第2章 误差分析与数据处理
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第2章误差分析与数据处理
系统误差 随机误差 粗大误差 测量精度
22
2.2 误差的分类
根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原 因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2.2.1 系统误差 在同一测量条件下，多次测量被测量时，绝对
值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律 （如线性、 多项式、周期性等函数规律）变化的误 差称为系统误差。前者为恒值系统误差，后者为变 值系统误差。
44
2.3.2 随机误差及其处理
随机误差一般具有以下几个性质： ① 对称性 绝对值相等的正误差与负误差出现的 次数大致相等。 ② 有界性 在一定测量条件下的有限测量值中， 其随机误差的绝对值不会超过一定的界限。 ③ 单峰性 绝对值小的误差出现的次数比绝对值 大的误差出现的次数多。 ④ 抵偿性 对同一量值进行多次测量，其误差的 算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零。
的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源
电压（220±5）V、电网频率（50±2）Hz、环境温度
（20±5）℃、湿度65%±5%的条件下标定的。如果传
感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本
误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。
（5）附加误差 附加条件下出现的误差。例如，温度附加误差、
26
2.2 误差的分类
系统误差也称装置误差，它反映 了测量值偏离真值的程度。凡误差的 数值固定或按一定规律变化者，均属 于系统误差。
系统误差是有规律性的，因此可 以通过实验的方法或引入修正值的方 法计算修正，也可以重新调整测量仪 表的有关部件予以消除。
夏天摆钟变慢的原因是什么？ 27
V
A
V
－ 3 15
23
2.2 误差的分类
第2章 误差与数据处理
保留三位 有效数字
说明：
在计算过程中，由于普遍使用计算器运算，虽然在 运算过程中不必对每一步的计算结果进行修约，但 应根据其准确度要求，正确保留最后计算结果的有 效数字位数。
10.7456，10.745，10.2350，250.650 10.75 10.74 10.24 250.6
18.0850001，6.468501，5.73350
18.09 6.469 5.734
2.3.3 计算规则
几个数据相加或相减时，它们的和或差 只能保留一位可疑数字，即有效数字位数 的保留，应以小数点后位数最少的数字为 根据，即以绝对误差最大的数为准。 例：计算50.1+1.46+0.5812=？ 50.1 ±0.1 1.46 ±0.01 + 0.5812 ±0.0001 52.1412
准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
x4
1.精密度是保证准确度的先决条件; 2.精密度好,不一定准确度高.
作 业：
P30-31， 习题1，2
2.3 有效数字及其运算规则
2.3.1 有效数字
在分析工作中实际能测量到的有实际意义的数字，
包括所有的准确数字和一位可疑数字。
例如：读取滴定管上的刻度：
甲：21.34mL，乙：21.35mL，丙：21.33mL。 可疑数字 估计的数值：
过失
由粗心大意引起, 可以避免。
例：器皿洗涤不干净、加错试剂、 计算错误等。
重做!
课堂讨论
P29，思考题2
2.2
准确度（ accuracy) 和精密度
（precision）
准确度：分析结果与真实值接近的程度（用误
差衡量） ；
精密度：几次分析测定结果数值接近的程度
第二章 误差和分析数据处理
课堂互动 下面是三位学生练习射击后的射击靶 图，请您用精密度或准确度的概念来评 价这三位学生的射击成绩。
二、系统误差和偶然误差
误差(error)：测量值与真实值的差值
根据误差产生的原因及性质，可以将误差分为系统误 差和偶然误差。
1 系统误差 (systematic error) 又称可测误差，由某
§3 有效数字及计算规则
小问题：1与1.0和1.00相等吗? 答:在分析化学中1≠1.0≠1.00 一、有效数字(significant figure) 概念：分析工作中实际上能测量到的数字，除最后一 位为可疑数字，其余的数字都是确定的
如：分析天平称量：1.21 23 (g) 滴定管读数：23.20 (ml)
=0.17
S 0.17 RSD 100 % 100 % 1.1% 15.82 X
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
例: 两组数据
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21,
n=8 n=8 d1=0.28 d2=0.28 s1>s2 s1=0.38 s2=0.29 (2) 0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31，-0.27
(1)绝对误差 (δ) : δ= x－μ (2) 相对误差(RE): R E= δ / μ× 100%
注:
注1:两种误差都有正、负值之分。
小问题1：
买猪肉1000斤少0.5斤和买1斤少0.5斤哪个误差大?
小问题2： 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021克，另一 个是0.5432克，两个测量值的绝对误差都是0.0001 克，试通过计算相对误差来说明哪种表示法更好。
实验力学盖秉政第2章误差分析和数据处理
Sy
y x1
2 S12
y x 2
2
S
2 2
y x r
2
S
2 r
r
y xi
2
S
2 i
r
y xi
S
i
于是各自变量的误差
S1
Sy
r
y x1
， S2
Sy
r
y x2
，
……
Sr
Sy
r
y xr
p.20
理论力学
理论力学
【例题2-2】一悬臂梁如图2-5所示，要 求测量应力误差不大于2％，求各被测量 F、l、b、h允许多大误差。
x
1 n
x1
x2
xn
1 n
n i1
xi
（2-3）
剩余误差
剩余误差是测量数据与其算术平均值之差，记作 i
即
i xi x
算术平均差
算术平均差是剩余误差绝对值的算术平均值，即
1 n i n i1
（2-4）
p.10
理论力学
理论力学
2．标准差
随机变量的重要特征是分散性，标 准差与随机误差的平方有关，对数值较 大的误差反应灵敏，因而标准差是评估 随机误差分散性的重要指标。
1.准确度 准确度是指测量值与真值接近的程度
2.精密度 精密度是指多次测量所得数据的重复程度
图2-1 不同打靶结果说明准确度和精密度
p.5
理论力学
第三节 系统误差的消除
理论力学
一、校准法
定期校准仪器仪表是消除系统误差的重要方法。校准法是用更准确的 仪器校准实验仪器以减小系统误差，或用通过分析给出的各种修正公式修 正实验数据以消除系统误差。
检测技术 第二章：误差分析与数据处理
可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，
第二章 误差和分析数据的处理
第二章误差和分析数据的处理第一节误差及其产生的原因定量分析的任务是准确测定试样中各组分的含量，因此必须使分析结果具有一定的准确度。
不准确的分析结果将会导致生产上的损失、资源上的浪费和科学上的错误结论。
在定量分析中，由于受到分析方法、测量仪器、所用试剂和分析人员主观条件等方面的限制，故使测定的结果不可能和真实含量完全一致；即使是分析技术非常熟练的分析人员，用最完善的分析方法、最精密的仪器和最纯的试剂，在同一时间，同样条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不会完全一样。
这说明客观存在着难于避免的误差。
