记数法可表示为2.03×107.故答案为:2.03×107.12.在函数y=中,自变量x的取值范围是x≠2.【分析】根据函数表达式是整式时,自变量可取全体实数解答.【解答】解:当x﹣2≠0,即x≠2时,函数y=有意义.故答案为:全x≠2.13.计算2+的结果为3.【分析】首先化简二次根式,进而合并求出答案.【解答】解:原式=2×+2=3.故答案为:3.14.不等式组的解集是x≤2.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解:解不等式6﹣3x≥0,得:x≤2,解不等式2x<x+4,得:x<4,则不等式组的解集为x≤2,故答案为x≤2.15.反比例函数的图象在每个象限内,y随x的增大而增大,则a的值可以是﹣4.(写出一个符合条件的实数即可)【分析】根据反比例函数的性质解答.【解答】解:依题意有a+3<0,则a<﹣3.故a的值可以是﹣4.(答案不唯一,符合条件的实数即可.)16.一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm.则扇形的弧长为2πcm.【分析】根据弧长公式可得结论.【解答】解:根据题意,扇形的弧长为=2π,故答案为:2π17.汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s=30t﹣6t2,汽车刹车后到停下来前进了米.【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可.【解答】解:∵s=30t﹣6t2=﹣6(t﹣)2+,∴汽车刹车后到停下来前进了m.故答案为:.18.如图,在平面直角坐标中,点O为坐标原点,直线y=kx﹣2k(k<0)交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,若BC平分∠ABO交OA于点C,AC=2OC,则k 的值为﹣.【分析】过点C作CD⊥AB于点D,则OC=CD,利用面积法结合AB=2OC,可得出AB=2OA,利用勾股定理可得出OA=OB,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA,OB的长,结合OA=OB可求出k值.【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,则OC=CD,如图所示.∵S△BOC=OC•OB,S△ABC=AC•OB=AB•CD,∴===2,∴AB=2OB,∴OA==OB.当x=0时,直线y=kx﹣2k=﹣2k,∴OB=﹣2k;当y=0时,y=kx﹣2k=0,解得:x=2,∴OA=2,∴2=×(﹣2k),∴k=﹣.故答案为:﹣.19.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E、F分别是AD、BC的中点,G是对角线AC上的点,∠EGF=90°,则AG的长为2或8.【分析】连接EF交AC于O,先证四边形ABFE是矩形,得EF=AB=6,EF∥AB,再证OF是△ABC的中位线,得OA=OC=AC=5,然后由直角三角形的性质得OG=EF=3,分两种情况求出即可.【解答】解:如图,连接EF交AC于点O,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠BAD=90°,AD=BC=8,AD∥BC,∴AC===10,∵E、F分别是AD、BC的中点,∴AE=BF=4,AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形,∵∠BAE=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴OF是△ABC的中位线,∴OA=OC=AC=5,∵∠EGF=90°,∴OG=EF=3,当点G在线段OA上时,AG=OA﹣OG=2,当点G在线段OC上时,AG′=OA+OG'=8;故答案为:2或8.20.如图,△ABC中,CA=CB,点E在BC边上,点D在AC边上,连接AE、DE,若AB =AE,2∠AEB+∠ADE=180°,BE=8,CD=,则CE=12.【分析】过点A作AM⊥BE于E,过点D作DN⊥EC于N,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠C=∠DEC,可得DE=DC=,通过证明△CDN∽△CAM,可得,即可求解.【解答】解:如图,过点A作AM⊥BE于E,过点D作DN⊥EC于N,∵CA=CB,AB=AE,∴∠B=∠CAB,∠B=∠AEB,∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∠B+∠AEB+∠BAE=180°,∴∠C=∠BAE,∴2∠AEB+∠C=180°,又∵2∠AEB+∠ADE=180°,∴∠C=∠ADE,又∵∠ADE=∠C+∠DEC,∴∠C=∠DEC,∴DE=DC=,∵AB=AE,AM⊥BE,DE=CC,DN⊥EC,∴BM=ME=BE=4,EN=NC=EC,AM∥DN,∴△CDN∽△CAM,∴,∴,∴EC=12,EC=﹣5(不合题意舍去),故答案为:12.三.解答题(共7小题)21.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=3tan30°+2cos60°.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值代入进行计算即可.【解答】解:原式=•=,∵x=3×+2×=+1,∴原式===.22.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位,再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1,点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1,请画出△A1B1C1;(2)将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°,得△A2B1C2,点A1、C1对应点分别是A2、C2,请画出△A2B1C2;(3)连接CA2,直接写出CA2的长.【分析】(1)将点A、B、C分别向上平移6个单位、向右平移3个单位得到平移后的对应点,再首尾顺次连接即可;(2)将点A1、C1分别绕B1点顺时针旋转90得到对应点,再与点B1首尾顺次连接即可;(3)利用勾股定理求解即可.【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图所示,△A2B1C2即为所求.(3)CA2==,故答案为:.23.某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度,随机抽取了部分居民作问卷调查:用“A”表示“相当满意”,“B”表示“满意”,“C”表示“比较满意”,“D”表示“不满意”,下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息解答以下问题:(1)本次问卷调查,共调查了多少人.(2)将图(2)中“B”部分的图形补充完整.(3)如果该社区有居民2000人,请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人?【分析】(1)根据条形图可得C人数为100人,根据扇形图可得C占总人数的20%,再用100除以20%可得答案;(2)首先利用总数减去各条的纵坐标可得答案;(3)利用样本估计总体的方法用2000乘以感到“不满意”的人数所占百分比.【解答】解:(1)100÷20%=500(人),本次问卷调查,共调查了500人.(2)500﹣200﹣100﹣50=150(人),如图.(3)如果该校有学生2000人,则该校学生对教学感到“不满意”的约有:2000×10%=200(人).24.如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠EAD,AB=AC,AD=AE,连接CD、AE交于点F.(1)求证:∠DCE=∠BAC;(2)当∠BAC=∠EAD=30°,AD⊥AB时(如图2),延长DC、AB交于点G,请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形.【分析】(1)如图1,先证明△ACD≌△ABE,得∠ACD=∠ABC,根据三角形内角和与平角定义得出结论;(2)如图2,图形中有四个等腰三角形:分别是①△ACF是等腰三角形,②△ADG是等腰直角三角形,③△DEF是等腰三角形;④△ECD是等腰三角形;根据已知角的度数依次计算各角的度数,根据两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论.【解答】证明:(1)如图1,∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ACD≌△ABE,∴∠ACD=∠ABC,∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠ECD+∠ACD+∠ACB=180°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠BAC+2∠ACB=180°,∠ECD+2∠ACB=180°,∴∠BAC=∠ECD;(2)如图2,①∵∠BAC=∠EAD=30°,∴∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=75°,由(1)得:∠ACD=∠ABC=75°,∠DCE=∠BAC=30°,∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°,∴∠CAE=30°,∴∠AFC=180°﹣30°﹣75°=75°,∴∠ACF=∠AFC,∴△ACF是等腰三角形,②∵∠BCG=∠DCE=30°,∠ABC=75°,∴∠G=45°,在Rt△AGD中,∠ADG=45°,∴△ADG是等腰直角三角形,③∠EDF=75°﹣45°=30°,∴∠DEF=∠DFE=75°,∴△DEF是等腰三角形;④∵∠ECD=∠EDC=30°,∴△ECD是等腰三角形.25.某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件.若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的,已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元.(1)求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元?(2)若商店一次性购买A、B纪念品共200件,要使总费用不超过3000元,最少要购买多少件B种纪念品?【分析】(1)设购买一件B种纪念品需x元,则购买一件A种纪念品需(x+4)元,根据数量=总价÷单价结合花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设购买m件B种纪念品,则购买(200﹣m)件A种纪念品,根据总价=单价×数量结合要使总费用不超过3000元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.【解答】解:(1)设购买一件B种纪念品需x元,则购买一件A种纪念品需(x+4)元,依题意,得:=×,解得:x=12,经检验,x=12是原方程的解,且符合题意,∴x+4=16.答:购买一件A种纪念品需16元,购买一件B种纪念品需12元.(2)设购买m件B种纪念品,则购买(200﹣m)件A种纪念品,依题意,得:16(200﹣m)+12m≤3000,解得:m≥50.答:最少要购买50件B种纪念品.26.△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D.(1)如图(1),连接OB,求证:∠CAD=∠ABO;(2)如图(2),BE⊥AC于点E交AD于F,tan∠ACB=,连接OA,求的值;(3)如图(3),在(2)的条件下,延长AO交BC于H,点G在AF上,且FD=GF,GA=GD,连接OG、EH,若OG=,求EH的长.【分析】(1)如图,延长BO交⊙O于E,连接AE.利用等角的余角相等解决问题即可.(2)如图(2)中,过点O作OT⊥AC于T.证明△ADB∽△ATO,可得=,解决问题.(3)如图3中,作OR⊥AD于R,延长AD交⊙O于K,延长AH交⊙O于W,连接BW,则OR∥CD,AR=KR=AK,AW是直径,由题意设AD=20x(x>0),则CD=15x,得出DG=AG=10x,DE=GE=5x,证出∠BED=∠ACD,由三角函数定义得出BD=DE=x,由勾股定理得出AB=x,得出∠ABW=90°,由相交线定理求出DK =5x,得出AK=AD+DK=25x,AR=x,求出GR=AR﹣AG=x,由三角函数定义求出AW=AB=x,由勾股定理得出KW=x,由三角形中位线定理得出OR =KW=x,在Rt△OGR中,由勾股定理得出方程:(x)2+(x)2=()2,解方程得出OR=,AR=,CD=15x=9,AD=20x=12,证明△AOR∽△AHD,得出=,得出DH=4,即可得出CH的长.【解答】(1)证明:如图(1)中,延长BO交⊙O于E,连接AE.∵BE是直径,∴∠BAE=90°,∴∠ABO+∠E=90°,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC+∠C=90°,∵∠E=∠C,∴∠CAD=∠ABO.(2)解:如图(2)中,过点O作OT⊥AC于T.∵AD⊥BC,由(1)可知,∠OAT=∠BAD,∵∠ADB=∠ATO=90°,∴△ADB∽△ATO,∴=,∵∠ADC=90°,∴tan∠ACB==,∴可以假设AD=4k,CD=3k,则AC=5k,∵OT⊥AC,∴AT=CT=k,∴==.(3)如图3中,作OR⊥AD于R,延长AD交⊙O于K,延长AH交⊙O于W,连接BW,则OR∥CD,AR=KR=AK,AW是直径,由(1)得:∠ADC=90°,∵tan∠ACB==,∴设AD=20x(x>0),则CD=15x,∵E是GD中点,G是AD中点,∴DG=AG=10x,DE=GE=5x,由(2)得:BM⊥AC,∴∠CBF+∠AD=∠CBF+∠BED=90°,∴∠BED=∠ACD,∴tan∠BED==,∴BD=DE=x,∴AB===x,∴∠ABW=90°,由相交线定理得:AD×DK=BD×CD,∴DK===5x,∴AK=AD+DK=25x,AR=x,∴GR=AR﹣AG=x,∵∠ABW=90°,∠W=∠ACB,tan∠ACB=,∴sin W==,∴AW=AB=x,∴KW===x,∵AR=KR,OA=OW,∴OR是△AKW的中位线,∴OR=KW=x,在Rt△OGR中,由勾股定理得:(x)2+(x)2=()2,解得:x=,∴OR=,AR=,CD=15x=9,AD=20x=12,∵OR∥CD,∴△AOR∽△AHD,∴=,即=,解得:DH=4,∴CH=CD﹣DH=9﹣4=5.27.抛物线y=ax2﹣6ax+4(a≠0)交y轴正半轴于点C,交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,且AB=10.(1)如图(1),求抛物线的解析式;(2)如图(2),连接BC,点P为第一象限抛物线上一点,设点P横坐标为t,△PBC 的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不用写出自变量t的取值范围);(3)如图(3),在(2)的条件下,连接P A交y轴于点D,过点P作x轴的垂线,分别交x轴于点E,交BC于点F,连接DF,当∠APE+∠CFD=90°时,在抛物线上是否存在点Q,使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.【分析】(1)设A(m,0),B(n,0),由题意:,求出点A的坐标,再利用待定系数法求出a即可.(2)如图2中,连接OP.设P(t,﹣t2+t+4),根据S=S△POC+S△POB﹣S△OBC,求解即可.(3)存在.如图3中,设P(m,﹣m2+m+4),首先证明DF∥AB,证明∠P AB=∠CFD=∠CBO,推出tan∠CBO=tan∠P AB==,求出点D的坐标,构建方程求出m的值,再求出点N的坐标,根据等腰直角三角形的性质,利用图象法求出满足条件的点Q的坐标,证明点Q在抛物线上,即可解决问题.【解答】解:(1)如图1中,设A(m,0),B(n,0),由题意:,解得,∴A(﹣2,0),B(8,0),把A(﹣2,0)代入y=ax2﹣6ax+4,得到a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4.(2)如图2中,连接OP.设P(t,﹣t2+t+4),∵B(8,0),C(0,4),∴OB=8,OC=4,∴S=S△POC+S△POB﹣S△OBC=×4×t+×8×(﹣t2+t+4)﹣×4×8=﹣t2+8t(0<t<8).(3)存在.理由:如图3中,设P(m,﹣m2+m+4),∵A(﹣2,0),B(8,0),C(0,4),∴直线P A的解析式为y=﹣(m﹣8)x﹣m+4,直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵PE⊥x轴,∴F(m,﹣m+4),∵D(0,﹣m+4),∴FD∥AB,∴∠CFD=∠CBA,∵∠APF+∠CFD=90°,∠APF+∠P AE=90°,∴∠P AB=∠CFD=∠CBO,∴tan∠CBO=tan∠P AB==,∴=,∵OA=2,∴OD=1,∴﹣m+4=1,∴m=6,∴P(6,4),E(6,0),∵PN=NE,∴N(6,2),∵C(0,4),△CNQ是等腰直角三角形,CN是斜边,当点Q在CN的上方时,如图3,过点Q作x轴的平行线交y轴于点G,交EP的延长线于点H,设点Q(s,t),易证△QGC≌△NHQ(AAS),则GC=QH,GQ=HN,即s=t﹣2,t﹣4=6﹣s,解得,∴点Q的坐标为(4,6),∵当x=4时,y=﹣×42+×4+4=6,∴点Q在抛物线y=﹣x2+x+4上,∴满足条件的点Q的坐标为(4,6).。
