28.1 锐角三角函数(5)
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值教学设计
作业要求：
1.学生需独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.解题过程要求步骤清晰，书写规范。
3.小组合作题需充分发挥团队合作精神，共同完成。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
4.通过对特殊角的锐角三角函数值的学习，培养学生对数的敏感性和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动，引导学生自主发现特殊角的锐角三角函数值规律，培养学生自主学习的能力。
2.运用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生通过合作、探究、讨论等方式，深入理解特殊角锐角三角函数的概念和计算方法。
针对学生的困惑，我会进行有针对性的解答，巩固学生对知识的理解。最后，强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的应用，提高学生的应用意识，为后续学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角的锐角三角函数值的学习，确保学生能够熟练掌握并运用到实际中，我设计了以下几类作业：
1.基础巩固题：布置一些基本的计算题，要求学生熟练掌握特殊角的正弦、余弦、正切值，并能快速准确地计算出结果。
学生在讨论过程中，可以相互提问、解答，共同探讨特殊角锐角三角函数值的规律。我会巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每个小组汇报讨论成果，共同分享学习心得。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计不同难度的题目，让学生独立完成。题目包括基础题、提高题和应用题，旨在检验学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合学生的生活经验，提出一个与学生实际相关的问题：“同学们，在我们的日常生活中，如建筑设计、制作家具等，经常会遇到各种角度的测量问题。那么，如何才能快速、准确地计算出这些角度的三角函数值呢？”通过这个问题，激发学生的好奇心，引导学生思考。
《锐角三角函数》优质教学课件初中数学5
第二步：输入角度值18； 新知二 利用计算器探索三角函数的性质
（1）sin35°=
，cos35°=
，
则都有sin2A＋sin2B＝____；
证明：∵ S△ABC = (3)sin67°38′24″.
屏幕显示结果 AB · sin2α · AC = sin2α，
sin18°= 0.309 016 994.
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论． 证明：∵ S△ABC = 12AB ·sin2α ·AC = sin122α，
S△ABC = ×12 2ABsinα ·ACcosα = sinα ·cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα.
2α
④ sin60°____2sin30°cos30°；
∴sin2α＝2sinαcosα.
例如 (1) 不同计算器操作的步骤可能不同！
6 (因为30°36′ = 30.
用计算器求sin18°的值；
(2) ∠A ≈ 81.
解：第一步：按计算器 sin 键； sin2A1＋sin2B1＝____；
9．(渗透学科知识)(娄底中考)如图，撬钉子的工具是一个杠杆， 会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
B．30°＜∠A＜45° D．60°＜∠A＜90°
4．已知一次函数 y＝kx＋3 经过点( 3 ，2)，则其图象与 x 轴相交所得的锐角度数是_6_0_°_．
5．(宜宾中考)如图，A，B，C
是⊙O
上的三点， 3
若△OBC 是等边三角形，则 cos A＝_2___．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交
9．(渗透学科知识)(娄底中考)如图，撬钉子的工具是一个杠杆，
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
人教版九年级数学下第28章28.1《锐角三角函数》优秀教学案例
四、教学评价
1.评价学生的知识掌握程度：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生对锐角三角函数知识的掌握情况；
2.评价学生的实践操作能力：通过实际问题解决，评价学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；
3.评价学生的合作交流能力：通过小组讨论、互动交流等方式，评价学生在团队合作中的表现；
3.讲练结合：在课堂中及时进行练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力；
4.反馈调整：根据学生的学习情况，及时调整教学方法，以提高教学效果。
五、教学过程
1.创设情境，引入新课：通过生活实例，引导学生思考并引入锐角三角函数的概念；
2.自主探究，小组合作：让学生在小组内讨论交流，共同探究锐角三角函数的定义及应用；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生学习数学的内在动力；
2.培养学生合作交流的意识，提高学生团队协作的能力；
3.让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识；
4.通过对本节课的学习，使学生树立正确的数学学习观念，相信自己通过努力可以掌握并运用好数学知识。
三、教学重难点
4.评价学生的情感态度与价值观：通过观察学生的学习态度、课堂表现等，评价学生对数学学科的兴趣和热爱。
五、教学拓展
1.利用多媒体技术，展示锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；
2.推荐相关的数学读物和网站，让学生课后进行拓展学习，提高学生的数学素养；
3.结合学校或社区的活动，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
六、教学反思
在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法、教学内容等方面，以确保教学的质量和效果。同时，关注学生的学习反馈，根据学生的需求调整教学策略，以提高教学效果。通过不断的反思和调整，使教学更加符合学生的实际情况，提高学生的数学素养。
