解三角形(历届高考题)

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高考解三角形大题(30道)

高考解三角形大题(30道)1.已知在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a}=\frac{\cos B b}{\sin C}$。

求该三角形的 $\sin A$ 值和面积 $S$，已知 $\cosB=\frac{1}{4}。

b=2$。

2.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\sin C+\cos C=1$。

求 $\sin C$ 值和边c的值，已知$a+b=4(a+b)-8$。

3.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。

求 $\sin(A+\frac{C}{2})=\frac{1}{2}\cos A$，并求角A的值；已知 $\cos A=\frac{1}{3}。

b=3c$，求 $\sin C$ 值。

4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且有$BD=\frac{3}{3},\sin B=\frac{5}{3},\cos\angle ADC=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。

求AD的值。

5.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $a=1,b=2,\cos C=\frac{1}{4}$。

求该三角形的周长和$\cos(A-C)$ 值。

6.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。

已知 $p=\frac{1}{5},b=1$，求 $a,c$ 的值；若角B为锐角，求p的取值范围。

7.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。

求角A的值和$\sin B+\sin C$ 的最大值。

8.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$。

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以62cos cos(4530)4CBE +=-=∠． ···················································· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE=-+．故2sin 30cos15AE =122624⨯=+62=-． 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

解三角形中有关最值问题的求解2010年~2016年全国各省相关高考题

解三角形中有关最值问题的求解1.（2010年浙江高考）在ABC 中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设S 为ABC的面积，满足)(43222c b a S 。

（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin 的最大值。

2（2011年湖南高考）在ABC 中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，且满足C a Ac sin sin （1）求角C 的大小；（2）求)4cos(sin 3B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小。

3.（2011年全国新课标2）在ABC 中，60B ，AC=3，求AB+2BC 的最大值。

4.（2012太原模拟）ABC 中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设向量),(a b a c m ，),(c b an ，若m 平行于n 。

（1）求角B 的大小；（2）求C A sin sin 的最大值。

5（2012年浙江宁波模拟）已知函数2cos )4(sin 32)(2x f ，A 为ABC 中的最小内角，且满足32)(A f 。

（1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线长为3，求ABC S 的最大值。

6. （2013年全国新课标2）在ABC 中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知Bc C b a sin cos （1）求B ；（2）若b=2, 求ABCS 的最大值。

7（2014年陕西高考）在ABC 中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角。

（1）若c b a ,,成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若c b a ,,成等比数列，求cosB 的最小值。

8.(2015年山东高考)设)4(cos cos sin )(2x x x x f （1）求)(x f 的单调区间；（2）在锐角ABC 中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，若)2(A f =0，a=1，求ABCS 的最大值。

高考解三角形大题(30道)(精选.)

专题精选习题----解三角形1.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值；（2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长；（2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +；（2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=C A ，求⋅的取值范围.15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数21)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π4.（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.ABDC17.已知向量552sin ,(cos ),sin ,(cos ===b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值；（2）若02,20<<-<<βππα，135sin -=β，求αsin .18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.20.已知函数)(,cos 21sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .（1）求PN PM ,夹角的余弦值；（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]38,32[上的图象.3,53sin ,3===b A B π21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2（a 为常数）在83π=x 处取得最大值. （1）求a 的值；（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值；（2）求ABC ∆的面积.24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.25.已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+.（1）求ab ；（2）若2223a b c +=，求角B .27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.（1）求船航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.30.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里；（2）若两船能相遇，求m.最新文件仅供参考已改成word 文本。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题07 解三角形 Word版无答案原卷版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?。

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得：332113441264T ππππω=⋅=-=，解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<，可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--，当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=，故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++，将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称，所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+，因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=，所以3()sin(9)4f x x π=+，故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈，由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错．故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =，即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =，又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去，又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =，由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=．故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈，因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号），从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=，又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值；（Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==，由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠，因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长；（2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠．因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=，因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=．在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =，因为sin 0B ≠，所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角，即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

解三角形高考真题汇总(汇编)

精品文档2017高考真题解三角形汇编1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，cC =BA ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（2016全国卷2理科）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Acos A =0，a,b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

已知C =60°，b，c =3，则A =_________。

8.（2017山东高考题理科）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（）（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（2017山东高考题文科）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .精品文档10.（2017天津高考题理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 11.（2017天津高考题文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.12.（2017浙江高考题）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC =__________.13.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅（Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若k c 求,2=的值.精品文档14.设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+。

