高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理(一)课件新人教B版选修2_2
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
含参数问题的求解方法 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要 弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须 分清参数和变量，再进行计算．另外，需注意积分下限不大于 积分上限．
1.已知1(x2＋mx)dx＝0，则实数 m 的值为( ) 0
A．－13
B．－23
C．－1
D．－2
1．求定积分是针对函数的自变量而言的，因此，要搞清被积 函数中的字母哪个是自变量即积分变量，哪个是参数(当作常 量)． 2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而 面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几 个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积 分的相反数．
解：由yy2＝＝x2－x 4，得 A(2，－2)，B(8，4)． 如图所示：
故所求面积为：
S＝2 [ 2x－(－ 2x)]dx＋ 0
[8
2x－(x－4)] dx
2
＝2
22
xdx＋8(
2x－x＋4) dx
0
2
＝2 2×23x3220＋( 2×23x32－12x2＋4x)82＝18.
1．运用微积分基本定理的关键是找 f(x)的一个原函数，可以 运用求导公式和导数的四则运算法则求 F(x)． 2．求平面图形的面积，要将平面图形分割成曲边梯形． 3．对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能 积分．
2．计算e
1 xdx
的值是(
)
1
A．0
B．－1
C．2
D．1
答案：D
3．下列积分值等于 1 的是( ) A．1xdx
0
B．1(x＋1)dx 0
C．11dx 0
D．112dx 0
高中数学人教B版选修2-2第一章 1.4.2 微积分基本定理 课件(共32张PPT)
aa
a
其中F(x)叫做f (x)的一个原函 . 数
THANKS
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。强者征服今天，懦夫哀叹昨天，懒汉坐等明天 只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。人们总是在努力珍惜未得到的，而遗忘 告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。手莫伸,伸手必被捉。党与人民在监督,万目睽睽难逃脱。汝 不伸能自觉,其实想伸不敢伸,人民咫尺手自缩。思考是一件最辛苦的工作，这可能是为什么很少人愿意思考的原因。我们不能成为贵族的后代，但我们可以成为贵族的祖先 年后的自己。自信！开朗！豁达！无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。无人理睬时，坚定执着。万人羡慕 志者常立志，有志者立常志，咬定一个目标的人最容易成功。心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。学会以最简单的方式生活，不要让复杂的思想破坏生活的甜美。要无条件 的时候。一个人能走多远，要看他有谁同行；一个人有多优秀，要看他有谁指点；一个人有多成功，要看他有谁相伴。成功在优点的发挥，失败是缺点的累积。从绝望中寻 辉煌。当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下！当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。贫穷本身并不可怕，可怕的是贫穷的思想，以及认为自己命中 了贫穷的思想，就会丢失进取心，也就永远走不出失败的阴影请享受无法回避的痛苦。人的一生就是体道，悟道，最后得道的过程。人生就是一万米长跑，如果有人非议你 一点，这样，那些声音就会在你的身后，你就再也听不
高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
2
π 2 0
π π ＝1＋2－2＋(4－0)＝7－2.
2 2 2 2 1 2 (2) |x －1|dx＝ (1－x )dx＋ (x －1)dx
0
1 0
＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1
＝e.
【答案】 C
2 2 (2)① (x ＋2x＋3)dx
1
2 2 2 2 ＝ x dx＋ 2xdx＋ 3dx
1 1 1
x3 25 2 2 2 2 ＝ 3 1 ＋x 1 ＋3x1 ＝ 3 . 1－cos x ②sin 2＝ ， 2
[ 再练一题]
1 1．(1)若 (kx＋1)dx＝2，则 k 的值为(
)
0
A．1 C．3
2 1
B．2 D．4
x－1 (2) x2 dx＝________. 【导学号：05410032】
【解析】
2 1
(1)
1 0
1 2 1 (kx＋1)dx＝2kx ＋x 0
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连 续函数．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
1 2．若 a＝ (x－2)dx，则被积函数的原函数为(
0
)
A．f(x)＝x－2 1 2 C．f(x)＝2x －2x＋C
B．f(x)＝x－2＋C D．f(x)＝x2－2x
b a
f(x)dx＝____________________.
