2-4晶体学基础
《结晶学基础》
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2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
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1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
结晶学基础
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）
旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围 绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上 的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等 部分重复。 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和 对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体
1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新 的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探 索之中，但从其对称性可见，其质点的排列 应是长程有序，但不体现周期重复，不存在 格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性 质，称为晶体的基本性质。
晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一 或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。 对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。 同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等； 不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列
⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。 面网上单位面积内结点的数目称为网面密 度。 互相平行的面网，网面密度相同；不平行 的面网，网面密度一般不等。 相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称 为面网间距。
材料科学基础-第1章
晶面指数及晶面间距
现在广泛使用的用来表示晶面指数的密勒指数是由 英国晶体学家ler于1939年提出的。
z
确定晶面指数的具体步骤如下： 1.以各晶轴点阵常数为度量单位,求 出晶面与三晶轴的截距m,n,p； 2.取上述截距的倒数1/m,1/n,1/p； 3. 将以上三数值简为比值相同的三 个最小简单整数,即 1 1 1 h k l (553) : : : : h:k :l x m n p e e e 其中e为m,n,p三数的最小公倍数,h,k,l为简单整数； 4.将所得指数括以圆括号, (hkl)即为密勒指数。
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
§ 1.5 晶体结构的对称性
一、对称：对称是指物体相同部分作有规律的 重复。对称操作所依据的几何元素，亦即在对 称操作中保持不动的点、线、面等几何元素称 为对称元素。 二、对称性
1．晶体的宏观对称性 2. 晶体的32种点群 3. 晶体的微观对称性 4．230种空间群
晶体结构＝空间点阵+基元
注意：上式并不是一个数学关系式，而只是用来表示这三者之间的 关系。
二、晶体的点阵理论
1 、点阵(Lattice):
将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数 学上的点来代表 , 称为点阵点，整个晶体就被抽象成一组 点,称为点阵。 1 点阵点必须无穷多； 点阵必须具备的三个条件 2 每个点阵点必须处于相同的环境； 3 点阵在平移方向的周期必须相同。
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
材料科学基础---名词解释
第一部分名词解释第二章晶体学基础1、晶体结构：反映晶体中全部基元之间关联特征的整体。
晶体结构有4种结构要素，质点、行列、面网、晶胞。
晶体：原子按一定方式在三维空间内周期性地规则重复排列，有固定熔点、|各向异性。
非晶体:原子没有长程的周期排列，无固定的熔点，各向同性等。
空间点阵：指几何点在三维空间作周期性的规则排列所形成的三维阵列，是人为的对晶体结构的抽象。
晶胞：在点阵中取出一个具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点，阵的组成单元，称为晶胞。
