(推荐)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
高考数学解三角形专题复习100题（含答案详解）
⾼考数学解三⾓形专题复习100题（含答案详解）2018年⾼考数学解三⾓形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上⼀点，且AD AC,求△ABD的⾯积．4.在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的⾯积．5.的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上⼀点，且，求的⾯积．6.在△ABC中， =60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的⾯积.7.△ABC的三个内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直⾓；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求⾓A的值；(2)若的⾯积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿⽔平⽅向在A,B两点进⾏测量，A,B,C,D在同⼀个铅垂平⾯内. 海底探测仪测得同时测得海⾥。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，⾓A,B,C对边分别为a,b,c，⾓，且.（1）证明：；（2）若⾯积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求⾓C；（Ⅱ）若c=，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长．15.在中，⾓，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若⾓为锐⾓，求的值及的⾯积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平⾏.(I)求A；(II)若,求△ABC的⾯积.18.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的⾯积为．（1）求；（2）若，，求的周长．20.在△ABC中，⾓的对边分别为a，b，c, ，c=，⼜△ABC的⾯积为，求：(1)⾓的⼤⼩；(2)的值．21.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB?sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC⾯积的最⼤值．22.在△ABC中，已知⾓A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求⾓C的⼤⼩；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐⾓△ABC中，内⾓A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满⾜条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内⾓A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的⼤⼩；（2）在锐⾓△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的⼤⼩（II）求的最⼤值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最⼩正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是⾓A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的⾯积为，求的值.28.△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的⼤⼩；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最⼤值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内⾓，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求⾓A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=（Ⅱ）若△ABC 的⾯积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内⾓A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的⼤⼩；（Ⅱ）求的最⼤值.32.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的⾯积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
解三角形高考真题(带解析)
解三角形高考真题（带解析）1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．3．在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．4．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+5．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-． (1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.9．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC11．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.12．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．参考答案：1．(1)1c =(2)sin B =(3)sin(2)A B -=【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出． （1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A ==，又sin sin a b A B =，所以2sin sin b AB a===．（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A ==所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 2．(2)12【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C=，即可求解.（1）由题意得22221231,,2S a S S =⋅===，则222123S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B1cos ac B ==1sin 2ABCS ac B ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.3．(1)6π(2)663【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. （1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABCSab C a ===a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 4．(1)5π8； (2)证明见解析．【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． （1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．5．(1)见解析 (2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. （1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； （2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6． (2)22．【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin A C ==（2）因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．7．(1)π6；(2)5．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出．（1） 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5．8．（1）3A =，2ω=，3πϕ=；（2）最大值是3，最小值是32-. 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，ω，ϕ的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到11172636x πππ≤+≤，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max 3y =，则3A =，因为566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2T πω=，所以2ππω=，解得2ω=，即3sin(2)y x ϕ=+， 因为函数图象过点,312π⎛⎫⎪⎝⎭，则33sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsinφ16， 所以262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得23k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为2πϕ<，所以3πϕ=.（2）由（1）可知3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3544x ππ≤≤，所以11172636x πππ≤+≤， 因此，当11236x ππ+=时，即34x π=时，32y =-， 当5232x ππ+=时，即1312x π=时，3y =.所以该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3，最小值是32-.9．（1（2）存在，且2a =. 【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值. 【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin C ==因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 10．（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c Cb B===与c =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++==+ 解得2R=，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 2224ABCSab C a ==⨯=，解得3a =， 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 33223422a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯=++⨯= ⎪⎝⎭. 11．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理， 得sin sin ,22b cR ABC C R==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=． 又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +-=⋅．② 由①②得2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3ca =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，33c ca b c +=<（舍去）． 当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△， 即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠， 故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠． 由2b ac =，即b ca b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽， 故AD ABAB AC=，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =， 则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b=，化简得2sin sin 3C A =． 在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =． 在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===． 故7cos 12ABC ∠=． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a aDE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=， 即3ca =或32a c =． 下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理 因为2AD DC =，所以2AD DC =． 以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+． 所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+， 即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++， 又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③ 由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠， 所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④ 联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =． 下同解法1． [方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动． 设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤ 由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=， 2222(2)(1)9x y x y ++-+．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||6,3a BC c BA b =====， 由余弦定理得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.12．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=， 即444222222220a b c a c a b b c +++--=， 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=， 即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==， 又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤. 由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.。
高考解三角形大题(30道)(精选.)
