高考一轮复习解三角形最新高考真题
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
新高考一轮复习特训 三角恒等变换 (含答案)高中数学 高考专区 一轮复习
2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2713131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21913131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．3．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 555αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a = B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。
解三角形图形类问题(十大题型)(原卷版)-2025数学一轮复习(含2024年高考真题+回归教材)
重难点突破02解三角形图形类问题目录01方法技巧与总结 (2)02题型归纳与总结 (2)题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） (2)题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 (4)题型三：张角定理与等面积法 (5)题型四：角平分线问题 (6)题型五：中线问题 (7)题型六：高问题 (9)题型七：重心性质及其应用 (10)题型八：外心及外接圆问题 (12)题型九：两边夹问题 (13)题型十：内心及内切圆问题 (14)03过关测试 (15)解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）【典例1-1】（2024·河南·三模）已知P 是ABC 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ∠∠∠θ====.(1)若π,24BC θ=，求AC ；(2)若π3θ=，求tan BAP ∠.【典例1-2】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠平分线，::2:c AD b =(1)求A ∠；(2)AD 上有点,90M BMC ∠= ，求tan ABM ∠.【变式1-1】如图，在平面四边形ABCD 中，90ACB ADC ∠=∠=︒，AC =30BAC ∠=︒．(1)若CD =BD ；(2)若30CBD ∠=︒，求tan BDC ∠．【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-.(1)求A ；(2)若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos 3B =，求tan BAD ∠.【变式1-3】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )A c B b C a +=.(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．题型二：两角使用余弦定理建立等量关系【典例2-1】如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠；(2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．【典例2-2】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD ==(1)求证：sin C A =；(2)若2C A =，2AB CD =，求梯形ABCD 的面积．【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2232cos 235cos22C C π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求角C ；(2)若点D 在AB 上，2BD AD =，BD CD =，求AC BC的值.【变式2-2】平面四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，πABC ADC ∠+∠=，π3BCD ∠=．(1)求BD ；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围；(3)若E 为边BD 上一点，且满足CE BE =，2BCE CDE S S =△△，求BCD △的面积．题型三：张角定理与等面积法【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a c C a b --=+，(1)求角B 的大小；(2)若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且BD 为B ∠的平分线，求ABC 的面积．【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4b =，2cos sin cos tan b B A A c C=+.(1)求角B 的大小;(2)已知直线BD 为ABC ∠的平分线，且与AC 交于点D ，若3BD =，求ABC 的周长.【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a B C b c A C-=+-．(1)求B ；(2)若bB 的平分线交AC 于点D ，1BD =，求ABC 的面积．【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC 中，4AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.（1）若3π4ADC ∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD sin sin BAD CAD ∠∠的值.题型四：角平分线问题【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且6,60a A =∠=︒．(1)若AD 为BC 边上的高线，求AD 的最大值；(2)已知AM 为BC 上的中线，BAC ∠的平分线AN 交BC 于点N ，且sin tan 2cos A B A=-，求△AMN 的面积．【典例4-2】如图所示，在ABC 中，3AB AC =，AD 平分BAC ∠，且AD kAC =.(1)若2DC =，求BC 的长度；(2)求k 的取值范围；(3)若1ABC S =△，求k 为何值时，BC 最短.【变式4-1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2π3A =，22cos c b ac C -=.(1)求tan C ；(2)作角A 的平分线，交边BC 于点D ，若AD =AC 的长度；(3)在（2）的条件下，求ABC 的面积.【变式4-2】已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=(1)求角A 的大小；(2)若3,a BA AC A ∠=⋅=-的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.题型五：中线问题【典例5-1】如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM ∠的正弦值；(2)当点N 为AC 中点时，求MPN ∠的余弦值．(3)当NA NB ⋅ 取得最小值时，设BP BN λ= ，求λ的值．【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠=(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius ）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC 中BC 边上的中线，则222222BC AB AC AD ⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(1)若在ABC 中，5AB =，3AC =，π3BAC ∠=，求此三角形BC 边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图ABC 中，若AB AC >，D 为BC 中点，3BD DC ==，()sin 3sin 3sin a A b B b A C +=-，2ABC S =△，求cos DAC ∠的值.【变式5-2】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30B ︒=.(1)已知b =cos cos 2b A a B +=（i ）求C ；（ii ）若a b <，D 为AB 边上的中点，求CD 的长.(2)若ABC 为锐角三角形，求证：3a c <【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =⋅- ，其中S 为ABC 的面积.(1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ⊥，求AD 的长.题型六：高问题【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3C =且7a b +=，ABC (1)求ABC 的面积；(2)求ABC 边AB 上的高h .【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos B b A B b ++=.(1)求角C 的大小；(2)若8a =，ABC 的面积为AB 边上的高.【变式6-1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c ==.(1)若4sin 7C =，求角A 的大小；(2)若5b =，求AC 边上的高.【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin tan 22a C A c =．(1)求C ；(2)若8,5,ab CH ==是边AB 上的高，且CH mCA nCB =+ ，求m n ．题型七：重心性质及其应用【典例7-1】（2024·四川内江·一模）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B C b a B +=．(1)求角A 的大小；(2)M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =ABC 的面积．【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD 的重心为C ，△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .且2cos 22A b c c+=(1)求∠ACB 的大小；(2)若π6CAB ∠=，求sin CDA ∠的大小.【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是ABC的重心，且0AG BG ⋅= ．(1)若π6GAB ∠=，①直接写出AG CG=______；②设CAG α∠=，求tan α的值(2)求cos ACB ∠的取值范围．【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）ABC 的角,,A B C 对应边是a ，b ，c ，三角形的重心是O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求a 的长.(2)求ABC 的面积.题型八：外心及外接圆问题【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,2,1a b c a b c ===.(1)求角A 的余弦值；(2)设点O 为ABC 的外心（外接圆的圆心），求,AO AB AO AC ⋅⋅ 的值.【典例8-2】已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a b c a c b a B =-=．(1)求A ；(2)M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D ，且2MD =，求ABC 的面积．【变式8-1】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,20,a b c c b AB AC ABC >⋅= 的面积为(1)求A ∠；(2)设O 点为ABC 外心，且满足496OB OC ⋅=- ，求a .【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，点,M N 分别在线段,AB AC 上，且O 恰为MN 的中点．(1)若1BC OA ==，求ABC 面积的最大值；(2)证明：AM MB AN NC ⋅=⋅．【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c =(1cos )sin b C B +=.(1)求角C 的大小和边b 的取值范围；(2)如图，若O 是ABC 的外心，求OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值.