八下1三角形的证明考点练习与总结

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

第一章三角形的证明+知识点靶向过关与提升专题练习-2023-2024北师大版数学八年级下

北师大版八年级下册数学《三角形的证明》知识点靶向过关与提升专题练习（等腰三角形专题）考点解读：1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.划重点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.4.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.5.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．过关与提升练习考点一：等腰三角形的定义、性质1.等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则其腰长为（）A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对变式：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50°D．20°2.如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．考点二：等腰三角形的判定1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个变式：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有个．2.如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．3.如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA 延长线于点G．（1）证明：AC＝AF；（2）若∠FCD＝30°，求∠G的大小．4.如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．（1）求证：△OBC是等腰三角形．（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．题型三：等边三角形问题1.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5变式：如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为．2.如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等边三角形．3.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由；（2）求证：S△AOB＝2S△OBE．变式：已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形．题型四：等腰三角形性质与判定综合1.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①②④⑤D．②④⑤变式：如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）2.如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB 交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为．3.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I做DE∥BC分别交AB，AC于点D，E．求△ADE的周长．请补全以下的解答过程．解：∵BI平分∠ABC（已知），∴∠1＝∠2（角平分线的定义），又∵DE∥BC（已知），∴∠2＝（），∴∠1＝，∴DI＝（）．同理可得：EI＝．∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+DB+EC+AE＝+ ＝5+6＝11．4.在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？。

北师大版八年级数学(下) 第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定例1：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，故选：A．练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝50°，∴2∠A＝140°，∴∠A＝70°，故选：B．作业：1．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，∴x+3x＝90，解得x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故选：A．例2：在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：C．练习：在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A ＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．故选：B．作业：2. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B＝，∠C＝，则x++＝180°，解得x＝，∴∠A＝，，，∴△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，故选：B．例3：在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18练习：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（）A．175B．600C．25D．625解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，则S＝25+400＝625，故选：D．作业：3. 已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC的面积为（）A．15cm2B．30cm2C．45cm2D．60cm2解：∵a+b＝17，∴（a+b）2＝289，∴2ab＝289﹣（a2+b2）＝289﹣c2＝289﹣169＝120∴ab＝30，故选：B．例4：如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．练习：如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，∴BD＝＝＝6，∵BC＝8，CD＝2，∴62+（2）2＝82，∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．作业：4. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．解：（1）∵∠A＝90°，∴BC＝＝＝15；（2）△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．例5：如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．练习：如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；（2）求△ACD中AD边上的高．解：（1）证明：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，则S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，∴×13×CH＝×5×12，∴CH＝．作业：5.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求BC边上的高．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB＝•BC•h，∵AC＝，AB＝2，BC＝，∴h＝．例6：写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题．该逆命题是命题（填“真”或“假”）．解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假练习：“两直线平行内错角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，∴其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；故答案为：真．作业：6．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是，该逆命题是命题．（“真”、“假”）．解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．。

八下数学第一章三角形的证明讲义

第一章三角形的证明1.1等腰三角形（一）一、问题引入：列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角.（3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等.（5）公理：的两个三角形全等.（6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1. 利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2)等边对等角三线合一三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.1.1 等腰三角形（二）一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理： .问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明二、基础训练；1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理：；简称： .三、例题展示：如图，△ABC 中，D.E 分别是AC.AB 上的点，BD 与CE相交于点O ，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图，在直角△ABC 中，角C 为45度，AD 垂直于BC,DE 垂直于AB,则图中等腰直角三角形共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC上两点，且第1题第2题第3题第4题AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.1.1 等腰三角形（三）一、问题引入：1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.三、例题展示：1. 等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高.2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.四、课堂检测1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= .4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A= .5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.1.3 线段的垂直平分线（一）一、问题引入：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.三、例题展示：例：如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB.BC 延长线于F.E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B四、课堂检测:1. 已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在上.2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= .3. △ABC 中，∠A=500，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 .4. △ABC 中，DE.FG 分别是边AB.AC 垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= .5. 如图，△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 .6. 有特大城市A 及两个小城市B.C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.第1题第4题第5题中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC 于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C1.3 线段的垂直平分线（二）一、问题引入：1. 等腰三角形的顶点一定在上.2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.三、例题展示：（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB 的度数；（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A. 三角形三条角平分线的交点；B. 三角形三条垂直平分线的交点；C. 三角形三条中线的交点；D. 三角形三条高的交点.2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 不能确定3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.a b中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.四、课堂检测1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDFFEDC BA3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.4 角平分线（二）基础训练：1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.3. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点D.不能确定三、例题展示：例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、课堂检测：1. 到一个角的两边距离相等的点在.2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D 到AB的距离为.3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为.5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.6. 已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.第一章单元检测一、填空题（每小题3分）：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为米.2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形.3. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是或 .4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ___________________________________ ___.这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）5. 如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；6. 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝，∠DAC ＝，BD ＝ cm ；第18题图C B A 第1题第5题7. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .8. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是 .9. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若DC=7，则D 到AB 的距离是 .10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD的长为 .二、选择题（每小题3分）1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（）A.90°B.60°C.120°D.150°2.下列两个三角形中，一定全等的是（）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（） A.21a B.23a C.23a D.3a 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（）A.30°B.36°C.45°D.70°三、解答题（每题12分）1. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC 的度数（2）AD 和CD 的长.2.已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC. AB 于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.四、证明题（每题10分）1.已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD.求证：D 在∠BAC 的平分线上.2. 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．求证：BD ＝ DE ．五、（本题11分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．。