专题精选习题----解三角形1.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值； （2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=C A ，求⋅的取值范围.15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数21)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π4.（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.ABDC17.已知向量552sin ,(cos ),sin ,(cos ===b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值； （2）若02,20<<-<<βππα，135sin -=β，求αsin .18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.20.已知函数)(,cos 21sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .（1）求PN PM ,夹角的余弦值；（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]38,32[上的图象.3,53sin ,3===b A B π21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2（a 为常数）在83π=x 处取得最大值. （1）求a 的值；（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.25.已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+.（1）求ab ； （2）若2223a b c +=，求角B .27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.（1）求船航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.30.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里； （2）若两船能相遇，求m.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
2016年11月29日高三用解三角形大题专练
2016年11月29日高三用解三角形大题专练一．解答题（共30小题）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．3．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．6．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．9．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量（1）求∠B；（2）若ABC的面积．10．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．11．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．12．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣．（1）求sin∠C的值；（2）若BD=5，求△ABD的面积．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．15．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．18．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且cosB=（1）求的值；（2）设=3，求a+c的值．19．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．20．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．21．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．22．如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．23．如图，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；（2）若DE=，求角A的值．24．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC；（Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．25．如图所示，在四边形ABCD中，已知AC=，AD=2，DC=2，AD∥BC．（1）求∠DAC的值；（2）当sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值时，求四边形ABCD的面积．26．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．27．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．28．已知△ABC中的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，．（1）若，求b；（2）若2sinB=sinC，求△ABC的面积．29．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=，AB：BC=2：3，．（1）求sin∠ACB的值；（2）若，CD=1，求△ACD的面积．30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求角A的大小（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长最大值．2016年11月29日高三用解三角形大题专练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．2．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．3．（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．4．（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．5．（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．6．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．7．（2016•浙江校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．8．（2016•揭阳校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．9．（2016•延安校级模拟）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量（1）求∠B；（2）若ABC的面积．【解答】解：（1）∵∴（a﹣c）c﹣（a+b）（a﹣b）=0，∴a2+c2﹣b2=ac（2分）由余弦定理得：（4分）又∵（6分）（2）∵∴（8分）∴a＜b∴A＜B∴（10分）∴（12分）10．（2016•郴州一模）若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a=1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．11．（2016•武汉模拟）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°．…（3分）于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．于是，，．…（9分）在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=2．故DC=2．…（12分）12．（2016•河南一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣．（1）求sin∠C的值；（2）若BD=5，求△ABD的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（7分）（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…（13分）13．（2016•日照一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．又∵C是三角形的内角，∴C=．（Ⅱ）∵C=，a+b=13，c=7，∴由余弦定理可得：72=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=132﹣3ab，解得：ab=40，∴S△ABC=absinC=40×=10．14．（2016•河南校级二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（6分）（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…（12分）15．（2016•宁波模拟）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．【解答】解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．16．（2016•莱芜一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．17．（2016•廊坊校级模拟）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．【解答】解：（1）∵在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=，∴，∵sinC＞0，∴sinC=，∵C是锐角，∴cosC=．（2）∵，a=6，∴，解得b=8，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=36+64﹣2×=36，∴c=6．18．