题型九：两边夹问题【典例9-1】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos sin 0sin cos A A B B +-=+，则a b c +的值是（）A ．2BC D ．1【典例9-2】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+，则a b c+的值是（）.A ．1B CD ．2【变式9-1】在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A =_________________【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若22252cos 3cos 2sin sin sin sin --=+B C A B C A ，则tan A =_____．【变式9-3】在ABC ∆中，已知边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a =，2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则ABC ∆的面积S =______.【变式9-4】在ABC 中，若(cos sin )(cos sin )2A A B B ++=，则角C =__．题型十：内心及内切圆问题【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2a B b c +=，5a =．(1)求ABC 的周长的取值范围；(2)若ABC 的内切圆半径6r =，求ABC 的面积S .【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos c A a C a b -=+．(1)求角C ；(2)若5,c ABC = 的内切圆半径4r =，求ABC 的面积．【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin cos c A C -=．(1)求角A 的大小；(2)若7a =，ABC 外接圆的半径为R ，内切圆半径为r ，求R r的最小值．【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A B A B ⋅⋅=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC 内切圆半径取值范围．【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且sin sin sin A B b c C b a+-=-．(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围．【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆半径为222sin sin sin sin sin B C B C A +-=.(1)求a ;(2)求ABC 的内切圆半径r 的取值范围1．如图所示，在ABC 中，设,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知3b c a +=，()4b c a =-．(1)求角C ；(2)若7c =，过B 作AC 的垂线并延长到点D ，使,,,A B C D 四点共圆，AC 与BD 交于点E ，求四边形ABCD 的面积．2．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠= ．(1)若3AC =，求ACD 周长的最大值；(2)若2CD AB =，45BCD ∠= ，求tan DAC ∠的值．3．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，已知sin()sin sin BAC B B C ∠-∠=+．(1)求BAC ∠．(2)若2AC AB =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，求cos ADB ∠．4．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin 2B C a B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若2AD b ==，求c的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数()π2π1sin sin 332f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A 为△ABC 的内角，且()0f A =．(1)求角A 的大小；(2)如图，若角A 为锐角，3AB =，且△ABC 的面积S E 、F 为边AB 上的三等分点，点D 为边AC 的中点，连接DF 和EC 交于点M ，求线段AM 的长．6．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．(1)求角A ．(2)若ABC 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．7．（2024·四川成都·三模）在ABC 中，15,6,cos 8BC AC B ===．(1)求AB 的长；(2)求AC 边上的高．8．（2024·江苏南通·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．(1)求A ；(2)若ABCBC 边上的高为1，求ABC 的周长．9．（2024·高三·河南·开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()()10sin sin sin sin 2sin 2sin 3a b c A B C a B c A b c C ++++=+++．(1)求cos C ；(2)若AB 边上的高为2,c =,a b ．10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()cos 2cos b A a B =-.(1)求c a；(2)若2π3B =，且AC ABC 的周长.11．在ABC 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边．设BC 边上的高为h ，且2a h =．(1)把b cc b +表示为sin cos x A y A +（x ，R y ∈）的形式，并判断b c c b+能否等于(2)已知B ，C 均不是直角，设G 是ABC 的重心，BG CG ⊥，c b >，求tan B 的值．12．（2024·江苏苏州·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a b C B c A B+-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC 的重心，且AM =ABC 的面积．13．（2024·河南开封·模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知sin cos cos ,B a C c A b G -==为ABC 的重心．(1)若2a =，求c 的长；(2)若AG =ABC 的面积．14．（2024·辽宁抚顺·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC的重心，且AM =ABC 的面积．15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.16．（2024·湖北·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，,M N 为线段,AB AC 上的两点，且O 恰为MN 中点.(1)证明：||||||||AM MB AN NC ⋅=⋅(2)若||AO ||1OM =，求AMN ABCS S V V 的最大值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos 5c a B b =+.(1)求cos A 的值；(2)当BC 与BC 边上的中线长均为2时，求ABC 的周长；(3)当ABC 内切圆半径为1时，求ABC 面积的最小值.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos b c a C C +=+.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 内切圆周长的最大值.19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知ABC 的周长为20，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (1)若π4C =，7c =，求ABC 的面积；(2)若ABC 7a =，求tan A 的值．20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23A π=，10b =，6c =，ABC 的内切圆I 的面积为S .(1)求S 的值；(2)若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，求BD BC ⋅ 的值.21．（2024·贵州·模拟预测）在ABC 中，AB =2AC =，π6C ∠=，N 为AB 的中点，A ∠的角平分线AM 交CN 于点O .(1)求CN 的长；(2)求AOC 的面积.22．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，ccos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．23．（2024·甘肃陇南·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知cos cos 3c A a C +=.(1)求b ；(2)D 为边AC 上一点，π26AD DC,DBC ,AB BD =∠=⊥，求BD 的长度和ADB ∠的大小.24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB CD ==tan2A =，1cos 3ADB ∠=．(1)求cos BDC(2)求BC的长．。
高考一轮复习解三角形最新高考真题
解三角形1. (2016新课标全国I, 4)△ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = ,5, c = 2, cos A = 3，贝V b =( )A. ,2B. ,3C.2D.32. (2016 山东，8)A ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 b = c , a = 2b (1 — sinA),贝U A =( )3 n nn nA.B. C ： D.2 43462 2 23. （2016湖南四校联考）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若（a + b — c ）tan C = ab,则角 C 为（）n ［、. 5 nA ・6或石4. （2016河南三市调研）A ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为nC = n ，则A ABC 的面积为（ ）A.3B.9^C 弩D.3 ,35. （2016济南一中检测）在 △ABC 中，内角A , B , C 对边的边长分别为a , b , c , A 为锐角，1Ig b + lg （-） = lg sin A =— Ig 2,则 A ABC 为（）cA.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2 2 2 26. （2015山东省实验中学三诊 ）在A ABC 中，若（a + b ） sin （A — B ） = （a — b ）sin C ,则A ABC 是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7. （2015湖南十二校联考）在MBC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,a2— b 2 若 tan A = 7tan B , = 3,贝U c =（）cA.4B.3C.7D.6& （2018陕西宝鸡一模）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若sin （A + B ） 1=3, a = 3, c = 4，贝U si nA =( )2 13 1 ATB.1C.4%9. （2018铜川一模）在厶ABC 中，内角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,已知a = 2, c = 2 2, 且C =；则^ ABC 的面积为（）A. ,3 + 1B. 3 — 1C .4D.210.