黑龙江省哈尔滨市九年级数学上学期期中试卷(含解析)
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨156中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每小题3分,共计30分)1.在3,﹣l,0,π 这四个数中,最大的数是()A.3 B.﹣1 C.0 D.π2.下列运算正确的是()A.2x2•x3=2x5B.(x﹣2)2=x2﹣4 C.x2+x3=x5D.(x3)4=x73.下列图形中,中心对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=6,BC=8,则sinA=()A.B.C.D.5.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等6.反比例函数y=﹣的图象经过点(﹣2,3),则k的值为()A.3 B.﹣6 C.6 D.﹣37.如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位,再向左平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是()A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+1 C.y=x2+1 D.y=(x+1)2﹣18.下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是()A.B.C.D.9.如图,E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点,CE交AD于点F,下列各式中错误的是()A.B.C.D.10.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰为水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上,建立平面直角坐标系(如图),水流喷出的高度y(m)与水平距离x (m)之间的关系式是y=﹣x2+2x+,则下列结论:(1)柱子OA的高度为m;(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度;(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m;(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题((每小题3分,共计30分)11.太阳的半径约是69000千米,用科学记数法表示约是千米.12.使分式有意义的x的取值范围是.13.计算:﹣= .14.把多项式ax2+2ax+a分解因式的结果是.15.二次函数y=x2+2x﹣7的对称轴是直线.16.小芳掷一枚质地均匀的硬币10次,有7次正面向上,当她掷第11次时,正面向上的概率为.17.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,6)和点O(0,0),B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC= .18.如图,在半径为,圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF,使点C在OA上,点D、E在OB上,点F在上,则阴影部分的面积为(结果保留π).19.在矩形ABCD中,AD=10,AB=8,点E、F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形.若线段EF的中点为G,则∠ABG的正切值是.20.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=6,BC=10,以AC为边在△ABC外作等边△ACD,则BD的长为.三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)21.先化简,再求代数式的值,其中x=4sin45°﹣2cos60°.22.如图的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图中画出以AB为边的钝角三角形ABC,使点C在格点上,并且在直线AB的上方,满足tan∠BAC=,且△ABC的面积为9;(2)以AC为斜边画Rt△ACD,使D点在AC上方,且满足tan∠ACD=2;(3)直接写出线段CD的长.23.小林初中就要毕业了,她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计,每位同学只能报重高、普高、职高中的一种.她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)求出该班的总人数;(2)通过计算请把条形统计图补充完整;(3)如果小林所在年级共有260名学生,请你估计该年级报考普高的学生人数.24.兴趣小组在一次数学实践活动中,为了测量如图所示的小山顶的塔高,进行了如下的操作,首先在A处测得塔尖D的仰角为30°,然后沿AC方向前进72米到达山脚B处,此时测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为45°,求塔高.(结果保留根号)25.哈尔滨市政府大力扶持大学生创业.李民在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数y=﹣10x+500.物价部门规定销售利润率不能超过80%.(1)如果李民想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(2)设李民每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?最大利润为多少元?26.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线交⊙O于点D,交AB 于点F;过D作⊙O的切线,交CA延长线于点E.(1)求证:AB∥DE;(2)写出AC、CD、BC之间的数量关系,并加以证明.(3)若tan∠B=,DF=5,求DE的长.27.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,过B、C两点的直线解析式为y=﹣x+b.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点P作PD⊥BC于点D,垂足为点D.设P 点的横坐标为t,线段PD的长为d,求d与t的函数关系.(3)过A作射线AQ,交抛物线的对称轴于点M,点N是x轴正半轴上B点右侧一点;BN的垂直平分线交射线AQ于点G,点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上.若=,求当(2)中的d最大时直线PN与x轴所夹锐角的正切值.2016-2017学年黑龙江省哈尔滨156中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共计30分)1.在3,﹣l,0,π 这四个数中,最大的数是()A.3 B.﹣1 C.0 D.π【考点】实数大小比较.【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.【解答】解:根据有理数比较大小的方法,可得﹣1<0<3<π,∴在3,﹣1,0,π这四个数中,最大的数是π.故选D.2.下列运算正确的是()A.2x2•x3=2x5B.(x﹣2)2=x2﹣4 C.x2+x3=x5D.(x3)4=x7【考点】单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.【分析】根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法,利用排除法求解.【解答】解:A、2x2•x3=2x5,故本选项正确;B、应为(x﹣2)2=x2﹣4x+4,故本选项错误;C、x2与x3不是同类项,不能合并,故本选项错误;D、应为(x3)4=x12,故本选项错误.故选:A.3.下列图形中,中心对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称图形的概念求解.【解答】解:第一个图形是中心对称图形;第二个图形是中心对称图形;第三个图形是中心对称图形;第四个图形不是中心对称图形.故共3个中心对称图形.故选C.4.在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=6,BC=8,则sinA=()A.B.C.D.【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.【分析】首先利用勾股定理求得AB的长,然后利用正弦函数的定义即可求解.【解答】解:AB===10,则sinA===.故选D.5.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】三角形的内切圆与内心;确定圆的条件;切线的判定.【分析】根据确定圆的条件、三角形内心和外心以及切线的判定定理即可进行判断.【解答】解:A、在同一直线上的三点不能确定一个圆,所以A选项错误;B、经过圆心的直线是圆的对称轴,所以B选项正确;C、经过半径的外端点,且垂直于半径的直线是圆的切线,所以C选项错误;D、三角形的外心到三角形三个顶点距离相等,所以D选项错误.故选B.6.反比例函数y=﹣的图象经过点(﹣2,3),则k的值为()A.3 B.﹣6 C.6 D.﹣3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】将点(﹣2,3)代入解析式可求出k的值.【解答】解:∵反比例函数y=﹣的图象经过点(﹣2,3),∴﹣2k=﹣2×3=﹣6,∴k=3,故选A.7.如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位,再向左平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是()A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+1 C.y=x2+1 D.y=(x+1)2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】先确定抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2),根据点平移的规律得到点(0,2)平移后得到对应点的坐标为(﹣1,1),然后根据顶点式写出新抛物线的解析式.【解答】解:抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2),把点(0,2)先向下平移1个单位,再向左平移1个单位得到对应点的坐标为(﹣1,1),所以所得新抛物线的解析式为y=(x+1)2+1.故选B.8.下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是()A.B.C.D.【考点】相似三角形的判定.【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理,三边对应成比例,做题即可.【解答】解:设单位正方形的边长为1,给出的三角形三边长分别为,2,.A、三角形三边2,,3,与给出的三角形的各边不成比例,故A选项错误;B、三角形三边2,4,2,与给出的三角形的各边成正比例,故B选项正确;C、三角形三边2,3,,与给出的三角形的各边不成比例,故C选项错误;D、三角形三边,4,,与给出的三角形的各边不成比例,故D选项错误.故选:B.9.如图,E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点,CE交AD于点F,下列各式中错误的是()A.B.C.D.【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解.【解答】解:∵AD∥BC∴∵CD∥BE∴△CDF∽△EBC∴,∴∵AD∥BC∴△AEF∽△EBC∴∴D错误.故选D.10.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰为水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上,建立平面直角坐标系(如图),水流喷出的高度y(m)与水平距离x (m)之间的关系式是y=﹣x2+2x+,则下列结论:(1)柱子OA的高度为m;(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度;(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m;(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数的应用.【分析】在已知抛物线解析式的情况下,利用其性质,求顶点(最大高度),与x轴,y轴的交点,解答题目的问题.【解答】解:当x=0时,y=,故柱子OA的高度为m;(1)正确;∵y=﹣x2+2x+=﹣(x﹣1)2+2.25,∴顶点是(1,2.25),故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度,喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米;故(2)正确,(3)错误;解方程﹣x2+2x+=0,得x1=﹣,x2=,故水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在水池外,(4)正确.故选:C.二、填空题((每小题3分,共计30分)11.太阳的半径约是69000千米,用科学记数法表示约是 6.9×104千米.【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:69000用科学记数法表示为6.9×104,故答案为6.9×104.12.使分式有意义的x的取值范围是x≠﹣.【考点】分式有意义的条件.【分析】根据分式有意义的条件可知2x+1≠0,再解不等式即可.【解答】解:由题意得:2x+1≠0,解得:x≠﹣,故答案为:x≠﹣13.计算:﹣= .【考点】实数的运算.【分析】二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.【解答】解:原式=﹣2=﹣.故答案为:﹣.14.把多项式ax2+2ax+a分解因式的结果是a(x+1)2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式a,再利用完全平方公式分解因式得出答案.【解答】解:ax2+2ax+a=a(x2+2x+1)=a(x+1)2.故答案为:a(x+1)2.15.二次函数y=x2+2x﹣7的对称轴是直线x=﹣1 .【考点】二次函数的性质.【分析】把函数解析式化为顶点式可求得其对称轴.【解答】解:∵y=x2+2x﹣7=(x+1)2﹣8,∴抛物线对称轴为x=﹣1,故答案为:x=﹣1.16.小芳掷一枚质地均匀的硬币10次,有7次正面向上,当她掷第11次时,正面向上的概率为0.5 .【考点】概率的意义.【分析】大量反复试验时,某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近,这个常数就叫做事件概率的估计值,而不是一种必然的结果,可得答案.