2017解三角形高考真题
2017年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共6页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.3i 1i +=+ ( )A .12i +B .12i -C .2i +D .2i -2.设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{}1AB =,则B =( )A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A .90πB .63πC .42πD .36π5.设x ,y 满足约束条件2330,2330,30.x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩≤≥≥则2z x y =+的最小值是( )A .15-B .9-C .1D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A .12种B .18种C .24种D .36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =( )A .2B .3C .4D .59.若双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )A .2B .3C .2D .23310.已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ∠=︒,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A .32B .155C .105D .3311.若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点,则()f x 的极小值为 ( ) A .1-B .32e --C .35e -D .112.已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________最小是( ) A .2-B .32-C . 43-D .1-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX = .14.函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是 . 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS ==∑. 16.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则FN = .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 已知2sin()8sin 2B AC +=. (1)求cos B ;(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求b .18.(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg ).其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50 kg ,新养殖法的箱产量不低于50 kg ”,估计A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.(12分)如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,o90BAD ABC ∠=∠=,E 是PD 的中点.(1)证明:直线CE ∥平面PAB ;(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值.20.(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12xC y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21.(12分)已知函数2()ln f ax a x x x x =--,且()0f x ≥. (1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且220e ()2f x --<<.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知0a >,0b >,332a b +=.证明:(1)55()()4a b a b ++≥;(2)2a b +≤.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】试题分析:由复数除法的运算法则有:3i (3i)(1i)2i 1i 2++-==-+,故选D . 名师点睛:复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时,要注意利用共轭复数的性质:若1z ,2z 互为共轭复数,则221212||||z z z z ⋅=⋅,通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.【考点】复数的除法 2.【答案】C【解析】试题分析:由{1}AB =得1B ∈,即1x =是方程240x x m -+=的根,所以140m -+=,3m =,{1,3}B =,故选C .名师点睛:集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范:①不要忽视元素的互异性;②保证运算的准确性. 【考点】交集运算,元素与集合的关系 3.【答案】B【解析】试题分析:设塔的顶层共有灯x 盏,则各层的灯数构成一个首项为x ,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有:7(12)38112x -=-,解得3x =,即塔的顶层共有灯3盏,故选B .名师点睛:用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论.【考点】等比数列的应用,等比数列的求和公式4.【答案】B【解析】试题分析:由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积213436V =π⨯⨯=π,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π,故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π.故选B .名师点睛:在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解.【考点】三视图,组合体的体积 5.【答案】A【解析】试题分析:画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,目标函数即:2y x z =-+,其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距,数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值,min 2(6)(3)15Z =⨯-+-=-,故选A .名师点睛:求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值,当0b >时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最大,在y 轴截距最小时,z 值最小;当0b <时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上截距最小时,z 值最大.【考点】应用线性规划求最值 6.【答案】D【解析】试题分析:由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有24C 种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种.故选D .名师点睛:(1)解排列组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求解. 【考点】排列与组合,分步乘法计数原理 7.【答案】D【解析】试题分析:由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁两人一人优秀一人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩则知道自己的成绩,即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D .名师点睛:合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下) 【考点】合情推理 8.【答案】B【解析】试题分析:阅读程序框图,初始化数值1a =-,1K =,0S =. 循环结果执行如下:第一次:011S =-=-,1a =,2K =; 第二次:121S =-+=,1a =-,3K =; 第三次:132S =-=-,1a =,4K =;第四次:242S =-+=,1a =-,5K =; 第五次:253S =-=-,1a =,6K =; 第六次:363S =-+=,1a =-,7K =. 结束循环,输出3S =.故选B .名师点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:①要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构;②要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题;③按照题目的要求完成解答并验证. 【考点】程序框图 9.【答案】A【解析】试题分析:由几何关系可得,双曲线22221x y a b -=(00)a b >>,的渐近线方程为0bx ay ±=,圆心(2,0)到渐近线距离为d ==则点(2,0)到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=,整理可得224c a =,双曲线的离心率2e =.故选A . 名师点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式ce a=;②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合222b c a =-转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).【考点】双曲线的离心率,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式 10.【答案】C【解析】试题分析:如图所示,补成直四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为1BC D ∠,1=2BC 60=3BD,11=C D AB易得22211=C D BD BC +,因此111cos =5BC BC D C D ∠,故选C .名师点睛:平移法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; ②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; ③计算:求该角的值,常利用解三角形;④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是π(0]2,,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【考点】异面直线所成的角,余弦定理,补形的应用 11.【答案】A 【解析】试题分析:由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-,因为(2)0f '-=,所以1a =-,21()(1)ex f x x x -=--,故21()(2)ex f x x x -'=+-,令()0f x '>,解得2x <-或1x >,所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增,在(2,1)-上单调递减,所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-,故选A .名师点睛:(1)可导函数()y f x =在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '=,且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不相同;(2)若()f x 在()a b ,内有极值,那么()f x 在()a b ,内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.【考点】函数的极值,函数的单调性 12.【答案】B【解析】试题分析:如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,所以()PA x y =-,(1,)PB x y =---,(1,)PC x y =--,所以(2,2)PB PC x y +=--,22233()22)22(22PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+--≥,当(0P 时,所求最小值为32-,故选B .【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【考点】平面向量的坐标运算,函数的最值二、填空题 13.【答案】1.96【解析】试题分析:由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即()~100,0.02X B ,由二项分布的期望公式可得(1)1000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=.【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:①是否为n 次独立重复试验,在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ;②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数,且()()C 1n kkk n p X k p p -==-表示在独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率.【考点】二项分布的期望与方差14.【答案】1【解析】试题分析:化简三角函数的解析式,则22231()1cos cos(cos144f x x x x x x=--=-+=-+由π[0,]2x∈可得cos[0,1]x∈,当cos x=()f x取得最大值1.名师点睛:本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面进行分析.【考点】三角变换,复合型二次函数的最值15.【答案】21nn+【解析】试题分析:设等差数列的首项为1a,公差为d,由题意有113,4102432,adda+⨯=+=⎧⎪⎨⎪⎩解得11,1,da=⎧⎨=⎩数列的前n项和1(1)(1)(1)11222nn n n n nSnn da n--+++⨯==⨯=,裂项可得12112()(1)1kS k k k k==-++,所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n==-+-++-=-=+++∑.名师点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量1a,n a,d,n,n S,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而1a和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用得方法.使用裂项法求和时,要注意正、负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.【考点】等差数列前n项和公式,裂项求和.16.【答案】6【解析】试题分析:如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与x轴交于点F',作MB l⊥与点B,NA l⊥与点A,由抛物线的解析式可得准线方程为2x=-,则2AN=,4FF'=在直角梯形ANFF'中,中位线32AN FFBM'+==,由抛物线的定义有:3MF MB==,结合题意,有3MN MF==,故336FN FM NM=+=+=.【考点】抛物线的定义,梯形中位线在解析几何中的应用.【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.三、解答题17.【答案】(1)15cos17B=;(2)2b=.【解析】试题分析:(1)利用三角形内角和定理可知A B C+=,再利用诱导公式化简sin()A C+,利用降幂公式化简21cossin22B B-=,结合22sin cos1B B+=即可求出cos B;(2)利用(1)中结论15cos17B=,结合三角形面积公式可求出ac的值,根据6a c+=,进而利用余弦定理可求出b的值.试题解析:(1)由题设及πA B C ++=,可得2sin 8sin 2BB =,故sin 4(1cos B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=,解得cos 1B =(舍去),15cos 17B =.(2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14=sin 217ABC S ac B ac =△.又=2ABC S △,则172ac =.由余弦定理及6a c +=得:222217152cos ()2(1cos )362(1)4217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=,所以2b =.【考点】余弦定理,三角形面积公式【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意a c +,ac ,22a c +三者之间的关系,这样的题目小而活,备受命题者的青睐. 18.【答案】(1)0.4092;(2)有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)52.35 kg .【解析】试题分析:(1)利用相互独立事件概率公式即可求得事件A 的概率估计值; (2)写出列联表计算的2K 观测值,即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)结合频率分布直方图估计中位数为52.35 kg .试题解析:(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”,C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”,由题意知()()()()P A P BC P B P C ==,旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为0.0120.0140.0240.0340.0()4050.62⨯++++=, 故()P B 的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为0.0680.0460.0100.00850.6)6(+++=⨯, 故()P C 的估计值为0.66.因此,事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表:2K 的观测值22200(62663438)15.70510010096104K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈. 由于15.705 6.635>,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg 的直方图面积为0.0040.0200.04450(.)340.5++⨯=<,箱产量低于55 kg 的直方图面积为0.0040.0200.0440.0685(0.680.)5+++⨯=>, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.50.345052.38(kg)0.068-+≈.名师点睛:(1)利用独立性检验,能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测.独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系,并能较为准确地给出这种判断的可信度,随机变量的观测值值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大. (2)利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时,应注意三点:①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数;②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;③平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.【考点】独立事件概率公式,独立性检验原理,频率分布直方图估计中位数 19.【答案】(1)证明:取PA 的中点F ,连结EF ,BF . 因为E 是PD 的中点,所以EF AD ∥,1=2EF AD ,由=90BAD ABC =∠∠得BC AD ∥, 又1=2BC AD ,所以EF BC ∥,四边形BCEF 是平行四边形,CE BF ∥. 又BF ⊂平面PAD ,BCE ∉平面PAB ,故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点,AB 的方向为x 轴正方向,||AB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(1,1,0)C,P,(1,0,PC ,(1,0,0)AB , 设(,,)M x y z ,则(1,,)BM x y z =-,(,1,PM x y z =-,因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°,而=(0,0,1)n 是底面ABCD 的法向量, 所以cos ,sin 45BM 〈〉=n2=,即222(1)0x y z -+-=.① 又M 在棱PC 上,设PM PC λ=,则x λ=,1y =,z =.②由①②解得,11,x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(舍去),11,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以(1M -,从而(1AM =. 设000(,,)x y z =m 是平面ABM 的法向量,则0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0000(220,0,x y x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩所以可取(0,m .于是cos ,||||⋅〈〉==m n m n m n ,因此二面角M AB D --. 【解析】试题分析:(1)取PA 的中点F ,连结EF ,BF ,由题意证得CE BF ∥,利用线面平行的判断定理即可证得结论;(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量:(0,m ,(0,0,1)n ,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --. 名师点睛:(1)求解本题要注意两点:①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,②利用方程思想进行向量运算,要认真细心、准确计算.(2)设m ,n 分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与,〈〉m n 互补或相等,故有|cos ,|||o |s |c θ⋅〈〉==m nm n m n .求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.【考点】判定线面平行,面面角的向量求法20.【答案】(1)设(,)P x y =,00(,)M x y ,则0(,0)N x ,0(,)NP x x y -,0(0,)NM y .由2NP NM =得0x x =,0y y . 因为00(,)M x y 在C 上,所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.(2)由题意知(1,0)F =-.设(3,)Q t =-,(,)P m n =,则,(3,)OQ t =-,(1,)PF m n =---,33OQ PF m tn ⋅=+-,(,)OP m n =,(3,)PQ m t n =---.由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=,又由(1)知222m n +=,故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解析】试题分析:(1)设出点P 、M 的坐标,利用2NP NM =得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222xy +=;(2)利用1OP PQ ⋅=可得坐标之间的关系:2231m m tn n --+-=,结合(1)中的结论整理可得0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥,据此即可得出结论. 名师点睛:求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:直接利用条件建立x ,y 之间的关系(,)0F x y ==. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程.(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)代入(相关点)法:动点(,)P x y =依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而运动,常利用代入法求动点(,)P x y =的轨迹方程. 【考点】轨迹方程的求解,直线过定点问题 21.【答案】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.设()ln g x ax a x =--,则()()f x xg x =,()0f x ≥等价于()0g x ≥. 因为(1)=0g ,()0g x ≥,故(1)=0g ',而1()g x a x'=-,(1)1g a '=-,得1a -. 若1a -,则1()1g x x'=-.当01x <<时,()0g x '<,()g x 单调递咸; 当1x >时,()0g x '>,()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点,故()(1)0g x g =≥. 综上,1a =.(2)由(1)知2()ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--.设()22ln h x x x =--,则1()2'x h x=-.当1(0,)2x ∈ 时,()0h'x <;当1(,)2x ∈+∞时,()0h'x >,所以()h x 在1(0,)2上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增.又2(e )0h ->,1()02h <,(1)0h =,所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ,在1[,)2+∞有唯一零点1,且当0(0,)x x ∈时,()0h x >;当0(,1)x x ∈时,()0h x <,当(1,)x ∈+∞时,()0h x >. 因为()()f 'x h x =,所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由0()0f 'x =得00ln 2(1)x x =-,故000()(1)f x x x =-. 由0(0,1)x ∈得01()4f x <. 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点,由1(1)e 0,-∈,1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=. 所以220e ()2f x --<<.【解析】试题分析:(1)根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =,注意验证结果的正确性;(2)结合(1)的结论构造函数()22ln h x x x =--,结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式成立.名师点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用. 【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值 22.【答案】(1)()()22240x y x -+=≠ (2)2【解析】试题分析:(1)设出P 的极坐标,然后利用题意得出极坐标方程,最后转化为直角坐标方程;(2)利用(1)中的结论,设出点的极坐标,然后结合面积公式得到面积的三角函数,结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值.理科数学试卷 第21页(共22页) 理科数学试卷 第22页(共22页) 试题解析:(1)设P 的极坐标为()()0ρθρ,>,M 的极坐标为11()()0ρθρ,>. 由题设知OP ρ=,14cos OM ρθ==. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程为0)4cos (ρθρ=>,因此2C 的直角坐标方程为22(240)()x y x -+=≠.(2)设点B 的极坐标为()(0)B B ραρ,>,由题设知2OA =,4cos B ρα=,于是OAB △的面积1ππsin 4cos sin 2sin 22233B S OA AOB ρααα⎛⎫⎛⎫=⋅⋅∠=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当π12α=-时,S取得最大值2+OAB △面积的最大值为2.名师点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用。
知识点37 解直角三角形及其应用2017(解答题)