空间格子：为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个三维几何构架，称为空间格子。
2、晶带定律：晶带轴[uvw]与该晶带的晶面（hkl）之间存在以下关系：hu+kv+lw=0。
凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，故…该关系式也称为晶带定律。
布拉格定律：布拉格定律用公式表示为：2dsinx=nλ(d为平行原子平行平面的间距，λ为入射波长，x为入射光与晶面的夹角)。
晶面间距：两相邻平行晶面间的平行距离。
晶带轴：所有平行或相交于某一晶向直线的的晶面构成一个晶带，该直线称·为晶带轴，属此晶带的晶面称为共带面。
3、合金：两种或两种以上的金属或金属与非金属经熔炼、烧结或其他方法组合而成并具有金属特性的物质。
固溶体：是以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元原子（溶剂原子）所形成的均匀混合的固态溶体，它保持溶剂的晶体结构类型。
>固溶强化：由于合金元素（杂质）的加入，导致的以金属为基体的合金的强度得到加强的现象。
中间相：两组元A 和B 组成合金时，除了形成以A 为基或以B 为基的固溶体外，还可能形成晶体结构与A，B 两组元均不相同的新相。
由于它们在二元相图上的位置总是位于中间，故通常把这些相称为中间相。
&置换固溶体：当溶质原子溶入溶剂中形成固溶体时，溶质原子占据溶剂点阵的阵点，或者说溶质原子置换了溶剂点阵的部分溶剂原子，这种固溶体就称为置换固溶体。
晶体学基础
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1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
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空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
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空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
k
l
G
*
k
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3
c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
(完整版)第1章 晶体学基础
第一篇 X射线衍射分析（15万字）1 晶体学基础1.1 晶体结构的周期性与点阵晶体是由原子、离子、分子或集团等物质点在三维空间内周期性规则排列构成的固体物质，这种周期性是三维空间的。
晶体中按周期重复的原子、分子或离子团称为结构基元，也就是重复单元。
为了描述晶体内部原子排列的周期性，总是把一个结构基元抽象地看成为一个几何点，而不考虑它的实际内容（指原子、离子或分子）。
这些几何点按结构周期排列，这种几何点的集合就称为点阵，将点阵中的每个点叫阵点。
要构成点阵，必须具备三个条件：（1）点阵点数无限多；（2）各点阵点所处的几何环境完全相同；（3）点阵在平移方向的周期必须相同。
凡是能够抽取出点阵的结构可称为点阵结构或晶体点阵。
点阵中每一阵点对应于点阵结构中的一个结构基元，在晶体中则是一些组成晶体的实物粒子，即原子、分子或离子等，或是这些微粒的集团。
这样，晶体结构与晶体点阵是两个不同的概念，其关系如图1-1所示，晶体结构可以表示为：晶体结构= 晶体点阵+ 结构基元图1-1晶体结构与点阵的关系根据点阵的性质，把分布在同一直线上的点阵称为直线点阵或一维点阵，分布在同一平面内的点阵称为平面点阵或二维点阵，分布在三维空间中的点阵称为空间点阵或三维点阵。
1.1.1 一维周期性结构与直线点阵图1-2（a）是聚乙烯分子链的结构示意图，具有一维周期结构，其结构基元（CH2CH2）周期性地排列在一个方向上。
每一个结构基元的等同位置抽象成一个几何点，可形成一条直线点阵，是等距离分布在一条直线上的无限点列，如图1-2（b）所示。
取任一阵点作为原点O ，A 为相邻的阵点，则矢量a=OA 表示重复的大小和方向，称为初基（单位）矢量或基矢，若以单位矢量a 进行平移，必指向另一阵点，而矢量的长度a a =ρ称为点阵参数。
图1-2晶体结构与点阵的关系（a ）聚乙烯分子链的结构示意图；（b ）等效的一维直线点阵直线点阵中任何两阵点的平移矢量称为矢径，可表示为T p = p a (0, ±1, ±2……)矢径T p 完整而概括地描述了一维结构基元排列的周期性。
晶体学基础PPT课件
➢ 复单位：即每一个格 子单位分摊到一个以 上的点阵点。
点阵
图1-4 平面点阵单位 上图所示，平行四边形I和II都 只分摊到一个点阵点，故它们 都是单位格子；平行四边形III 分摊到两个点阵点，故它是复 单位。
点阵
3.三维点阵(空间点阵)
➢分布在三维空间的点阵叫空间点阵。 ➢空间点阵对应的平移群可用下式表示：
T m n m p n a p b ,m c ,n ,p 0 , 1 , 2 (1 .