【解答】解:掷一枚质地均匀的硬币10次,有7次正面向上,当她掷第11次时,正面向上的概率为0.5,故答案为:0.5.17.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,6)和点O(0,0),B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC= .【考点】圆周角定理;坐标与图形性质;解直角三角形.【分析】首先根据圆周角定理,判断出∠OBC=∠ODC;然后根据CD是⊙A的直径,判断出∠COD=90°,在Rt△COD中,用OD的长度除以CD的长度,求出∠ODC的余弦值为多少,进而判断出∠OBC的余弦值为多少即可.【解答】解:如图,延长CA交⊙A与点D,连接OD,∵同弧所对的圆周角相等,∴∠OBC=∠ODC,∵CD是⊙A的直径,∴∠COD=90°,∴cos∠ODC===,∴cos∠OBC=,故答案为:.18.如图,在半径为,圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF,使点C在OA上,点D、E在OB上,点F在上,则阴影部分的面积为(结果保留π).【考点】扇形面积的计算;弧长的计算.【分析】首先要明确S阴影=S扇形OAB﹣S△OCD﹣S正方形CDEF,然后依面积公式计算即可.【解答】解:连接OF,∵∠AOD=45°,四边形CDEF是正方形,∴OD=CD=DE=EF,于是Rt△OFE中,OE=2EF,∵OF=,EF2+OE2=OF2,∴EF2+(2EF)2=5,解得:EF=1,∴EF=OD=CD=1,∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OCD﹣S正方形CDEF=﹣×1×1﹣1×1=.19.在矩形ABCD中,AD=10,AB=8,点E、F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形.若线段EF的中点为G,则∠ABG的正切值是或.【考点】解直角三角形;菱形的性质;矩形的性质.【分析】两种情况:①由矩形的性质得出CD=AB=8,BC=AD=10,∠ADB=∠CDF=90°,由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=10,由勾股定理求出DF,得出GF,即可求出AG;②同①得出AE=6,求出GE,即可得出AG的长,然后解直角三角形即可求得.【解答】解:分两种情况:①如图1所示:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=8,BC=AD=10,∠ADC=∠CDF=90°,∵四边形BCFE为菱形,∴CF=EF=BE=BC=10,∴DF==6,∴AF=AD+DF=16,∵G是EF的中点,∴GF=EF=5,∴AG=AF﹣DF=16﹣5=11,∴tan∠ABG==;②如图2所示:同①得:AE=6,∵G是EF的中点,∴GE=5,∴AG=AE﹣GE=1,∴tan∠ABG==;故答案为:或.20.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=6,BC=10,以AC为边在△ABC外作等边△ACD,则BD的长为14 .【考点】勾股定理;等边三角形的性质.【分析】以AB为边作等边三角形AEB,连接CE,如图所示,由三角形ABE与三角形ACD都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到AE=AB,AD=AC,且∠EAB=∠DAC=60°,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等,利用余弦定理求出EC的长就是BD的长.【解答】解:以AB为边作等边三角形AEB,连接CE,如图所示,∵△ABE与△ACD都为等边三角形,∴∠EAB=∠DAC=60°,AE=AB,∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,在△EAC和△BAD中,,∴△EAC≌△BAD(SAS),∴BD=EC,∵∠EBA=60°,∠ABC=60°,∴∠EBC=120°,在△EBC中,BC=10,EB=6,过点E做BC的垂线交BC于点F,则∠EBF=60°,∠FEB=30°,∴EF=3,FB=3,FC=10+3=13,∴EC2=FC2+EF2=196,∴BD=EC=14.故答案为:14.三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)21.先化简,再求代数式的值,其中x=4sin45°﹣2cos60°.【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值.【分析】分别化简代数式和x的值,代入计算.【解答】解:原式=.∵x=4sin45°﹣2cos60°==2﹣1,∴原式===.22.如图的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图中画出以AB为边的钝角三角形ABC,使点C在格点上,并且在直线AB的上方,满足tan∠BAC=,且△ABC的面积为9;(2)以AC为斜边画Rt△ACD,使D点在AC上方,且满足tan∠ACD=2;(3)直接写出线段CD的长.【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理.【分析】(1)根据钝角三角形ABC,满足tan∠BAC=,且△ABC的面积为9进行作图;(2)根据Rt△ACD,满足tan∠ACD=2进行画图即可;(3)根据勾股定理求得线段CD的长.【解答】解:(1)如图所示,△ABC即为所求;(2)如图所示,△ADC即为所求;(3)如图所示,CD==.23.小林初中就要毕业了,她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计,每位同学只能报重高、普高、职高中的一种.她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)求出该班的总人数;(2)通过计算请把条形统计图补充完整;(3)如果小林所在年级共有260名学生,请你估计该年级报考普高的学生人数.【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】(1)用重高人数除以重高人数所占的百分比即可得到该班人数;(2)用全班人数减去重高和职高的人数,求出普高的人数,然后补全条形统计图;(3)利用样本估计总体,用260乘以普高所占的百分比,即可得出答案.【解答】解:(1)根据题意得:25÷62.5%=40(人),答:该班的总人数是40人;(2)普高的人数是:40﹣25﹣5=10(人);补图如下:(3)根据题意得:260×=65(人),答:该年级报考普高的学生人数有65人.24.兴趣小组在一次数学实践活动中,为了测量如图所示的小山顶的塔高,进行了如下的操作,首先在A处测得塔尖D的仰角为30°,然后沿AC方向前进72米到达山脚B处,此时测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为45°,求塔高.(结果保留根号)【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.【分析】先由三角形外角的性质求出∠ADB=∠CBD﹣∠BAD=60°﹣30°=30°=∠BAD,根据等角对等边得出BD=AB=72米,再解Rt△BCD,得出BC=BD•cos60°=36,CD=BD•sin60°=36,解Rt△BCE,得出CE=BC=36,于是塔高DE=CD﹣EC=36﹣36.【解答】解:∵∠ADB=∠CBD﹣∠BA D=60°﹣30°=30°=∠BAD,∴BD=AB=72米.在Rt△BCD中,∵∠BCD=90°,∠DBC=60°,∴BC=BD•cos60°=72×=36,CD=BD•sin60°=72×=36.在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,∠EBC=45°,∴CE=BC=36,∴塔高DE=CD﹣EC=36﹣36.答:塔高DE为(36﹣36)米.25.哈尔滨市政府大力扶持大学生创业.李民在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数y=﹣10x+500.物价部门规定销售利润率不能超过80%.(1)如果李民想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(2)设李民每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?最大利润为多少元?【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.【分析】(1)根据题意可以得关于x的一元二次方程,从而可以解答本题,注意价部门规定销售利润率不能超过80%;(2)根据题意可以写出w关于x的函数关系式,从而可以求得函数的最大值,本题得以解决.【解答】解:(1)设销售单价定为x元,(x﹣20)(﹣10x+500)=2000,解得,x1=30,x2=40,∵x≤20+20×80%=36,∴x=30,即如果李民想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为30元;(2)由题意可得,w=(x﹣20)(﹣10x+500)=﹣10(x﹣35)2+2250,∵20≤x≤36,∴当x=35时,w取得最大值,此时w=2250,即当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,最大利润为2250元.26.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线交⊙O于点D,交AB 于点F;过D作⊙O的切线,交CA延长线于点E.(1)求证:AB∥DE;(2)写出AC、CD、BC之间的数量关系AC+BC=CD ,并加以证明.(3)若tan∠B=,DF=5,求DE的长.【考点】圆的综合题.【分析】(1)连接BD.根据直径所对的圆周角是90°,可知:∠ACB=90°,从而可求得∠ABD=∠ACD=∠DCB=45°由弦切角定理可知:∠CDE=∠CBA+45°,由三角形外角的性质可知∠CFA=∠CBA+45°,故此∠AFC=∠EDC,从而可证明AB∥ED,(2)先根据角平分线的性质定理得出DG=DM,CM=CG,进而得出CG=CD再判断出Rt△ADG ≌Rt△BDM,最后等量代换即可;(3)先根据三角函数得出BC=2x,AB=x,再用角平分线定理得出AF和BF,借助(2)结论得出CF,CD,进而用相交弦定理建立方程求出x,最后用平行线分线段成比例定理得出DE.【解答】解:(1)如图1,∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.由弦切角定理可知:∠CDE=∠CBD=∠CBA+∠ABD=∠CBA+45°.∵∠CFA=∠FCB+∠CBA=∠CBA+45°,∴∠AFC=∠EDC.∴AB∥ED,(2)AC+BC=CD理由:如图2,连接BD,AD,过点D作DG⊥AC,DM⊥BM,∵∠ACD=∠BCD,∴DG=DM,CM=CG由(1)知,AB∥DE,且DE是⊙O的切线,∴点D是半圆的中点,∵AB是直径,∴AD=BD,在Rt△ADG和Rt△BDM中,,∴Rt△ADG≌Rt△BDM,∴AG=BM,在Rt△CDG中,∠DCG=45°,∴CD=CG,∴CG=CD∴AC+BC=AC+CM+BM=AC+CM+AG=CM+CG=2CG=CD;即:AC+BC=CD故答案为:AC+BC=CD(3)设AC=x,∵tan∠B==,∴BC=2x,∴AB=x,∵CD平分∠ACB,∴=,∴AF=x,BF=x,由(2)知, CD=AC+BC=3x,∴CD=x,∵DF=5,∴CF=CD﹣DF=x﹣5,根据相交弦定理得,DF×CF=AF×BF,∴5(x﹣5)=x•x,∴x=6或x=,当x=6时,AF=2,BF=4,CD=9,CF=4,∵AB∥DE,∴,∴,∴DE=,当x=,AF=,CF=,CD=,∵AB∥DE,∴,∴,∴DE=.即:DE的长为.27.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,过B、C两点的直线解析式为y=﹣x+b.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点P作PD⊥BC于点D,垂足为点D.设P 点的横坐标为t,线段PD的长为d,求d与t的函数关系.(3)过A作射线AQ,交抛物线的对称轴于点M,点N是x轴正半轴上B点右侧一点;BN的垂直平分线交射线AQ于点G,点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上.若=,求当(2)中的d最大时直线PN与x轴所夹锐角的正切值.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)利用抛物线的解析式求出点C坐标,即可求出b,推出点A、B两点坐标,利用待定系数法即可求出a.(2)如图1中,作PE⊥AB于F,交BC于E.设P(t,﹣t2+2t+3),则E(t,﹣t+3).首先证明△PDE是等腰直角三角形,推出PD=PE,由此即可解决问题.(3)如图2中,设BN的垂直平分线交x轴于H,抛物线的对称轴交x轴于D,作ML⊥GH 于L.首先证明cos∠GML=cos∠GAH=,由AH=GH,列出方程即可解决问题.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax+3与y轴交于点C,∴C(0,3)∵直线解析式为y=﹣x+b过B、C.∴C(0,b),B(b,0),∴b=3,∴B(3,0),∵抛物线的对称轴为x=1,A、B关于对称轴对称,∴A(﹣1,0),把A(﹣1,0)代入抛物线的解析式3a+3=0,∴a=﹣1,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)如图1中,作PE⊥AB于F,交BC于E.设P(t,﹣t2+2t+3),则E(t,﹣t+3).∵OC=OB=3,∠COB=90°,∴∠COB=∠EFB=90°,∴∠FEB=∠PED=45°,∴d=PD=PE=(﹣t2+2t+3+t﹣3)=﹣t2+t.(0<t<3).∴d=﹣t2+t.(0<t<3).(3)如图2中,设BN的垂直平分线交x轴于H,抛物线的对称轴交x轴于D,作ML⊥GH 于L.∵GM:AN=5:8,设GM=5k,AN=8k,∵AB=4,BD=2,∴BN=8k﹣4,BH=4k﹣2,DH=DB+BH=4k,∴cos∠GML==,∵ML∥AH,∴∠GML=∠GAH,∴cos∠GAH=,∴AH=GH,设G点横坐标为m,∵点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上,∴G(m,m2﹣2m﹣3),∴(m+1)=m2﹣2m﹣3,解得m=或﹣1(舍弃),∴点H(,0),N(,0).∵d=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,∵﹣<0,∴t=时,d有最大值,此时P(,),∴此时直线PN与x轴所夹锐角的正切值==.。
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哈尔滨市2016~2017学年度上学期九年级期中考试数学试卷教师寄语:亲爱的同学们,考试只是老师了解你掌握知识多少的一种方式,请你放松心情,认真、细心答题,相信你定能在这里展示出你的风采! 一、选择题(每题3分,共30分)1、12-的倒数是( ) (A)12 (B)2 (C)-2 (D)12- 2、下列运算中,正确的是( )3=± (B)()326a a = (C)326a a a = (D)236-=-3、下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )4、下列各点中,在反比例函数2y x=-图像上的是( ) (A)(2,1) (B)2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(C)(-1,2) (D)(-2,-1) 5、在Rt ABC 中,∠C=90°,3sin 5A =,则cos A 的值等于( )(A)35 (B)45 (C)34 (D)56、从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼。