在△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , 6若厶ABC 的面积为 S ,且2S = （a+ b)2— c 2, 则tan C 等于（ )3443a ,b ,c ,若 c 2= (a — b)2+ 6,7tAG B.4C. —3D. —4411. (2016新课标全国n, 15)A ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c,若cos A= ? cos5C= 13，a = 1，贝V b = ______ .2冗 b12. （2016 北京，13）在△ABC中，/ A=石，a=£c,则-=______________ .3 C1 13. （2015重庆，13）设A ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a = 2, cos C=- 4,3sin A= 2sin B,贝V c= _________ .14. （2015 安徽，12）在A ABC 中，AB = ^6,Z A= 75 ° / B= 45 ° 贝U AC= _________ .n15. （2014湖北，13）在A ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知A= g, a= 1,b=萌，贝y B = _________ .16. （2014 福建，14）在A ABC 中，A = 60° AC = 2, BC = J3,贝U AB 等于__________ .17. （2016浙江，16）在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知b + c= 2acos B.2（1）证明：A = 2B; （2）若cos B = 3,求cos C 的值.18. （2015天津，16）在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,b, c.已知A ABC的面积1为3屮5, b —c= 2, cos A =- 4.(1)求a和sin C的值;n⑵求cos（2A ）的值.19.(2015浙江)在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为na, b, c.已知tan（A）= 2.4,、sin 2A（1）求 sin 2A + coV A 的值;n⑵若B = 4, a= 3，求A ABC的面积.20. ( 2018 •天津卷15)在△ ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知bsin A = acos(B )6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b 和sin(2A - B)的值.21.(2014重庆，18)在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a+ b + c= 8. 5(1)若a = 2, b= ，求cos C 的值；⑵若sin Acos2B + sin Bcos2A = 2sin C, 且A ABC 的面积S= 9sin C，求a 和b 的值.22.(2017 山东)设函数f(x) = sinC x -n) sin(-n)，其中0< «< 3，已知f(n) = 0.6 2 6(1) 求3；(2) 将函数y= f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数y=g(x)的图象，试讨论g(x)在［-n型上的单调区间及最值.23. (2018江西南昌三校联考)已知A , B , C是厶ABC的内角，a, b, c分别是其对边长, 向量m = ( ,3, cosA + 1), n= (sinA , —1), m丄n.(1)求角A的大小；⑵若a= 2, cosB = ^3，求b的值.24. (2018 •西新余一中调研)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a, b, c,且btanA , ctanB, btanB成等差数列.(提示：等差中项)(1)求角A ;⑵若a= 2,试判断当bc取最大值时△ ABC的形状，并说明理由.n 125. (2018河北廊坊模拟)已知函数f(x) = 2cosx cos(x ) —2.3 2(1)求f(x)的最小正周期；⑵在△ ABC中，角A , B , C所对的边分别为a, b, c,若f(C)=舟,c= 2 3,且厶ABC的面积为2_3，求△ ABC的周长.26. (2017全国卷1理科)△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知△ ABC的面2积为一3sin A(1 )求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1, a=3，求△ ABC 的周长.tan- =4 , cos(:亠■ ) 527. (2018 •江苏卷16)已知a P为锐角,3 5(1) 求cos2用的值; (2 )求tan的值.。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题含答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】由条件可得13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确.选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.3．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.4．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确.【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭， 最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.5．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.6．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a < 【答案】AC【分析】 由不等关系式，构造11()212x f x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可.【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212x x x f x --=-=-++， ∴12()()102121x x x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数， ∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误； 当{}n a 为等比数列，201820202a a q =，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.10．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB【分析】 化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案.【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误. 故选：AB .【点睛】 本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.。
2025年高考数学一轮复习-2.3三角函数与解三角形-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-2.3三角函数与解三角形-专项训练一、基本技能练1.已知sinα＋2cosα＝0，则sin2α＝()A.－45B.－35C.－34D.2 32.计算2cos10°－sin20°cos20°所得的结果为()A.1B.2C.3D.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3b，A－B＝π2，则角C＝()A.π12B.π6C.π4D.π34.若3sin2α－2sin2α＝0，且sinα≠0，则cos α()A.－7210B.－22C.－210D.2 25.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79m到达点E，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为()A.65mB.74mC.83mD.92m6.(多选)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，b ＝2，c ＝3＋1，则下列说法正确的是()A.C ＝75°或C ＝105°B.B ＝45°C.a ＝6D.该三角形的面积为3＋127.已知＝33，则2________.8.若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________.9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B＝3sin C ，△ABC 的面积为3154a ＝________.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ，sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，若c ＝3，则a ＋b 的值为________.11.在△ABC 中，sin 2C ＝3sin C .(1)求∠C ；(2)若b ＝6，且△ABC 的面积为63，求△ABC 的周长.12.如图，在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD ＝7，cos ∠ABD ＝22.(1)求AB 的长；(2)若∠BAD ＋∠BCD ＝180°，BC ＝1，求四边形ABCD 的面积.二、创新拓展练13.(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是()A.若A >B ，则sin A >sin BB.存在△ABC 满足cos A ＋cos B ≤0C.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D.在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形14.(多选)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4a sin 2A ＋B 2＝0，则下列结论正确的是()A.角C 一定为锐角B.a 2＋2b 2－c 2＝0C.3tan A ＋tan C ＝0D.tan B 的最小值为3315.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，∠PBA ＝∠QAB ＝60°，AQ ＝QP ＝PB ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB ＝________.16.在①a sin(A ＋C )＝b 1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )；③2tan B tan A ＋tan B ＝bc这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＋c ＝23，a ＝6，________，(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析∵sin α＋2cos α＝0，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－2）4＋1＝－45，故选A.2.答案C解析2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3.答案B解析因为在△ABC 中，A －B ＝π2所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－π6＝π6，故选B.4.答案A解析由题意可得32sin 2α－sin 2α＝0，所以3sin αcos α－sin 2α＝0，即sin α(3cos α－sin α)＝0，又sin α≠0，所以tan α＝3，所以α＝22(cos 2α－sin 2α)＝－7210.5.答案B解析设AC ＝x (x >0)，则由已知可得AB ＝3x ，BE ＝BC ＝2x ，BD ＝ABtan ∠ADB＝33x ，所以DE ＝BD －BE ＝33x －2x ＝79，解得x ＝7933－2≈24.7，所以楼高AB ≈3×24.7＝74.1≈74(m).6.答案BC解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝4＋4＋23－2×2×(3＋1)×12＝6，所以a ＝ 6.由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝2×326＝22，由于0°<B <120°，所以B ＝45°.所以C ＝180°－B －A ＝75°.△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7.答案－1解析2＝－cos π2＝－2cos＝2sin 1＝2×13－1＝－13.8.答案3101045解析因为α＋β＝π2，所以β＝π－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝φ＋2k cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.9.