九年级数学人教版下册28.1锐角三角函数——30°45°60°角的三角函数值值及其运算
A
BC=2accmm 求：Rt△ABC中∠B的三角函数值。
A
30°
4cm
2 3 cm
C
60° B
2cm
Sin60°= 3
2
Cos60°= 1
2
3acm 30° 2a cm
C
60° B acm
Sin60°= 3
2
Cos60°= 1
2
60°角的正弦、余弦、正切是 一个定值，分别是：
31
3
22
tan60°= 3
人教版九年级数学下册
28.1锐角三角函数
30°、45°、60°角的三角函数值及其有关运算
三角王国比一比
情景导入
90° 45° 45°
90° 30° 60°
三角函数
A 正弦：SinA=
B
C 余弦：CosA=
正切：tanA=
对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边
都是90°，∠A=30°，∠C=60°
2cm 3、在进行特殊角的三角函数值计算时我们应
1、特殊值的三角函数值我们是如何推导的？
C
60° B acm
Sin30°= Sin30°= 30°、45°、60°角的三角函数值及其有关运算
SinA=Sin30°=
1
2 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°
1随着角的增大，函数值怎样变化？
4. 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，cosA = sinB tanA · tanB =1 .
求：Rt△ABC中∠A和∠B的三角函数值。 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°
28.1锐角三角函数定义纯知识点
28.1 锐角三角函数知识点一、锐角三角函数的定义我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦把∠A的对边与邻边的比叫做正切注：（1）正弦、余弦、正切函数反映里直角三角形边角之间的关系，是两条线段的比值，没有单位。
锐角三角函数值只与锐角的大小有关，与三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关。
（2）表示某个角的三角函数时，可直接将角的名称或度数写在符号（“sin”、“cos”、“tan”）后面。
如sin∠ABC，sin∠1，sin60°等。
若角的名称是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，在表示它的三角函数时，习惯省略“∠”的符号，如“sinA，sinα”等。
（3）三角函数的乘方运算，“（sinA ）n”可简写为“sin n A”（4）锐角三角函数只能在直角三角形中应用。
（5）锐角三角函数的取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA ＞0知识点三、求锐角三角函数值的方法（1）直接利用定义求值：当已知条件为直角三角形的两边长时，利用勾股定理可求第三边长，依据三角函数的定义，直接代入求值。
（2）根据特殊角的三角函数值求值，关键要熟记30°，45°，60°角的三角函数。
（3）求等角的三角函数值：当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值有困难时，可通过转化求等角的三角函数值。
（4）设参数求三角函数值：当已知某两条线段的比或某一三角函数值，可设参数求解。
知识点四、锐角三角函数的增减性当锐角的度数在0°~90°之间变化时，其正弦值、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小），其余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
人教版数学九年级下册第28章(教案)：28.1锐角三角函数-余弦、正切
-函数定义的抽象理解：锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程，这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握：理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式，让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分，我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维，通过组织各类活动，锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈，调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，分析锐角α的正切值等于直角三角形中，角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质：分析余弦、正切函数随角度变化的规律，探讨它们在0°～90°范围内的变化趋势。
4.应用举例：结合实际问题，运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固：通过典型例题和练习题，使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章（教案）：28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节，本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括：
1.余弦函数的定义：通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
28.1锐角三角函数-特殊角的三角函数值(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解特殊角的三角函数值的基本概念。特殊角的三角函数值是指在30°、45°、60°这三个锐角下，正弦、余弦、正切函数的具体数值。它们在解决实际问题时有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们已知一个直角三角形的一个锐角为30°，并且知道斜边长度，如何计算其他两边的长度？这个案例将展示特殊角的三角函数值在实际中的应用。
4.数学运算：培养学生准确、熟练地运用特殊角的三角函数值进行计算，提高运算速度和准确性；