因此，人们在进行定量分析时，不仅要得到被测组分的含量，而且必须对分析结果进行评价，判断分析结果的准确性（可靠程度），检查产生误差的原因，采取减小误差的有效措施，从而不断提高分析结果的准确程度。
分析结果与真实结果之间的差值称为误差。
分析结果大于真实结果，误差为正；分析结果小于真实结果，误差为负。
一、误差的分类根据误差的性质与产生的原因，可将误差区分为系统误差和偶然误差两类。
（一）系统误差系统误差（systematic error）也叫可定误差（determination error），它是由某种确定的原因引起的，一般有固定的方向（正或负）和大小，重复测定可重复出现。
根据系统误差的来源，可区分为方法误差、仪器误差、试剂误差及操作误差等四种。
（1）方法误差：由于分析方法本身的缺陷或不够完善所引起的误差。
例如，在质量分析法中，由于沉淀的溶解或非被测组分的共沉淀；在滴定分析法中，由于滴定反应进行不完全，干扰离子的影响，测定终点和化学计量点不符合等，都会产生这种误差。
（2）仪器误差：由于所用仪器本身不够准确或未经校正所引起的误差。
例如，天平两臂不等长，砝码、滴定管刻度不够准确等，会使测定结果产生误差。
（3）试剂误差：由于试剂不纯和蒸馏水中含有杂质引入的误差。
（4）操作误差：由于操作人员的习惯与偏向而引起的误差。
例如，读取滴定管的读数时偏高或偏低，对某种颜色的变化辨别不够敏锐等所造成的误差。
第二章 定量分析中的误差与数据处理
x x
平均偏差（ 平均偏差（average deviation）又称算术平均偏差： ）又称算术平均偏差：
d=
∑d
i=1
n
i
n
=
∑x
i =1
n
i
−x
n
相对平均偏差： 相对平均偏差：
d ×100% x
例：测定合金中铜含量的两组结果如下
d dr 测定数据/ 测定数据/％ X 第一 10.3，9.8，9.4，10.2，10.1， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 10.4，10.0，9.7，10.2，9.7 第二 10.0，10.1，9.3*，10.2，9.9， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 9.8，10.5*，9.8，10.3，9.9
特点 单向性。 ① 单向性。对分析结果的影响 比较固定， 比较固定，即误差的正或负固 定。 重现性。平行测定时， ② 重现性。平行测定时，重复 出现。 出现。 可测性。可以被检测出来， ③ 可测性。可以被检测出来， 因而也是可以被校正的。 因而也是可以被校正的。
偶然误差（随机误差）—由偶然因素引起的误差
10kg
±1 Ea % = ×100% = 10% 10
±1 Ea % = × 100% = ±0.1% 1000
1000kg
1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 相对误差衡量分析结果的准确度更加客观 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大， 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大，相对误 当绝对误差相同时 差越小，测定的准确程度越高。 差越小，测定的准确程度越高。
*
1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59
平均偏差（ 平均偏差（average deviation）又称算术平均偏差： ）又称算术平均偏差：
d=
∑d
i=1
n
i
n
=
∑x
i =1
n
i
−x
n
相对平均偏差： 相对平均偏差：
d ×100% x
例：测定合金中铜含量的两组结果如下
d dr 测定数据/ 测定数据/％ X 第一 10.3，9.8，9.4，10.2，10.1， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 10.4，10.0，9.7，10.2，9.7 第二 10.0，10.1，9.3*，10.2，9.9， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 9.8，10.5*，9.8，10.3，9.9
特点 单向性。 ① 单向性。对分析结果的影响 比较固定， 比较固定，即误差的正或负固 定。 重现性。平行测定时， ② 重现性。平行测定时，重复 出现。 出现。 可测性。可以被检测出来， ③ 可测性。可以被检测出来， 因而也是可以被校正的。 因而也是可以被校正的。
偶然误差（随机误差）—由偶然因素引起的误差
10kg
±1 Ea % = ×100% = 10% 10
±1 Ea % = × 100% = ±0.1% 1000
1000kg
1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 相对误差衡量分析结果的准确度更加客观 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大， 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大，相对误 当绝对误差相同时 差越小，测定的准确程度越高。 差越小，测定的准确程度越高。
*
1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59
第二章 误差及分析数据处理
3. 减免方法：增加平行测定次数
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
分析化学第二章误差与分析数据处理
选择合适的分析方法
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
第二章_误差和分析数据处理 3.
相对偏差(relative deviation dr)：偏差占平均值中的份额。
dr
x x x
100 0 0
平均偏差(mean deviation, d )：将一组测量值之各次测定偏 差的绝对值对测定次数求得的平均值。平均偏差无正负之分。
1 n d xi x n i 1
相对平均偏差 (relative mean deviation, d )：平均偏差占测 r 量平均值的比例。
2. 随机误差（random error）
由测量过程中一系列有关因素的微小随机波动 而引起的、具有相互抵消性的误差，具有统计规 律性，多次测量时正负误差可能相互抵消。 随机误差不可避免，也无法严格控制，仅可尽量 减少(如增加测定次数)。
系统误差的单向性和可重复性决定其只影响准确 度而不影响精密度；随机误差的双向和不确定性 则对准确度和精密度都有影响。
第二章 误差和分析数据处理
(Errors in Quantitative Analysis and Statistical Data Treatment )
2.1 测定误差及其分类 2.2 有效数字及运算规则
2.3 分析数据的统计处理
2.1 测定误差及其分类
2.1.1 准确度和精密度 1. 误差和准确度
2．偏差与精密度
平均值( x , mean)：n 次测量数据的算术平均值。
x1 x2 x3 xn 1 n X xi n n i 1 平均值比单次测量值 x 更客观地代表待测参数。
精密度(precision)：一组测定数值彼此之间的接近程度(即
多次重复测定某一量时所得测量值的离散程度)，常以偏差、
d d r 100% x
标准偏差(standard deviation, s)：偏差平方和之均值的平方根 （特点：将突现大偏差对测定结果的影响）。
dr
x x x
100 0 0
平均偏差(mean deviation, d )：将一组测量值之各次测定偏 差的绝对值对测定次数求得的平均值。平均偏差无正负之分。
1 n d xi x n i 1
相对平均偏差 (relative mean deviation, d )：平均偏差占测 r 量平均值的比例。
2. 随机误差（random error）
由测量过程中一系列有关因素的微小随机波动 而引起的、具有相互抵消性的误差，具有统计规 律性，多次测量时正负误差可能相互抵消。 随机误差不可避免，也无法严格控制，仅可尽量 减少(如增加测定次数)。