答案4解析∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知2b ＝3c ，∵b －c ＝14a ，可得c ＝12a ，b ＝34a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－14，sin A ＝1－cos 2A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×34a ×12a ×154＝3154，解得a ＝4.10.答案32解析因为c 2＝a 2＋b 2－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π),所以C ＝π3.由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2R ＝332＝23，又sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，所以23sin A ＋23sin B ＝2×23sin A ×23sin B ，即a ＋b ＝2ab .因为c ＝3，所以由余弦定理得9＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝(a ＋b )2－322(a ＋b )，解得a ＋b ＝32或a ＋b ＝－322(舍去).11.解(1)因为sin 2C ＝3sin C ，所以2sin C cos C ＝3sin C .因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以cos C ＝32，C ＝π6.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×6×12＝63，所以a ＝4 3.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝48＋36－72＝12，所以c ＝23，所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝43＋6＋23＝6(3＋1).12.解(1)在△ABD 中，由cos ∠ABD ＝22，得∠ABD ＝45°.又∠BAD ＝60°，所以∠ADB ＝75°，所以sin ∠ADB ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2＋64，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，得AB ＝BD sin ∠ADB sin ∠BAD＝42＋3146.(2)由∠BAD ＋∠BCD ＝180°，可知∠BCD ＝120°，设CD ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，则7＝1＋x 2－2x ·cos 120°，化简，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍).所以S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝12×1×2×32＝32，S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD＝12×42＋3146×7×22＝73＋2112.所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝73＋2112＋32＝133＋2112.二、创新拓展练13.答案AD解析对于A ，若A >B ，则a >b ，则2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，故A 正确.对于B ，由A ＋B <π，得A <π－B ，于是cos A >－cos B ，即cos A ＋cos B >0，故B 错误.对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得：sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；对于D ，由于B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得：b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故D 正确.故选AD.14.答案BC解析∵b －2a ＋4a sin 2A ＋B2＝0，∴b －2a ＋4a sin 0，∴b －2a ＋4a cos 2C2＝0，∴b －2a ＋4a ·1＋cos C2＝0，∴b ＋2a cos C ＝0，∴cos C <0，∴角C 一定为钝角，A 错误；b ＋2a cos C ＝0⇒b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0⇒a 2＋2b 2－c 2＝0，B 正确；b ＋2a cos C ＝0⇒sin B ＋2sin A cos C ＝0⇒3sin A cos C ＋cos A sin C ＝0⇒3tan A ＋tan C ＝0，C 正确；tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－2tan A －3tan 2A －1＝23tan A ＋1tan A ≤33，经检验“＝”取得到，D 错误，综上选BC.15.答案π2解析由题意可知，四边形ABPQ 为等腰梯形.如图，连接OP ，过点O 作OM ⊥QP ，垂足为点M ，交AB 于点C ，则OC ⊥AB ，OM 平分∠AOB ，M 为线段PQ 的中点.设∠AOC ＝θ，则AB ＝20sin θ，OC ＝10cos θ，设AQ ＝QP ＝BP ＝x ，过点Q 作QE ⊥AB ，垂足为点E ，过点P 作PF ⊥AB ，垂足为点F ，因为∠PBA ＝∠QAB ＝60°，所以AE ＝BF ＝12x ，CM ＝PF ＝32x ，EF ＝QP ＝x ，所以AB ＝2x ，所以AB ＝20sin θ＝2x ，即x ＝10sin θ，所以OM ＝OC ＋CM ＝10cos θ＋32x ＝10cos θ＋53sin θ，所以OP 2＝OM 2＋MP 2＝(10cos θ＋53sin θ)2＋(5sin θ)2＝100cos 2θ＋75sin 2θ＋1003sin θcos θ＋25sin 2θ＝100＋503sin 2θ，因为sin 2θ∈[－1，1]，所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，OP 2最大，也就是OP 最长，此时∠AOB ＝π2.16.解(1)选①，由正弦定理得sin A sin B＝sin B因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin A＝化简得sin A＝32cos A＋12sin A，所以0，因为0<A<π，所以A＝π3.选②，因为1＋2cos C cos B＝cos(C－B)－cos(C＋B)，所以1－cos(C－B)＋cos(C＋B)＋2cos C cos B＝1＋2cos(C＋B)＝1－2cos A＝0，所以cos A＝12，因为0<A<π，所以A＝π3.选③，因为2tan Btan A＋tan B＝bc，由正弦定理，得2tan Btan A＋tan B＝sin Bsin C，而2×sin Bcos Bsin Acos A＋sin Bcos B＝2sin Bcos Bsin A cos B＋sin B cos Acos A cos B＝2sin Bcos Bsin Ccos A cos B＝2sin B cos Asin C＝sin Bsin C，因为sin B≠0，sin C≠0，所以cos A＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2－2bc cosπ3＝(b＋c)2－3bc，a＝6，b＋c＝23，所以bc＝2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×2·sinπ3＝32.。
新高考一轮复习特训-三角函数-(含答案)高中数学-高考专区-一轮复习
2025届新高考一轮复习特训 三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析： 函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。
高考数学一轮复习数学三角函数与解三角形多选题试题及答案
高考数学一轮复习数学三角函数与解三角形多选题试题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确；C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．3．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x < C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；4．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点.【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.6．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，2cos()10αβ+=-，则（ ） A ．10cos α=B ．5sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin βααβαβ-=+=，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC 【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ； 对于A，tan tan 6πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n a 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可.【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+；当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+， 所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC .【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.10．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ） A ．(1)1()2n nF n -+= B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n n F n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎫⎥=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列，所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=+， 令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b ++，所以1n n b b +=-， 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭所以1n n b -+，所以()1115n n n n F n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件；故选：BC【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．。
全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析
第四章 三角函数、解三角形第四讲 正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答 案第四讲 正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形 已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形 因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 必刷小题8 解三角形
设△ABC的外接圆半径为R，因为O是△ABC的外心，故可得|AO|＝R， 且A→B·A→O＝12|A→B|2＝12c2，A→C·A→O＝12|A→C|2＝12b2， 故||AACB||A→B·A→O＋||AACB||A→C·A→O＝2mA→O2， 即12|AB|·|AC|＋12|AB|·|AC|＝2mR2， 也即 bc＝2mR2，则 m＝2bRc2，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以 bc＝b＋c，即1b＋1c＝1， 所以 b＋c＝(b＋c)1b＋1c＝2＋bc＋bc≥2＋2 当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 所以b＋c的最小值为4，故D正确.
