高考解三角形专题(一)及答案

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高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

高考数学（理）总复习：解三角形题型一利用正、余弦定理解三角形【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ，又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二正、余弦定理的实际应用【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)．故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．题型三三角函数与解三角形问题【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12，又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四转化与化归思想在解三角形中的应用【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四转化与化归思想在解三角形中的应用如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π，化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值．【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

解三角形大题专项训练 (1)

1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（I）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值．13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，求：（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值．14.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．（Ⅰ）若，且A为钝角，求内角A与C的大小；（Ⅱ）求sinB 的最大值．15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ．已知．（1）若△ABC 的面积等于，求a ，b ；（2）若sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求△ABC 的面积．16.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长17.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知2223b c a bc +=+，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.18. 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △的面积等于3,求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.答案与评分标准一．选择题（共2小题）1．（2009?福建）已知锐角△ABC 的面积为，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°考点：解三角形。

解三角形专题(高考题)练习【附答案】

解三角形专题（高考题）练习【附答案】1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =.设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ，记→→∙=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式；（2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，5cos 5A =，10cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

解三角形专题高考题练习附答案

解三角形专题高考题练习附答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm解三角形专题1、在ABC ∆中;已知内角3A π=;边BC =设内角B x =;面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域；2求y 的最大值.3、在△ABC 中;角A 、B 、C 所对的边分别是a ;b ;c ;且.21222ac b c a =-+ 1求B CA 2cos 2sin 2++的值；2若b =2;求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中;已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c;向量(2sin ,m B =;2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;且//m n ..I 求锐角B 的大小；II 如果2b =;求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.. 5、在△ABC 中;角A ;B ;C 的对边分别为a ;b ;c ;且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ;且22=b ;求c a 和b 的值.6、在ABC ∆中;cos 5A =;cos 10B =.Ⅰ求角C ；Ⅱ设AB =求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中;A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c;已知向量(1,2sin )m A =;(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足I 求A 的大小；II 求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中;a ;b;c 分别是角A;B;C 的对边;且有sin2C+3cosA+B=0;.当13,4==c a ;求△ABC 的面积..9、在△ABC 中;角A 、B 、C 所对边分别为a ;b;c;已知11tan ,tan 23A B ==;且最长边的边长为l.求：I 角C 的大小；II △ABC 最短边的长.10、在△ABC 中;角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5;c=7;且.272cos 2sin 42=-+C B A 1求角C 的大小；2求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中;AB=4;AC=2;23ABC S ∆=. 1求△ABC 外接圆面积.2求cos2B+3π的值. 12、在ABC ∆中;角A B C 、、的对边分别为a b c 、、;(2,)b c a =-m ;(cos ,cos )A C =-n ;且⊥m n ..⑴求角A 的大小；⑵当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时;求角B 的大小13、在△ABC 中;角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ;若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状；Ⅱ若k c 求,2=的值.14、在△ABC 中;a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边;且c o s c o s B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，;求△ABC 的面积. 15、2009全国卷Ⅰ理在ABC ∆中;内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ;已知222a c b -=;且sin cos 3cos sin ,A C A C =求b16、2009浙江在ABC ∆中;角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ;且满足25cos2A =;3AB AC ⋅=． I 求ABC ∆的面积；II 若6b c +=;求a 的值．17、6.2009北京理在ABC ∆中;角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=;4cos ,35A b ==.. Ⅰ求sin C 的值；Ⅱ求ABC ∆的面积.18、2009全国卷Ⅱ文设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c;23cos )cos(=+-B C A ;ac b =2;求B. 19、2009安徽卷理在∆ABC 中;sin()1C A -=;sinB=13.I 求sinA 的值;II 设AC=6;求∆ABC 的面积. 20、2009江西卷文在△ABC 中;,,A B C 所对的边分别为,,a b c ;6A π=;(13)2c b +=．1求C ；2若13CB CA ⋅=+;求a ;b ;c ． 21、2009江西卷理△ABC 中;,,A B C 所对的边分别为,,a b c ;sin sin tan cos cos A BC A B+=+;sin()cos B A C -=.1求,A C ；2若33ABC S ∆=+;求,a c .21世纪教育网 22、2009天津卷文在ABC ∆中;A C AC BC sin 2sin ,3,5=== Ⅰ求AB 的值..Ⅱ求)42sin(π-A 的值..23、2010年高考天津卷理科7在△ABC 中;内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c;若223a b bc -=3sinB;则A=A30°B60°C120°D150°24．2010年高考全国2卷理数17本小题满分10分ABC ∆中;D 为边BC 上的一点;33BD =;5sin 13B =;3cos 5ADC ∠=;求AD 25．2010年高考浙江卷理科18在ABC 中;角A;B;C 所对的边分别为a;b;c;已知cos2C=-14.. Ⅰ求sinC 的值；Ⅱ当a=2;2sinA=sinC;求b 及c 的长.. 26、2010年高考广东卷理科16已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期；2 求()f x 的解析式； 3 若f23α +12π=125;求sin α． 27、2010年高考安徽卷理科16本小题满分12分设ABC ∆是锐角三角形;,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长;并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+..Ⅰ求角A 的值；Ⅱ若12,AB AC a ==求,b c 其中b c <..答案：1.解：1ABC ∆的内角和A B C π++=2y =21sin()sin )32x x x x x π-=+当262x ππ-=即3x π=时;y 取得最大值2、解：1由正弦定理有：)60sin(||120sin 1sin ||00θθ-==AB BC ； ∴θsin 120sin 1||0=BC ;00120sin )60sin(||θ-=AB ； ∴→→•=BCAB f )(θ21)60sin(sin 340⋅-⋅=θθθθθsin )sin 21cos 23(32-=2由6562630ππθππθ<+<⇒<<；∴1)62sin(21≤+<πθ；∴)(θf ]61,0(∈ 3、解：1由余弦定理：conB=sin22A B++cos2B=-2由.415sin ,41cos ==B B 得∵b=2;a 2+c 2=ac+4≥2ac;得ac ≤38;S △ABC=acsinB ≤315a=c 时取等号故S △ABC 的最大值为3154、1解：m ∥n 2sinB2cos2－1＝－cos2B5、 2sinBcosB ＝－cos2B tan2B ＝－∵0＜2B ＜π;∴2B ＝;∴锐角B ＝ 2由tan2B ＝－ B ＝或①当B ＝时;已知b ＝2;由余弦定理;得：4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立∵△ABC 的面积S △ABC ＝acsinB ＝ac ≤ ∴△ABC 的面积最大值为 ……1分 ②当B ＝时;已知b ＝2;由余弦定理;得：4＝a2＋c2＋ac ≥2ac ＋ac ＝2＋ac 当且仅当a ＝c ＝－时等号成立 ∴ac ≤42－ ……1分∵△ABC 的面积S △ABC ＝acsinB ＝ac ≤2－ ∴△ABC 的面积最大值为2－注：没有指明等号成立条件的不扣分.5、解：I 由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;因此.31cos =B II 解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得;所以a ＝c ＝6、Ⅰ解：由cos A =;cos B =;得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，;所以sin sin A B ==因为cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=且0C π<<故.4C π=Ⅱ解：根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C BC ⋅=⇒==; 所以ABC ∆的面积为16sin .25AB AC A ⋅⋅= 7、解：1由m//n 得0cos 1sin 22=--A A ……2分即01cos cos 22=-+A A 1cos 21cos -==∴A A 或1cos ,-=∆A ABC A 的内角是舍去3π=∴A2a c b 3=+由正弦定理;23sin 3sin sin ==+A C B8、解：由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin有23sin 0cos ,0cos 3cos sin 2===-C C C C C 或所以由3,23sin ,,13,4π==<==C C a c c a 则所以只能有;由余弦定理31,034cos 22222===+-⋅-+=b b b b C ab b a c 或解得有当.3sin 21,133sin 21,3=⋅===⋅==C ab S b C ab S b 时当时9、解：ItanC ＝tan π－A ＋B ＝－tanA ＋B 11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯∵0C π<<;∴34C π=II ∵0<tanB<tanA;∴A 、B 均为锐角;则B<A;又C 为钝角; ∴最短边为b ;最长边长为c由1tan 3B =;解得sin B =由sin sin b cB C =;∴1sin sin c Bb C⋅===10、解：1∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C整理;得01cos 4cos 42=+-C C解得：21cos =C ……5分∵︒<<︒1800C ∴C=60°2解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC;即7=a2+b2－ab∴ab b a 3)(72-+= 由条件a+b=5得7=25－3ab∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC11、解：依题意;11sin 42sin 22ABCSAB AC A A A =⨯=⨯⨯==;所以3A π=或23A π=1当3A π=时△ABC 是直角三角形;其外接圆半径为2;面积为224ππ=当23A π=时;由余弦定理得22222cos 1648283BC AB AC AB AC π=+-=++=;△ABC 外接圆半径为R=2sin 3BC A=; 面积为283π2由1知3A π=或23A π=;当3A π=时;△ABC 是直角三角形;∴6B π=;cos2B+3π=cos 2132π=-当23A π=时;由正弦定理得;2,sin sin 14B B =∴=;cos2B+3π=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π=1-2sin2Bcos 3π-2sinBcosBsin 3π=222111(1)21427⨯-⨯-=-12、解：⑴由⊥m n ;得0=m n ;从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=,(0,)A B π∈;∴1sin 0,cos 2B A ≠=;∴3A π=6分⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin666y B B B B B πππ=++=-++ 由(1)得;270,2,366662B B ππππππ<<-<-<=∴2B -时;即3B π=时;y 取最大值213、解：I B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅ 即0cos sin cos sin =-A B B AABC ∆∴为等腰三角形.II 由I 知b a =14、解：I 解法一：由正弦定理a A b B cC R s i n s i n s i n ===2得将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C BA C =-+=-+22得即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++= 即20s i n c o s s i n ()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20∵s i n c o s A B ≠，∴，012=- ∵B 为三角形的内角;∴B =23π.解法二：由余弦定理得c o s c o s B a c b a c C a b ca b =+-=+-22222222，将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c ba c =-++-+-=-+2222222222得×整理得a c b a c 222+-=-∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=-2222212∵B 为三角形内角;∴B =23πII 将b a c B =+==13423，，π代入余弦定理b a c a c B 2222=+-c o s 得b ac a c a c B 2222=+--()c o s ;∴131621123=--=a c a c ()，∴∴S a c B A B C △==12343s i n . 15、分析:此题事实上比较简单;但考生反应不知从何入手.对已知条件1222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的;学生总感觉用余弦定理不好处理;而对已知条件2sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式;甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差;导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=;0b ≠.. 所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A C A C =;sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=;即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin b B C c =;故4cos b c A =………………………②由①;②解得4b =..16、解析：I 因为25cos 25A =;234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==;又由3AB AC ⋅=;得cos 3,bc A =5bc ∴=;1sin 22ABC S bc A ∆∴==21世纪教育网II 对于5bc =;又6b c +=;5,1b c ∴==或1,5b c ==;由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=;25a ∴=21世纪教育网17、解析本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识;主要考查基本运算能力．Ⅰ∵A 、B 、C 为△ABC 的内角;且4,cos 35B A π==; ∴23,sin 35C A A π=-=; ∴231343sin sin sin 32C A A A π+⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭. Ⅱ由Ⅰ知3343sin ,sin 5A C +==; 又∵,33B b π==;∴在△ABC 中;由正弦定理;得∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050S ab C ++==⨯=. 18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力;关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约;并利用正弦定理得到sinB=23负值舍掉;从而求出B=3π..解：由cosA -C+cosB=32及B=π-A+C 得cosA -C -cosA+C=32;cosAcosC+sinAsinC -cosAcosC -sinAsinC=32;sinAsinC=34. 又由2b =ac 及正弦定理得21世纪教育网故23sin 4B =;3sin 2B =或3sin 2B =-舍去;于是B=3π或B=23π.又由2b ac =知a b ≤或c b ≤所以B=3π.. 19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识;考查运算求解能力..本小题满分12分解：Ⅰ由2C A π-=;且C A B π+=-;∴42B A π=-;∴2sin sin()sin )42222B B B A π=-=-; ∴211sin (1sin )23A B =-=;又sin 0A >;∴3sin A = Ⅱ如图;由正弦定理得sin sin AC BC B A = A BC∴36sin 3321sin 3AC A BC B •===;又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ∴116sin 63232223ABC S AC BC C ∆=••=⨯⨯⨯=20、解：1由(13)2c b +=得13sin 2sin b B c C =+= 则有55sin()sin cos cos sin 666sin sin C C C C C ππππ---==1313cot 2222C +=+ 得cot 1C =即4C π=.2由13CB CA ⋅=cos 13ab C =+4C π=;即得2132ab =+则有2132(13)2sin sin ab c b a c A C =+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2132a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩21、解：1因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+;即sin sin sin cos cos cos C A B C A B +=+; 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+;即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-;得sin()sin()C A B C -=-.所以C A B C -=-;或()C A B C π-=--不成立.即2C A B =+;得3C π=;所以.23B A π+=又因为1sin()cos 2B A C -==;则6B A π-=;或56B A π-=舍去得5,412A B ππ==2162sin 3328ABC S ac B ac ∆+===+;又sin sin a c A C =;即2322a c =;21世纪教育网得22,2 3.a c ==22、解析1解：在ABC ∆中;根据正弦定理;A BC C AB sin sin =;于是522sin sin ===BC A BC C AB2解：在ABC ∆中;根据余弦定理;得AC AB BC AC AB A •-+=2cos 222于是A A 2cos 1sin -==55;从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A 23、解析由3sinB 结合正弦定理得：3c b =;所以由于余弦定理得： 2(23323223b b b b b =⨯32;所以A=30°;选A..。

