高考数学应用题的解法
高三数学应用题解题思路与方法
高三数学应用题解题思路与方法在高三数学应用题中，要正确解题需要掌握一定的解题思路与方法。
本文将针对高三数学应用题，介绍一些解题的思路和方法，帮助同学们更好地应对数学应用题。
一、理清题意和建立数学模型在解决数学应用题之前，首先要理清题意，明确问题的要求和条件。
然后，根据问题的特点，建立与之相对应的数学模型。
数学模型是数学工具与实际问题之间的桥梁，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，从而用数学方法来解决。
二、分析问题和列出方程在建立好数学模型后，要对问题进行深入分析，找出与问题相关的数学关系。
常见的方法是列方程，通过建立方程式来描述问题中的数学关系。
在列方程时，要根据题目所给的条件和要求，选择适当的变量，并根据变量之间的关系建立相应的方程。
三、解方程和计算在列出方程之后，我们要运用数学方法解方程，求出方程的解。
这一步需要运用到高等数学中的方程求解方法，包括因式分解、配方法、二次方程公式、求根公式等。
根据具体题目的要求和条件，选择适当的方法来解方程，并进行计算。
四、检查答案和解释在解决数学应用题之后，要及时检查答案的合理性。
可以通过将得到的答案代入原方程或者根据题目的特性进行分析，判断答案是否符合题目的要求。
同时，要对解题过程进行解释，详细说明每一步的思路、方法和推理过程，使得解答完整且可读性强。
五、多做练习和总结为了提高解决数学应用题的能力，同学们还需要多做练习，并及时总结经验和方法。
通过做大量的题目，可以熟悉各种类型的数学应用题，熟练掌握解题的思路和方法。
同时，要及时总结解题的经验，归纳出一些常用的解题技巧，为今后的解题提供更为有效的帮助。
总结：高三数学应用题是考试中的重点和难点，要解题，需要通过理清题意、建立数学模型、分析问题和列方程、解方程和计算、检查答案和解释等步骤。
同时，要多做练习和总结经验，提高解题能力。
希望本文的介绍能够帮助同学们更好地应对高三数学应用题，取得好成绩。
高中生数学解题技巧与应用题答案解析
高中生数学解题技巧与应用题答案解析1. 引言在高中数学学习过程中，解题是非常重要的一部分。
不仅需要掌握基本的数学概念和方法，更需要具备灵活运用的能力。
本文将介绍一些高中生在解决数学问题时常用到的技巧，并提供一些应用题的详细解析。
2. 数学解题技巧2.1 视觉化思维视觉化思维是指通过画图或几何形状来理解和解决数学问题。
例如，在几何问题中，可以利用图形分析得到更直观的理解，并从中找到解题的关键。
2.2 等式转化与代入法等式转化与代入法是常见且实用的数学问题求解方法。
通过对等式进行变换，将复杂的表达式简化为更易计算和理解的形式，然后再代入给定条件进行求解。
2.3 数列与递推关系在数列相关问题中，了解数列性质及其递推关系是必不可少的。
通过观察、找出规律并建立递推公式，可以轻松求得序列中任意项值。
2.4 分类讨论法分类讨论法适用于一些复杂数学问题的解决。
通过将问题分成几个不同的情况，并对每种情况进行具体分析和求解，最终得到整体的解答。
3. 应用题答案解析3.1 三角函数应用题在三角函数相关问题中，需要灵活运用正弦、余弦、正切等概念。
本节将介绍一些常见的三角函数应用题，并提供详细的解析过程和答案。
3.2 几何题几何题是高中数学中重要且常见的应用题类型。
本节将选取一些典型的几何问题，并给出详细的解析步骤和结果。
3.3 排列组合与概率问题排列组合与概率问题需要深入理解并掌握相应的概念和计算方法。
本节将介绍一些常见的排列组合与概率问题，并提供详尽的答案解析过程。
4. 总结本文介绍了高中生数学解题技巧和应用题答案解析相关内容。
通过掌握这些技巧，提升数学思维能力，同学们可以更好地应对数学考试及日常课堂上的问题解决。
不仅如此，深入理解这些知识点也有助于拓宽数学思维和应用能力的发展。
希望本文对读者有所帮助！。
高中数学应用题
高中数学应用题数学应用题涉及社会生活的各个方面，它结合高中数学知识考查学生的阅读理解与数学建模等各种综合解决问题的能力。
下面笔者就结合实例，谈一谈最常用的三种解题策略。
一、化归转化策略数学知识源于生活，而且数学问题与现实问题是息息相关的，化归是运用某种方法或手段，把有待解决的较为生疏或较为复杂的不规范问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的思想方法。
化归方法的特点在于它具有很强的目的性、方向性、概括性和灵活性。
二、数形结合策略中学阶段学过的解析法、三角法、复数法、向量法、图像法等都属于数形结合的范畴。
很多数学问题给出的条件是比较复杂抽象的数量关系，但通过观察、分析、联想，发现它们具有某些几何特征，或者许多数量关系本身有明确的几何意义。
这些几何特征或几何意义可帮助我们发现数与形之间的新关系，从而获得直观明快的解题思路。
三、模式识别策略许多教师在教学几何证明时，讲得头头是道，有理有据，但学生仍不理解和掌握证明方法。
究其原因，一是忽视学习方法适用的背景和条件的教学，二是缺少对学生认知体验的训练。
因此，学生既不知道什么情况下使用什么方法有效，也无这方面的认知体验。
1.应用题的内容模式根据中学阶段所学知识的实际情况，应用题的内容大致分为以下模式：（1）与函数、方程、不等式有关的应用题，经常涉及路程、物价、产量等实际问题，解答这类问题一般要列出相关解析式，然后用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决。
（2）与数列有关的应用题，经常涉及与增长率有关的实际问题，需用等差、等比数列和简单的递推知识。
（3）与三角函数有关的应用题，一般涉及航行、测量及物理中的摆动、振动等。
（4）立体几何应用题，如空中的观测，地球的经纬度、面积、体积的计算等实际问题。
（5）与二次曲线有关的应用题，这类问题需要建立坐标系，运用解析几何知识加以解决。
在具体运用模式识别策略时要注意知识的负迁移的影响，要理解问题的实质，在头脑中储存正确的问题模式，建立知识的合理联系，避免生搬硬套。
高考数学技巧如何利用数学定理解决实际应用题
高考数学技巧如何利用数学定理解决实际应用题在高考数学中，遇到实际应用题是许多学生感到头疼的问题。
这类题目涉及到实际情境，需要学生灵活运用数学知识和技巧来解决。
然而，通过运用数学定理，我们可以有效地解决这类问题。
本文将介绍一些常用的数学定理及其应用技巧，帮助学生提高解决实际应用题的能力。
一、线性函数与斜率的应用线性函数是高考数学中最基本的函数之一，其表达式可以写为y =kx + b，其中k表示斜率，b表示截距。
