(2017年)新人教版的八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结材料
人教数学八年级下册《勾股定理》典型例题分析.docx
初中数学试卷桑水出品《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题
新人教版八年级下册勾股定理全章学问点和典型例习题根底学问点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因此在应用勾股定理时，必需明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①直角三角形的随意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长a ，b ，c 满意222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和22a b +及较长边的平方2c 作比较，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满意222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以进步解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等７．勾股定理的应用cbaHGF EDC BAbacbac cabcab abc cbaE D C B A勾股定理可以扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计算，应设法添加协助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进展比较，切不行不加思索的用两边的平方和及第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
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新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：若是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来： 勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦． 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四， 弦五 〞形式的勾股定理，此后代们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考据勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②依照同一种图形的面积不相同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：1方法一： 4 SS 正方形 EFGH S 正方形 ABCD ， 4 ab (b a)2c 2，化简可证．方法二：DCHEG F b aA cBb aacbccbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三AaD角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1ab c 22ab c 2大正方形面2积 为 S (a b)2 a 2 2ab b 2所 以 a 2 b 2c 2 方 法 三 ：bcE ca B bCS 梯形1 ( a b) (a b) ，S 梯形 2S ADE S ABE2 1 ab 1 c 2 ，化简得证222３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭穿了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色， 所以在应用勾股定理时， 必定了然所察看的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，那么ca 2b 2 ， bc 2 a 2 ， ac 2 b 2 ②知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实责问题 ５ .勾股定理的逆定理若是三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边 ①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转化为形 〞来确定三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和a 2b 2 与较长 边的平方c 2 作比较，假设它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；假设222，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；222，时，以 a ，b，a b c假设 a b c c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b，边长 a ，b， c 满足斜边c 及 a2b2c2可是一种表现形式，不能认为是唯一的，如假设三角形三a2c2b2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能够说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2b2c2中， a ，b，c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数②记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n, n2 1 〔 n2,n 为正整数〕；2n1,2n22n,2n22n1n为正整数〕m2n2 ,2 mn,m2n2〔 m n,m，n为正整数〕〔７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增加辅助线〔平时作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详细计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不能不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而获得错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实责问题或详细的几何问题中，是密不能分的一个整体．平时既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常CA B D见图形：C CC30°A B A D B B D A10、互抗命题的看法若是一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，命题。
(完整版)新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数c ba HG FE D C B A b a c ba cc a b c a b a b c c b a E DC B A７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D C B A AD B C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
最新人教版八年级下学期数学《勾股定理》知识点归纳
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab cab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABES S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用cbaHG F EDCBAbacbac cabcaba bcc baE D CBA①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c b a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子nm n m mn n m>+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n nn （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
CA BD勾股定理全章知识点归纳及典型题分类一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中，90C ，则22c ab ，22bca ，22acb ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠Ｃ为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠Ｃ为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb ，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc 中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1nn n（2,nn 为正整数）；2221,22,221n nn nn （n 为正整数）2222,2,mn mn mn （,mn m ，n为正整数）二、典型题归类类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD ⊥AB 于D 。
新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等７．勾股定理的应用c ba HGF EDC BA bacbac cabcab abc cbaE D C B A勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方２。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５。
勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时,以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，c b a H G FE DC B A b ac b a c c a b c a b a b c c b aE D C B A时，以a ,b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>,时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６。
(2017年)新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结
勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长跟踪练习：1.在ABC ∆中，90C ∠=︒.（1）若a=5,b=12,则c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 分别对的边为a ，b ，c ，则下列结论正确的是( )A 、B 、C 、D 、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A 、2、4、6B 、4、6、8C 、6、8、10D 、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ）A 、B 、C 、1D 、25.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为（ ）A 、B 、C 、1D 、6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.8.已知△ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高线，CD=2，那么BD 等于（ ）A 、4B 、6C 、8D 、9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。
（2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面题型二：利用勾股定理测量长度例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A 、12米B 、13米C 、14米D 、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A 、8米B 、10米C 、12米D 、14米题型三：勾股定理和逆定理并用——例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB ==⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ==， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=.。