系统误差的单向性和可重复性决定其只影响准确 度而不影响精密度；随机误差的双向和不确定性 则对准确度和精密度都有影响。
第二章 误差和分析数据处理
(Errors in Quantitative Analysis and Statistical Data Treatment )
2.1 测定误差及其分类 2.2 有效数字及运算规则
2.3 分析数据的统计处理
2.1 测定误差及其分类
2.1.1 准确度和精密度 1. 误差和准确度
2．偏差与精密度
平均值( x , mean)：n 次测量数据的算术平均值。
x1 x2 x3 xn 1 n X xi n n i 1 平均值比单次测量值 x 更客观地代表待测参数。
精密度(precision)：一组测定数值彼此之间的接近程度(即
多次重复测定某一量时所得测量值的离散程度)，常以偏差、
d d r 100% x
标准偏差(standard deviation, s)：偏差平方和之均值的平方根 （特点：将突现大偏差对测定结果的影响）。
第二章 实验数据误差分析和数据处理
第二章误差和分析数据处理•2.1 测量值的准确度和精密度•2.2 提高分析结果准确度的方法（自学）•2.3 有效数字及其运算规则•2.4 有限量测量数据的统计处理•2.5 相关分析和回归分析（自学）§2.1 测量值的准确度和精密度误差（Error) : 测量值与真值之差。
➢真值T (True value)某一物理量本身具有的客观存在的真实值。
真值是未知的、客观存在的量。
在特定情况下认为是已知的：1、理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的含量）2、计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、物质的量单位等等）3、相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量值）（例如，标准样品的标准值）误差分类•系统误差（Systematic error)—某种固定的因素造成的误差方法误差、仪器误差、试剂误差、操作误差•随机误差（Random error)—不定的因素造成的误差仪器误差、操作误差系统误差与随机误差的比较项目系统误差随机误差产生原因固定因素，有时不存在不定因素，总是存在分类方法误差、仪器与试剂误差、主观误差环境的变化因素、主观的变化因素等性质重现性、单向性（或周期性）、可测性服从概率统计规律、不可测性影响准确度精密度消除或减小的方法校正增加测定的次数系统误差的校正•方法系统误差——方法校正•主观系统误差——对照实验校正（外检）•仪器系统误差——对照实验校正•试剂系统误差——空白实验校正如何判断是否存在系统误差？E a = x –x T 相对误差x ＜x T 为负误差，说明测定结果偏低x ＞x T 为正误差，说明测定结果偏高误差越小，分析结果越接近真实值，准确度也越高x -x T x T x T E r = ——= ————常用%表示Ea 绝对误差 误差的表示：对一B 物质客观存在量为T 的分析对象进行分析，得到n 个个别测定值x 1、x 2、x 3、••• x n ，对n 个测定值进行平均，得到测定结果的平均值，那么：个别测定的误差为：T x i -测定结果的绝对误差为：T x E a -=测定结果的相对误差为：%100⨯=TE E a r 平均值偏差（deviation): 单次测量值与测量平均值之差。
第二章+误差和分析数据的+处理
衡量测量值分散程度用得最多的是标准偏差。
总体标准偏差（）：当测量为无限次测量时，各 测量值对总体平均值的偏离。
公式：
n
(xi ) 2
i 1
n
—总体平均值
只能在总体平均值已知的情况下才使用
• (样本)标准偏差(standard deviation， S)：有限次测
量(n20)的各测量值对平均值的偏离。
（2）若分析结果R是测量值X、Y、Z三个测量值相 乘除的结果，例如：R=XY/Z 则：
R X Y Z
RXY Z
• P12 例3
2.1.3.2 偶然误差的传递
1.极值误差法
考虑在最不利的情况下，各步测量带来的误差的 相互累加，这种误差称为极值误差。 用这种简便的方法可以粗略估计可能出现的最大 偶然误差。 一般情况下，当确定了使用的测量仪器和测定步 骤后，各测量值的最大误差就是已知的。 例如：称量；滴定
滴定管读数的极值误差为： ΔV=|±0.01 mL| + |±0.01 mL |=0.02 mL
故滴定剂体积为： （22.10-0.05）mL± 0.02 mL =（22.05±0.02）mL
2. 标准偏差法 （1）和、差的结果的标准偏差的平方是各测量值
标准偏差的平方之和。
（2）积、商的结果的相对标准偏差的平方是各测 量值相对标准偏差的平方之和。
被测组分含量不同时，对分析结果准确度的要求 就不一样。常量组分的分析一般要求相对误差在 0.2%，微量组分在1%到5%。
2.1.4.2 减小测量误差
根据误差的传递规律，分析过程中每一步的测
量误差都会影响最后的分析结果，所以尽量减 小各步的测量误差。 如何减小？
各测量步骤的准确度应与分析方法的准确度相
总体标准偏差（）：当测量为无限次测量时，各 测量值对总体平均值的偏离。
公式：
n
(xi ) 2
i 1
n
—总体平均值
只能在总体平均值已知的情况下才使用
• (样本)标准偏差(standard deviation， S)：有限次测
量(n20)的各测量值对平均值的偏离。
（2）若分析结果R是测量值X、Y、Z三个测量值相 乘除的结果，例如：R=XY/Z 则：
R X Y Z
RXY Z
• P12 例3
2.1.3.2 偶然误差的传递
1.极值误差法
考虑在最不利的情况下，各步测量带来的误差的 相互累加，这种误差称为极值误差。 用这种简便的方法可以粗略估计可能出现的最大 偶然误差。 一般情况下，当确定了使用的测量仪器和测定步 骤后，各测量值的最大误差就是已知的。 例如：称量；滴定
滴定管读数的极值误差为： ΔV=|±0.01 mL| + |±0.01 mL |=0.02 mL
故滴定剂体积为： （22.10-0.05）mL± 0.02 mL =（22.05±0.02）mL
2. 标准偏差法 （1）和、差的结果的标准偏差的平方是各测量值
标准偏差的平方之和。
（2）积、商的结果的相对标准偏差的平方是各测 量值相对标准偏差的平方之和。
被测组分含量不同时，对分析结果准确度的要求 就不一样。常量组分的分析一般要求相对误差在 0.2%，微量组分在1%到5%。
2.1.4.2 减小测量误差
根据误差的传递规律，分析过程中每一步的测
量误差都会影响最后的分析结果，所以尽量减 小各步的测量误差。 如何减小？
各测量步骤的准确度应与分析方法的准确度相
第二章误差分析
SR
332
0.018
t |1.25 1.33 | 33 5.4 0.018 3 3
查表得t0.05,4=2.776。由于t>t0.05,4，所以两个试样的
22
第三节 有限测量数据的统计处理
一、偶然(随机)误差的正态分布
同一矿石样品的n次测定值：
23
y
测量值的波动符合正态分布
y
1
2
exp
1 2
x
2
µ -0 +
x(测量值) x-µ(误差)
y 表示概率密度
σ—总体标准偏差，表示数据的离散程度
μ—无限次测量的总体平均值，
x 表示测量值
e = 2.71828
5
(2)标准值（相对真值） 通过高精密度测量到获得的更 接近真值的值。 获得标准值的试样为标准试样（标准参考物质） 经有权威机构认定并提供
6
（二）精密度与偏差 1.精密度 (precision) 平行测量的各测量值间的相互接近程度 2.偏差的表示方法： （1）偏差 （2）平均偏差 (average deviation) （3）相对平均偏差 （4）标准偏差 （5）相对标准偏差
x u
（2）由少量测定结果均值估计μ的置信区间
x t s x t sx
x
n
29
双侧置信区间 XL<µ<XU 单侧置信区间 µ>XL 或者µ<XU
置信度越高，置信区间越大，估计区间包 含真值的可能性越高 。
30
例1:如何理解 47.50% 0.10%置信度P 95%
解：理解为在47.50% 0.10%的区间内
化学分析法——测高含量组分，相对误差小
第二章 误差和分析数据处理-分析化学
xie 分 析 化 学
第二章 误差和分析数据处理
第一节 概述