运用线性函数的知识，我们可以解决许多实际应用题。
比如在求解两点间的距离时，我们可以利用两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算出斜率k，并应用斜率相等的原理，得到垂直于该线段的线的斜率：-1/k。
通过此定理，我们可以解决许多与线段相垂直的问题。
二、函数的复合与反函数在实际应用题中，我们有时需要解决复合函数或反函数的相关问题。
例如，当我们需要求解由两个函数构成的复合函数的值时，可以先计算第一个函数的值，再将结果作为输入计算第二个函数的值。
此外，函数的反函数也在实际问题中发挥着重要的作用。
通过建立函数与反函数的关系，我们可以解决一些关于逆运算的问题。
三、概率与统计概率与统计是高考数学中的重要部分，许多实际应用题都涉及到这个领域。
在解决概率问题时，我们可以运用排列组合的知识来计算不同事件发生的可能性。
而在解决统计问题时，我们可以运用样本调查的方法，通过收集数据并进行分析，得出符合实际情况的结论。
这些技巧对于解决实际问题有着很大的帮助。
四、三角函数与三角恒等式三角函数是高考数学中的难点，但它们在解决实际问题时具有广泛的应用。
通过运用三角函数的知识，我们可以测量难以直接测量的物理距离、角度等。
此外，三角恒等式也是解决一些复杂三角问题的重要工具。
通过熟练掌握三角恒等式，我们可以简化计算步骤，提高解题效率。
五、数列与等差数列数列与等差数列是高考数学中的常见考点，在实际应用题中也有重要的作用。
通过数列的知识，我们可以解决一些关于等距离、等时间间隔等问题。
高考数学应用题分类及解法整理
高考数学应用题分类及解法整理高考数学是各大高校和学生必备的考试科目之一，而在数学考试中，应用题占有相当大的比重，因为应用题是考察学生综合运用知识的重要方式。
如何应对高考数学应用题？本文将为你介绍高考数学应用题的分类及解法，帮助你更好地应对考试。
一、题材分类高考数学应用题大致可以分为以下几种类型：1.函数与方程组应用题这类题目通常以函数或方程组为分析对象，考查学生对函数和方程组在实际问题中的应用能力，例如在制作印有商标的马克杯时，需要计算图片与马克杯壁之间的间距、面积等问题。
乍一看很像一个纯几何问题，但要求同学们先根据三角形的面积公式计算出三角形面积和边长，再用同样的方法求得圆形面积并用其计算出马克杯的横截面积。
运用二元一次方程组将图形内外的面积联系起来并解出马克杯横截面积x的值。
2.概率与统计应用题这类题目要求学生能够在实际问题中应用概率与统计知识，例如在某一商品生产厂家的抽样调查中，要求求出该厂家在本次调查中有可能存在资质问题的概率。
需要学生在概率到统计转化的过程中，画出相应的Venn图，并根据已知条件建立对应的联立方程，这类问题相对时间紧，一般采取快速求解技巧，如同余定理等方式迅速解出答案。
3.图形应用题这类题目考查学生对相似、斜截式、矩形面积等知识的理解和应用能力，例如在建筑物设计中，通过计算出某一个建筑物的多个面的面积，进而求出建筑物的总面积，从而计算出精准的建筑位置和面积。
4.向量应用题这一类题目主要以向量为主要考察对象，考查学生在向量加减、模长、点积、平面欧氏空间中的运用能力，如某多元线性规划问题中，需要学生计算出向量的模长、点积，并根据求出的向量进行运算，从而得出最终答案。
5.其他除了以上四类常见的高考数学应用题，还有经典的常微分方程应用题、几何平移变换应用题和角度方向应用题等，这些题目看似在知识点上难度很大，但是只要了解解题技巧，同学们也可以迅速轻松地解决问。
二、解题方法解决高考数学应用题，往往需要采用题目之中所揭示的隐式思路，紧扣题干要点，采取实际意义相关定量分析，找到题目规律，再运用相关的数学工具进行专业求解。
做数学应用题的技巧
做数学应用题的技巧高数学并不是简简洁单就能学好，升入中学以后，中学数学变得更抽象了，许多学问同学们理解起来起先有困难了。
那么接下来给大家共享一些关于做数学应用题的技巧，盼望对大家有所协助。
做数学应用题的技巧一.归一问题解答含义及方法牢记题中的数量关系，细致阅读应用题给出的意思。
含义:在解容许用题时，先要求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
数量关系：总量÷份数=1份数量1份数量×所占份数=所求几份的数量另一总量÷(总量÷份数)=所求份数解答思路及方法：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
二.归总问题解答含义及方法含义：解题时，时时先找出“总数量”，然后再依据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
数量关系：1份数量×份数=总量总量÷1份数量=份数总量÷另一份数=另一每份数量解题思路和方法: 先求出总数量，再依据题意得出所求的数量。
三.和差问题解答含义及方法含义：确定两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
数量关系：大数=(和+差)÷ 2 小数=(和-差)÷ 2解题思路和方法:简洁的题目可以干脆套用公式;困难的题目变通后再用公式。
四.和倍问题解答含义及方法含义：确定两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
数量关系：总和÷(几倍+1)=较小的数总和-较小的数= 较大的数较小的数×几倍= 较大的数解题思路和方法:简洁的题目干脆利用公式，困难的题目变通后利用公式。
五.差倍问题解答含义及方法含义：确定两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
高考数学六大解题方法
高考数学六大解题方法（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用范文，如演讲致辞、合同协议、条据文书、策划方案、总结报告、简历模板、心得体会、工作材料、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this store provides various types of practical sample essays, such as speeches, contracts, agreements, documents, planning plans, summary reports, resume templates, experience, work materials, teaching materials, other sample essays, etc. Please pay attention to the different formats and writing methods of the model essay!高考数学六大解题方法高考数学六大解题方法是什么数学中解题方法有很多，例如有特殊值检验法，对于具有一般性的选择题，在答题过程中，可以将问题具体特殊化，利用问题在特殊情况下不真，则利用一般情况下不真这一原理，从而达到去伪存真的目的。