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新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题、基础知识点:1•勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ，斜边为c ,那么a 2 b c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理. 我国古代把直 角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了 直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2 •勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三 角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 -ab c 2 2ab c 2大正方形面2积为S (a b)2 a 2 2ab b 2所以a 2 b 2 c 2方法三：- i1 2 S 梯形—(a b) (a b), S 梯形 2S ADE S ABE 2 -ab -c 2，化简得证2 223 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系， 它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征， 因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 •勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C 90，则c a 2 b 2 , b c 2 a 2 , a .c 2 b 2②知道直角三角形一边， 可得另外两边之间的数量 关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a 2b 2与较长方法一：4SS正方形EFGHS正方形，1 4 ab 2(b 2a)c 2，化简可证.方法ba边的平方c2作比较，若它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若a 2b 2c 2，时，以a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形； 若a 2 b 2 c 2，时，以a , b ,c 为三边的三角形是锐角三角形；② 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三 边长a ，b ，c 满足a 2 c 2 b 2，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时， 不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6 •勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数， 即a 2 b 2 c 2中，a , b , c 为正整数时，称a , b , c 为一组勾股数 ② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等③ 用含字母的代数式表示n 组勾股数：n 2 1,2n,n 2 1 （ n 2, n 为正整数）;2n 1,2n 2 2n,2n 2 2n 1 （ n 为正整数）m 2 n 2,2mn,m 2 n 2 （ m n, m , n 为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时， 必须把握直角三角形的前提条件， 了解直角三角形中， 斜边 和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8 ..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较, 考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9 •勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不 可分的一个整体•通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形， 又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常 见图 形10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆命题。
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勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长跟踪练习：1.在ABC ∆中，90C ∠=︒.（1）若a=5,b=12,则c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 分别对的边为a ，b ，c ，则下列结论正确的是() A 、 B 、 C 、 D 、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A 、2、4、6B 、4、6、8C 、6、8、10D 、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ）A 、B 、C 、1D 、25.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为（ ）A 、B 、C 、1D 、6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.8.已知△ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高线，CD=2，那么BD 等于（ ）A 、4B 、6C 、8D 、9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。
（2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A 、12米B 、13米C 、14米D 、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A 、8米B 、10米C 、12米D 、14米题型三：勾股定理和逆定理并用——例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
跟踪练习：1.如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：∠AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度——例1. 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.跟踪练习：1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长.2.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的长.3.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;（2）求的值2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A 、9，12，15B 、7,24,25C 、D 、，， 3.在△ABC 中，下列说法①∠B=∠C-∠A ；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，其中能判断△ABC 为直角三角形的条件有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，，A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5.已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足，则此时三角形一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、锐角三角形6.在△ABC 中，若a=12-n ，b=2n ，c=12+n ，则△ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、直角三角形7.如图，正方形网格中的△ABC 是（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形或钝角三角形8.已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法中，错误的是（ ）A 、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°B 、如果∠C=90°，那么C 、如果（a+b ）（a-b ）=，那么∠A=90°D 、如果∠A=30°，那么AC=2BC9.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a+b=3，ab=1，，求的值，试判断△ABC 的形状，并说明理由10.观察下列各式：，，，……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________11.已知，m＞n，m、n为正整数，以，2mn，为边的三角形是___三角形.12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6. 如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.跟踪练习1.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究222、、BE CF EF 间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习1.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.(一)折叠直角三角形1.如图，在△ABC中，∠A = 90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的'A处，AB=4，AC=3，求BD的长。
2. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．（二）折叠长方形1.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。
2. 如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合. （1）求DE的长;（2）求折痕EF的长.3. （2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）4. 如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点. （1）求证：FB=FE （2）求证：CA′∥BD（3）求△DBF的面积7. 如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AG、CF. （1）求证：AG∥CF;（2）求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。
试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?3.有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）例2.跟踪练习：1.如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm ，6cm ，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？A 5314.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？题型十：勾股定理与特殊角（一） 直接运用30°或45°的直角三角形1.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC=23，求AD 的长。