其中 F(x)叫做 f(x)的一个__________． 由于[F(x)＋c]′＝f(x)， F(x)＋c 也是 f(x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在[a，b]上的改变量 F(b)－F(a)简记作 F(x) .因此，微积分 基本定理可以写成形式：____________________.
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修22
条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
第四页，共25页。
专题
(zhuāntí)
一
专题
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
提示：(1)求曲线上某点处的切线的步骤:先求曲线在这点处的导数,这点
(zhuāntí)
二
专题
(zhuāntí)
三
专题四
应用2设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值
1
为 , 求的值.
2
解：函数 f(x)的定义域为(0,2),
f'(x)=
1
1
−
+ .
2-
(1)当 a=1 时,f'(x)=
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=
1-e-
1-e-1
=
e-e1-
.
e-1
第二十二页，共25页。
1
2
3
4
5
6
7
7(辽宁高考)设 f(x)=ln(x+1)+ + 1 + + (, ∈R,a,b 为常数),
曲线 .
2
(1)求 a,b 的值;
)
解析：由f'(x)=x'·ex+(ex)'·x=ex+ex·x=ex(x+1)=0,得x=-1.
高中数学第一章导数及其应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
������(������)d������ = ������ (������)
|������ = ������(������) −
������
|������
������
名师点拨1.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,
同时也提供了计算定积分的一种有效方法.但当运用公式不能直接 求积分时,需考虑用定积分的几何意义来解决.
������+1 ������
= ������ +
=
1 ������ 2
+ ������
-
1 2,
|1
4
题型一
题型二
题型三
(3)∵cos ������- 6 = 2 cos x+ 2 sin x,
π
π
3
1
∴ =
π cos ������- d������ = π 6
3
π
π 3 π 1 π 3 π cos xdx+ π sin xdx= sin ������ π 2 2 2 3 3 3
������
2.利用微积分基本定理求定积分
������(������)d������ 的关键是找出使
������
F'(x)=f(x)的函数F(x).通常,我们可以运用 基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F(x). 3.求导运算与求原函数运算互为逆运算.
【做一做 1】 下列各式正确的是( A. B. C. D.
������
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.由于[F(x)+c]'=f(x),F(x)+c也是f(x) 的原函数,其中c为常数.
一般地,原函数在[a,b]上的改变量 F(b)-F(a)简记作 F(x) . 因此, 微积分基本定理可以写成形式: ������ (������).
2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理(一)课件 新人教B版选修2-2
解答
反思与感悟
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先 利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积 分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
跟踪训练 2 (1)f(x)＝1x2＋，21x<，x≤0≤2，x≤1， 求 ʃ 20f(x)dx. 解 ʃ 20f(x)dx ＝ʃ 10(1＋2x)dx＋ʃ 21x2dx ＝(x＋x2)|10＋13x3|21 ＝2＋73＝133.
解答
(2)求 ʃ 2－2|x2－x|dx 的值. x2－x，－2≤x<0，
2.
π 3
(1－2sin
2
)d
等于
0
2
A.－
3 2
B.－12
1 C.2
解析
π 3
(1－2sin
2
)d
0
2
＝
π
3 cos d＝sin
0
π
|0Hale Waihona Puke ＝3. 2√D.
3 2
1234
解析 答案
3.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ10 f(x)dx＝－2. 求a，b，c的值.