图1-5 空间点阵单位
点阵
➢空间格子：空间点阵按确定的 平行六面体单位划分后所形成 的格子称为空间格子 。
➢基本单位：每个平行六面体格 子单位只分摊到1个点阵点， 称为空间点阵的基本单位 。
我们把所有阵点可用位矢(1.1)、(1.2)或(1.3) 来描述的点阵称为布拉菲点阵。
➢ 点阵的这两条基本性质也正是判断一组点是否 为点阵的依据。
点阵
三.直线点阵、平面点阵与空间点阵
点阵和平移群
➢ 能使一个点阵复原的全部平移矢量组成 的一个平移群(它符合数学上群的定义) 称为该点阵对应的平移群。
➢ 点阵和平移群有一一对应的关系。一个 点阵所对应的平移群能够反映出该点阵 的全部特征。
第一章 晶体学基础
内容提要
晶体的基本性质 晶体结构几何理论的历史发展简况 点阵 平面点阵与空间点阵的性质 晶体的点阵结构 晶胞 典型晶体结构举例 晶向指数与面指数 晶体结构的对称性
第一节 晶体的基本性质
一.晶体与非晶体在宏观性质上的区别
➢晶体具有固定的外形，各向异性，固定 的熔点。 • 微细单晶体的集合体，称为多晶体 • 取向杂乱的单晶体集合成的多晶体， 显示出各向同性 • 择优取向的多晶体呈现出各向异性
晶体学基础-晶体对称性
旋转反映轴的图解
L4s＝L4i L6s＝L3＋C＝L31i 6
对称元素--两种符号：
国际符号（International Notation）， 圣弗里斯符号（Schoenflies Notation）。
对称元素
对 称 中 心
对称 面
一次 对称 轴
二次 对称 轴
三次 对称 轴
四次 对称 轴
六次 对称 轴
2、对称要素（symmetry element）
在进行对称变换时所凭借的几何要素 ——点、线、面等。
17:14
6
3、宏观晶体中的对称要素及相应对称变换
（1）对称中心（center of symmetry, 符号C）：
一假想的几何点; 对称变换：对于这个点的反伸（反演）。
(a)
(b)
(c)
具有对称中心的图形
17:14
18
七种晶系的对称性及点阵常数间的关系
晶族(3) 低级晶族 无高次轴
中级晶族: 只有1个 高次轴
晶系(7) 三斜 单斜
正交
四方 （正方）
六方
对称性
1 (E) 2 (C2) 2个 2(C2) 4 (C4)
6 (C6)
菱方
高级晶族 立方
高次轴＞1
3 (C3) 4个3 (C3)
17:14
棱边 /夹角
a = b = c α=β=γ=90°
6L2， 3L4，4L3， 9P，C
? 本质上，决定立方系的主要对称元素? ? 一定有几次轴？
17:14
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属于立方系，只有三次轴而 没有四次轴的形。
二个三次轴就可以导出立方晶系。
17:14
24
☺立方系主对称元素：4个体对角线方向的
晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵
2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个 正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系
—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成
1.晶体学基础
原子可在 顶角、线 、面、内 部。
晶胞参数：
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、β、γ是表示它本 身的形状、大小的一组参数，称为点阵参数（晶胞参数）
依照晶胞参数之间的关系，所有晶体的空间点阵可以划分为7个晶系：
晶 系 立方晶系 四方晶系 a=b=c a=b≠c 格子常数特点 α=β=γ=90° α=β=γ=90°
晶面族指数：用晶面族中 某个最简便的晶面指数填 在大括号{ }内作为该晶面
族的指数。
晶面间距
一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大
a
b
(100)
(110) (210) (4-10) (130)
晶面间距的计算
一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下列关系：
（2）晶胞
ClNa+
空间格子+基元
●晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的 空间格子中的平行六面体一致。 ●晶胞：是描述晶体结构的基本组成单位。 ●晶胞：能够反映整个晶体结构特征的最小结构单元。
周期性、对称 性
晶胞的选取不是唯一的！
晶胞的选取原则： 1）充分表示出晶体的对称性 2）三条棱边尽量相等 3）夹角尽量为直角 4）单元体积尽可能小
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
等同点： 各阵点的周围 环境完全相同， 周围阵点排布 及取向完全相 同。 A位臵
B位臵
空间格子有下列几种要素存在：
面网
平行六面体