专题一、二：解三角形

专题一正余弦定理知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 外接圆的半径）常见的变形有：①::sin :sin :sin a b c A B C =；②sin sin a A b B =，sin sin a A c C =，sin sin b Bc C=；③sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++；④边化角公式：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；⑤角化边公式：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；⑥sin sin sin sin sin sin A B a b A BA B a b A B A B a b A B <⇔<⇔<⎧⎪=⇔=⇔=⎨⎪>⇔>⇔>⎩；2.解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

利用正弦定理可以解两类三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

剖析：已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解。

已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解、或无解，一般常用的方法是利用大边对大角，小边对小角定理来验证。

3.在△ABC 中常见的公式：（如图）①111sin sin sin 222S ab C ac B bc A===②111222a b c S ah bh ch ===AcbaBCh aAcbaBC③4abcS R=（R 表示三角形外接圆的半径）④22sin sin sin S R A B C =⑤1()2S r a b c =++（r 表示三角形内切圆的半径）⑥海伦公式：S =，其中1()2p a b c =++.4.余弦定理定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

(完整版)解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

专题解三角形大题(含答案)

专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。

根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。

代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。

同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。

解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。

根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。

根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。

根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。

代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。

1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。

由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π．其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】【分析】根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解．【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角．故选B ．【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=，解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14C 3D ．22【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（）ABCD【答案】A 【解析】【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 93555OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =，当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟，故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈，故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈，又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数，所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-，则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABC S ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

第19题解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)