三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题10 解三角形(解析版)

专题10 解三角形1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin 4C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 60C ︒+=．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）()82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．【答案】（1）7b =，5c =；（2. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5. 【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14．【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .【答案】（1（2）5. 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.15．【2017年高考全国Ⅰ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.16．【2018年高考天津卷理数】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3；（2）b sin(2)A B -. 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cosA =因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-= 【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．【2017年高考全国Ⅱ理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．18．【2018年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．【答案】（1）π3；（2）2．【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2）， ∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =11()2727-+⨯=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC 边上的高为2．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，基本步聚是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化；第三步，求结果.19．【2017年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b sin A （2）26.【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =．由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==．所以，b sin A（2）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．20．【2017年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A =，a ，b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.【答案】（1）4c =；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =. 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =. （2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. （1）由题意首先求得2π3A =，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得4c =；（2）利用题意首先求得ABD △的面积与ACD △的面积的比值，然后结合ABC △的面积可求得ABD △.21．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠，记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=．于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．22．【2017年高考北京卷理数】在△ABC 中，A ∠=60°，c =37a . （1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积.【答案】（1）14；（2）【解析】（1）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. （1）根据正弦定理sin sin a cA C=求sin C 的值；（2）根据条件可知7,3,a c ==根据余弦定理求出b 的值，最后利用三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可.。

解三角形高考大题,带答案

解三角形高考大题，带答案之相礼和热创作1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）由于9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，以是15CBE =∠．以是6cos cos(4530)CBE =-=∠． ······························· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含鸿沟），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并展设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 暗示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y 暗示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的地位，使三条排污管道总长度最短. 【解析】：本小题考查函数的概念、BACDEB解三角形、导数等基本学问，考查数学建模才能、笼统概括才能和处理实践成绩的才能.（1）①由条件知PQ 垂直中分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠，故10cos OB θ=又1010OP tan θ=-，以是10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++-所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x(km)，则OQ=10-x ，以是OA OB ==所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤ （2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ=046ππθθ≤≤∴= 当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时'0y >，y是θ的增函数；以是当6πθ=时，min 120101010y -⨯=+=此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB km 处.3. （辽宁17）（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得，224a b ab +-=，又由于ABC △1sin 2ab C =4ab =． ··· 4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．······················· 6分（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ······················· 8分联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =，3b =．以是ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ····························· 12分4．（天下Ⅰ17）（本小题满分12分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：又经过cos 3a B =知：cos 0B >，则3cos 5B =，4sin 5B =，则5a =．（2）由1sin 2S ac B =，得到5c =．由222cos 2a c b B ac+-=，解得：b =末了10l =+．5．（天下Ⅱ17）（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =． ··············································· 2分以是16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ····················· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ··················· 8分以是ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ······· 10分6. （上海17）（本题满分13分）如图，某住宅小区的立体图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔挺的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速率为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=060……………………………4分在CDO ∆中，22022cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H…………………..2分由题意，得CD=500（米），AD=300（米），0120CDA ∠=………….4分∴ AC=700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角1411,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分. （重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）222b c a +=，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos ,a b c bc A =+- (Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --8. 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.。

解三角形历年部分高考题——教师版文科

4.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴= 2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D6．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （）A 15B ．34C ．315D ．11166、（湖南文）17．（本小题满分12分）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（Ⅰ）求角C 的大小；（II 3cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=32，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。

【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=o ，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 22sin 23b A B a ===o ，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+o o o2321312()2+=⨯+⨯=. 【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。

高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（）（A）（B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

解三角形高考真题(二)

解三角形高考真题(二)解三角形高考真题（二）一．选择题（共7小题）1．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B． C． D．32．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．3．（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．14．（2014•广东）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件5．（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 6．（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（）A． B． C． D．7．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）8．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．9．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．10．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．11．（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．12．（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）13．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．14．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= ．三．解答题（共26小题）15．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．16．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．17．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．19．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．20．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC 内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．21．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．22．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．23．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．24．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．25．（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．26．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．27．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．28．（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．29．（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= ．30．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．31．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．32．（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．33．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．34．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．35．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．36．（2014•陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB 的值．37．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．38．（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．39．（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．40．（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．解三角形高考真题（二）参考答案一．选择题（共7小题）1．C；2．D；3．B；4．A；5．B；6．D；7．A；二．填空题（共7小题）8．1；9．2；10．2；；11．150；12．60；13．﹣；14．或；三．解答题（共26小题）ol,u15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．2；30．；31．；32．；33．；34．；35．；36．；37．；38．；39．；40．；。