晶面：可将晶体点阵在任意方向上分解 为相互平行的节点平面。 晶面族：对称性高的晶体中，不平行的 两组以上的晶面，它们的原子排列状况 是相同的，这些晶面构成一个晶面族。 晶向：也可将晶体点阵在任意方向上分 解为相互平行的节点直线组，质点等距 离的分布在直线上。 晶向族：晶体中原子排列周期相同的所 有晶向为一个晶向族。
晶体学基础
0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。
晶体学基础
3. 描述晶胞的六参数 晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各 边长度和各边之间的夹角。
图 晶胞、晶轴和点阵参数
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.晶系
奥古斯特·布拉菲（Auguste Bravais，又译布拉伐、布喇菲，1811年 －1863年），法国物理学家，于1845年得出了三维晶体原子排列的所 有14种布拉菲点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理 学做出了奠基性的贡献。除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、 植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
图 几种晶体结构的点阵分析 (a) γ-Fe (b) NaCl (c) CaF2 (d) ZnS
§2.2.3 晶面指数和晶向指数
在材料科学中，讨论晶体的生长、变形和 固态相变等问题时，常要涉及到晶体的某些 方向（晶向）和某些平面（晶面）。
晶向：空间点阵中各阵点列的方向。
晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平 面。
国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。
William H. Miller 矿物学家
（1801-1880，英国）
1.晶向指数的标定
晶体中点阵方向的指数，由晶向上 阵点的坐标值决定。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向 上； (2)确定该晶向上距原点最近的一个阵点P的三个坐标值 (xa，yb，zc)； (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且 u∶v∶w = x∶y∶z； (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质 点排列的几何学抽象， 用以描述和分析晶体 结构的周期性和对称 性，由于各阵点的周 围环境相同，它只能 有14中类型
晶体学基础与材料结构
晶体学基础与材料结构第⼀章晶体学基础及材料结构⽆论是⾦属材料还是⾮⾦属材料，通常都是晶体。
因此，作为材料科学⼯作者，⾸先要熟悉晶体的特征及其描述⽅法。
本章将扼要的介绍晶体学的基础知识，并了解材料结构。
1-1 晶体⼀、晶体与⾮晶体固态物质按其原⼦（或分⼦）的聚集状态⽽分为两⼤类：晶体与⾮晶体。
虽然我们看到⾃然界的许多晶体具有规则的外形（例如：天然⾦刚⽯、结晶盐、⽔晶等等），但是，晶体的外形不⼀定都是规则的，这与晶体的形成条件有关，如果条件不具备，其外形也就变得不规则。
所以，区分晶体还是⾮晶体，不能根据它们的外观，⽽应从其内部的原⼦排列情况来确定。
在晶体中，原⼦（或分⼦）在三维空间作有规则的周期性重复排列，⽽⾮晶体就不具有这⼀特点，这是两者的根本区别。
应⽤X射线衍射、电⼦衍射等实验⽅法不仅可以证实这个区别，还能确定各种晶体中原⼦排列的具体⽅式（即晶体结构的类型）、原⼦间距以及关于晶体的其他许多重要情况。
显然，⽓体和液体都是⾮晶体。
在液体中，原⼦亦处于紧密聚集的状态，但不存长程的周期性排列。
固态的⾮晶体实际上是⼀种过冷状态的液体，只是其物理性质不同于通常的液体⽽已。
玻璃就是⼀个典型的例⼦，故往往将⾮晶态的固体称为玻璃体。
从液态到⾮晶态固体的转变是逐渐过渡的，没有明显的凝固点（反之亦然，⽆明显的熔点）。
⽽液体转变为晶体则是突变的，有⼀定的凝固点和熔点。
⾮晶体的另⼀特点是沿任何⽅向测定其性能，所得结果都是⼀致的，不因⽅向⽽异，称为各向同性或等向性；晶体就不是这样，沿着⼀个晶体的不同⽅向所测得的性能并不相同（如导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、光学数据以及外表⾯的化学性质等等），表现出或⼤或⼩的差异，称为各向异性或异向性。
晶体的异向性是因其原⼦的规则排列⽽造成的。
⾮晶体在⼀定条件下可转化为晶体。
例如：玻璃经⾼温长时间加热后能形成晶态玻璃；⽽通常呈晶体的物质，如果将它从液态快速冷却下来也可能得到⾮晶体。
⾦属因其晶体结构⽐较简单，很难阻⽌其结晶过程，故通常得不到⾮晶态固体，但近些年来采⽤了特殊的制备⽅法，已能获得⾮晶态的⾦属和合⾦。
固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础
