初三-第01讲-二次函数(提高)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-----二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、 知识概念(一) 二次函数的定义一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．注意：1、二次项系数a ≠0；y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)叫做二次函数的一般式；2、ax 2＋bx ＋c 必须是整式；3、一次项、常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； x 的取值范围是全体实数．(二) 二次函数的图像与性质1、二次函数图像的基本性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a增减性当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值4ac －b 24a2、二次函数图像的平移 ➢ 方法一：总结：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． ➢ 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”．3、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1） 二次项系数a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．（2）一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置， “左同右异”。

（3） 常数项c ：决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．(三) 二次函数的表达式1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 使用条件：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2(四)二次函数的应用解题一般方法步骤（先构造二次函数模型）：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．(五)二次函数与一元二次方程（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．（2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．（3）当Δ＞0时，有两个不同的交点；当Δ＝0时，有一个交点；当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．0【解析】B．例2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（）A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与半径之间的关系【解析】C．考点二：二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】C．例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a＜；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【解析】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．例3、将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）2【解析】D．考点三：二次函数的表达式例1、把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（）A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=﹣（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=﹣（x﹣1）2+3【解析】C．例2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2【解析】A．考点四：二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A．20B．1508C．1550D．1558【解析】当x=20时，y最大值=1558．故选D．例2、如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，反映y与x之间函数关系的大致图形是（）A．B．C．D．【解析】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，∴y=2πx2．当x=5时，y=2π×25=50π．故选：D．例3、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【解析】（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．考点五：二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4B．﹣3＜k＜1C．k＜﹣3或k＞1D．k＜4【解析】由图象可知，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，把（1，0）代入解析式得，a=﹣1，∴解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，方程=﹣x2﹣2x+3=k有两个不相等的实根，△=4+12﹣4k＞0，解得：k＜4．故选：D．例2、如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．0D．【解析】当y=0时，﹣x（x﹣3）=0，解得x1=0，x2=3，则A1（3，0），OA1=3，∵C1绕A1旋转180°得到C2，∴A1A2=OA1=3，则OA2=6，A2（6，0），∴C2的解析式为y=（x﹣3）（x﹣6）（3≤x≤6），同样可得OA13=39，OA14=42，则A13（39，0），A14（42，0），∴C14的解析式为y=（x﹣39）（x﹣42）（39≤x≤42），∴点P（41，m）在抛物线C14上，当x=41时，m=2×（﹣1）=﹣2．故选B．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3B．a≠﹣1或a≠0C．a=3D．a=﹣1【解析】C．2、下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系【解析】D．3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=0【解析】B．4、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．5、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3【解析】D．6、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．【解析】A．7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴③正确；∵=﹣2，c=﹣1，∴b2=4a，∴④正确．综上，结论正确的是：③④．故选D．8、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．±2D．±1【解析】∵y=﹣x2+2x+m2+1=﹣（x﹣1）2+m2+2，∴m2+2=4，解得，m=，故选A．9、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？【解析】（1）由题意可得，y=50﹣=，即y与x的函数关系式是：y=﹣x+50；（2）当每间客房每天的定价增加x元时，设宾馆的利润为w元，则w=（﹣x+50）（220+x﹣40）=﹣，当x=﹣=160时，w有最大值，故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元），即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大．10、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解析】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d最大===∴D点的坐标为（，）．➢课后反击1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．0【解析】B．2、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】C．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选B．4、已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1【解析】a=﹣1或4，∵a＞0，∴a=4．故选C．5、若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1B．y=﹣（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x﹣2）2﹣1【解析】C．6、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+3【解析】A．7、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销量y（件）之间关系如表所示：x/元130150165y/件70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？【解析】设y与x之间的函数关系为y=kx+b，，解得，∴y与x之间的函数关系为y=﹣x+200，设获得的利润为w元，w=（x﹣120）（﹣x+200）=﹣（x﹣160）2+1600，∴当x=160时，w取得最大值，此时w=1600，即要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润是1600元．8、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．【解析】（1）△=b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×2m=4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2∵不论m为任何实数时，总有△=（2m﹣1）2≥0，∴该方程总有两个实数根．（2）令y=x2﹣（2m+1）x+2m=0，即x2﹣（2m+1）x+2m=0，则（x﹣2m）（x﹣1）=0，解得x=2m，x=1，由AB=4，|1﹣2m|=4，解得m=或m=﹣，当m=时，抛物线解析式为y=x2﹣6x+5，点A（1，0），点B（5，0）不合题意，舍去，当m=﹣时，抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，点A（﹣1，0），点B（3，0），符合题意，∴∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3（3）将抛物线y=x2+2x﹣3向上平移b个单位后得到的抛物线为：，依题意列方程组：，消去y，得x2+x+b﹣3=0，∵图象与直线y=x没有交点，∴△=12﹣4×1×（b﹣3）＜0，解得，直击中考1、【2016•广州】对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点【解析】B．2、【2016•赤峰】函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．【解析】C．3、【2016•临沂】二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣【解析】二次函数的解析式为y=x2+5x+4．选D．4、【2016•兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】①正确；②正确；∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；∵x=﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选C．5、【2016•武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．【解析】（1）y1=（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200）y2=10x﹣40﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）．（2）对于y1=（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0，∴x=200时，y1的值最大=（1180﹣200a）万元．对于y2=﹣0.05（x﹣100）2+460，∵0＜x≤80，∴x=80时，y2最大值=440万元．（3）①（1180﹣200a）=440，解得a=3.7，②（1180﹣200a）＞440，解得a＜3.7，③（1180﹣200a）＜440，解得a＞3.7∵3≤a≤5，∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾二次函数的定义；二次函数的图像与性质；二次函数的表达式与应用；二次函数与一元二次方程。