5.数据分析：通过实际问题的解答，使学生能够分析数据，发现其中的规律，增强数据分析能力。以上目标与新教材要求相符，旨在全面提升学生的数学学科核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并记忆特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切函数值；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊角的三角函数值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊角的三角函数值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
新人教版九年级数学下册《28章锐角三角函数28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案_5
特殊角的锐角三角函数值及用计算器求角的三角函数值一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学目标本节课教学目标如下：知识与技能：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算3．会用计算器求一个角的锐角函数值。
过程与方法：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
2. 经历计算器求三角函数值的过程培养学生的动手能力。
情感态度与价值观：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
三、教学重难点教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
教学难点：三角函数值的应用四、教具学具三角尺，直尺，多媒体课件，科学计算器五、教学流程（一）出示学习目标1.自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
3.会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
4.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
（二）复习巩固1.如图所示在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c 三者之间的关系是，∠A+∠B= 。
28.1.1锐角三角函数---余弦+特殊值
类似于正弦的情况，在图中，当锐角Ａ的大 小确定时，的邻边的比的对边与邻边的比也 分别是确定的． 在Rt△ABC中，∠C=900，我们把锐角A的邻边 与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作 cosA，即 ∠A的邻边 b
cosA= 斜边
C
∠A的对边记作a. ∠B的对边记作b. ∠C的对边记作c.
5.如图, 在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，b=
c= 3 ,则sin(90°－A)=
C a B
5
B
C
5
A
b
c A
3 15 。 5 5
B
C
2 ,则 6. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若sinA= 2 ∠A= 45°. ∠B= 45° .
小
结
分别叫做锐角 ∠A的正弦、余 弦、正切、， 统称为锐角∠A 的三角函数.
在Rt△ABC中，∠C=900，我们把锐角A 的对边与锐角Ａ的邻边的比叫做∠A的正 切(tangent)，记作tanA，即
∠A的对边 tanA= ∠A的邻边
a
b
∠A的对边记作a.
∠B的对边记作b.
∠C的对边记作c.
锐角α的正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、余弦、和正切统称∠α的三角函数 B
定 义
∠A的对边
斜边
sinA
斜边
∠A的对边
１．分别求出下列直角三角形中两个锐角的 正弦值、余弦值和正切值．
２．在Rt△ABC中，如果各边长都扩大２倍， 那么锐角的正弦值、余弦值和正切值有什么变 化？
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=900， AC=8，tanA=
3 4
求sinA、cosB的值．
1 .如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图 中tanB可由 哪两条线段比求得。
九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455
-tan45
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示 （cos60°）²， 即cos60°的平方.
=（ 12）²+（
3 2
）²
=1；
（2）cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ B ）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
B 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= 3 ，
求cosA，tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10，
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8，
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
九年级下册数学28.1特殊角的锐角三角函数值
推进新课 知识点1 特殊角的三角函数值
探究
60°
30°
45°
45°
1 这两块三角尺的锐角分别等于多少度？
探究
2 每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系? （设最短的边为a）
2a
30° 3a
60°
a
a
a
45°
45°
2a
思考 你能根据前面的计算填出下表吗？
锐角 锐角A 三角函数
sin A
cos A
tan A
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
得到tan30°36'结果
提问
若已知某锐角的三角函数值，能否用计算器求 出该锐角的度数呢？
若sin A=0.5018.