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1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵 常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下 一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b） 两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点 阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵 点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且 （ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
晶体学基础
1.4晶体学基础(晶向指数与晶面指数)(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y 2，z 2)，然后将(x 1-x 2)，(y 1-y 2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
晶体学基础知识
第3讲教学要求：1. 复习明确晶体和非晶体的概念2. 明确格子构造的概念以及与实际晶体构造之间的关系3. 大致了解晶体的分类知识4. 详细讲解并要求学生掌握记熟空间格子构造，熟练掌握14种布拉维格子的构造特点及晶格参数的特点5.熟练掌握晶面指数的标定步骤教学重点：晶体的概念、布拉维格子构造、晶面指数的标定教学难点：晶体学基础比较抽象，备课中需多准备形象立体感强的图形，讲解速度控制较慢，尽量引导学生课堂中记忆布拉维格子构造，通过例子联系晶面指数标定过程教学拓展：介绍《物相分析》、《材料研究方法》、《材料结构表征及应用》书中相应的部分以便学生课后参看讨论：课堂上提问学生所掌握的晶体学基础知识的内容，比较选修有关结晶学课程的学生和未选修结晶学课程学生掌握晶体学知识的范围差异，抽10分钟左右的时间讨论，以便掌握讲课难度和速度。
作业：1. 晶体和非晶体的概念？2. 熟练写出布7种拉维格子的名称和相应的晶格参数？晶体学基础知识一．晶体的定义与特征晶体的概念：人类对晶体的认识，是从石英开始的。
古代人们把外形上具有规则的几何多面体形态的石英（水晶）称为晶体。
后来，人们把凡是天然的具有几何多面体的固体，例如：石盐、方解石、磁石等都成为晶体。
本世纪初（1912），X射线衍射分析方法的应用研究了晶体内部结构后，发现：一切晶体不论其外形如何，它的内部质点（原子、离子、、分子）都是有规则排列的，即：晶体内部相同质点在三维空间均呈周期性重复，构成了格子构造。
因此，对晶体做出如下定义：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体。
或者：晶体是具有格子构造的固体。
∙晶体是原子或者分子规则排列的固体；∙晶体是微观结构具有周期性和一定对称性的固体；∙晶体是可以抽象出点阵结构的固体;∙在准晶出现以后，国际晶体学联合会在 1992年将晶体的定义改为：“晶体是能够给出明锐衍射的固体。
”非晶质体：晶体内部质点在三维空间不做规律排列，不具格子构造，称为非晶质体或非晶质。
晶体学基础课程设计
晶体学基础课程设计简介晶体学是研究晶体结构及其性质的一门学科，是现代材料学、化学、物理、地质学和生物学等领域中必不可少的一门课程。
本课程旨在对晶体学进行系统化的介绍与探究，包括晶体结构基础知识、晶体学方法、晶体缺陷以及晶体的热力学等方面的知识，以便学生能够深入理解晶体的各种性质。
教学目标本课程旨在使学生：1.理解晶体结构的基础理论和概念；2.掌握主要的晶体学分析技术；3.具有对材料结构及其性质进行分析和研究的能力。
课程内容本课程包括以下几个部分：第一部分：晶体结构基础知识本部分主要包括晶体概念的介绍、晶体结构的分类、晶体结构中的常见基元和晶体点群的描述等内容。
学生将学会如何运用晶体学的知识对不同材料的结构进行分析与判断。
第二部分：晶体学方法本部分介绍了晶体学分析的主要方法及相关仪器的原理、操作方法和分析结果的解释等。
包括X射线和中子衍射、电子衍射、红外光谱、光学显微镜及图像处理等方面的内容。
学生将在实验中掌握这些技术的使用方法和数据处理技能，能够对真正的材料进行分析和判定，为后续的研究奠定基础。
第三部分：晶体缺陷本部分介绍了晶体中不同类型的缺陷，包括点缺陷、面缺陷和体缺陷等，讲述了缺陷对晶体物理化学性质的影响以及如何通过晶体学方法进行缺陷的分析。
第四部分：晶体热力学本部分涵盖了晶体热力学的基础知识、理解晶体中各种热力学性质的重要性，以及如何推导和应用晶体热力学方程等内容。
学生将了解晶体中不同状态的温度变化、压力、分子运动等要素，以及任何一个物质物理状态的热力学基础。
教学方法本课程采用讲授和实验相结合的方式进行。
除了基础的理论课讲授外，还将以实验为主，学生将亲手操作各种晶体分析仪器并进行各种实验，同时还将进行案例分析和小组讨论等活动，以帮助学生更好地理解晶体学相关内容。
作业与考核除了平时的课堂表现外，学生还将参加小组和个人作业，包括阶段性学习报告、分析报告、小论文和实验报告等。
考试形式包括闭卷及笔试、开卷及答辩等。