三、解答题1. (2017四川广安,23,8分)如图,线段AB 、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高,BA ⊥AD ,CD ⊥DA ,垂足分别为A 、D .从D 点测得B 点的仰角α为60°,从C 点测得B 点的仰角β为30°,甲建筑物的高AB =30米.(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD .(4分)(2)求乙建筑物的高CD .(4分)思路分析:(1)在Rt △ABD 中,根据tan α=AB AD 求出AD 的值;(2)①通过作“CE ⊥AB ”构造Rt △BCE ;②在Rt △BCE 中,根据“tan ∠BCE =CEBE ”求出BE ;③由此求出AE (即CD )的高度. 解:(1)根据题意得,在Rt △ABD 中,∠BDA =∠α=60°,AB =30米,∴AD = 60tan AB =330=103(米), 答:甲、乙两建筑物之间的距离AD 为103米.(2)如图,过点C 作CE ⊥AB 于点E .根据题意,得∠BCE =∠β=30°,CE =AD =103,CD =AE .在Rt △BEC 中,tan ∠BCE =CEBE ∴tan30°=310BE,∴BE =10(米),∴CD =AE =AB -BE =30-10=20(米).答:乙建筑物的高CD 为20米.2. (2017浙江丽水·19·6分)如图是某小区的一个健身器材,已知BC =0.15m ,AB =2.70m ,∠BOD =70°,求端点A 到底面CD 的距离(精确到0.1m )(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)思路分析:过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥AE 于点F ,构造Rt △ABF ,运用解直角三角形的知识求出AF ,进而求出AE 得出结果.解:过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥AE 于点F ,∵OD ⊥CD ,∠BOD =700,∴AE ∥OD ,∴∠A =∠BOD =700,在Rt △ABF 中,AB =2.7,∴AF =2.7×cos 700=2.7×0.34=0.918,∴AE =AF +BC =0.918+0.15=1.068≈1.1(m ).答:端点A 到底面CD 的距离约是1.1m .3. (2017四川泸州,22,8分)如图,海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70nmile ,若该渔船由西向东航行30nmile到达B 处,此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上;求该渔船此时与小岛C 之间的距离.思路分析:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,设BC =x ,在Rt △BCD 中表示BD 、CD ,在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程求解.解:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,由题意得:∠BCD =30°,设BC =x ,则:在Rt △BCD 中,BD =BC sin30°=12 x ,CD =BC cos30°=32 x ;∴AD =30+12 x ,∴在Rt △ACD 中,AD 2+CD 2=AC 2,即:(20+2x )2+(32 x )2=702, 解之得:x 1=50,x 2=-80(舍去).答:渔船此时与C 岛之间的距离为50海里.4. 18.(2017四川成都,8分)科技改变生活,手机导航极大地方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C 游玩,到达A 地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B 地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ,小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向,求B ,C 两地的距离.思路分析:由小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向,确定AC ∥BD ,通过已知∠CAB =60°,∠CBD =45°可得∠C =45°.通过作BE ⊥AC ,因为已知AB =4,所以先在Rt △AEB 中求得BE 的长,然后再在Rt △CEB 中求得BC 的长.解:由题意知:AB =4,∠CAB =60°,∠CBD =45°,AC ∥BD ,作BE ⊥AC ,∴∠CEB =90°,∠EBA =90°-∠CAB =30°,∠CBE =90°-∠CBD =45°,∴△CEB 是等腰直角三角形.∴BE =3cos304232AB ⋅︒== ∴BC 222326BE ==(千米),即,B ,C 两地的距离为26千米.5. (2017山东德州)(本小题满分10分)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m 的A 处,测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9秒.已知∠B =30°,∠C =45°.(1)求B 、C 之间的距离;(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h ,那么这辆汽车是否超速?请说明理由. (参考数据:3≈1.7,2≈1.4)思路分析:(1)作AD ⊥BC 于点D ,通过解Rt △ACD 与Rt △ABD 分别得到线段BD 与DC 的长度,其和即为B 、C 之间的距离;(2)利用(1)中所求B 、C 之间的距离除以汽车的行驶时间,得汽车的速度,与限速相比,即可判断是否超速.解:(1)如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD =10cm .AB C D A B C∵在Rt △ACD 中,∠C =90°,∴Rt △ACD 是等腰直角三角形.∴CD =AD =10cm .在Rt △ABD 中,tan B =BDAD , ∵∠B =30°,∴33=BD10.∴BD =103m . ∴BC =BD +DC =(103+10)m .答:B 、C 之间的距离是(103+10)m .(2)这辆汽车超速.理由如下:由(1)知BC =(103+10)m ,又3≈1.7,∴BC =27m .∴汽车速度v =9.027=30(m/s). 又30m/s =108km/h ,此地限速为80km/h ,∵108>80,∴这辆汽车超速.答:这辆汽车超速.6. (2017山东威海,22,9分)图1是太阳能热水器装置的示意图.利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能.玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直),请完成以下计算.如图2,AB ⊥BC ,垂足为点B ,EA ⊥AB ,垂足为点A ,CD ∥AB ,CD =10cm ,DE =120cm ,FG ⊥DE ,垂足为点G .(1)若∠θ=37°50′,则AB 的长约为 cm ;(参考数据:sin 37°50′≈0.61,cos 37°50′≈0.79,tan 37°50′≈0.78)(2)若FG =30cm ,∠θ=60°,求CF 的长.思路分析:(1)如图,由题意知∠DEK =θ,作AE ⊥CB 于H ,DK ⊥EH 于K ,则KH =CD =10,EH =AB ,在直角△DEK 中计算EK ,则AB =EK +KH ;(2)作MN ∥AB ,作EP ∥AB ,交CB 于P ,延长ED ,BC 交于点K (如图第22题图2),则∠K= ,在直角△KGF 中计算KF ,在直角△KDC 中计算KC ,CF =KF -KC .解:(1)83.2.(2)如图,过M 点作MN ∥AB ,过点E 作EP ∥AB ,交CB 于点P ,分别延长ED ,BC ,两线交于点K .∴MN ∥EP ,∴∠1=∠2.∵AB ⊥BK , EP ∥AB ,∴KP ⊥EP .∴∠2+∠K =90°.∵∠θ+∠1=90°, ∴∠K =∠θ=60°.在Rt △FGK 中,∠KGF =90°,sink =GF KF , ∴KF =sin 60GF o =3 (cm ). 又∵CD ∥AB , AB ⊥BK ,∴CD ⊥DK .在Rt △CDK 中,∠KCD =90°,tank =CD CK, ∴CK =tan 60CD o = 1033 (cm ). ∴CF =KF -CK =33 (cm ).7. (2017山东菏泽,18,6分)(本题6分)如图,某小1号楼11号楼隔河相望李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B 点测得C 点的仰角为60°,然后到42米高的楼顶A 处,测得C 点的仰角为30°,请你帮李明计算11号楼的高度CD .思路分析:过点A作AE⊥CD于E,分别在Rt△BCD和Rt△ACE中,利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE,CD的长,然后根据CD-DE=AB,即可求得CD长.解:过点A作AE⊥CD于E,在Rt△BCD中,tanCDCBDBD∠=,所以CD=BD•tan60°=3BD,在Rt△BCD中,tanCECAEBD∠=,所以CE=BD•tan30°=33BD,∴AB=CD-CE,3BD-33BD=42,233BD=42,解得BD=213,∴CD=BD•tan60°=3BD=63m.答:乙建筑物的高度CD为63m.8.(2017浙江舟山,22,10分)如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80cm,宽AB=48cm,小强身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK=80°),身体前倾成125°(∠EFG=125°),脚与洗漱台距离GC=15cm(点D,C,G,K在同一直线上).(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少?(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方,他应向前或后退多少?(sin80°≈0.98,cos80°≈0.18, 2 ≈1.41,结果精确到0.1)思路分析:(1)作FN⊥KD于点N,EM⊥FN于点M,由上半身及下半身的长,利用三角函数计算出MF与FN的长,其和MN即小强头部点E与地面DK的距离;(2)作EP⊥AB于点P,延长OB交MN于点H,分别计算PH、EM、GN、OB、OH的长,根据图形作答.解:(1)过点F作FN⊥KD于点N,过点E作EM⊥FN于点M.(18题图)∵EF +FG =166,FG =100,∴EF =66,∵∠FGK =80°,∴FN =100sin 80°≈98,又∵∠EFG =125°,∴∠EFM =180°-125°-10°=45°, ∴FM =66cos 45°=332≈46.53,∴MN =FN +FM ≈144.5.∴他头部E 点与地面DK 相距144.5cm .(2)过点E 作EP ⊥AB 于点P ,延长OB 交MN 于点H .∵AB =48,O 为AB 的中点,∴AO =BO =24,∵EM =66sin 45°≈46.53,即PH ≈46.53,GN =100cos 80°≈17,CG =15,∴OH =24+15+17=56,OP =OH -PH =56-46.53=9.47≈9.5.∴他应向前9.5cm .9. (2017四川内江,20,9分)如图,某人为了测量小山顶上的塔ED 的高,他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45°,再沿AC 方向前进60m 到达山脚点B ,测得塔尖点D 的仰角为60°,塔底点E 的仰角为30°,求塔ED 的高度.(结果保留根号)思路分析:先求出∠DBE =30°,∠BDE =30°,得出BE =DE ,设EC =x ,则BE =2x ,DE =2x ,DC =3x ,BC =3x ,再根据∠DAC =45°,可得AC =CD ,列出方程求出x 的值,即可求出塔DE 的高度.解:由题知,∠DBC =60°,∠EBC =30°,∴∠DBE =∠DBC -∠EBC =60°-30°=30°.又∵∠BCD =90°,∴∠BDC =90°-∠DBC =90°-60°=30°.∴∠DBE =∠BDE .∴BE =DE .设EC =x ,则DE =BE =2EC =2x ,DC =EC+DE =x +2x =3x ,BC =x EC BE 322=-.由题意可知,∠DAC =45°,∠DCA =90°,AB =20,∴△ACD 为等腰直角三角形,∴AC =DC .∴x x 3603=+.解得x =30+103.答:塔高约为(30+103)m .10. (2017山东临沂,22,7分)如图,两座建筑物的水平距离BC =30m ,从A 点测得D 点的俯角α为30°,测得C 点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.βαDCB A思路分析:首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及两个直角三角形,应利用其公共边构造关系式,进而可求出答案.解:过A 作AE ⊥CD 的延长线交于点E ,则四边形ABCE 是矩形,AE =BC =30,AB =CE在Rt △ADE 中,∠E =90°,∠DAE =30°,∴DE =AE ·tan 30°=30×33=103. AD =2DE =203 ∵∠CAE =60°,∴∠CAD =60°-30°=30°,∠ACE =90°-60°=30°,∴∠CAD =∠ACE∴CD =AD =203,∴AB =CE =DE +CD =103+203=303答:这两座建筑物的高度分别是303m ,203m.11. (2017江苏连云港,25,10分)如图,湿地景区岸边有三个观景台A 、B 、C .已知1400AB =米,1000AC =米,B 点位于A 点的南偏西60.7°方向,C 点位于A 点的南偏东66.1°方向.(1)求ABC △的面积;(2)景区规划在线段BC 的中点D 处修建一个湖心亭,并修建观景栈道AD .试求A 、D 间的距离.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin53.20.80°≈,cos53.20.60°≈,sin60.70.87°≈,cos60.70.49°≈,sin66.10.91°≈,cos66.10.41°≈,2 1.414≈)思路分析:(1)过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ,然后根据直角三角形的内交回求出∠CAE ,再根据正弦的性质求出的长,从而得到ABC △的面积;(2)连接AD ,过D 作DF ⊥AB ,垂足为点F ,则DF ∥CE,然后根据中点的性质和余弦值求出BE 、AE 的长,再根据勾股定理求解即可.解:(1)过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ,在Rt AEC △中,18060.766.153.2CAE =--=∠°°°°,所以CE =AC ·sin53.2°=1000×0.8=800米.所以S △ABC =56000080014002121=⨯⨯=⨯CE AB (平方米). (2)连接AD ,过D 作DF ⊥AB ,垂足为点F ,则DF ∥CE ,∵D 是BC 的中点,∴DF=21CE=400米,且F 为BE 的中点, 在Rt AEC △中,AE =AC ·cos53.2°=1000×0.6=600米.∴BE=BA+AE=1400+600+2000米∴AF=21BE-AE=400米, 在Rt △ADF 中,22224004004002565.6AD AF DF =+=+=≈米.答:A 、D 间的距离为565.6米..12. (2017四川达州1,7分)如图,信号塔PQ 座落在坡度1:2i =的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60︒角时,测得信号塔PQ 落在斜坡上的影子QN 长为25MN 长为3米,求信号塔PQ 的高.(结果不取近似值)思路分析:过点M 作MF ⊥PQ 于点F ,过点Q 作QE ⊥MN 于点E ,分别解Rt △QEN 和Rt △MFP ,求出EN ,PF 即档求出PQ 的高解:过点M 作MF ⊥PQ 于点F ,过点Q 作QE ⊥MN 于点E ,∵1:2i =,设EN =k ,QE =2k ,由勾股定理可得QN==∴k =2,∴EN =2,FM =QE =4,∴FQ =ME =MN -NE =3-2=1.在Rt△PFM 中,∵∠FPM =180°-90°-60°=30°,∴PF =FM tan 60⨯︒=∴PQ =FQ +PF =1+答:信号塔PQ 的高为(1+.13. (2017四川眉山,22,8分)如图,为了测得一棵树的高度AB ,小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ,测得树顶A 的仰角为45°,再向树方向前进10m ,又测得树顶A 的仰角为60°,求这棵树的高度AB .思路分析:如图,设AE =x m ,分别解Rt △ACE 和Rt △AFE ,用x 的代数式分别表示CE 、FE ,再根据CF =CE-FE 列方程求得x ,进而求出AB .解:设AE =x m ,在Rt △ACE 中,CE =AE tan 45° =x ;在Rt △AFE 中,FE =AE tan 60° =33x ;又因为CF =CE -FE ,CF =DG =10,所以x -33x =10,解得x =15+53,所以AB =AE +EB =15+53+1=16+53.答:这棵树的高度AB 为(16+53)米.14. 24.(2017江苏淮安,24,8分)A 、B 两地被大山阻隔,若要从A 地到B 地,只能沿着如图所示的公路先从A 地到C 地,再由C 地到B 地.现计划开凿隧道A 、B 两地直线贯通,经测量得:∠CAB =30°,∠CBA =45°,AC =20 km ,求隧道开通后与隧道开通前相比,从A 地到B 地的路程将缩短多少?(结果精确到0.1 km ,参≈1.4141.732)思路分析:①过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点E .在Rt △ACD 中分别求出CD 、AD 的长;②在Rt △BCD 中分别求出BC 、BD 的长;③计算AC +BC -(AD +BD )的值. 解:如图,过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点E . 在Rt △ACD 中,∵∠CAB =30°,AC =20 km , ∴CD =AC ·sin ∠CAB =20×sin30°=20×12=10. AD =AC ·cos ∠CAB =20×cos30°=20=. 在Rt △BCD 中,∵CD =10,∠CBA =45°,CA B第24题图∴BC=sin CDCBA∠=10sin45︒=1022=102.BD=CD=10.∴AC+BC-AB=AC+BC-(AD+BD)=20+102-(103+10)=10+102-103≈6.8(km).答:隧道开通后与隧道开通前相比,从A地到B地的路程将缩短6.8 km.15.20.(2017山东潍坊)(本小题满分8分)如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据:3≈1.73).思路分析:设每层楼高为x米,则可表示出EC′与DC′的大小,然后通过解Rt△DC′A′与Rt△EC′B′,用含x的式子表示出C′B′与C′A′长,其差即为AB的长14米,由此构建方程求解.解:设每层高为x米,由题意,得MC′=MC-CC′=2.5-1.5=1,则DC′=5x+1,EC′=4x+1.在Rt△DC′A′中,∠DA′C′=60°.∴C′A′=︒'60tanCD=33(5x+1).在Rt△EC′B′中,∠EB′C′=30°.∴C′B′=︒'30tanCE=3(4x+1).∵A′B′=C′B′-C′A′=AB,∴3(4x+1)-33(5x+1)=14.解之得x≈3.17(或x≈3.18).所以居民楼高为:5×3.17+2.5≈18.4米(或5×3.18+2.5≈18.4米).CA BD16.(2017四川宜宾)(本小题满分分)如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A ,又在河的另一岸边去两点B 、C 测得030,45,αβ∠=∠=量得BC 长为100米.求河的宽度(结果保留根号)思路分析:过A 作AD ⊥BC 于点D ,将斜三角形转化为直角三角形,设AD =x ,在Rt △ABD 和Rt △ACD 中,分别表示出CD 好BD 的长,利用方程思想,求出这条垂线段AD 的长.C解:设AD =x ,在Rt △ABD 中,tan α=AD BD ,即tan30°xBD,∴BD,在Rt △ACD 中,tanβ=AD BD ,即tan 45°=1=xCD,∴CD =x ,而BD ﹣CD =BC﹣x =10,解得:x =5+.17. (2017湖南岳阳,本题满分8分)某太阳能热水器的横截面示意图如图所示,已知真空热水管AB 与支架CD 所在直线相交于点O ,且OB =OD .支架CD 与水平线AE 垂直,∠BAC =∠CDE =30°,DE =80cm ,AC =165cm . (1)求支架CD 的长;(2)求真空热水管AB 的长.(结果均保留根号)思路分析:首先Rt △CDE 可解,得到CD ;Rt △OAC 可解,得到OC 、OA ,然后利用图中关系OB =OD =OC -CD ,AB =OA -OB ,解得AB .解:(1)在Rt △CDE 中,∠CDE =30°,DE =80cm ,所以cos 30°=80CD =3,解得CD =403cm ; (2)在Rt △OAC 中,∠BAC =60°,AC =165cm ,所以tan 30°=165OC =3,解得OC =55cm ,∴OA =2OC =110cm ,OB =OD =OC -CD =55-403 cm ,AB =OA -OB =55+403 cm .18. (2017湖南常德,24,8分)图10,11分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC =0.60米,底座BC 与支架AC 所形成的的角∠ACB =75°,支架AF 的长为2.50米,篮板顶端F 点到篮筐D 的距离FD =1.35米,篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE =60°,求篮筐D 到地面的距离(精确到0.01米).(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,3≈1.732,2≈1.414)BC AFH ED图10图11思路分析:过A 点作FE 的垂线交FE 的延长线于M ,则篮板顶端F 点到地面的距离是FM 和AB 的和,再减去FD 即可得到篮筐D 到地面的距离.M BC AFH ED解:如图,过点A 作AM ⊥FE 交FE 的延长线于M , ∵∠FHE =60°,∴∠F =30°.在Rt △AFM 中,FM =AF ·cos ∠F = AF ·cos 30°=2.50×32≈1.9485米. 在Rt △ABC 中,AB =BC ·tan ∠ACB = BC ·tan 75°≈0.60×3.732=2.2392米. ∴篮板顶端F 点到地面的距离为:FM + AB =1.9485+2.2392=4.1877米∴篮筐D 到地面的距离为:4.1877-FD =4.1877-1.35=2.8377≈2.84米.19. (2017甘肃酒泉,22,6分)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的A 、B 两点处,利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量,如图,测得45DAC =∠°,65DBC =∠°.若132AB =米,求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin650.91°≈,cos650.42°≈,tan65 2.14°≈)思路分析:过D 作 DE ⊥AC ,构造Rt △DEA 、Rt △DEB. 在Rt △DEB 中,已知∠DBC =65°,∴tan65DE BE =o ;在Rt △DEA 中,已知∠DAC =45°,∴AE =DE ,即可列出方程,求出BE ,进而求得DE . 解:过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E ,设BE =x ,在Rt △DEB 中,tan DEDBE BE∠=, ∵∠DBC =65°,∴tan65DE x =o . 又∵∠DAC =45°,∴AE =DE .∴132tan65x x +=o , ∴ 解得115.8x ≈, ∴248DE ≈(米). ∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米.B DCA第22题图20. 25. (2017甘肃兰州,25, 8分) “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前,是黄河上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥”之美誉。
专题14 三角恒等变换与解三角形(解析版)
专题14 三角恒等变换与解三角形【高考导航】1.利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点.2.利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算,三角形形状的判定以及有关范围的计算,常与三角恒等变换综合考查.【真题解析】1.(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4-α=35,则sin2α=( )A.725B.15 C .-15 D .-725[解析] 解法一:∵cos ⎝⎛⎭⎫π4-α=35, ∴sin2α=cos ⎝⎛⎭⎫π2-2α=cos2⎝⎛⎭⎫π4-α =2cos 2⎝⎛⎭⎫π4-α-1=2×⎝⎛⎭⎫352-1=-725.故选D. 解法二:∵cos ⎝⎛⎭⎫π4-α=22(cos α+sin α)=35,∴cos α+sin α=325,∴1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D.[答案] D2.(2017·山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A .a =2bB .b =2aC .A =2BD .B =2A[解析] 解法一:因为sin B (1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C ,所以sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),所以sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin B ,即cos C (2sin B -sin A )=0,所以cos C =0或2sin B =sin A ,即C =90°或2b =a ,又△ABC 为锐角三角形,所以0°<C <90°,故2b =a .故选A.解法二:由正弦定理和余弦定理得b ⎝⎛⎭⎫1+a 2+b 2-c 2ab =2a ×a 2+b 2-c 22ab +c ×b 2+c 2-a 22bc , 所以2b 2⎝⎛⎭⎫1+a 2+b 2-c 2ab =a 2+3b 2-c 2, 即2b a(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2-c 2, 即(a 2+b 2-c 2)⎝⎛⎭⎫2b a -1=0,所以a 2+b 2=c 2或2b =a ,又△ABC 为锐角三角形,所以a 2+b 2>c 2,故2b =a ,故选A.[答案] A3.(2017·浙江卷)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连接CD ,则△BDC 的面积是________,cos ∠BDC =________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC =42+22-422×4×2=14, ∴cos ∠CBD =-14,sin ∠CBD =154, ∴S △BDC =12BD ·BC ·sin ∠CBD =12×2×2×154=152. 又cos ∠ABC =cos2∠BDC =2cos 2∠BDC -1=14, 0<∠BDC <π2,∴cos ∠BDC =104. [答案]152 104 4.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.[解] (1)由题设得12ac sin B =a 23sin A ,即12c sin B =a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B =sin A 3sin A. 故sin B sin C =23. (2)由题设及(1)得cos B cos C -sin B sin C =-12,即cos(B +C )=-12. 所以B +C =2π3,故A =π3. 由题设得12bc sin A =a 23sin A,即bc =8. 由余弦定理得b 2+c 2-bc =9,即(b +c )2-3bc =9,得b +c =33.故△ABC 的周长为3+33.【典例解析】考点一 三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sin αcos α.(2)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.(3)tan2α=2tan α1-tan 2α. 3.辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ=b a . 【训练】1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6-α=13,则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3+α的值是( ) A.79 B.13 C .-13 D .-79[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6-α=13,∴cos ⎝⎛⎭⎫π3-2α=cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6-α=1-2sin 2⎝⎛⎭⎫π6-α=79,∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3+α=cos ⎝⎛⎭⎫2π3+2α=cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π3-2α=-cos ⎝⎛⎭⎫π3-2α=-79. [答案] D【训练】2.已知m =tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin2(α+γ)=3sin2β,则m =( ) A.12 B.34 C.32D .2 [解析] 设A =α+β+γ,B =α-β+γ,则2(α+γ)=A +B,2β=A -B ,因为sin2(α+γ)=3sin2β,所以sin(A +B )=3sin(A -B ),即sin A cos B +cos A sin B =3(sin A cos B -cos A sin B ),即2cos A ·sin B =sin A cos B ,所以tan A =2tan B ,所以m =tan A tan B=2,故选D. [答案] D3.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈⎣⎡⎦⎤π4,π,β∈⎣⎡⎦⎤π,3π2,则α+β的值是________. [解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4,π,故2α∈⎣⎡⎦⎤π2,2π,又sin2α=55,故2α∈⎣⎡⎦⎤π2,π,α∈⎣⎡⎦⎤π4,π2,∴cos2α=-255,β∈⎣⎡⎦⎤π,3π2,故β-α∈⎣⎡⎦⎤π2,5π4,于是cos(β-α)=-31010,∴cos(α+β)=cos [2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×⎝⎛⎭⎫-31010-55× 1010=22,且α+β∈⎣⎡⎦⎤5π4,2π,故α+β=7π4. [答案]7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式,如1题.②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.③三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角.②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.③求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小,如3题.考点二 解三角形1.