（2016•德州校级二模）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且cosB=（1）求的值；（2）设=3，求a+c的值．【解答】解：（1）由已知b2=ac，由正弦定理得sin2B=sinAsinC．…（3分）由cosB=，可得sinB=．∴=====．…（6分）（2）由=3，得ac=5．…（8分）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•，…（10分）∴（a+c）2=21，a+c=．…（12分）19．（2016•桂林模拟）如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE ⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE为边长为1的正方形，在RT△ABC中sin∠CAB==，cos∠CAB==，同理RT△ADE中sin∠DAE=cos∠CAB=∴sin∠CAD=sin（∠DAE﹣∠CAB）=×﹣×=；（Ⅱ）由题意可得DF=EF=BC=，∴△ADF的面积S=×DF×AE=××1=20．（2016•九江三模）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，，（2分）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，（3分）∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，（5分）由b2=ac知，b不是最大边，∴．（6分）（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，（7分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，（9分）由正弦定理，得b=4sinB，（10分）∴△ABC的面积，（11分）∵，∴，∴．（12分）21．（2016•柳州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵S△ABC=，∴tanB=．∴B=．（II）∵cos∠ADB=﹣，∴sin∠ADB=，cos∠ADC=．在△ABD中，由正弦定理得，即，解得AD=7．在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=49+4﹣4=49，∴AC=7．即b=7．22．（2016•四川模拟）如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．【解答】解：（I）设∠ABD=α，∠CBD=β．在Rt△ABD中，cosα===，∴α=．在Rt△CBD中，cosβ==，∴β=．∴α+β=．在△ABC中，AC2==21．∴AC=．（II）设∠BDC=θ，在△ACD中，=，化为AC=cosθ．在△ABC中，=，化为：AC=cos（60°﹣θ），∴cosθ═cos（60°﹣θ），化为：3cosθ=2cos（60°﹣θ），∴3cosθ=cosθ+sinθ，∴tanθ=．23．（2016•衡水校级模拟）如图，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；（2）若DE=，求角A的值．【解答】解：（1）三角形的内角A，B，C成等差数列，则有2B=A+C．又A+B+C=180°，∴B=60°，∵△BCD的面积为，a=2∴BD•BC•sin60°=，∴BD=，由余弦定理，CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=，∴CD=，（2）∵线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点，DE=，∴AE=，∴AC=2AE=2×=，由正弦定理可得=，即=，∴cosA=，∵0＜A＜180°，∴A=45°24．（2016•唐山一模）在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ．（Ⅰ）求用含θ的代数式表示DC；（Ⅱ）求△BCD面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC=360°﹣90°﹣120°﹣θ=150°﹣θ，由正弦定理可得=，即=，于是：DC=．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得=，即BC=，由（Ⅰ）知：DC=，∴S====．故θ=75°时，S取得最小值6﹣3．25．（2016•河南模拟）如图所示，在四边形ABCD中，已知AC=，AD=2，DC=2，AD∥BC．（1）求∠DAC的值；（2）当sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值时，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）在△ACD中，由余弦定理得：cos∠DAC===．∴∠DAC=．（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=．∴∠BAC+∠ABC=．∴sin∠BAC+sin∠ABC=sinB+sin（）=+=sin（B+）．∴当B=时，sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值．此时∠BAC=∠B=．∴△ABC是等边三角形．∴S△ABC==．S△ACD===3+．∴四边形ABCD的面积为S=S△ABC+S△ACD=3+2．26．（2016•白银模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2﹣2BC•BAcosB，即BC2+BC﹣6=0，解得：BC=2，或BC=﹣3（舍），（3分）由正弦定理得：．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以，（9分）由正弦定理得：．（12分）（其他方法相应给分）27．（2016•洛阳二模）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…（3分）即，故．…（6分）（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…（9分）由余弦定理得．所以．…（12分）28．（2016•河池校级一模）已知△ABC中的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，．（1）若，求b；（2）若2sinB=sinC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴sin2A+cos2A=1，∴sin2A+cos2A=，sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+=，解得A=．由，B∈（0，π），∴sinB==．在△ABC中，由正弦定理可得：，可得b===．（2）∵2sinB=sinC，∴2b=c，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3=b2+c2﹣bc，与2b=c联立解得：b=1，c=2．∴△ABC的面积S===．29．（2016•深圳校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=，AB：BC=2：3，．（1）求sin∠ACB的值；（2）若，CD=1，求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵∠ABC=，AB：BC=2：3，，可得：AB=，∴在△ABC中，由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，可得：7=+BC2﹣，∴解得：BC=3，AB=2，∴由正弦定理可得：sin∠ACB===．（2）∵由（1）及余弦定理可得：cos∠ACB===，∴sin=（cos∠ACB+sin∠ACB）=（+），∴S△ACD=AC•CD•sin∠ACD=1××（+）=．30．（2016•福州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求角A的大小（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长最大值．【解答】（本小题满分12分）（I）解：法一：由（2b﹣c）cosA=acosC及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，…（3分）∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∵A∈（0，π），，∴…（6分）法二：由（2b﹣c）cosA=acosC及余弦定理，得，…（3分）整理，得b2+c2﹣a2=bc，可得：，∵A∈（0，π），∴．…（6分）（II）解：由（I）得∴，由正弦定理得，所以，△ABC的周长：，…（9分）===，∵，当时，△ABC的周长取得最大值为9．…（12分）。
解三角形高考真题汇总(汇编)
精品文档2017高考真题解三角形汇编1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，cC =BA ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（2016全国卷2理科）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Acos A =0，a,b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知C =60°，b，c =3，则A =_________。
8.（2017山东高考题理科）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（ ）（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（2017山东高考题文科）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .精品文档10.（2017天津高考题理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 11.（2017天津高考题文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.12.（2017浙江高考题）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC =__________.13.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值.精品文档14.设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+。