xie 分 析 化 学
产生测定误差的原因：
抽样的代表性； 测定方法的可靠性； 仪器的准确性； 测定方法的复杂性；
测定者的主观性；
操作者的熟练性
xie 分 析 化 学 一、绝对误差和相对误差
第二节 测量误差
绝对误差（absolute error）
减小测量误差
取样量大于0.2g；
滴定液消耗的体积大于20ml；
紫外吸收度在0.2~0.7之间。
xie 分 析 化 学
相对误差=δw/W<1‰
W>δw/1‰=0.0002/1‰=0.2g 相对误差=δv/V<1‰ V>δv/1‰=0.02/1‰=20 ml
增加平行测定次数
xie 分 析 化 学
2 i
n
相对标准偏差（relative standarddeviation;RSD） 或称变异系数（coefficient of variation;CV）
2 ( x x ) i n i 1
S RSD 100% x
n 1 x
100%
例题 ：四次标定某溶液的浓度，结果为0.2041、
标准偏差法：
R=x+y－z
R=xy/z
2 2 2 2 SR Sx Sy Sz
Sy 2 Sx 2 SR 2 Sz 2 ( ) ( ) ( ) ( ) R x y z
五、提高分析准确度的方法
xie 分 析 化 学
选择恰当的分析方法
被测组分的含量； 被测组分共存的其它物质的干扰。
0.00022 0.00062 0.00042 0.00002 标准偏差 S 0.0004 (mol/ L) 4 1
第二章 误差和分析数据处理
第一节 概述
xie 分 析 化 学
产生测定误差的原因：
抽样的代表性； 测定方法的可靠性； 仪器的准确性； 测定方法的复杂性；
测定者的主观性；
操作者的熟练性
xie 分 析 化 学 一、绝对误差和相对误差
第二节 测量误差
绝对误差（absolute error）
减小测量误差
取样量大于0.2g；
滴定液消耗的体积大于20ml；
紫外吸收度在0.2~0.7之间。
xie 分 析 化 学
相对误差=δw/W<1‰
W>δw/1‰=0.0002/1‰=0.2g 相对误差=δv/V<1‰ V>δv/1‰=0.02/1‰=20 ml
增加平行测定次数
xie 分 析 化 学
2 i
n
相对标准偏差（relative standarddeviation;RSD） 或称变异系数（coefficient of variation;CV）
2 ( x x ) i n i 1
S RSD 100% x
n 1 x
100%
例题 ：四次标定某溶液的浓度，结果为0.2041、
标准偏差法：
R=x+y－z
R=xy/z
2 2 2 2 SR Sx Sy Sz
Sy 2 Sx 2 SR 2 Sz 2 ( ) ( ) ( ) ( ) R x y z
五、提高分析准确度的方法
xie 分 析 化 学
选择恰当的分析方法
被测组分的含量； 被测组分共存的其它物质的干扰。
0.00022 0.00062 0.00042 0.00002 标准偏差 S 0.0004 (mol/ L) 4 1
第二章 误差和分析数据处理
2位
2位
2位
(6) 数据的第一位数大于等于 8, 有效数字可多算一 位： 9.55 4位 ; 8.2 3位
37
1.0008 0.1000 0.0382
43181 10.98%
五 位有效数字 四 位有效数字 二 位有效数字 一 位有效数字 位数模糊
1.98×10-10 三 位有效数字
54
0.05
0.0040
度）是精密度常见的别名。
一般例行分析精密度用相对平均偏差表示就
够了，但在科研中要用标准偏差或相对标准偏差
来表示。
18
3、准确度和精密度的关系
x1
x2
x3
x4
19
一般情况下，精密度高，准确度不 一定高。 精密度不高，准确度不可靠。 在消除系统误差的前提下，精密度 好，准确度就高。 精密度高是保证准确度好的前提 精密度好不一定准确度高
答：不可以。 3、系统误差和偶然误差在起因及出现规律方面，有什 么不同？ 答：系统误差是由确定原因引起的，可重复出现，偶然 误差是由不确定原因引起的，遵循一定的统计规律。
7
4、分析测定中系统误差的特点是： A、由一些原因引起的 B、重复测定会重复出现 C、增加测定次数可减小系统误差 D、系统误差无法消除
☆移液管:25.00mL(4);
☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)
34
有效数字的位数与计算相对误差有关
0.5180g
相对误差=± 0.0001/ 0.5180 ×100%=±0.02%
0.518g
相对误差=± 0.001/0.518 ×100%=±0.2%
35
判断有效数字的位数:
第二章
《分析化学》第二章 误差和分析数据的处理
几项规定: （1）在整数末尾加0用作有效数字或定位时，要 用科学计数法表示。
例：3600 → 3.6×103 两位 → 3.60×103 三位
（2）在分析化学计算中遇到倍数、π、e等常数 时，视为无限多位有效数字。
（3）对数数值的有效数字位数由该数尾数部分决定
[H+]= 6.3×10－12 [mol/L] → pH = 11.20
由国际权威机构国际计量大会定义的单位、数值， 如 时间、长度、原子量、物质的量等
如：基准米 1m=1 650 763.73 λ
(λ：氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
（3）相对真值：
由某一行业或领域内的权威机构严格按 标准方法获得的测量值。
如卫生部药品检定所派发的标准参考物质， 其证书上所表明的含量 （4）标准参考物质
②积、商的极值相对误差等于各测量值相对误差的 绝对值之和。
R=xy/z
R X Y Z RXYZ
标定NaOH溶液，称取KHP0.2000g，溶解， 用NaOH溶液滴定，消耗20.00ml。计算结果的 极值相对误差。
W W1 W2 W W1 W2 0.0001 0.0001 0.0002g
（4）首位为8或9的数字，有效数字可多计一位。
92.5可以认为是4位有效数
◇分析天平: 12.8228g(6) , 0.2348g(4) , ◇台秤: 4.0g(2), 30.2g(3) ☆50ml滴定管: 26.32mL(4), 3.97mL(3) ☆容量瓶: 50.00mL(4), 250.0mL (4) ☆移液管: 25.00mL(4); ☆10ml量筒: 4.5mL(2)
RE ±0.8% ±0.4% ±0.009%
（三）乘方、开方 结果的有效数字位数不变
例：3600 → 3.6×103 两位 → 3.60×103 三位
（2）在分析化学计算中遇到倍数、π、e等常数 时，视为无限多位有效数字。
（3）对数数值的有效数字位数由该数尾数部分决定
[H+]= 6.3×10－12 [mol/L] → pH = 11.20
由国际权威机构国际计量大会定义的单位、数值， 如 时间、长度、原子量、物质的量等
如：基准米 1m=1 650 763.73 λ
(λ：氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
（3）相对真值：
由某一行业或领域内的权威机构严格按 标准方法获得的测量值。
如卫生部药品检定所派发的标准参考物质， 其证书上所表明的含量 （4）标准参考物质
②积、商的极值相对误差等于各测量值相对误差的 绝对值之和。
R=xy/z
R X Y Z RXYZ
标定NaOH溶液，称取KHP0.2000g，溶解， 用NaOH溶液滴定，消耗20.00ml。计算结果的 极值相对误差。
W W1 W2 W W1 W2 0.0001 0.0001 0.0002g
（4）首位为8或9的数字，有效数字可多计一位。
92.5可以认为是4位有效数
◇分析天平: 12.8228g(6) , 0.2348g(4) , ◇台秤: 4.0g(2), 30.2g(3) ☆50ml滴定管: 26.32mL(4), 3.97mL(3) ☆容量瓶: 50.00mL(4), 250.0mL (4) ☆移液管: 25.00mL(4); ☆10ml量筒: 4.5mL(2)
RE ±0.8% ±0.4% ±0.009%
（三）乘方、开方 结果的有效数字位数不变
第二章 误差分析与数据处理
可疑观测值的舍 弃
乔文涅法则
样品号 l 2 3 4 5 6
Fe203% 50.30 50.25 50.27 50.33 50.34 50.55
