2013届高考文科数学一轮复习课时作业(44)直线、平面垂直的判定与性质B

课时作业(四十四)B
第44讲直线、平面垂直的判定与性质
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()
A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α
2．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．[2011·安徽十校联考] 在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题是() A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β且α∥β，则l⊥α
C．若l⊥β且α⊥β，则l∥α
D．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α
4．如图K44－7所示，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
图K44－7
能力提升
5．[2011·北京西城模拟] 若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()
A．a∥β，α⊥βB．a⊂β，α⊥β
C．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β
6．[2011·宝鸡模拟] 设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
7．正方形ABCD的边长是12，P A⊥平面ABCD，P A＝12，那么P到对角线BD的距离是()
A．12 3 B．12 2
C．6 3 D．6 6
8．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的()
A．内心B．外心
C．垂心D．重心
9．如图K44－8，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF 及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有()
－8
A．DP⊥平面PEF B．DM⊥平面PEF
C．PM⊥平面DEF D．PF⊥平面DEF
10．如图K44－9，P A⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中直角三角形的个数是________．
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C－BD－C的正切值为________．
12．如图K44－10，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
13．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出4个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
14．(10分)[2011·合肥一检] 如图K44－11，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC ＝2，DD1＝3，E是C1D1的中点，F是CE的中点．
(1)求证：EA∥平面BDF；
(2)求证：平面BDF⊥平面BCE.
15．(13分)如图K44－12，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面P AC.
图K44－12
难点突破
16．(12分)[2011·长沙一中模拟] 如图K44－13，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB 的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D 的中点．
(1)证明：EF∥平面A′BC；
(2)求直线A′C与平面A
课时作业(四十四)B
【基础热身】
1．C [解析] 设m 在平面α内的射影为n ，当l ⊥n ，且与平面α无公共点时，l ⊥m ，l ∥α.
2．B [解析] l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，故l ⊥m ，反之当l ⊥m 时，α，β的位置不确定．故选B.
3．B [解析] A 显然不对，C 、D 中的直线l 有可能在平面α内．故选B.
4．a [解析] 如图，取BC 中点E ，连接ED 、AE ， ∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC . ∵平面ABC ⊥平面BDC ， ∴AE ⊥平面BCD ， ∴AE ⊥ED .
在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，
AE ＝DE ＝12BC ＝2
2
a ，
∴AD ＝AE 2＋ED 2＝a .
【能力提升】
5．D [解析] 只有选项D ，a ⊥β，α∥β⇒a ⊥α.
6．B [解析] 当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β. 7．D [解析] 如图所示，
连接正方形ABCD 的两条对角线则BD ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥P A ，所以BD ⊥平面P AO ，则PO ⊥BD ，即PO 是P 到BD 的距离．在△P AO 中，
∠P AO ＝90°，P A ＝12，AO ＝1
2
AC ＝62，所以PO ＝P A 2＋AO 2＝122＋(62)2＝6 6.
8．C [解析] 如图所示，
P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，所以P A BC ，又PH ⊥平面ABC ，所以AE ⊥BC .即H 是△ABC 高的交点，所以H 一定是△ABC 的垂心．
9．A [解析] 在正方形中，DA ⊥EA ，DC ⊥FC ，∴在折叠后的四面体P －DEF 中有DP ⊥EP ，DP ⊥FP ，又EP ∩FP ＝P ，∴DP ⊥平面PEF .
10．4 [解析] 由题中图与已知得直角三角形有：△P AC 、△P AB 、△ABC 、△PBC . 11.2 [解析] 如图，
∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 在Rt △C 1OC 中，tan ∠C 1OC ＝ 2.
12．③ [解析] 因为AB ＝CB ，E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，又BE ∩DE ＝E ，所以AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故只有③正确．
13．②③④⇒①或①③④⇒② [解析] 由题意可构造出四个命题(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．
14．[解答] 证明：(1)连接AC 交BD 于O 点，连接OF ， 可得OF 是△ACE 的中位线，OF ∥AE .
又AE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ， 所以EA ∥平面BDF .
(2)计算可得DE ＝DC ＝2，又F
所以DF ⊥CE .
又BC ⊥平面CDD 1C 1， 所以DF ⊥BC . 又BC ∩CE ＝C ， 所以DF ⊥平面BCE . 又DF ⊂平面BDF ，
所以平面BDF ⊥平面BCE .
15．[解答] (1)证明：连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .
(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：取A ′C 的中点M ，连接MF ，MB ，
则FM ∥DC ，且FM ＝1
2DC ，
又EB ∥DC ，且EB ＝1
2
DC ，
从而有FM 綊EB ，
所以四边形EBMF 为平行四边形， 故有EF ∥MB .
又EF ⊄平面A ′BC ，MB ⊂平面A ′BC ， 所以EF ∥平面A ′BC .
(2)连接CE ，则CE ⊥DE ，因为平面A ′DE ⊥平面BCDE ，且交线为DE ， 所以CE ⊥平面A ′DE ，A ′C 在平面A ′DE 上的射影为A ′E . 所以∠CA ′E 是直线A ′C 与平面A ′DE 所成角．
因为在矩形ABCD 中，AB ＝2设AD ＝a, 则AB ＝2a ，CE ＝2a .
又A ′E ＝a ，所以tan ∠CA ′E ＝CE A ′E
＝2a
a ＝2，
故直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正切值为 2.。