正弦定理 a sin A =b sin B =c sin C=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C .sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R. a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C .2.余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac, cos C =a 2+b 2-c 22ab. 变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C .3.面积公式S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =12ab sin C .角度1:利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C -2c cos B =a ,∴2sin B cos C -2sin C cos B =sin A =sin(B +C ),即sin B cos C =3cos B sin C ,∴tan B =3tan C ,又B =2C ,∴2tan C 1-tan 2C=3tan C ,得tan C =33,C =π6,B =2C =π3,A =π2,故△ABC 为直角三角形.[答案] B 角度2:在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B -a sin A =12a sin C 及正弦定理得b 2-a 2=12ac ,又c =2a ,所以b =2a ,∵cos B =a 2+c 2-b 22ac=a 2+4a 2-2a 24a 2=34,∴sin B = 1-⎝⎛⎭⎫342=74.故选A.[答案] A 角度3:结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A +C 为π-B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2B -32cos B +15=0,解得cos B =1(舍去),cos B =1517. (2)由cos B =1517得sin B =817, 故S △ABC =12ac sin B =417ac . 又S △ABC =2,则ac =172. 由余弦定理及a +c =6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B )=36-2×172×⎝⎛⎭⎫1+1517=4. 所以b =2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.【训练】1.[角度1]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos 2A 2=b +c 2c,则△ABC 的形状一定是( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形[解析]在△ABC中,∵cos2A2=b+c2c,∴1+cos A2=sin B+sin C2sin C=12·sin Bsin C+12,∴1+cos A=sin Bsin C+1,∴cos A sin C=sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,∴sin A cos C=0,sin A≠0,∴cos C=0,∴C为直角.故选B.[答案] B【训练】2.[角度2]在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足a sin B cos C+c sin B cos A=12b,则B=()A.π6或5π6 B.π3 C.π6 D.5π6[解析]∵a sin B cos C+c sin B cos A=12b,∴由正弦定理可得sin A sin B cos C+sin C sin B cos A=12sin B. 又∵sin B≠0,∴sin A cos C+sin C cos A=12,解得sin(A+C)=sin B=12.∵0<B<π,∴B=π6或5π6.故选A.[答案] A【训练】3.[角度3]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为________.[解析]由正弦定理得,(2+b)(a-b)=(c-b)·c,又a=2,所以b2+c2-bc=4,所以cos A=b2+c2-42bc=bc2bc=12,故A=π3.因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,所以S△ABC=12bc sin A≤12×4×32=3,当且仅当b=c时取等号.[答案] 3考点三 正、余弦定理的实际应用1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【训练】1.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A .2 2 kmB .3 2 kmC .3 3 kmD .2 3 km[解析] 画出示意图如图,由条件知AB =24×1560=6.在△ABS 中,∠BAS =30°,AB =6,∠ABS =180°-75°=105°,所以∠ASB =45°.BS sin30°=AB sin45°,所以BS =AB sin30°sin45°=3 2. [答案] B2.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A 处测得∠DAC =15°,沿山坡前进50 m 到达B 处,又测得∠DBC =45°,根据以上数据可得cos θ=________.[解析] 由∠DAC =15°,∠DBC =45°可得∠BDA =30°,∠DBA =135°,∠BDC =90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由内角和定理可得∠DCB =180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,根据正弦定理可得50sin30°=DB sin15°,即DB =100sin15°=100×sin(45°-30°)=252(3-1),又25sin45°=252(3-1)sin (90°+θ),即25sin45°=252(3-1)cos θ,得到cos θ=3-1.[答案]3-1解三角形实际问题的4步骤【强化训练】一、选择题1.已知α为锐角,且7sin α=2cos2α,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=( ) A.1+358 B.1+538C.1-358D.1-538[解析] 由7sin α=2cos2α得7sin α=2(1-2sin 2α),即4sin 2α+7sin α-2=0, 解得sin α=-2(舍去)或sin α=14,又由α为锐角,可得cos α=154, ∴sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=12sin α+32cos α=1+358,故选A. [答案] A2.在△ABC 中,a =2,b =3,B =π3,则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4[解析] 由正弦定理得a sin A =b sin B ,所以sin A =a sin Bb =2×sin π33=22,所以A =π4或3π4.又a <b ,所以A <B ,所以A =π4.[答案] B3.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =( )A.31010B.1010 C .-1010 D .-31010[解析] 设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得13a =c sin π4=22c ,则a =322c .在△ABC 中,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac =92c 2+c 2-3c 2=52c 2,则b =102c .由余弦定理,可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =52c 2+c 2-92c22×102c ×c=-1010,故选C. [答案] C4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若满足c =2,a cos C =c sin A 的△ABC 有两个,则边长BC 的取值范围是( )A .(1,2)B .(1,3)C .(3,2)D .(2,2)[解析] 因为a cos C =c sin A ,由正弦定理得sin A cos C =sin C sin A ,易知sin A ≠0,故tan C =1,所以C =π4.过点B 作AC 边上的高BD ,垂足为D ,则BD =22BC ,要使满足条件的△ABC 有两个,则BC >2>22BC ,解得2<BC <2.故选D.[答案] D5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A =( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 因为sin C =23sin B ,所以由正弦定理得c =23b ,代入a 2-b 2=3bc ,得a =7b ,再由余弦定理可得cos A =32,所以A =π6.故选A. [答案] A6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2c cos B =2a +b ,若△ABC 的面积为312c ,则ab 的最小值为( )A.12B.13C.16D .3 [解析] 由正弦定理及2c cos B =2a +b ,得2sin C cos B =2sin A +sin B ,因为A +B +C =π,所以sin A =sin(B +C ),则2sin C ·cos B =2sin(B +C )+sin B ,整理可得2sin B ·cos C +sin B =0,又0<B <π,所以sin B >0,则cos C =-12,因为0<C <π,所以C =2π3,所以sin C =32,则△ABC 的面积为12ab sin C =34ab =312c ,即c =3ab ,结合c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C ,可得a 2+b 2+ab =9a 2b 2,∵a 2+b 2≥2ab ,∴2ab +ab ≤9a 2b 2,即ab ≥13,当且仅当a =b =33时等号成立,故ab 的最小值是13.故选B. [答案] B 二、填空题7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2a sin A =(2sin B +sin C )b +(2c +b )sin C ,则A =________.[解析] 由已知,根据正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故cos A =-12,又A 为三角形的内角,故A =120°.[答案] 120°8.计算:4cos50°-tan40°=________.[解析] 4cos50°-tan40°=4sin40°-sin40°cos40°=4cos40°sin40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2sin (120°-40°)-sin40°cos40°=3cos40°+sin40°-sin40°cos40°=3cos40°cos40°= 3.[答案]39.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =45°,C 点的仰角∠CAB =60°以及∠MAC =75°;从C 点测得∠MCA =45°.已知山高BC =100 m ,则山高MN =________m.[解析] 在Rt △ABC 中,∠CAB =60°,BC =100 m ,所以AC =2003m.在△AMC 中,∠MAC =75°,∠MCA =45°, 从而∠AMC =60°,由正弦定理得AC sin60°=AM sin45°,因此AM =20023m.在Rt △MNA 中,AM =20023m ,∠MAN =45°,得MN =2003m.[答案] 2003三、解答题10.(2017·天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a >b ,a =5,c =6,sin B =35.(1)求b 和sin A 的值; (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A +π4的值. [解] (1)在△ABC 中,因为a >b ,故由sin B =35,可得cos B =45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=13,所以b =13.由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =a sin B b =31313.所以b 的值为13,sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ,得cos A =21313,所以sin2A =2sin A cos A =1213,cos2A =1-2sin 2A =-513.故sin ⎝⎛⎭⎫2A +π4=sin2A cos π4+cos2A ·sin π4=7226. 11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且满足⎝⎛⎭⎫54c -a cos B =b cos A . (1)若sin A =25,a +b =10,求a ;(2)若b =35,a =5,求△ABC 的面积S . [解] ∵⎝⎛⎭⎫54c -a cos B =b cos A ,∴由正弦定理得⎝⎛⎭⎫54sin C -sin A ·cos B =sin B cos A ,即有54sin C cos B =sin A cos B +cos A sin B ,则54sin C ·cos B =sin C .∵sin C >0,∴cos B =45.(1)由cos B =45,得sin B =35,∵sin A =25,∴a b =sin A sin B =23.又∵a +b =10,∴a =4.(2)∵b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,b =35,a =5,∴45=25+c 2-8c ,即c 2-8c -20=0,解得c =10或c =-2(舍去),∴S =12ac sin B =15.12.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足cos2C -cos2A =2sin ⎝⎛⎭⎫π3+C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3-C . (1)求角A 的大小;(2)若a =3,且b ≥a ,求2b -c 的取值范围. [解] (1)由已知可得2sin 2A -2sin 2C =2⎝⎛⎭⎫34cos 2C -14sin 2C , 化简得sin 2A =34,∴sin A =±32,又0<A <π,∴sin A =32,故A =π3或2π3. (2)由a sin A =b sin B =csin C,得b =2sin B ,c =2sin C , 因为b ≥a ,所以B ≥A ,所以A =π3,B +C =2π3且B ∈⎣⎡⎭⎫π3,2π3, 故2b -c =4sin B -2sin C=4sin B -2sin ⎝⎛⎭⎫2π3-B =3sin B -3cos B=23sin ⎝⎛⎭⎫B -π6. 因为π3≤B <2π3,所以π6≤B -π6<π2,所以2b -c 的取值范围为[3,23).。
专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)
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x=0得x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[﹣π,)上还有一个零点x=﹣π,即函数f(x)在[﹣π,π]有3个零点,故③错误,当sin|x|=1,|sin x|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选:C.2.【2017年新课标1理科09】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x)=cos(2x)=sin(2x)的图象,即曲线C2,故选:D.3.【2016年新课标1理科12】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|),x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【解答】解:∵x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则,即T,解得:ω≤12,当ω=11时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B.4.【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=()A.B.C.D.【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°.故选:D.5.【2015年新课标1理科08】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ,kπ),k∈z B.(2kπ,2kπ),k∈zC.(k,k),k∈z D.(,2k),k∈z【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为2()=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得ϕ,k∈z,即ϕ,f(x)=cos(πx).由2kπ≤πx2kπ+π,求得2k x≤2k,故f(x)的单调递减区间为(,2k),k∈z,故选:D.6.【2014年新课标1理科08】设α∈(0,),β∈(0,),且tanα,则()A.3α﹣βB.3α+βC.2α﹣βD.2α+β【解答】解:由tanα,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.7.【2012年新课标1理科09】已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx)在区间[,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2]【解答】解:法一:令:不合题意排除(D)合题意排除(B)(C)法二:,得:.故选:A.8.【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos2θ=()A.B.C.D.【解答】解:根据题意可知:tanθ=2,所以cos2θ,则cos2θ=2cos2θ﹣1=21.故选:B.9.【2011年新课标1理科11】设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则()A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增【解答】解:由于f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ),由于该函数的最小正周期为T,得出ω=2,又根据f(﹣x)=f(x),得φkπ(k∈Z),以及|φ|,得出φ.因此,f(x)cos2x,若x∈,则2x∈(0,π),从而f(x)在单调递减,若x∈(,),则2x∈(,),该区间不为余弦函数的单调区间,故B,C,D都错,A正确.故选:A.10.【2010年新课标1理科09】若,α是第三象限的角,则()A.B.C.2 D.﹣2【解答】解:由,α是第三象限的角,∴可得,则,应选A.11.【2018年新课标1理科16】已知函数f(x)=2sin x+sin2x,则f(x)的最小值是.【解答】解:由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sin x+sin2x在[0,2π)上的值域,先来求该函数在[0,2π)上的极值点,求导数可得f′(x)=2cos x+2cos2x=2cos x+2(2cos2x﹣1)=2(2cos x﹣1)(cos x+1),令f′(x)=0可解得cos x或cos x=﹣1,可得此时x,π或;∴y=2sin x+sin2x的最小值只能在点x,π或和边界点x=0中取到,计算可得f(),f(π)=0,f(),f(0)=0,∴函数的最小值为,故答案为:.12.【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是.【解答】解:方法一:如图所示,延长BA,CD交于点E,则在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,∴设AD x,AE x,DE x,CD=m,∵BC=2,∴(x+m)sin15°=1,∴x+m,∴0<x<4,而AB x+m x x,∴AB的取值范围是(,).故答案为:(,).方法二:如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;当直线移动时,运用极限思想,①直线接近点C时,AB趋近最小,为;②直线接近点E时,AB趋近最大值,为;故答案为:(,).13.【2014年新课标1理科16】已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【解答】解:因为:(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc,又因为:a=2,所以:,△ABC面积,而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以:,即△ABC面积的最大值为.故答案为:.14.【2013年新课标1理科15】设当x=θ时,函数f(x)=sin x﹣2cos x取得最大值,则cosθ=.【解答】解:f(x)=sin x﹣2cos x(sin x cos x)sin(x﹣α)(其中cosα,sinα),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ)2+cos2θ=1,解得cosθ.故答案为:15.【2011年新课标1理科16】在△ABC中,B=60°,AC,则AB+2BC的最大值为.【解答】解:设AB=cAC=bBC=a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时,此时a,c符合题意因此最大值为2另解:因为B=60°,A+B+C=180°,所以A+C=120°,由正弦定理,有2,所以AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120°﹣A)+4sin A=2(sin120°cos A﹣cos120°sin A)+4sin Acos A+5sin A=2sin(A+φ),(其中sinφ,cosφ)所以AB+2BC的最大值为2.故答案为:216.【2010年新课标1理科16】在△ABC中,D为边BC上一点,BD DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为,则∠BAC=.【解答】解:由△ADC的面积为可得解得,则.AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°,,则.故∠BAC=60°.17.【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A ﹣sin B sin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【解答】解:(1)∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C=sin2A﹣sin B sin C,∴由正弦定理得:b2+c2﹣a2=bc,∴cos A,∵0<A<π,∴A.(2)∵a+b=2c,A,∴由正弦定理得,∴解得sin(C),∴C,C,∴sin C=sin()=sin cos cos sin.18.【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.∴由正弦定理得:,即,∴sin∠ADB,∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB.(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB,∵DC=2,∴BC5.19.【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B,∴3c sin B sin A=2a,由正弦定理可得3sin C sin B sin A=2sin A,∵sin A≠0,∴sin B sin C;(2)∵6cos B cos C=1,∴cos B cos C,∴cos B cos C﹣sin B sin C,∴cos(B+C),∴cos A,∵0<A<π,∴A,∵2R2,∴sin B sin C•,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bc cos A,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c∴周长a+b+c=3.20.【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,整理得:2cos C sin(A+B)=sin C,即2cos C sin(π﹣(A+B))=sin C2cos C sin C=sin C∴cos C,∴C;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S ab sin C ab,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5.21.【2013年新课标1理科17】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB,求P A;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得P A2=PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°.∴P A.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BC cos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.22.【2012年新课标1理科17】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a cos C a sin C﹣b﹣c=0(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.【解答】解:(1)由正弦定理得:a cos C a sin C﹣b﹣c=0,即sin A cos C sin A sin C=sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C=sin(A+C)+sin C,即sin A﹣cos A=1∴sin(A﹣30°).∴A﹣30°=30°∴A=60°;(2)若a=2,△ABC的面积,∴bc=4.①再利用余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bc•cos A=(b+c)2﹣2bc﹣bc=(b+c)2﹣3×4=4,∴b+c=4.②结合①②求得b=c=2.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1.函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.则函数()f x 的单调递增区间为( )A .,63k k ππππ轾犏-+犏臌,k z ∈B .,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈C .,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈D .,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象, 可得:332113441264T ππππω=⋅=-=, 解得:2ω=, 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上,可得:2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,可得:2262k ππϕπ⨯+=+,k ∈Z ,解得:26k πϕπ=+,k ∈Z ,由于:0ϕπ<<, 可得:6π=ϕ,即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令222262k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 解得:36k x k ππππ-≤≤+,k ∈Z ,可得:则函数()f x 的单调递增区间为:,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .故选C .2.将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()g x 的图像,若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-,则122x x -的最大值为( ) A .4912π B .356π C .256π D .174π 【答案】C 【解析】由题意,函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象, 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-, 则()()123g x g x ==,则22,62x k k Z πππ+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈,因为12,[2,2]x x ππ∈-,所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--, 当12711,66x x ππ==-时,122x x -取得最大值,最大值为711252()666πππ⨯--=, 故选C.3.将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像,若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A .23-π B .3π-C .6π-D .2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++, 将其图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像, 所以()cos()13g x x πϕ=-++,又()(4)g x g x π=-,所以()g x 关于2x π=对称, 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈,即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈,因为0πϕ-<<,所以易得23πϕ=-.故选A4.