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
• 黏度 误差分析与数
据处理
误差分析
可疑观测值的舍 弃
因测定次数为6，故采用乔文涅法则进行评 估。
50.30 50.25 50.27 50.33 50.34 50.55 xi x n 50.34 6
图1 数值分布图
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
• 黏度 误差分析与数
据处理
误差分析 误差
对离散度的表示方法，一般用偏差表示，
指观测值与平均值之差，通常所说的误差是
指观测值与真值（观测次数无限多时求得的 平均值）之差。习惯上常将二者混用而不加 区别。
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
计算：
G RT ln P O2
式中温度T和氧的分压 PO2 是直接测量 值，而△G是用已测得的T和 PO2 的值代入上
述函数关系式求得。
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
• 黏度 误差分析与数
据处理
误差分析
误差的传递 间接测量中误差 的传递
第二章 误差分析与数据处理
• 黏度 误差分析与数
据处理
冶金生产和科学试验中，测得的 数据只能达到一定程度的准确性。但 对准确性的要求在不同情况下则有所 不同，既不能盲目追求过高造成人力 和物力的浪费，也不能过低而造成测 得数据没有价值，所以对准确性的要 求必须适当。进行试验时，首先了解 试验所能达到的精度和产生误差的主 要因素，以及试验以后科学地分析和 处理数据的误差，这对试验水平的提 高有一定的指导作用。
乔文涅法则
样品号 l 2 3 4 5 6
Fe203% 50.30 50.25 50.27 50.33 50.34 50.55
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
• 黏度 误差分析与数
据处理
误差分析
可疑观测值的舍 弃
因测定次数为6，故采用乔文涅法则进行评 估。
50.30 50.25 50.27 50.33 50.34 50.55 xi x n 50.34 6
图1 数值分布图
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
• 黏度 误差分析与数
据处理
误差分析 误差
对离散度的表示方法，一般用偏差表示，
指观测值与平均值之差，通常所说的误差是
指观测值与真值（观测次数无限多时求得的 平均值）之差。习惯上常将二者混用而不加 区别。
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
计算：
G RT ln P O2
式中温度T和氧的分压 PO2 是直接测量 值，而△G是用已测得的T和 PO2 的值代入上
述函数关系式求得。
第二章 第三章误差分析与数据处理 科技论文写作
• 黏度 误差分析与数
据处理
误差分析
误差的传递 间接测量中误差 的传递
第二章 误差分析与数据处理
• 黏度 误差分析与数
据处理
冶金生产和科学试验中，测得的 数据只能达到一定程度的准确性。但 对准确性的要求在不同情况下则有所 不同，既不能盲目追求过高造成人力 和物力的浪费，也不能过低而造成测 得数据没有价值，所以对准确性的要 求必须适当。进行试验时，首先了解 试验所能达到的精度和产生误差的主 要因素，以及试验以后科学地分析和 处理数据的误差，这对试验水平的提 高有一定的指导作用。
第二章 误差和分析数据的处理
第二章误差和分析数据的处理一、内容提要本章讨论了误差的来源、性质及其减免方法，有效数字及运算规则，并简单介绍应用统计学原理处理分析数据的基本方法。
定量分析的任务是准确测定试样中组分的含量。
在分析过程中误差是客观存在的，因此作为分析工作者，不仅要测定试样中待测组分的含量，还应对测定结果作出评价，判断其准确性和可靠程度，查出产生误差的原因，并采取有效措施减少误差，使所得结果尽可能准确地反映试样中待测组分的真实含量。
定量分析误差根据其性质和来源，可分为系统误差和偶然误差两类。
系统误差是由确定原因引起，数据其恒定单向性，包括方法误差、仪器和试剂误差、操作误差。
系统误差对分析结果的作用有两种形式：恒定误差和比例误差。
系统误差可通过对照实验、回收实验、空白实验和校准仪器来检验和消除。
偶然误差是由偶然原因引起，其大小和正负都不固定，但服从统计规律，增加平行测定次数可减小偶然误差。
准确度是指测定值与真实值接近的程度，用误差来衡量，误差越小，准确度越高。
误差通常用绝对误差、相对误差表示。
精密度是指用相同方法对同一试样进行多次测定，各测定值彼此接近的程度，用偏差来衡量。
偏差越小，精密度越高，常用绝对偏差、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差，相对标准偏差来表示。
准确度和精确度既有严格区别又相互关联，一般而言：准确度高的前提是精密度高；但精密度高不一定准确度高；精密度不高，准确度肯定不可靠；只有精密度和准确度都好的结果才最为可靠。
因此，只有防止过失误差，减小偶然误差，消除或校正系统误差，才能得到可靠的分析结果。
有效数字的位数表示了分析结果的准确度，其记录和运算须遵循响应的规则。
相关与回归是研究变量间关系的统计方法，通常用相关系数来判断二变量是否成线性关系，由回归直线方程计算试样中被测组分的浓度。
本章重点是误差的分类，准确度与精密度的关系，有效数字及其修约规则。
本章难点是相关计算。
二、习题（一）判断题（）1．精密度高，准确度一定高。
第二章 误差和分析数据处理
∆R ∆x ∆y ∆z = + + R x y z
例如 用容量分析法测定药物有效成分的含量，其百 分含量（w%）计算公式：
TVF w% = ×100% m
则w的极值相对误差是：
∆ w ∆V ∆m ∆F = + + w V F m
2. 标准偏差法 定义：利用偶然误差的统计学传递规律估计测量结果的 偶然误差。 规律2：乘、除结果的相 规律1：和、差结果的标准 对标准偏差的平方，等 偏差的平方，等于各测量 于各测量值的相对标准 值的标准偏差的平方和。 偏差的平方和。 公式：R = x + y - z 公式：R = x·y/z
用分析天平称量两个样品，一个是0.0021g，另 一个是0.5432g。两个测量值的绝对误差都是 0.0001g，但相对误差呢
注意： （1）测高含量组分，Er可小；测低含量组分，Er可大 （2）仪器分析法——测低含量组分，Er大 化学分析法——测高含量组分，Er小
常用相对误差表示测定结果的准确度。
测量点
准确度与精密度的关系
精密度高是保证准确度高的前提。 精密度高，不一定准确度就高。
二、系统误差和偶然误差——误差的分类
（一）系统误差（systematic error）
由某种确定原因 确定原因造成的。 确定原因
特 点
单向性 重现性 可测性
对结果的影响比较固定。 重复测定重复出现。 原因可查，可以消除。
（三）准确度与精密度的关系
例：A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样 (wFe=37.40%)中的铁含量进行测量，结果如图示。
D C B A
36.00 36.50 37.00 平均值 37.50 38.00 真值 表观准确度高， 表观准确度高，精密度低 不可靠） （不可靠）
第二章 误差分析
重做!
例：加错试剂,少加试剂 仰视、俯视
• 俯视
• 仰视
思考题
1.下列情况引起什么误差？如何减免？ ⑴砝码受腐蚀；
系统误差，仪器校正 ⑵重量分析中，样品的非被测组分被共沉淀；
系统误差，另一方法测定。
⑶样品在称量过程中吸湿； 系统误差，将水分烘干后再称样。
⑷读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；
1 P
二、有限数据随机误差的t 分布(t-distribution)
1．正态分布——描述无限次测量数据
t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布—横坐标为 t
u
t
x
x
s
为总体均值
为总体标准偏差