2022年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析试题(含详解)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列三个说法：①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）．A．3 B．2 C．1 D．02、如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm3、有两边相等的三角形的两边长为4cm，5cm，则它的周长为（）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm4、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（）．A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°5、如图，在△ABC 中，∠B =62°，∠C =24°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交AC 的两侧于点M 、N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（）A ．70ºB ．60ºC ．50ºD ．40°6、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°7、下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（）A ．3，4，5B ．2，3C ．8，15，17D ．23，24，258、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°9、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．3010、如图，在△AAA 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，若30A ∠=︒，2cm CD =，则AC 的长为（）A ．2cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．2、如图，点P 是等边△ABC 内的一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若点P ′是△ABC 外的一点，且△P ′AB ≌△PAC ，则∠APB 的度数为___．3、如图，将宽为2cm 的纸条沿BC 折叠，45CAB ∠=︒，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）4、如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋅⋅⋅在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，⋅⋅⋅均为等边三角形，若1OA a =，则223A B A △的边长为______．1n n n A B A +△的边长为______．5、如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝α，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．（1）如图1，点D在线段BC上．①根据题意补全图1；②∠AEF＝（用含有α的代数式表示），∠AMF＝°；③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°．现给出以下3个关系：①CD 垂直于AB ，②BE 平分∠ABC ，③∠CFE ＝∠CEF ，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．3、如图1，在平面直角坐标系AAA 中，点A (−4,0)，A (4,0)，A (0,4)，给出如下定义：若P 为△AAA 内（不含边界）一点，且AP 与△AAA 的一条边相等，则称P 为△AAA 的友爱点．（1）在A 1(0,3)，A 2(−1,1)，()32,1P -中，△AAA 的友爱点是________；（2）如图2，若P 为△AAA 内一点，且∠AAA =∠AAA =15°，求证：P 为△AAA 的友爱点；（3）直线l为过点A(0,A)，且与A轴平行的直线，若直线A上存在△AAA的三个友爱点，直接写出A的取值范围．4、已知：（1）O是∠BAC内部的一点．①如图1，求证：∠BOC＞∠A；②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，在△CDE中，DC＝DE，DG⊥CE，AF和DG的延长线交于点P，连接BP、EP．（1）求证：BP＝EP；（2）若∠BCE＝135°，试判断△PBE的形状，并给出证明．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．【详解】解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2、B【分析】连接CE交AD于点P，则BP+EP的最小值为CE的长．【详解】如图，连接CE交AD于点P，∵AB＝AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值为CE的长，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值为4cm，故选：B．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．3、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm或14cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．4、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．5、A【分析】根据∠BAD ＝∠BAC −∠DAC ，想办法求出∠BAC ，∠DAC 即可解决问题．【详解】解：∵∠B ＝62°，∠C ＝24°，∴∠BAC ＝180°−86°＝94°，由作图可知：MN 垂直平分线段AC ，∴DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ＝24°，∴∠BAD ＝94°−24°＝70°，故选：A ．【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．7、D【分析】由题意直接根据勾股定理的逆定理即如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个就不是直角三角形进行分析判断即可．【详解】解：A 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B 、22223+=，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C 、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D 、∵（32）2+（42）2=81+256=337，（52）2=625，∴（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理即此时三角形不是直角三角形，故选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．9、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10、D【分析】由题意知AD BD =，30DBA A CBD ∠=∠=∠=︒，24AD BD CD ===，AC CD DA =+可求出AC 的值．【详解】解：由题意知AD BD =30DBA A CBD ∴∠=∠=∠=︒在Rt BCD 中30CBD ∠=︒24BD CD AD ∴===又 AC CD DA =+故选D ．【点睛】本题考察了垂直平分线的性质，30角的直角三角形的性质．解题的关键在于灵活运用垂直平分线与30角的直角三角形的性质．二、填空题1【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD =，∴GA =23AD 故答案为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．3、2利用折叠的性质可得出△ABC 是等腰三角形，有AC =AB ；过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则得CG =2，且△CGA 为等腰直角三角形，从而可求得AC 的值，则可求得面积．【详解】如图，由折叠性质得：∠ECB =∠ACB∵DE ∥AB∴∠DCA =∠CAB =45°∵∠DCA +∠ACB +∠ECB =180° ∴1(180)67.52ACB DCA ∠=︒-∠=︒∵∠CAB +∠ACB +∠ABC =180°∴∠ABC =∠ACB =67.5°∴AB =AC即△ABC 是等腰三角形过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则CG =2，且∠ACG =∠CAB =45°∴△CGA 为等腰直角三角形∴AG =CG =2由勾股定理得：AC ==∴AB =∴重叠部分△ABC 的面积为2112)22AB CG ⨯=⨯=故答案为：2【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC是等腰三角形是本题的关键．4、2a 2n﹣1a【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到A n B n＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△A n B n A n+1的边长为A n B n＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．5、70°【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．三、解答题1、（1）①见解析；②60α︒-，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MF MA ME=-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF ＝MA＋ME；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE=∠DAC=α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF=()180-2+302α︒⨯︒=60°-α；∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=α+60°-α=60°，故答案是：60°-α，60°；③MF＝MA＋ME．证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG．∵点D 关于直线AC 的对称点为E ，∴△ADC ≌△AEC ．∴∠CAE ＝∠CAD ＝α．∵∠BAC ＝30°，∴∠EAN ＝30°＋α．又∵点E 关于直线AB 的对称点为F ，∴AB 垂直平分EF ．∴AF ＝AE ，∠FAN ＝∠EAN ＝30°＋α，∴∠F ＝∠AEF ＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG ≌△AEM ．∴AG ＝AM ．又∵∠AMG ＝60︒，∴△AGM 为等边三角形．∴MA ＝MG ．∴MF ＝MG ＋GF ＝MA ＋ME ．（2）MF MA ME =-，理由如下：如图1所示，∵点E 与点F 关于直线AB 对称，∴∠ANM =90°，NE =NF ，又∵∠NAM =30°，∴AM=2MN，∴AM=2NE+2EM =MF+ME，∴MF=AM-ME；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；综上所述：MF=MA-ME．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．2、①②作为条件，③作为结论，证明见解析【分析】结合题意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根据角平分线性质，计算得∠EBC＝∠EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案．【详解】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠BCF＝∠A，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBA，∵∠CFE ＝∠BCF +∠EBC ，∠BEC ＝∠A +∠EBA ，∴∠CFE ＝∠CEF∴①②作为条件，③作为结论成立．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解．3、（1）P 1、P 2；（2）见解析；（3）0＜m ＜2【分析】（1）根据A （x 1，y 1）、和B （x 2，y 2）之间的距离公式AB 即可；（2）由题意易知∠OAB =∠OCA =∠OCB =45°，进而可求得∠PAC =∠OCP =30°，则可得出∠ACP =∠APC =75°，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；（3）由题意，△ABC 在友爱点P 满足AP=BP 或AP=PC 或AP=BC=AC 三种情况，分别讨论求解即可．【详解】解：（1）∵点()4,0A -，()4,0B 关于y 轴对称，点()10,3P 在y 轴上，∴AP 1=BP 1，故P 1是ABC 的友爱点；∵AP 2CP 2=∴AP 2= CP 2，故P 1是ABC 的友爱点；∵AP 3=CP 3BP 3BC =∴故P 3不是ABC 的友爱点，综上，ABC 的友爱点是P 1、P 2，故答案为：P 1、P 2；（2）∵点()4,0A -，()4,0B ，()0,4C ，∴OA=OB=OC ，AC= BC ， ∠BOC =90°，∴∠OAB =∠OCA =∠OCB =45°，∵15PAB PCB ∠=∠=︒，∴∠PAC =∠OCP =30°，∴∠ACP =45°+30°=75°，∴∠APC =180°－∠PAC －∠ACP =180°－30°－75°=75°，∴∠ACP =∠APC ，∴AP=AC=BC ，∴P 为ABC 的友爱点；（3）由题意，△ABC 的友爱点P 满足AP=BP 或AP=PC 或AP=BC 三种情况，若AP=BP ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，即点P 在y 轴线段OC 上，若AP=PC ，则点P 在线段AC 的垂直平分线上；若AP =BC ，则点P 在以点A 为圆心，BC 即AC 长为半径的圆上，如图，设AC 的中点为G ，则G 的坐标为（－2，2），由图可知，当直线l 为过点G 和过点()0,M m 且与x 轴平行的直线在x 轴之间时，直线l 上存在ABC 的三个友爱点，∴m 的取值范围为0＜m ＜2．【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键．4、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析【分析】（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，∴∠BOC＞∠A；②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，∵OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；证明：如图所示，设∠B＝x，∵OA＝OB＝OC，∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；即∠BOC＝2∠BAC．【点睛】此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．5、（1）见解析；（2）等腰直角三角形，见解析【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出答案；（2）证出∠BPE＝2（∠FPC+∠GPC）＝90°，则可得出结论．【详解】（1）证明：连接PC，∵AB＝AC，AF⊥BC，DC＝DE，DG⊥CE，∴AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，∴PC＝PB，PC＝PE，∴PB＝PE．（2）解：△PBE的形状为等腰直角三角形；∵∠BCE＝135°，∠PGC＝∠PFC＝90°，∴在Rt△PGC和Rt△PFC中，∠FPC+∠GPC＝45°；∵AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，∠FPC＝∠FPB，∠GPC＝∠GPE，∴∠BPE＝2（∠FPC+∠GPC）＝90°；∵PB＝PE，∴△PBE的形状为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．。