2nd F
sin键 °′″
输入函数值0.5018 得到结果
练习 3.用计算器求下列锐角三角函数值：
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
（3）(cos230°+sin230°)×tan60°. 3
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 7，
AC= 21 ，试求∠A，∠B的度数。
A
解：tanA
BC AC
7 21
1 3
3 3
tanB
AC BC
3
21
∴∠A＝30°，∠B＝60°. C
解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= 3，
2
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
初中人教版数学九年级下册28.1【教学课件】《锐角三角函数》
人民教育出版社 九年级 | 下册
应用新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值。
人民教育出版社 九年级 | 下册
应用新知
人民教育出版社 九年级 | 下册
应用新知
例3：求下列各式的值：
2 2
cos 45 tan 45。 （1）cos 60 sin 60 ；（2） sin 45
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值。
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探究新知
正弦函数概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正 弦（sine），记住sinA，即
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第二十八章●第一节
锐角三角函数
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问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系？
⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？ ⑶在直角三角形中，斜边与两条直角边之间有什么关系？
问题2 据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时，人脚的感觉最
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探究新知
问题6 如图，两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值 和正切值各是多少？
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探究新知
问题7 我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。如果已知锐角三角函数值， 也可以使用计算器求出相应的锐角。 如用计算器求sin18°的值。 第一步：按计算器sin键； 第二步：输入角度值18。 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994。 再如已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A。 第一步：依次按计算器2nd F、sin键； 第二步：然后输入函数值0. 501 8。 屏幕显示答案： 30.119 158 67°。（按实际需要进行精确）
必刷基础练【28.1 锐角三角函数】(解析版)
2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第28章《锐角三角函数》28.1 锐角三角函数知识点01：锐角三角函数的定义1．（2022秋•钢城区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，BC＝8，则AC等于（ ）A．6B．16C．12D．4解：∵∠C＝90°，∴tan A＝＝2，∴AC＝BC＝×8＝4．故选：D．2．（2022秋•晋州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．3．（2022秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝6，下列等式中正确的（ ）A．tan A＝B．sin A＝C．cot A＝D．cos A＝解：∵AB2＝BC2+AC2，∴AB2＝62+92＝117，∴AB＝3；A、tan A＝＝＝，故A不符合题意；B、sin A＝＝＝，故B不符合题意；C、cot A＝＝＝，故C符合题意；D、cos A＝＝＝，故D不符合题意，故选：C．4．（2022秋•杨浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（ ）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝，cot A＝＝2．故选：A．5．（2022秋•黄浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（ ）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝，∴sin A＝＝，cos A＝＝．tan A＝＝＝，cot A＝＝．故选：A．6．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是 ．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，故答案为：．7．（2021秋•牡丹江期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cos A＝，sin C＝，则∠B＝ 60° ．解：∵∠A，∠C都是锐角，cos A＝，sin C＝，∴∠A＝60°，∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，故答案为：60°．8．（2022春•衡阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则tan B＝ ．解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴BC＝＝5，∴tan B＝＝．故答案为：．9．（2022秋•惠山区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．＝9，求△ABC的周长．（2）tan A＝2，S△ABC解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tan A＝＝2，∴a＝2b，∵S＝9，△ABC∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理得：c＝＝＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．10．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．知识点02：锐角三角函数的增减性11．（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．12．（2022•路南区二模）梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A．sin A的值越大，梯子越陡B．cos A的值越大，梯子越陡C．