第19题解三角形一、原题呈现【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠（2）由余弦定理得22222223cos 2223b c b b c a A b c b c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211203a c ac +-=，所以233c a c a ==或，当3c a =时，由2b ac =得b =，此时)1a b a c +=<，不满足题意，当23c a =时，由2b ac =得3b a =，所以2227cos 212ac b ABC ac +-∠==解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c bC ABC=∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证．（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠， ∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=．【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．二、考题揭秘【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要方式是利用正弦定理与余弦定理解三角形，有时还会涉及到三角形中的三角变换．【得分秘籍】（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧①求边：利用公式a＝sinsinb AB，b＝sinsina BA，c＝sinsina CA或其他相应变形公式求解．②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝sina Bb，sin B＝sinb Aa，sin C＝sinc Aa或其他相应变形公式求解．③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．（4）判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：①根据题意，画出示意图，并标出条件；②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．【易错警示】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）解答题(2021福建省厦门市高三三模)1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足4sin s sin sin in C B a B C +=．（1）求A ；（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求AD ．【答案】（1）3A π=；（2）AD =. 【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，4sin s sin sin in C B a B C +=，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即sin 4sin sin sin B C A B C =又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =，又因为ABC 为锐角三角形，所以3A π=；（2）由1sin 2ABCSbc A ==14sin 23c π⨯⨯=3c =，因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===，又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，所以11sin sin 2626c AD b AD ππ⋅+⋅=113sin 4sin 2626AD AD ππ⨯⋅+⨯⋅=，所以74AD =7AD =．【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.（2021福建省福州市高三5月二模） 2.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-.（1）求B ；（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求CD .【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有sin cos()sin sin sin cos()66b A a B B A A B ππ=-⇒=-，从而1sin sin sin sin )2B A A B B =+，化简得，1sin sin cos 22A B A B =，因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3B π=.（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-2234234cos133π=+-⨯⨯⋅=，即 b =又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23ADC B ππ∠=-=，在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即得22213121cos3x x π=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去），故3DC =.【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：1.414≈ 1.732≈)【答案】答案见解析【解析】【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BDBDC BCD =∠∠，即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =由sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD =(由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得=1CD +或者1CD ，,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>=1CD ∴)在ABD △中，由余弦定理可知：222cos 2AB BD AD ABDAB BD即2412cos1204AB AB+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程=22110.196km ++≈所以最短送餐路径为AB BD DC →→，此路径的送餐时间为：6.7326020.19620⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间. （2021广东省广州市天河区高三三模）4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=．（1）求角A 的值；（2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值【答案】（1）3π；（2）12．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ．【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=，sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=∈，，3A π=；（2）11sin sin 223ABC S bc A b π===△，b =2222212cos 292a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，又3sin sin sin sin 3a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2B C =．【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算．（2021河北省张家口市高三三模）5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）AD =（2 【解析】【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ；（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-，所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．（2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理. （2021河北省唐山市高三三模）6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）BC = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=．（2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=， ∵△BCE的面积1sin 23cos cos()3S BE CE παα=⋅⋅=-==2sin(2)16πα==--，2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=，此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴BC =（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）4b =；（2）【解析】【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据cos 7BAD ∠=列方程即可求解【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+，化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =（2）因为D 为中点，所以()12AD AB AC =+，设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2AD =，又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，，.（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BC =AC .【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55CBD CBD ∠=∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，，. 得5BD =，①34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102CD BD DBC =⋅∠=⨯=.（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，.在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：(222222cos 424205AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①AC =（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）9. 如图，ABC 中，1302BD CD BAD =∠=︒，．（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；（2）若AD BD =，求AC BC的值．【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.（2）设AD x =，求得3BC x =，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD SS CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠，而1sin 302BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：()()2222222cos603AC x x xx x =+-⋅︒=，∴AC =，∴33AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）10. 如图所示，在四边形ABCD中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=（1）求DAC ∠的大小；（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin 64AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠，且tan tan 2BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC∠-∠=+∠⋅∠，-== 因为()0,DAC π∠∈，所以3DAC π∠=；（2）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠所以,in 33AD AC ACD ADC =∠=∠，所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n 64si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝⎭，因为203ACD π<∠<，所以5666ACD πππ<∠+<，所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝⎭，所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.（2021江苏省扬州中学高三3月调研）11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2）【解析】【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566ππθ<<，（2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f，可得()1cos 12sin 2f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，在Rt ABC 中，∵AB BC ⊥，6BAC π∠=，3AB =，∴BC =在Rt ADD '中，∵1AD '=，DD '=2AD =，∴sin DAD '∠=∴3DAD π'∠=， ∵6BAC π∠=， ∴6DAP π∠=，在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566ππθ<<，（2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADPθ=∠，∴52sin6sinAPπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=，∴5sin16sin2sinAPDS AP PDπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=△，又11sin22222 ADCS AD DC ADC=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△∴5sin6sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=△△△，设三项费用之和为f，则()55sin sin1 66211 sin sin sinfπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭5sin16sin sinπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=+1cos12sinθθ+=+，566ππθ<<，∴()21cos2sinfθθθ-='-，令()0fθ'=，解得23πθ=，当2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'<，函数f单调递减，当25,36ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'>，函数f单调递增，∴()min23f fπθ⎛⎫==⎪⎝⎭（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3BA=；①BC=①BD=①60A ∠=︒.（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5. 【解析】【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cosCDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE 的长. 【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5m =；删①，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，则2AC =或4，有2解，不满足题意；删①，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意；删①.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅，同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c+=>．（1）若2k C π==，求A 的值；（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222cos 2a b c C ab+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）11a b +=sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭+即c 1o 1sin s AA +=sin cos cos A A A A +=⋅，24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以24A A π+=或24A A ππ+=-，解得4A π=；（2）112a b c+=，即2a b ab c +=，所以2ab c a b =+，由余弦定理得2222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π=，ABC 是正三角形．【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2021山东省泰安肥城市高三三模）14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bc a的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2bc a<< 【解析】【分析】（1)2224S c b =+-)2224a b c S +-=，根据余弦定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；（2）根据正弦定理把bc a变形为2sin 2sin B A，进而得到23sin A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.【详解】解:（1)2224S c b =-)2224a b c S +-=∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C = ∵cos 0C ≠，∴tan C =又(0,)C π∈ ∴3C π=．（2）ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C=，即2sin c C =又sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =∴bc a==23sin sin A B A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==1cos sin22sinA AA⎫+⎪⎝⎭=32tan A=+又因为ABC∆是锐角三角形∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<∴tan3>A，1tan A<<32tan2A<<，∴bca<<【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.（2021山东省潍坊市高三三模）15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．（1）求sinsinCA；（2）若1cos4B=，2b=，求ABC的面积．【答案】（1）2；（2）4．【解析】【分析】（1）由2ABM BCMS S=△△，ABM MBC∠=∠，得到2AB BC=，由正弦定理得sin2sinC ABA BC==；（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△．因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，所以2AB BC =．由正弦定理得sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A=得2c a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又因为1cos 4B =，2b =，所以2221444a a a +-⨯4=，所以1a =，从而2c =．又因为1cos 4B =且0πB <<，所以sin 4B =．因此 11sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△．【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.。

高三数学解三角形试题答案及解析

高三数学解三角形试题答案及解析1.已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设得：（1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以又因为，所以所以恒成立，所以故选A.【考点】1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．＝10，此时v＝＝30【答案】（1）当t＝时，Smin（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【解析】解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝．＝10，此时v＝＝30．故当t＝时，Smin答：小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋．∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥．又t＝时，v＝30．故v＝30时，t取最小值，且最小值等于．此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．3.（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（1）当p=，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜【解析】（1）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求4.E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则tan ECF=（ )A．B．C．D．【答案】D【解析】作CD⊥AB于D,则D为EF的中点．令CB=CA=3,则AB=6,CD=3,∴ED=FD=1∴tan ECF=∴tan ECF==5.已知点是的重心,且,则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，延长分别交于点，由重心的性质，设，，则，，，代入得，【考点】1、重心的性质；2、勾股定理；3、正弦定理和余弦定理.6.在△ABC中，若0＜tan A·tan B＜1，那么△ABC一定是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定【答案】B【解析】由0＜tan A·tan B＜1，可知tan A＞0，tan B＞0，即A，B为锐角，tan(A＋B)＝＞0，即tan(π－C)＝－tan C＞0，所以tan C＜0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选B7.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始几小时后,两车的距离最小()A．B．1C．D．2【答案】C【解析】如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),∴当x=时y2最小,即y最小.8.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶7，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】由正弦定理可设a＝4k，b＝5k，c＝7k，则cos C＝<0，因此三角形为钝角三角形．9.某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为α的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为β的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D坡角为γ，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图所示，假设A，B，C，D四个点在同一竖直平面．(1)求B，D两点的海拔落差h；(2)求AD的长【答案】（1）b sin β＋c sin γ（2）【解析】(1)h＝b sin β＋c sin γ.(2)方法一：联结AC.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝a2＋b2＋2ab cos(α＋β)，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋c2－2cAC cos(π－γ＋θ)，所以AD＝.方法二：联结AC.在△ABC中，由正弦定理得，所以AC＝，以下同方法一．10.在△中，所对边分别为、、．若，则．【答案】【解析】三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得，，所以有，即，在三角形中，于是有，，．【考点】解三角形．11.在△ABC中，边角，过作，且，则.【答案】【解析】依题意，，由余弦定理得，，由三角形的面积公式得，即，，又，，，即，又点、、三点共线，则，解方程组，解得，.【考点】余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积.12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sinAsinC＝，求C．【答案】（I）；（II）或.【解析】（I）已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出，将关系式代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；（II）由（I）得的度数，；利用利用两角和与差的余弦函数公式化简，变形后将及的值代入求出的值，利用特殊三角函数的值求出的值，与的值联立即可求出的度数.试题解析：（I）为三角形的内角(II)由（I）得:或或【考点】1.余弦定理；2.两角的和差公式.13.在中，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.14.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.15.在中,角的对边分别为,且满足（1）求证：；（2）若的面积,,的值.【答案】（1）详见解析，（2）【解析】（1）转化三角形问题中的边角关系式，首先要选择定理.由正弦定理，将等式中的边化为对应角的正弦，由内角和定理，得，再利用诱导公式、两角和差的正弦公式得，在三角形中即证；（2）解三角形问题应灵活应用边角的计算公式.在（1）的条件下，；由三角形的面积公式及余弦定理可求.试题解析：（1）由，根据正弦定理，得： 2分又在△ABC中，，则，所以即 4分所以，即又为三角形内角，所以。