高考数学解题六种方法
高考数学解题六种方法
1.直接法:这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
2.特殊化法:当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
3.数形结合法:对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
4.等价转化法:通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
5.图像法:借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。
文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。
6.构造法:在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计
新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。
解高考数学应用题方法
解高考数学应用题方法先同后异。
先做同科同类型的题目，思索比较集中，知识和方法的〔沟通〕比较容易，有利于提升单位时间的效益。
高考题一般要求较快地进行"兴奋灶'的转移，而"先同后异'，可以避免"兴奋灶'过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，坚持有效精力。
先小后大。
小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗5.先点后面。
近年的高考数学解答题多浮现为多问渐难式的"梯度题'，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。
先高后低。
即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施"分段得分'，以增加在时间不够前提下的得分。
2应用题方法一第一关，事理关。
明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析。
第二关，文理关。
阅读理解关，一般数学应用题的文字阅读时事刊物较大，通过审题找出关键词和句，并理解其意义。
第三关，数理关。
用恰当的数学方法去解数学模型。
上述"三关'的突破口在于阅读与转译。
建议从三个方面入手：第一、划分题目的层次。
鉴于应用题题目篇幅长，信息容量大，阅读时有必要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和互相间的关系;第二、体会关键词语。
题目中不免出现一些专业术语或新名词，有的词语采纳即时定义来解释，认真阅读，认真领会即时定义的内涵和外延，是解决问题的关键;第三、弄清题图联系。
认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节;第四、重视条件转译。
将题设材料浮现的文字语言、图形语言转化为符号语言。
3应用题方法二解读：领会题意，并将生活、生产中的语言，译成数学语言;建模：依据题目要求，建立恰当的数学模型，并注意对变量的限制条件;解模：对已经数学化了的问题，用数学方法处理，求出答案;验核：讲述学问替代入实际问题检验，舍去不合理的解，并作答。
高中数学解决三角函数问题的五种方法(带答案)
高中数学解决三角函数问题的五种方法（带答案）方法一：角度法1. 计算给定角度的三角函数值。
2. 利用已知三角函数值的关系进行运算或计算未知三角函数值。
3. 根据问题给出的条件，确定需要解决的三角函数问题类型，如求角度、边长等。
4. 根据已知和未知的三角函数值，利用三角函数的简单性质和公式解决问题。
5. 最后，确保结果符合问题的要求，有必要的话进行合理的近似处理。
方法二：等式法1. 将问题中的三角函数转换成等式形式。
2. 根据已知的等式，利用等式的性质和公式进行推导和运算。
3. 通过求解等式，得到未知三角函数值或角度。
4. 判断结果是否符合问题的要求，并进行必要的近似处理。
方法三：图像法1. 根据给定的角度，画出三角函数图像。
2. 根据图像性质分析问题中的条件，确定需要求解的问题类型。
3. 利用图像，在合适的位置找到所需的三角函数值或角度。
4. 确认结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。
方法四：三角恒等式法1. 根据问题中的条件，利用已知的三角恒等式进行变形和推导。
2. 将问题转化为包含已知三角函数的等式。
3. 通过求解等式，得到所需的三角函数值或角度。
4. 验证结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。
方法五：三角函数特性法1. 根据问题中的条件，利用三角函数的特性进行分析。
2. 根据已知的特性，推导出所需的三角函数值或角度。
3. 判断结果是否满足问题要求，如有必要，进行近似处理。
这些方法是解决高中数学中三角函数问题常用的方法。
通过选择合适的解决方法，结合问题中给出的条件，可以有效地解决各种三角函数问题。
请注意，以上所提供的答案仅供参考，具体问题的解决方法可能因具体条件而有所不同。
解决数学问题时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容能够得到确认。
高考数学应用题技巧
高考数学应用题技巧数学是高考中最重要的科目之一，而应用题是数学考试中占比很大的一部分。
应用题是将数学知识应用于实际问题解决的题目，涉及的思维方式和解题方法更为复杂。
在高考中，应用题的解答需要一定的技巧和方法。
本文将分享一些高考数学应用题的解题技巧，希望对广大考生有所帮助。
一、理清题意，分析问题要解决一个应用题，首先要理清题意，并从题目中找到关键信息。