s为有限次测量值的标准偏差
3.两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P 正态分布：P 随u 变化；
随机误差，读多次取平均值。
二、误差的表示方法
某一试样sample的真实值为μ，用同一方 法进行n 次测定，结果如下： x1、x2、x3、……xn 求得其平均值为 x 问：实验结果如何？或如何评价这一实验结果？
（1）计算结果的相对标准偏差，说明（精密度）
（2）计算结果的相对误差，说明结果的准确程度。
小结
●分析过程中的误差有系统误差和随机误差，
●对同一样品多次平行测得值的相互接近程度
用精密度（S）表示；其平均值是否接近真值， 用准确度（E）表示。
●必须消除系统误差减小随机误差，以提高
分析结果的准确度。
第二节
总体 抽样
随机误差的统计概念
样本 统计方法 观测 数据
基本概念：
总体population——研究对象的全体 个体individual——组成总体的每一个单位
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测得值出现的概率密度正态分布函数（或高斯分布函数） 为 x m 2 1 f x exp N m, 2 2 2 2
位置特征m 表示测得值分布的集中位置，m值改 变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。
2.25
离散特征σ表示测得值的分散程度，σ改变时，分布 曲线位置不变，但形状改变。
且又互不相关的因素所引起的综合结果。
2.19
航空检测技术
随机误差特性：
• 对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测 量中出现的可能性相等。 • 有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会 超出某一限度。 • 单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差 在多次重复测量中出现的机会多。 • 抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而 趋于零。
2.2.1 系统误差(system error) 在相同的条件下，对同一物理量进行多次 测量，如果误差按照一定规律出现，则把 这种误差称为系统误差，简称系差。
2.16
航空检测技术
系统误差分类
定值系统误差(简称定值系差)：数值和符号都 保持不变的系统误差。 变值系统误差(简称变值系差)：数值和符号均 按照一定规律性变化的系统误差。 变值系差按其变化规律又可分为线性系统误差， 周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。
航空检测技术
随机误差服从正态分布是从统计角度而言的， 也就是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的 测量情况而言的。 与随机变量在某范围内取值的概率相关的几个概念：
置信区间：随机变量取值的范围，常用正态分布的标准 误差σ 的倍数来表示，即 z ，其中 Z 为 置信系数。 置信概率：随机变量在置信区间 z 内取值的概率。 置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。
航空检测技术
第2章
误差分析与数据处理
2.1
航空检测技术
本章内容
2.1 测量误差的基本概念
2.2 误差的分类
2.3 测量数据处理
2.4 测量系统最佳测量方案的确定
2.5 测量不确定度
2.2
航空检测技术
2.1测量误差的基本概念
2.1.1 测量误差的名词术语
• 真值： 是指在一定的时间及空间(位置或状态)条
2.20
航空检测技术
随机误差的变化通常难以预测，因 此也无法通过实验方法确定、修正 和清除。但是通过多次测量比较可 以发现随机误差服从某种统计规律 (如正态分布、均匀分布、泊松分布 等)。
2.21
航空检测技术
2.2.3 粗大误差 (Abnormal Error) 明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大 误差。
2.23
航空检测技术
2.3 测量数据处理
2.3.1 随机误差及其处理
由于随机误差是由一系列随机因素引起的， 因而随机变量可以用来表达随机误差的取值 范围及概率。若有一非负函数，其对任意实 x 数有分布函数 F ( x) f ( x)dx
称F(x)为x的概率分布密度函数
Pa x b F b F a f x dx
b a
2.24
为误差在a, b之间的概率，在测量系统中，若系统误差已 经减小到可以忽略的程度后才可对随机误差进行统计处理。
航空检测技术
大量的、微小的及独立的随机变量之总和服从正态 分布。实际中各种非正态分布也很多，故对随机误 差按下述方法给予描述：正态分布，非正态分布的 均匀分布和t分布。 1. 随机误差的正态分布
如：数字计算中的舍入误差
1 2a
a
2.29
0
a
航空检测技术
2）t分布:主要用来处理小样本（即测量数据比较少） 的测量数据。
分布概率密度曲线与标准正态分布的图形相似，特点 在于分布与标准差的估计值无关，但与自由度N-1有 关。当N较大（大于30）时，t分布和正态分布的差异 就很小了，当 时，两者就完全相同。 N
2.17
航空检测技术
如图所示，
1定值系差
2 线性系统误差
3周期系统误差
4复杂规律系统误差
系统误差示意图
系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不 正确，测量设备的基本误差、读数方法不正确以及 环境误差等。系统误差是一种有规律的误差，故可 以通过理论分析采用修正值或补偿校正等方法来减 2.18 小或消除。
分贝误差的单位为dB。
2.12
航空检测技术
2.1.3 误差产生原因及其分类
可以根据产生误差的原因可以将误差分为： 器具误差、方法误差、调整误差、观测误差、环 境误差等。其中，调整误差和观测误差是人员误 差。
1．方法误差:由于测量方法不合理所引起的 误差。
2.13
航空检测技术
2．理论误差:是由于测量理论本身不够完 善而采用近似公式或近似值计算测量结 果时所引起的误差。 3．测量装置误差:指测量仪表本身以及仪 表组成元件不完善所引入的误差。
2.33
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2.3.3 系统误差的处理
对系统误差的处理，通常涉及到以下几个方面： 1） 判断系统误差是否存在； 2） 分析产生系统误差的原因以及在测量 前尽量消除； 3）在测量过程中采取某些有效措施，尽 量消除或减小系统误差的影响； 4）设法估计出残存系统误差的数位或范 围。
2.30
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2.3.2 随机误差的估算 1. 随机误差的表示方法
（1） 标准偏差 标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数Z ＝1，即真值处于xi 范围内的可信程度为 68.3%。
2.31
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当置信系数Z=3时，置信度P=99.73%，故可以认为 真值落在 3 范围内的概率已接近100%。因此，在 工程测试中常以这个参数来表示测量精度，称为极 限误差或最大误差，用 m 表示，即
2.7
航空检测技术
曲线1(准确度高)表示准确却不精密（δ小，σ大）的 测量， 曲线2（精密度高）表示精密却不准确（δ大，σ小） 的测量。
2.8
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靶心为真实值，图中红点为测量值。 精密测量中由于已经采取一定的措施(如改进测 量方法，改善测量条件)减小或消除了系统误差， 因而随机误差是主要的。
2.27