高考三角函数经典解答题及答案

31在△ ABC 中，角A 、B C 所对的边分别是 a, b, c,且a 2 + c 2 — b 2 =1ac. 2(1)求 sin 2——— + cos2 B 的值； 2 (2)若b=2,求△ ABC 面积的最大值.1解：(1)由余弦TE 理：conB=-41 +cos2B=- -4一, 1 1 (2)由 cosB = —，得 sin B48 ,S △AB =：acsinB & "15 (a=c 时取等号) 3 23故S AABC 的最大值为 ------32在^ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 bcosC = 3acosB -ccosB.(I)求cosB 的值；(II )若BA BC = 2 ,且b = 2/2 ,求a 和c b 的值.解：(I)由正弦定理得 a =2Rsin A,b =2Rsin B,c = 2RsinC , 贝U2Rsin BcosC = 6Rsin AcosB 一 2Rsin C cosB, 故sin B cosC = 3sin AcosB - sinC cosB, 可得 sin BcosC sinCcosB =3sin AcosB, 即sin(B C) =3sin AcosB,可得 sin A = 3sin AcosB.又 sin A = 0,…1因止匕cos B = —. 3(II )解：由 BA BC =2,可得acosB = 2,1 M 一又 cosB = 一,故 ac = 6,3由b 2=a 2c 2-2accosB, 可得 a 2c 2=12, 所以(a -c)2=0,即a =c,所以a= c= . 63已知向重m = (sin B, 1 - cosB ),向重n = ( 2, 0),且m 与n 所成角为—,sin2AB 21/口a 2 + c 2 =2ac+4 > 2ac,得4 已知向量 m=(1,2sinA), n =(sin A,1+cosA),满足 m//n,b+c = V3a. (I小；(II )求 sin( B +f)的值.解：(1)由 m//n 得 2 sin 2A -1 一 cos A = 0 ……2 分即 2c os2A+8SA —1 =0, cos A 或 cos A = —12: A 是AABC 的内角，cosA=—1舍去. A 「3(2) : b +c =M 3a由正弦定理，sin B - sin C = 3sin A =32其中A 日C 是AABC 的内角。

专题01 解三角形劣构性解答题突破A辑(解析版)