解 ∵|x2－x|＝x－x2，0≤x≤1， x2－x，1<x≤2，
∴ʃ 2－2|x2－x|dx ＝ʃ 0－2(x2－x)dx＋ʃ 10(x－x2)dx＋ʃ 21(x2－x)dx ＝(13x3－12x2)|0－2＋(12x2－13x3)|10＋(13x3－12x2)|21
高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教B版选修22
高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 导数的几何意义的应用1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝tan α＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程时要注意首先判断点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，则切线斜率即为f ′(x 0)，切线方程易得；若点P 不是曲线上的点，则应首先设出切点Q (x 1，y 1)，则切线斜率为f ′(x 1)，再结合k PQ ＝f ′(x 1)以及y 1＝f (x 1)进行求解．【例1】 已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4解析：由题意可知f ′(x )＝1212x-，g ′(x )＝a x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14，得12×1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案：A【例2】 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－2解析：设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切的切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1且y 0＝ln(x 0－a )． 又∵y ′＝1x －a， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0－a＝1，即x 0－a ＝1，故x 0＝a ＋1， 所以a ＋1＋1＝ln(a ＋1－a )， 解得a ＝－2. 答案：D专题二 利用导数研究函数的单调性 1．求函数单调区间的步骤如下： (1)确定f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应区间上是增函数；当f ′(x )＜0时f (x )在相应区间上是减函数．2．已知f (x )在区间I 上单调递增(递减)，等价于f ′(x )≥0(≤0)在区间I 上恒成立，由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围．3．在利用导数的符号判断函数的单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到．【例3】 已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，a ∈R . (1)当a ＝8时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (3)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝8时，f (x )＝x 2－4x －6ln x ， f ′(x )＝2x －4－6x ＝2x 2－4x －6x，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3，所以f (x )的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．(2)由题意知f ′(x )＝2x －4＋2－a x≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2－4x ＋2.令g (x )＝2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2，则g (x )在[2，＋∞)上的最小值为g (2)＝2.所以a ≤2. (3)依题意f ′(x )＝2x －4＋2－ax＜0在(0，＋∞)上有解，即2x 2－4x ＋2－a ＜0在(0，＋∞)上有解， 因此必有Δ＝16－8(2－a )＞0，即a ＞0. 专题三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数f (x )在这个根处取得极小值．2．函数的最大值与最小值设y ＝f (x )是定义在区间[a ，b ]上的函数，y ＝f (x )在(a ，b )内有导数，求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分两步进行：(1)求y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将y ＝f (x )在各极值点的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．利用函数的导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解．另一类是告诉极值或最值，求参数的值．【例4】 已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)求证：对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|＜4恒成立． (1)解：由奇函数的定义有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ， 即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ， ∴d ＝0.因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值可知，必有f ′(1)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， 最小值m ＝f (1)＝－2， ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|＜M －m ＝2－(－2)＝4. 专题四 利用导数研究方程、不等式综合问题用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．【例5】 已知函数g (x )＝x －1x－2ln x .(1)求证：当x ≥1时，g (x )≥0恒成立；(2)讨论方程x －1x－g (x )＝2x 3－4e x 2＋tx 根的个数．(1)证明：因为g (x )＝x －1x－2ln x ，所以g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x2＝x －12x 2≥0，所以g (x )在[1，＋∞)是单调增函数， 所以g (x )≥g (1)＝1－1－2ln 1＝0， 即g (x )≥0对于x ∈[1，＋∞)恒成立．(2)解：由已知得，方程可化为2ln x ＝2x 3－4e x 2＋tx .因为x ＞0，所以方程为2ln x x＝2x 2－4e x ＋t .令L (x )＝2ln x x，H (x )＝2x 2－4e x ＋t .因为L ′(x )＝2·1－ln x x2，当x ∈(0，e]时，L ′(x )≥0，所以L ′(x )在(0，e]上为增函数；x ∈[e ，＋∞)时，L ′(x )≤0，所以L ′(x )在[e ，＋∞)上为减函数，所以当x ＝e 时，L (x )max ＝L (e)＝2e.又H (x )＝2x 2－4e x ＋t ＝2(x －e)2＋t －2e 2，所以函数L (x )，H (x )在同一直角坐标系的大致图象如图所示．当t －2e 2＞2e ，即t ＞2e 2＋2e 时，方程无解；当t －2e 2＝2e ，即t ＝2e 2＋2e 时，方程有一个根．当t －2e 2＜2e ，即t ＜2e 2＋2e 时，方程有两个根．。
高中数学新人教B版选修2-2第一章1.4.2-微积分基本定理课件6(共20张PPT)
0
例 2 .计 算 ： （ 1 ） 41d x (2 )2(x 2 1 )d x