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X 射线测角仪结构示意图
• 记录和数据处理系统。 记录和数据处理系统。
9
当一束单色X－射线照到样品上，在理想情况下， 当一束单色 －射线照到样品上，在理想情况下，样品中晶体按各种可 能的取向随机排列，各种点阵面也以各种可能的取向存在， 能的取向随机排列，各种点阵面也以各种可能的取向存在，对每套点阵 至少有一些晶体的取向与样品表面平行， 面，至少有一些晶体的取向与样品表面平行，当样品旋转使入射束成 Bragg 角 θ，于是这些晶体面发生衍射。计数器则在 2θ 处 纪录衍射信 于是这些晶体面发生衍射。 θ 样品旋转角度从小到大，则可以记录到一系列衍射信号。 号。样品旋转角度从小到大，则可以记录到一系列衍射信号。
6
聚焦法基本原理
，可将样品制成平板状
N
SABN 弧长在每个照相机上是常数。在实际工作中往往先作一些标准 弧长在每个照相机上是常数。 样品的聚焦衍射花样，以及同一样品但采用不同辐射的衍射花样， 样品的聚焦衍射花样 ，以及同一样品但采用不同辐射的衍射花样 ， 测 出每个衍射线条与刀口阴影间的距离L 并将所有L 出每个衍射线条与刀口阴影间的距离 (hkl), 并将所有 (hkl)值与计算得到 的相应衍射角θ 曲线，供以后测量其他底片时对照。 的相应衍射角θ(hkl) 关系画成 L- θ 曲线，供以后测量其他底片时对照。
mn/m1
1 2 3 4 5 6 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1.33 2.66 3.67 4 5.33 6.33 6.67 8 9
3
பைடு நூலகம்
由实验得到
H+K+L为偶数 为偶数
H、K、L全奇或全偶 、 、 全奇或全偶
复习-4 复习
立方晶系指数标定
立方晶系(h 立方晶系 2+k 2+l2)的可能值 的可能值 24, 25,… (缺 7,15,23 等) … 缺
sin2θ1 : sin2θ2 : …＝ m1 : m2 :… ＝ H12+K12+L12 : H22+K12+L12
2
复习-3 复习
立方晶系点阵消光规律
衍射 线序 号n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sin2θn : 简单立方 HKL 100 110 111 200 210 211 220 221,300 310 311 sin2θ1 mn 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11
19
• 第 7 栏为物质的化学式及英文名称，在化学式之后常用数字及大写字 母，其中数字表示单胞中原子数，而英文字母(并在其下画上一横道)则 表示布拉维点阵的类型。各个字母所代表的点阵是： C—简单立方 B—体心立方 F—面心立方 T—简单四方 U—体心四方 R—简单菱形 H—简单六方 O—简单斜方 P—体心斜方 Q—底心斜方 S—面心斜方 M—简单单斜 N—底心单斜 Z—简单三斜 例如 (Er6F23)116F 表示该化合物属面心立方点阵，单胞中有116个原 子。这种表示法也在索引中使用，但字母下不画横道而印成斜体。
4
复习-5 复习
立方晶系晶胞常数计算 立方晶系晶胞常数计算 晶胞常数
• 由d (HKL)及 H2+K2+L2 值可求晶格常数a。
a = d ( HKL ) ⋅ H + K + L =
2 2 2
λ
2 sin θ
⋅ H 2 + K 2 + L2
5
2. 聚焦法
射线束，照射试样上较大区域， 利用发散度较大的入射 X 射线束，照射试样上较大区域，由多晶体试 样中某一组 (hkl) 晶面族所发生的衍射线束在照相底片上仍然聚焦到一 或一条细线) 点 (或一条细线 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜 谢乐法具有 或一条细线 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜-谢乐法具有 更高的灵敏度。 更高的灵敏度。
简单 体心 面心
Ｐ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
不缺) Ｉ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30,…= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,…(不缺 … … 不缺 Ｆ 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20, 24, …
10
200
强度
220
NaCl 的粉末衍射图
111
222 311 400
420 422 331 60 70 80 511,333 90 440 100
600,442 531 110
20
30
40
50
2θ θ
11
• 衍射线强度测定 ① 峰高强度：衍射线的峰高对应的强度。 ② 积分强度：曲线以下背底以上区域面积。 • 样品制备 ① 颗粒平均粒径控制在5µｍ左右（320目） ② 在加工过程中，防止由于外加物理或化学 因素影响试样原有的性质。