(2021年整理)八年级下_第一章_三角形的证明_(知识点总结和习题练习)

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(北师版)八年级数学下册第一章三角形的证明辅导讲义

第一阶梯三角形证明基础巩固训练一．角平分线的性质（共1小题）1．如图，已知∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1cm，BC＝6cm，则△BDC的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．3cm2D．12cm2二．线段垂直平分线的性质（共5小题）2．△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC＝5，BC＝4，则△BCD的周长是（）A．9B．8C．7D．63．到平面上三点A、B、C距离相等的点有（）A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有4．△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD：BD＝1：2，BC＝6cm，则点D到点A的距离为（）A．1.5cm B．3cm C．2cm D．4cm5．如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③6．如果一个三角形一边上的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是三角形．三．等腰三角形的性质（共9小题）7．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cm C．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定8．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm9．一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A．9B．6C．7D．310．等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm，则其余两边长分别为．11．顶角为60°的等腰三角形，两个底角的平分线相交所成的角是°．12．AB边上的中线CD将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ACB＝度．13．如果等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为30°，则该三角形的顶角的度数为．14．如图，△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且∠OBC＝∠OCB，求证：AO⊥BC．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD＝∠A．四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）16．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形有个．五．等边三角形的性质（共2小题）17．如图，等边△ABC中，E，D在AB，AC上，且EB＝AD，BD与EC交于点F，则∠DFC＝度，18．如图所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4时，则图形ABCDEFG外围的周长是．六．等边三角形的判定（共2小题）19．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第二阶梯三角形证明能力提升训练一．直角三角形全等的判定（共1小题）1．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．角平分线的性质（共1小题）2．如图，已知∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1cm，BC＝6cm，则△BDC的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．3cm2D．12cm2三．线段垂直平分线的性质（共3小题）3．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，若AB＝3，则AC＝．4．M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果MA＝MB，NA＝NB，则点、在线段的垂直平分线上．5．△ABC中，AB比AC大2cm，BC的垂直平分线交AB于D，若△ACD的周长是14cm，则AB＝，AC＝．四．等腰三角形的性质（共6小题）6．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm7．一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A．9B．6C．7D．38．已知：等腰三角形的周长为50厘米，若底边长为x厘米，则x的取值范围是．9．如图：△ABC中，∠B＝∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D、F，若∠AED＝140°，则∠C＝度，∠A＝度，∠BDF＝度．10．分别以等腰三角形的腰与底边向三角形外作正三角形，其周长为24和36，求等腰三角形的周长．11．在△ABC中，AB＝AC，它的两条边分别为3cm，4cm，那么它的周长为多少．五．等腰三角形的判定与性质（共5小题）12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝9，则线段CE的长为（）A．3B．4C．5D．613．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D为BC上一点，过点D分别作DF∥AC交AB于点F，DE∥AB交AC于点E．求四边形AFDE的周长．14．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）如图1，写出图中所有的等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出EF与BE、CF关系，并说明理由．15．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E．求证：DE＝EF．16．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，请判断△ADE是不是等边三角形，并说明理由．六．等边三角形的性质（共3小题）17．如图，等边三角形ABC的边长为2，则它的高为．18．△ABC是等腰三角形，AB＝AC，分别以两腰为边向外作等边△ADB和等边△ACE，若∠DAE＝∠DBC，则∠BAC的度数为．19．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°．求证：△AMN的周长等于2．七．等边三角形的判定（共1小题）20．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第三阶梯三角形的证明综合训练（一）一、填空题1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC的长为米．2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形．3．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是或．4．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是（填“真”或“假”）．5．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝度．6．在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝，∠DAC＝，BD＝cm．7．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC 于E，若BC＝10 cm，则△ODE的周长cm．第7题图第8题图8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC＝7，则点D到AB的距离DE＝．10．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．二、选择题11．等腰三角形底边上的高与底边的比是1：2，则它的顶角等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°12．下列两个三角形中，一定全等的是（）A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形13．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点14．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC＝a，则AD等于（）A．B．C．D．15．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°三、解答题16．如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°．求：（1）∠ABC的度数；（2）AD、CD的长．17．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．四、证明题18．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD．求证：D在∠BAC的平分线上．19．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．五、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．20．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB ＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．第四阶梯三角形的证明综合训练（二）一、填空题：1．三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是cm．2．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是．3．Rt△ABC中，锐角∠ABC和∠CAB的平分线交于点O，则∠BOA＝．4．如图，在△ABC中，∠B＝115°，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D，且∠ACD：∠BCD＝5：3，则∠ACB的度数为度．第4题图第5题图5．如图，已知∠ABD＝∠C＝90°，AD＝12，AC＝BD，∠BAD＝30°，则BC＝．6．如图，将矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等线段、相等角（不包括矩形的对边、对角）．7．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC＝1，则图中阴影部分的面积为．8．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是（填“真”或“假”）．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．10．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．二、选择题：11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B ＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点13．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD＝（）A．B．C．D．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（）A．B．C．D．15．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm216．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，∠A＝50°，AB+BC ＝16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别为（）A．16cm，40°B．8cm，50°C．16cm，50°D．8cm，40°17．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF 分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④18．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°三、解证题：19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．20．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：．求证：．证明：22．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD＝∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．23．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．24．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE＝AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．参考答案第一阶梯三角形证明基础巩固训练一．角平分线的性质（共1小题）1．C；二．线段垂直平分线的性质（共5小题）2．A；3．D；4．D；5．B；6．等腰；三．等腰三角形的性质（共9小题）7．C；8．B；9．C；10．7cm、7cm或8cm、6cm；11．60或120；12．90；13．120°或60°；四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）16．6；五．等边三角形的性质（共2小题）17．60；18．15；六．等边三角形的判定（共2小题）19．C；20．C；第二阶梯三角形证明能力提升训练一．直角三角形全等的判定（共1小题）1．B；二．角平分线的性质（共1小题）2．C；三．线段垂直平分线的性质（共3小题）3．3；4．M；N；AB；5．8cm；6cm；四．等腰三角形的性质（共6小题）6．B；7．C；8．0＜x＜25；9．50；80；40；五．等腰三角形的判定与性质（共5小题）12．C；六．等边三角形的性质（共3小题）17．；18．20°；七．等边三角形的判定（共1小题）20．C；第三阶梯三角形的证明综合训练（一）一、填空题1．40；2．等腰；3．∠ABC＝∠DCB；AC＝DB；4．对应角相等的三角形是全等三角形；假；5．220；6．40°；20°；7.5；7．10；8．10；9．7；10．2；二、选择题11．B；12．C；13．B；14．C；15．B；第四阶梯三角形的证明综合训练（二）一、填空题：1．8；2．72°，72°或36°，108°；3．135°；4．40；5．6；6．DE＝DC，∠OBD＝∠ODB等．；7．；8．对应角相等的三角形是全等三角形；假；9．10；10．2；二、选择题：11．D；12．B；13．B；14．A；15．A；16．A；17．C；18．B；三、解证题：21．在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE；∠1＝∠2；。