tan A的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关解：根据锐角三角函数值的变化规律，知sin A的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选：A．13．（2022秋•晋江市期中）比较大小：tan50° ＜ tan60°．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．14．（2021秋•淮阴区期末）比较大小：sin50° ＜ sin60°（填“＞”或“＜”）．解：由于50°＜60°，根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得，sin50°＜sin60°，故答案为：＜．15．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα解：（1）sinα＝，0＜a＜c，0＜1，即0＜sinα＜1；（2）cosα＝，0＜b＜c，0＜＜1，即0＜cosα＜1；（3）tanα＝，sinα＝，由0＜b＜c，得＞，即tanα＞sinα．16．（2019春•西湖区校级月考）如图，半径为4的⊙O内一点A，OA＝．点P在⊙B上，当∠OPA最大时，求PA的长．解：如图，作OE⊥PA于E，∵sin∠OPA＝，∴OE的值取最大值时，sin∠OPA的值最大，此时∠OPA的值最大，∵OE≤OA，∴当OE与OA重合时，即PA⊥OA时，∠OPA的值最大．如图，∵在直角△OPA中，OA＝2，OP＝4，∴PA＝＝2．知识点03：同角三角函数的关系17．（2022春•巴东县期中）x为锐角，，则cos x的值为（ ）A．B．C．D．解：∵sin2x+cos2x＝1，，∴cos x＝＝＝．故选：B．18．（2021秋•舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝，求cos A＝（ ）A．B．C．D．2解：∵sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝＝.\故选：C．19．（2021•温江区校级开学）计算：（cos230°+sin230°）×tan60°＝ ．解：原式＝[（）2+（）2]×＝，故答案为：．20．（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则sin A+cos A＝ ．解：如图，∵tan A＝2，∴设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x则有：sin A+cos A＝+＝+＝．故答案为：．21．（2020秋•万州区校级期中）计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝ 1﹣ ．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．22．（2021秋•鄞州区校级月考）计算：（1）4sin260°﹣3tan30°；（2）+cos245°+sin245°．解：（1）4sin260°﹣3tan30°＝4×＝3﹣；（2）+cos245°+sin245°＝＝4+1＝5．23．（2021秋•绥宁县月考）计算：（1）sin230°+tan60°﹣sin245°+cos230°；（2）+（1+π）0﹣2cos45°﹣|1﹣|．解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝2+1﹣2×﹣+1＝2+1﹣﹣+1＝2．24．（2022秋•蓬莱区期中）计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．知识点04：互余两角三角函数的关系25．（2022秋•芝罘区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．sin A＝cos B D．tan A＝tan B 解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．故选：C．26．（2021秋•怀化期末）已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（ ）A．38°B．62°C．52°D．72°解：∵锐角α，且sinα＝cos38°，sin A＝cos（90°﹣∠A），∴sinα＝cos（90°﹣α）＝cos38°，∴90°﹣α＝38°，解得：α＝52°．故选：C．27．（2021秋•怀宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B＝ ．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．28．（2020秋•肥东县期末）已知α为锐角，则sinα﹣cos（90°﹣α）＝ 0 ．解：∵α为锐角，∴sinα＝cos（90°﹣α），∴sinα﹣cos（90°﹣α）＝0．故答案为0．29．（2019秋•双流区期末）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则tan B＝ ．解：如图．在Rt△ABC中，∵sin A＝＝，∴设BC＝x，AB＝3x，则AC＝＝2x，故tan B＝＝＝．故答案为：．30．（2017•吴兴区校级二模）已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．31．化简下列各式：（1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4（2）．解：（1）原式＝4sin2θ+4cos2θ+4＝4（sin2θ+cos2θ）+4＝4+4＝8；（2）原式＝﹣1＝﹣1＝1+tan2θ﹣1＝tan2θ．知识点05：特殊角的三角函数值32．（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．33．（2021秋•梁平区期末）式子2cos30°﹣tan45°﹣的值是（ ）A．0B．2C．2D．﹣2解：原式＝2×﹣1﹣（﹣1）＝﹣1﹣+1＝0．故选：A．34．（2022秋•乳山市校级月考）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sin C的值是（ ）A．B．C．1D．解：∵∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，∴sin C＝sin30°＝．故选：A．35．（2022秋•虎丘区校级期中）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝ 60° ．解：∵∠α为锐角，sinα＝，∴∠α＝60°．故答案为：60°．36．（2022秋•东平县校级月考）若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是 直角三角形 ．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．37．（2022秋•铁西区期中）在△ABC中，若sin A＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是 75° ．解：∵，∠A，∠B都是锐角，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案为：75°．38．（2022秋•垦利区期中）在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 105° ．解：∵|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，∴sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．39．（2022秋•黄浦区期中）计算：．解：原式＝﹣＝cot30°﹣1﹣＝﹣1﹣＝﹣1﹣（+1）＝﹣1﹣﹣1＝﹣2．40．（2022秋•莱西市期中）计算：（1）；（2）cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．解：（1）原式＝＝＝﹣1﹣＝﹣；（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣1+﹣＝﹣．。