(完整版)解三角形大题及答案
1．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 2．（2013四川）在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.3．（2013山东）设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.4．（2013湖北）在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.5．（2013新课标）△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.6．（2013新课标1）如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA[7．（2013江西）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ABC ,,ABC ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C(1) 求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围33．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 【答案】4．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得 , 即, 则,即 ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ()I ()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-()3cos 5A B B -+=-3cos 5A =-由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为 35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,又,,,所以,解得,.(Ⅱ)在△中,,由正弦定理得,因为,所以为锐角,所以因此.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数的最小正周期为.()II 3cos ,05A A π=-<<4sin 5A =sin sin a bA B=sin sin 2b A B a ==a b >A B >4B π=(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭1c =7c =-BABC cos BA B =ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -2222cos b a c ac B =+-()222(1cos )b ac ac B =+-+6a c +=2b =7cos 9B =9ac =3a =3c =ABC sin 9B ==sin sin 3a B A b ==a c=A 1cos 3A ==sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭π(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.【答案】解:(Ⅰ).所以 (Ⅱ)所以37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数ϖ()f x []0,22)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x 122=⇒=⇒ωπωπ1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x .]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =(Ⅱ)当时,,所以问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意(Ⅲ)依题意,,令当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知,. (1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1)∵ ∴ 即,又∵,∴∴∴(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，παβ<<<0||2a b -=a b ⊥(0,1)c =a b c +=βα,2||=-b a 2||2=-b a ()22222=+-=-b b a a b a 1sin cos ||2222=+==ααa a 1sin cos ||2222=+==ββb b 222=-b a 0=b a b ⊥a(2)∵∴即两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴ 39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数,.(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 因为,,所以, 所以, 所以. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值; (II)求使成立的x 的取值集合.【答案】解: (I))1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos βsin 221-=21sin =β21sin =απαβ<<<0πβπα61,65==()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ∈R 6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭4sin 5θ=-24sin 22sin cos 25θθθ==-227cos 2cos sin 25θθθ=-=-23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=α()f α=()g α()()f x g x ≥.(II) 41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,. (1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵, ∴∴,∴ 根据得 533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππA C A C AB BC A AC min /50m min 2A B B min 1C min /130m AC m 12601312cos =A 53cos =C AB C 31312cos =A 53cos =C ），（、20π∈C A 135sin =A 54sin =C []6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（πsinB sinC AC AB =m C AC AB 1040sin sinB==CBA(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则∴ ∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000,其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050=1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265+3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865=125043m/min. 1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d )507037(20022+-=t t d 13010400≤≤t 80≤≤t 3735=t 3735sinBsinA ACBC =50013565631260sin sinB ===A AC BC min /m 350710500≤-v 3507105003≤-≤-v 14625431250≤≤v C 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265-3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565=62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.【答案】解:(I)由已知条件得:,解得,角 (II),由余弦定理得:, 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=1cos 2A =60A =︒1sin 2S bc A ==4c ⇒=221a =()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==CBADMN44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得==,∴PA=;(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA 中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.(1)若,求点的坐标; (2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.[解](1)(2) 【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,. 因为所以, xOy A y n P x n x {}n x 1nn n P AP θ+∠=n N *∈31arctan 3θ=A A (0n θn (0 )A t ，12n n x -=31arctan 3θ=31tan 3θ=3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅241323t t =+4t =8t =A (0 4)，(0 8)，n P 1(2 0)n -，1tan n n OAP -∠=111212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===2n n ≥tan 4n θ≤=当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得 即有因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有.因为,有. 又,于是有,即有.2nn =4n =0 tan 2n y x πθ<<=，(0 )2π，4n =nθarctan4cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=sin sin cos 0A B A B =sin 0A≠sin 0B B =cos 0B≠tan B =0B π<<3B π=2222cos b a c ac B =+-11,cos 2a c B +==22113()24b a =-+01a <<2114b ≤<112b ≤<。