在读题时要有系统性的思维，明确所有已知条件和需要求解的未知数。
此外，切忌草率从事，对题目的文字说明、图形、数据等都要仔细阅读和分析，避免遗漏关键信息。
二、建立数学模型解决应用题需要建立数学模型，即将问题转化为数学语言。
建立数学模型要考虑以下几点：1. 应用适当的数学概念和理论，将问题进行数学抽象；2. 建立方程或不等式，根据已知条件列出方程组，或者采用函数关系式；3. 利用已知条件构造几何图形，运用几何知识进行推理。
三、选择合适的解题方法在解决应用题时，应根据具体情况选择合适的解题方法。
常见的解题方法包括：1. 代数方法：对于计算题或关联题，可以使用代数方法，通过列方程组或使用函数关系式进行求解；2. 几何方法：对于几何题，可以使用几何图形进行推理，利用几何定理进行解答；3. 统计方法：对于统计和概率题，可以利用统计学方法进行解答，如频率分布、样本调查等。
四、考虑实际意义，给出合理答案解决应用题的最终目标是得出合理的答案，并进行实际意义的解释。
在应用题中，除了计算结果之外，还要考虑结果的合理性和实际意义。
对于物理、经济、统计等领域的应用题，要能够将计算结果与实际情况相联系，进行合理的解释。
五、刻意练习，备考经验解决应用题需要一定的技巧和实践经验，而这些技巧和经验只有通过刻意练习才能获得。
建议考生在备考过程中，多做各种类型的应用题，积累解题经验。
可以从历年高考真题或者模拟试题中选取较难的应用题进行练习，找到解题过程中的症结点，针对性地进行突破。
六、注意审题，防止各种陷阱有时应用题会设置一些陷阱，考察考生的审题能力和反应能力。
应用题的解题方法与技巧
应用题的解题方法与技巧应用题是指将数学知识应用于实际问题的题目。
解题方法和技巧可以帮助我们在面对应用题时更加高效地解决问题。
下面是一些解题方法和技巧：1.理清问题：应用题往往是复杂的，首先需要理清楚问题的要求和条件，可以通过画图、列方程等方法帮助理解问题。
2.引入变量：对于涉及多个未知数的问题，可以引入变量来进行求解。
通过定义变量，建立方程，可以转化为解方程的问题。
3.制定计划：在解决应用题时，可以事先制定一个解题计划。
计划可以包括解题的步骤、使用的数学方法和需要注意的问题。
4.抽象问题：将实际问题抽象成数学模型，对于解决复杂问题非常有效。
通过抽象问题，可以将问题转化为数学问题，更容易找到解题的方法。
5.物理意义：对于涉及实际物理问题的应用题，可以考虑数学计算结果的物理意义。
对于解题过程中得到的数值，可以通过对其物理意义的理解来判断解是否合理。
6.近似计算：对于一些复杂的数学计算，可以使用近似计算的方法。
近似计算可以减少计算量，提高解题效率。
7.穷举法：对于某些特殊的应用题，可以使用穷举法来列出所有可能的情况来进行求解。
通过排除不符合条件的情况，可以找到符合题目要求的解。
8.利用对称性：对于涉及对称性的应用题，可以证明一部分情况，然后利用对称性得出其他情况的结论。
这样可以大大简化问题的解答过程。
9.利用已知条件：在解决应用题时，要充分利用已知条件。
往往已知条件可以提供关键信息，通过利用已知条件可以缩小问题的范围。
10.检查答案：在解答应用题后，要对答案进行检查。
通过重新审视题目要求和解题过程，可以发现解答过程中的错误，确保答案的正确性。
以上这些方法和技巧可以帮助我们更加高效地解决应用题。
在解题过程中，要注重理性思考，灵活运用数学知识，相信通过不断的实践和积累，我们能够更好地掌握应用题的解题方法和技巧。
高考高等数学备考指南导数应用题解题方法
高考高等数学备考指南导数应用题解题方法在高考的高等数学中，导数应用题是一个重要的考点，也是许多同学感到头疼的部分。
然而，只要掌握了正确的解题方法和思路，导数应用题也并非难以攻克。
接下来，让我们一起深入探讨导数应用题的解题方法。
一、导数的基本概念与意义在开始解决导数应用题之前，我们首先要清楚导数的基本概念和意义。
导数表示函数在某一点处的变化率，它反映了函数的增减性、极值等重要性质。
从几何角度来看，导数就是函数曲线在某一点处的切线斜率。
如果导数大于零，函数在该区间单调递增；如果导数小于零，函数在该区间单调递减；当导数为零时，可能取得极值。
二、常见的导数应用题类型1、利润最大问题在经济学中，经常会遇到利润最大化的问题。
通常会给出成本函数和收益函数，我们需要通过求导找到利润函数的最大值。
例如，某工厂生产某种产品，成本函数为$C(x) ＝ 2x^2 ＋ 10x ＋50$，收益函数为$R(x) ＝ 100x 05x^2$，则利润函数$P(x) ＝ R(x) C(x) ＝－25x^2 ＋ 90x 50$。
对利润函数求导$P'（x) ＝－5x ＋ 90$，令$P'（x) ＝0$，解得$x ＝18$。
此时需要进一步判断是极大值还是极小值，可以通过二阶导数或者区间端点的值来判断。
2、面积、体积最大问题这类问题通常涉及到几何图形，要求找出使得面积或体积最大的条件。
比如，用一段长为$L$的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值。
设矩形的长为$x$，则宽为$＼frac{L}｛2} x$，面积$S ＝ x(＼frac{L}｛2} x)＄。
对面积函数求导，找到极值点。
3、优化问题如在一定条件下，求时间最短、用料最省等问题。
三、解题步骤1、认真审题仔细阅读题目，理解题目所给的条件和要求，明确问题的类型和目标。
2、建立函数关系根据题目中的数量关系，建立相应的函数表达式。
3、求导对建立的函数进行求导。
4、令导数为零求出导数为零的点。
高考数学一轮总复习不等式与绝对值的综合应用题解
高考数学一轮总复习不等式与绝对值的综合应用题解在高考数学中，不等式与绝对值是两个重要的概念和技巧，也是常见的题型之一。
在数学的综合运用中，经常会遇到涉及不等式与绝对值的综合应用题，本文将对这方面的应用进行解析，帮助同学们更好地应对高考。
一、不等式与绝对值的基础知识回顾在进行不等式和绝对值的综合应用前，我们首先需要回顾一下不等式与绝对值的基础知识。
一个不等式由两个数之间的大小关系组成，我们可以使用不等号来表示。
例如，对于两个实数 a 和 b，我们可以表示 a 大于 b，或 a 小于等于 b，等等。
绝对值是一个数与零点之间的距离。
对于一个实数 x，它的绝对值表示为 |x|。
具体地说，当 x 大于等于 0 时，|x| 等于 x；当 x 小于 0 时，|x| 等于 -x。
例如，|2| = 2，|-2| = 2。
二、综合应用题解析接下来，我们将通过具体的综合应用题来解析不等式与绝对值的综合应用。