探测器显示,看到教学楼底部点C 处的俯角为45°,看到楼顶部点D 处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD 是( )(A)(6+米 (B)(6+米 (C)(6+米 (D)12米7、如图,E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F ,下列各式中错误的是( ) (A)AE EF AB CF = (B)CD CF BE EC = (C)AE AF AB DF = (D)AE AF AB BC=8、下列命题中正确的是( )(A)平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (B)弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦(C)若两段弧的度数相等,则它们是等弧(D)弦的垂线,平分弦所对的弧9、如图,有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时,梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上N ,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米,梯子的倾斜角45°,则这间房子的宽AB 是( )米 (A)2a b +米 (B)2a b -米 (C)b 米 (D)a 米10、甲、乙两车沿同一平直公路由A 地匀速行驶(中途不停留)前往终点B 地,甲、乙两车之间的距离y (千米) 与甲车行驶时间t (小时)之间的函数关系如图所示。
2021-2022学年-有答案-黑龙江省哈尔滨市某校九年级(上)期中数学试卷
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市某校九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每小题3分,共计30分)1. −3的倒数是()A.3B.−3C.-D.2. 下列计算错误的是()A.x2⋅x3=x6B.x3+x3=2x3C.x3÷x3=1D.3x5−4x5=−x53. 下列四个图形都是轴对称图形,其中对称轴一共有三条的是()A. B. C. D.4. 如图,矩形ABCD中,AB=8,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交CD于点F,若AF=25,则AD的长为()4A.3B.4C.5D.65. 平面直角坐标系中,将抛物线y=−x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是()A.y=(x+1)2+2B.y=(x−1)2+2C.y=−(x−1)2+2D.y=−(x−1)2−26. 如图,滑雪场有一坡角为20∘的滑雪道,滑雪道的长AC为100米,则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为()A.100cos20∘B.100sin20∘C.1OOcos20∘D.100sin20∘7. 如图,在⊙O中弦AB,CD相交于点E,∠A=30∘,∠AED=75∘,则∠B=()A.60∘B.45∘C.75∘D.50∘8. 某商品经过两次连续涨价,由原来的每件10元上涨为现在的14.4元,设平均每次涨价的百分比为x,则可列方程()A.14.4(1−x)2=10B.10(1+2x)=14.4C.14.4(1−2x)=10D.10(1+x)2=14.49. 二次函数y=−(x−1)2+2,下列说法正确的是()A.图象的开口向上B.图象的顶点坐标是(−1, 2)C.当x>1时,y随x的增大而减小D.图象与y轴的交点坐标为(0, 2)10. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在CD边上,连接AE交BD于点F,则下列结论错误的是()A.AFFE =BFFDB.DEAB=DFBDC.AFAE=BFBDD.DEDC=EFAF二、填空题(每小题3分,共计30分)长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹,长城总长约6700000米,将6700000用科学记数法表示应为________.在函数y=5x−3中,自变量x的取值范围是________.分解因式:2m3−8m=________.不等式组{x+1>02x−1≤3的解集为________.计算:√18+√8=________.在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120∘,菱形的面积为________.二次函数y=x2−2x+3的最小值是________.如图,AB是⊙O的弦,半径OD⊥AB于点C,AE为直径,AB=8,CD=2,则线段CE 的长为________.在矩形ABCD中,点E在AD边上,△BCE是以BE为一腰的等腰三角形,若AB=4,BC=5,则线段DE的长为________.如图,AD是△ABC的中线,AD=5,tan∠BAD=,S△ADC=15,求线段AC的长________.三、解答题(其中21-22题各7分,23-24题各8分,25-27题各10分,共计60分)先化简,再求代数式÷()的值,其中a=2sin60∘+tan30∘.如图,在每个小正方形的边长都是1的方格纸中,有线段AB和线段CD,点A、B、C、D都在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中画一个以线段AB为一边的菱形ABEF,其面积为20,且各顶点均在小正方形的顶点上.(2)在方格纸中以CD为腰画出等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上,且∠DCG=45∘.(3)连接EG,请直接写出线段EG的长.为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)一共调查了多少名学生;(2)请补全条形统计图;(3)若该校共有2000名学生,根据以上调查结果估计该校全体学生每天参与户外活动所用的总时间.在△ABC中,AB=AC,点D、O分别是BC、AC边的中点,连接AD,过点A作AE // BC,交射线DO于点E,连接CE.(1)如图1,求证:四边形ADCE是矩形;(2)如图2,点F在线段CE上,连接AF、DF,在不添加任何字母和辅助线的情况下,请直接写出四个与四边形ABDF面积相等的三角形或四边形.南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育,每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元,且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同.(1)求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元?(2)该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种兰花,若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株,求最多购进甲种兰花多少株?已知:AD为⊙O的直径,弦BC垂直平分OD于H,连接AB、AC.(1)如图1,求证,△ABC为等边三角形;(2)如图2,E为AB弧上一点,连接EC、AE、BE,求证:EC=EA+EB;(3)如图3,在(2)的条件下,点P为AB、EC的交点,G为BC延长线上一点,连接AG交⊙O于F,连接CF,若CE平分∠BCF,AP=2,CG=6,求弦EC的长.如图1:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1, 0),C(4, 0),与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点P为抛物线第四象限上一点,AP交y轴于Q,设点P的横坐标为t,求线段BQ的长d与t的函数关系(不要求写出自变量的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,D为抛物线第一象限上的一点,过D作y轴的平行线,分别交BP、AP于M、N,过P作PH⊥直线DM于H,连接AD交BP于E,若MN=NH,∠DEP+∠ABO=90∘,求点D的坐标.参考答案与试题解析2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市某校九年级(上)期中数学试卷一、选择题(每小题3分,共计30分)1.【答案】C【考点】倒数【解析】根据倒数的定义即可得出答案.【解答】−3的倒数是-.2.【答案】A【考点】同底数幂的乘法同底数幂的除法合并同类项【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】轴对称的性质轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】翻折变换(折叠问题)【解析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE,FA=FC,根据勾股定理计算即可.【解答】∵DC // AB,∴∠FCA=∠CAB,又∠FAC=∠CAB,∴∠FAC=∠FCA,∴FA=FC=254,∴FD=FE,∵DC=AB=8,AF=254,∴FD=FE=8−254=74,∴AD=BC=EC=√FC2−FE2=6,5.【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据正弦的定义进行解答即可.【解答】解:∵sin∠C=ABAC,∴AB=AC⋅sin∠C=100sin20∘,故选:D.7.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】二次函数y=ax^2 、y=a(x-h)^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】二次函数的一般形式中的顶点式是:y=a(x−ℎ)2+k(a≠0,且a,ℎ,k是常数),它的对称轴是x=ℎ,顶点坐标是(ℎ, k).【解答】解:∵ y=−(x−1)2+2,∴这个函数的顶点是(1, 2),该函数的开口向下,对称轴是x=1,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,图象与y轴的交点坐标为(0,1).故选C.10.【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】由四边形ABCD是平行四边形,可得AB // CD,AB=CD,易证得△ABF∽△EDF,然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质,求得答案.【解答】解:四边形ABCD是平行四边形,∴AB // CD,AB=CD,∴AFFE =BFFD,DEAB=DFBF,AFAE=BFBD,△ABF∽△EDF,∴DEAB =EFAF,∴DEDC =EFAF,故选项ACD正确;B错误. 故选B.二、填空题(每小题3分,共计30分)【答案】6.7×106【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.【解答】6700000=6.7×106.【答案】x≠3【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据分母不等于0列不等式求解即可.【解答】解:由题意得,x−3≠0,解得x≠3.故答案为:x≠3.【答案】2m(m+2)(m−2)【考点】提公因式法与公式法的综合运用因式分解-运用公式法因式分解-提公因式法【解析】提公因式2m,再运用平方差公式对括号里的因式分解.【解答】解:2m3−8m=2m(m2−4)=2m(m+2)(m−2).故答案为:2m(m+2)(m−2).【答案】−1<x≤2【考点】解一元一次不等式组【解析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.【解答】{x+1>0,2x−1≤3由①得,x>−1,由②得x≤2,故此不等式组的解集为:−1<x≤2.【答案】5√2【考点】二次根式的化简求值二次根式的加法【解析】首先化简二次根式,进而合并求出即可.【解答】解:原式=3√2+2√2=5√2.故答案为:5√2.【答案】【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】二次函数的最值【解析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答.【解答】∵二次函数y=x2−2x+3可化为y=(x−1)2+2的形式,∴二次函数y=x2−2x+3的最小值是2.【答案】2【考点】垂径定理勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】矩形的性质等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】三角形的面积解直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题(其中21-22题各7分,23-24题各8分,25-27题各10分,共计60分)【答案】原式=÷(+)=÷=•=,当a=2sin60∘+tan30∘=2×+×=,原式===.【考点】实数的运算分式的化简求值特殊角的三角函数值【解析】此题暂无解析此题暂无解答【答案】如图,菱形ABEF即为所求.如图,△CDG即为所求.EG==.【考点】等腰三角形的判定与性质菱形的性质作图—应用与设计作图勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解:(1)调查的总人数是:10÷20%=50(人);(2)参加户外活动时间是1.5小时的人数是:50−10−20−8=12(人);=1.18(小时).(3)该校户外活动的平均时间是:10×0.5+20×1+1.5×12+8×250该校全体学生每天参与户外活动所用的总时间:2000×1.18=2360(小时).【考点】条形统计图用样本估计总体扇形统计图【解析】(1)根据活动时间是1小时的人数是10人,所占的百分比是20%,据此即可求得总人数;(2)利用总人数减去其它组的人数即可求解;(3)利用加权平均数公式求得参加课外活动的平均时间,然后乘以总人数2000即可求得.【解答】解:(1)调查的总人数是:10÷20%=50(人);(2)参加户外活动时间是1.5小时的人数是:50−10−20−8=12(人);=1.18(小时).(3)该校户外活动的平均时间是:10×0.5+20×1+1.5×12+8×250该校全体学生每天参与户外活动所用的总时间:2000×1.18=2360(小时).【答案】证明:∵AE // BC,∴∠EAO=∠DCO,∵点O是AC中点,∴OA=OC,在△OAE和△OCD中,,∴△OAE≅△OCD(ASA),∴AE=CD,∴四边形ADCE是平行四边形,∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90∘,∴四边形ADCE是矩形;四边形ABDE,四边形ADCE,△BCE由(1)得:四边形ADCE是矩形,∴AD // CE,△ACD的面积=△ACE的面积,∴△ADE的面积=△ADF的面积,∴四边形ABDE的面积=四边形ABDF的面积,∵D是BC的中点,AE // CD,∴△BCE的面积=△ABC的面积=2△ACD的面积=2△ACE的面积,∴△BCE的面积=△ABC的面积=四边形ADCE的面积=四边形ABDF的面积.【考点】等腰三角形的性质矩形的判定与性质三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】每株甲种兰花的成本为400元,每株乙种兰花的成本为300元;最多购进甲种兰花20株【考点】一元一次不等式的实际应用分式方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明:如图1中,连接OB,在⊙O中,∵OA⊥OD∴=,=,∴AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,又∵弦BC垂直平分OD于H,∴OH=OD=,在Rt△OBH中,cos∠BOH=,∴∠BOH=60∘,∴∠ABD=30∘,∴∠CAD=30∘,∴∠BAC=60∘,∴等腰△ABC为等边三角形.证明:如图2中,在EC上取一点M使得EM=EB,又∵∠BAC=∠BEC=60∘,∴△EBC为等边三角形,∴BE=BM,∠EBC=60∘,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60∘,BA=BC,∴∠EBC=∠ABC,∴∠ABC−∠ABM=∠EBC−∠ABM,即∠EBA=∠MBC,∴△EBA≅△MBC(SAS),∴EA=MC,∴EC=EM+MC=EB+EA.