北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》含详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．52．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到A．1B．2C．D．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。

(知识+练习)新北师大版八年级下数学第一章三角形的证明3。15

1八年级下第一章三角形的证明3。

15 姓名【基础知识】1、全等三角形（1）定义：能够完全的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的、相等。

（3）判定：“SAS ”、、、。

三边：边边边（SSS ）两边: 边角边（SAS ）一边边角边（ASA ）角角边（AAS ）※ ※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，※ 必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角※※证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）、Rt △中，同角的余角相等。

2、等腰三角形（1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

（3）判定：①定义：有两条的三角形是等腰三角形。

②“ ”3、等边三角形（1）定义：的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义：的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是等边三角形。

4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（3）“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

2020版八下数学第一章三角形的证明测试题(含解析)

2020版八下数学第一章三角形的证明测试题（含解析）三角形的证明1.等腰三角形的性质与判定的应用(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.?(1)求证：∠FMC=∠FCM.(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.【信息解读?破译解题秘钥】信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；信息③直译为：AF=EF；破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF.又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.∴∠FMC=∠FCM.(2)AD⊥MC.理由如下：如图，延长AD交MC于点G.由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.?【标准解答】∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E，∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC.(3)等边三角形的性质与判定等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角.【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P.?(1)求证：CE=BF.(2)求∠BPC的度数.【信息解读?破译解题秘钥】条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°④；条件②直译为：BE=AF⑤，破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥，破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦.信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧；破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨，∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩，破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60，破译：整合信息⑩?得到：∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°.【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，在△BCE与△ABF中，?∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF.(2)由(1)知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，∴∠BPC=180°-60°=120°.?1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是( )?A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等边三角形D.△ADE的周长是92.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME.? 2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为( )A.55°，55°??????B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°??????D.以上都不对【标准解答】选C.70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为180°-70°×2=40°；当70°角是顶角时，则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°.(2)已知等腰三角形的两边求周长：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.【例2】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cm????????????B.12cmC.15cm或12cm??????D.15cm【标准解答】选D.当6为腰，3为底时，6-3<6<6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形.(3)已知等腰三角形的中线分周长成两部分，求一边长【例3】在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A.7???????????????B.11C.7或11?????????D.7或10【标准解答】选C.已知条件并没有指明哪一部分是15，哪一部分是12，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是x，底边长为y，可得或解得或∴底边长为7或11.(4)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，求顶角.【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，求这个等腰三角形的顶角的度数.【标准解答】依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为50°，图2中顶角为130°.?(5)已知等腰三角形腰的中垂线与另一腰所在直线所成的夹角，求底角.【例5】在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=________.【标准解答】按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.如图1，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=(180°-40°)=70°.如图2，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC为钝角三角形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=(180°-140°)=20°.??故这个等腰三角形的底角为70°或20°.。

八年级下数学第一章(三角形的证明)-讲义

知识点一全等三角形的性质及判定1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。

例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？知识点二等腰三角形的性质和判定1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。

3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。

4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。

例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50º，则这个等腰三角形的底角是。

例:在等腰三角形ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。

例:如图，在ABA 1中，∠B=20º，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。

知识点三等边三角形的性质和判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等，且都等于60º.3、有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。

例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.M C B A 例：如图1，已知：∠MON=30º，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为．图1 图2例：如图2，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60º，得到△BAE ，连接ED ，若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是。

八下第一章《三角形的证明》培优提高

八下第一章《三角形的证明》培优提高三角形是初中数学学科的重要内容之一、通过学习三角形的性质和证明方法，可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力，并提高分析问题和解决问题的能力。

本文将以第一章《三角形的证明》为基础，结合典型例题和解题思路，进行培优提高的讲解。

在初中数学中，三角形是我们最常见的形状之一，它由三条线段组成，分别称为三边。

三角形的三个内角之和为180度。

在本章中，我们将重点学习三角形的性质以及用于证明的方法。

一、中线的性质我们首先来介绍一个重要的三角形性质，中线的性质。

在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段，这条线段称为中线。

中线有以下两个重要性质：1、三角形中线长度相等三角形的三条中线的长度相等，即AM=BM=CM，其中M是对边中点。

2、三角形中线互相平分三角形的三条中线互相平分，即AM=BM=CM。

掌握了中线的性质后，我们来看一道例题。

【例题】如图，三角形ABC的顶点A到对边BC的中点M和中线AD有重叠的部分，求证：∠B=∠C。

【解题思路】因为M是BC的中点，所以连接AM。

又因为M是AD的中点，所以AM是中线。

由中线的性质可知，AM=CM，并且∠MAC=∠MCA。

结合这两个条件，我们得到AM=CM，∠MAC=∠MCA，于是得证，∠B=∠C。

二、角平分线的性质了解了中线的性质后，我们接着介绍角平分线的性质。

在任意三角形中，连接一个顶点与对边夹角的平分线，这条线段称为角平分线。

角平分线有以下两个重要性质：1、角平分线分割对边成比例角平分线把对边分割成相等或成比例的线段，即$\frac{{BD}}{{DC}}=\frac{{AB}}{{AC}}$。

2、角平分线与对边垂直角平分线与对边垂直，即∠BAD=∠CAD。

掌握了角平分线的性质后，我们来看一道例题。

【例题】如图，三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，分别连AD，求证：∠BAD=∠CAD。

【解题思路】连接AD，AD是角A的平分线，所以AD与BC垂直，由角平分线的性质可知∠BAD=∠CAD，于是得证，证毕。

八年级下册第一章第02讲等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)(解析版)