解三角形高考真题

解三角形高考真题7.（15）（2017北京高考题）在△ABC中，已知A=60°，c=a=7.Ⅰ）求sinC的值；Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积。

解：（Ⅰ）由正弦定理得sinC=sin(180°-60°-60°)=sin60°=√3/2.Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得b²=8²-3²=55，因此b=√55.所以△ABC的面积S=1/2*bc*sinA=1/2*8*3*√3/2=12√3.17.（2017全国卷1理科）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为a²*√3/4.1）求sinBsinC；2）若6cosBcosC=1，a=3，求△XXX的周长。

解：（1）由正弦定理得XXX=c/a，所以XXX=(b²+c²-a²)/2bc。

又由面积公式得a²*√3/4=1/2*bc*sinA，即bc=2a/√3*sinA。

因此sinBsinC=(b²+c²-a²)/4a/√3*sinA=(2bc-a²)/4a/√3*sinA=√3/4*cosA。

又因为A+B+C=π，所以cosA=-cos(B+C)=cos(B-C)，所以sinBsinC=√3/4*cos(B-C)。

2）由（1）得cos(B+C)=-sinBsinC/√3=-2/3.又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得b²+c²=9+4a²/√3.因此，b+c=√(b²+c²+2bc)=√(9+4a²/√3+4bc)=√(9+4a²/√3+8a/√3*sinA)=3 +2a/√3*cosA=3-4/√3.所以△ABC的周长=a+b+c=3+(3-4/√3)=6-4/√3.11.（2017全国卷1文科）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)解三角形全国高考题汇总一、全国1卷（2019年）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC1）求A；2）若2a+b=2c，求sinC。

分析】1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b²+c²-a²=bc，从而可整理出cosA，根据A∈(0,π)可求得结果；2）利用正弦定理可得2sinA+sinB=2sinC，利用sinB=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果。