bc×bc＝4，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.40 m
√B.63 m C. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°， 设塔高CD为t，因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB， 所以 AC＝t，BC＝ 3t， 又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， 即 632＝t2＋3t2－2× 3t×t× 23， 解得t＝63 m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
又 2sin B＋sin C＝ 3， 2b＋c2
由正弦定理可得 2b＋c＝2 3R，则 R2＝ 12 ， 故 m＝4b2＋6cb2c＋4bc＝4cb＋6bc＋4≤2 4c6b·bc＋4＝34， 当且仅当4cb＝bc，即 c＝2b 时，m 取得最大值34， 故结合选项知 m 可取的值为34或35.
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2025年高考数学一轮复习-三角函数、解三角形(基础巩固卷)【含答案】
三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
第04讲 解三角形(八大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
sin
cos
（2）由题意可知cos =
= sinsin，所以sin( − )sin = sinsincos，
即sincossin − cossinsin = sinsincos，
2 + 2 −2
2
− ⋅
2 + 2 −2
【解析】 − cos < 0，
在三角形中sin > 0，
所以由正弦定理可得2sin − 2sincos < 0
所以cos < 0，
所以sin − sincos < 0，
所以为钝角，
所以sin( + ) − sincos < 0，
所以sincos + cossin − sincos < 0，
∴△ 为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
）
题型三：判断三角形的形状
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）在△ 中，角，，的对边分别为，，，且 − cos < 0，则△
形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
所以sincos < 0，
2024
高考一轮复习讲练测
第04讲 解三角形
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
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（1）掌握正弦定理、余弦定
理及其变形．
2025高考数学一轮复习-22.2-解三角形及其应用举例-专项训练【含解析】
22.2-解三角形及其应用举例-专项训练【原卷版】1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西50°，灯塔B在观察站C北偏东70°，则两灯塔A，B间的距离为() A．7B．8C．34－153D．34＋1532．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形3．(2024·武钢期中)在锐角△ABC中，若C＝2B，则cb的范围为()A．(2，3)B．(3，2)C．(0,2)D．(2，2)4．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为()A．12小时B．23小时C．34小时D．1小时5．如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7，∠ABC＝120°，sin∠BAC＝5314且BD为∠ABC的平分线，则BD＝()A．6B．9C．72D．86．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离126n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离83n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24n mileB．灯塔C与D处之间的距离是16n mileC．灯塔C在D处的西偏南60°D ．D 在灯塔B 的北偏西30°7．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区的时间为________小时．8．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．9．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得AM ＝3千米，AN ＝3千米．(1)求线段MN 的长度；(2)若∠MPN ＝60°，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．10．如图，某侦察飞机沿水平直线AC 匀速飞行，在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP ＝30°，飞行3分钟后到达B 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠ABP ＝60°，又飞行一段时间后到达C 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠BCP 的余弦值为41919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为()A ．2分钟B ．2．25分钟C ．2．5分钟D ．2．75分钟11．(多选)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝32b ，且∠CAB ＝π3．点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝3，下列说法中，正确的命题是()A ．△ABC 的内角B ＝π3B ．△ABC 的内角C ＝π3C ．四边形ABCD 的面积最大值为532＋3D ．四边形ABCD 的面积无最大值．12．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a ，b ，c 直接求出三角形的面积．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c )．我国南宋著名数学家秦九韶(约1202～1261)在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S ＝14(c 2a 2－□2)，这个公式中的□＝________．13．第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明区举办，以“蝶恋花”为设计理念的世纪馆，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板厚度只有250毫米．图①为建成后的世纪馆；图②是建设中的世纪馆；图③是场馆的简化图．如图③是由两个相同的半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AA ′∥PP ′∥OO ′∥BB ′，其中AA ′＝280米，圆心距OO ′＝160米，半圆的半径R ＝75米，椭圆中心P 与圆心O 的距离PO ＝40米，C ，C ′为直线PP ′与半圆的交点，∠COB ＝60°．(1)设α＝∠A ′AB ，计算sin α的值；(2)计算∠COP 的大小(精确到1°)．附：sin 36．87°≈0．6，sin 47．44°≈123－916．14．《益古演段》是我国古代数学家李冶(1192～1279)的一部数学著作．内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等．其中有这样一个问题：如图，已知∠A ＝60°，点B ，C 分别在∠A 的两个边上移动，且保持B ，C 两点间的距离为23，则点B ，C 在移动过程中，线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为________．15．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？22.2-解三角形及其应用举例-专项训练【解析版】1．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为()A ．7B ．8C ．34－153D ．34＋153解析：A 根据题意，画出草图如图所示，结合题干条件易知AC ＝3km ，BC ＝5km ，∠ACB ＝120°，利用余弦定理可得AB 2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴AB ＝7km ．故选A ．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状一定是()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：D 已知a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，解得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝180°－2B ，解得A ＝B 或A ＋B ＝90°，所以△ABC 的形状是等腰或直角三角形．故选D ．3．(2024·武钢期中)在锐角△ABC 中，若C ＝2B ，则c b的范围为()A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(0,2)D ．(2，2)解析：A 由正弦定理得c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，∵△ABC 是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有0＜B ＜π2，0＜C ＝2B ＜π2，0＜π－C －B ＝π－3B ＜π2，解得π6＜B ＜π4，余弦函数在此范围内是减函数．故22＜cos B ＜32．∴c b ∈(2，3)．故选A ．4．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为()A ．12小时B ．23小时C．34小时D ．1小时解析：B 如图，设舰艇在B 处靠近渔轮，所需的时间为t 小时，则AB ＝21t ，CB ＝9t ．在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得212t 2＝102＋81t 2＋2·10·9t ·12．整理得360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．故舰艇需23小时靠近渔轮．故选B ．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝CD ＝7，∠ABC ＝120°，sin ∠BAC ＝5314且BD 为∠ABC 的平分线，则BD ＝()A ．6B ．9C ．72D ．8解析：D 由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ⇒BC 5314＝732⇒BC ＝5，由AC ＝AD ＝CD ＝7，可得∠ADC ＝60°，又∠ABC ＝120°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠DBC ＝∠DAC ＝60°，由余弦定理得cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－DC 22BD ·BC⇒BD ＝8．故选D ．6．(多选)某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离126n mile ；在A 处看灯塔C 在货轮北偏西30°，距离83n mile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是()A ．A 处与D 处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是16n mileC ．灯塔C 在D 处的西偏南60°D ．D 在灯塔B 的北偏西30°解析：AC 由题意可知∠ADB ＝60°，∠BAD ＝75°，∠CAD ＝30°，所以B ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝126，AC ＝83，在△ABD 中，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AD ＝126×2232＝24(n mile)，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即CD ＝(83)2＋242－2×83×24×32＝83(n mile)，故B 错误；因为CD ＝AC ，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的西偏南60°，故C 正确；由∠ADB ＝60°，D 在灯塔B 的北偏西60°处，故D 错误．故选A 、C ．7．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区的时间为________小时．解析：设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，故302＝x 2＋402－2x ·40·cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝402，x 1x 2＝700，所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝20，即图中CD ＝20千米，所以B 城市处于危险区的时间为2020＝1小时．答案：18．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．解析：由已知得，在△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝150°，所以∠DAC ＝15°，由正弦定理得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)．