2021年高考数学压轴必刷题（第三辑）专题01解三角形劣构性解答题突破A 辑1()cos cos sin A c B b C a A +=，②()cos2cos22sin sin sin A B C B C -=-，③()2cos cos b c A a C -=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求A ；（2）若2a =，b c +=ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3A π=；（2（1）方案一：若选①．()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=，()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以tan A =，所以3A π=．方案二：若选②．由已知及倍角公式得()()()2212sin 12sin 2sin sin sin A B C B C ---=-，所以2222sin 2sin 2sin sin 2sin B A C B C -=-，所以222sin sin sin sin sin B C A C B +-=，由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,)A π∈，所以3A π=．方案三：若选③．由已知及正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，所以2sin cos sin()sin B A A C B =+=，因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2a =，3A π=，得224b c bc =+-，即()234b c bc +-=．因为b c +=2bc =，所以1sin 22ABCSbc A ==．2．在①22()3a b c ab +=+，②sin cos a A a C =-，③(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，c =_____.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值.【答案】（1）答案见解析，3C π=；（2）最大值为（1）选①，把22()3a b c ab +=+，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为(0,)C π∈，所以3C π=.选②，因为sin cos a A a C =-，由正弦定理，可得sin sin sin cos A C A A C -，因为(0,)A π∈，则sin 0A ≠cos 1C C -=，可得1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，所以5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=. 选③，因为(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=，即222a b c ab+-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=.（2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以223()()334a b a b ab ++-=≤，当且仅当a b =时取等号，所以a b +≤a b c ++≤即ABC 周长的最大值为 3．在①sinsin 2B Cc a C +=；②2cos cos co (s )A b C c B a +=；③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在△ABC 中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若1)c b =，______. (1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值. 【答案】（1）4π；（2）2. 选① (1)sinsin sin sin sin cos sin sin 222B C A Ac a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= 0,sin 0C C π<<∴≠cos2sin 222A A A cos ∴=，0,cos 02AA π<<∴≠ 1sin 223A A π∴=⇒=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)324ABCScb A b === 2b ∴=选②2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+=2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴= 0,sin 0A A π<<∴≠1cos 23A A π∴=⇒= 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)32ABCScb A b === 2b ∴=选③()22222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+222b c a bc +=+ ，1cos 2A ∴=0,A π<<3A π∴=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)32ABCScb A b === 2b ∴=4．如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，4,3AB BD C π===，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）角B 的大小；（2）ACD △的面积．条件①：AD 3AC =．【答案】（1）6B π=，具体选择见解析；（2. 选择条件①：解：（1）在ABD △中4,AB BD AD === 由余弦定理，得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅==因为0B π<<，所以6B π=.（2）由（1）知，6B π=，因为3C π=，所以2BAC π∠=.所以ABC 为直角三角形. 所以3AC =，6BC =.又因为4BD =，所以2CD =.所以1sin 2ACDSAC CD C =⋅⋅1322=⨯⨯=. 选择条件②：解：（1）在ABC 中,3,AC AB ==3C π=. 由正弦定理sin sin AC AB B C =，得1sin 2B =. 由题可知 BC π<<=03，所以6B π=.（2）由（1）知，6B π=，因为3C π=，所以2BAC π∠=.所以ABC 为直角三角形，得6BC =.又因为4BD =，所以2CD =.所以1sin 2ACDSAC CD C =⋅⋅1322=⨯⨯=. 5．在ABC 中，3cos 5A =，a =再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：（Ⅰ）c 的值；（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积.条件①：π4B =；条件②：5b =. 【答案】（Ⅰ）7c =；（Ⅱ）sin C =14ABCS=选①：π4B =，sin B =cos B =（Ⅰ）由3cos 5A =，则4sin 5A =，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=，即4510=，解得7c =，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C =11sin 714222ABCSac B ==⨯⨯=. 选②：5b =（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即233225255c c =+-⨯⨯，解得7c =或1c =-（舍去）. 在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=，解得sin C =11sin 5142210ABCSab C ==⨯⨯=.6()cos cos sin C a B b A c C +=，②sinsin 2A Ba c A +=，③()()2sin 2sin 2sin ab A b a Bc C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，c =___________.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；（1）3π；（2）(. 解：（1）选①：由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=，因为()03C C ππ∈∴=，，选②：由正弦定理得2CsinAsinsinCsinA π-=，因为02222c C CsinA cos sinC sin cos ≠∴==，因为02Ccos ≠，所以122C sin =，因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=；（2）由（1）可知：3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(7．已知ABC ，满足2a b =，，求ABC 的面积（1）3A π=（2）cos 7B =. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】若选（1），ABC S =△；若选（2），ABCS若选（1），由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2174222=+-⨯⨯⨯c c ，2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍去）.所以11sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△. 若选（2）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即24727=+-⨯c c ，即230c -+=，解得c =此时222a b c =+，即2A π=，所以11222△==⨯=ABC S bc 8．已知有条件①()2cos cos b c A a C -=，条件①25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭；请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =5b c +=，且满足______.（2）求ABC 的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)【答案】条件选择见解析；（1）3A π=；（2 （1）选择条件①()2cos cos b c A a C -=，法1：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，所以()2sin cos sin sin B A A C B =+=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=，法2：由余弦定理得()222222222b c a a b c b c abc ab+-+--=，化简得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.选择条件②25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，因为cos sin 2A A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，因为22sin cos 1A A +=，所以251cos cos 4A A -+=，化简得21cos 02A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=.（2）由余弦定理2222cos3a b c bc π=+-，得()273b c bc =+-，所以()2763b c bc bc +-=⇒=，于是ABC 的面积11sin 622S bc A ==⨯=9．在cossin 2B Ca B +=，sin 3cos Bb A =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，6,cos BC B ==. （1）求AC 的长；【答案】条件选择见解析；（1）4AC =；（2）. 选择①（1cos sin sin 2B CB A B +=，又sin 0B ≠，sin 2AA π-=，2sin cos 222A A A=，∴cos 22A =，即26A π=，3A π=，由cos 3=B可得sin 3B ==，根据正弦定理sin sin BC ACA B== 4AC ∴=.