mn/m1
体心立方 HKL 110 200 211 220 310 222 321 400 411,330 420 m 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
mn/m1
面心立方 HKL 111 200 220 311 222 400 331 420 422 333 m 3 4 8 11 12 16 19 20 24 27
• 不同结构类型的晶体，系统消光规律不同，产生衍射 不同结构类型的晶体，系统消光规律不同， 顺序比不同 简单立方没有点阵消光， 不同。 晶面的 m 顺序比不同。简单立方没有点阵消光，但是 m 的顺序比缺 7, 15, 23 等。体心立方有点阵消光，但 体心立方有点阵消光， 是其m 的顺序比连续，不缺； 是其 的顺序比连续，不缺； • 通过衍射线条的测量，计算同一物相各线条的 m 顺序 通过衍射线条的测量， 比，可确定该物相晶体结构类型及各衍射线的衍射指 数。
常用于定性、定量相结构分析 定性，晶体颗粒大小
15
(3) 多晶物相分析
任何多晶物质都具有其特定的 X 射线衍射谱，在此衍射谱 中包含大量的结构信息。衍射谱线正如人的指纹一样，是鉴 别物质结构及类别的主要标志。根据这一特点，国际上建立 了相应的标准物质衍射卡片库，收集大量多晶物质的衍射信 息。卡片中标准晶面间距和衍射强度，是进行物相分析的重 要参考数据。 X 射线物相分析包括定性分析与定量分析。定性分析就是通 过实测衍射谱线与标准卡片数据进行对照，来确定未知试样 中的物相类别。定量分析则是在已知物相类别的情况下，通 过测量这些物相的积分衍射强度，来测算它们的各自含量。 物相分析与化学分析方法不同，化学分析仅仅是获得物质中 的元素组分，物相分析则是得到这些元素所构成的物相，而 且物相分析还是区分相同物质同素异构体的有效方法。
复习-1 复习
多晶衍射实验方法
a. 德拜 谢乐照相法 德拜-谢乐照相法 • 根据衍射线条的相对位置 和相对强度计算：θ和 d(HKL)
S 360o S ⋅ = ⋅ 57.3 θ= 4 R 2π 4R
d ( HKL ) =
λ
2 sin θ
1
复习-2 复习
多晶衍射花样的指标化及晶胞参数的计算
• sin2θ ~ H2+K2+L2 • 令 H2+K2+L2 = m • 同一花样中，任意线条λ, a 为定值，各衍射线条的
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• 第 4 栏为物质的晶体学数据。其中 Sys 为晶系，SG 为空间 群符号，a0、b0、c0 为单胞在三个轴上的长度，A=a0/b0及 C=co/b0为轴比，α、β及γ为晶胞轴间夹角，Z为单位晶胞中化 学式单位的数目(对于元素是指单胞中原子数、对于化合物是 指单胞中化学式单位的数目)。 • 第 5 栏为物质的光学及其它物理性质数据。其中εα、ηωβ 及εγ为折射率，Sign 为光学性质的正或负，2V 为光轴间夹角 ，D为密度(如若由X射线法测得者则标以)，mp 为熔点， Color 为颜色。 • 第 6 栏列出试样来源、制备方式及化学分析数据等。此 外，例如获得资料的温度以及卡片的更正等进一步的说明， 亦列于本栏中。
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A) PDF卡片
所谓的 PDF 卡片、JCPDS 卡片及 ASTM 卡片，是相同卡片 的不同名称。标准衍射卡片的格式都是相同的。
下面就PDF卡片中各栏内容以及缩写符号含义，介绍如下： •1a 1b 1c 为衍射三根最强线的面间距， 1d 为最大面间距。 •2a 2b 2c 2d 为上述线条的相对强度，其中规定最强线的强度为100。 •第 3 栏为所用的实验条件。其中 Rad 为辐射种类 (CuKα 或 MoKα 等)，λ 为辐射波长(单位是 Å)，Filter 为滤波片的名称，Dia 为圆柱相机的直径， Cut off 为该设备所能测得的最大面间距，Coll 为光阑狭缝的宽度或圆孔尺 寸，I/I1为测量衍射线条相对强度的方法 (例如 Calibrated strip-强度标法、 Visual inspection-觉估计法、Geiger counter diffractometer-盖革计数器衍射仪 法），dcorr·abs？为所测d值是否经过吸收校正。
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衍射花样： • 衍射花样千变万化，3个基本要素： ① 衍射线的峰位 ② 线形 ③ 强度 • 一般衍射花样（I～θ曲线）纵坐标的单位 是：每秒脉冲数（CPS）。
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X 射线衍射仪的优点： 射线衍射仪的优点： • 检测快速，工作效率高。 检测快速，工作效率高。 • 操作简单，数据处理方便，精度高，自动化程 操作简单，数据处理方便，精度高， 度高。 度高。 • 应用范围广泛 (可进行高温衍射测量 。 可进行高温衍射测量)。 可进行高温衍射测量
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1 标准卡片及其索引