题目：现有一绳索长 20 米，要在上面划定两个点 P 和 Q，使得 P点到绳索起点 A 的距离不小于 5 米，且 Q 点到绳索终点 B 的距离不小于 4 米。
请问，有多少种划定点的方式？解析：要解决这个问题，我们可以使用不等式与绝对值的知识进行分析和求解。
首先，我们假设点 P 距离绳索起点 A 的距离为 x，点 Q 距离绳索终点 B 的距离为 y。
由于我们要求 P 点到绳索起点 A 的距离不小于 5 米，所以有不等式x ≥ 5；同理，Q 点到绳索终点 B 的距离不小于 4 米，所以有不等式 20 - y ≥ 4。
接下来，我们考虑点 P 和点 Q 的取值范围。
由于绳索的总长度为20 米，所以 x + y = 20。
又因为x ≥ 5，所以可以将不等式x ≥ 5 换成等式 x = 5 + a，其中 a ≥ 0。
同理，可以将不等式 20 - y ≥ 4 换成等式 y =16 - b，其中b ≥ 0。
将等式 x = 5 + a 和等式 y = 16 - b 代入 x + y = 20 中，得到 5 + a +16 - b = 20，化简可得 a - b = -1。
高考数学解答题技巧掌握解答题解题方法
高考数学解答题技巧掌握解答题解题方法为了帮助同学们在高考数学解答题中取得更好的成绩，本文将分享一些解答题的技巧和解题方法。
希望通过这些方法，你能够更加准确、高效地解答数学解答题。
一、理清题意、分析题型在解答数学解答题之前，首先要认真阅读题目，理清题意。
因为清楚题意是解答题的基础，只有理解了题目的要求，才能更好地进行解答。
同时，要分析题型，确定所属的数学知识点。
不同的题型在解题方法上是有所差异的，所以在解答题之前要明确题型，然后选择合适的解题方法。
二、运用合适的解题方法1. 代数解法：对于一些与代数相关的题目，可以尝试运用代数解法解答。
比如，有关方程、函数的题目，可以通过设变量、列方程等方法进行解答。
2. 几何解法：对于几何题，可以运用几何解法进行解答。
比如，利用图形的性质、相似三角形原理等几何知识，来推导解答。
3. 统计解法：统计题常常涉及到数据分析、概率等知识，可以使用统计解法进行解答。
通过分析数据、运用概率知识，找出解题的关键步骤。
4. 推理解法：一些解答题可能需要通过推理、归纳等方法进行解答。
这时候，我们需要根据题目的提示和条件，进行逻辑推理，得出最终的结论。
三、注意解答过程的准确性1. 认真审题：解答题需要非常细心地审题，尤其是一些细节性的条件和要求。
如果没有认真审题，极有可能会在解题过程中遗漏重要的信息，导致最后答案错误。
2. 理性计算：在解答数学解答题时，一定要保持计算的准确性。
注重细节，避免粗心带来的错误。
3. 多方检查：解答完题目后，一定要进行多方面的检查与验证。
可以反向计算，或者通过不同的解题方法进行验证。
只有经过反复验证，才能保证解答的准确性。
四、练习与总结熟能生巧，只有通过大量的练习，才能在解答数学解答题上更加得心应手。
找到一些高质量的题目进行练习，并及时总结解题方法和技巧。
在练习的过程中，要注意题目类型的多样性，不同题型要使用不同的解题方法。
通过练习，逐渐熟悉各类题型的解题思路，从而提高解答题的能力。
高考数学技巧如何利用数学公式解决难题
高考数学技巧如何利用数学公式解决难题高考数学考试对于许多学生来说是一项具有挑战性的任务。
随着难度级别的提高，解决数学难题变得更加困难。
然而，运用正确的数学技巧和公式，可以大大提高解题效率和准确性。
本文将介绍一些在高考数学中常用的技巧和公式，并探讨如何利用它们来解决各类难题。
一、二次函数的求解二次函数是高考数学中经常出现的题型。
求解二次函数难题的关键在于运用恰当的公式。
在给定函数y=ax^2+bx+c的情况下，可以使用以下公式来求解：1.求顶点坐标：顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(x)。
2.求轴对称线方程：轴对称线的方程为x=-b/2a。
3.求判别式：判别式D=b^2-4ac可以用来判断二次方程的根的性质。
4.求零点：零点可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0得到。
当判别式D大于0时，有两个实数根；当D等于0时，有一个实数根；当D小于0时，没有实数根。
二、三角函数的应用三角函数是高考数学中另一个常见的考点。
许多难题需要根据给定的三角函数关系来求解未知角度或边长。
以下是一些常用的三角函数公式：1.正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应的内角，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
2.余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应的内角，则有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC。
3.正切定理：在任意三角形ABC中，tanA=(2sina)/(cosa-cosb)。
通过灵活运用以上三角函数公式，可以解决高考数学中的许多难题，如不等式、三角方程、向量等题目。
三、概率与统计的技巧概率与统计是高考数学中的另一个重要考点。
在解决相关难题时，以下技巧可以帮助考生更好地应对：1.熟悉概率与统计的基本概念和公式，如概率的定义、条件概率、独立事件等。
2.掌握排列与组合的计算方法，包括阶乘、组合数、排列数等。
3.灵活运用贝叶斯定理解决条件概率问题。
高三数学万能解题法
高三数学万能解题法
高三数学万能解题法
①特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
②极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
③剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
④数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
⑥顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
⑦逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
⑧正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