（2）1sin sin()sin cos cos sin 23236C A B A B A B =+=+=+⨯=，11sin 46226S AC BC C =⋅⋅=⨯⨯⨯= 选择②（1sin 3cos B b A =sin 3sin cos A B B A =，又sin 0B ≠，∴sin cos AA=tan A = ∴3A π=，又sin 3B == 结合正弦定理sin sin BC ACA B=，23=4AC ∴=.（2）1sin sin()sin cos cos sin 23236C A B A B A B =+=+=+⨯=，11sin 4622S AC BC C =⋅⋅=⨯⨯= 10．现给出两个条件：①22cos c a B =，②()2cos cos b A C =，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，______. （1）求A ；（2）若31a ，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）6π；（2）1.若选择条件①22cos c a B =.（1）由余弦定理可得22222cos 22a c b c a B a ac+-==⋅，整理得222c b a +-=，可得222cos 2b c A bc a +===-. 因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得)222122b c bc =+-⋅，即()(22242b c b c bc -+=+-，亦即(()(224bc b c =+--，因为()24b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，所以()((()22424b c b c ++--≤⨯，解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为1若选择条件②()2cos cos b A C =.（1）由条件得2cos cos cos b A C A =，由正弦定理得)()2sin cos sin cos sin cos B A A C C A A C B =+=+=.因为sin 0B ≠，所以cos A =，因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得)22212b c bc =+-，即()(22242b c b c bc -+=+-，亦即(()(224bc b c =+--，因为()24b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，所以()((()22424b c b c ++--≤⨯，解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为1 11．在①π6A ∠=，②3ABDS ，③1cos 2ABD ∠=-三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，并解答.问题：在平面四边形ABCD 中，已知1AB BC CD ===，AD =，且满足________. （1）求sin BDC ∠的值；（2）求平面四边形ABCD 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.【答案】（1（2（1）选①可知：在ABD △中，1,6AD AB A π==∠=，由余弦定理有213cos416BD π=+-=-=，所以1BD =，所以1BD BC CD ===，所以3BDC π∠=，所以sin BDC ∠=选②可知：在ABD △中，1,4ABDAD AB S ===，所以1331sin 2ABDS A，解得1sin 2A =，又0A π<<，所以6A π=或56π，当6Aπ=时，213cos4162BD π=+-=-=，所以1BD BC CD ===，所以3BDC π∠=，所以sin BDC ∠=当56Aπ=时，2513cos 76BD π=+-==，所以BD =而1BC CD ==，不满足2+>BC CD BD ==56A π=不成立，综上得：sinBDC ∠=如选③：在ABD △中，11,cos 2AD AB ABD ==∠=-，又0ABD π<∠<，所以23ABD π∠=，由正弦定理得2sin sin 3ADAB ADB π=∠1sin sin 3ADB =∠，所以1sin 2ADB ∠=，又ADB ABD ∠<∠，所以6ADB π∠=，所以6ADB BAD π∠=∠=，所以1BD AB ==，所以1BD BC CD ===，所以3BDC π∠=，所以sin BDC ∠=（2）由（1）得111sin 23DBCSπ=⨯⨯⨯=11sin 26ABDS π=⨯=所以平面四边形ABCD 的面积为+DBC ABDS S S====12．在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ；（2）若c =a b +=ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3C π=；（2（1）若选①：由正弦定理得a c a bb a c--=+，所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =，因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 222ABCSab C ==⨯=故ABC 13．在b a =①2sin tan b A a B =②，()()sin sin sin a c A c A B b B -++=③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足______. （1）求角B ；（2）若2a c b +=，且ABC ∆外接圆的直径为2，求ABC ∆的面积.【答案】选择见解析；（1）3B π=；（2 1（）选①，由正弦定理得sinsin B A =sin 0A ≠，cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0B π<<，5666B πππ∴-<-<，66B ππ∴-=，3B π∴=；选②，2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，sin 0A ≠，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈，3B π∴=选③，sin()sin()sin A B C C π+=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，222a cb ac ∴+-=，2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===， (0,)B π∈，3B π∴=.2（）设ABC 的外接圆半径为R ，则1R =，2sin b R B ==，由余弦定理得()22222cos33b ac ac a c ac π=+-=+-，即3123ac =-，所以3ac =，所以ABC的面积为：1sin 2S ac B == 14．在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ；（2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4Cπ时，535a （1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a bA B =，所以sin sin sin cos()6B A A B π.又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin3434A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 622，解得535a . 所以535a. 15．①在函数1π()sin()(0,||)22f x x ωϕωϕ=+><的图像向右平移π12个单位长度得到()g x 的图像，()g x 的图像关于原点对称，②向量11(3sin,cos ),(cos ,),02224m x x n x ωωωω==>，()f x m n =⋅； ③函数π1()cos sin()(0)2264f x x x ωωω=+->这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_______，函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2.（1）求π()6f 的值；（2）求函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）π1()62f =；（2）π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）选择条件①：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，从而2ω=，从而1()sin(2)2f x x ϕ=+，1π()sin(2)26g x x ϕ=+-，又()g x 的图像关于原点对称，则(0)0g =，由π||2ϕ<知π6ϕ=，从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f = 选择条件②：依题意，31()sin cos cos 2224f x m n x x x ωωω=⋅=+即有：11π()cos =sin()426f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，从而2ω=，从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f =选择条件③：依题意，π1()cossin()2264f x x x ωω=+-即有：11()cos(cos )222224f x x x x ωωω=+-化简得：211()cos (cos )22224f x x x x ωωω=+-即有：11π()cos =sin()426f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，从而2ω=，从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f =（2）1π()sin(2)26f x x =+，则其单调递减区间为ππ32π22ππ,262k x k k Z +≤+≤+∈，解得π2π,ππ,63x k k k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，得π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而()f x 在[]0,π上的单调递减区间为π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．请从①6,sin()2b B π=-=42a c b +=+=,中，并解决问题.问题：在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知sin sin sin c a c bB A C--=+ （1）求a ；（2）求ABC 的面积.（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.）【答案】选择条件①：（1）（2；选择条件②：（1）（2）选择条件①：（1）sin sin sin c a c bB AC --=+， ∴由正弦定理可得：c a c bb a c--=+，整理可得：222b c a bc +-=，根据余弦定理可知22201cos ,6022b c a A A bc +==∴=- ABC中，6,sin()2b B π=-=即cos B =，则0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 4B =，由正弦定理得6sin 23sin 4b Aa B===（2）因为133sin sin()sin cos cos sin 248C A B A B A B =+=+=⨯=11sin 622ABCSab C ==⨯=选择条件②：（1）sin sin sin c a c bB AC --=+， ∴由正弦定理可得：c a c bb a c--=+，整理可得：222b c a bc +-=，又2b =，4a c +=+(()224424a a a ∴+---=+；化简整理可得：()(26444a a c =+--==（2）由（1）知222+=a b c ，故三角形为直角三角形，122ABCS∴=⨯⨯综上所述：ABCa S ==17．已知,,abc 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 是锐角三角形，需要同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a = ③15c = ④1sin 3C =（1）条件①④能否同时满足，请说明理由；（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的ABC 的面积.