第02讲等边三角形的性质与判定(4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60 ；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.题型01等边三角形的性质【答案】15 /15度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边三角形的180均为等边三角形，点【答案】88是【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可．（1）根据等边三角形的性质，结合三角形内角和定理计算即可．(2)根据(1)的结论，结合等边三角形的性质，运用三角形全等的判定可以证明故答案为：是．题型02等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，40A ，点E 在边AC 上，连接,BE C CBE ．若20ABE ，求证：BCE 是等边三角形．【答案】详见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是60 的等腰三角形是等边三角形即可求证．【详解】证明：C CBE ∵，BCE △为等腰三角形，又40,20A ABE ∵，402060BEC A ABE ，BCE △是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点E 在ABC 的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12 ，AE AC ，B ADE ．(1)求证：AB AD ；(2)若160 ，判断ABD △的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，ABC 中，D 为AC 边上一点，ED 的延长线交BC 的延长线于F ，且EF AB ，CD CF ．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)当F 等于多少度时，ABC 是等边三角形？请证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)当30F 时，ABC 是等边三角形，证明见解析【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明2ACB CDF ∠∠，再由对顶角相等得到2ACB ADE ，由垂线的定义和三角形内角和定理推出2180A ACB ，再由180B A ACB ，得到A B ，推出AC BC ，由此即可证明ABC 是等腰三角形；（2）根据（1）所求，只需要满足60ACB 即可，再由三角形外角的性质即可得到F 的度数，据此可得答案．【详解】（1）证明：∵CD CF ，∴CDF F ，∵ACB CDF F ，∴2ACB CDF ∠∠，∵CD F A D E ，∴2ACB ADE ，∵EF AB ，∴90A ADE ，∴22180A ADE ，∴2180A ACB ，又∵180B A ACB ，∴A B ，∴AC BC ，∴ABC 是等腰三角形；（2）解：当30F 时，ABC 是等边三角形，证明如下：∵CDF F ，ACB CDF F ，∴60ACB CDF F ∠∠∠，∵AC BC ，∴ABC 是等边三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明AC BC 是解题的关键．题型03等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知ABC 和CDE 均是等边三角形，点B ，C ，D 在同一条直线上，BE 与AD 交于点O ．(1)求证：AD BE ；(2)若AD 与CE 交于点N ，AC 与BE 交于点M ，连接MN ，求证：CMN 为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：（1）根据已知条件证明≌ACD BCE V V 即可得证；（2）证明60ACE ，再证明 ASA CAN CBM ≌可得CM CN ，进而证明CMN 为等边三角形；【详解】（1）证明：∵ABC 和CDE 均是等边三角形，AC BC ，CD CE ，60ACB ECD ，ACB ACE ECD ACE ，即BCE ACD ，在ACD 和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE， SAS ACD BCE △≌△，AD BE ；（2）证明：由（1）得60ACB ECD ，18060ACN ACB ECD ，由（1）得≌ACD BCE V V ，CAD CBE ，即CAN CBM ，在CAN △和CBM 中，CAN CBM CA CB ACN BCM， ASA CAN CBM ≌，CM CN ，又∵60MCN ，CMN 为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边ABC 中，点O 在ABC 内，OB OC ，且OD AB ∥，OE AC ∥．的形状，并说明理由；(1)试判定ODE(2)判断线段BD，CE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)ODE是等边三角形，理由见解析；，理由见解析．(2)BD CE【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：是等边三角形；（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到ODE（2）证明OBD OCE≌，即可．是等边三角形．【详解】（1）解：ODE∵ 是等边三角形，理由：ABC．ABC ACB60∥，又OD AB∵∥，OE AC，60ODE OED，60DOE是等边三角形．ODE．（2）解：BD CE是等边三角形，理由：由（1）知ODE，ODC OED60．ODB OEC120∵，OB OC．OBD OCE在OBD△中，和OCE的度数；(1)求ADC的形状并加以证明；(2)判断ABE(3)连接DE，若DE BD【答案】(1)150【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．题型04含30°角的直角三角形三边的数量关系是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，ABC．使CE CD；(1)求证：DB DE(2)过点D作DF垂直于BE【答案】(1)证明见解析36(1)如图1：求证：AD CE ；(2)如图2，取BD 的中点F ，连接AE AF 、，求证：CAE BAF ；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F 作FH AE 于点H ，求证：3EH AH ．【答案】(1)证明过程见详解∴CF CD BC AC，∵AC BC ，∴CF CD ，∴G DAF ，CBG∴120ABG ABC CBG ACE ，∵点F 是BD 的中点，∴BF DF ，在BFG ，DFA 中，G DAF BFG DFA BF DF，∴ BFG DFA AAS ≌，∴BG AD ，由（1）可知，AD CE ，∴BG CE ，在ABG ，ACE 中，AB AC ABG ACE BG CE，∴ ABG CAE SAS ≌，∴CAE BAF ；（3）证明：由（2）可知，BAF CAE ，∴60FAE FAC CAE FAC BAF BAC ，∵FH AE ，∴90AHF ，∴9030AFH FAE ，在Rt AFH 中，2AF AH ，∵BFG DFA ≌，∴2GF AF AH ，∵ABG ACE ≌，∴24AE AG AF AH ，∴43EH AE AH AH AH AH ，即3EH AH ．一、单选题A ．4cmB ．5【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．先根据等边三角形的性质得出130,CBD ABC BDA．1B 【答案】CA．50【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出60C ，根据直角三角形的性质求出90600CDF 3，再根据平角定义求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60C ，∵DF AC 于F ，DE BC 交AB 于点E ，∴90BDE CFD ，∴90600CDF 3，∴180903060EDF ，故选：B ．4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，60AOB ，点C 是射线OA 上一点，且6OC ，点D ，E 在射线OB 上，且CD CE ，4DE ．则OD 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，过点C 作CF DE ，垂足为F ，根据题意得出9030OCF AOB ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：过点C 作CF DE ，垂足为F ，90CFO ，60AOB ∵，A．3B【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得等，根据全等三角形对应边相等可得二、填空题（1）D；（2）若3CD AE，CF 【答案】30 /30DE AB ∵⊥，60A ，30AGE CGD 30D ∵，【答案】23【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，首先根据等边三角形的性质得60BAC DAE ，AB AC ，AD AE ACE △全等，从而得出6BD CE ，4BC ，然后过点∵ABC 是等边三角形，∴12BH CH BC 在Rt AHC 中，AC 【答案】110cm 44cm【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先判定ACD 与EDF 是两个全等的等边三角形，从而求出≌由题意可知：AC C D D E E F ∵90C D E ，E H AB ，∵222C G D G C D ，即， 2224355x x ，解得：11x ，∴44cm D H C G ，33cm D G ，∴266cm 288cm AD D G D F D H ，，∴154cm AF AD D F ，∴相比第一次，门拉伸的长度为：154cm 110cm 44cm AF AF ，故答案为：110cm ；44cm ．三、解答题(1)若6AD ，求CD 的长；(2)判断BCE 的形状，并说明理由．【答案】(1)3CD(1)证明：GF FC；(2)求CG的长．【答案】(1)见解析∵2FG ，30C∴1FH ，∴3MG ，(1)求证:ABE CAD △△≌;(2)求BPQ 的度数;(3)求BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)60(3)21【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系．（1）根据SAS 证明ABE CAD △△≌即可,（2）根据全等三角形性质得出ABE CAD ,继而得到本题答案,（3）根据含30 角的直角三角形三边关系即可得到本题答案．【详解】（1）解:证明:∵ABC 为等边三角形,∴AB AC ,60BAC C ,在ABE 和CAD 中,AB AC BAC C AE CD,∴ SAS ABE CAD ≌,（2）解:由（1）知ABE CAD △△≌,∴ABE CAD ,AD BE ,∴60BPQ BAD ABE BAD CAD ,故答案为:60 ．（3）解:∵BQ AD ,60BPQ ,∴30PBQ ,∴218BP PQ ,∴18321BE BP PE ．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，ABC 为等边三角形，D E 、分别是BC AC 、上的点，连接AD 和BE 相交于点F ．(1)如图1，若D E 、分别为BC AC 、的中点，求证：2AF FD(2)如图2，若BD CE ，求证：60AFE ；(3)如图3，在（2）的条件下，连接FC ，若,2FC AD BD ，求CD 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．【分析】本题考查了三角形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到AF BF ，再根据30 角对的直角边是斜边的一半即可证明；（2）根据等边三角形的性质得到AB AC BC ，60ABD BCE ，证明 SAS ABD BCE ≌V V ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理即可证明；（3）连接DE ，由ABE CAD ≌，可得F 、E 、D 、C 四点共圆，即有90CPD DEC ，再用30度角所对的边等于斜边的一半求解即可．【详解】（1）证明：∵ABC 为等边三角形，D E 、分别为BC AC 、的中点，ABC∵ 是等边三角形，，ABC AB AC BC(1)求证：ABD CDE ；(2)如图2，若60BAC ，求证：AD CE ；(3)如图3，在（2）的条件下，点F 是ABC 外一点，连接FC ，AF ，BF ，且FC 平分AFB ，若CF【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4BF 【分析】（1）根据AB AC ，得到A ABC CB ∠，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；（2）过点D 作DH BC ∥，交AB 于点H ，根据已知证明ADH 为等边三角形，再证明 AAS BDH DEC ≌ ，即可得出结论；（3）过点C 作CN BF 于点N ，过点C 作CH FA 的延长线于点H ，先证明 AAS CNF CHF ≌ ，再证明 Rt Rt HL BCN ACH ≌ ，推出180AFB ACB ，设AF m ，则2BF m ，建立关于m 的一元一次方程，求出m 即可．【详解】（1）证明：∵AB AC ，∴A ABC CB ∠，∵DB DE ，∴DBC DEC ，∵ABC ABD DBC ，ACB CDE DEB ，∴ABD CDE ；（2）证明：过点D 作DH BC ∥，交AB 于点H ，∵AB AC ，60BAC ，ABC 为等边三角形；60ABC ACB ，60AHD ADC ABC ACB ,AHD 为等边三角形；AH AD HD ，由（1）知ABD CDE ，∵18060,180120BHD AHD DCE ACB ，BHD DCE ，在BDH △与DEC 中，ADB DCE ABD CDE BD CE， AAS ADH DEC ≌ ；DH CE ，AD CE ；（3）解：过点C 作CN BF 于点N ，过点C 作CH FA 的延长线于点H ，∵FC 平分AFB ，CFN CFA ，∵CN BF ，CH FA ，90CNF CHF ，AAS CNF CHF ≌ ；CN CH ，NF HF ，由（2）知ABC 为等边三角形，BC AC ，Rt Rt HL BCN ACH ≌ ；BN AH ，BCN ACH ，∵180CFH FCA ACH CFN FCN ，180CFH FCA BCN CFN FCN ，180AFB ACB ，60ACB ∵，120AFB ，60AFC ，6CF Q ，3FH NF ；设AF m ，则2BF m ，∵FH FN ，∴323m m ，∴2m ，∴4BF ．【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键．16．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC CB ，为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE ，且AC DC ，BC EC ，ACD BCE ，直线AE 与BD 交于点F ．，ACE DCB ∵ ≌，AE BD ，ACE △△D CB S =S ，12ACE S AE CM ∵，12DCB S BD CN。