如图4中,在BC上取一点Q,连接AQ,设∠ACE=α,则∠ECB=60∘−α,又∵EC平分∠BCF,∴∠BCE=∠FCE=60∘−α,∵四边形ABCF为圆内接四边形,∴∠ABC+∠AFC=180∘,∴∠AFC=120∘,∴∠CAF=2α,∵AB=AC,∠CAP=∠ABQ=60∘,∴△ABQ≅△CAP(SAS),∴∠BAQ=∠ACP=α,∵∠AQG=60∘+α,∠QAG=60∘+α,∴∠AQG=∠QAG,∴AG=QG,设CQ=a,则QG=AG=a+6,作GN⊥AC角AC延长线于N,则CN=8,AN=a+7,由勾股定理得:,∴a=8,∵∠AEP=∠BMP=60∘,∠APE=∠BPM,∴△AEP∽△BMP,∴=,∴===,∴AB=BC=10,BP=8,设AE=x,BE=4x,则在Rt△BEK中,∵∠EBK=30∘,∴EK=8x,BK=,由勾股定理可得,,解得,x=,∴EC=AE+BE=4x=.【考点】圆的综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】∵y=ax2+bx+2经过A(−3, 0),0),∴,解得,∴y=-x2+x+2.如图8中,过点P作PH⊥x轴于H,-t3+t+2),0)t2−t−2.对于抛物线y=-x2+x+2,得到y=2,∴B(7, 2),∵OQ // PH,∴△AOQ∽△AHP,∴=,∴=,∴OQ=,∴d=BQ=OB+OQ=t.如图3中,延长PH交y轴于I.∵DN // y轴,∴△PMN∽△PBQ,∴=,同理可证:=,∴=,∵MN=NH,∴BQ=QI=t,∴BI=PI=t,∴tan∠QPI==,∴∠BOC=∠BIP,∴AC // PI,∴∠CAP=∠QPI,∴tan∠PAC===,∴t=3,∴P(5, 3),∴PI=BI=4,∴∠BPI=∠PBI=45∘,∴tan∠ABI=tan∠APL,∴∠ABI=∠API,∵∠AQB=∠PQI,∴∠BAQ=∠PIQ=90∘,∵∠DEP+∠ABO=90∘,∴∠DAP+∠APB+∠API=∠DAP+∠BPI=90∘,∴∠DAP=45∘,∴∠DAB=45∘,∵AB==,AP=,∴tan∠APB===,∵∠DAC+∠CAP=45∘,∠CAP+∠APB=∠API+∠APB=45∘,∴∠DAC=∠APB,设D(m,-+m+6)m3+m+2,∵tan∠DAC===,解得m=−1(舍弃)或,∴D(,).【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三十中学校九年级上学期期中数学试题
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三十中学校九年级上学期期中数学试题1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().A.B.C.D.2.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B等于()A.B.C.D.3.如图,已知是的圆心角,,则圆周角的度数是()A.B.C.D.4.如图,在中,点D、E分别在、边上,,若,,则等于()A.3B.14C.6D.85.如图,小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离为,为(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是()A.()m B.()m C.m D.4m6.圆锥的高为,母线长为,则它的侧面积是().(结果保留)A.B.C.D.7.如图,由下列条件不能判断与相似的是()A.B.C.D.8.如图,切于点,直线切于点,交于,交于点,若,则的周长是()A.B.C.D.9.如图,在中,,,可以由绕点顺时针旋转得到(点与点是对应点,点与点是对应点),连接,则的度数是()A.B.C.D.10.在秋季越野赛中,甲、乙两人同时出发且同时到达终点,甲在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行,后一半的时间以米/秒的速度匀速前行,而乙在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行,后一半的时间以米/秒的速度匀速前行,且.关于甲乙二人从起点到终点的路程S与时间t的函数图象,下列选项中正确的是()A.甲是图1,乙是图3B.甲是图4,乙是图2C.甲是图3,乙是图l D.甲是图2,乙是图411.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是点________________.12.如图,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,则DB=________.13.如图,在半径为10的⊙O中,OC垂直弦AB于点D,AB=16,则CD的长是____________.14.如图,在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是4米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是__________米(结果保留根号).15.如图,小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为_____.16.如图,在中,点A在上,弦,垂足为点D且,连接、,则的度数为_________.17.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把绕点A顺时针旋转后得到,则点的坐标是__________.18.如图所示,中,,,若的面积是4,则四边形的面积为_____.19.已知中,,,将绕C点旋转得,直线与直线交于D,则的长为_______________.20.如图,中,,平分交于点D,交于点E,M为的中点,连接,若,.则的长为_________.21.先化简,再求代数式的值,其中.22.如图所示,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,建立平面直角坐标系,的三个顶点都在格点上(每个方格的顶点叫格点).(1)画出与关于y轴对称的,并写出的坐标;(2)画出绕O点顺时针旋转得到的,并写出的坐标.23.如图,在⊙O中,D,E分别为半径OA,OB上的点,且AD=BE.点C为上一点,连接CD,CE,CO,∠AOC=∠BOC,求证:CD=CE.24.如图所示,某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆.已知观测点C到旗杆的距离(的长度)为,测得旗杆的仰角为,旗杆底部的俯角为,求旗杆的高度是多少米?(结果保留根号)25.如图,已知内接于,点D在的延长线上,.(1)求证:是的切线;(2)若,求的长.26.已知:中,,,,.(1)求的长;(2)求的值.27.如图,平面直角坐标系中,已知矩形的顶点O 为坐标原点,的长为8,点,点B 在y 轴正半轴上,,的角平分线交于点C .(1)求直线的解析式;(2)动点P 从A 出发,以5个单位/秒的速度沿方向向终点O 运动.过P 作于点E ,直线交射线于点F ,设的长为,P 点的运动时间为t ,求y 与t 的函数关系式,并直接写出自变量t 的取值范围;(3)在(2)的条件下,连接、,当的一边与平行时,求的正切值.28.已知直角梯形,,,,,于H ,P为上一点,作,此角的两边分别交于E ,交于F .(1)如图1,当点P 在点B 处时,求证:(2)如图2,当点P 在点H 处时,连接,与交于点K ,若,求线段的长度.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨四十九中九年级(上)期中数学试卷(五四学制)(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨四十九中九年级(上)期中数学试卷(五四学制)一、选择题(每小题2分,满分26分)1.(2分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么cos B的值是( )A.B.C.D.2.(3分)把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为( )A.y=﹣(x﹣1)2+3B.y=﹣(x+1)2+3C.y=﹣(x+1)2﹣3D.y=﹣(x﹣1)2﹣33.(3分)已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限,则k的取值范围是( )A.k>2B.k≥2C.k≤2D.k<24.(3分)如图,圆O中,弦AB、CD互相垂直且相交于点P,∠A=35°,则∠B的大小是( )A.35°B.55°C.65°D.70°5.(3分)下列说法中一定正确的是( )A.相等的圆心角所对的弧相等B.圆上任意两点间的部分叫做圆弧C.平分弦的直径垂直于弦D.圆周角等于圆心角的一半6.(3分)如图△ABC中,将△ABC绕点A旋转逆时针旋转30度后得到△ADE,点E恰好落在BC上,则∠BED=( )A.30°B.35°C.40°D.不能确定7.(3分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,若AE=8,BE=2,则线段CD 的长为( )A.8B.5C.4D.38.(3分)如图,△ABC中,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC交AC边于点E,N 是BC边上一点,连接AN交DE于点M,则下列结论错误的是( )A.=B.=C.=D.=9.(3分)如图1,在平行四边形ABCD中,∠ABC=120°,已知点P在边AB上,以1m/s 的速度从点A向点B运动,点Q在边BC上,以m/s的速度从点B向点C运动.若点P,Q同时出发,当点P到达点B时,点Q恰好到达点C处,此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点),则平行四边形ABCD的面积为( )A.12m2B.12m2C.24m2D.24m2二、填空题(每小题3分,满分30分)10.(3分)点P(1,﹣2)关于原点的对称点的坐标是 .11.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是 .12.(3分)抛物线y=﹣(x+2)2+6顶点坐标是 .13.(3分)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为E,且tan∠ADE=,AC=5,则AB的长 .14.(3分)直径为20cm的⊙O中,弦AB=10cm,则弦AB所对的圆心角是 .15.(3分)如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4),顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过顶点B,则反比例函数的表达式为 .16.(3分)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=20cm,EF=10cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=6m,则树高AB 是 m.17.(3分)如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N.若DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为 .18.(3分)在⊙O中,弦AB和AC构成的∠BAC=50°,M、N分别是AB、AC的中点,则∠MON的度数为 .19.(3分)如图.在△ABC中.以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD.使AC=AD.且∠DAC=2∠ABC,连接BD.作AH⊥BC于点H.若AH=,BC=4,则BD = .三、解答题(21题、22题每题各7分,23题、24题每题各8分,25题、26题、27题每题各10分,共60分)20.(7分)先化简,再求值:,其中a=tan30°﹣1.21.(8分)如图,在边长为1的小正方形网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,坐标分别为A(2,4),B(1,2),C(5,3).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;(3)连接B1B、B1C2,写出∠BB1C2的正切值.22.(8分)如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.23.(8分)已知,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,E在△ABC的外部,连接AD、AE、CE,且AD=AE,∠BAC=∠DAE.(1)如图1,求证:BD=CE.(2)如图2,当∠B=45°,∠BAD=22.5°时,连接DE交AC于点F,作DG⊥DE交AB于点G,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个顶角为45°的等腰三角形.24.(10分)某商场购进甲种商品60箱,乙种商品40箱.全部售完后,甲、乙两种商品共盈利1300元,甲种商品比乙种商品每箱多盈利5元.(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元?(2)甲、乙两种商品全部售完后,该商场又购进一批甲商品,在原每箱盈利不变的前提下,平均每天可卖出100箱,如调整价格,每降价1元,平均每天可多卖出20箱,设每箱商品降价a元,商场所获利润为w元,那么当降价多少元时,该商场利润最大?最大利润是多少?25.(10分)已知△ABC内接于⊙O,BD为⊙O的直径,连接AD,AC与BD交于点E.(1)如图1,求证:∠ABD+∠ACB=90°;(2)如图2,过点A作AG⊥BC,垂足为点G,AG交BD于点F,若EF=ED,求证:AB=BC;(3)如图3,在(2)的条件下,过点C作BD的平行线交AG的延长线于点H,交⊙O 于点P,连接BH,若∠BHP=45°,CH=6,求线段BH的长.26.(10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标系的原点,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A和点B,与y轴相交于点C,直线y=﹣x+3经过点B和点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为第一象限内抛物线上一点,过点P作y轴的平行线交线段BC于点D,设PD =d,点P的横坐标为t,求d与t之间的函数关系式;(3)在(2)的条件下,点P为抛物线的顶点,连接PC并延长交x轴于点E,点F为线段OB上的点,连接CF,过点E作EG⊥CF于点G,射线EG交线段BC于点H,交抛物线于点N,连接FN交线段BC于点R,若∠CFN=2∠NEA,求点N的坐标.2023-2024学年黑龙江省哈尔滨四十九中九年级(上)期中数学试卷(五四学制)参考答案与试题解析一、选择题(每小题2分,满分26分)1.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∴根据勾股定理AB=5.∴cos B==.故选:A.2.【解答】解:抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为:y=﹣(x+1)2+3.故选:B.3.【解答】解:∵y=的图象位于第一、第三象限,∴k﹣2>0,k>2.故选:A.4.【解答】解:由题意可知:∠DPA=90°,∵∠A=35°,∴由三角形的内角和定理可知:∠D=55°,由圆周角定理可知:∠B=∠D=55°,故选:B.5.【解答】解:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故A说法错误;圆上任意两点间的部分叫做圆弧,故B说法正确;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故C说法错误;同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,故D说法错误.故选:B.6.【解答】解:如图,设AB、DE交于F点,∵将△ABC绕点A旋转逆时针旋转30度后得到△ADE,点E恰好落在BC上,∴∠DAB=30°,∠B=∠D,而∠BFE=∠AFD,∴∠BED=∠DAB=30°.故选:A.7.