【答案】（1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③，解：（1）ABC 不能同时满足①，④. 理由如下：若ABC 同时满足①，④，则在锐角ABC 中，11sin 32C =<，所以06C π<< 又因为3A π=，所以32A C ππ<+<所以2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾所以ABC 不能同时满足①，④.（2）因为ABC 需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④ 若同时满足②③④，因为c a >，所以C A >，则6A C π<<，则2B π>这与ABC 是锐角三角形矛盾.故ABC 不能同时满足②③④，只能同时满足①②③.因为2222cos a b c bc A =+-，所以222113152152b b =+-⨯⨯⨯，解得8b =或7b =.当7b =时，22271315cos 02713C +-=<⨯⨯，所以C 为钝角，与题意不符合，所以8b =.所以ABC 的面积1sin 2S bc A == 18．在ABC 中，1sin()1,sin 3C A B -==.（1）求sin A 的值；（2）若①AC =；②BC =请从以上两个条件中任选一个，求ABC 的面积.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.【答案】（1）32）（1）由(,)2πππ-∈-⇒-=C A C A .又21sin sin()sin(2)cos 212sin 23π=+=+==-=B A C A A A .因为(0,)sin π∈⇒=A A .（2）选①：由正弦定理可得sin ==ABC B.且sin sin()cos 2π=+===C A A .故11sin 22=⨯⨯=⨯=S BC AC C .选②：由正弦定理可得==AC且sin sin()cos 2π=+===C A A .故11sin22=⨯⨯=⨯=S BC AC C.19．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，3Bπ=，3a=.（1）若4Aπ=，求b；（2）若______，求c的值及ABC的面积.请从①b=sin2sinC A=，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分.【答案】（1；（2）选①：4,ABCc S==6c=；ABCS =.（1）由3Bπ=，3a=，4Aπ=，由正弦定理可得sin sinb aB A=，则3b==（2）若选①：由余弦定理可得2222cosb c a ac B=+-，即21139232c c=+-⨯⨯，整理可得2340c c=--，解得4c=，-1c=（舍去），∴11sin3422ABCS ac B==⨯⨯=选②:sin2sinC A=，可得2c a=，3a=∴6c=∴11sin6322ABCS ac B==⨯⨯=20．在①()1cos C b B+=sin cosC a c B=-这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.（1）求C；（2）若7c=，13a b+=，求ABC的面积.【答案】（1）3π；（2）（1）选择条件①：()1cos sin C b B +=，由正弦定理可得()1cos sin sin C B C B +=，sin 0B ≠，1cos C C ∴+=，cos 1C C -=，即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则5666C πππ-<-<，66C ππ∴-=，解得3C π=；选择条件②：3sin cos 3b C a c B =-，由正弦定理得sin sin sin cos 3B C A C B =-， ()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴上式可化简为sin sin cos 3B C B C =，sin 0B ≠，cos tan C C C =⇒=0C π<<，3C π∴=；（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得2249a b ab +-=，又由13a b +=，则()2349a b ab +-=，()249403a b ab +-∴==，因此，ABC 的面积为12sin ABCS ab C ==21．在ABC 中，3A π=，b = （Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）ABC 的面积 .条件①：222b a c =+；条件②：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）4B π=若选择条件①：222b a c =+.（Ⅰ）因为222b a c =+，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin b Aa B===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 若选择条件②：cos sin a B b A =. （Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin b Aa B===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 22．在锐角ABC中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①cos,sin ,cos ,sin 2222A A A A m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos ,()344f x x x f A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.【答案】条件选择见解析，（1）3A π=；（2）(6+. （1）若选①，因为cos ,sin ,cos ,sin 2222A A A A m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12m n ⋅=-，所以221cossin 222A A -+=-，即1cos 2A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=. 若选②，因为cos (2)cos A b c a C -=，2cos cos cos b A a C c A =+，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =. 又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.若选③，11()cos cos 24f x x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21111cos 2sin 21cos sin 242224x x x x x +=-=⨯-111cos 22sin 22226x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为1()4f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266ππ+=A ，3A π=. （2）因为3A π=，所以23B C π+=，23C B π=-.4sin sin b CB C ===，所以4sin b B =，24sin 3c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.214sin 4sin 4sin 4sin 32l B B B B B π⎫⎛⎫=-++=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为锐角ABC 且3A π=，所以,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故(6l ∈+.23．在①cos cos 2cos c A a C b B +=，②222a c b ac +-=，③22cos 3cos 02BB -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值. 【答案】条件选择见解析（1）3π；（2）4. 解：若选条件①：（1）因为cos cos 2cos c A a C b B +=，由正弦定理，得sin cos cos sin 2sin cos C A C A B B +=，即()sin 2sin cos A C B B +=.在ABC 中，A B C π++=，得()()sin sin sin A C B B π+=-=. 即sin 2sin cos B B B =，又()0,B π∈，所以1cos 2B =，所以3B π=. （2）因为b =2222232cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=(当且仅当a c =时等号成立)，结合三角形的面积公式得到11sin 322ABCSac B =≤⨯=，. 若选条件②：（1）结合余弦定理得到2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，所以3B π=.（2）由b =2222232cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=(当且仅当a c =时等号成立)，结合三角形的面积公式得到11sin 322ABCSac B =≤⨯=. 若选条件③：（1）因为22cos3cos 02BB -=，所以 1cos 3cos 0B B +-=，所以1cos 2B =. 又()0,B π∈，所以3B π=.（2）由b =2222232cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=(当且仅当a c =时等号成立)，结合三角形的面积公式得到11sin 322ABCSac B =≤⨯=. 24．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-. （1）求A 的值；（2）从①a B =，②()1sin 2B C -=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值. 【答案】（1）23π；（2）答案见解析. （1）由2b =，2242c a c +-=-，∴22222421cos 22242b c a c a c A bc c c +-+--====-⋅，又因为0A π<<，所以23A π=. （2）选择①作为己知条件.在ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a b A B=，2sin sin 3B =，解得21sin 2B =，由23A π=，得B 为锐角，所以4B π=，因为在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=22sincos cos sin 3434ππππ+，所以sin C =. 选择②作为已知条件，因为在ABC △中，A B C π++=，所以()1sin sin 232B C C π⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，所以2236C k πππ-=+或()52k 6k Z ππ+∈，所以12C π=，故sin 4C =. 25．在①22()3a b c ab +=+，①sin cos a A a C =-，①(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，c =_____.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）条件选择见解析，3C π=；（2）最大值为（1）选①，把22()3a b c ab +=+，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为(0,)C π∈，所以3C π=.选②，因为sin cos a A a C =-，由正弦定理，可得sin sin sin cos A C A A C -，因为(0,)A π∈，则sin 0A ≠cos 1C C -=，可得1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，所以5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=. 选③，因为(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=. （2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以223()()334a b a b ab ++-=≤，当且仅当a b =时取等号，所以a b +≤a b c ++≤即ABC 周长的最大值为。