北师大版八年级数学(下) 第一章三角形的证明第3节等腰三角形的判定与反证法

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第3课时等腰三角形的判定与反证法例1：在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（）A．30°、60°B．40°、70°C．50°、60°D．100°、30°解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，∴第三个内角为180°﹣40°﹣70°＝70°，∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，∴第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，∴第三个内角为180°﹣100°﹣30°＝50°，∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选：B．练习：下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，∴∠C＝140°﹣70°＝70°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；图③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°，∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；图④中，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，∴△ABC是等腰三角形；图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；能判定△ABC是等腰三角形的有4个，故选：C．作业：1．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形解：A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D、有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外一个内角是40°，可以构成等腰三角形．故选：B．例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，∵BD＝AD＝AE，∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED ＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，∴∠EAC＝∠C，∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED ＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，∴∠BAE＝∠AED，∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，同理：△CAD是等腰三角形，则图中等腰三角形的个数为6个，故选：D．练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，CE 交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数（）A．4B．6C．7D．8解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝∠A＝36°，∴AE＝CE，AD＝BD，BO＝CO，∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，∵∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCE＝72°，∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝72°，∠EOB＝∠DOC＝∠CBD+∠BCE＝72°，∴∠BEO＝∠BOE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CDO＝∠COD＝72°，∴BE＝BO，CO＝CD，BC＝BD＝CE，∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有8个．故选：D．作业：2．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3B．4C．5D．6解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD与△BAC是等腰三角形，在△ABD与△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠D＝∠C＝72°，∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，∴∠DAE＝∠CBE＝32°，∴∠AED＝∠BEC＝72°，∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BE，∴△ADE和△BCE是等腰三角形，∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE≌△BCE（AAS），∴AE＝BE，∴△ABE是等腰三角形，故选：C．例3：已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ACD的度数为．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°练习: 若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．解：∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，∴BC+AC＝10cm．①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．故答案是：8cm或5cm或2．作业：3．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°解：∠A＝180°﹣130°＝50°．当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°；当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．∠B的度数为50°或65°或80°，故选：D．例4：如图，点D，E在△ABC的边BC上，BD＝AD＝DE＝AE＝CE．（1）求∠DAE的度数；（2）求证：△ABC是等腰三角形．解：（1）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°；（2）证明：∵△ADE是等边三角形∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠ADE＝∠B+∠BAD∴∠B＝30°，同理∠C＝30°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形．练习：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB 交AE的延长线于F．（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．（2）求证：△ADF是等腰三角形．解：（1）解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°；（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∴△ADF是等腰三角形．作业：4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝40°，∴∠B＝∠DAB＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，∴CA＝CD，∴△ACD为等腰三角形．例5：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．练习：求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.作业：5.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．。