1x
0
ห้องสมุดไป่ตู้ ： （ 1） 4 1dx
4 1
x2dx
1x
1
1 1
x2
( -
1 2
) 1
4 1
2
x
4 1
2
(2 )2(x 2 1 )d x2x 2 d x2 1 d x
0
0
0
x3 3
2 0
x
2 0
23
14
2
牛顿—莱布尼茨公式
练 习 ： 求1 1-x2dx的 值 -1
. 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
四. 定积分的基本性质 性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
原 函 数 f ( x ) 是 函 数 F （ x ） 的 导 数 ， F ( x ) 叫 做 f ( x )一个
若 F (x)是 f(x)的 一 个 原 函 数 ， 则 F （ x)c也 是 f(x)的 原 函 数 ,其 中 c为 常 数 。
b f ( x)dx F（x) a
b a
F (b)
F (a)
1 x
e 一个原
函数F(x)
cx
1 x n 1 cosxs in x n1
ax ln a
x ln | x |
例 1 （ . 1 ） 求 y s i n x 在 [ 0 ， ] 上 阴 影 部 分 的 面 积 S
高中数学人教B版选修2-2第一章 1.4.2 微积分基本定理 课件(共32张PPT)
i1
n
n
b
s limhi n i1
lim ni1
v(ti1)t
v(t)dt
a
探索求定积分新方法
S
s st
S hi
B h n sn
hi
si
A
h1
h1
s1
o
at0
t1
ti1
t i t n 1
btn
t
b
sav(t)d ts(b)s(a)
微积分基本定理
如F 果 (x)f(x)，f且 (x)在 [a,b]上可积，
1.4.2 微积分基本定理
高二年级 人教B版 选修2-2
温故知新
【思考】用定以法求下列定积分
(1) 1 x3dx 0
(2) 2 1 dx
1x
有没有更简捷的 方法求定积分呢？
探索求定积分新方法
【思考】 在研究一个物体进行变速直线运动时，如何
表示物体在时间[a,b]内的位移s？
已知速度函数v(t)
b
av(t)d t s(b)s(a)
探索求定积分新方法
S
S
A
o
at0
s st
hi
B h n sn
hi
si
h1
t1
ti1
h1
s1
t i t n 1
btn
t
探索求定积分新方法
探索求定积分新方法
si hi tanPC
sti1t
vti1t
n
n
ssi hi
i1
bf(x b)d fx (x )dF (x x)F b( b)F (F b )( a)F (a )
aa
a
高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
y
Si h i y(ti1) t
B
y y( t ) Sn
y( b )
S
y( a )
O
A
aa( t0 ) t1
D
P
hi
Si
C
S2 S1
t2 ti1 ti tn1 b(btn ) t
问题(5) 怎样用定积分表示物体在时间段[a,b]内的位移s？
b
b
S a v(t)dt a y(t)dt
问题(6) 通过上面的讨论物体在时间段[a,b]内的位移s 有哪些表示方式？有什么含义？
又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
微积分基本定理的意义：
微积分基本定理揭示了导数和定积分之 间的内在联系，同时它也提供了计算定 积分的一种方法。微积分基本定理使微 积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深 远的科学，毫不夸张地说，微积分基本 定理是微积分中最重要、最光辉的成果.
请大家利用定理计算
21
1
dx ln 2 ln1 ln 2
即：b a
f (x)dx lim n
n i 1
ba n
f (i )
计算：2 1dx 1x 解：令f (x) 1
Sn
n i 1
f
1
i
1 n
x
x
（1）分割:
将1,2等分成
n个小区间
1
i
1 n
,1
i n
i
1,..n,
每个小区间长度 x 1 n
（2）近似代替:
取i
1
i 1 i
n
1,2,, n,
a, b等分成n个小区间:
t0 , t1,t1,t2 , ti1,ti , tn1,tn ,
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理(一)学案 新人教B版选修2-2-新人教B
1.4.2 微积分基本定理(一)明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一微积分基本定理思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )＝y ′(t )．设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为s ，你能分别用y (t )，v (t )表示s 吗？答 由物体的运动规律是y ＝y (t )知：s ＝y (b )－y (a )， 通过求定积分的几何意义，可得s ＝ʃba v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ， 所以ʃba v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．小结 (1)如果f (x )在区间[a ，b ]上可积，且F ′(x )＝f (x )，则ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃba f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃba f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )． 例1 计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x －1)5d x ；()()3202sin cos d x x x π⎰；(3)⎠⎛121xx ＋1d x . 解 (1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x －16′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝⎪⎪⎪16x －1621 ＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14sin 4x ′＝sin 3x cos x ，所以()320sin cos d x x x π⎰＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14sin 4x 20π ＝14sin 4π2－14sin 40＝14. (3)令f (x )＝1x x ＋1＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121xx ＋1d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪lnx x ＋121＝ln 43. 探究点二 分段函数的定积分例 2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 解 图象如图．4242022()sin 1(1)f x dx dx dx x dx ππ=++-⎰⎰⎰⎰22420221(cos )()2x x x x ππ=-++-＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0 ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0 ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积． 反思与感悟 求平面图形面积的步骤：(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标． (2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为S ＝ʃ54π－π2|sin x |d x＝－ʃ0－π2sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －ʃ54ππsin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( ) A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C. 2．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案 43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x＝x 33|2－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解202()()()f x dx f x dx f x dx ππππ=+⎰⎰⎰202(42)cos ,x dx dx πππ=-π+⎰⎰取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以22220221(42)cos (22)sin 1,2x dx dx x x x πππ-πππ-π+=π+=-π-⎰⎰ 即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理