在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝∠BCA ＋∠ACD ＝135°，所以∠DBC ＝30°，由正弦定理CD sin ∠CBD＝BC sin ∠BDC ，得BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝80×sin 15°12＝160sin 15°＝40(6－2)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB ＝805．故图中海洋蓝洞的口径为805．答案：8059．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得AM ＝3千米，AN ＝3千米．(1)求线段MN 的长度；(2)若∠MPN ＝60°，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．解：(1)在△AMN 中，由余弦定理得，MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos 120°＝3＋3－2×3×3×－12＝9，MN ＝3，所以线段MN 的长度为3千米．(2)设∠PMN ＝α，因为∠MPN ＝60°，所以∠PNM ＝120°－α，在△PMN 中，由正弦定理得，MN sin ∠MPN ＝PM sin (120°－α)＝PN sin α＝3sin 60°＝23．所以PM ＝23sin(120°－α)，PN ＝23sin α，因此PM ＋PN ＝23sin(120°－α)＋23sin α＝2332cos α＋12sin α＋23sin α＝33sin α＋3cos α＝6sin(α＋30°)，因为0°＜α＜120°，所以30°＜α＋30°＜150°．所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM ＋PN 取到最大值6．所以两条观光线路PM 与PN 之和的最大值为6千米．10．如图，某侦察飞机沿水平直线AC 匀速飞行，在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP ＝30°，飞行3分钟后到达B 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠ABP ＝60°，又飞行一段时间后到达C 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠BCP 的余弦值为41919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为()A ．2分钟B ．2．25分钟C ．2．5分钟D ．2．75分钟解析：B 设飞机的飞行速度为v ，由题知∠BAP ＝30°，∠ABP＝60°，所以△ABP 为直角三角形，如图，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，则AB ＝3v ，AP ＝332v ，BP ＝32v ，可得DP ＝334v ，所以DB ＝34v ，设CB ＝x v ，由cos ∠BCP ＝41919，可得sin ∠BCP ＝3×1919，则tan ∠BCP ＝34，又由tan ∠BCP ＝334v 34v ＋x v ＝34，解得x ＝2．25．故选B ．11．(多选)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝32b ，且∠CAB ＝π3．点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝3，下列说法中，正确的命题是()A ．△ABC 的内角B ＝π3B ．△ABC 的内角C ＝π3C ．四边形ABCD 的面积最大值为532＋3D ．四边形ABCD 的面积无最大值．解析：ABC因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝32b ，由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝32sin B ，B 为三角形内角，sin B ≠0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝32，sin(A ＋C )＝32，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝32，B ＝π3或B ＝2π3，又∠CAB ＝π3，所以B ＝2π3不合题意，所以B ＝π3，从而∠ACB ＝π3，A 、B 正确；在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝9＋1－2×3×1×cos D ＝10－6cos D ，所以S 四边形ABCD ＝12AD ·CD sin D ＋34AC 2＝32sin D －332cos D ＋532＝＋532，D ∈(0，π)，D －π3∈－π3，D －π3＝π2，即D ＝5π6时，S 四边形ABCD ＝3＋532为最大值，无最小值．C 正确，D 错．故选A 、B 、C ．12．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a ，b ，c 直接求出三角形的面积．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c )．我国南宋著名数学家秦九韶(约1202～1261)在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S ＝14(c 2a 2－□2)，这个公式中的□＝________．解析：由余弦定理知c 2＋a 2－b 22＝ac cos B ，所以S ＝12ac sin B ＝14a 2c 2sin 2B ＝14(c 2a 2－c 2a 2cos 2B )＝14(c 2a 2－□2)，所以□＝c 2＋a 2－b 22．答案：c 2＋a 2－b 2213．第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明区举办，以“蝶恋花”为设计理念的世纪馆，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板厚度只有250毫米．图①为建成后的世纪馆；图②是建设中的世纪馆；图③是场馆的简化图．如图③是由两个相同的半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AA ′∥PP ′∥OO ′∥BB ′，其中AA ′＝280米，圆心距OO ′＝160米，半圆的半径R ＝75米，椭圆中心P 与圆心O 的距离PO ＝40米，C ，C ′为直线PP ′与半圆的交点，∠COB ＝60°．(1)设α＝∠A ′AB ，计算sin α的值；(2)计算∠COP 的大小(精确到1°)．附：sin 36．87°≈0．6，sin 47．44°≈123－916．解：(1)易知OO ′为等腰梯形ABB ′A ′的中位线，所以cos α＝280－160275＝45，因为α为锐角，所以sin α＝35．(2)因为AA ′∥OO ′，所以∠O ′OB ＝∠A ′AB ＝α，则∠PCO ＝∠COO ′＝60°－α，所以在△CPO 中，OC sin ∠CPO ＝OP sin (60°－α)，即sin ∠CPO ＝OC ·sin (60°－α)OP＝75(sin 60°cos α－cos 60°sin α)40，则sin ∠CPO ＝123－916，又∠CPO 为钝角，所以∠CPO ≈132．56°．由(1)知，sin α＝35，所以α≈36．87°，所以∠COO ′≈60°－36．87°＝23．13°，所以∠OCP ＝∠COO ′＝23．13°，所以∠COP ＝180°－∠CPO －∠OCP ＝180°－132．56°－23．13°≈24°．14．《益古演段》是我国古代数学家李冶(1192～1279)的一部数学著作．内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等．其中有这样一个问题：如图，已知∠A ＝60°，点B ，C 分别在∠A 的两个边上移动，且保持B ，C 两点间的距离为23，则点B ，C 在移动过程中，线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为________．解析：如图，延长AD 到点P ，使AD ＝DP ，连接PB ，PC ，∵D 是线段BC 的中点，∴四边形ABPC 是平行四边形，∴∠ACP ＝120°，在△ABC 中，BC 2＝12＝AB 2＋AC 2－2×AB ×AC ×cos 60°，∴BC 2＝12＝AB 2＋AC 2－AB ×AC ≥AB ×AC ，当且仅当AB ＝AC ＝23时等号成立，故AB ×AC ≤12．在△ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2－2×AC ×CP ×cos 120°＝AC 2＋CP 2＋AC ×CP ，∵AB ＝CP ，∴AP 2＝12＋2AC ×AB ≤36，∴2AD ≤6，∴AD ≤3．故线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为3．答案：315．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365．由正弦定理得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)，所以索道AB 的长为1040m ．(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客的距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝7400＋6251369．因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t ＝3537时，甲、乙两游客距离最短．即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C 处．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．。
高考数学一轮复习数学三角函数与解三角形多选题试题及解析
高考数学一轮复习数学三角函数与解三角形多选题试题及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数取得极大值31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值33，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.2．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求13AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3335353sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 24D AC =+ 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()23S D D D π==-+因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.3．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可.【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 2233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin231232f x π=+=+，()min 51sin232362f x π=+=+ 则()min 2143f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在yC ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 3222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=-≠± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．8．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．9．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点 【答案】ABD【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断； 对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论； 对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点.【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确；对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确； 对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ）A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间.【详解】 cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确； 对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.。
高考理科数学一轮复习专题训练：解三角形(含详细答案解析)