北师大版八年级下册数学练习课件-第1章-三角形的证明复习与巩固1

▪ 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC于点E， ∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B＋∠EDB＝∠C ＋∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB.∵∠EDB＝ ∠ADF，∴∠EFC＝∠ADF，∴△ADF是等腰三角形．
12
▪ ★考点2 等边三角形 ▪ 1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，
的关键．
5
▪ 考点4 线段的垂直平分线
▪ 【典例4】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周
长为( )
▪ A．13
B．14
▪ C．15
D．16
6
▪ 分析：∵DE是AB的垂直平分线， ▪ ∴AE＝BE， ▪ ∴△BEC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC. ▪ ∵AC＝8，BC＝5， ▪ ∴△BEC的周长＝8＋5＝13. ▪ 答案：A
20
▪ ★考点5 角平分线
▪ 1．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N 是OB上的任意一点，C则线段PN的取值范围为( )
▪ A．PN＜3
B．PN＞3
▪ C．PN≥3
D．PN≤3
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2．【2018·山西中考】如图，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；②分别以 C、D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两弧在∠NAB 内交于点 E；③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB＝2，∠ABP＝60°，则线段 AF 的长为__2__3____.
C．22 cm
D．25 cm

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习练习题有答案

第一章复习练习题1．如图，已知B G是∠A B C的平分线，D E⊥A B于点E，D F⊥B C于点F，D E＝6，则D F的长度是（）A．2B．3C．4D．62．如图，△A B C中，A B＝A C，∠A＝40°，则∠B的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°3．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°4．如图，已知∠A B C＝∠B A D，添加下列条件还不能判定△A B C≌△B A D的是（）A．A C＝B D B．B C＝A D C．∠C＝∠D D．∠C A B＝∠D B A5．如图，在△A B C中，B D平分∠A B C，B C的垂直平分线交B C于点E，交B D于点F，连接C F，若∠A＝60°，∠A B D＝24°，则∠A C F的度数为（）A．24°B．30C．36°D．48°6．等腰三角形的周长为22，其中一边长是8，则其余两边长分别是（）A．6和8B．7和8C．7和7D．6，8或7，77．如图，D为△A B C内一点，C D平分∠A C B，A E⊥C D，垂足为点D，交B C于点E，∠B ＝∠B A E，若B C＝5，A C＝3，则A D的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.58．如图，∠A O B＝60°，O A＝O B，动点C从点O出发，沿射线O B方向移动，以A C为边在右侧作等边△A C D，连接B D，则B D所在直线与O A所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝11，大正方形的面积为6，则小正方形的边长为（）A．1B．2C．3D．410．如图，在平面直角坐标系中，等边△O B C的边O C在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为（12，0），D是O B上的动点，过D作D E⊥x轴于点E，过E作E F⊥B C 于点F，过F作F G⊥O B于点G．当G与D重合时，点D的坐标为（）A．（1，）B．（2，2）C．（4，4）D．（8，8）二．填空题11．若命题“如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半”为原命题，则它的逆命题是，此命题为命题（填“真”或“假”）12．如图，B E，C D是△A B C的高，且B D＝E C，判定△B C D≌△C B E的依据是“”．13．如图，点E在正方形A B C D内，满足∠A E B＝90°，A E＝6，B E＝8，则阴影部分的面积是．14．如图，在直角△A B C中，∠C＝90°，A D平分∠C A B，C D＝3，A B＝12，则△A B D的面积为：．15．如图，在△A B C中，A F平分∠B A C，A C的垂直平分线交B C于点E，∠B＝70°，∠F A E＝19°，则∠C＝度．16．如图,在△A B C中,A B=A C,在边A B上取点D,使得B D=B C,连结C D,若∠A=36°,则∠B D C 等于17．如图，四边形A B C D的对角线A C、B D相交于点O，△A B O≌△A D O．下列结论：①A C⊥B D；②C B＝C D；③△A B C≌△A D C；④D A＝D C．其中所有正确结论的序号是．18．已知∠A O B＝30°，点D在O A上，O D＝，点E在O B上，D E＝2，则O E的长是．三．解答题19．如图，点E、F在线段B D上，A F⊥B D，C E⊥B D，A D＝C B，D E＝B F，求证：A F＝C E．20．如图，在△A B C中，A B＝A C，∠B A C和∠A C B的平分线相交于点D，∠A D C＝130°，求∠B A C的度数．21．如图，A D是△A B C的角平分线，D E、D F分别是△A B D和△A C D的高，求证：A D垂直平分E F．22．如图，△A B C是等腰三角形，∠B＝∠C，A D是底边B C上的高，D E∥A B交A C于点E．试说明△A D E是等腰三角形．23．如图，∠A O B＝60°，O C平分∠A O B，C为角平分线上一点，过点C作C D⊥O C，垂足为C，交O B于点D，C E∥O A交O B于点E．（1）判断△C E D的形状，并说明理由；（2）若C D＝6，O D＝10，直接写出O C的长．24．如图，在△A B C中，A B＝A C，∠B A C＝120°，D、F分别为A B、A C的中点，且D E ⊥A B，F G⊥A C，点E、G在B C上，B C＝18c m，求线段E G的长．（提示：需要添加辅助线）25．在△A B C中，∠B A C＝90°，A B＝A C，A D⊥B C于点D．（1）如图1，点M，N分别在A D，A B上，且∠B M N＝90°，当∠A M N＝30°，A B＝2时，求线段A M的长；（2）如图2，点E，F分别在A B，A C上，且∠E D F＝90°，求证：B E＝A F；（3）如图3，点M在A D的延长线上，点N在A C上，且∠B M N＝90°，求证：A B+A N ＝A M．参考答案一．选择题1．D．2．A．3．D．4．A．5．D．6．D．7．A．8．A．9．A．10．解：如图，设B G＝x，∵△O B C是等边三角形，∴∠B O C＝∠B＝∠C＝60°，∵D E⊥O C于点E，E F⊥B C于点F，F G⊥O B，∴∠B F G＝∠C E F＝∠O D E＝30°，∴B F＝2x，∴C F＝12﹣2x，∴C E＝2C F＝24﹣4x，∴O E＝12﹣C E＝4x﹣12，∴O D＝2O E＝8x﹣24，当G与D重合时，O D+B G＝O B，∴8x﹣24+x＝12，解得x＝4，∴O D＝8x﹣24＝32﹣24＝8，∴O E＝4，D E＝4，∴D（4，4）．故选：C．二．填空题11．它的逆命题是：如果一个等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它的底角为15°．命题为假命题．12．H L．13．76．14．18．15．24．16．54°17．①②③．18．2或4．三．解答题19．证明：∵D E＝B F，∴D E+E F＝B F+E F，即D F＝B E．在R t△A D F和R t△C B E中，∴R t△A D F≌R t△C B E．∴A F＝C E．20．解：∵A B＝A C，A E平分∠B A C，∴A E⊥B C（等腰三角形三线合一），∵∠A D C＝130°，∴∠C D E＝50°，∴∠D C E＝90°﹣∠C D E＝40°，又∵C D平分∠A C B，∴∠A C B＝2∠D C E＝80°．又∵A B＝A C，∴∠B＝∠A C B＝80°，∴∠B A C＝180°﹣（∠B+∠A C B）＝20．21．证明：设A D、E F的交点为K，∵A D平分∠B A C，D E⊥A B，D F⊥A C，∴D E＝D F．∵D E⊥A B，D F⊥A C，∴∠A E D＝∠A F D＝90°，在R t△A D E和R t△A D F中，，∴R t△A D E≌R t△A D F（H L），∴A E＝A F．∵A D是△A B C的角平分线∴A D是线段E F的垂直平分线．22．证明：∵在△A B C中，∠B＝∠C，∴A B＝A C，∴△A B C是等腰三角形；∵A D⊥B C，∴∠B A D＝∠D A C，∵D E∥A B，∴∠A D E＝∠B A D，∴∠A D E＝∠D A C，∴A E＝E D，∴△A D E是等腰三角形．23．解：（1）△C E D是等边三角形，理由如下：∵O C平分∠A O B，∠A O B＝60°，∴∠A O C＝∠C O E＝30°，∵C E∥O A，∴∠A O C＝∠C O E＝∠O C E＝30°，∠C E D＝60°，∵C D⊥O C，∴∠O C D＝90°，∴∠E D C＝60°，∴△C E D是等边三角形；（2）在R t△O C D中，根据勾股定理得O C＝＝8．24．解：如图，连接A E、A G∵D为A B中点，E D⊥A B，∴E B＝E A，∴△A B E为等腰三角形，又∵∠B＝∠E A B＝30°，∴∠B A E＝30°，∴∠A E G＝60°，同理可证：∠A G E＝60°，∴△A E G为等边三角形，∴A E＝E G＝A G，又∵A E＝B E，A G＝G C，∴B E＝E G＝G C，又B E+E G+G C＝B C＝18（c m），∴E G＝6（c m）．25.（1）解：∵∠B A C＝90°，A B＝A C，A D⊥B C，∴A D＝B D＝D C，∠A B C＝∠A C B＝45°，∠B A D＝∠C A D＝45°，∵A B＝2，∴A D＝B D＝D C＝，∵∠A M N＝30°，∴∠B M D＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠M B D＝30°，∴B M＝2D M，由勾股定理得，B M22﹣D M22＝B D22，即（2D M）22﹣D M22＝（）22，解得，D M＝，∴A M＝A D﹣D M＝﹣；（2）证明：∵A D⊥B C，∠E D F＝90°，∴∠B D E＝∠A D F，在△B D E和△A D F中，，∴△B D E≌△A D F（A S A）∴B E＝A F；（3）证明：过点M作M E∥B C交A B的延长线于E，∴∠A M E＝90°，则A E＝A M，∠E＝45°，∴M E＝M A，∵∠A M E＝90°，∠B M N＝90°，∴∠B M E＝∠A M N，在△B M E和△N M A中，，∴△B M E≌△N M A（A S A），∴B E＝A N，∴A B+A N＝A B+B E＝A E＝A M．。