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π, ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则()f x =( ) A .sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C .sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D .3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<,所以34πϕ=,所以3()sin()4f x x πω=+, 因为3()sin()0444f πππω=+=,由图可知,3244k ππωππ+=+,解得18,k k Z ω=+∈, 又因为24T ππω=<,可得8ω>,所以当1k =时,9ω=, 所以3()sin(9)4f x x π=+, 故答案选D.5.已知函数()cos 3f x x x =-,则下列结论中正确的个数是( ). ①()f x 的图象关于直线3x π=对称;②将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象;③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心;④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. A .1 B .2C .3D .4【答案】A由题意,函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ①中,由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值,则()f x 的图象不关于直线3x π=对称,故①错; ②中,将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象,故②对; ③中,由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭,可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心,故③错; ④中,由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤,解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤,即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈, 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈,解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故④错. 故选:A .6.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ,满足()22sin 40a a B B -++=,b =则ABC △的面积为A .BC .D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程,则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…,故若使得方程有解,则只有△0=,此时6B π=,b =代入方程可得,2440a a -+=,由余弦定理可得,2428cos3022c c+-︒=⨯,解可得,c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选:C .7.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,则b 的取值范围为( )A .(0,4)B .(2,C .D .4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,∴ 022A π<<,3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<,04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==,即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8.已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若6sin cos 7sin2C A A =,53a b =,则C =( ). A .3πB .23π C .34π D .56π 【答案】B 【解析】由题意,因为672sinCcosA sin A =,可得:614sinCcosA sinAcosA =, 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=,可得∴614sinC sinA =或0cosA =, 又由a b <,则A 为锐角,所以0cosA =不符合舍去, 又由正弦定理可得:37c a =,即:73a c =, 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭, ∵(0,)C π∈,∴23C π=. 故选:B .9.若函数()2sin()f x x ωϕ=+ (01ω<<,02πϕ<<)的图像过点,且关于点(2,0)-对称,则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭,即:23k πωπ-+=,k Z ∈126k πωπ∴=-+,k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭,()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果:110.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+,∴10x y -+>, ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ,当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ,即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈,即()12k x y k Z π+==∈, 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭(当且仅当0k =时取等号), 从而xy 的最小值为1.411.设函数()sin(2)3f x x π=+,若120x x <,且12()()0f x f x +=,则21x x -的取值范围是_______.【答案】(3π,+∞) 【解析】不妨设120x x <<,则2121x x x x -=-,由图可知210()33x x ππ->--=.故答案为:(3π,+∞) 12.已知角α为第一象限角,sin cos a αα-=,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+,因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为:(1,2]13.已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,则cos 2ϕ=___. 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14.如图,四边形ABCD 中,4AB =,5BC =,3CD =,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=°,则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o,如图:故在Rt ABC∆中,sin4141θθ==,()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ,又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15.在锐角ABC∆中,角A B C,,的对边分别为a b c,,.且cos cosA Ba b+=23sin C23b=.则a c+的取值范围为_____.【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得:23sin cos sin cos sinB A A B B C+=,可得:sin()sin sin A B C B C +==,sin B ∴=, 又ABC ∆为锐角三角形,3B π∴=,∴可得:sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角,可得:,62636A A πππππ<<-<-<,(6,a c ∴+∈.故答案为: (6,.16.在ABC ∆中,已知AB 边上的中线1CM =,且1tan A ,1tan C ,1tan B成等差数列,则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ,1tan C ,1tan B 成等差数列, 所以211tan tan tan C A B =+,即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==, 所以2sin 2cos sin sin C C A B =,由正弦定理可得2cos 2c C ab=,又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=,所以222222a b c c ab ab+-=,故2222a b c +=, 又因为AB 边上的中线1CM =,所以1CM =u u u u v ,因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+, 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即22224232c b a ab c ab=++⋅=,解c =即AB 的长为3.17.在ABC ∆中,A B C ,,的对边分别a b c ,,,60,cos A B ︒==(Ⅰ)若D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,求DCBD的值; (Ⅱ)若 ccos cos 2B b C +=,求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)4;【解析】(Ⅰ)因为cos 3B =,∴sin 3B =, ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==, 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠,sin DCCAD∠, 因为AD 平分BAC ∠,所以sin 4sin DC BBD C ===.(Ⅱ)由cos cos 2c B b C +=,即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==,所以sin sin a b A B =,∴sin sin 3a Bb A ==,故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别,,a b c ,()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈,函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.(1)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求()f x 的值域;(2)若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】(1)⎛⎤⎥ ⎝⎦(2)【解析】(1)()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称, ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数,5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,且()0f =,5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦(2)∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理,2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19.在ABC ∆中,已知2AB =,cos 10B =,4C π=.(1)求BC 的长; (2)求sin(2)3A π+的值.【答案】(1)5BC =(2【解析】解:(1)因为cos B =,0B π<<,所以sin B ===在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中,由正弦定理知sin sin BC AB A C=,所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. (2)在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭,于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=, 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此,sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20.如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90ABC ∠=︒.已知3AD =,6BD =.(Ⅰ)求sin ABD ∠的值;(Ⅱ)若2CD =,且CD BC >,求BC 的长.【答案】(Ⅰ)64(Ⅱ)1BC = 【解析】(Ⅰ)在ABD V 中,由正弦定理,得sin sin AD BD ABD A =∠∠. 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,6sin ABD ∠=, 因为90ABC ︒∠=,所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=. 在BCD ∆中,由余弦定理,得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠. 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-,即2320BC BC -+=,解得1BC =或2BC =.又CD BC >,则1BC =.21.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且234cos2sin 22A b b a B =+. (1)求cos A ;(2)若a =5c =,求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解:(1)由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+, 化简得4cos 3sin b A a B =,由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =, 因为sin 0B ≠, 所以4tan 3A =,且A 为ABC ∆的内角, 即3cos 5A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-, 所以220256b b =+-,所以2650b b -+=,所以1b =或5.22.已知在△ABC 中,222a c ac b +-=. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)求cos cos A C +的最大值.【答案】(Ⅰ)3π;(Ⅱ)1. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=(Ⅱ)由(Ⅰ)可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。
解三角形高考真题汇总(汇编)
精品文档2017高考真题解三角形汇编1.(2017北京高考题)在△ABC 中,A ∠ =60°,c =37a . (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若a =7,求△ABC 的面积.2.(2017全国卷1理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.3.(2017全国卷1文科)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,cC =BA .π12B .π6C .π4D .π34.(2016全国卷2理科)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=. (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b5.(2017全国卷2文科16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=6.(2017全国卷3理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin Acos A =0,a,b =2.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积.7.(2017全国卷3文科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 。
已知C =60°,b,c =3,则A =_________。
8.(2017山东高考题理科)在C ∆AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若C ∆AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ,则下列等式成立的是( )(A )2a b = (B )2b a = (C )2A =B (D )2B =A 9.(2017山东高考题文科)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .精品文档10.(2017天津高考题理科)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5,6a c ==,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 11.(2017天津高考题文科)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =,222)ac a b c =--.(I )求cos A 的值; (II )求sin(2)B A -的值.12.(2017浙江高考题)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连结CD ,则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC =__________.13.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅(Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若k c 求,2=的值.精品文档14.设ABC ∆是锐角三角形,,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长,并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+。
专题10 解三角形问题(解析版)
专题10 解三角形问题【高考真题】1.(2022·全国甲理) 已知△ABC 中,点D 在边BC 上,∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD .当ACAB取得最小 值时,BD =________. 1.答案 3-1 解析 设CD =2BD =2m >0,则在△ABD 中,AB 2=BD 2+AD 2-2BD AD cos∠ADB =m 2+4+2m ,在△ACD中,AC 2=CD 2+AD 2-2CD AD cos ∠ADC =4m 2+4-4m ,所以AC 2AB 2=4m 2+4-4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m )-12(1+m )m 2+4+2m=4-12(m +1)+3m +1≥4-()44233211m m ≥=-+⋅+,当且仅当m +1=3m +1,即m =3-1时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,m =3-1.故答案为3-1.【知识总结】 1.正弦定理及其变形a sin A =b sin B =c sin C=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R .a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C . 2.余弦定理及其推论、变形a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C . 推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 22ab.变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,a 2+b 2-c 2=2abcos C . 3.面积公式S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =12ab sin C .【同类问题】题型一 三角形中基本量的计算1.(2021·全国乙)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为3,B =60°,a 2+c 2=3ac , 则b = .1.答案 22 解析 由题意得S △ABC =12ac sin B =34ac =3,则ac =4,所以a 2+c 2=3ac=3×4=12,所以b 2=a 2+c 2-2ac cos B =12-2×4×12=8,则b =22(负值舍去).2.(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b =6,c =3,则A =________.2.答案 (1)75° 解析 由正弦定理,得sin B =b sin Cc =6×323=22,结合b <c 得B =45°,则A =180° -B -C =75°.3.(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =2,则C =( )A .π12B .π6C .π4D .π33.答案 B 解析 由题意得sin(A +C )+sin A (sin C -cos C )=0,∴sin A cos C +cos A sin C +sin A sin C -sin A cos C =0,则sin C (sin A +cos A )=2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=0,因为C ∈(0,π),所以sin C ≠0,所以sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=0,又因为A ∈(0,π),所以A +π4=π,所以A =3π4.由正弦定理asin A =c sin C ,得2sin3π4=2sin C ,则sin C =12,又C ∈(0,π),得C =π6. 4.(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C =( )A .π2B .π3C .π4D .π64.答案 C 解析 因为a 2+b 2-c 2=2ab cos C ,且S △ABC =a 2+b 2-c 24,所以S △ABC =2ab cos C4=12ab sin C , 所以tan C =1.又C ∈(0,π),故C =π4.5.(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B 等于( )A .19B .13C .12D .235.答案 A 解析 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos C =42+32-2×4×3×23=9,所以AB =3,所以cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =9+9-162×3×3=19.6.(2020·全国Ⅰ)如图,在三棱锥P -ABC 的平面展开图中,AC =1,AB =AD =3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE =30°,则cos ∠FCB =________.6.答案 -14 解析 在△ABD 中,∵AB ⊥AD ,AB =AD =3,∴BD =6,∴FB =BD =6.在△ACE中,∵AE =AD =3,AC =1,∠CAE =30°,∴EC =32+12-2×3×1×cos 30°=1,∴CF =CE =1.又∵BC =AC 2+AB 2=12+32=2,∴在△FCB中,由余弦定理得cos ∠FCB =CF 2+BC 2-FB 22×CF ×BC =12+22-622×1×2=-14.7.(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a=1,则b =________. 7.答案2113 解析 因为A ,C 为△ABC 的内角,且cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,所以sin B =sin(π-A -C )=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.又a =1,所以由正弦定理得b =a sin B sin A =6365×53=2113.8.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =5,c =2,cos A =23,则b =( )A .2B .3C .2D .3 8.答案 D 解析 由余弦定理,得5=b 2+22-2×b ×2×23,解得b =3⎝⎛⎭⎫b =-13舍去. 9.在平面四边形ABCD 中,BC ⊥CD ,∠B =3π4,AB =32,AD =210,若AC =35,则CD 为 .9.答案 1或5 解析 因为在△ABC 中,∠B =3π4,AB =32,AC =35,由正弦定理可得ACsin B= AB sin ∠ACB ,所以sin ∠ACB =AB ·sin B AC =32×2235=55,又BC ⊥CD ,所以∠ACB 与∠ACD互余,因此cos ∠ACD =sin ∠ACB =55,在△ACD 中,AD =210,AC =35,由余弦定理可得cos ∠ACD =55=AC 2+CD 2-AD 22AC ·CD =5+CD 265CD ,所以CD 2-6CD +5=0,解得CD=1或CD =5.10.(多选)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2b sin A =5a cos B ,AB =2,AC =26,D 为BC的中点,E 为AC 上的点,且BE 为∠ABC 的平分线,下列结论正确的是( ) A .cos ∠BAC =-66B .S △ABC =35 C .BE =2D .AD =5 10.答案 AD 解析 由正弦定理可知2sin B sin A =5sin A cos B ,∵sin A ≠0,∴2sin B =5cos B .又sin 2B+cos 2B =1,∴sin B =53,cos B =23,在△ABC 中,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B ,得BC =6.A 项,cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =4+24-362×2×26=-66;B 项,S △ABC =12AB ·BC sinB =12×2×6×53=25;C 项,由角平分线性质可知AE EC =AB BC =13,∴AE =62.BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A =4+32-2×2×62×⎝⎛⎭⎫-66=152,∴BE =302;D 项,在△ABD 中,AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B =4+9-2×2×3×23=5,∴AD =5.题型二 三角形的面积11.(2014·福建)在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =23,则△ABC 的面积等于________. 11.答案 23 解析 在△ABC 中,由正弦定理得23sin60°=4sin B,解得sin B =1,所以B =90°,所以S △ABC=12×AB ×23=12×42-232×23=23.12.(2019·全国Ⅱ)△ABC 的内角内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若b =6,a =2c ,B =π3,则△BDC的面积是________. 12.答案3解析 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=,即212c =, 解得23, 3c c ==-(舍去),所以243a c ==,113sin 43236322ABC S ac B ==⨯=△13.(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为__________. 13.答案233解析 已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ⇒2sin B sin C =4sin A ·sin B sin C ,所以sin A =12,由b 2+c 2-a 2=8>0知A 为锐角,所以cos A =32,所以32=b 2+c 2-a 22bc =4bc ,所以bc =83=833,所以S △ABC =12bc sin A =12×833×12=233. 14.(2017·浙江)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连接CD ,则△BDC的面积是________,cos ∠BDC =________. 14.答案152104解析 在△ABC 中,AB =AC =4,BC =2,由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=42+22-422×4×2=14,则sin ∠ABC =sin ∠CBD =154,所以S △BDC =12BD ·BC sin ∠CBD =152.因为BD =BC =2,所以∠BDC =12∠ABC ,则cos ∠BDC =cos ∠ABC +12=104.15.(2013·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2,B =π6,C =π4,则△ABC 的面积为( )A .23+2B .3+1C .23-2D .3-115.答案 B 解析 因为B =π6,C =π4,所以A =7π12.由正弦定理得b sin π6=csin π4,解得c =22.所以三角形的面积为12bc sin A =12×2×22sin 7π12.因为sin 7π12=sin ⎝⎛⎭⎫π3+π4=32×22+22×12=22⎝⎛⎭⎫32+12,所以12bc sin A =22×22⎝⎛⎭⎫32+12=3+1,故选B .16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B =5cos C ,并且a =2,则△ABC 的面积为________. 16.答案 52 解析 因为0<A <π,cos A =23,所以sin A =1-cos 2A =53.