【解答】解:连接OC,∵AE=8,BE=2,∴AB=AE+BE=8+2=10,∵AB是⊙O的直径,∴OC=OB=,∵BE+OE=OB,∴OE=OB﹣BE=5﹣2=3,∵CD⊥AB,∴∠CEO=90°,CD=2CE,∴,∴CD=8,故选:A.8.【解答】解:∵DE∥BC,∴,△ADM∽△ABN,△AME∽△ANC,∴,=,∴,故选:D.9.【解答】解:由题意可知:AB:BC=1:,设AB=a,则BC=,如图,过点P作PE垂直于CB的延长线于点E,∵PA=t,则PB=a﹣t,BQ=,在Rt△PBE中,∠PBE=180°﹣∠ABC=60°,∴PE=,则y=,化简得:y=.由二次函数图象可知,函数的顶点纵坐标为3,∴==3,∴a2=16,∵a为正数,∴a=4,∴AB=4,则BC=,如图,过点A作AF垂直于CB的延长线于点F,在Rt△ABF中,∠ABF=60°,∴AF==,∴S▱ABCD=BC×AF==24 (m2).故答案为:C.二、填空题(每小题3分,满分30分)10.【解答】解:∵点P(1,﹣2),∴关于原点的对称点的坐标是:(﹣1,2)故答案为:(﹣1,2).11.【解答】解:由题意得,x﹣2>0,解得x>2.故答案为:x>2.12.【解答】解:抛物线y=﹣(x+2)2+6的顶点坐标是(﹣2,6),故答案为:(﹣2,6).13.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,AB=CD,∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,∠DAE+∠ACD=90°,∴∠ADE=∠ACD,∴tan∠ACD=tan∠ADE==,设AD=4k,CD=3k,则AC=5k,∴5k=5,∴k=1,∴CD=AB=3,故答案为314.【解答】解:如图,连接OA、OB,∵直径为20cm,∴OA=OB=10cm,而AB=10cm,∴OA=OB=AB,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,即弦AB所对的圆心角是60°.故答案为:60°.15.【解答】解:∵A的坐标为(3,4),∴OA==5,∵四边形OABC为菱形,∴AB=OA=5,AB∥OC,∴B(8,4),把B(8,4)代入y=得k=8×4=32,∴反比例函数的表达式为y=(x>0).故答案为y=(x>0).16.【解答】解:∵∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,∴△DEF∽△DCB,∴=,即=,解得:BC=3m,∵AC=1.5m,∴AB=AC+BC=1.5+3=4.5(m),即树高4.5m.故答案为:4.5.17.【解答】解:∵AB∥DC,∴△CDO∽△ABO,∴=,∵DO:OB=1:2,∴=,∴OC=OA,∵AC=OA+OC=12,∴OA+OA=12,∵MN∥AC,M是AB的中点,∴MN为△AOB的中位线,∴MN=OA=×8=4.故答案为:4.18.【解答】解:连接OM,ON,∵M、N分别是AB和AC的中点,∴OM⊥AB,ON⊥AC,当AB,AC在圆心异侧时,∵∠BAC=50°,在四边形AMON中,∴∠MON=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°;当AB,AC在圆心同侧时,∵∠ADM=∠ODN,∠AMD=∠OND,∴△ADM∽△ODN,∴∠MON=∠BAC=50°.故答案为:130°或50°.19.【解答】解:如图,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK,∵AH⊥BC于H,∴∠AHC=90°.∴∠EBC=90°.∵∠EBC=90°,∵K为BE的中点,BE=2AH,∴BK=AH.∵BK∥AH,∴四边形AKBH为矩形,∴AK⊥BE,∴AE=AB,∠EAB=2∠KAB,∵∠DAC=2∠ABC,∠KAB=∠ABC,∴∠EAB=∠DAC,∴∠EAC=∠BAD,在△EAC与△BAD中,,∴△EAC≌△BAD,∴BD=CE,∵CE===5,∴BD=5.故答案为:5.三、解答题(21题、22题每题各7分,23题、24题每题各8分,25题、26题、27题每题各10分,共60分)20.【解答】解:=÷=•=,当a=tan30°﹣1=﹣1时,原式==.21.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.(2)如图,△A2B2C2即为所求.(3)由图可得,tan∠BB1C2=,∴∠BB1C2的正切值为.22.【解答】解:(1)把A(﹣4,2)代入y=得2=,则m=﹣8.则反比例函数的解析式是y=﹣;把B(n,﹣4)代入y=﹣得n=﹣=2,则B的坐标是(2,﹣4).根据题意得:,解得,则一次函数的解析式是y=﹣x﹣2;(2)设AB与x轴的交点是C,则C的坐标是(﹣2,0).则OC=2,S△AOC==2,S△BOC=×2×4=4,则S△AOB=S△AOC+S△BOC=6.23.【解答】证明(1)∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;(2)∵∠B=45°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°=∠DAE,又∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=45°,∵DG⊥DE,∴∠GDE=90°,∴∠GDA=45°,∵∠BAD=22.5°,∴∠DAF=67.5°,∠BGD=∠BAD+∠ADG=67.5°,∴∠BDG=180°﹣∠B﹣∠BGD=67.5°=∠BGD,∠AFD=180°﹣∠ADF﹣∠DAF=67.5°=∠DAF,∠ADC=180°﹣∠ACB﹣∠DAC=67.5°=∠DAC,∴△BDG,△ADC,△ADF都是顶角为45°的等腰三角形,∵△BAD≌△CAE,∴∠B=∠ACE=45°,又∵∠AFD=∠CFE=67.5°,∴∠CFE=∠CEF=67.5°,∴△CEF是顶角为45°的等腰三角形.24.【解答】解:(1)设乙种商品每箱可盈利x元,则甲种商品每箱可盈利(x+5)元,根据题意,得:60(x+5)+40x=1300,解得:x=10,∴x+5=15,答:甲种商品每箱盈利15元,则乙种商品每箱盈利10元;(2)甲种商品降价a元,则每天可多卖出20a箱,由题意得:w=(15﹣a)(100+20a)=﹣20a2+200a+1500=﹣20(a﹣5)2+2000,当a=5时,函数有最大值,最大值是2000元.答:当降价5元时,该商场利润最大,最大利润是2000元.25.【解答】(1)证明:∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABD+∠ADB=90°,∵∠ADB=∠ACB,∴∠ABD+∠ACB=90°;(2)证明:如图2,连接CD,∵BD为⊙O的直径,∴CD⊥BC,∵AG⊥BC,∴AG∥CD,∴∠EAF=∠ECD,∠AFE=∠CDE,∵EF=ED,∴△AEF≌△CED(AAS),∴AE=CE,∵BD是直径,∴BD⊥AC,即BD是AC的垂直平分线,∴AB=BC;(3)解:由(2)知,∠ABD=∠CBD,设∠CBH=α,∠ABD=∠CBD=β,则∠AHB=90°﹣α,∵BD∥CP,∴α+β=∠DBH=∠BHP=45°,∴∠AHB=90°﹣α=2(α+β)﹣α=α+2β=∠ABH,∴AH=AB=BC,如图3,作BQ⊥CH,交CP的延长线于点Q,则∠ACH=90°=∠Q,BH=BQ,∵∠CAH+∠ACG=90°=∠QCB+∠ACG,∴∠CAH=∠QCB,∴△ACH≌△CQB(AAS),∴CH=BQ,∴BH=BQ=CH=6.26.【解答】解:(1)对于y=﹣x+3,令x=0,则y=3,∴C(0,3).令y=0,则﹣x+3=0,解得:x=3,∴B(3,0).∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,C,∴,解得:.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)设直线PD交x轴于点E,如图,∵点P为第一象限内抛物线上一点,点P的横坐标为t,∴P(t,﹣t2+2t+3).∴PE=﹣t2+2t+3.∵过点P作y轴的平行线交线段BC于点D,∴D(t,﹣t+3).∴DE=﹣t+3.∴PD=PE﹣DE=﹣t2+3t.∴d=﹣t2+3t.(3)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴P(1,4).令x=0,则y=3,∴C(0,3).∴OC=3.设直线PC的解析式为y=kx+m,∴,解得:.∴直线PC的解析式为y=x+3.令y=0,则x=﹣3,∴E(﹣3,0).∴OE=3.∵OE⊥OC,∴∠OEC=∠OCE=45°,EC=OC=3.过点F作∠CFN的平分线交BC于点M,过点R作RQ⊥AB于点Q,如图,∵∠CFN=2∠NEA,∴∠MFD=∠MFN=∠NEA.∵EG⊥CF,∴∠NEA+∠EFD=90°.∴∠MFD+∠EFD=90°.即:MF⊥AB.∵OC⊥AB,∴MF∥OC.∴∠OCF=∠MFC.∴∠OCF=∠NEA.设直线EN交y轴于点D,在△OED和△OCF中,,∴△OED≌△OCF(ASA).∴OD=OF.设OF=a,FQ=b,则OD=a,BQ=3﹣a﹣b,∵∠OBC=45°,RQ⊥AB,∴RQ=3﹣a﹣b.∵∠COF=∠RQF=90°,∠CFO=∠RFQ,∴△COF∽△RQF.∴.∴.整理得:b=.∴OQ=OF+FQ=,RQ=BQ=3﹣a﹣=.∴R(,).设直线FR的解析式为y=dx+e,∵F(a,0),∴.解得:.∴直线FR的解析式为y=x﹣3.由于E(﹣3,0),D(0,a),同理可求直线ED的解析式为:y=x+a.∴.解得:.∴N(,).∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上,∴﹣+2×+3=.解得:a=或(负数不合题意,舍去).∴=.∴N(,).。
黑龙江省哈尔滨市呼兰区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年度上学期九年级期中考试题数学试卷考生须知:1、本试卷满分为120分,考试时间为120分钟.2、答题前,考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚,将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸,试题纸上答题无效.4、选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.5、保特卡面整洁,不要折叠、不要弄脏、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷 选择题(共30分)(涂卡)一、选择题(每题3分,计30分,每题只有一个正确的答案)1.如图是“光盘行动”的宣传海报(部分),图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .平行2.二次函数与y 轴的交点坐标是( )A .B .C .D .3.中国“二十四节气”己被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A .B .C . D.256y x x =++()2,0-()3,0-()6,0()0,64.对于二次函数的图象,下列说法正确的是()A .开口向上B .对称轴是直线C .当时,y 随x 的增大而减小D .点在此函数图象上5.如图,AB 是的直径,点D 为上一点,连接AC ,BC ,CD ,BD ,,则的度数是( )A .B .C .D .6.二次函数的图象的对称轴是( )A .直线B .直线C .直线D .直线7.如图,已知上三点A ,B ,C ,,切线PA 交OC 的延长线于点P ,则的度数为( )A .B .C .D .8.如图,是由绕A 点旋转得到的,若,,,则旋转角的度数为( )A . B . C . D .9.定义运算:,例如:,则方程的根的情况为( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D.只有一个实数根()223y x =-+3x =-4x >-()2,2-O O 50D ∠=︒ABC ∠60︒50︒40︒25︒()()35y x x =-+3x =5x =1x =-1x =O 32ABC ∠=︒P ∠32︒26︒38︒28︒ADE △ABC △40BAC ∠=︒90B ∠=︒10CAD ∠=︒80︒50︒40︒10︒21m n n mn =--☆25335317=-⨯-=-☆26x =☆10.在中,边BC 的长与BC 边上的高的和为8,当面积最大时,则BC 的长为()A .4B .8C .2D .无法确定第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(每小题3分,共计30分)11.如图,已知是的内切圆,切点分别是D 、E 、F ,若,则CE 的长为________.12.函数中,自变量x 的取值范围是________.13.方程的两个根是________.14.如图,四边形ABCD 内接于,若四边形OBCD 为平行四边形,则的度数是________.15.如图,正六边形ABCDEF 内接于,的半径是1,则正六边形ABCDEF 的周长是________.16.将二次函数向右平移2个单位长度得到的解析式为________.17.若扇形的半径为2,圆心角为则这个扇形的面积为________.18.抛物线的顶点坐标是________.19.在中,弦,过点O 的直线垂直于AB 于点D ,交于点E ,,则DE 的长为________.20.如图,在中,,,,点D 为BC 中点,连接AD ,以AD 为边向左侧作等边,连接CE ,则________.ABC △ABC △O ABC △5CD =32x y x =+214480x x -+=O A ∠O O 23y x =-90︒29y x =-O 8AB =O 3OD =Rt ABC △90ACB ∠=︒30B ∠=︒BC =ADE △CE =三、解答题:(共60分)21.(本题7分)如图,在中,,以AB 为直径的与AC 交于点D ,过D 作,交AB 的延长线于E ,垂足为F .求证:DE 为的切线;22.(本题7分)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A ,O ,B 的位置如图,它们的坐标分别是,和.(1)在图1中添加一颗棋子C ,画出以A ,O ,B ,C 四颗棋子为顶点的四边形,使其是轴对称图形,但不是中心对称图形;(2)在图2中添加一颗棋子P ,画出以A ,O ,B ,P 四颗棋子为顶点的四边形,使其是中心对称图形,但不是轴对称图形,并直接写出棋子P 的坐标.图1 图223.(本题8分)如图,某养殖场在养殖面积扩建中,准备将总长为78米的篱笆围成矩形ABCD 形状的鸡舍,其中AD 一边利用现有的一段足够长的围墙,其余三边用篱笆,且在与墙平行的一边BC 上开一个2米宽的门PQ .设AB 边长为x 米,鸡舍面积为y平方米.ABC △AB BC =O DF BC ⊥O ()1,1-()0,0()1,0(1)求出y 与x 的函数关系式;(不需写自变量的取值范围)(2)当鸡舍的面积为800平方米时,求出鸡舍的一边AB 的长.24.(本题8分)如图1,将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ,点B 与点E 对应,点E 恰好落在AD 边上,交于点H .(1)求证:;(2)如图2,连接AH 并延长交CD 于点M ,交CG 于点N ,点K 在CD 的延长线上,连接EK ,若,在不添加任何辅助线和字母的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形. 图1 图225.(本题10分)在“哈尔滨工程大学”校庆中,1000架无人机“舞动苍穹,逐梦深蓝”形成了一道靓丽的风景线.某无人机公司统计发现:公司今年2月份生产A 型无人机2000架,4月份生产A 型无人机达到12500架.(1)求该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率;(2)该公司还生产B 型无人机,已知生产1架A 型无人机的成本200元,生产1架B 型无人机的成本是300元,若生产A 、B 两种型号无人机共100架,预算投入生产的成本不高于22500元,问最多能生产B 型无人机多少架?26.(本题10分)如图1,四边形ABCD 内接于,.(1)连接BD ,求证:BD 平分;(2)如图2,若,等边的顶点G ,E ,F 分别在AB ,BC ,CD 上,,连接GH 、FH ,求证:;(3)在(2)的条件下,如图3,若点G 为AB 的中点,,连接BF ,,求的半径.图1 图2 图327.