解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题,带答案１、 (宁夏1７）(本小题满分12分)如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形，,交于,、(Ⅰ）求得值;(Ⅱ)求、 解:(Ⅰ）因为,， 所以、所以、 ········································································································· ６分(Ⅱ)在中,, 由正弦定理、故、 12分２、 (江苏17）(14分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 得顶点A 、B 及ＣD 得中点P 处,已知ＡB ＝20km ，BC=10ｋm ，为了处理三家工厂得污水,现要在矩形ABC Ｄ得区域上(含边界),且Ａ、B 与等距离得一点Ｏ处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道A Ｏ、BO 、OP,设排污管道得总长为ykm 。
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专题精选习题----解三角形
1.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知
b
a
c B C A -=-2cos cos 2cos .
（1）求A
C
sin sin 的值； （2）若2,4
1
cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .
2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2
sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若8)(42
2-+=+b a b a ，求边c 的值.
3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+
π
，求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1
cos ==，求C sin 的值.
4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，5
3
cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .
5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知4
1cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值.
6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且24
1b ac =
. （1）当1
,4
5
==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.
7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；
（2）求C B sin sin +的最大值.
8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知4
12cos -=C . （1）求C sin 的值；
（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.
9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5
522cos
=⋅=A .
ABC ∆b c C a =+2
1
cos （1）求ABC ∆的面积；
（2）若6=+c b ，求a 的值.
10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，2
2
)4cos()4cos(=-++ππ
C C . （1）求角C 的大小；
（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.
11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；
（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.
12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；
（2）若3=a ，4
3
3=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.
13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(22
22ab c b a =-+
（1）求2
sin
2
B
A +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.
14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2
2
2
2
cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；
（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=C A ，求n m ⋅的取值范围.
15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数2
1
)(-
⋅=x f 的最小正周期为π4.
（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.
16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且3
3
4,2==BD DC AD . (1)求BC 的长；
(2)求DBC ∆的面积.
17.
已知向量5
5
2sin ,(cos ),sin ,(cos =
==ββαα. （1）求)cos(
βα-的值； （2）若02
,2
0<<-
<
<βπ
π
α，13
5
sin -
=β，求αsin . A
B
D
C
18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2
=+⋅+C C C C ，且
5=+b a ，7=c .
（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.
19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2
1)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；
（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.
20.已知函数)(,cos 2
1
sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .
（1）求,夹角的余弦值；
（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]3
8
,32[上的图象.
21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2
（a 为常数）在8
3π
=x 处取得最大值. （1）求a 的值；
（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.
3,5
3
sin ,3===b A B π
22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+2
2
2
. （1）求角A 的大小；
（2）若函数2
cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当2
1
2)(+=
B f 时，若3=a ，求b 的值.
23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.
24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；
（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.
25.已知函数21
2cos 2cos 2sin
3)(2++=x x x x f .
(1)求)(x f 的单调区间；
（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.
26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2
=+.
（1）求
a
b ； （2）若2
2
2
3a b c +=，求角B .
27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？
28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.
29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.
（1）求船航行速度；
（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.
30.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（2
1
tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.
（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里； （2）若两船能相遇，求m.
（3） （4） （5） （6） （7）
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注！） （8）
（9）。