又由5cos C =sin B =sin(A+C )=sin A cos C +cos A sin C =53cos C +23sin C 知,cos C >0,并结合sin 2C +cos 2C =1,得sin C =56,cos C =16.于是sin B =5cos C =56.由a =2及正弦定理a sin A =c sin C ,得c =3.故△ABC 的面积S =12ac sin B =52.17.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(2b -a )cos C =c cos A ,c =3,sin A +sin B =26sin A sin B ,则△ABC 的面积为( )A .338B .2C .32D .33417.答案 D 解析 因为(2b -a )cos C =c cos A ,由正弦定理得,(2sin B -sin A )cos C =sin C cos A ,化简得2sin B cos C =sin B ,又sin B ≠0,因为C ∈(0,π),所以cos C =12,所以C =π3.又由sin A+sin B =26sin A sin B ,可得(sin A +sin B )·sin C =32sin A sin B ,由正弦定理可得(a +b )c =32ab ,所以a +b =2ab .因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,所以2(ab )2-3ab -9=0,所以ab =3(负值舍去),所以S △ABC =12ab sin C =334.18.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =1,2b -3c =2a cos C ,sin C =32,则 △ABC 的面积为( ) A .32 B .34 C .32或34D .3或3218.答案 C 解析 因为2b -3c =2a cos C ,所以由正弦定理可得2sin B -3sin C =2sin A cos C ,所以2sin(A +C )-3sin C =2sin A cos C .所以2cos A sin C =3sin C ,又sin C ≠0,所以cos A =32,因为A ∈(0°,180°),所以A =30°,因为sin C =32,所以C =60°或120°.当C =60°时,A =30°,所以B =90°,又a =1,所以△ABC 的面积为12×1×2×32=32;当C =120°时,A =30°,所以B =30°,又a =1,所以△ABC 的面积为12×1×1×32=34,故选C .19.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin(B +A )+sin(B -A )=2sin2A ,且c =6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A .3B .33C .3或1D .3或3319.答案 A 解析 ∵在△ABC 中,C =π3,∴B =2π3-A ,B -A =2π3-2A ,∵sin(B +A )+sin(B -A )=2sin2A ,∴sin C +sin ⎝⎛⎭⎫2π3-2A =2sin 2A ,即sin C +32cos 2A +12sin 2A =2sin 2A ,整理得3sin ⎝⎛⎭⎫2A -π6=sin C =32,∴sin ⎝⎛⎭⎫2A -π6=12.又A ∈⎝⎛⎭⎫0,2π3,∴2A -π6=π6或5π6,解得A =π6或π2.当A =π6时,B =π2,tan C =c a =6a =3,解得a =2,∴S △ABC =12ac sin B =3;当A =π2时,B =π6,tan C =c b =6b =3,解得b =2,∴S △ABC =12bc =3.综上,△ABC的面积是3.20.托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理指出:圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上,AC ,BD 是其两条对角线,AB =AD ,∠BAD =120°,AC =6,则四边形ABCD 的面积为 .20.答案 93 解析 在△ABD 中,设AB =a ,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD =3a 2,所以BD =3a ,由托勒密定理可得a (BC +CD )=AC ·3a ,即BC +CD =3AC ,又∠ABD =∠ACD =30°,所以四边形ABCD 的面积S =12BC ·AC sin 30°+12CD ·AC sin 30°=14(BC +CD )·AC =34AC 2=93. 题型三 三角形中的最值(范围)问题21.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a >b >c ,a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎫π2,πB .⎝⎛⎭⎫π4,π2C .⎝⎛⎭⎫π3,π2D .⎝⎛⎭⎫0,π2 21.答案 C 解析 因为a 2<b 2+c 2,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc>0,所以A 为锐角.又因为a >b >c ,所以A 为最大角,所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3,π2.22.在△ABC 中,若AB =1,BC =2,则角C 的取值范围是( )A .⎝⎛⎦⎤0,π6B .⎝⎛⎭⎫0,π2C .⎝⎛⎭⎫π6,π2D .⎝⎛⎦⎤π6,π2 22.答案 A 解析 因为c =AB =1,a =BC =2,b =AC .根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可知1<b <3,根据余弦定理cos C =12ab (a 2+b 2-c 2)=14b (4+b 2-1)=14b (3+b 2)=34b +b 4=14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b -b 2+32≥32.所以0<C ≤π6.故选A . 23.在△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,A ≠π2,sin C +sin(B -A )=2sin2A ,则角A 的取值范围为( )A .⎝⎛⎦⎤0,π6B .⎝⎛⎦⎤0,π4C .⎣⎡⎦⎤π6,π4D .⎣⎡⎦⎤π6,π3 23.答案 B 解析 法一:在△ABC 中,C =π-(A +B ),所以sin(A +B )+sin(B -A )=2sin2A ,即2sin B cos A=22sin A cos A ,因为A ≠π2,所以cos A ≠0,所以sin B =2sin A ,由正弦定理得,b =2a ,所以A 为锐角,又sin B =2sin A ∈(0,1],所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0,22,所以A ∈⎝⎛⎦⎤0,π4. 法二:在△ABC 中,C =π-(A +B ),所以sin(A +B )+sin(B -A )=2sin2A ,即2sin B cos A =22sin A cos A ,因为A ≠π2,所以cos A ≠0,所以sin B =2sin A ,由正弦定理,得b =2a ,由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12b 2+c 22bc ≥2 12b 2·c22bc =22,当且仅当c =22b 时等号成立,所以A ∈⎝⎛⎦⎤0,π4. 24.(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是________.24.答案6-24解析 由sin A +2sin B =2sin C ,结合正弦定理得a +2b =2c .由余弦定理得cos C=a 2+b 2-c 22ab=a 2+b 2-a +2b 242ab=34a 2+12b 2-2ab 22ab≥2 ⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2-2ab 22ab=6-24,故6-24≤cos C <1,故cos C 的最小值为6-24. 25.在钝角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B 为钝角,若a cos A =b sin A ,则sin A +sin C 的最大值为( )A .2B .98C .1D .7825.答案 B 解析 ∵a cos A =b sin A ,由正弦定理可得,sin A cos A =sin B sin A ,∵sin A ≠0,∴cos A =sinB ,又B 为钝角,∴B =A +π2,sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +cos2A =sin A +1-2sin 2A =-2⎝⎛⎭⎫sin A -142+98,∴sin A +sin C 的最大值为98. 26.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a cos B -b cos A =12c ,当tan(A -B )取最大值时,角B 的值为________.26.答案 π6 解析 由a cos B -b cos A =12c 及正弦定理,得sin A cos B -sin B cos A =12sin C =12sin(A +B )=12(sin A cos B +cos A sin B ),整理得sin A cos B =3cos A sin B ,即tan A =3tan B ,易得tan A >0,tan B >0.所以tan(A -B )=tan A -tan B 1+tan A tan B =2tan B 1+3tan 2B =21tan B +3tan B ≤223=33,当且仅当1tan B =3tan B ,即tan B =33时,tan(A -B )取得最大值,所以B =π6. 27.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A +b sin B =c sin C -2a sin B ,则sin2A tan 2B的最大值是__________.27.答案 3-22 解析 依题意得a 2+b 2-c 2=-2ab ,则2ab cos C =-2ab ,所以cos C =-22, 所以C =3π4,A =π4-B ,所以sin2A tan 2B =cos2B tan 2B =(1-tan 2B )tan 2B 1+tan 2B .令1+tan 2B =t ,其中t ∈(1,2),则有(1-tan 2B )tan 2B 1+tan 2B=(2-t )(t -1)t =-⎝⎛⎭⎫t +2t +3≤3-22,当且仅当t =2时取等号.故sin 2A tan 2B 的最大值是3-22.28.在△ABC 中,若sin C =2cos A cos B ,则cos 2A +cos 2B 的最大值为________. 28.答案2+12解析 解法1 因为sin C =2cos A cos B ,所以,sin(A +B )=2cos A cos B ,化简得tan A +tan B=2,cos 2A+cos 2B=cos 2A sin 2A +cos 2A +cos 2B sin 2B +cos 2B =1tan 2A +1+1tan 2B +1=tan 2A +tan 2B +2(tan A tan B )2+tan 2A +tan 2B +1=(tan A +tan B )2-2tan A tan B +2(tan A tan B )2+(tan A +tan B )2-2tan A tan B +1=6-2tan A tan B(tan A tan B )2-2tan A tan B +5.因为分母(tan A tan B )2-2tan A tan B +5>0,所以令6-2tan A tan B=t (t >0),则cos 2A +cos 2B =4t t 2-8t +32=4t +32t -8≤4232-8=2+12(当且仅当t =42时取等号).解法2 由解法1得tan A +tan B =2,令tan A =1+t ,tan B =1-t ,则cos 2A +cos 2B =1tan 2A +1+1tan 2B +1=1t 2+2+2t +1t 2+2-2t =2(t 2+2)(t 2+2)2-4t 2,令d =t 2+2≥2,则cos 2A+cos 2B =2dd 2-4d +8=2d +8d -4≤228-4=2+12,当且仅当d =22时等号成立. 解法3 因为sin C =2cos A cos B ,所以sin C =cos(A +B )+cos(A -B ),即cos(A -B )=sin C +cos C ,cos 2A +cos 2B =1+cos2A 2+1+cos2B2=1+cos(A +B )cos(A -B )=1-cos C (sin C +cos C )=12-12(sin2C +cos2C )=12-22sin(2C +π4)≤12+22=2+12,当且仅当2C +π4=3π2,即C =5π8时取等号.29.设△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,已知a 2+2b 2=c 2,则tan Ctan A =_____;tan B 的最大值为________. 29.答案 -3 33 解析 由正弦定理可得tan C tan A =sin C sin A ·cos A cos C =c a ·cos Acos C,再结合余弦定理可得tan C tan A =c a ·cos A cos C=c a ·b 2+c 2-a 22bc ·2ab a 2+b 2-c 2=b 2+c 2-a 2a 2+b 2-c 2.由a 2+2b 2=c 2,得tan C tan A =b 2+a 2+2b 2-a 2a 2+b 2-a 2-2b 2=-3.由已知条件及大边对大角可知0<A <π2<C <π,从而由A +B +C =π可知tan B =-tan(A +C )=-tan A +tan C 1-tan A tan C=-1+tan C tan A 1tan A -tan C =23-tan C+(-tan C ),因为π2<C <π,所以3-tan C +(-tan C)≥23-tan C×(-tan C)=23(当且仅当tan C=-3时取等号),从而tan B≤223=33,即tan B的最大值为33.30.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2b sin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是()A.4B.33C.8D.63 30.答案C解析由a=2b sin C得sin A=2sin B sin C,∴sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C =2sin B sin C,即tan B+tan C=2tan B tan C.又三角形中的三角恒等式tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,∴tan B tan C=tan Atan A-2,∴tan A tan B tan C=tan A·tan Atan A-2,令tan A-2=t,得tan A tan B tan C=(t+2)2t=t+4t+4≥8,当且仅当t=4t,即t=2,tan A=4 时,取等号.。
2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2017年浙江,1,4分】已知{|11}P x x =-<<,{20}Q x =-<<,则P Q =( )(A )(2,1)- (B)(1,0)- (C )(0,1) (D )(2,1)-- 【答案】A【解析】取,P Q 所有元素,得P Q =(2,1)-,故选A .【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.(2)【2017年浙江,2,4分】椭圆22194x y +=的离心率是( )(A )133 (B )53 (C )23 (D )59【答案】B【解析】94533e -==,故选B . 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.(3)【2017年浙江,3,4分】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )(A )12π+ (B )32π+(C)312π+ (D)332π+【答案】A【解析】由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+,故选A .【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目.(4)【2017年浙江,4,4分】若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是( )(A)[]0,6 (B )[]0,4(C)[]6,+∞ (D )[]4,+∞【答案】D【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点()2,1时取最小值4,无最大值,故选D .【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.(5)【2017年浙江,5,4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01,上的最大值是M ,最小值是m ,则–M m ( ) (A )与a 有关,且与b 有关 (B )与a 有关,但与b 无关(C )与a 无关,且与b 无关 (D )与a 无关,但与b 有关 【答案】B【解析】解法一:因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取,所以最值之差一定与b 无关,故选B .解法二:函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线,①当12a->或02a-<,即2a <-,或0a >时,函数()f x 在区间[]0,1上单调,此时()()10M m f f a -=-=,故M m -的值与a 有关,与b 无关;②当1122a ≤-≤,即21a -≤≤-时,函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减,在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增,且()()01f f >,此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,故M m -的值与a 有关,与b 无关;③当1022a ≤-<,即10a -<≤时,函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减,在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增,且()()01f f <,此时()2024a a M m f f a ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,故M m -的值与a 有关,与b 无关.综上可得:M m -的值与a 有关,与b 无关,故选B .【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键. (6)【2017年浙江,6,4分】已知等差数列[]n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >"是“4652S S S +>"的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=,可知当0d >时,有46520S S S +->,即4652S S S +>,反之,若4652S S S +>,则0d >,所以“0d >”是“4652S S S +>"的充要条件,故选C .【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题.(7)【2017年浙江,7,4分】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示,则函数()y f x =的图像可能是( )(A)(B)(C )(D ) 【答案】D 【解析】解法一:由当()0f x '<时,函数f x ()单调递减,当()0f x '>时,函数f x ()单调递增,则由导函数()y f x =' 的图象可知:()f x 先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A ,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x 轴上的右侧,排除B ,,故选D .解法二:原函数先减再增,再减再增,且0x =位于增区间内,故选D .【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题.(8)【2017年浙江,8,4分】已知随机变量1ξ满足()11i P p ξ==,()101i P p ξ==-,1,2i =.若12102p p <<<,则( )(A )12E()E()ξξ<,12D()D()ξξ<(B)12E()E()ξξ<,12D()D()ξξ>(C)12E()E()ξξ>,12D()D()ξξ< (D)12E()E()ξξ>,12D()D()ξξ< 【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-,121212()()()(1)0D D p p p p ξξ∴-=---<,故选A .【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.(9)【2017年浙江,9,4分】如图,已知正四面体–D ABC (所有棱长均相等的三棱锥),PQR分别为AB ,BC ,CA 上的点,AP PB =,2BQ CRQC RA==,分别记二面角––D PR Q ,––D PQ R ,––D QR P 的平面较为α,β,γ,则( )(A )γαβ<< (B )αγβ<< (C )αβγ<< (D )βγα<< 【答案】B【解析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面ABC ∆的中心为O .不妨设3OP =.则()0,0,0O ,()0,3,0P -,()0,6,0C -,()0,0,62D ,()3,2,0Q ,()23,0,0R -,()23,3,0PR =-,()0,3,62PD =,()3,5,0PQ =,()33,2,0QR =--,()3,2,62QD =--.设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =,则0n PR n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,可得 23303620x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,可得()6,22,1n =-,取平面ABC 的法向量()0,0,1m =. 则1cos ,15m n m n m n⋅==-,取1arccos 15α=.同理可得:3arccos 681β=. 2arccos95γ=.∵1231595681>>.∴αγβ<<.解法二:如图所示,连接OD OQ OR ,,,过点O 发布作垂线:OE DR ⊥,OF DQ ⊥,OG QR ⊥,垂足分别为E F G ,,,连接PE PF PG ,,.设OP h =.则cos ODR PDR S OES PE α∆∆==22OE OE h =+.同理可得:22cos OF OF PF OF h β==+c,22cos OG OG PG OG hγ==+.由已知可得:OE OG OF >>.∴cos cos cos αγβ>>,αβγ,,为锐角.∴α<γ<β,故选B .【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.(10)【2017年浙江,10,4分】如图,已知平面四边形ABCD ,AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =,AC 与BD 交于点O ,记1·I OA OB =,2·I OB OC =,3·I OC OD =,则( ) (A )123I I I << (B )132I I I << (C )312I I I << (D )223I I I <<【答案】C【解析】∵AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =,∴22AC =,∴90AOB COD ∠=∠>︒,由图象知OA OC <,OB OD <,∴0OA OB OC OD >⋅>⋅,0OB OC ⋅>,即312I I I <<,故选C .【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.(11)【2017年浙江,11,4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术"可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内,S =内 . 【答案】332【解析】如图所示,单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF 中,AOB ∆是边长为1的正三角形,所以正六边形ABCDEF 的面积为133=611sin 6022S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭内. 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题.(12)【2017年浙江,12,6分】已知ab ∈R ,2i 34i a b +=+()(i 是虚数单位)则22a b += ,ab = . 【答案】5;2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+,则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩,则225,2a b ab +==.【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.(13)【2017年浙江,13,6分】已知多项式()()12543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=,则4a = ,5a = .【答案】16;4【解析】由二项式展开式可得通项公式为:32r r m mC x C x ,分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=,令0x =可得325124a =⨯=.【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.(14)【2017年浙江,14,6分】已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是 ;cos BDC ∠= .【答案】152;104【解析】取BC 中点E ,DC 中点F ,由题意:,AE BC BF CD ⊥⊥,ABE ∆中,1cos 4BE ABC AB ∠==,1115cos ,sin 14164DBC DBC ∴∠=-∠=-=,BC 115sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△.又2110cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=,10cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=,综上可得,BCD ∆面积为152,10cos 4BDC ∠=.【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题. (15)【2017年浙江,15,6分】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是 __;最大值是 __. 【答案】4;25【解析】解法一:设向量a 和b 的夹角为θ,由余弦定理有2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-, ()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+,则54cos 54cos a b a b θθ++-=++-, 令54cos 54cos y θθ=++-,则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈,据此可得:()maxa b a b ++-2025==,()min164a b a b++-==,即a b a b ++-的最小值为4,最大值为25.解法二记AOB α∠=,则0απ≤≤,如图,由余弦定理可得:54cos a b θ-=-,54cos a b θ+=+,令54cos x θ=-,54cos y θ=+,则()2210,1x y x y +=≥, 其图象为一段圆弧MN ,如图,令z x y =+,则y x z =-+,则直线y x z =-+过M 、N 时z 最小为13314min z =+=+=,当直线y x z =-+与圆弧MN 相切时z 最大,由平面几 何知识易知max z 即为原点到切线的距离的2倍,也就是圆弧MN 所在圆的半径的2倍, 所以21025max z =⨯=.综上所述,a b a b ++-的最小值为4,最大值为25.【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.(16)【2017年浙江,16,4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 中不同的选法.(用数字作答) 【答案】660【解析】解法一:由题意可得:“从8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为:411843C C C ⨯⨯种方法,其中“服务队中没有女生"的选法有411643C C C ⨯⨯种方法,则满足题意的选法有:411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种.解法二:第一类,先选1女3男,有316240C C =种,这4人选2人作为队长和副队有2412A =种,故有4012480⨯=种,第二类,先选2女2男,有226215C C =种,这4人选2人作为队长和副队有2412A =种, 故有1512180⨯=种,根据分类计数原理共有480180660+=种,故答案为:660.【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题.(17)【2017年浙江,17,4分】已知α∈R ,函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5,则a 的取值 范围是 .【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈,分类讨论:①当5a ≥时,()442f x a x a a x x x =--+=--,函数的最大值245a -=,92a ∴=,舍去;②当4a ≤时,()445f x x a a x x x =+-+=+≤,此时命题成立;③当45a <<时,(){}maxmax 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦,则:4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或:4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩, 解得:92a =或92a <,综上可得,实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题. 