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置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，随机 误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。 在实际测量中，如有95%的置信概率时，其可靠性已 经足够了，此时的置信区间是 2，置信水平为5%。
0.00 1.0000
ห้องสมุดไป่ตู้T或z
概率密度
0.00 0.3989 0.0000
0.50 0.3521 0.3829
2.14
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4．环境误差:是测量仪表的工作环境与要求 条件不一致所造成的误差。 5．人身误差:是由于测量者本人不良习惯、 操作不熟练或疏忽大意所引起的误差。 在测量工作中，对于误差的来源必须认 真分析，采取相应措施，以减小误差对测量 结果的影响。
2.15
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2.2 测量误差特性分类
2.1.2 测量误差的表示方法
1．绝对误差：是指测量结果的测量值与被测量的 真值之间的差值。
2．相对误差：定义为绝对误差与真值（可用测量 值替代）之比的百分数。 3．引用误差：绝对误差与测量仪表的满量程的百 分比。
2.11
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4. 分贝误差
分贝误差定义为：
测量结果 分贝误差 20 lg 真值
件下，被测量所体现的真实数值。 真值是客观存在，但不可测量的，是一个理 想的概念。通常所说的真值可以分为： “理论真值”、“约定真值”和“相对真值”。
2.3
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•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条 件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 一般情况下，理论真值是未知的。
•约定真值是指用约定的办法确定的最高基准 值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。测量中， 修正过的算术平均值也可作为约定真值。
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2.2.2 随机误差 (random error)
当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出 现的大小和符号均以不可预知的方式变化，则该 误差为随机误差。随机误差产生的原因比较复杂， 虽然测量是在相同条件下进行的，但测量环境中 温度、湿度、压力、振动、电场等总会发生微小
变化，因此，随机误差是大量对测量值影响微小
粗大误差一般是由于操作人员粗心大意、操作
不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验
等造成的。含有粗大误差的测量值称为坏值或
异常值，所有的坏值在数据处理时应剔除掉。
2.22
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按误差出现的规律，将下列误差分类
①用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定 时间重复测量n次，测量数值间有一定的偏差； ②用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的 阻值始终偏大； ③由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个 非正常的角度对指针式仪表读数，由此产生的读数 误差； ④由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据 造成的误差； ⑤用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差； ⑥要求垂直安装的仪表，没有能按照规定安装造成的 测量误差。
• 测量结果 由测量所得的测量值。在测量结 果的表述中，还应包括测量不确定度和有关 影响量的值。
2.6
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• 测量结果的精度：反映测量结果与真值接近程度的量。
精度与误差大小相对应，即：误差大，精度低；误差小， 精度高。精度是从另一角度评价测量误差大小的量，可 细分为：准确度、精密度和精确度。 （1）准确度：反映测量中系统误差(system error)δ的大 小，即测量结果偏离真值的程度； （2）精密度：反映测量中随机误差(random error) σ的 大小，即测量结果的分散程度； （3）精确度：反映测量中系统误差δ与随机误差σ综合 影响的程度。
位置特征m 表示测得值分布的集中位置，m值改 变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。
2.25
离散特征σ表示测得值的分散程度，σ改变时，分布 曲线位置不变，但形状改变。
且又互不相关的因素所引起的综合结果。
2.19
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随机误差特性：
• 对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测 量中出现的可能性相等。 • 有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会 超出某一限度。 • 单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差 在多次重复测量中出现的机会多。 • 抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而 趋于零。
2.2.1 系统误差(system error) 在相同的条件下，对同一物理量进行多次 测量，如果误差按照一定规律出现，则把 这种误差称为系统误差，简称系差。
2.16
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系统误差分类
定值系统误差(简称定值系差)：数值和符号都 保持不变的系统误差。 变值系统误差(简称变值系差)：数值和符号均 按照一定规律性变化的系统误差。 变值系差按其变化规律又可分为线性系统误差， 周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。
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随机误差服从正态分布是从统计角度而言的， 也就是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的 测量情况而言的。 与随机变量在某范围内取值的概率相关的几个概念：
置信区间：随机变量取值的范围，常用正态分布的标准 误差σ 的倍数来表示，即 z ，其中 Z 为 置信系数。 置信概率：随机变量在置信区间 z 内取值的概率。 置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。
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第2章
误差分析与数据处理
2.1
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本章内容
2.1 测量误差的基本概念
2.2 误差的分类
2.3 测量数据处理
2.4 测量系统最佳测量方案的确定
2.5 测量不确定度
2.2
航空检测技术
2.1测量误差的基本概念
2.1.1 测量误差的名词术语
• 真值： 是指在一定的时间及空间(位置或状态)条
2.20
航空检测技术
随机误差的变化通常难以预测，因 此也无法通过实验方法确定、修正 和清除。但是通过多次测量比较可 以发现随机误差服从某种统计规律 (如正态分布、均匀分布、泊松分布 等)。