第五单元 解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===， 故角π3C =，故答案为B ．3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．63 B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯， 所以243sin 1sin C A -，所以1143sin 736322S ab C ==⨯⨯=． 故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---92a b cp ++==， 所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形， 故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ） A．2BC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C ，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（ ）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒Q ，45BDC ∠=︒，120CBD \??， 由正弦定理得302sin 45BC =，302sin 45203BC °\==， 3tan3020320AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．23 B ．3C ．3 D ．33【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin BCD ∠=， 所以113si 3n 23223BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（ ） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==． 所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒． 所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（ ） A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（ ）A ．5B ．27C ．29D ．42【答案】C【解析】∵向量AB u u u r 在AC u u u r 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABCS =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ，∴||sin 2AB A =u u u r ．②由①②得tan 1A =-，∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==u u u r ． 在ABC △中，由余弦定理得 222223π22cos(22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =A =________． 【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒=== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒， 本题正确结果75︒．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____． 【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒． 在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒． 在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin60sin6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c = 则ABC △面积的最大值为______． 【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B ⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥Q ，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号，max 113sin 43222S ab C ∴==⨯⨯=，本题正确结果3． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值； （2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=． （2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值； （2）若，且，求的面积．【答案】（1）52；（2）3257． 【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =， 又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==． （2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ===⨯=． 19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3D =；（2） 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -． ∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =． （2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =． 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =． 所以3b =，ABC △的周长为47+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积． 【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=． 【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ， 因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒， 所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262++ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)430BF BF -+，解得2BF =，23BF =（舍去）． 因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△， 所以2(31)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）13BD =；（2）1698． 【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠． （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当135BC DC ==第五单元 解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，若2BC =，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B ==1sin 2A =， 因BC AC <，所以45AB <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14-B ．14 C ．23-D ．23【答案】A【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161cos 2124b ac C ab +-+-===-， 故答案为A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【解析】因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，所以△ABC 的面积为1sin 2bc A =．故选D ．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】△ABC 中，60B =︒，2b ac =，()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ．5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ）A ．)B ．()2,3C ．)D ．【答案】A【解析】因为钝角△ABC ，所以222cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<，c >，又因为3c a b <+=，3c <<，故选A ．6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）A．2 B ．36 C ．33 D ．32【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(27)1cos 2C +-==，60C \=?，sin sin AB AC C BQ =，得到36sin 236sin 2C AC AB B ××===，故选B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（ ）A ．()24031m B ．()18021m C ．()3031mD ．)12031m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，6060120sin sin30AC C ∴===︒，由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC =∠∠，得()sin 120sin 4560212031sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒===∠︒，即河流的宽度)12031m ，本题正确选项D ．8．已知ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，则角A 的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒【答案】D【解析】cos AB AC c b A ⋅=⋅u u u r u u u r Q ，又ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，13sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅，则3tan A =，又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】2sin 2sin a C A =Q ，22a c a ∴=，2ac =，因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △=，故选A ．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π4B =，AD =2BD =，则b =（ ）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，2sin sin 4BAD =∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，又因为5π12ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(2⎤⎦C ．(4,6]D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===变形得到sin ,sin ,2sin sin 3333b Bc C l B C ===++，因为2π3B C +=， 2π2sin sin π223sin 2cos 24sin 3633l B B B B B ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，(]4,6l ∴∈，故答案为C ．12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()22,62++C ．()2,62+D ．()62,62-+【答案】D 【解析】由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ， 当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BCECB BEC=∠∠，算得62AB =，∴62AB <，若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠，算得62AB =，∴62AB >，综上所述，AB 6262AB <．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______． 【答案】23【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，所以由余弦定理可得22212cos60164242122c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=， 所以23c =，故答案为23． 14．在ABC △中，π3A =，1b =，3a =，则ABC △的面积为______． 【答案】3 【解析】π3A =Q ，1b =，3a =， ∴由正弦定理可得31sin 3B =，解得1sin 2B =，b a <Q ，B A ∴<，π6B ∴=，可得ππ2C A B =--=， 11π3sin 31sin 222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△，本题正确结果3． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°， 由正弦定理得(80sin1504062sin1562AC ︒==︒-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠， 所以()sin 80sin15160sin1540621sin 2CD BDC BC CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠，△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅()()()()1160084316008432160062622=++-+⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯，解得805AB =， 则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为_______． 