⑨特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
⑩估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
2023年高考数学21种解题方法与技巧以及三种提分方法
高中数学21种解题方法与技巧以及三种提分方法1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0 两种情况为且型数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：观察法代数式求值方法有：(1)直接代入法 (2)化简代入法 (3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论 (3)分类写出结论恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学应用题的解法2007年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中对实践能力的界定是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.2007年山东数学考试说明对实践能力的界定是：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明．对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，对相当一部分学生来讲，连题目都不“敢”去看了，心理失衡，导致在阅读和理解方面存在着一定困难.解答这类问题的要害是消除心理和语言障碍，深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语言的翻译转化,自信，冷静地去读完题目，保持冷静，认真对待，不能随意放弃.读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。
在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系，将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言，这个过程其实就是建模。
函数,数列,不等式，排列组合、概率是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也时有出现.一般来说，可采用下列策略建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型；计数问题可建立排列组合问题；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型……中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：1．函数：能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.2．不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.3．平面向量:在立体几何与解析几何中的应用.4．三角函数：理解函数y=Asin(ωx+ψ)中 A、ω、ψ的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.5．数列：能运用公式解决简单的问题.6．直线和圆的方程：了解线性规划的意义，并会简单的应用.7．圆锥曲线方程：了解圆锥曲线的初步应用.8．直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各部分都有应用.9．排列、组合、二项式定理：⑴掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；⑵理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.⑶理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.这部分主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；⑵多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应用．10．概率：⑴了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；⑵了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；⑶了解互斥事件相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；⑷会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.11．概率与统计：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；⑷会用样本频率分布去估计总体分布；⑸了解正态分布的意义及主要性质；⑹了解假设检验的基本思想；⑺会根据样本的特征数估计总体；⑻了解线性回归的方法.12．极限、导数、复数：了解导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；一、建构函数模型的应用性问题解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润． （Ⅰ）设该店的月利润为S 元，有职工m 名．则()4010060013200S q p m =-⨯--．又由图可知：()()2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩．所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩由已知，当52p =时，0S =，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=解得50m =．即此时该店有50名职工．（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元．当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元． 