三角形竞赛辅导

三角形全等三角形
【重点、难点、考点】
重点：三角形的有关概念，三角形的三条主要线段、三角形的三角的关系、三角形的三边关系、全等三角形的概念、判定和性质。

难点：综合运用三角形、全等三角形的知识进行有关的证明或计算。

考点：运用全等三角形的判定和性质来证明有关的线段相等，角相等等。

【经典范例引路】
例1 已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，连结BM交CN于点F，连AN交CM于点E，交BM于点P，求证：（1）AN=BM；（2）CE=CF；（3）∠CEP+∠CFP=180°；（4）求∠APB的度数。

证明：（1）∵△ACM、△CBN都是等边三角形。

∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
即∠ACN=∠MCB
∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB
（2）∵△CAN≌△MCB，∴∠1=∠2
又∠3=180°－∠ACM－∠BCN=180°－60°－60°=60°=∠FCB
CN=CB，∴△ECN≌△FCB，∴CE=CF。

（3）∵∠CFP是△BCF的一个外角，∴∠CFP=∠2+∠FCB。

又∠2=∠1，∠FCB=∠3，∴∠CFP=∠1+∠3
∴∠CEP+∠CFP=∠CEP+∠1+∠3=180°
（4）在四边形PECF中，∴∠CEP+∠CFP=180°，∴∠3+∠EPF=180°，而∠3=60°，∴∠EPE=∠APB=180°－60°=120°
【解题技巧点拨】
本题是《几何》教材第二册P113第13题改编而成的，要使问题的四个结论获得解决，必须综合运用全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及三角形中的角的关系等知识。

同时，经过观察不难发现，图中的△MCB与△ACN、△MCF与△ACE、△CBF与△CNE的图形变换关系，我们只要把每组中的第一个三角形按逆时针方向旋转60°即得第二个三角形，注意到了这一点，我们会对图形的本质认识得更深刻，对顺利解决相应的问题有一定的帮助。

例2 已知如图，四边形ABCD中，∠A=60°AD+BC=DC=AB=1，求四边形ABCD的面积。

解 如图，延长AD 到E ，使DE=BC ，连BD ，BE 。

∵AD+BC=AD+DE=AE=AB=1，∠A=60° ∴△ABE 是等边三角形，∴AB=AE=BE=DC=1 又DE=BC ，DB=BD ，∴△EDB ≌△CBD ∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =S △ABD +S △BDE =S △ABE =
4
3。

【解题技巧点拨】
本题中，延长AD 到E ，使DE=BC ，构造等边三角形EAB 和全等三角形△EDB 与△CBD 是解决问题的关键，然后利用全等三角形的判定和性质，将求四边形ABCD 的面积的问题，转化为求边长为1的等边△ABE 的面积问题，实现了由一般向特殊的转化，这一思路较好。

【综合能力训练】 一、填空题
1．在如图的“五角星”中，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 等于 度
2．不等边△ABC 的三边长为整数a 、b 、c ，且a 2＋b 2
－6a －4b ＋13＝0，则c ＝ 。

3．如图，△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，则△ABH 的三条高分别是 ，而这三条高所在直线相交于点 。

4．（2001年黑龙江省中考题）已知三角形两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x 的取值范围是 。

5．(2001年北京市东城区中考题)在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，CD 与C ′D ′分别为AB 边和A ′B ′边的中线，再从以下三个条件，①AB ＝A ′B ′②AC ＝A ′C ′③CD ＝C ′D ′中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成 个正确的命题．
6．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿AD 对折，点 C 落在C ′BC 与BC ′之间的数量关系是 ．（2001年山西省中考题）
7．（2001年吉林省中考题）如图，∠1＝∠2，BC ＝EF ，那么需要补充一个直接条件
．（写出一个即可）．才能使△ABC ≌△ DEF 。

二、选择题
8.下列的命题中，正确的命题是（ ）
A ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
9.三角形两边长分别为3和9，第三边上的高h 的取值范围是（ ）
A ．0＜h ＜3
B ．0＜h ≤3
C ．3＜h ＜9
D ．3≤h ＜9
10.下面各题给出的三条线段，其中可以组成三角形的是（）
A．3、4、7 B．a∶b∶c＝1∶2∶4
C.a2＋1，a2，a2＋3 D．3a、5a、2a＋1（a＞1）
11.（2001年呼和浩特市中考题）如图的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
12.如图，△ABC的三条角平分线AD、BE、CF交于点G，则与∠EGC互余的角是（）
A. ∠CGD B．∠FAG C. ∠ECG D. ∠FBG
13.如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A∶∠C＝5∶3，则∠DBC等于（）
A．3O°B．25°C．20°D．15°
三、解答下列各题
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，EF∥BC，求证：EC平分∠FED。

15.如图，已知△ABC的两条高BD、CE交于点F，延长CE到Q，使CQ=AB，在BD上截取 BP＝AC．
求证：（1）AQ＝AP；（2）AQ⊥AP．
16．如图以△ABC的边AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE，连BE、CD相交于点F。

求
证：（1）△DAC≌△BAE；（2）BE＝DC；（3）AF平分∠DFE．
17．如图点 A、B、C、D、E把圆周五等分，连结AC、AD、BE、BD、CE得到一个五角星，则图中与三角形有关的所有结论，有。

18．（2001年临沂市中考题）在△ABC中，如果只给出条件∠A＝60°，那么还不能判定△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：
①如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果再加上条件“tanB＝tanC”，那么△ABC是等边三角形；
③如果再加上条件“D是 BC的中点，且AD⊥BC”，则△ABC是等边三角形；
④如果再加上条件“AB、AC边上的高相等”，则△ABC是等边三角形．
其中正确的说法有（把你认为正确的序号全部填上）．
19．如图，∠ABC=90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足为E、F，求证：EF＝CE－AF．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC，AE是 BC边上的中线，过 C作CF⊥AE，垂足为F。

过 B作 BD⊥BC，交CF的延长线于D，（1）求证：AE＝CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．
21.如图，△ABC中，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证：BE+CF＞EF．
22.（2001年金华市中考题）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC、BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理只要求写出四个你认为正确的结论．）
【创新思维训练】
23．（2001年天门市中考题）已知如图：点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边△，求证：AN＝BM．
说明及要求：本题是《几何》第二册P113第13题，现要求：（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在下图中画出符合要求的图形，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN＝BM”，是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（1）得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．
参考答案
【综合能力训练】
一、1.180° 2.4 3.HF、AE、BD，C 4.1<x<6 5.1 6.BC=2BC′7.AC=DF或∠A=∠D或∠B=∠E
二、8.D 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C
三、14.先证△AEH≌△ACH，再证△AED≌△ACD，15.（1）证△CAQ≌△BPA （2）略16.（1）略（2）、（3）均由（1）可得17.（略）18.①②③④19.证△ABF≌△BCE 20.(1)由△ACE ≌△CBD得AE=CD （2）BD=6cm 21.延长ED到G，使DG=ED，连结GC、CF，证△BED≌△CGD
22.略
23.（1）略（2）“AN=BM”成立（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形。