【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C +=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+-，即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当32a b ==时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V 中，45,10B AC ∠=︒=25cos C =． （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长． 【答案】（1）32；（2）13．【解析】（1）(0,π)C ∈Q ，25sin 1cos C C ∴=-=， 310sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=， 由正弦定理可知中：sin 32sin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒==． （2）由余弦定理可知： 22252cos 10182103225AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，D 是AB 的中点， 故1BD =，在CBD △中，由余弦定理可知：2222cos 1812321132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=． 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）14；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =Q ，由正弦定理可得22b ac =，（1）21a b c ==∴=Q ，，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．（2）90B ∠=︒Q ，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，1122222ABC S ac ∴==⋅⋅=△．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 【答案】（1）6；（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠．因为60,3,6A AD BD ∠=︒==，所以36sin sin sin 606AD ABD A BD ∠=⨯∠=⨯︒=． （2）由（1）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==，所以264626BC BC =+-⨯⨯， 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．（1）求sin sin A C 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）3sin sin 4A C?；（2）ABC V 的周长为32． 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，sin ,sin sin A B C Q ，成等比数列，2233sin sin sin 4A CB 骣琪\?==琪桫． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =， 由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=，即2a c ==，2b ac ==， 32a b c \++=，因此ABC V 的周长为32．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为28π3万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）12或17． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在和中分别使用余弦定理得：，得1cos 7θ=， ∴43sin sin 7ADC θ∠==， ∴四边形的面积()1sin 2ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=⋅+⋅△△ ()14326448327=⨯+⨯⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π3，∴圆形广场的半径2213R =，在中由正弦定理知：4212sin sin 3AC R θθ==， 在中由余弦定理知：，∴2421sin 4024cos θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，化简得，解得1cos 2θ=或1cos 7θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，3b ，22ac +-1sin sin tan 12A CB =． （1）求内角B 的大小；（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．【答案】（1）π6B =（2【解析】（1）b =Q 221sin sin tan 12a c A C B +-=，222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B∴=，由正弦定理得222tan cos sin b BBB =，即222cos sin tan b B B B =，231cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2B =， π02B <<Q ，∴π6B =．（2）b =Q π6B =，∴由余弦定理得22π12cos 612a c ac +-=，化简得22112a c +=，21()(212a c ac ∴+-+=，2()4a c ac +≤Q ，(2ac ∴-≥，2()(2a c ac ∴+-，112≤，2()a c ∴+，22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤a c =时等号成立，∴(2)(2)a c b a c b +++-。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<，56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.二、数列多选题9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列【答案】AB【分析】 对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a = 则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．故选：AB【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10．将()23n n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221n S n n =+- 【答案】ACD【分析】 由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D.【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确； ()666735132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n n n n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.。
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解三角形
1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2
3
，则b ＝( )
A. 2
B. 3
C.2
D.3 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )
A.3π4
B.π3
C.π4
D.π6
3.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( )
A.π6或5π6
B.π3或2π3
C.π6
D.2π3
4.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，则△ABC 的面积为( )
A.3
B.
932 C.33
2
D.3 3 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角， lg b ＋lg ）
（c
1＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 7.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2
c
＝3，则c ＝( )
A.4
B.3
C.7
D.6 8．(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋B)＝1
3
，a ＝3，c ＝4，则sinA ＝( ) A.23 B.14 C.34 D.16
9．(2018·铜川一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝22，且C ＝π
4
，则△ABC 的面积为( )
A.3＋1
B.3－1 C ．4 D ．2
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b)2－c 2，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C ．－43
D ．－3
4
11.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4
5
，cos
C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________.
12.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c
＝________.
13.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4
，
3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 14.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.
15.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6
，a ＝1，
b ＝3，则B ＝________. 16.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 17.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ； (2)若cos B ＝2
3
，求cos C 的值.
18.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积
为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4.
(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos )6
2(π+A 的值．
19.(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ）π（A +4
＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2 A
的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．
20.（2018·天津卷15）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知
sin cos()6
b A a B π
=-.
（I ）求角B 的大小；
（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.
21.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.
(1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9
2
sin C ，求a 和b 的值．
22.(2017·山东)设函数)(x f ＝)2sin(6sin π）π（-+-x x ωω，其中0＜ω＜3，已知)6
(πf ＝0. (1)求ω；
(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象
向左平移π
4
个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，试讨论g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的单调区间及最值．
23．(2018·江西南昌三校联考)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3，cosA ＋1)，n ＝(sinA ，－1)，m ⊥n. (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，cosB ＝3
3
，求b 的值．
24．(2018·江西新余一中调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且btanA ，ctanB ，btanB 成等差数列．（提示：等差中项） (1)求角A ；
(2)若a ＝2，试判断当bc 取最大值时△ABC 的形状，并说明理由．
25．(2018·河北廊坊模拟)已知函数f(x)＝2cosx·cos ）π（3-x －1
2. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(C)＝1
2
，c ＝23，且△ABC 的
面积为23，求△ABC 的周长．
26.（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面
积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ； （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
27.（2018·江苏卷16）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=
，cos()αβ+=．
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．。