北师版八下第1章三角形的证明方法专训等腰三角形中作辅助线的八种常用方法【习题课件】

又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD. CB＝CB，
在△CBF 和△CBD 中，∠CBF＝∠CBD， BF＝BD，
∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
阶段方法专训 6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
BF 平分∠ABC，CD⊥BF，且 CD 交 BF 的延长线于点 D.求证：BF＝2CD.
【点拨】由∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，延长 CB 构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解决问题．
阶段方法专训证明：如图，延长 CB 到点 E，使 BE＝BA，连接 AE，则∠E＝12∠ABC. ∵∠ABC＝2∠C，即∠C＝12∠ABC， ∴∠E＝∠C.∴AE＝AC. ∵AD⊥BC，∴CD＝DE.
阶段方法专训 OA＝OC，
在△OAM 和△OCN 中，∠OAM＝∠C＝45°， AM＝CN，
∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON＝90°.
∴△MON 是等腰直角三角形．
阶段方法专训 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D.
证明：∵DB＝DE，DG⊥BC， ∴BG＝EG.
阶段方法专训 5．如图，CE，CB 分别是△ABC，△ADC 的中线，且 AB＝AC.
求证：CD＝2CE.
【点拨】本题运用了倍长中线法，通过延长中线构造全等三角形解决问题．
阶段方法专训
证明：如图，延长 CE 到点 F，使 EF＝CE，连接 FB，则 CF＝2CE. ∵CE 是△ABC 的中线，∴AE＝BE.
＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 【点拨】本题运用截长补短法构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质与判定解决问题．

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八下1三角形的证明考点练习与总结
考点1 角平分线的性质和判定
1、如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是______．
2．如图2，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC( )
A．高 B．角平分线 C．垂直平分线 D．中线
[归纳总结]
1．性质：角平分线上的点到角两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在___________上．
考点2 垂直平分线的性质和判定
1．点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝________．
2．如图3，AD⊥BC，若要使AB=AC，需加___________条件，理由是__________________________．[归纳总结]
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
2．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______________上．
考点3、等腰三角形的性质
1．等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为( )A．20°B．40°C．50°D．80°2．等腰三角形的两条边长分别为5 cm和6 cm，则它的周长是_______________．
3．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10 cm，底边BC＝12 cm，则△ABC的角平分线AD的长是_____ cm. [归纳总结]
1．定义：有两条边相等的三角形是________三角形．
2．性质：(1)等腰三角形两底角_________；
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：_________；
(3)等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴．
考点4等腰三角形的判定
1．如图15－4，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图15－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
则图中共有等腰三角形的个数( ) A．4 B．5 C．6 D．7
[归纳总结]
1．定义判定：一个三角形中，如果有两条边________，那么这个三角形是等腰三角形．
2
考点5 等边三角形性质与判定
1．边长为6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________．
2．如图15－6，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，
且C G ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝________度．
[归纳总结]
1．性质：等边三角形的各角都________，并且每一个角都等于________；
等边三角形是轴对称图形，有________条对称轴．
2．判定：(1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形．
考点6、直角三角形
1．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是 ( )
A ．20
B ．10
C ．5 D.52
2．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，
若AD ＝6，则CD ＝_____．
[归纳总结]
1．性质：
(1)直角三角形的两个锐角________；
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_______．
2．判定：
(1)有一个角是________的三角形是直角三角形；
(2)两个内角________的三角形是直角三角形；
(3)一边上的中线等于这条边的________的三角形是直角三角形．
考点7勾股定理及其逆定理
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝9，b ＝12，则c 的长为 ( )
A ．6
B ．9
C ．15 D.63
2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )
A ．3，4，5
B ．6，8，10 C.3，2， 5 D ．5，12，13
[归纳总结]
1勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝________.
2．勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＝c 2，
那么这个三角形是________三角形．
3．勾股数：能构成直角三角形三条边长的三个________．
4定义判定：一个三角形中，如果有两条边________，那么这个三角形是等腰三角形．
5判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边________．。