(本题10分)如图1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线与x 轴交于点,两点,交y 轴于点C.BH CE ⊥CD BH =45EAH KED ∠+∠=︒O AB BC =ADC ∠60ABC ∠=︒EFG △BH BG =BE FH =3BE CE=BF =O 26y ax bx =+-()2,0A ()6,0B -(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,连接BC ,点P 为BC 下方抛物线上一点,连接PB ,PC ,若设的面积为S ,点P 的横坐标为t ,求s 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,如图3,点Q 为BC 上一点,连接PQ 并延长交x 轴于点E ,延长PB 至点D ,连接QD 交x 轴于点M ,,点M 为QD 中点,连接AC ,点F 在AC 上,连接EF ,交BC 于点K ,连接EK ,EH 平分交FK 于点H ,交EF 于点T ,于点G ,若,,求点P 的坐标.图1 图2 图3参考答案一、1-5.ADDBC 6-10.CBBAA二、11.5 12、 13., 14. 15.616. 17. 18. 19.2或8 20.2三、21.证明:连接OD1分,2分1分PBC △BD QE =KF EF ⊥FEK ∠HT EK ∥TG EK ⊥TH EG AE +=EFA PBE ∠=∠23x ≠-16x =28x =60︒()232y x =--π()0,9-BA BC= A C ∴∠=∠OA OD = A ODA ∴∠=∠ODA C ∴∠=∠OD BC ∴∥1分, 1分直线DE 是的切线 1分22.(1)画图正确 3分(2)画图正确 3分P 写正确 1分23.解:(1)由题意得:4分(2)由题意得: 2分解得: 2分答:鸡舍的一边AB 长为20米24.证明:(1)四边形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的 1分四边形ABCD 是矩形, 1分1分,, 1分(2)、、、 4分25.解:(1)设该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率为x ,由题意得: 3分解得:, 1分答:该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率为 1分(2)设生产B 型号无人机a 架,则生产A 型号无人机架,由题意得: 1分 2分解得: 1分答:最多能生产B 型无人机25架 1分26.(1)证明:,弧弧BC 1分1分ODE CFD ∠∠DF BC ⊥ 90CFD ∴∠=︒90ODE CFD ∴∠=∠=︒D ODE ∴⊥∴O ()()27822802280y AB AD x x x x x x =⋅=+-=-=-+2280800y x x =-+=1220x x == CE BC ∴= AD BC ∴∥90D ∠=︒DEC BCH ∠=∠∴BH CE ⊥ 90BHC ∴∠=︒BHC D ∴∠=∠()BHC CDE AAS ∴△≌△BH CD ∴=AEH △ABH △CNM △ECK △()22000112500x +=1 1.5150%x ==2 3.5x =-150%()100a -()20010030022500a a -+≤25a ≤AB BC = ∴AB =ADB BDC ∠=∠∴平分 1分(2)证明:,,是等边三角形,1分是等边三角形,, 1分, 1分(3)连接AC 交FH 于点K ,是等边三角形点G 为AB 的中点,,,是等边三角形, 1分在FH 上截取是等边三角形,,1分过点F 作于点L ,设,过点G 作于N,由勾股定理得,由勾股定理得解得 1分连接OA 、OG 、OB,BD ∴ADC ∠BG BH = 60ABC ∠=︒BGH ∴△60BGH ∠=︒∴BG GH =GEF △60EGF ∴∠=︒GE GH=BGH HE EGF HE∴∠+∠=∠+∠BGE HGF ∴∠=∠BGE HGF ∴△≌△BE HF ∴=ABC ∴△ BG AG∴=BH CH ∴=BGE HGF△≌△60B GHF ∠=∠=︒∴60DHC ∴∠=︒KHC ∴△CK CH HK∴==HE KF ∴=HM HE=HME ∴△ME HE KF==∴MF BH CK =+∴60HME HKC ∠=∠=︒120FME FKC ∴∠=∠=︒()FKC EMF SAS ∴△≌△FC EF ∴=FL CE ⊥EL CL∴=EL CL a==36BE CE a ∴==4BG a∴=GN BC ⊥60GBN ∠=︒ 30BGN ∴∠=︒122BN BG a∴==∴GN =4EN a =∴GE =2222FE EL FB BL ∴-=-()()22227a a ∴-=-12a =4BC ∴=OG AB ∴⊥120AOB ∠=︒,即解得1分27.解:(1)将、代入得解得1分抛物线的解析式为. 1分(2)点P 在抛物线上当时,,过点P 作于点R ,于S ,点P 在第三象限12OG OA ∴=222AG OG OA ∴+=22142OA OA ⎛⎫+= ⎪⎝⎭OA =O ∴ ()2,0A ()6,0B -26y ax bx =+-426036660a b a b +-=⎧⎨--=⎩122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴21262y x x =+- 21262y x x =+-21,262P t t t ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭0x =6y =-()0,6C ∴-PR AB ⊥PS OC ⊥, 1分连接OP 2分(3)过点Q 作交AB 于点N ,,为QD 的中点1分,,1分平分,,,,, 1分,PR t ∴=-21262PS t t =--+PBC PBO POC BOC S S S S ∴=+-△△△△11166222BO PR OC PS =⋅+⋅-⨯⨯()2111626618222t t t ⎛⎫=⨯--++⨯-- ⎪⎝⎭2392t t =--2392s t ∴=--QN BD ∥MQN MDB ∠=∠∴MNQ DBM ∠=∠QNE NBP ∠=∠M DM MQ∴=()QMN DMB ASA ∴△≌△QN DB∴=BD QE = QN QE ∴=QNE QEN ∴∠=∠QEN PBE ∴∠=∠PB PE ∴=EH FEK∠FEH KEH∴∠=∠TH EK∥THE KEH ∴∠=∠FTH TEG ∠=∠THE THE ∴∠=∠TE TH ∴=EF FK ⊥ TG EK ⊥90TFH TGE ∴∠=∠-︒()TGE HFT AAS ∴△≌△EG TF ∴=TH EG AE += TE TF AE EF ∴+==AE EF ∴=EAF EFA ∴∠=∠EFA PBE ∠=∠,设AC 解析式为,直线AC 解析式为设直线EP 的解析式为过点P 作于点I 1分把点、代入得解得,(舍去) 1分EAF PEB ∴∠=∠AC EP ∴∥y mx n =+620n m n =-⎧⎨+=⎩36m n =⎧⎨=-⎩∴∴36y x =-∴3y x c =+PI OB ⊥6BI EI t ∴==+()26,0E t ∴+21P ,262t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()26,0E t --3y x c =+()2326013262t c t c t t ++=⎧⎪⎨+=+-⎪⎩14t =26t =-()4,6P ∴--。
2021-2022年黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学期中试卷附答案解析
且
.
【分析】根据一元二次方程根的判别式和二次项系数不为 0,进行求解即可。
18.【答案】 直角三角形
【解析】【解答】解:x2-6x+8=0, 〔x-4〕〔x-2〕=0, x-4=0 或 x-2=0, 所以 x1=4,x2=2,
∵两边长分别为 3 和 5, 而 2+3=5,
∴x=4, ∵32+42=52 , ∴这个三角形的形状是直角三角形. 故答案为:直角三角形.
等式左边含有分式,故不是一元二次方程;
B、
没有等号,故不是一元二次方程;
C、
整理后是
符合定义,故是一元二次方程;
D、
含有两个未知数,故不是一元二次方程,
故答案为:C. 【分析】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 且最高次项的系数不为 0,这样的整式方程叫做
一元二次方程,根据定义判断即可.
2.【答案】 A 【解析】【分析】根据几个选项,分别将 x=1 或 x=0 代入 y=-x2+1 中,求 y 的值即可.
20.【答案】 90°
【解析】【解答】∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC.
∴AC=CE,∠ACE=90°,∠BAC=∠E
∵点 A,D,E 在同一条直线上,
∴∠EAC=∠E=
45°.
∴∠BAC=∠E=45º ∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=45°+45°=90°. 故答案为:90°.
也停止运动.如果 M、N 两点分别从 A、O 两点同时出发,设运动时间为ts 时四边形 ABNM 的面积为 Scm2 .
〔1〕求 S 关于t 的函数关系式,并直接写出t 的取值范围; 〔2〕判断 S 有最大值还是有最小值,用配方法求出这个值.
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九年级(上)期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.在2,-6,0,π这四个数中,最小的数是( )A. 2B. −6C. 0D. π2.下列运算正确的是( )A. 2x2⋅x3=2x5B. (x−2)2=x2−4C. x2+x3=x5D. (x3)4=x73.下列四个图形中是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.把抛物线y=3x2向右平移2个单位,然后向下平移6个单位,则平移后抛物线的解析式为( )A. y=3(x+2)2+6B. y=3(x−2)2+6C. y=3(x+2)2−6D. y=3(x−2)2−65.分式方程10015+x=5015−x的解是( )A. x=20B. x=−20C. x=−5D. x=56.对于每一象限内的双曲线y=m+4x,y都随x的增大而增大,则m的取值范围是( )A. m>−4B. m>4C. m<−4D. m<47.如图,在综合实践活动中,小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°,同时测得BC=15米,则树的高AB(单位:米)为( )A. 15tan37∘B. 15sin37∘C.15tan37∘ D. 15sin37∘8.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,如果∠E=60°,那么∠P等于( )A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘9.如图,点F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )A. EDEA=DFABB. DECB=EFFBC. BFBE=BCAED. BCDE=BFBE10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是( )A. abc>0C. 2a+b>0D. b2−4ac<0二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)11.将0.000 002 06用科学记数法表示为______.12.在函数y=x+2x−6中,自变量x的取值范围是______.13.计算54−432的结果为______.14.把多项式x3y-6x2y+9xy分解因式的结果是______.15.某扇形的弧长为5πcm,圆心角为150°,则此扇形的面积为______.16.不等式组3x−1≥x+3x+8>4x−1的解集是______.17.二次函数y=-2(x-3)2+7的最大值为______.18.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,∠BCD=27°,则∠AOD的度数为______.19.已知△ABC,O为AC中点,点P在AC上,若OP=1,sin∠A=13,∠B=120°,BC=23,则AP=______.20.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=45°,CD=2,BC=10,连接AC、BD,若AC⊥AB,则BD的长度为______.三、计算题(本大题共1小题,共7.0分)21.先化简,再求代数式x+1x÷(x-1+2x23x)的值,其中x=2sin60°+tan45°.四、解答题(本大题共6小题,共53.0分)22.如图,每个小正方形的边长都是1的方格纸中,有线段AC和EF,点A、C、E、F都在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中画出一个以线段AC为对角线的正方形ABCD,所画的正方形的各顶点必须在小正方形的顶点上.(2)在方格纸中以EF为腰画出等腰三角形△EFM,点M在小正方形的顶点上,且MF=MC.(3)在(1)、(2)的条件下,连接MA,请直接写出线段MA的长.23.为迎接2019年中考,对道里区西部优质教育联盟九年级学生进行了一次数学期中模拟考试,并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:(1)这次被调查的学生共有多少人,并将条形统计图补充完整:(2)在扇形统计图中,求出“优”所对应的圆心角度数;(3)若该联盟九年级共有1050人参加了这次数学考试,估计九年级这次考试共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀?24.已知BD是△ABC的角平分线,点E在边AB上,BC=BE,过点E作EF∥AC,交BD于点F,连接CF.(1)如图1,求证:四边形CDEF是菱形;(2)如图2,当四边形CDEF是正方形,且AC=BC时,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中度数等于30°的角.25.某商店从厂家选购甲、乙两种商品,乙商品每件进价比甲商品每件进价少20元,若购进甲商品5件和乙商品4件共需要1000元;(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?(2)若甲种商品的售价为每件145元,乙种商品的售价为每件120元,该商店准备购进甲、乙两种商品共40件,且这两种商品全部售出后总利润不少于870元,则甲种商品至少可购进多少件?26.如图,AB、AC、AD是⊙O的弦,弧BC=弧BD,CE⊥AB于M,交⊙O于E,交AD于F.(1)如图1,求证:AF=AC;(2)如图2,连接BF、AE、BE,交AD于H,求证:∠DAE=∠EBF;(3)如图3,连接BO,并延长交AE于Q,交AD于点G,连接BC,若QG=4,FH=GF,tan∠BCE=1,求线段AB的长.27.在平面直角坐标系中,直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,点D是抛物线第四象限上的一动点,连接DC,DB,当S△DCB=S△ABC 时,求点D坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点Q在CA的延长线上,连接DQ,AD,过点Q 作QP∥y轴,交抛物线于P,若∠AQD=∠ACO+∠ADC,请求出PQ的长.答案和解析1.【答案】B【解析】解:根据题意得:-6<0<2<π,则最小的数是-6,故选:B.将各数按照从小到大顺序排列,找出最小的数即可.此题考查了有理数大小比较,将各数正确的排列是解本题的关键.2.【答案】A【解析】解:A、2x2•x3=2x5,故本选项正确;B、应为(x-2)2=x2-4x+4,故本选项错误;C、x2与x3不是同类项,不能合并,故本选项错误;D、应为(x3)4=x12,故本选项错误.故选:A.根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法,利用排除法求解.本题主要考查了合并同类项的法则,完全平方公式,幂的乘方的性质,单项式的乘法法则,熟练掌握运算法则是解题的关键.3.