锐角三角函数
思考：已知：△ABC中∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=5、 AB=13，求：⑴sinA ⑵cos∠BCD ⑶cos ∠ACD
解： AC 5、AB 13 由勾股定理可得： 12 BC BC 12 sin A AB 13 BCD B 90 A B 90 A ACD 90 BCD A ACD B AC 5 cosBCD cosA AB 13 BC 12 cosACD cosB AB 13
练习2：
F
D
G
E
GF DF EF DE sinE=________=________
EF GE DE EF cosE=________=________
GE EF sin∠GFE=_________
FG DF cos∠GFD=_________
例1：已知：△ABC中∠C=90°，AC=6、AB=10，
C
A
D
B
c
类似地， 我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA A的邻边 b 即： cos A 斜边 c
练习1：
a c sinA=__________ b cosA=__________ c
A
b c sinB=__________
a c cosB=__________
B
c
b
C a
求：⑴sinA ⑵cosA ⑶sinB ⑷ cosB A
B
C
练习1：
sin A 已知：△ABC中∠C=90°， 5 求：⑴sinB ⑵cosB
3
B
BC 3 解： sinA AB 5 可设BC 3 x、AB 5 x
A
C
锐角三角函数
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.1.1锐角三角函数义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.1.2锐角三角函数义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.1.3锐角三角函数义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.1.4锐角三角函数义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.1.5锐角三角函数中，求证：C cBb sin =；B ac ABC sin 21==7、（2009临沂）如图，的切线，A ，B 为切点，O ⊙的半径；义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.2.1锐角三角函数解直角三角形的分类：①已知两边，如果是两条直角边a、b:则第三边斜边°，求得，也可先用正切、从特殊到一般归纳总结：由以上所述，引导学生归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型：、交流学习中的点滴收获以及使用哪些数学方法。
在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠条件解直角题目中没有直角三角形，又如何求边求角呢？义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.2.2锐角三角函数这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素一个是边)就可以求出其余的三个未知元素、在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝35，c＝45(cos39°＝0.7778)，解直角三角形,义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.2.3锐角三角函数图1义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.2.4锐角三角函数仰角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角俯角定义：在视线与水平线所成的角中，水平线下方的叫俯角3、一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，义务教育课标实验教科书数学九年级（下）28.2.5锐角三角函数例如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡角α=︒28，斜坡AB=9m，求拦水坝的高BE。
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小结 同角三角函数关系： 同角三角函数关系： (1)平方关系：sin A+ cos A =1 平方关系： 平方关系
2 2
sin A (2)商数关系： A = 商数关系： 商数关系 tan cos A
范例 例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，若 、 △ 中 ° tanA+tanB=4，S△ABC=8，求斜边 ， ，求斜边AB 的长。 的长。
巩固 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA+ 、 △ 中 ° 7 sinB= ，AC+BC=28，求AB的长。 的长。 ， 的长 5
巩固 6、在△ABC中，D是AB的中点，DC 、 的中点， 中 是 的中点 1 ⊥AC，tan∠BCD= ，AB= 4 2 ， ， ∠ 2 的长。 求AC的长。 的长
复习 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶ 、 △ 中 ° ∶ AC=3∶4，求∠B的度数 精确到 °)。 的度数(精确到 ∶ ， 的度数 精确到0.1° 。
复习 锐角度数与三角函数值间的转化： 锐角度数与三角函数值间的转化：
锐角度数
转化
三角函数值
探究 如图， 一、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， △ 中 ° 的对边分别是a、 、 ， ∠A、 ∠B、 ∠C的对边分别是 、b、c， 、 、 的对边分别是 求证： 求证：
(1) sin A+ cos A =1
2 2
sin A (2) tan A = cos A
归纳 同角三角函数关系： 同角三角函数关系： (1)平方关系：sin A+ cos A =1 平方关系： 平方关系
2 2
sin A (2)商数关系： A = 商数关系： 商数关系 tan cos A
巩固 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列 、 △ 中 ° 式子成立的是( ) 式子成立的是 A. sinA=sinB B. cosA=cosB C. tanA=tanB D. cos2A+cos2B=1
锐角三角函数(5) 锐角三角函数
复习 1、下列说法正确的是 、下列说法正确的是( A. tan80 ° <tan70 ° B. sin80 ° <sin70 ° C. cos80 ° <cos70 ° D. 以上都角三角函数的增减性： 正弦函数随角度的增大而增大， 正弦函数随角度的增大而增大，余 弦函数随角度的增大而减小， 弦函数随角度的增大而减小，正切函数 随角度的增大而增大。 随角度的增大而增大。
范例 例1、计算： 、计算：
tan 27 tan 63 + 2 − sin 15 − sin 75
2
利用三角函数关系计算
巩固
3 4、在△ABC中，∠C=90°，sinA= , 、 中 ° 5 的值是( ) 则tanAcosA的值是 的值是 3 4 A. B. 5 5 16 9 C. D. 25 25