高中解三角形试题及答案

高中解三角形试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC的三个内角A、B、C满足sinA = 2sinBcosC，则三角形ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形答案：A2. 在三角形ABC中，若a = 3, b = 4, c = 5，则三角形ABC的面积S是（）A. 3√3B. 4√3C. 5√3D. 6√3答案：B二、填空题3. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。

答案：75°4. 若三角形ABC的三边长分别为a = 2, b = 3, c = 4，则三角形ABC的外接圆半径R为______。

答案：√10/2三、解答题5. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 5, b = 12, c = 13，求三角形ABC的面积。

答案：根据余弦定理，可得cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) = (144 + 169 - 25) / (2 × 12 × 13) = 1/2，因此∠A = 60°。

根据正弦定理，S = 1/2 × b × c ×sinA = 1/2 × 12 × 13 × √3/2 = 39√3。

6. 已知三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，求边长b和c的关系。

答案：根据三角形内角和定理，可得∠C = 180° - 30° - 45° = 105°。

设边长b = x，则根据正弦定理，有a/sinA = b/sinB，即a/sin30° = x/sin45°，解得a = x√2/2。

再根据正弦定理，有a/sinA = c/sinC，即x√2/2 / sin30° = c/sin105°，解得c = x√2/2 × (√6 + √2) / 2。

高考数学解三角形典型例题答案

高考数学解三角形典型例题答案（一）1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭ cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B=sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ．∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ．=-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值.依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号, 此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos =A , (1)求B C cos ,cos 的值;(2)若227=⋅BC BA ,求边AC 的长｡【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C 47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由 ()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5. 5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. ∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯ (Ⅱ)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴sin 2C =∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =,由正弦定理得:sin sin AB BCC A =∴2BC ==6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12Bn B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =-3⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+(1)求B CA 2cos 2sin 2++的值;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=14 2sin 2A C ++cos2B= 41- (2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a 2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为315。

高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（）（A）（B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）

⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。