高中数学第一章导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理预习导航
新人教B版选修2-2
微积分基本定理
(1)F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．
(2)微积分基本定理：
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
x x＝b－F a
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|b a.因此，微积分基本定理可以写成形式：∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．
思考1一个函数的原函数是唯一的吗？这影响微积分基本定理的正确性吗？
提示：一个函数的原函数不是唯一的，这些函数之间相差一个常数，即[F(x)＋c]′＝f(x)，但这并不影响微积分基本定理，
因为∫b a f(x)d x＝[F(x)＋c]|b a
＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，
所以用一个最简单的原函数F(x)就可以．
思考2求导数运算与求原函数运算有什么关系？
提示：求导数运算与求原函数运算可以看做是互逆的运算，但一个函数的导函数是唯一的，而一个函数的原函数却不止一个．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理(二)学案 新人教B版选修22
1．4.2 微积分基本定理(二)明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．曲边梯形的面积(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃba f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x . 2．两函数图象围成图形的面积当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．解 方法一 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪x 221＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 3321＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.方法二 由于点D 的横坐标也是2， 故S ＝⎠⎛02(2x －x )d x －⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎪⎪⎪x 222－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 2221＝2－(83－2)＋(13－12)＝76.方法三 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y 2，故所求的面积为S ＝⎠⎛01(y －y2)d y ＋⎠⎛14(y －y2)d y ＝⎪⎪⎪14y 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 2441＝14＋(23×8－14×16)－(23－14)＝76. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －x＝223x 32|40＋223x 32|84－12(x －4)2|84＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x＝(3223x ＋16x 2)|1＋(2x －12x 2＋16x 2)|31＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．解 如图，设切点A (x 0，y 0)， 其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ， ∵S 曲边△AOB ＝2330001133o x x x dx x x ==⎰S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ， 所以，S2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x ① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa0[gx －f x x ＋ʃba [f x －g x x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x ， ②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ84(2x －8)d x ， ③和④正确，故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案 B 解析2222cos cos xdx xdx π3ππ-⎰⎰ 2202sin sin xxπ3ππ=-＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|20＝(4－83)－0＝43.4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．答案193解析 由图形可得S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x )|41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4 ＝193. [呈重点、现规律]对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．。
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答案
思考2
ʃ2 0f(x)dx 与 F(2)－F(0)有何关系？
答案
1 2 2 ʃ 0f(x)dx＝ʃ 0(2x＋1)dx＝ ×2×(1＋5)＝6， 2
F(2)－F(0)＝6.
∴ʃ 2 0f(x)dx＝F(2)－F(0).
答案
梳理
(1)微积分基本定理
①条件：F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积；
②结论： ʃ b
a
f(x)dx＝ F(b)－F(a)
；
b b F ( x ) ③符号表示：ʃ af(x)dx＝ a ＝ F(b)－F(a .)
(2)常见函数的定积分公式
b b ①ʃ aCdx＝Cxa
(C 为常数)；
n ②ʃ b x a dx＝
1 n＋1b x a (n≠－1)； n＋1
13 72 ＝(3x －2x ＋12x)|3 0
1 3 7 2 27 ＝(3×3 －2×3 ＋12×3)－0＝ 2 .
解答
反思与感 悟
(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和
的形式，便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).