三、解答题:本大题共5题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(18)【2017年浙江,18,14分】已知函数()22sin cos 23sin cos fx x x x x x =--∈R (). (1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解:(1)()22πsin cos 23sin cos cos 23sin 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪⎝⎭,4ππsin 232236f π⎛⎫+=⎪⎝⎛⎫=- ⎪⎭⎭⎝. (2)由()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()f x 的最小正周期为π.令πππ2π22π262k x k -≤+≤+,k Z ∈,得ππππ36k x k -≤≤+,k Z ∈,函数()f x 的单调递增区间为ππππ.36k k k Z ,,⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档. (19)【2017年浙江,19,15分】如图,已知四棱锥–P ABCD ,PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形,//BC AD ,CD AD ⊥,22PC AD DC CB ===,E 为PD 的中点. (1)证明://CE 平面PAB ;(2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. 解:解法一:(1)取AD 的中点F ,连接EF ,CF ,∵E 为PD 的重点,∴//EF PA ,在四边形ABCD 中,//BC AD ,22AD DC CB ==,F 为中点易得//CF AB ,∴平面//EFC 平面ABP , EC ⊂平面EFC ,//EC ∴平面PAB .(2)连结BF ,过F 作FM PB ⊥与M ,连结PF ,因为PA PD =,所以PF AD ⊥,易知四边形BCDF 为矩形,所以BF AD ⊥,所以AD ⊥平面PBF ,又//AD BC , 所以BC ⊥平面PBF ,所以BC PB ⊥,设1DC CB ==,则2AD PC ==,所以2PB =,1BF PF ==,所以12MF =,又BC ⊥平面PBF ,所以BC MF ⊥,所以MF ⊥平面PBC ,即点F 到平面PBC 的距离为12,也即点D 到平面PBC 的距离为12,因为E 为PD 的中点,所以点E 到平面PBC 的距离为14,在PCD ∆中,2PC =,1CD =,2PD =,由余弦定理可得2CE =,设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ,则124sin =8CE θ=.解法二:(1)略;构造平行四边形.(2)过P 作PH CD ⊥,交CD 的延长线于点H 在Rt PDH 中,设DH x =,则易知2222(2)(1)2x x -++=(Rt PCH ),解得12DH =,过H 作BC 的平行线,取 1DH BC ==,由题易得3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭,30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 113,,424E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则513(,,)424CE =-- ,33(,0,)22PB =-,(0,1,0)BC =, 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ,则330220n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ,令1x =,则3t =,故(1,0,3)n =, 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ,则531|3|2442sin =|cos <,n|=8251322216416CE θθ-+⨯==++⨯ 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28. 【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.(20)【2017年浙江,20,15分】已知函数()()1212x f x x x e x -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的导函数;(2)求()f x 在区间1[+)2∞,上的取值范围.解:(1)()()()11212112111212121x xx x f x e x x e x x e x e x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=----=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)令()21g x x x =--,则()1121g x x '=--,当112x ≤<时,()0g x '<,当1x >时,()0g x '>,则()g x在1x =处取得最小值,既最小值为0,又0x e ->,则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为0.当x 变化时,()f x ,()f x '的变化如下表:x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 52 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' — 0 + 0 — ()f x↘↗↘又121122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭,()10f =,525122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为1212e -.综上,()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦..【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.(21)【2017年浙江,21,15分】如图,已知抛物线2x y =,点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,39,24B ⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线上的点()1124P x y x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭,.过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围;(2)求AP PQ ⋅的最大值.解:(1)由题易得()2,P x x ,1322x -<<,故()21141,1122AP x K x x -==-∈-+,故直线AP 斜率的取值范围为()1,1-. (2)由(1)知()2,P x x ,1322x -<<,所以211,24PA x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,设直线AP 的斜率为k ,则11:24AP y kx k =++, 139:24BP y x k k =-++,联立直线AP 、BP 方程可知222234981,2244k k k k Q k k ⎛⎫+-++ ⎪++⎝⎭, 故23432221,11k k k k k k k PQ k k ⎛⎫+----++= ⎪++⎝⎭,又因为()21,PA k k k =----, 故()()()()()()33232211111111k k k k k PA PQ PA PQ k k kk+-+--⋅=⋅=+=+-++,所以()()311PA PQ k k ⋅=+-,令()()()311f x x x =+-,11x -<<,则()()()()()221242121f x x x x x '=+-=-+-,由于当112x -<<-时()0f x '>,当112x <<时()0f x '<,故()max 127216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,即PA PQ ⋅的最大值为2716. 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注意解题方法的积累,属于中档题. (22)【2017年浙江,22,15分】已知数列{}n x 满足:11x =,()()11ln 1*n n n x x x n N ++=++∈.证明:当*n N ∈时,(1)10n n x x +<<;(2)1122n n n n x x x x++-≤;(3)121122n n n x ++≤≤.解:(1)令函数()ln(1)f x x x =++,则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数.又1()n n x f x +=,若0n x >⇒1()(0)0n f x f +>=恒成立10n x +⇒>,又由11ln(1)n n n x x x ++=++可知0n x >,由111111ln(1)ln(1)0n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-=++-=+>⇒>.所以10n n x x +<<.(2)令()()()()22ln 1ln 1ln 1222x x x g x x x x x x x +=++--+=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,0x >,则()()()()()()()121111ln 11ln 1ln 12212212212x x g x x x x x x x x x x +'=+++-=+-+=+++-+++, 令()()()111ln 12212h x x x x =+++-+,则()()()()2221125210212121x x h x x x x ++'=-+=>+++, 所以()h x 单调递增.所以()()00h x h >=,即()0g x '>,()g x 单调递增.所以()()00g x g >=⇒()()ln 1ln 12xx x x x ++>-+⎡⎤⎣⎦, 所以()()11111112ln 1ln 122n n n n n n n n n x x x x x x x x x +++++++⎡⎤-=-+≤++=⎣⎦,1122n n n n x xx x ++-≤. (3)11112111212222n n n n n n n n x x x x x x x x ++++-≤⇒-≤⇒≥-,即121111222n n n n n x x +++≥-⇒递推得 12+11111(1)11111182122224212n n nk n k n x x -+=-≥-=-=+⇒-∑2211(2)1222n n n x n --≤≤≥+. 由11x =知21(N*)2n n x n -≤∈,又由()ln(1)0h x x x =-+>可知112()()0n n n x x h x h x ++-=>=.即11111112(N*)222n n n n n n n n x x x x x x n ++-->⇒>⇒≥=∈.综上可知,121122n n n x --≤≤. 【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运算能力,放缩能力,运算能力,属于难题.。
高中数学 考点16 正弦定理和余弦定理(含2017高考试题)
考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1。
(2017·全国乙卷文科·T11)△ABC 的内角A,B ,C 的对边分别为a,b ,c 。
已知sinB+sinA (sinC-cosC)=0,a=2,,则C= ( ) A.12π B 。
6π C 。
4π D.3π 【命题意图】本题主要考查三角公式的应用,重点考查正弦定理在解决三角形问题中的应用.【解析】选B 。
由题意得sin (A+C)+sinA(sinC —cosC )=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC —sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA )sinCsin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,所以A=34π. 由正弦定理sinA a =sinC c 得23sin 4π=sinC ,即sinC=12,得C=6π,故选B 。
【反思总结】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息。
一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到。
2.(2017·山东高考理科·T9)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB (1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC ,则下列等式成立的是 ( )A.a=2b B 。
b=2a C 。
A=2B D.B=2A【命题意图】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用,意在考查考生对数学式子的变形能力与运算推理能力.【解析】选A 。
2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC ,即sinAcosC=2sinBcosC ,由于△ABC 为锐角三角形,所以cosC ≠0,sinA=2sinB ,由正弦定理可得a=2b 。
三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题10 解三角形(解析版)
专题10 解三角形1.【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中,cos25C =,1BC =,5AC =,则AB =A . BCD .【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭,则,故选A.【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理,结合已知条件,灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.2.【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =A .π2B .π3 C .π4D .π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△,所以2222sinC a b c ab +-=, 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=,得sin cos C C =,因为()0,πC ∈,所以π4C =,故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.3.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是 A .2a b = B .2b a = C .2A B =D .2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+, 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=, 故选A.【名师点睛】本题较为容易,关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ,B ,C 的式子,再用正弦定理将角转化为边,得到2a b =.解答三角形中的问题时,三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件,不容忽视.4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为_________.【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=,即212c =,解得c c ==-,所以2a c ==,11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题,关键是在明确方法的基础上,准确记忆公式,细心计算.本题首先应用余弦定理,建立关于c 的方程,应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.5.【2019年高考浙江卷】在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =___________,cos ABD ∠=___________.【解析】如图,在ABD △中,由正弦定理有:sin sin AB BD ADB BAC =∠∠,而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ,34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==,所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理,建立方程,进而得解.解答解三角形问题,要注意充分利用图形特征.6.【2018年高考浙江卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =b =2,A =60°,则sin B =___________,c =___________.【答案】7,3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =,所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=(负值舍去).【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.解答本题时,根据正弦定理得sin B ,根据余弦定理解出c .7.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连结CD ,则△BDC 的面积是______,cos ∠BDC =_______.【答案】,24【解析】取BC 中点E ,由题意:AE BC ⊥,△ABE 中,1cos 4BE ABC AB ∠==,∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==,∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△. ∵2ABC BDC ∠=∠,∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=,解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=(舍去).综上可得,△BCD 面积为2,cos 4BDC ∠=. 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.8.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(22b c +=,求sin C .【答案】(1)60A ︒=;(2)sin 4C =【解析】(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=, 故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=. (2)由(1)知120B C ︒=-,()sin 1202sin A C C ︒+-=,1sin 2sin 2C C C +=,可得()cos 60C ︒+=.由于0120C ︒︒<<,所以()sin 602C ︒+=,故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=. 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.9.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sinsin 2A Ca b A +=.(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)B =60°;(2)()82. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=. 因为sin A ≠0,所以sinsin 2A CB +=. 由180A BC ︒++=,可得sin cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B=. 因为cos 02B ≠,故1sin 22B =, 因此B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°, 由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故122a <<,ABC S <<△.因此,△ABC 面积的取值范围是⎝⎭. 【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识,以及正弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解),最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用,考查的很全面,是一道很好的考题. 10.【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中,a =3,b −c =2,cos B =12-. (1)求b ,c 的值; (2)求sin (B –C )的值.【答案】(1)7b =,5c =;(2. 【解析】(1)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+,所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.(2)由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中,∠B 是钝角, 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角差的正弦公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(1)求cos B 的值; (2)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)14-;(2)【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=,得sin sin b C c B =, 又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,23c a =. 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅. (2)由(1)可得sin B ==,从而sin 22sin cos B B B ==,227cos 2cos sin 8B B B =-=-,故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭. 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.12.【2019年高考江苏卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 【答案】(1)3c =;(2)5. 【解析】(1)因为23,3a cb B ===, 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以c =(2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.13.【2019年高考江苏卷】如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米). (1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.【答案】(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+. 【解析】解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知10AD ==,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ===此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+.解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,−3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(−4,−3),直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为43 -,直线PB的方程为42533 y x=--.所以P(−13,9),15PB==.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(−4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连结AD,由(1)知D(−4,9),又A(4,3),所以线段AD:36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M(3,154),因为5OM=<=,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+Q (4+9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14.【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠;(2)若DC =BC .【答案】(1(2)5. 【解析】(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知,52sin 45sin ADB =︒∠,所以sin ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以cos 5ADB ∠==.(2)由题设及(1)知,cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中,由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.【名师点睛】求解此类问题的突破口:一是观察所给的四边形的特征,正确分析已知图形中的边角关系,判断是用正弦定理,还是用余弦定理,求边角;二是注意大边对大角,在解三角形中的应用.15.【2017年高考全国Ⅰ理数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC △的面积为23sin a A. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求ABC △的周长.【答案】(1)23;(2)3+. 【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.(2)由题设及(1)得1cos cos sin sin 2B C B C -=-,即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=,故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=.故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.16.【2018年高考天津卷理数】在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin cos()6b A a B π=-. (1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和sin(2)A B -的值.【答案】(1)π3;(2)b sin(2)A B -. 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分. (1)在△ABC 中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =.又因为(0π)B ∈,,可得B =π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b .由πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =.因为a <c ,故cosA =因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=.所以,sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-= 【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.17.【2017年高考全国Ⅱ理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()2sin 8sin2BA C +=. (1)求cosB ;(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求b . 【答案】(1)15cos 17B =;(2)2b =. 【解析】(1)由题设及A B C ++=π,可得2sin 8sin 2BB =,故()sin 41cos B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=,解得cos 1B =(舍去),15cos 17B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14=sin 217△ABC S ac B ac =. 又=2ABC S △,则172ac =.由余弦定理及6a c +=得:()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =.【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理,三角形的面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系,这样的题目小而活,备受命题者的青睐.18.【2018年高考北京卷理数】在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =–17. (1)求∠A ;(2)求AC 边上的高.【答案】(1)π3;(2)2. 【解析】(1)在△ABC 中,∵cos B =–17,∴B ∈(π2,π),∴sin B =.由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A∴sin A . ∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2), ∴∠A =π3.(2)在△ABC 中,sin C =sin (A +B )=sin A cos B +sin B cos A =11()2727-+⨯=14.如图所示,在△ABC 中,∵sin C =h BC ,∴h =sin BC C ⋅=7=,∴AC 边上的高为2.