综上，当55p =时，S 有最大值7800元．设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有1278002680002000000n ⨯--≥． 解得5n ≥．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元． 点评 求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题． （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．2．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：()()()11,96 962 ,3x c x N x P x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c为小于的正常数．)()()1 1,96 962 ,3x c x N x P x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c为小于的正常数 注：次品率P =次品数生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A 元，故厂方希望定出合适的日产量．（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 讲解：（Ⅰ）当x c >时，23P =，所以，每天的盈利额120332A T xA x =-⋅=．当1x c ≤≤时，196P x=-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫-⎪-⎝⎭件，次品约有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故，每天的盈利额()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, x x A x c T x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x c >时，每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时，()3296x Tx A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭．为表达方便，令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故()39611441147969797202222t T t A t A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝)3961144114796979702222t T t A t A A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．（等号当且仅当144t t=，即()1288t x ==即时成立）．所以，（1）当88c ≥时，m ax 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）．（2） 当188c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）． 所以，()()96g t g c ≥-．所以，()2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=> ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭)2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=> ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 即2max 14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当x c =时取得） 综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段．3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ 解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5( 2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f (1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0. 当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5. 当x >5时，有8.2–x >0,得x <8.2,∴5<x <8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内.（2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2+3.6 故当x =4时，f (x )有最大值3.6. 而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240（元/台）.4.为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？分析：关键在于理解题意而列出关系式，找到a 与b 间的等量关系.函数最小值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立 将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得aa b +-=230,记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值.由22)2()2(64++-='a a u ，令u †=0得a =6且当0＜a ＜6时，u †＞0，当6＜u ＜30时 u †＜0,∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3.