2.21
航空检测技术
2.2.3 粗大误差 (Abnormal Error) 明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大 误差。
2.23
航空检测技术
2.3 测量数据处理
2.3.1 随机误差及其处理
由于随机误差是由一系列随机因素引起的， 因而随机变量可以用来表达随机误差的取值 范围及概率。若有一非负函数，其对任意实 x 数有分布函数 F ( x) f ( x)dx
称F(x)为x的概率分布密度函数
Pa x b F b F a f x dx
b a
2.24
为误差在a, b之间的概率，在测量系统中，若系统误差已 经减小到可以忽略的程度后才可对随机误差进行统计处理。
航空检测技术
大量的、微小的及独立的随机变量之总和服从正态 分布。实际中各种非正态分布也很多，故对随机误 差按下述方法给予描述：正态分布，非正态分布的 均匀分布和t分布。 1. 随机误差的正态分布
如：数字计算中的舍入误差
1 2a
a
2.29
0
a
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2）t分布:主要用来处理小样本（即测量数据比较少） 的测量数据。
分布概率密度曲线与标准正态分布的图形相似，特点 在于分布与标准差的估计值无关，但与自由度N-1有 关。当N较大（大于30）时，t分布和正态分布的差异 就很小了，当 时，两者就完全相同。 N
2.17
航空检测技术
如图所示，
1定值系差
2 线性系统误差
3周期系统误差
4复杂规律系统误差
系统误差示意图
系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不 正确，测量设备的基本误差、读数方法不正确以及 环境误差等。系统误差是一种有规律的误差，故可 以通过理论分析采用修正值或补偿校正等方法来减 2.18 小或消除。
分贝误差的单位为dB。
2.12
航空检测技术
2.1.3 误差产生原因及其分类
可以根据产生误差的原因可以将误差分为： 器具误差、方法误差、调整误差、观测误差、环 境误差等。其中，调整误差和观测误差是人员误 差。
1．方法误差:由于测量方法不合理所引起的 误差。
2.13
航空检测技术
2．理论误差:是由于测量理论本身不够完 善而采用近似公式或近似值计算测量结 果时所引起的误差。 3．测量装置误差:指测量仪表本身以及仪 表组成元件不完善所引入的误差。
2.33
航空检测技术
2.3.3 系统误差的处理
对系统误差的处理，通常涉及到以下几个方面： 1） 判断系统误差是否存在； 2） 分析产生系统误差的原因以及在测量 前尽量消除； 3）在测量过程中采取某些有效措施，尽 量消除或减小系统误差的影响； 4）设法估计出残存系统误差的数位或范 围。
2.30
航空检测技术
2.3.2 随机误差的估算 1. 随机误差的表示方法
（1） 标准偏差 标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数Z ＝1，即真值处于xi 范围内的可信程度为 68.3%。
2.31
航空检测技术
当置信系数Z=3时，置信度P=99.73%，故可以认为 真值落在 3 范围内的概率已接近100%。因此，在 工程测试中常以这个参数来表示测量精度，称为极 限误差或最大误差，用 m 表示，即
2.7
航空检测技术
曲线1(准确度高)表示准确却不精密（δ小，σ大）的 测量， 曲线2（精密度高）表示精密却不准确（δ大，σ小） 的测量。
2.8
航空检测技术
靶心为真实值，图中红点为测量值。 精密测量中由于已经采取一定的措施(如改进测 量方法，改善测量条件)减小或消除了系统误差， 因而随机误差是主要的。
2.27
航空检测技术
置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，随机 误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。 在实际测量中，如有95%的置信概率时，其可靠性已 经足够了，此时的置信区间是 2，置信水平为5%。
0.00 1.0000
ห้องสมุดไป่ตู้T或z
概率密度
0.00 0.3989 0.0000
0.50 0.3521 0.3829
2.14
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4．环境误差:是测量仪表的工作环境与要求 条件不一致所造成的误差。 5．人身误差:是由于测量者本人不良习惯、 操作不熟练或疏忽大意所引起的误差。 在测量工作中，对于误差的来源必须认 真分析，采取相应措施，以减小误差对测量 结果的影响。
2.15
航空检测技术
2.2 测量误差特性分类
2.1.2 测量误差的表示方法
1．绝对误差：是指测量结果的测量值与被测量的 真值之间的差值。
2．相对误差：定义为绝对误差与真值（可用测量 值替代）之比的百分数。 3．引用误差：绝对误差与测量仪表的满量程的百 分比。
2.11
航空检测技术
4. 分贝误差
分贝误差定义为：
测量结果 分贝误差 20 lg 真值
件下，被测量所体现的真实数值。 真值是客观存在，但不可测量的，是一个理 想的概念。通常所说的真值可以分为： “理论真值”、“约定真值”和“相对真值”。
2.3
航空检测技术
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条 件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 一般情况下，理论真值是未知的。
•约定真值是指用约定的办法确定的最高基准 值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。测量中， 修正过的算术平均值也可作为约定真值。
航空检测技术
2.2.2 随机误差 (random error)
当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出 现的大小和符号均以不可预知的方式变化，则该 误差为随机误差。随机误差产生的原因比较复杂， 虽然测量是在相同条件下进行的，但测量环境中 温度、湿度、压力、振动、电场等总会发生微小
变化，因此，随机误差是大量对测量值影响微小
粗大误差一般是由于操作人员粗心大意、操作
不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验
等造成的。含有粗大误差的测量值称为坏值或
异常值，所有的坏值在数据处理时应剔除掉。
2.22
航空检测技术
按误差出现的规律，将下列误差分类
①用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定 时间重复测量n次，测量数值间有一定的偏差； ②用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的 阻值始终偏大； ③由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个 非正常的角度对指针式仪表读数，由此产生的读数 误差； ④由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据 造成的误差； ⑤用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差； ⑥要求垂直安装的仪表，没有能按照规定安装造成的 测量误差。
• 测量结果 由测量所得的测量值。在测量结 果的表述中，还应包括测量不确定度和有关 影响量的值。
2.6
航空检测技术
• 测量结果的精度：反映测量结果与真值接近程度的量。
精度与误差大小相对应，即：误差大，精度低；误差小， 精度高。精度是从另一角度评价测量误差大小的量，可 细分为：准确度、精密度和精确度。 （1）准确度：反映测量中系统误差(system error)δ的大 小，即测量结果偏离真值的程度； （2）精密度：反映测量中随机误差(random error) σ的 大小，即测量结果的分散程度； （3）精确度：反映测量中系统误差δ与随机误差σ综合 影响的程度。