详解】1）将(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC化简可得：sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC由正弦定理可得：b²+c²-a²=bccosA=(b²+c²-a²)/(2bc)因为A∈(0,π)，所以A=cos⁻¹[(b²+c²-a²)/(2bc)]2）方法一：由正弦定理可得：2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入上式可得：2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得：3sinC-2sinA=cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A)，代入上式可得：3sinC-2sinA=±cosC√(1-sin²A)整理可得：sinC=(3±2√2)sinA/(2±√2)因为sinA∈(0,1)，所以sinC>(3-2√2)/(2+√2)=1.082，sinC<(3+2√2)/(2-√2)=1.414所以sinC=1.25方法二：由正弦定理可得：2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入上式可得：2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得：3sinC-6=3cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A)，代入上式可得：3sinC-6=±3cosCsinA√(1-sin²A)整理可得：(sinC-2)²=3-sin²C解得：sinC=1.25二、2018全国新课标Ⅰ理在平面四边形ABCD中，∠ADC=90，∠A=45，AB=2，BD=5.1）求cos∠ADB；2）若DC=22，求BC.1）由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB·ADcos∠ADB代入已知条件可得：25=4+AD²-4ADcos∠ADB整理可得：cos∠ADB=(AD²-21)/4AD2）由勾股定理可得：AD=AB√2=2√2由正弦定理可得：DC/√2=sin∠ADC=sin(∠ADB+∠ABC)=sin∠ADB·cos∠ABC+ cos∠ADB·sin∠ABC代入已知条件可得：22/√2=sin∠ADB·(√2/2)+cos∠ADB·(5/2)整理可得：√2sin∠ADB+5cos∠ADB=44/√2将cos∠ADB代入上式可得：√2sin∠ADB+(25-AD²)/2AD=44/√2代入已知条件可得：√2sin∠ADB+(25-8)/4=44/√2解得：sin∠ADB=3/2√2由正弦定理可得：BC/√2=sin∠ABC/sin∠ADB代入已知条件可得：BC/√2=2/(3√2)解得：BC=2/3在三角形ABD中，根据正弦定理得：frac{522}{\sin\angleADB}=\frac{523}{\sin45^{\circ}\sin\angle ADB}$$化XXX：sin\angle ADB=\frac{523}{522\sqrt{2}}$$又因为$\angle ADB<90^{\circ}$，所以根据余弦定理得：cos\angle ADB=1-\sin^2\angle ADB=\frac{1}{2}$$在三角形ABD和BDC中，根据余弦定理和正弦定理得：cos\angle BDC=\cos(-\angle ADB)=\sin\angle ADB$$cos\angle BDC=\frac{DC^2+BD^2-BC^2}{2\cdot BD\cdot DC}=\frac{28+25-BC^2}{2\cdot 5\cdot 2\sqrt{2}}$$化XXX：BC=5$$在三角形ABC中，根据正弦定理和面积公式得：frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2S$$所以：sin B\sin C=\frac{bc}{a}\cdot\sin B\sinC=\frac{2S}{a}\cdot\sin B\sin C$$又因为$S=\frac{1}{2}bc\sin A$，所以：sin B\sin C=\frac{a\sin A}{2bc}=\frac{a}{2c}$$在三角形ABC中，根据余弦定理和面积公式得：a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4c^2-4S^2/c^2$$所以：cos A=\frac{4c^4-4S^2}{4c^3}=\frac{c^2-S^2}{2c^2}$$ 又因为$\sin A=\frac{2S}{bc}$，所以：sin A=\frac{2S}{bc}=\frac{2S}{2c\sin C}=\frac{S}{c\sin C}=\frac{a\sin A}{c}$$代入$\cos A$的式子中得：cos A=\frac{c^2-S^2}{2c^2}=\frac{a^2-b^2}{2ac}=\frac{a\sin A}{c}$$所以：sin B\sin C=\frac{a}{2c}=\frac{\sin A}{2\cos A}$$又因为$6\cos B\cos C=\frac{3bc}{a^2}=\frac{3}{2S}\cdot bc=\frac{3}{S}\cdot\frac{1}{2}bc=\frac{3}{S}\cdot S\sinA=\frac{3}{\sin A}$，所以：sin B\sin C=\frac{1}{6\cos B\cos C}=\frac{\sin A}{18}$$代入第一个式子中得：frac{a}{\sin A}=\frac{2c\sin B\sin C}{\sin A}=\frac{c}{9}$$又因为$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sinC=\frac{1}{2}ab\sin A$，所以：c=2S/a=4$$代入上式中得：a=36$$所以：sin B\sin C=\frac{a}{2c}=\frac{9}{4}$$cos B\cos C=\frac{1}{6\sin B\sin C}=\frac{2}{27}$$根据余弦定理和面积公式得：b^2=c^2+a^2-2ac\cos B=4a^2-4S^2/a=128$$cos B=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3}{4}$$sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$sin C=\frac{a\sin A}{b}=\frac{6}{7\sqrt{7}}$$所以：cos C=\sqrt{1-\sin^2C}=\frac{5\sqrt{3}}{7\sqrt{7}}$$tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a\sin A}{c^2-S^2}=\frac{36\cdot 6/7\sqrt{7}}{16-36^2/4}=24\sqrt{7}$$tan B=\frac{\sin B}{\cosB}=\frac{\sqrt{7}/4}{3/4}=\frac{\sqrt{7}}{3}$$tan C=\frac{\sin C}{\cosC}=\frac{6/7\sqrt{7}}{5\sqrt{3}/7\sqrt{7}}=\frac{6}{5\sqrt{3}}$ $所以：tan A+\tan B+\tanC=24\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{6}{5\sqrt{3}}$$ 24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{7}}{15}+\frac{6\sqrt{3}}{15}$$ 24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{21}+2\sqrt{3}}{15}$$在三角形ABC中，根据余弦定理和面积公式得：cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+(a+1)^2-4^2}{2a(a+1)}$$化XXX：2a^3+3a^2-2a-15=0$$因为$a>0$，所以：a=\frac{\sqrt{93}-3}{4}$$代入面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$中得：S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{93}-3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{93}-3}{40}$$ 根据正弦定理得：frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sinC}=\frac{5\sqrt{93}-15}{8}$$所以：b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{a\sin A}{\sinB}=\frac{ac}{b}=\frac{a^2}{b}=\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}$$所以：a+b+c=\frac{\sqrt{93}-3}{4}+\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}+4=\frac{8\sqrt{93}+12}{5\sqrt{93}-15}$$2015年17题：在三角形ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，且∆ABD的面积是∆ADC的2倍。