2 x －x，－2≤x<0， 2 2 x － x ，0≤x≤1， 解 ∵|x －x|＝ 2 x －x，1<x≤2，
2 ∴ʃ 2 | x －2 －x|dx
2 1 2 2 2 ＝ʃ 0 ( x － x )d x ＋ ʃ ( x － x )d x ＋ ʃ 0 1(x －x)dx －2
题型探究
类型一
求定积分
命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分.
x (1)ʃ 1 (2 x ＋ e )dx； 0
x 2 x 1 解 ʃ1 (2 x ＋ e )d x ＝ ( x ＋ e )|0 0
＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
21 (2)ʃ 1( －3cos x)dx；
解
21 ʃ 1( －3cos x)dx＝(ln x－3sin x)|2 1
2 2 2 ＝ʃ 1 (1 － x )d x ＋ ʃ 0 1(x －1)dx
x3 1 x3 2 ＝(x－ 3 )|0＋( 3 －x)|1 1 8 1 ＝1－3＋3－2－3＋1＝2.
解答
反思与感 悟
分段函数的定积分的求法
(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段 函数的定积分再计算.
③ʃ b asin xdx＝－cos xa ； ④ʃ b acos xdx＝sin xa ； b b1 ⑤ʃ a dx＝ln xa b
b
x
(b>a>0)；
b b x x ⑥ʃ ae dx＝e a
；
x a b b x ⑦ʃ aa dx＝ln aa (a>0，且 a≠1).
1＋2x，0≤x≤1， 跟踪训练 2 (1)f(x)＝ 2 求 ʃ2 0f(x)dx. x ，1<x≤2，
解 ʃ2 0f(x)dx
2 2 ＝ʃ 1 (1 ＋ 2 x )d x ＋ ʃ 0 1x dx
2 1 1 32 ＝(x＋x )|0＋ x |1
3
7 13 ＝2＋3＝ 3 .
解答
2 (2)求 ʃ 2 | x －2 －x|dx 的值.
9
3 2 3 1 2 1 2 271 2 2 2 ( 9 9 ) ( 4 4 ) . 3 2 3 2 6
解答
命题角度2 求分段函数的定积分
sin x0≤x<π， 2 例 2 (1)求函数 f(x)＝1π≤x≤2， 2 x－12<x≤4
π π π ＝( x＋cos x) | ＝( ＋cos )－(0＋cos 0)＝ －1. 2 2 2
π 2 0
π 2 0
π 2 0
解答
(4)ʃ 3 0(x－3)(x－4)dx.
解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
3 ∴ʃ 0(x－3)(x－4)dx
3 2 ＝ʃ 0(x －7x＋12)dx
第一章 §1.4 定积分与微积分基本 定理
1.4.2 微积分基本定理(一)
学习目标
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点
微积分基本定理
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.
思考1
f(x)与F′(x)有何关系？ 答案 F′(x)＝2x＋1＝f(x).
在区间[0,4] 上的定积分；
解答
2 (2)求定积分 ʃ 2 | x 0 －1|dx.
2 1 － x ，x∈[0，1， 2 解 ∵|x －1|＝ 2 x －1，x∈[1，2]，
3 x3 x 又(x－ 3 )′＝1－x2，( 3 －x)′＝x2－1，
2 1 2 2 2 ∴ʃ 2 | x － 1|d x ＝ ʃ | x － 1|d x ＋ ʃ 0 0 1|x －1|dx
跟踪训练1 计算下列定积分.
2 2 1 (1)ʃ 1(x－x ＋ )dx；
x
解
2 2 1 ʃ 1(x－x ＋ )dx 2 1 3 1 1 ＝(2×2 －3×2 ＋ln 2)－(2－3＋ln 1) 5 ＝ln 2－6.
解答
2
解
π 2 0
x 2 x (cos －sin )dx; 2 2
2
π 2 0
π π x x (cos 2 －sin 2 )dx 2 cos xdx sin x |02 1. 0 2 2
(3)ʃ 9 4 x(1＋ x)dx.
解 ʃ9 4 x(1＋ x)dx
2 3 1 2 9 2 ( x x)dx ( x x ) |4 4 3 2
x
x
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
解答
x x2 (3) (sin －cos ) dx； 2 2
π 2 0
x x2 x x 解 ∵(sin 2－cos 2) ＝1－2sin 2cos 2＝1－sin x，
x x2 (sin －cos ) dx＝ (1－sin x)dx 2 2