从而当且仅当a =6，b =3时,y =abk 取最小值.5.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米/小时，每千米的运费分别为a 元、b 元、c 元.且b ＜a ＜c ,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）5.解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元).则由题意，,)2(.)(21S vm b y S vm a m vS aS y +=+=+=S v m b a y y S vm c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1.由y 3–y 2=［(c –b )–vm 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52.所以，当c >b +vm 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小.6.已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的函数，记作y =f (t )，cos ωt +b .（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.解：（1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T.由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21，∴y =16cos21+t π(2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos 21+t π>1, t 6cosπ>0.∴2k π–2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.7.某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ³4］–72=–2n 2+40n –72(1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=nn f )(=40–2(n +n36)≤16.当且仅当n =6时取等号.故此方案先获利6³16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128.当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.8.某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个.已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元.解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有 ⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y ) 要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值. x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n )∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52³7000+51³6000.当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y )=4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a 2人（140<a 2<420，且a 为偶数），每人每年可创利b 万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利b 01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b 4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元,则 bx bx b x a y 4.0)01.0)(2(-+-= =ab x a x b 2])70(2[1002+---依题意 x a -2≥a 243⋅∴0<x ≤2a .又140<a 2<420, 70<a <210. (1)当0<70-a ≤2a ,即70<a ≤140时，70-=a x , y 取到最大值;(2)当70-a >2a ,即140<a <210时，2ax = , y 取到最大值;综上所述，当70<a ≤140时，应裁员70-a 人；当140<a <210时，应裁员2a人.在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为12-=n y , 则由,10281≤-n两边取对数得 ,82lg )1(≤-n n ≤27.5,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.O A Bv t2(1－k )t4k t 15°（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为%2226⨯, 再经过x 天后小白鼠体内病毒细胞为x 2%2226⨯⨯, 由题意x 2%2226⨯⨯≤108，两边取对数得 2.6,82lg 22lg 2lg 26≤≤+-+x x 得，故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物． 本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.11.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.设船速为v ，显然h km v /4≥时人是不可能追上小船，当20≤≤v km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42<<v 的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。