全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

李进
山东省邹平县第一中学
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。

实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。

本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。

常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后，成为图8-4乙图。

答案：R AB = 8
3R 。

【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势相等。

因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。

事实上，只要满足21R R =4
3
R R 的关系，该桥式电路平衡。

答案：R AB =
4
15
Ω 。

【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之
间的等效电阻R AB 。

【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1。

求AB 间的总电阻。

2、电流分布法 设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电
压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压，再由即可求出等效电阻。

【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻。

【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻。

【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻。

电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。

所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。

【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R ，求A 、B 间等效电阻。

A
B
D
C
3、Y—△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型
或△，如图所示，有时把Y型联接代换成等效的
△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，
可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代
换要求Y型联接三个端纽的电压及流过的电流与
△型联接的三个端纽相同。

⑴将Y型网络变换到△型电路中的变换式：
⑵将△型电路变换到Y型电路的变换式：
以上两套公式的记忆方法：
△→Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。

Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。

当Y形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。

【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻R AB。

提示：法一：“Δ→Y”变换；
法二：基尔霍夫定律
【例题2】试求如图所示电路中的电流I。

（分别
应用两种变换方式计算）
【课堂练习】分别求下图中AB、CD间等效电阻。

( 答案：; R PQ=4Ω)
4、无限网络
若 （a ＞0）
在求x 值时，注意到x 是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x 值毫无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为，即。

所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。

⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。

解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R 再串联一个R ”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。

在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
R AB ∥R + R = R AB
解这个方程就得出了R AB 的值。

答案：R AB =
2
5
1+R 。

解法二：可以，在A 端注入电流I 后，设第一级的并联电阻分流为I 1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示
对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有
(I − I 1)R + (I − I 1)I
I 1
R − I 1R = 0 解得 I 1 =
2
1
5-I 很显然 U A − IR − I 1R = U B 即 U AB = IR + 215-IR = 2
5
1+IR 最后，R AB =
I U AB = 2
51+R 。

【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a 、b 间的等
效电阻R ab ．（开端形）
【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R ab．（闭端形）
⑵双边一维无限网络
【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。

（中间缺口形）
【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）
【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。

（完整形）
小结：一维无限网络利用网络的重复性。

⑶二维无限网络
【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻R AB．
模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B 两节点间的电阻）上的电流为I/4，方向由A指向B．
同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也是网络的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为I/4，方向也是由A指向B．
将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R电阻上的电流为I/2．所以A、B两节点间的电势差为：
【例题8】对图示无限网络，求A、B两点间的电阻R AB。

【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形
网眼组成，如图所示。

所有六边形每边的电阻为，求：
（1）结点a、b间的电阻。

（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流
过de段电阻的电流 I de为多大。

解：（1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那
么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。

再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。

将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知（由a流向c）
（由c流向b）
因此，a、b两点间等效电阻
（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
应该有
因为b、d两点关于a点对称，所以
同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有
最后，根据电流的叠加原理可知
⑷三维无限网络
【例题10】假设如图有一个无限大NaCl晶格，每一个键电阻为r，求相邻两个Na和Cl 原子间的电阻。

【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B 两点间的等效电阻R AB。

当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E…各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。

这里取后一中思
想，将CD间的导体、DE间的导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。

2R
【答案】R AB =
21。