【答案】A【解析】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;C、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意;D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不合题意.故选:A.根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.4.【答案】D【解析】解:抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向右平移2个单位,再向下平移6个单位所得对应点的坐标为(2,-6),所以平移后抛物线的解析式为y=3(x-2)2-6.故选:D.先根据二次函数的性质得到抛物线y=3x2的顶点为(0,0),再利用点平移的规律得到点(0,0)平移后的对应点的坐标为(3,-2),然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式.变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.5.【答案】D【解析】解:去分母得:100(15-x)=50(15+x),去括号得:1500-100x=750+50x,移项合并得:-150x=-750,解得:x=5,经检验x=5是分式方程的解,故选:D.分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.6.【答案】C【解析】解:∵对于每一象限内的双曲线y=,y都随x的增大而增大,∴m+4<0,解得,m<-4,故选:C.根据反比例函数的性质可以得到m的取值范围,本题得以解决.本题考查反比例函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.7.【答案】C【解析】解:如图,在直角△ABC中,∠B=90°,∠C=37°,BC=15m,∴tanC=,则AB=BC•tanC=15tan37°.故选:C.通过解直角△ABC可以求得AB的长度.本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.8.【答案】A【解析】解:连接OA,OB,∵PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠E=60°,∴∠AOB=120°,∴∠P=360°-120°-90°-90°=60°.故选:A.直接利用切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°,进而利用圆周角定理结合四边此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理,正确把握切线的性质是解题关键.9.【答案】D【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,AD∥BC,CD=AB,AD=BC,∴=,故A正确,选项不符合题意;∴=正确,B选项不符合题意;=,正确,故C不符合题意;∴=,错误,D符合题意.故选:D.由四边形ABCD是平行四边形,可得CD∥AB,AD∥BC,CD=AB,AD=BC,然后平行线分线段成比例定理,对各项进行分析即可求得答案.本题考查平行线分线段成比例定理,找准对应关系,避免错选其他答案.10.【答案】B【解析】解:由图象可得,a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故选项A错误,当x=-1时,y=a-b+c<0,则a+c<b,故选项B正确,=1,得b=-2a,即2a+b=0,故选项C错误,抛物线与x轴两个交点,则b2-4ac>0,故选项D错误,故选:B.根据函数图象和二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成立,本题得以解决.本题考查二次函数图象与系数的关系,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.11.【答案】2.06×10-6【解析】解:0.000 002 06=2.06×10-6.故答案为:2.06×10-6.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.12.【答案】x≠6解:根据题意知x-6≠0,解得:x≠6,故答案为:x≠6.让分式的分母不为0列式求值即可.本题考查了函数自变量取值范围的求法.要使得本题式子有意义,必须满足分母不等于0.13.【答案】6【解析】解:=3-4×=3-2=,故答案为:.先化简各二次根式,再合并同类二次根式即可得.本题主要考查二次根式的加减法,解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和运算法则.14.【答案】xy(x-3)2【解析】解:x3y-6x2y+9xy=xy(x2-6x+9)=xy(x-3)2.故答案为:xy(x-3)2.直接提取公因式xy,再利用完全平方公式分解因式得出答案.此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.15.【答案】15πcm2【解析】解:∵l=5πcm,n=150°,∴l=,∴r===6(cm),则此扇形的面积为=15π(cm2),故答案为:15πcm2.首先设此扇形的半径是r,根据扇形的弧长为5πcm,圆心角为150°,求出扇形的半径是多少;然后根据扇形的面积公式计算可得.此题主要考查了扇形的面积的计算方法,解答此题的关键是熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式.16.【答案】2≤x<3解:,由①得,x≥2,由②得,x<3,故不等式组的解集为:2≤x<3.分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.17.【答案】7【解析】解:二次函y=-2(x-3)2+7,a=-2<0,开口向下,函数有最大值是7.故答案为:7利用二次函数的一般形式中的顶点式,判断开口方向进而得出最值解决问题.本题主要考查了二次函数的性质,正确判断二次函数的开口方向,顶点坐标是解决问题的关键.18.【答案】126°【解析】解:∵∠BOD=2∠BCD,∠BCD=27°,∴∠BOD=54°,∴∠AOD=180°-54°=126°,故答案为126°.根据圆周角定理即可解决问题;本题考查圆周角定理,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.19.【答案】72或112【解析】解:作CD⊥AB的延长线于D,∵∠ABC=120°,∴∠CBD=60°,∵BC=2,∴DC=BC•sin60°=2•=3,∵sinA=,∴AC=9,∵OP=1,∴AP=或.故答案为:或.作CD⊥AB的延长线于D,求得∠CBD=60°,解直角三角形求得DC=3,进而求得AC=9,即可求得AO=AC=,然后求得AP的长.本题考查了解直角三角形,此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.20.【答案】25【解析】解:过A作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,过C作CF⊥AD于F,则△ADE是等腰直角三角形,∵∠ADC=45°,∴△CDF是等腰直角三角形,∴CF=DF=CD=1,∵AC⊥AB,∠ABC=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC=,∴AF==2,∴AD=3,∴DE=AD=3,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,在△BAD与△CAE中,,∴△BAD≌△CAE,(SAS),∴CE=BD,∵∠ADE=∠ADC=45°,∴∠CDE=90°,∴CE==2,∴BD=CE=2.故答案为:2.过A作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,过C作CF⊥AD于F,得到△ADE 是等腰直角三角形,证明△DAB≌△EAC得:EC=BD,在Rt△DCE中,利用勾股定理求EC的长,于是得到结论.本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.21.【答案】解:原式=x+1x÷3x2−1−2x23x=x+1x•3x(x+1)(x−1)=3x−1,当x=2×32+1=3+1时,原式=3.【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.此题考查了分式的化简求值,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.22.【答案】解:(1)正方形ABCD如图所示;(2)以EF为腰的等腰三角形△EFM如图所示;(3)AM=12+62=37.【解析】(1)根据正方形的性质,求出正方形的边长,即可解决问题;(2)根据点M在CF的垂直平分线上,MF=EF=5,即可画出图形;(3)利用勾股定理计算即可解决问题;本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.23.【答案】解:(1)22÷44%=50,所以这次被调查的学生共有50人;成绩为中的人数为50-10-22-8=10,补图条形统计图为:(2)360°×1050=72°,答:“优”所对应的圆心角度数72°;(3)1050×1050=210,答:估计九年级这次考试共有210名学生的数学成绩可以达到优秀.【解析】(1)用“良”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,然后计算出成绩为“中”的人数后补全条形统计图;(2)用“优”所占的百分比乘以360°得到优”所对应的圆心角度数;(3)用1050乘以即可.本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.24.【答案】证明:在△BDE和△BDC中,BE=BC∠EBF=∠CBFBD=BD,∴△BDE≌△BDC;∴DE=DC,∠BDE=∠BDC同理△BFE≌△BFC,∴EF=CF∵EF∥AC∴∠EFD=∠BDC,∴∠EFD=∠BDE,∴DE=EF,∴DE=EF=CF=DC,∴四边形CDEF是菱形;(2)∵四边形CDEF是正方形,∴∠CDE=∠DEF=2∠EFD=90°,∵AC=BC,∴∠A=∠CBE,∵∠A+∠AED=180°-90°=90°,∠AED+∠FEB=90°,∴∠A=∠FEB=∠CBE=2∠EBF,∵∠EBF+∠FEB=∠DFE=45°,∴∠EBF=15°,∴∠FEB=30°,∴∠A=∠ABC=∠FEB=30°,∵△BFE≌△BFC,∴∠FEB=∠FCB=30°,图中度数等于30°的角是∠A,∠ABC,∠FEB,∠FCB.【解析】(1)直接由SAS得出△BDE≌△BDC,得出DE=DC,∠BDE=∠BDC.再由SAS 证明△BFE≌△BFC,得出EF=CF.由EF∥AC得出∠EFD=∠BDC,从而∠EFD=∠BDE,根据等角对等边得出DE=EF,从而DE=EF=CF=DC,由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形;(2)如图2,利用正方形的性质可得∠DFE=45°,然后证明∠FEB=∠CBE=2∠FBE 即可.本题主要考查了全等三角形、菱形的判定,正方形的性质等知识.关键是由SAS得出△BDE≌△BDC.25.【答案】解:(1)设甲种商品每件的进价是x元,乙两种商品每件的进y元.5x+4y=1000y=x−20,解得:y=100x=120,答:甲种商品每件的进价是120元,乙两种商品每件的进100元;(2)设甲种商品可购进a件.(145-120)a+(120-100)(40-a)≥870解得:a≥14,答:甲种商品至少可购进14件.【解析】(1)直接利用乙商品每件进价比甲商品每件进价少20元,若购进甲商品5件和乙商品4件共需要1000元,分别得出等式求出答案;(2)利用这两种商品全部售出后总利润不少于870元,得出不等关系求出答案.此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用,正确得出不等关系是解题关键.26.【答案】(1)证明:∵BC=BD,∴∠CAB=∠DAB,∵CE⊥AB,∴∠AMC=∠AMF=90°,∵180°-∠ABC-∠AMC=180°-∠DAB-∠AMF,即∠ACM=∠AFM,∴AC=AF;(2)证明:如图(2),连接BC,在△ABC与△ABF中AC=AF∠CAB=∠FABAB=AB,∴△ACB≌△AFB,(SAS),∴∠ACB=∠AFB,∵四边形ACBE为圆内接四边形,∴∠ACB+∠AEB=∠AFB+∠BFH=180°,∴∠AEB=∠BFH,∵BC=BD,∴∠BEC=∠BAD,∵∠AFM=∠EFH,∴∠EHF=∠AMF=90°,∴∠BHF=90°,∴∠DAE+∠AEB=∠BFH+∠EBF=90°,∴∠DAE=∠EBF;(3)解:∵∠CMB=90°,tan∠BCE=1,∠BCE=∠BAE=45°,过点O作OK⊥BE于K,∴BH=EH,∠BGH=∠BAE=45°,∴∠OBH=∠BGH=45°,∴∠BCE=∠BAE=∠BOK=∠BGH=∠GBH=45°,∴△GHB为等腰直角三角形,∵∠EAB=∠EAD+∠DAB=∠BGD=∠BAD+∠ABO=45°,∴∠ABO=∠DAE,∵FH=GF,∴tan∠EBF=tan∠DAE=tan∠ABO=HFBH=12,过Q作QR⊥AB于R,QT⊥AD于T,∵QG=4,∴QT=TG=22,在Rt△ATQ中,∠ATQ=90°,tan∠TAQ=12,∴AT=2TQ=42,∴AQ=AT2+QT2=210,∴AR=RQ=25,∴BR=2QR=45,∴AB=AR+BR=65.【解析】(1)根据圆周角定理得到∠CAB=∠DAB,根据三角形的内角和得到∠ACM=∠AFM,由等腰三角形的判定定理即可得到结论;(2)如图(2),连接BC,根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠AFB,根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠BFH,根据余角的性质即可得到结论;(3)过点O作OK⊥BE于K,根据垂径定理得到BH=EH,求得∠BCE=∠BAE=∠BOK=∠BGH=∠GBH=45°,推出△GHB为等腰直角三角形,过Q作QR⊥AB于R,QT⊥AD于T,解直角三角形即可得到结论.本题考查了垂径定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.27.【答案】解:(1)y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,则B(4,0)、C(0,2),把B,C两点坐标代入二次函数,解得,二次函数的表达式为:y=-12x2+32x+2,则:A(-1,0);(2)由A、B、C点坐标得:AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90°,过点D作DL⊥CB交BC于L点,S△DCB=S△ABC,DL=AC,而DL∥AC,∴四边形DLCA为平行四边形,又∠ACB=90°,∴四边形DLCA为矩形,∴∠ACB=∠BAD,∴tan∠BAD=tan∠CBA=COBO=12,设:点D的坐标为(m,n),n=-12m2+32m+2,…①则:tan∠BAD=12=−nm+1…②,联立①②解得:m=5,m=-1(舍去),则D(5,-3);(3)如下图:设直线CD与x轴交于R,过点D作DM⊥x轴,DT⊥y轴,把C、D坐标代入一次函数表达式,解得:直线BC所在的方程为:y=-x+2,令y=0,则R(2,0),∴OR=OC=2,∴RCO=45°,∴∠ACO+∠DCB=90°-45°=45°,而∠CDA=∠DCB∴∠AQD=∠ACO+∠ADC=ACO+∠DCB=45°,∵四边形DLCA为矩形,则△AQD为等腰直角三角形,∴AQ=AD,而∠DAB=∠AQN∴Rt△AQD≌Rt△ADM,∴AN=BM=3,QN=AM=6∴N(-4,0),把x=-4代入二次函数表达式,解得P(-4,-12),则PQ=6.【解析】(1)y=-x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,则B(4,0)、C(0,2),把B,C 两点坐标代入二次函数,即可求解;(2)证明四边形DLCA为矩形,tan∠BAD=∠tan∠CBA==,设:点D的坐标为(m,n),n=-m2+m+2,…①,则:tan∠BAD==…②,联立①②即可求解;(3)证明△AQD为等腰直角三角形、Rt△AQD≌Rt△ADM,即可求解.主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.。