【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的,基本步聚是:第一步,定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向; 第二步,定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边、角之间的互化; 第三步,求结果.19.【2017年高考天津卷理数】在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5,6a c ==,3sin 5B =. (1)求b 和sin A 的值; (2)求πsin(2)4A +的值.【答案】(1)b sin A (2)26.【解析】(1)在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =. 由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==.所以,b sin A(2)由(1)及a c <,得cos A =, 所以12sin 22sin cos 13A A A ==,25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=. 【名师点睛】(1)利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系,利用“角转边”可寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系可求角,利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值.(2)利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点,常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合,利用正、余弦定理进行解题.20.【2017年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin 0A A =,a ,b =2. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积.【答案】(1)4c =;(2【解析】(1)由已知可得tan A =2π3A =. 在ABC △中,由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-,即22240c c +-=.解得6c =- (舍去),4c =. (2)由题设可得π2CAD ∠=, 所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. (1)由题意首先求得2π3A =,然后利用余弦定理列方程,边长取方程的正实数根可得4c =; (2)利用题意首先求得ABD △的面积与ACD △的面积的比值,然后结合ABC △的面积可求得ABD △.21.【2017年高考江苏卷】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm .现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm .(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度; (2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱1GG 上,求l 没入水中部分的长度.【答案】(1)16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm);(2)20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm).【解析】(1)由正棱柱的定义,1CC ⊥平面ABCD ,所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ,1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.因为40AC AM ==,所以30MC ==,从而3sin 4MAC =∠, 记AM 与水面的交点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC ,Q 1为垂足, 则P 1Q 1⊥平面ABCD ,故P 1Q 1=12,从而AP 1=1116sin P MACQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm .(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O ,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO 1⊥平面EFGH ,所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ,O 1O ⊥EG . 同理,平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1,O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G 1,K 为垂足,则GK =OO 1=32. 因为EG = 14,E 1G 1= 62,所以KG 1=6214242-=,从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π,所以3cos 5α=-.在ENG △中,由正弦定理可得4014sin sin αβ=,解得7sin 25β=.因为02βπ<<,所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠.记EN 与水面的交点为P 2,过P 2作P 2Q 2⊥EG ,Q 2为垂足,则P 2Q 2⊥平面EFGH , 故P 2Q 2=12,从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时,(1)转化为直角三角形ACM 中,利用相似性质求解AP 1;(2)转化到三角形EGN 中,先利用直角梯形性质求角1EGG ∠,再利用正弦定理求角ENG ∠,最后根据直角三角形求高,即为l 没入水中部分的长度.解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向; 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化; 第三步:求结果.22.【2017年高考北京卷理数】在△ABC 中,A ∠=60°,c =37a . (1)求sin C 的值;(2)若a =7,求△ABC 的面积.【答案】(1)14;(2)【解析】(1)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =,所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. (2)因为7a =,所以3737c =⨯=. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-(舍).所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理实现边角互化;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式. (1)根据正弦定理sin sin a cA C=求sin C 的值; (2)根据条件可知7,3,a c ==根据余弦定理求出b 的值,最后利用三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可.。
高考中解三角形题型归纳
高考中解三角形题型归纳
摘要:解三角形问题不仅综合运用了三角函数恒等变形的公式有关内容,还综合运用了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,所以它也就成了高考的重要内容,但2018年考查难度有所下降.本文从以下几个方面对解三角形题型归纳总结,希望能给解三角形问题归纳常考题型。
关键词:解三角形;题型归纳;正弦定理;余弦定理;高考
题型一利用正弦定理解三角形
例1(2017年全国Ⅱ卷∙文科∙16题)
【方法指导】利用正弦定理可以解决两类问题:(1)已知两边和期中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角;(2)已知两角和任一边,求其他两边和一角.
题型二利用余弦定理解三角形
例2(2018年全国Ⅱ卷∙理科∙6题)
【方法指导】利用余弦定理可以解决两类问题:(1)已知三边,求三个内角;(2)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角.
题型三正余弦定理的综合应用
例3 (2018年全国Ⅰ卷∙理科∙17题)
【方法指导】解三角形时,一般是根据正弦定理求边,或者列出相关的等式,若式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若式子中含有角的余弦或者边的二次式,则考虑用余弦定理;若以上特征不明显,则考虑两个定理都有可能用到.
题型四求三角形面积
例4(2018年全国Ⅰ卷∙文科∙16题)
【方法指导】利用正弦定理、余弦定理解三角形,求出三角形的有关元素之后,直接求三角形的面积,或求出两边之积及夹角正弦,再求解。
高三数学解三角形综合题含答案
解三角形综合题【解三角形的实际应用】解三角形定义:一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
主要方法:正弦定理、余弦定理。
解三角形常用方法:1.已知一边和两角解三角形:已知一边和两角(设为b、A、B),解三角形的步骤:2.已知两边及其中一边的对角解三角形:已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角时,首先必须判断是否有解,例如在中,已知,问题就无解。
如果有解,是一解,还是两解。
解得个数讨论见下表:3.已知两边及其夹角解三角形:已知两边及其夹角(设为a,b,C),解三角形的步骤:4.已知三边解三角形:已知三边a,b,c,解三角形的步骤:①利用余弦定理求出一个角;②由正弦定理及A +B+C=π,求其他两角.5.三角形形状的判定:判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别,依据已知条件中的边角关系判断时,主要有如下两条途径:①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数的恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B +C=π这个结论,在以上两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.6.解斜三角形应用题的一般思路:(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等;(2)根据题意画出图形;(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解,演算过程要算法简练,计算准确,最后作答,用流程图可表示为:利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时,要注意三角形三内角的一些三角函数关系:【2017年高考全国Ⅲ卷,理17】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin 0A A +=,a,b =2.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 【答案】(1)4c = ;(2(2)由题设可得π2CAD ∠=,所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=. 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅. 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=,所以ABD △.【考点】余弦定理解三角形;三角形的面积公式【点拨】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.答题思路【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主,重点考查正弦定理、余弦定理的应用,均值不等式在确定最值时的应用,数形结合的思想,函数与方程的思想等.【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种:一种是解三角形确定边长或角度值;一种确定边长或者面积范围.重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主,利用正弦定理、余弦定理确定三角形中的要素,列出函数解析式或利用均值不等式确定取值范围. 【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下两步:第一步:利用题意得到∠A 的大小,然后求解边长即可 利用题意首先可求得2π3A =,然后利用余弦定理得到关于边长的方程,解方程即可求得边长的值,注意三角形的边长需要舍去负值. 第二步:求解△ABC 的面积 利用(1)中的结论结合题意确定利用面积公式1sin 2S bc A =,结合三角形面积的比值:ABD △面积与ACD △面积的比值为1【方法总结】 1、正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===,其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式习题
2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式习题A 组 基础巩固一、选择题1.sin210°cos120°的值为导学号 25400726( ) A .14 B .-34C .-32D .34[答案] A[解析] sin210°cos120°=-sin30°(-cos60°)=12³12=14.故选A .2.已知sin(5π2+α)=15,那么cos α=导学号 25400727( )A .-25B .-15C .15D .25 [答案] C[解析] sin(5π2+α)=sin[2π+(π2+α)]=sin(π2+α)cos α=15.3.若sin(π6-α)=13,则cos(2π3+2α)等于导学号 25400728( )A .-79B .-13C .13D .79 [答案] A[解析] ∵(π3+α)+(π6-α)=π2,∴sin(π6-α)=sin[π2-(π3+α)]=cos(π3+α)=13.则cos(2π3+2α)=2cos 2(π3+α)-1=-79.4.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin α²cos α等于导学号 25400729( )A .25B .-25C .25或-25D .-15[答案] B[解析] 由sin(π-α)=-2sin(π2+α)得sin α=-2cos α,所以tan α=-2,∴sin α²cos α=sin α²cos αsin 2α+cos 2α=tan α1+tan 2α=-25,故选B . 5.已知f (α)=sin π-α ²cos 2π-α cos -π-α ²tan π-α ,则f (-25π3)的值为导学号 25400730( )A .12B .-12C .32D .-32[答案] A [解析] ∵f (α)=sin αcos α-cos α² -tan α=cos α,∴f (-25π3)=cos(-25π3)=cos 25π3=cos(8π+π3)=cos π3=12.6.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两个根,则m 的值为导学号 25400731( )A .1+ 5B .1- 5C .1± 5D .-1- 5[答案] B[解析] 由题意得sin θ+cos θ=-m 2,sin θ²cos θ=m4,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ²cos θ,所以m 24=1+m2,解得m =1±5,又Δ=4m 2-16m ≥0,解得m ≤0或m ≥4,所以m =1-5,故选B .二、填空题7.已知α∈(π2,π),sin α=45,则tan α=________.导学号 25400732[答案] -43[解析] ∵α∈(π2,π),∴cos α=-1-sin 2α=-35,∴tan α=sin αcos α=-43.8.化简:sin π2+α ²cos π2-α cos π+α +sin π-α ²cos π2+αsin π+α =________.导学号 25400733[答案] 0[解析] 原式=cos α²sin α-cos α+sin α -sin α-sin α=-sin α+sin α=0.9.(2015²绍兴二模)若f (cos x )=cos2x ,则f (sin15°)=________.导学号 25400734 [答案] -32[解析] f (sin15°)=f (cos75°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-32. 10.(2015²浙江嘉兴联考)已知α为钝角,sin(π4+α)=34,则sin(π4-α)=________,cos(α-π4)=________.导学号 25400735[答案] -74,34[解析] sin(π4-α)=cos[π2-(π4-α)]=cos(π4+α),∵α为钝角,∴34π<π4+α<54π.∴cos(π4+α)<0.∴cos(π4+α)=-1- 34 2=-74.cos(α-π4)=sin[π2+(α-π4)]=sin(π4+α)=34.三、解答题11.已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α),求下列各式的值:导学号 25400736(1)sin α-4cos α5sin α+2cos α; (2)sin 2α+sin2α. [答案] (1)-16 (2)85[解析] 由已知得sin α=2cos α. (1)原式=2cos α-4cos α5³2cos α+2cos α=-16.(2)原式=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=sin 2α+sin 2αsin 2α+14sin 2α=85. 12.已知0<α<π2,若cos α-sin α=-55,试求2sin αcos α-cos α+11-tan α的值.导学号 25400737[答案]55-95[解析] ∵cos α-sin α=-55,∴1-2sin αcos α=15. ∴2sin αcos α=45.∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+45=95.∵0<α<π2,∴sin α+cos α=35 5.与cos α-sin α=-55联立,解得 cos α=55,sin α=255.∴tan α=2. ∴2sin αcos α-cos α+11-tan α=45-55+11-2=55-95.B 组 能力提升1.(2015²福建福州一模)设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,且cos α=15x ,则tan α=导学号 25400738( )A .43B .34C .-34D .-43[答案] D[解析] 因为α是第二象限角,所以cos α=15x <0,即x <0.又cos α=15x =xx 2+16.解得x =-3,所以tan α=4x =-43,故选D .2.(2015²河南郑州一模)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x 的方程2x 2+(3-1)x +m =0(m ∈R )的两根,则sin θ-cos θ等于导学号 25400739( )A .1-32B .1+32C . 3D .- 3[答案] B[解析] ∵sin θ,cos θ是方程2x 2+(3-1)x +m =0(m ∈R )的两根, ∴sin θ+cos θ=1-32,sin θcos θ=m2.可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,即2-32=1+m ,∴m =-32. ∵θ为第二象限角,∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0. ∵(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θ²cos θ=4-234-2m =1-32+3=2+32, ∴sin θ-cos θ=2+32=1+32. [点拨] 利用根与系数的关系表示出sin θ+cos θ=1-32,sin θcos θ=m2,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m 的值,再利用完全平方公式求出sin θ-cos θ的值即可.3.(2015²河北石家庄一模)已知α为第二象限角,则cos α²1+tan 2α+sin α1+1tan 2α=________.导学号 25400740 [答案] 0[解析] 原式=cos αsin 2α+cos 2αcos 2α+sin α²sin 2α+cos 2αsin 2α=cos α1|cos α|+sin α1|sin α|,因为α是第二象限,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α1|cos α|+sin α1|sin α|=cos α-cos α+sin αsin α=-1+1=0.4.已知:f (α)=sin -α cos π+α cos π2-αcos π-α sin 2π+α tan π+α .导学号 25400741(1)化简f (α);(2)若角α的终边在第二象限,且sin α=35,求f (α).[答案] (1)f (x )=-cos α (2)45[解析] (1)f (α)=sin -α cos π+α cos π2-αcos π-α sin 2π+α tan π+α=-sin α -cos α sin α-cos αsin αtan α=-cos α.(2)由题意,知cos α=-1-sin 2α=-45,所以f (α)=-cos α=45.5.已知-π2<α<0,且函数f (α)=cos(3π2+α)-sin α²1+cos α1-cos α-1.导学号 25400742(1)化简f (α);(2)若f (α)=15,求sin α²c os α和sin α-cos α的值.[答案] (1)f (α)=sin α+cos α (2)-1225,-75[解析] (1)f (α)=sin α-sin α² 1+cos α 21-cos 2α-1=sin α+sin α²1+cos αsin α-1=sin α+cos α.(2)方法一:由f (α)=sin α+cos α=15,平方可得sin 2α+2sin α²cos α+cos 2α=125,即2sin α²cos α=-2425. ∴sin α²cos α=-1225.∵(sin α-cos α)2=1-2sin α²cos α=4925,又-π2<α<0,∴sin α<0,cos α>0,∴sin α-cos α<0,∴sin α-cos α=-75.方法二:联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α=15,sin 2α+cos 2α=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-35,cos α=45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α=45,cos α=-35.∵-π2<α<0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-35,cos α=45.∴sin α²cos α=-1225,sin α-cos α=-75.。
高考数学专题:三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时,ymax
1
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
[明考情—备考如何学] 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在 第 6~12 题或第 14、15 题位置上,命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质,主要考查图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三 角恒等变换交汇命题.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象 如图所示,则 f(2 019)的值为___-_1____.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
B.在π4,51π2上单调递减
C.1π2,0是 g(x)图象的一个对称中心
D.直线 x=-π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间-π4,23π上单调
(3)基本关系:
sin2x+cos2x=1,
tan
x=csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
13
[研考点考向·破重点难点]
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
2017年上海市高考数学试卷-含答案详解
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学副标题考试范围:xxx ;考试时间:100分钟;命题人:xxx注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题)一、单选题(本大题共4小题,共20.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为( )A. ∣∣∣0543∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣1523∣∣∣D. ∣∣∣6054∣∣∣2. 在数列{a n }中,a n =(−12)n ,n ∈N ∗,则lim n→∞a n ( ) A. 等于−12B. 等于0C. 等于12D. 不存在3. 已知a 、b 、c 为实常数,数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ,n ∈N ∗,则“存在k ∈N ∗,使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是( )A. a ≥0B. b ≤0C. c =0D. a −2b +c =04. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x 236+y 24=1和C 2:x 2+y 29=1,P 为C 1上的动点,Q 为C 2上的动点,w 是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值.记Ω={(P,Q)|P 在C 1上,Q 在C 2上,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w},则Ω中元素个数为( ) A. 2个 B. 4个 C. 8个D. 无穷个第II 卷(非选择题)二、填空题(本大题共12小题,共54.0分)……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 已知集合A ={1,2,3,4},集合B ={3,4,5},则A ∩B = .6. 若排列数P 6m=6×5×4,则m = ______ . 7. 不等式x−1x>1的解集为 .8. 已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于______ . 9. 已知复数z 满足z +3z =0,则|z|= . 10. 设双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)的焦点为F 1、F 2,P 为该双曲线上的一点,若|PF 1|=5,则|PF 2|= .11. 如图,以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3,2),则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是12. 定义在(0,+∞)上的函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x),若g(x)={3x −1,x ≤0f(x),x >0为奇函数,则f −1(x)=2的解为 . 13. 已知四个函数:①y =−x ,②y =−1x ,③y =x 3,④y =x 12,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .14. 已知数列{a n }和{b n },其中a n =n 2,n ∈N ∗,{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n ∈N ∗,{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项,则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= .15. 设α1,α2∈R ,且12+sinα1+12+sin2α2=2,则|10π−α1−α2|的最小值等于 . 16. 如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω={P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )=……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为______ .三、解答题(本大题共5小题,共76.0分。
2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x =>D .A B =∅【答案】A 【解析】试题分析:由31x <可得033x <,则0x <,即{|0}B x x =<,所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<,{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ,故选A.【考点】集合的运算,指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π4【答案】B 【解析】试题分析:设正方形边长为a ,则圆的半径为2a ,正方形的面积为2a ,圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=,选B.秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率p 满足1142p <<,故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量,最后计算()P A . 3.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数,分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断,共轭复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1B .2C .4D .8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{}n a 为等差数列,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+.5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]【答案】D 【解析】试题分析:因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减,要使1()1f x -≤≤成立,则x 满足11x -≤≤,从而由121x -≤-≤得13x ≤≤,即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3],选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题,要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题,若()f x 在R 上为单调递增的奇函数,且12()()0f x f x +>,则120x x +>,反之亦成立. 6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C 【解析】试题分析:因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+,则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=,621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=,故2x 的系数为151530+=,选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含2x 的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的r不同.7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B.12 C.14 D.16【答案】B【解析】试题分析:由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,则该几何体各面内只有两个相同的梯形,则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=,故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8.下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1 000和n=n+1 B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1 D.A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图,明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写,所以需要抓住循环的重点,偶数该如何增量,判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+2π3),则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析:因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ,故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+;另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.10.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题,要重点抓住抛物线定义,到定点的距离要想到转化到准线上,另外,直线与抛物线联立,求判别式,利用根与系数的关系是通法,需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示,设直线的倾斜角为α,则22||sin pAB α=,则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==,所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11.设x 、y 、z 为正数,且235x y z==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,,x y z ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110【答案】A 【解析】试题分析:由题意得,数列如下:11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭,要使(1)1002k k +>,有14k ≥,此时122k k ++<,所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和,设1212221t t k -+=+++=- ,所以2314t k =-≥,则5t ≥,此时52329k =-=, 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=,故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ,所以|2|1223+==a b . 秒杀解析:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时,常用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度.14.设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,,,则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析:不等式组表示的可行域如图所示,易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---,由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大,z 就越小,所以,当直线32z x y =-过点A 时,z 取得最小值, 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型,转化成斜截式比较截距,要注意z 前面的系数为负时,截距越大,z 值越小;②分式型,其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型,其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型,转化后其几何意义是点到直线的距离.15.已知双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析:如图所示,作AP MN ⊥,因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点,则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点,且(,0)A a ,||||AM AN b ==, 而AP MN ⊥,所以30PAN ∠= , 点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+,在Rt PAN △中,||cos ||PA PAN NA ∠=,代入计算得223a b =,即3a b =, 由222c a b =+得2c b =, 所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ;③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ,E ,F 为圆O上的点,△DBC ,△ECA ,△F AB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△F AB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析:如下图,连接DO 交BC 于点G ,设D ,E ,F 重合于S 点,正三角形的边长为x (x >0),则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-, 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-,x >0,则()3453203n x x x '=-, 令()0n x '=,即43403x x -=,得43x =,易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题,需要用到函数思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长. 【解析】试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=,再利用正弦定理将边化成角,从而得出sin sin B C 的值;(2)由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-,从而求出角A ,根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值,从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.(12分)如图,在四棱锥P−ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠= .(1)证明:平面P AB ⊥平面P AD ;(2)若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠= ,求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析:(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ,所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)在平面PAD 内作PF AD ⊥,垂足为F ,由(1)可知,AB ⊥平面PAD ,故AB PF ⊥,可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点,FA 的方向为x 轴正方向,||AB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由(1)及已知可得2(,0,0)2A ,2(0,0,)2P ,2(,1,0)2B ,2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ,(2,0,0)CB = ,22(,0,)22PA =- ,(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量,则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量,则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m , 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明,二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,160.997 40.959 2≈,0.0080.09≈.【解析】试题解析:(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.(2)(i )如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii )由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为ˆ9.97μ=,σ的估计值为ˆ0.212σ=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=,因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈, 因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布,随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的3σ原则. 20.(12分)已知椭圆C :2222=1x y a b +(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 【解析】试题分析:(1)根据3P ,4P 两点关于y 轴对称,由椭圆的对称性可知C 经过3P ,4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C 的方程;(2)先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,再设直线l 的方程,当l 与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l :y kx m =+(1m ≠),将y kx m =+代入2214x y +=,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x 1+x 2,x 1x 2,进而表示出12k k +,根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系,从而判断出直线恒过定点.试题解析:(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(t ,242t -),(t ,242t --).则22124242122t t k k t t---++=-=-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2841kmk -+,x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时,0∆>,于是l :12m y x m +=-+,即11(2)2m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1-).【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简. 21.(12分)已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【解析】试题分析:(1)讨论()f x 单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对a 按0a ≤,0a >进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)问,若0a ≤,()f x 至多有一个零点.若0a >,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+,根据1a =,(1,)a ∈+∞,(0,1)a ∈进行讨论,可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点;设正整数0n 满足03ln(1)n a>-,则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+, (ⅰ)若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. (ⅱ)若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<;当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增.(2)(ⅰ)若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点.(ⅱ)若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点; ②当(1,)a ∈+∞时,由于11ln 0a a-+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点; ③当(0,1)a ∈时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-,则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断y a =与其交点的个数,从而求出a 的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若()f x 有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数). (1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 【解析】试题分析:(1)先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程,然后联立两方程即可求出交点坐标;(2)由直线l 的普通方程为440x y a +--=,设C 上的点为(3cos ,sin )θθ,易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论,即当4a ≥-和4a <-时,求出a 的值.试题解析:(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时,d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=,所以8a =; 当4a <-时,d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=,所以16a =-. 综上,8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决. 23.[选修4−5:不等式选讲](10分)已知函数2–4()x ax f x =++,11()x x g x =++-||||.(1)当a =1时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【解析】试题分析:(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出不等式的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,从而得11a -≤≤.试题解析:(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.。
解三角形高考真题
解三角形高考真题7.(15)(2017北京高考题)在△ABC中,已知A=60°,c=a=7.Ⅰ)求sinC的值;Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积。
解:(Ⅰ)由正弦定理得sinC=sin(180°-60°-60°)=sin60°=√3/2.Ⅱ)由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得b²=8²-3²=55,因此b=√55.所以△ABC的面积S=1/2*bc*sinA=1/2*8*3*√3/2=12√3.17.(2017全国卷1理科)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为a²*√3/4.1)求sinBsinC;2)若6cosBcosC=1,a=3,求△XXX的周长。
解:(1)由正弦定理得XXX=c/a,所以XXX=(b²+c²-a²)/2bc。
又由面积公式得a²*√3/4=1/2*bc*sinA,即bc=2a/√3*sinA。
因此sinBsinC=(b²+c²-a²)/4a/√3*sinA=(2bc-a²)/4a/√3*sinA=√3/4*cosA。
又因为A+B+C=π,所以cosA=-cos(B+C)=cos(B-C),所以sinBsinC=√3/4*cos(B-C)。
2)由(1)得cos(B+C)=-sinBsinC/√3=-2/3.又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得b²+c²=9+4a²/√3.因此,b+c=√(b²+c²+2bc)=√(9+4a²/√3+4bc)=√(9+4a²/√3+8a/√3*sinA)=3 +2a/√3*cosA=3-4/√3.所以△ABC的周长=a+b+c=3+(3-4/√3)=6-4/√3.11.(2017全国卷1文科)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
2017年全国统一高考数学试卷及参考答案(理科)(全国新课标III)
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标III)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.02.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.23.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数为()A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.805.(5分)已知双曲线C:﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为﹣2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递减7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.28.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.9.(5分)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.810.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()A.﹣B.C.D.112.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3 B.2C.D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则( )A .{|0}AB x x =< B .A B =RC .{|1}A B x x =>D .A B =∅2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A .14B .π8C .12D .π43.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为( ) A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为( )A .1B .2C .4D .85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A .15B .20C .30D .357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A .10B .12C .14D .168.右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ) A .A >1 000和n =n +1 B .A >1 000和n =n +2 C .A ≤1 000和n =n +1D .A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 210.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( ) A .16B .14C .12D .1011.设x ,y ,z 为正数,且235x y z ==,则( )A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。
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2017高考真题解三角形汇编
1.(2017高考题)(本小题13分)
在△ABC 中,A ∠ =60°,c =37
a . (Ⅰ)求sin C 的值;
(Ⅱ)若a =7,求△ABC 的面积. (15)(共13分)
解:(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =,
所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a =
==
. (Ⅱ)因为7a =,所以3
737
c =⨯=.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221
73232
b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-(舍).
所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=2.(2017全国卷1理科)△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为2
3sin a A
(1)求sin B sin C ;
(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.
17.解:(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a
c B A
=.
由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A
C B A =
. 故2
sin sin 3
B C =.
(2)由题设及(1)得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-,即1cos()2
B C +=-. 所以2π3B C +=
,故π3
A =. 由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=,即8bc =.
由余弦定理得22
9b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=.
故ABC △的周长为3
3.(2017全国卷1文科)△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知
sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c
C =B
A .
π12
B .
π6
C .
π4
D .
π3
4.(2016全国卷2理科)ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
2
sin()8sin 2
B A
C +=. (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b (1)由题设及2
sin 8sin
2
A B C B π
π++==得,故
sin 4-cosB B =(1)
上式两边平方,整理得 2
17cos B-32cosB+15=0 解得 15
cosB=cosB 17
1(舍去),= (2)由158cosB sin B 1717==
得,故14a sin 217
ABC S c B ac ∆== 又17
=22
ABC S ac ∆=,则
由余弦定理学 科&网及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=(+c )
所以b=2.
5.(2017全国卷2文科16)△ABC 的角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=
3
π
6.(2017全国卷3理科)△ABC 的角A ,B ,C 的(百度搜索“童老师高中数学”,快速提分课程)对边分别为a ,b ,c ,已知sin A
A =0,a
,b =2.
(1)求c ;
(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积. 17.解:
(1)由已知得
tanA=π
2A=3
在 △ABC 中,由余弦定理得
2222844cos
+2-24=0
3
c 6c c c c c π
=+-=-,即解得(舍去),=4 (2)有题设可得π
π
∠∠=∠-∠=
=
,所以2
6
CAD BAD BAC CAD
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π
=1sin 261
1
2
AB AD AC AD 又△ABC
的面积为
⨯⨯∠=∆1
42sin 2
BAC ABD 7.(2017全国卷3文科)△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 。
已知C =60°,b
,
c =3,则A =_________。
75°
8.(2017高考题理科)在C ∆AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若C ∆AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ,则下列等式成立的是( )A
(A )2a b = (B )2b a = (C )2A =B (D )2B =A
9.(2017高考题文科)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .
10.(2017高考题理科)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,
5,6a c ==,3sin 5
B =
. (Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求π
sin(2)4
A +
的值. 15.(Ⅰ)解:在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =
,可得4
cos 5
B =.由已知及余弦
定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=
,所以b =.
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
,
得sin sin a B A b ==. 所以,b
sin A
的值为
13
. 11.(2017高考题文科)在ABC △中,角,,A B C 所对的边(百度搜索“童老师高中数学”,
快速提分课程)分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =
,222
)ac a b c =--.
(I )求cos A 的值; (II )求sin(2)B A -的值.
(15)(Ⅰ)解:由sin 4sin a A b B =,及
sin sin a b
A B
=
,得2a b =.
由222
)ac a b c =--
,及余弦定理,得222
5cos 2b c a
A bc
ac +-=
=
=(Ⅱ)解:由(Ⅰ),
可得sin 5A =
,代入sin 4sin a A b B =,
得sin sin 45
a A B
b ==.
由(Ⅰ)知,A
为钝角,所以cos 5B ==
.于是4
sin 22sin cos 5
B B B ==, 23
cos 212sin 5
B B =-=,故
43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555
B A B A B A -=-=⨯--⨯=-.
12.(2017高考题)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD=2,
连结CD ,则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC
=__________.
13.在锐角ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若3
2
2sin =
A ,3=a ,22=∆ABC S ,则=b 2或3。